CONTRACT NR. 2-CEx-06-11-96/19.09.2006

 

Tema: Metode numerice eficiente, cu aplicaţii pe supercalculatoare

Finanţator: Programul Cercetare de Excelenţă – Modulul 1

Director de contract: Dr. Emil Cătinaş – Institutul de Calcul „Tiberiu Popoviciu”

 

La realizarea obiectivelor au participat colective de cercetători din:

1.      Institutul de Calcul „Tiberiu Popoviciu” al Academiei Române, Filiala Cluj-Napoca

2.      Universitatea din Oradea

3.      Universitatea „Babeş-Bolyai” Cluj-Napoca

4.      Universitatea de Nord din Baia Mare

 

Dintre principalele rezultate obţinute enumerăm:

- S-a elaborat un model numeric al difuziei în câmpuri de viteze aleatoare, bazat pe algoritmul performant al mersului la întâmplare global (GRW-Global Random Walk) [3]. Rularile numerice  s-au efectuat pe supercomputerul cu procesoare paralele IBM Power4 cluster JUMP (IBM Regatta p690+) administrat de “Supercomputing Center Juelich”  

(http://www.fzjuelich.de/jsc/service/sco_ibmRegatta).

Tabloul complet al simulărilor de transport difuziv în realizări ale unui câmp aleator de viteze, având caracteristicile unei probleme tipice de curgere în medii poroase naturale, este prezentat în preprintul [4], disponibil online pe situl Institutului  de matematică aplicată al Universităţii Erlangen-Nuernberg; menţionăm că, după cunoştinţele noastre, este singura lucrare din literatură care prezintă un ansamblu statistic relavant de simulări de transport la scară mare, cu parametri de intrare şi conditii initiale relevante pentru cazuri reale. Rezultatul principal a constat în descoperirea efectelor de memorie asupra dispersiei de substanţă produse de dependenţa de condiţiile iniţiale a procesului de transport în medii heterogene spaţial [1]. S-a demonstrat teoretic că efectele de memorie se manifestă în orice problemă de transport în câmpuri de viteze corelate spaţial [4] şi sunt deosebit de pregante în câmpuri neomogene statistic [2]. Rezultatele obtinute cu ajutorul modelului numeric au permis de asemenea aprofundarea problemei ergodicităţii şi a relaţiei între descrierea Lagrangiană si Euleriană a procesului de transport [1, 2, 4]. Menţionăm mai jos câteva din lucrările ce conţin rulări pe supercalculatorul JUMP.

[1] Suciu, N., C. Vamoş, H. Vereecken, K. Sabelfeld, and P. Knabner, Memory effects induced by dependence on initial conditions and ergodicity of transport in heterogeneous media, Water Resour. Res., 44, W08501, 2008, doi:10.1029/2007WR006740 (Factor Impact 2.154).

[2] Suciu N., and C. Vamoş, Comment on ``Nonstationary flow and nonergodic transport in random porous media'' by G. Darvini and P. Salandin, Water Resour. Res. 43, W12601, 2007, doi:10.1029/2007WR005946 (Factor Impact 2.154).

[3] Suciu, N., Vamos, C., Turcu, I., Pop, C.V.L., Ciortea , L. I., Global random walk modeling of transport in complex systems,  Computing and Visualization in Science, doi:10.1007/s00791-007-0077-6, 2007.

[4] Suciu N., C. Vamoş, H. Vereecken, K. Sabelfeld, and P. Knabner, Dependence on initial conditions, memory effects, and ergodicity of transport in heterogeneous media, Preprint No. 324, 2008, Institute of Applied Mathematics, Friedrich-Alexander University Erlangen-Nuremberg  (http://www.am.uni-erlangen.de/de/preprints2000.html).

 

- în cadrul analizei seriilor de timp au fost construiţi algoritmi de prelucrare a seriilor staţionare şi nestaţionare. In [5] a fost definită eroarea de “detrendare” care influenţează zgomotul estimat datorită erorilor apărute prin eliminarea numerică a tendinţei estimate dintr-o serie de timp nestaţionară. Utilizând simulări Monte Carlo bazate pe algoritmi numerici  automaţi pentru generarea de tendinţe nemonotone şi pentru construirea unor tendinţe estimate, asemănătoare celor obţinute prin metode subiective, s-a arătat că, în medie, erorile de detrendare ale parametrilor zgomotului evaluaţi utilizând  funcţiile de autocovarianţă şi autocorelaţie, sunt necorelate cu erorile statistice intrinseci zgomotului. Pentru o serie reală cu o tendinţă semnificativă s-au evaluat erorile parametrilor estimaţi după detrendare folosind o metodă recursivă.

[5] Călin Vamoş and Maria Crăciun, Serial correlation of detrended time series, Physical Review E, vol. 78 (2008), no. 3, 036707-1—11, doi:10.1103/PhysRevE.78.036707 (Factor impact 2.483).

 

- s-au studiat metode Newton-Krîlov pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii neliniare de dimensiuni mari. In aplicarea la probleme test din literatura de specialitate, în rulari pentru sisteme cu număr mare de necunoscute (de ordinul 10⁴) pe un sistem de calcul performant, în cazul metodei Newton-GMBACK au fost observate unele aspecte numerice (în virgulă mobilă) diferite faţă de formulele matematice din aritmetica exactă; ele conduc la comportament nemonoton al metodei [6], [7]. Au fost propuse modificări în algoritmi, care conduc la îmbunătăţirea comportamentului.

[6] E. Cătinaş, On the nonmonotone behavior of the Newton-GMBACK method, AIP Conf. Proc. -- September 17, 2008 – vol. 1046, pp. 87-90 (ISI Proc.).

[7] E. Cătinaş, On the convergence of the Newton- GMBACK method, trimisă spre publicare.

 

- s-au determinat potenţialele galactice descrise prin perturbaţii polinomiale ale oscilaţiilor armonice, care sunt compatibile cu familia  orbitelor x^p y=const (p≠0) [8]. Pentru aceasta s-a aplicat tehnica problemei planare inverse a dinamicii.

[8] M.-C. Anisiu, T. A. Kotoulas, Construction  of 3D potentials from a preassigned two-parametric family of orbits, Inverse Problems 22 (2006), 2255-2269 (factor impact: 1,854).

 

- pentru problema de punct fix rezolvată prin metoda aproximaţiilor succesive, s-au  obţinut estimări ale razei unei bile de atracţie în funcţie de norma derivatei operatorului neliniar în punctul fix şi de constanta Lipschitz a operatorului [9]. S-a arătat că, în anumite condiţii, estimarea poate fi exactă.

[9] E. Cătinaş, Estimating the radius of an attraction ball, Appl. Math. Lett., 22 (2009) no. 5, pp. 712-714 (factor impact: 0,699).

 

- s-a studiat existenţa şi localizarea soluţiilor de clasă C¹ pentru o problema Dirichlet eliptică cu condiţii pe frontieră [10]. Procedeele utilizate în acest scop s-au bazat pe alternativa neliniară a teoremei lui Leray-Schauder.

[10] T. Moussaoui, R. Precup, Existence results for semilinear elliptic  boundary value problems via topological methods, Applied Mathematics Letters, 22 (2009) no. 1, pp. 126-129 (factor impact: 0,699).

 

- s-a elaborat un algoritm simplu pentru determinarea secvenţială a extremelor globale (maxim şi minim) ale unei funcţii semi-Lipschitz reale definită pe un spaţiu cu metrică asimetrică [11]. Algoritmul necesită volum mic de calcule, este simplu şi uşor de implementat pe calculator.

[11] C. Mustăţa, On the approximation of the global extremum at a semi-Lipschitz function, Mediterranean Journal of Mathematics, Mediterr. J. Math. 6 (2009) 2, pp. 171-182.

 

- s-au obţinut rezultate privind aproximarea comonotonă bivariată, conservarea formei în aproximarea funcţiilor de mai multe variabile reale cu polinoame, şi conservarea univalenţei, stelarităţii, convexităţii, etc, în aproximarea cu polinoame complexe, cazul uni si multivariate, în  monografia

[12] Sorin G. Gal, Shape Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials, Birkhauser Publ. Inc., Boston, SUA, 358 pp, ISBN 978-0-8176-4702-5.

 

- s-au obţinut rezultate privind formulele de calcul ale numărului fuzzy trapezoidal [13], care este cel mai apropiat (în sensul unei anumite distanţe) de un număr fuzzy dat, şi care conservă valoarea de expectanţă a acestuia.

[13] A. Ban, Approximation of fuzzy numbers by trapezoidal fuzzy numbers preserving the expected interval, Fuzzy Sets and Systems, 159 (2008), 1327-1344 (ISI)

 

-s-a obţinut o metodă numerică pentru ecuaţii integrale Fredholm fuzzy neliniare [14], bazată pe tehnica aproximaţiilor succesive şi pe o formulă recentă de cuadratură a trapezului pentru integrale fuzzy.

[14] A.M. Bica, Error estimation in the approximation of the solution of nonlinear fuzzy Fredholm integral equations, Information Sciences, 178 (2008), 1279-1292 (ISI)

 

S-au obţinut rezultate privind metoda proiecţiilor Schauder pentru cazul spaţiilor local convexe [15], cu aplicaţii la teoremele de punct fix ale lui Schauder-Tikhonov şi Kakutani, precum şi la existenţa punctelor şa în teoria jocurilor. Se cunoaşte că proiecţiile Schauder permit şi o implementare algoritmică a metodei indicate.

[15] Cobzaş, S., Fixed point theorems in locally convex spaces – the Schauder mapping method, Fixed Point Theory and Applications, vol. 2006, article ID 57950, pp.1-13.

 

In lucrarea [16] a fost elaborarat un algoritm de determinare a punctelor eficiente în optimizarea multicriterială, bazat pe deformări retracte ale imaginii funcţiei de scop.

[16] Popovici, N., Involving the Helly number in Pareto reducibility, Operation Research Letters Rev., Vol. 36 (2008), pp. 173-176.

 

S-au studiat probleme de ecuaţii diferenţiale liniare cu condiţii la limite, obţinându-se aproximaţii pe baza polinoamelor de interpolare Newton care verifică condiţiile la limite.

[17] G. Groza and N. Pop, Approximate solution of multipoint boundary value problems for linear differential equations by polynomial functions, Journal of Difference Equations and Applications, vol. 14, Issue 12, 1289-1309, 2008 (factor impact 0,928).

Conceptul de contracţie slabă este extins de la aplicaţii univoce la aplicaţii multivoce; se obţin apoi teoreme de convergenţă pentru iteraţiile Picard asociate contracţiilor slabe pentru cazul multivoc.

[18] M. Berinde, V. Berinde, On a class of multi-valued weakly Picard mappings, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), pp. 772-782 (factor impact 0,872).

 

S-a elaborat o monografie referitoare la metoda aproximaţiilor succesive.

[19] V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1912, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72233-5.

 

Indicatori de realizare: