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<title>Sätze vom <i class="sc">Bohman-Korovkin</i>-Typ für lokalkonvexe Vektorverbände: Sätze vom <i class="sc">Bohman-Korovkin</i>-Typ für lokalkonvexe Vektorverbände</title>
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<div class="main-text">


<div class="titlepage">
<h1>Sätze vom <i class="sc">Bohman-Korovkin</i>-Typ für lokalkonvexe Vektorverbände</h1>
<p class="authors">
<span class="author">Heiner Gonska\(^\ast \)</span>
</p>
<p class="date">March 6, 2015.</p>
</div>
<p>\(^\ast \)University of Duisburg-Essen, Faculty of Mathematics, D-47048 Duisburg, Germany, e-mail: <span class="tt">heiner.gonska@uni-due.de</span>. </p>
<p>Dedicated to prof. Ion Păvăloiu on the occasion of his 75th anniversary. </p>

<div class="abstract"><p> Zwei Sätze vom Korovkin-Typ werden angegeben, die durch eine Arbeit von Scheffold inspiriert sind. Diese betreffen die Approximation eines stetigen Verbandshomomorphismus durch eine Folge gewisser positiver linearer Operatoren. Als Anwendung ergibt sich die Verallgemeinerung eines Satzes von Müller über die Approximation in Banachschen Funktionenräumen. </p>
<p><b class="bf">Abstract.</b> Two Korovkin-type theorems inspired by the work of Scheffold are given concerning the approximation of a continuous lattice homomorphism P by a sequence of certain positive linear operators \(T_n\). The first result is used to prove a generalization of a proposition of Müller dealing with approximation in Banach function spaces. </p>
<p><b class="bf">MSC.</b> 46A32, 46A40, 41A36, 41A65. </p>
<p><b class="bf">Keywords.</b> Korovkin-type theorem, approximation of lattice homomorphisms, positive linear operators, Banach function spaces. </p>
</div>
<h1 id="a0000000002">1 Einleitung</h1>
<p>Wir betrachten das Schema </p>
<div class="displaymath" id="a0000000003">
  \[  C(X)\underset {P}{\overset {T_n}{\longrightarrow }} F .  \]
</div>
<p> Hierin bezeichnet \(C(X)\) den Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten Raum \(X\) und \(F\) einen lokalkompakten Vektorverband. </p>
<p>\((T_n)_{n \in \mathbb {N}}\) bezeichne eine Folge positiver linearer Abbildungen und \(P\) einen Verbandshomomorphismus. In dieser Situation gilt der folgende Satz, der eine Verallgemeinerung eines Ergebnisses von Berens und Lorentz <span class="cite">
	[
	<a href="#BeLo" >1</a>
	]
</span> darstellt. </p>
<p><div class="satza_thmwrapper " id="a0000000004">
  <div class="satza_thmheading">
    <span class="satza_thmcaption">
    Satz A
    </span>
  </div>
  <div class="satza_thmcontent">
  <p>Sei \(F\) ein lokalkonvexer Vektorverband und \(P : C(X) \to F\) ein Verbandshomomorphimus. Ist \(S\) eine Teilmenge von \(C(X)\), die eine strikt positive Funktion \(g^*\) enthält und gilt für eine Folge positiver Abbildungen \(T_n : C(X) \to F\), \(n \in \mathbb {N}\), </p>
<div class="displaymath" id="a0000000005">
  \[  T_ng \to Pg \; \;  \mbox{in}\; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle}\; \;  g \in G = \operatorname { lin } S ,  \]
</div>
<p> so folgt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000006">
  \[  T_ng \to Pg \; \;  \mbox{in}\; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle}\; \;  f \in \hat{G}_{\operatorname {supp} P} .  \]
</div>

  </div>
</div> </p>
<p>Dabei ist </p>
<div class="displaymath" id="a0000000007">
  \[  \begin{array}{lcl} \hat{G}_{\operatorname {supp} P} &  = &  \big\{  f \in C(X) : \mu (f) = f(x) \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  x \in \operatorname {supp} P \; \;  \\ & &  \  \  \mbox{und alle positiven Linearformen} \; \;  \mu \; \;  \mbox{mit}\; \;  \mu (g) = g (x) \; \;  \\ & &  \  \  \mbox{f\"ur alle}\; \;  g \in G\big\}  \end{array}  \]
</div>
<p> der Fortsetzungsraum bzgl. \(\operatorname {supp} P\) und \(G\). Für einen Beweis siehe <span class="cite">
	[
	<a href="#Gon75" >2</a>
	, 
	Theorem 3.1
	]
</span>. Hieraus ergibt sich unmittelbar </p>
<p><div class="satzb_thmwrapper " id="a0000000008">
  <div class="satzb_thmheading">
    <span class="satzb_thmcaption">
    Satz B
    </span>
  </div>
  <div class="satzb_thmcontent">
  <p>Es sei \(F\) ein lokalkonvexer Vektorverband und \(P : C(X) \to F\) ein Verbandshomomorphismus. Ist \(S\) eine Teilmenge von \(C(X)\), die eine strikt positive Funktion \(g^*\) enthält und \(G = \operatorname { lin } S\), so gilt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000009">
  \[  \hat{G}_{\operatorname {supp} P} \subset \rho (S,F,P) .  \]
</div>
<p> Hierzu bezeichnet \(\rho (S,F,P)\) den Schatten von \(S\) bzgl. \(L^+ (C(X),F)\) - der Menge aller positiven linearen Abbildungen von \(C(X)\) nach \(F\) - und \(P\), d.h. </p>
<div class="displaymath" id="a0000000010">
  \[  \begin{array}{lcl} \rho (S,F,P) &  = &  \big\{  f\in C(X) : \; \;  \mbox{Ist} \; \;  (T_n)_{n \in \mathbb {N}} \subset L^+ (C(X)F) \; \;  \mbox{mit} \; \;  T_ng \to Pg \\ & &  \  \  \mbox{f\"ur alle} \; \;  g \in S, \; \;  \mbox{so folgt} \; \;  T_nf \to Pf\big\} . \end{array}  \]
</div>

  </div>
</div> </p>
<h1 id="a0000000011">2 Ergebnisse</h1>
<p>Wir beginnen mit einer Verallgemeinerung eines Satzes von <i class="sc">Scheffold</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#scheffold" >4</a>
	]
</span>. </p>
<p><div class="theorem_thmwrapper " id="th.1">
  <div class="theorem_thmheading">
    <span class="theorem_thmcaption">
    Theorem
    </span>
    <span class="theorem_thmlabel">1</span>
  </div>
  <div class="theorem_thmcontent">
  <p> Es sei \(E\) ein topologischer Vektorraum und ein Vektorverband und \(F\) ein lokalkonvexer Vektorverband, \(X\) sei eine kompakte Menge und \(T: C(X) \to E\) ein Verbandshomomorphismus. Es sei \(T_n : E \to F\) eine gleichstetige Folge positiver linearer Abbildungen und \(P : E \to F\) ein stetiger Verbandshomomorphismus. Es sei \(S\) eine Teilmenge von \(C(X)\), die eine strikt positive Funktion \(g*\) enthält und \(G = \operatorname {lin} S\). </p>
<p>Es gelte </p>
<div class="displaymath" id="a0000000012">
  \[  T_n (Tg) \to P(Tg) \; \; \hat{E}\mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  g \in S.  \]
</div>
<p> Dann folgt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000013">
  \[  T_n(\overline{f}) \to P(\overline{f}) \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  \overline{f} \in \overline{T(\hat{G}_{\operatorname {supp} P\circ T})}^E.  \]
</div>

  </div>
</div> </p>
<p><div class="proof_wrapper" id="a0000000014">
  <div class="proof_heading">
    <span class="proof_caption">
    Proof
    </span>
    <span class="expand-proof">â–¼</span>
  </div>
  <div class="proof_content">
  
  </div>
</div>[Beweis] \((T_n \circ T)_{n \in \mathbb {N}}\) ist eine Folge positiver linearer Abbildungen mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000015">
  \[  T_n \circ T : C(X) \to F.  \]
</div>
<p> \(P \circ T : C(X) \to F\) ist ein Verbandshomomorphismus. </p>
<p>Nach Satz B gilt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000016">
  \[  \hat{G}_{\operatorname {supp} P \circ T} \subset \rho (S,F,P \circ T) .  \]
</div>
<p> Aus </p>
<div class="displaymath" id="a0000000017">
  \[  T_n \circ T(g) \to P \circ T(g) \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  g \in S ,  \]
</div>
<p> folgt also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000018">
  \[  T_n \circ T(h) \to P \circ T(h) \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  h \in \hat{G}_{\operatorname {supp} P \circ T},  \]
</div>
<p> also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000019">
  \[  T_n (f) \to P(f) \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  f \in T(\hat{G}_{\operatorname {supp} P \circ T}).  \]
</div>
<p> Sei nun \(\overline{f} \in \overline{T(\hat{G}_{\operatorname {supp} P \circ T})}^E\) und \(U\) eine beliebige Nullumgebung in \(F\). Dann existiert eine Nullumgebung \(W\) in \(F\) mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000020">
  \[  W + W + W \subset U .  \]
</div>
<p> Wegen der Gleichstetigkeit der Folge \((T_n)_{n \in \mathbb {N}}\) existiert eine Umgebung \(V\) in \(E\) mit \(T_n (V) \subset W\) für alle \(n \in \mathbb {N}\) und wegen der Stetigkeit von \(P\) eine Umgebung \(V'\) mit \(P(V') \subset W\). Es sei nun \(h \in \hat{G}_{\operatorname {supp} P \circ T}\) so gewählt, dass \(\overline{f} - T(h) \in V \cap V'\) ist. Für \(n \ge N_0\) ist dann </p>
<div class="displaymath" id="a0000000021">
  \[  T_n \circ T(h) - P \circ T(h) \in W,  \]
</div>
<p> und insgesamt ergibt sich <small class="footnotesize"><div class="displaymath" id="a0000000022">
  \[ \begin{array}[c]{cccccccc}T_{n}\overline{f}-P\overline{f} &  = &  T_{n}\overline{f}-T_{n}\circ T(h) &  + &  T_{n}\circ T(h)-P\circ T(h) &  + &  P\circ T(h)-P\overline{f} & \\[2mm]&  \in &  W &  + &  W &  + &  W &  \subset U \end{array}  \]
</div> </small> für alle \(n\geq N_{0}\). </p>
<p><div class="unremark_thmwrapper " id="a0000000023">
  <div class="unremark_thmheading">
    <span class="unremark_thmcaption">
    Bemerkung
    </span>
  </div>
  <div class="unremark_thmcontent">
  <p><i class="sc">Scheffold</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#scheffold" >4</a>
	]
</span> hat Theorem <a href="#th.1">1</a> für einen lokalkonvexen Vektorverband \(E\) und einen injektiven Verbandshomomorphimus \(T : C(X) \to E\) mit völlig anderen Mitteln bewiesen. Statt von Konvergenz auf dem Abschluss des Bildes eines Fortsetzungsraumes zu sprechen, verwendet <i class="sc">Scheffold</i> die Terminologie des relativen Choquetrandes. <span class="qed">â–¡</span></p>

  </div>
</div> </p>
<p>Nach Theorem <a href="#th.1">1</a> sind natürlich solche Vektorverbände und topologische Vektorräume \(E\) von Interesse, in die ein Raum \(C(X)\) vermöge einer natürlichen Inklusion eingebettet ist und für die gilt \(\overline{i(C(X))}^E = E\). Eine Klasse solcher Räume bilden sogenannte Banachsche Funktionenräume. Dazu die </p>
<p><div class="definition_thmwrapper " id="a0000000024">
  <div class="definition_thmheading">
    <span class="definition_thmcaption">
    Definition
    </span>
    <span class="definition_thmlabel">2</span>
    <span class="definition_thmtitle"><i class="sc">Müller</i>, <span class="cite">
	[
	<a href="#mueller" >3</a>
	]
</span></span>
  </div>
  <div class="definition_thmcontent">
  <p> Es sei \(K \subset \mathbb {R}\) kompakt und \(M(K)\) der Vektorraum der auf \(K\) definierten reellwertigen (Lebesgue-)meSSbaren Funktionen modulo des zugehörigen Nullraumes \(N\). Ein Banach-Raum \((B (K) , \| \circ \| _B)\) bestehend aus Elementen von \(M(K)\) heiSSt ein <i class="it">Banachscher Funktionenraum</i> genau dann, wenn seine Norm den folgenden Bedingungen genügt: </p>
<ul class="itemize">
  <li><p>Ist \(g \in M(K)\) und \(f \in B(K)\) mit \(|g| \le |f|\), so folgt: \(g \in B(K)\) und \(\| g\| _B \le \| f\| _B\). </p>
</li>
  <li><p>Ist \((f_n)_{n \in \mathbb {N}} \) eine Folge in \(B(K)\) und \(0 \le f_n \nearrow f\) mit \(f \in B(K)\), so folgt: \(\| f_n\| _B \to \| f\| _B\). </p>
</li>
  <li><p>\(\| f\| _B\) ist umordnungsinvariant für alle \(f \in B(K)\), d.h.: Ist \(f = f'\) \(\lambda \)-fast überall, so ist \(f' \in B(K)\) und \(\| f\| _B = \| f'\| _B\). </p>
</li>
</ul>

  </div>
</div> </p>
<p><div class="unexample_thmwrapper " id="a0000000025">
  <div class="unexample_thmheading">
    <span class="unexample_thmcaption">
    Beispiel
    </span>
  </div>
  <div class="unexample_thmcontent">
  <p><i class="sc">(Müller)</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#mueller" >3</a>
	]
</span> Der Raum \(L^p(K), \; \;  1 \le p {\lt} \infty \) ist ein Banachscher Funktionenraum. <span class="qed">â–¡</span></p>

  </div>
</div> </p>
<p>Für Banachsche Funktionenräume, die den Raum \(C(K)\) enthalten, gilt der </p>
<p><div class="proposition_thmwrapper " id="a0000000026">
  <div class="proposition_thmheading">
    <span class="proposition_thmcaption">
    Satz
    </span>
    <span class="proposition_thmlabel">3</span>
  </div>
  <div class="proposition_thmcontent">
  <p><i class="sc">(Müller)</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#mueller" >3</a>
	]
</span> Ist \(K \subset \mathbb {R}\) und \(B(K)\) ein Banachscher Funktionenraum, der den Raum \(C(K)\) enthält, so ist \(C(K)\) dicht in \(B(K)\). </p>

  </div>
</div> </p>
<p>Um Theorem <a href="#th.1">1</a> anwenden zu können, benötigen wir noch </p>
<p><div class="lemma_thmwrapper " id="a0000000027">
  <div class="lemma_thmheading">
    <span class="lemma_thmcaption">
    Lemma
    </span>
    <span class="lemma_thmlabel">4</span>
  </div>
  <div class="lemma_thmcontent">
  <p>Ein Banachscher Funktionenraum \(B(K)\) ist ein Banachverband. </p>

  </div>
</div> </p>
<p><div class="proof_wrapper" id="a0000000028">
  <div class="proof_heading">
    <span class="proof_caption">
    Proof
    </span>
    <span class="expand-proof">â–¼</span>
  </div>
  <div class="proof_content">
  
  </div>
</div>[Beweis] Es seien \(f \) und \(g \in B(K)\). Dann ist \(\sup (f,g) = \tfrac {f+g}{2} + \tfrac {|f-g|}{2}\). Wegen (N1) sind \(|f|, |g| \in B(K)\) und wegen \(|f-g| \le |f| + |g|\) ist auch \(|f-g| \in B(K)\) und damit auch \(\sup (f,g)\). Da \(\inf (f,g) = \tfrac {f+g}{2} - \tfrac {|f-g|}{2}\) gilt, folgt, dass auch \(\inf (f,g) \in B(K)\) ist. \(B(K)\) ist also ein Vektorverband. </p>
<p>Eine Nullumgebungsbasis in \(B(K)\) bilden die Normkugeln \(K(0,\epsilon ) = \{  f \in B(K) : \| f\| _B \le \epsilon \} \). Ist nun \(g \in B(K)\) mit \(|g| \le |f|\) und \(\| f\| _B \le \epsilon \), so folgt mit (N1), dass \(\| g\| _B \le \| f\| _B \le \epsilon \), also \(g \in K(0,\epsilon )\) ist. Dies bedeutet aber, dass \(K(0,\epsilon ) \) solide ist, und der Banachraum und Vektorverband \(B(K)\) besitzt eine Nullumgebungsbasis aus soliden Mengen. \(B(K)\) ist also ein Banachverband. </p>
<p>Wir beweisen nun eine Verallgemeinerung eines Satzes von Müller <i class="sc">(Müller,</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#mueller" >3</a>
	]
</span>). </p>
<p><div class="proposition_thmwrapper " id="prop.5">
  <div class="proposition_thmheading">
    <span class="proposition_thmcaption">
    Satz
    </span>
    <span class="proposition_thmlabel">5</span>
  </div>
  <div class="proposition_thmcontent">
  <p> Es sei \(K \subset \mathbb {R}\) kompakt und \(B(K)\) ein Banachscher Funktionenraum, der den Raum \(C(K)\) enthält. Es sei \(S\) eine Teilmenge von \(C(K)\), die eine strikt positive Funktion \(g^*\) enthält und \(G = \operatorname {lin} S\). Es gelte \(\hat{G}_K = C(K)\). Es sei \(T_n : B(K) \to B(K)\), \(n \in \mathbb {N}\), eine Folge positiver linearer Operatoren mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000029">
  \[  \sup _{n \in \mathbb {N}} \| T_n\|  {\lt} + \infty  \]
</div>
<p> und </p>
<div class="displaymath" id="a0000000030">
  \[  \lim _{n \to \infty } \| T_ng - g\| _B = 0 \; \;  \mbox{f\"ur alle}\; \;  g \in S .  \]
</div>
<p> Dann gilt: </p>
<div class="displaymath" id="a0000000031">
  \[  \lim _{n \to \infty } \| T_nf - f\| _B = 0 \; \;  \mbox{f\"ur alle} f \in B(K) .  \]
</div>

  </div>
</div> </p>
<p><div class="proof_wrapper" id="a0000000032">
  <div class="proof_heading">
    <span class="proof_caption">
    Proof
    </span>
    <span class="expand-proof">â–¼</span>
  </div>
  <div class="proof_content">
  
  </div>
</div>[Beweis] Die Injektion \(i : C(K) \ni f \mapsto f \in B(K)\) ist ein Verbandshomomorphismus. Wegen \(\sup _{n \in \mathbb {N}} \| T_n\|  {\lt} + \infty \) ist die Folge \((T_n)_{n\in \mathbb {N}}\) gleichstetig. Die Identität \(I : B(K) \ni f \mapsto f\in B(K)\) ist ein stetiger Verbandshomomorphismus. </p>
<p>Mit Theorem <a href="#th.1">1</a> folgt also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000033">
  \[  T_n f \to If \; \;  \mbox{in} \; \;  B(K) \; \; \hat{E}\mbox{f\"ur alle} \; \;  f \in \overline{i({\hat{G}}_{\operatorname {supp} \;  I \circ i})}^{B(K)}.  \]
</div>
<p> Nun ist </p>
<div class="displaymath" id="a0000000034">
  \[  i(\hat{G}_{\operatorname {supp} \;  I \circ i}) \supset i(\hat{G}_K) = i(C(K)) = C(K) ,  \]
</div>
<p> also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000035">
  \[  \overline{i(\hat{G}_{\operatorname {supp} \;  I \circ i})}^{B(K)} = \overline{C(K)}^{B(K)} = B(K).  \]
</div>
<p>Mit Satz <a href="#prop.5">5</a> ist es nun etwa möglich, den folgenden Approximationsprozess im Banachschen Funktionenraum \(L^1 [a,b]\), \([a,b] \subset \mathbb {R}\), auf Konvergenz gegen die Identität zu testen. </p>
<p><div class="example_thmwrapper " id="a0000000036">
  <div class="example_thmheading">
    <span class="example_thmcaption">
    Beispiel
    </span>
    <span class="example_thmlabel">6</span>
  </div>
  <div class="example_thmcontent">
  <p>Für \(n \in \mathbb {N}\) und \(f \in L^1 [a,b]\) sei </p>
<div class="displaymath" id="a0000000037">
  \[  T_n (f,x) := \tfrac {1}{b-a} \circ \sqrt{\tfrac {n}{\pi }} \circ \int _a^b \left( 1-\big( \tfrac {t-x}{b-a} \big)^2 \right)^n \circ f(t) dt.  \]
</div>
<p> Darin heiSSt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000038">
  \[  K_n (t,x) := \tfrac {1}{b-a} \circ \sqrt{\tfrac {n}{\pi }} \circ \left( 1 - \big( \tfrac {t-x}{b-a} \big)^2 \right)^n  \]
</div>
<p> Landau-Stieltjes-Kern. </p>
<p>\(T_n\) ist für alle \(n \in \mathbb {N}\) linear und positiv, und für alle \(f \in L^1 [a,b]\) ist \(T_n f \in \Pi _{2n} \subset L^1 [a,b]\). Wie <i class="sc">Müller</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#mueller" >3</a>
	]
</span> zeigt, sind die Normen der \(T_n\) gleichmäSSig beschränkt und für \(0 \le i \le 2\) gilt \(T_n \pi _i \to \pi _i\) in \(L^1 [a,b]\). Für \(G = \operatorname {lin} \{ \pi _0,\pi _1,\pi _2\} \) gilt \(\hat{G}_K = C(K)\), so dass mit Satz 5 nun </p>
<div class="displaymath" id="a0000000039">
  \[  T_n f \to f \; \;  \mbox{in}\; \;  L^1 [a,b] \; \;  \mbox{f\"ur alle}\; \;  f \in L^1 [a,b]  \]
</div>
<p> folgt. </p>

  </div>
</div> </p>
<p>Wir betrachten nun die spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorverbände \(E\), die folgenvollständig sind und im positiven Kegel einen quasiinneren Punkt besitzen. Es gilt folgendes </p>
<p><div class="theorem_thmwrapper " id="a0000000040">
  <div class="theorem_thmheading">
    <span class="theorem_thmcaption">
    Theorem
    </span>
    <span class="theorem_thmlabel">7</span>
    <span class="theorem_thmtitle">vgl. Scheffold <span class="cite">
	[
	<a href="#scheffold" >4</a>
	]
</span></span>
  </div>
  <div class="theorem_thmcontent">
  <p> Es sei \(E\) ein lokalkonvexer, folgenvollständiger Vektorverband, \(u \in E\) ein quasiinnerer Punkt des positiven Kegels \(E^+\) von \(E\) und \(\{ u_i , i \in I\} \) ein Erzeugendensystem von \(E\) mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000041">
  \[  \{ u_i , i \in I\}  \subset E_u = \bigcup _{n =1}^\infty \{  x \in E : |x| \le n \circ u\} .  \]
</div>
<p> Dann gilt: </p>
<ul class="itemize">
  <li><p>Es gibt einen kompakten Raum \(X\) und einen surjektiven Verbandsisomorphismus \(T : C(X) \to E_u\). </p>
</li>
  <li><p>Setzt man \(u_i^{(2)} := T((T^{-1} (u_i))^2)\), so gilt: Ist \(F\) ein beliebiger lokalkonvexer Vektorverband, \(P : E \to F\) ein stetiger Verbandshomomorphismus und \(T_n : E \to F\), \(n \in \mathbb {N}\), eine gleichstetige Folge positiver linearer Abbildungen mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000042">
  \[  T_n v \to Pv \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  v \in \{ u\}  \cup \{ u_i,u_i^{(2)}; i \in I\}  ,  \]
</div>
<p> so folgt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000043">
  \[  T_nf \to Pf \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  f \in E .  \]
</div>
</li>
  <li><p>Wird \(E\) von \(k\) Elementen erzeugt, so kann die Kovnergenz einer Folge gleichstetiger positiver linearer Abbildungen gegen einen stetigen Verbandshomomorphismus auf einer höchstens \((2k + 1)\)-elementigen Menge getestet werden. </p>
</li>
</ul>

  </div>
</div> </p>
<p><div class="proof_wrapper" id="a0000000044">
  <div class="proof_heading">
    <span class="proof_caption">
    Proof
    </span>
    <span class="expand-proof">â–¼</span>
  </div>
  <div class="proof_content">
  
  </div>
</div>[Beweis] Nach Definition des quasiinneren Punktes \(u\) ist das Vektorverbandsideal \(E_u = \bigcup _{n=1}^\infty \{ x \in E : |x| \le n \circ u\} \) dicht in \(E\). Damit existieren also ein kompakter Hausdorffraum \(X\) und ein surjektiver Verbandsisomorphismus \(T : C(X) \to E_u\) mit \(T1_X = u\). Also gilt die Aussage (i). </p>
<p>Wir betrachten nun </p>
<div class="displaymath" id="a0000000045">
  \[  Q := \{ T^{-1} (u) = 1_X\}  \cup \{ T^{-1}(u_i); i \in I\}  \cup \{ (T^{-1}(u_i))^2;i \in I\}  \subset C(X).  \]
</div>
<p> Der von dieser Teilmenge erzeugte Unterraum \(G\) von \(C(X)\) besitzt die Eigenschaft, dass </p>
<div class="displaymath" id="a0000000046">
  \[  \overline{\mathfrak {A}(Q)}^{C(X)} \subset \hat{G}_X \subset C(X) .  \]
</div>
<p> Hierbei bezeichnet \(\overline{\mathfrak {A} (Q)}^{C(X)}\) die kleinste abgeschlossene Teilalgebra, die \(Q\) enthält. Nun ist \(\{ u_i; i \in I\} \) ein Erzeugendensystem von \(E\), also auch von \(E_u\). Diese Sprechweise ist sinnvoll, weil \(E_u\) selbst ein lokalkonvexer Vektorverband ist. </p>
<p>\(\{ T^{-1} (u_i); i \in I\}  \subset \overline{\mathfrak {A} (Q)}\) ist also ein Erzeugendensystem des lokalkonvexen Vektorverbandes \(C(X)\). Damit ist die abgeschlossene Algebra \(\overline{\mathfrak {A} (Q)}\) ein abgeschlossener Vektorunterverband von \(C(X)\), der ein Erzeugendensystem von \(C(X)\) enthält, also gilt </p>
<div class="displaymath" id="a0000000047">
  \[  C(X) \subset \overline{\mathfrak {A}(Q)} \subset \hat{G}_X \subset C(X)  \]
</div>
<p> und damit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000048">
  \[  \hat{G}_X = C(X) ,  \]
</div>
<p> also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000049">
  \[  T(Q) \subset E_u = T(C(X)) = T(\hat{G}_X) .  \]
</div>
<p> Nach Voraussetzung gilt weiter </p>
<div class="displaymath" id="a0000000050">
  \[  E = \overline{E_u}^E = \overline{T(\hat{G}_X)}^E .  \]
</div>
<p> Ist nun \((T_n)_{n \in \mathbb {N}}\) eine gleichstetige Folge positiver linearer Abbildungen und \(P : E \to F\) ein stetiger Verbandshomomorphismus mit </p>
<div class="displaymath" id="a0000000051">
  \[  T_nv \to Pv \; \;  \mbox{in} \; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  v \in \{ u\}  \cup \{ u_i,u_i^{(2)}; i \in I\}  ,  \]
</div>
<p> so bedeutet dies ja </p>
<div class="displaymath" id="a0000000052">
  \[  T_n \circ T (q) \to P \circ T(q) \; \;  \mbox{in}\; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  q \in Q .  \]
</div>
<p> \(Q\) enthält \(1_X\), also folgt mit Theorem <a href="#th.1">1</a>: </p>
<div class="displaymath" id="a0000000053">
  \[  T_n f \to Pf \; \;  \mbox{in}\; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  f \in \overline{T(\hat{G}_{\operatorname {supp} \;  P \circ T})}^E .  \]
</div>
<p> Wegen </p>
<div class="displaymath" id="a0000000054">
  \[  E = \overline{T(C(X))}^E \supset \overline{T(\hat{G}_{\operatorname {supp} \;  P \circ T})}^E \supset \overline{T(\hat{G}_X)}^E = E  \]
</div>
<p> folgt also </p>
<div class="displaymath" id="a0000000055">
  \[  T_n f \to Pf \; \;  \mbox{in}\; \;  F \; \;  \mbox{f\"ur alle} \; \;  f \in E .  \]
</div>
<p> Also gilt die Aussage (ii). </p>
<p>Die Behauptung (iii) ergibt sich nun sofort aus (ii). </p>
<p><div class="unremark_thmwrapper " id="a0000000056">
  <div class="unremark_thmheading">
    <span class="unremark_thmcaption">
    Bemerkung
    </span>
  </div>
  <div class="unremark_thmcontent">
  <p>Endlich erzeugte, folgenvollständige lokal-konvexe. Vektorverbände \(E\) sind insbesondere Gegenstand der Untersuchungen von <i class="sc">wolff</i> <span class="cite">
	[
	<a href="#wolff1" >6</a>
	, 
	<a href="#wolff2" >7</a>
	]
</span>. Als besonders interessant erweist es sich hier, dass in dieser Situation \(E\) automatisch einen quasiinneren Punkt \(u\) enthält. Ist etwa \(A = \{ u_1, \ldots , u_k\} \) ein Erzeugendensystem von \(E\) (d.h. \(E\) ist der kleinste abgeschlossene Vektorunterverband, der \(A\) enthält), so setze man \(u \! : = \! \sum _{i=1}^k\! \!  |u_i|\). Dann ist \(u\) ein quasiinnerer Punkt des positiven Kegels \(E^+\) von \(E\), d.h. \(E_u\) ist dicht in \(E\). \(E_u\) ist ja ein \(A\) enthaltender Vektorunterverband von \(E\). </p>

  </div>
</div> </p>
<p>Es gelingt Wolff <span class="cite">
	[
	<a href="#wolff3" >5</a>
	]
</span>, endlich erzeugte Banachverbände vollständig zu charakterisieren und als gewisse Funktionenräume (sogenannte Banach-Funktionenverbände) über geeigneten kompakten Teilmengen des \(\mathbb {R}^n, n \ge 1\), darzustellen. </p>
<p>Im Spezialfall sogenannter minimaler und separabler Banachverbände gelingt es dabei sogar, auf ein Erzeugendensystem von nur zwei Elementen zu schlieSSen. </p>
<p><small class="footnotesize">  </small></p>
<div class="bibliography">
<h1>Bibliography</h1>
<dl class="bibliography">
  <dt><a name="BeLo">1</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">H. Berens</i>, und <i class="sc">G.G. Lorentz</i>, <i class="it">Theorem of Korovkin Type for Positive Linear Operators on Banach Lattices</i>, Approximation Theory, G.G. Lorentz, Ed., New York - London: Academic Press, (1973), pp.&#160;1–30. </p>
</dd>
  <dt><a name="Gon75">2</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">H. Gonska</i>, <i class="it">Konvergenzsätze von Bohman-Korovkin-Typ für positive lineare Operatoren</i>, Diplomarbeit, Ruhr-Universität Bochum, 1975. </p>
</dd>
  <dt><a name="mueller">3</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">M.W. Müller</i>, <i class="it">Sätze vom Bohman-Korowkin-Typ für Banachsche Funktionenräume</i>, Linear Operators and Approximation, P.L. Butzer, J.-P. Kahane und B.Sz.-Nagy, Ed., Basel-Stuttgart: Birkhäuser, (1972), pp.&#160;292–299. </p>
</dd>
  <dt><a name="scheffold">4</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">E. Scheffold</i>, <i class="it">Ein allgemeiner Korovkin-Satz für lokalkonvexe Vektorverbände</i>, Math. Z., <b class="bf">132</b> (1973), pp.&#160;209–214. </p>
</dd>
  <dt><a name="wolff3">5</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">M. Wolff</i>, <i class="it">Darstellung von Banach-Verbänden und Sätze vom Korovkin-Typ</i>, Math. Ann., <b class="bf">200</b> (1973), pp.&#160;47–67. </p>
</dd>
  <dt><a name="wolff1">6</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">M. Wolff</i>, <i class="it">Über Korovkin-Sätze in lokalkonvexen Vektorverbänden</i>, Math. Ann, <b class="bf">204</b> (1973), pp.&#160;44–56. </p>
</dd>
  <dt><a name="wolff2">7</a></dt>
  <dd><p><i class="sc">M. Wolff</i>, <i class="it">A General Theorem of Korovkin Type for Vector Lattices</i>, Approximation Theory, G.G. Lorentz, Ed., New York - London: Academic Press, (1973), pp.&#160;517–521. </p>
</dd>
</dl>


</div>
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