par

Nous commençons en faisant la remarque que l'étude des allures de convexité d'ordre supérieur et des allures encore plus générales a comme point de départ l'analyse du comportement par rapport à l'ensemble des polynomes d'un degré donné. Le nombre entier $n⩾0$$n⩾0$n >= 0n \geqslant 0$n⩾0$ étant fixé, on désigne par ${\mathcal{I}}_n$${\mathcal{I}}_n$I_(n)\mathscr{I}_{n}${\mathcal{I}}_n$ l'ensemble des polynomes de degré au plus égal a $n$$n$nn$n$. Un étude des allures aux quelles nous nous sommes rapporté plus haut peut se developper en trois diréctions : mêttre en évidence un certain comportement des éléments de l'ensemble ${\mathcal{E}}_{n+1}$${\mathcal{E}}_{n+1}$E_(n+1)\mathscr{E}_{n+1}${\mathcal{E}}_{n+1}$ par rapport aux éléments de l'ensemble ${\mathcal{D}}_n,n⩾0$${\mathcal{D}}_n,n⩾0$D_(n),n >= 0\mathscr{D}_{n}, n \geqslant 0${\mathcal{D}}_n,n⩾0$ et chercher les fonctions qui ne se réduissent pas aux polynomes de $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$-ième degré et qui ont le comportement en discution, par rapport aux éléments de ${\mathcal{Q}}_n$${\mathcal{Q}}_n$Q_(n)\mathscr{Q}_{n}${\mathcal{Q}}_n$; mêttre en évidence une propriété d'intersection avec les éléments de ${\mathcal{P}}_n$${\mathcal{P}}_n$P_(n)\mathscr{P}_{n}${\mathcal{P}}_n$; étudier la décomposition de l'ensemble de définition d'une fonction ayant un comportement donné par rapport aux éléments de ${\mathcal{D}}_n,n⩾1$${\mathcal{D}}_n,n⩾1$D_(n),n >= 1\mathscr{D}_{n}, n \geqslant 1${\mathcal{D}}_n,n⩾1$ fixé, en sous ensembles sur lesquels la fonction considérée a des comportements precisés par rapport aux éléments de ${\mathcal{D}}_{n-k}$${\mathcal{D}}_{n-k}$D_(n-k)\mathscr{D}_{n-k}${\mathcal{D}}_{n-k}$, pout $k$$k$kk$k$ fixé, $1⩽k⩽n-1$$1⩽k⩽n-1$1 <= k <= n-11 \leqslant k \leqslant n-1$1⩽k⩽n-1$.

Chacune de ces trois directions conduit à la découvert de certaines allures. L'ensemble ${\mathcal{W}}_n$${\mathcal{W}}_n$W_(n)\mathscr{W}_{n}${\mathcal{W}}_n$ peut êttre remplaçer par un ensemble interpolatoire plus général.

Dans ce travail nous allons compléter nos résultats plus anciens concernant les diverses propriétés d'allure.
2. Soit $X\subseteq \mathbf{R}$$X\subseteq \mathbf{R}$X subeRX \subseteq \mathbf{R}$X\subseteq \mathbf{R}$. Le nombre entier $n⩾0$$n⩾0$n >= 0n \geqslant 0$n⩾0$ étant fixé, supposons que l'on a card $X⩾n+2$$X⩾n+2$X >= n+2X \geqslant n+2$X⩾n+2$. Considérons une fonction $f:X\to \mathbf{R}$$f:X\to \mathbf{R}$f:X rarrRf: X \rightarrow \mathbf{R}$f:X\to \mathbf{R}$. Les points distincts

où $x_1\in X,i=1,2\dots n+1$$x_1\in X,i=1,2\dots n+1$x_(1)in X,i=1,2dots n+1x_{1} \in X, i=1,2 \ldots n+1$x_1\in X,i=1,2\dots n+1$, étant donnés, on peut construire le polynorme de $n$$n$nn$n$ - keme degré

Si $H\in {\mathcal{Q}}_{n+1}$$H\in {\mathcal{Q}}_{n+1}$H inQ_(n+1)H \in \mathscr{Q}_{n+1}$H\in {\mathcal{Q}}_{n+1}$ et $H\notin {\mathcal{L}}_n$$H\notin {\mathcal{L}}_n$H!inL_(n)H \notin \mathscr{L}_{n}$H\notin {\mathcal{L}}_n$, alors, quels que soient les points $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$, $i=1,2,\dots ,n+2$$i=1,2,\dots ,n+2$i=1,2,dots,n+2i=1,2, \ldots, n+2$i=1,2,\dots ,n+2$, on a ou bien toujours $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H]>0$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H\right]>0$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);H] > 0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; H\right]>0$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H]>0$ ou bien loujours $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H]<0$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H\right]<0$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);H] < 0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; H\right]<0$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};H]<0$. On remarque donc que le comportement introduit par les définitions 1 et 2 (elle sont équivalentes) est une généralisation du comportement des éléments de l'ensemble ${\mathcal{D}}_{n+1}$${\mathcal{D}}_{n+1}$D_(n+1)\mathscr{D}_{n+1}${\mathcal{D}}_{n+1}$ par rapport aux éléments de l'ensemble ${\mathcal{Q}}_n$${\mathcal{Q}}_n$Q_(n)\mathscr{Q}_{n}${\mathcal{Q}}_n$. Cette généralisation est assez naturelle car

où

Ia relation d'égalité (6) peut être le point de départ pour obtenir des nouvelles allures en remplaçant la différence divisée $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};\cdot ]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};\cdot \right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);*]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; \cdot\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};\cdot ]$ par d'autres fonctionnelles qui gardent les propriétés les plus esentielles des différences divisées.
3. Les fonctions $f$$f$ff$f$ pour lesquelles dans (4) on a toujours l'inégalité $>0$$>0$> 0>0$>0$ ou bien toujours $<0$$<0$< 0<0$<0$, ne peuvent prendre les valeurs d'un polynome de degré $n$$n$nn$n$ qu'au plus sur $n$$n$nn$n$ & 1 points distincts de l'ensemble $X$$X$XX$X$. Une fonction $f:X\to$$f:X\to$f:X rarrf: X \rightarrow$f:X\to$ R qui-a cette propriété s'appelle fonction ( $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ ) - valente par rapport à l'ensemble ${\mathcal{D}}_n$${\mathcal{D}}_n$D_(n)\mathscr{D}_{n}${\mathcal{D}}_n$, sur $X$$X$XX$X$. Pour plus de détails voir [4].
4. Considérons maintenant les ensembles:

quels que soient $x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$x_(i)in X,i=1,2,dots,n+2x_{i} \in X, i=1,2, \ldots, n+2$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$ distincts $\}$$\}$}\}$\}$
et

quels que soient $x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$x_(i)in X,i=1,2,dots,n+2x_{i} \in X, i=1,2, \ldots, n+2$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$, distincts $\}$$\}$}\}$\}$.
Dans [1], nous avons considéré les ensembles
est remplie, quels que soient les points

de l'ensemble $X$$X$XX$X$.
definition 1. La fonction $f$$f$ff$f$ s'appelle convexe (nonconcave, polynomiale, nonconvexe respectivement concave) d'ordre $n$$n$nn$n$ sur l'ensemble $X$$X$XX$X$, si l'on a dans (4), $>0(⩾0,=0,⩽0$$>0(⩾0,=0,⩽0$> 0( >= 0,=0, <= 0>0(\geqslant 0,=0, \leqslant 0$>0(⩾0,=0,⩽0$ respectivement $<0)$$<0)$< 0)<0)$<0)$, toujours, quels que soient les points (5) de l'ensemble $X$$X$XX$X$ [4].

La différence divisée $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f]$ étant simétrique par rapport aux points $x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$, on a donnée aussi la
definition 2. La fonction $f$$f$ff$f$ s'appelle convexe (nonconcave, polynomiale, nonconvexe respectivement concave) d'ordre $n$$n$nn$n$, sur $X$$X$XX$X$, si l'on a toujours $[x_1;{}^{\ast }{x}_2,\dots ,x_{n+2};f]>0(⩾0,=0,⩽0$$\left[x_1;{}^{\ast }{x}_2,\dots ,x_{n+2};f\right]>0(⩾0,=0,⩽0$[x_(1);^(**)x_(2),dots,x_(n+2);f] > 0( >= 0,=0, <= 0\left[x_{1} ;{ }^{*} x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]>0(\geqslant 0,=0, \leqslant 0$[x_1;{}^{\ast }{x}_2,\dots ,x_{n+2};f]>0(⩾0,=0,⩽0$ respectivement $<0)$$<0)$< 0)<0)$<0)$, quels que soient les points $x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$ de l'ensemble $X$$X$XX$X$ [4].

qui satisfait les conditions

c'est à dire le polynome d'interpolation de Lagrange, de degré $n$$n$nn$n$, attaché à la fonction $f$$f$ff$f$ et aux nocuds (1). Pour construire le polynome (2) on utilise seulement la restriction de la fonction $f$$f$ff$f$ aux noeuds (1). Désignons cette restriction avec $g$$g$gg$g$. Le polynome (2) est une prolongement de $g$$g$gg$g$ à l'ensemble R. Mais ce prolongement présent d'interêt sur $X$$X$XX$X$ où $f$$f$ff$f$ est définie. En faisant que eomparaison entre $f$$f$ff$f$ et $P$$P$PP$P$, sur les points différents de $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$, $i=1,2,\dots ,n+1$$i=1,2,\dots ,n+1$i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1$i=1,2,\dots ,n+1$, on obtient the information sur le comportement de $f$$f$ff$f$ par rapport aux éléments de l'ensemble ${\mathcal{L}}_u$${\mathcal{L}}_u$L_(u)\mathscr{L}_{u}${\mathcal{L}}_u$. La voie la plus naturelle de comparer $f$$f$ff$f$ avec $P$$P$PP$P$, sur $x_{u+2}\ne x_i,i=1,2,\dots ,n+1,x_{n+2}\in X$$x_{u+2}\ne x_i,i=1,2,\dots ,n+1,x_{n+2}\in X$x_(u+2)!=x_(i),i=1,2,dots,n+1,x_(n+2)in Xx_{u+2} \neq x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1, x_{n+2} \in X$x_{u+2}\ne x_i,i=1,2,\dots ,n+1,x_{n+2}\in X$, est celle d'examiner le signe de la difference $f\left(x_{n+2}\right)-P\left(x_{n+2}\right)$$f\left(x_{n+2}\right)-P\left(x_{n+2}\right)$f(x_(n+2))-P(x_(n+2))f\left(x_{n+2}\right)-P\left(x_{n+2}\right)$f\left(x_{n+2}\right)-P\left(x_{n+2}\right)$. Mais, évidemment, on peut réaliser cette comparaison aussi d'autre menière [2]. Si nous nous arrettons à l'investigation du signe de la différence $f\left(x_{n+2}\right)$$f\left(x_{n+2}\right)$f(x_(n+2))f\left(x_{n+2}\right)$f\left(x_{n+2}\right)$ -- $P(x{)}_{n+2}$$P(x{)}_{n+2}$P(x)_(n+2)P(x)_{n+2}$P(x{)}_{n+2}$, allors nous sommes conduits à utiliser la formule

où par $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1},x_{n+2};f]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1},x_{n+2};f\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1),x_(n+2);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}, x_{n+2} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1},x_{n+2};f]$ on a désigné la différence divisée de la fonction $f$$f$ff$f$ sur les points $x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1},x_{n+2}$$x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1},x_{n+2}$x_(1),x_(2),cdots,x_(n+1),x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}, x_{n+2}$x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1},x_{n+2}$. Si l'on a $x_1<x_2<\dots <x_{n+1}<x_{n+2}$$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}<x_{n+2}$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1) < x_(n+2)x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n+1}<x_{n+2}$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}<x_{n+2}$, alors, dans la fornule (3), le signe du premier menibre est égal au signe de lé différence divisée du deuxième membre. Compte tennant de cette situation, on a consideré [4] les fonctions $f$$f$ff$f$ pour lesquelles l'une et toujours la même des cinque conditions

s que soient $x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$x_(i)in X,i=1,2,dots,n+2x_{i} \in X, i=1,2, \ldots, n+2$x_i\in X,i=1,2,\dots ,n+2$ distincts $\}$$\}$}\}$\}$

et
$S({\mathcal{Q}}_n;\begin{array}{cccc}{x}_1,& x_2,& \dots ,& x_n\\ f\left(x_1\right),& f\left(x_2\right),& \dots ,& f\left(x_n\right)\end{array})=$$S\left({\mathcal{Q}}_n;\begin{array}{cccc}{x}_1,& x_2,& \dots ,& x_n\\ f\left(x_1\right),& f\left(x_2\right),& \dots ,& f\left(x_n\right)\end{array}\right)=$S(Q_(n);[x_(1)",",x_(2)",",dots",",x_(n)],[f(x_(1))",",f(x_(2))",",dots",",f(x_(n))])=S\left(\mathscr{Q}_{n} ; \begin{array}{cccc}x_{1}, & x_{2}, & \ldots, & x_{n} \\ f\left(x_{1}\right), & f\left(x_{2}\right), & \ldots, & f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)=$S({\mathcal{Q}}_n;\begin{array}{cccc}{x}_1,& x_2,& \dots ,& x_n\\ f\left(x_1\right),& f\left(x_2\right),& \dots ,& f\left(x_n\right)\end{array})=$

L'ensemble (10) s'appelle épi interpolatoire d'ordre 1 , de l'ensemble ${\mathcal{Q}}_u$${\mathcal{Q}}_u$Q_(u)\mathscr{Q}_{u}${\mathcal{Q}}_u$, construit pour la fonction $f$$f$ff$f$, sur les points $x_1<x_2<\dots <x_n$$x_1<x_2<\dots <x_n$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$x_1<x_2<\dots <x_n$.
thếOrèMe 1. Si $x_0>x_n$$x_0>x_n$x_(0) > x_(n)x_{0}>x_{n}$x_0>x_n$ et $P_1,P_2$$P_1,P_2$P_(1),P_(2)P_{1}, P_{2}$P_1,P_2$ sont deux éléments de l'ensemble (10) et $P_1\left(x_0\right)<P_2\left(x_0\right)$$P_1\left(x_0\right)<P_2\left(x_0\right)$P_(1)(x_(0)) < P_(2)(x_(0))P_{1}\left(x_{0}\right)<P_{2}\left(x_{0}\right)$P_1\left(x_0\right)<P_2\left(x_0\right)$ alors

Nous avons donné cette propriété dans [1]. Eille est une propriété de monotonie, par épis, des différences divisées. Si l'on suppose que card $X⩾n+3$$X⩾n+3$X >= n+3X \geqslant n+3$X⩾n+3$, alors on peut considérer les points

de l'ensemble $X$$X$XX$X$. Pour la fonction $f$$f$ff$f$ on peut construire les polynomes

et

Le théorème 1 nous permet de démontrer le
théorème 2. Si

alors

et

Comme nous l'avons remarqué dans [2], l'inégalité (14) résulte directement de la définition 1 et de la propriété de monotonie, au sens de la quelle les inégalités (11) impliquent l'inégalité (15).

On a aussi le
théorème 3. Si

alors

et

Les théorèmes 2 et 3 nous montrent que les propriétés de convexité et de concavité d'ordre $n$$n$nn$n$ d'une fonction $f$$f$ff$f$ sur un ensemble $X$$X$XX$X$ reviennent à des propriétés de monotonie de certaines différences divisées.

Les différences divisées qui ont intervennu dans (15) et dans (17) peuvent êttre exprimées avec les différences divisées de la fonction $f$$f$ff$f$. En effet

et

Il en résulte qu'au lieu de (15) on peut écrire

et au lieu de (17) on peut écrir

Ainsi, la convexité et la concavité d'ordre $n$$n$nn$n$ sur $X$$X$XX$X$ de la fonction $f$$f$ff$f$ reviennent à une certaine propriété de monotonie des différences divisées de la fonction $f$$f$ff$f$ : l'hypothèse $f\in {\mathcal{C}}_n,X,+$$f\in {\mathcal{C}}_n,X,+$f inC_(n),X,+f \in \mathscr{C}_{n}, X,+$f\in {\mathcal{C}}_n,X,+$ ) étant satisfaite, (11) implique (20) et l'hypothèse $f\in \mathcal{C}({\mathcal{L}}_n,X,-)$$f\in \mathcal{C}\left({\mathcal{L}}_n,X,-\right)$f inC(L_(n),X,-)f \in \mathcal{C}\left(\mathscr{L}_{n}, X,-\right)$f\in \mathcal{C}({\mathcal{L}}_n,X,-)$ étant satisfaite, (11) implique (21).

On peut obtenir ce résultat aussi en faisant intervenir la formule de récurrence des différences divisées. Mais c'est une voie qui ne peut pas êttre étendue au cas dans lequel au lieu de ${\mathcal{Q}}_n$${\mathcal{Q}}_n$Q_(n)\mathscr{Q}_{n}${\mathcal{Q}}_n$ on considère un ensemble interpolatoire $F$$F$FF$F$ qui n'est pas linéaire.
5. Pour la fonction $f:X\to \mathbf{R}$$f:X\to \mathbf{R}$f:X rarrRf: X \rightarrow \mathbf{R}$f:X\to \mathbf{R}$, où $X\subseteq \mathbf{R}$$X\subseteq \mathbf{R}$X subeRX \subseteq \mathbf{R}$X\subseteq \mathbf{R}$ et card $X\geqq n+3$$X\geqq n+3$X >= n+3X \geqq n+3$X\geqq n+3$, on peut maintenant examiner dans l'hypothèse (11) le comportement des trois différences divisées

definition 3. La fonction $f:X\to \mathbf{R}$$f:X\to \mathbf{R}$f:X rarrRf: X \rightarrow \mathbf{R}$f:X\to \mathbf{R}$ s'appelle quasi-convexe (respectivement strictement quasi-convexe) d'ordre $n$$n$nn$n$ sur l'ensemble $X$$X$XX$X$ si l'on a

(respectivement