Absolute projektionskostanten endlichdimensionaler teilräume von Ck(I)

Absolute projection costants of finite-dimensional subspaces of $C^k(I)$

Abstract

In German.

Mit $C^k(I)$ bezeichnen wir den Vektorraum der auf dem Intervall $I=[a,b]$ $k$-mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen versehen mit der Norm der gleichmäß igen Konvergenz in Funktions- und Ableitungswerten. In der vorliegenden Arbeit wird aufgezeigt, daß die absolute Projektionskonstante eines endlichdimensionalen Teilraumes $X$ von $C^k(I)$ übereinstimmt mit der relativen Projektionskonstanten von $X$ in $C^k(I)$, falls auf $C^k(I)$ die Norm $\Vert \cdot {\Vert }_k^c$ verwendet wird. Es wird ferner nachgewiesen, daß dieses Ergebnis nicht mehr gültig ist, falls man auf $C^k(I)$ zu anderen äquivalenten Normen übergeht. In diesem Fall erhalten wir jedoch Abschätzungen für die absoluten Projektionskonstanten.

In English.

By $C^k(I)$ we denote the vector space of the real-valued functions on the interval $I=[a,b]$ $k$-times continuously differentiable provided with the norm of uniform convergence in function and derivative values. In the present work it is shown that the absolute projection constant of a finite-dimensional subspace $X$ of $C^k(I)$ matches the relative projection constant from (X) to (C^{k}left(Iright)) if (C^{k}left( Iright)) uses the norm $\Vert \cdot {\Vert }_k^c$. It is also shown that this result is no longer valid if one switches to $C^k(I)$ to other equivalent norms. In this case, however, we get estimates for the absolute projection constants.