SUR UNE GÉNERALISATION DES FONCTIONS CONVEXES

par
ELENA MOLDOVAN
à Cluj

Ce travail est divisé en 4 §§. Dans le $\S 1$ nous donnons quelques propriétés des ensembles de fonctions interpolatoires. Les §§ 2 et 3 contiennent la définition et une introduction dans l’étude des fonctions convexes par rapport à un ensemble de fonctions interpolatoires. Dans le § 4, comme application, nous donnons un théorème de la moyenne pour les fonctionnelles continues, définies sur l’ensemble des fonctions continues sur un intervalle (fini et fermé) donné. La démonstration de ce théorème est basée sur les propriétés des fonctions convexes au sens de la définition du § 2.

Ce travail est lié à l’idée de l’étude de la relation d’un ensemble de fonctions avec un de ses sous-ensembles. Telle par ex. la relation des fonctions définies sur un intervalle donné, par rapport à l’ensemble des polynomes d’un degré donné, ou bien la relation des fonctions continues et dérivables un nombre suffisant de fois, par rapport aux intégrales d’une équation différentielle donnée.

Dans ce travail nous cherchons à éviter la rectriction de la linéarité des ensembles des fonctions qui interviennent. Nous souslignons ce fait, puisque les possibilités actuelles de calculs à l’aide des machines éléctroniques rapides, font que l’aspect non linéaire de certaines théories mathématiques commence a ne plus être un obstacle devant leurres applications pratiques.

Dans ce travail nous avons laissé de côté l’étude des propriétés différentielles des fonctions convexes par rapport à un ensemble interpolatoire. Sur ces questions nous reviendrons dans un autre travail.

Quelques propriétés des ensembles de fonctions interpolatoires

1.
- —
  
  Définition 1. - L’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , formé par des fonctions réelle. et d’une variable réelle, est dit un ensemble interpolatoire d’ordre $n$ sur l’en. semble linéaire $E$ , ou simplement un ensemble du type $I_{n}\{E\}$ si :
  (A). Les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ sont continues sur $E$ .
  (B). Quels que soient les $n$ points distincts de $E$ ,
  (1)

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}

et quels que soient les $n$ nombres

y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}

(2)

il existe une fonction et une seule $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n}$ telle que l’on ait

\varphi\left(x_{i}\right)=y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n.

(3)

La fonction $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n}$ qui vérifie les conditions (3) sera désignée par $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\mid x\right)$ et aussi par $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ , lorsque $f(x)$ est une fonction qui prend les valeurs (2) aux points correspondants (1).

Si, en particulier, l’ensemble $E$ se réduit à l’intervalle fermé $[a,b$ . resp. à l’intervalle ouvert ( $a,b$ ), pour $I_{n}\{E\}$ , nous employerons aussi $h$ notation $I_{n}[a,b]$ resp. $I_{n}(a,b)$ . Nous employons des notations analogue dans le cas des intervalles semi-ouverts $(a,b],[a,b)$ . L’ensemble $p_{n}$ des polynomes du degré $n-1$ est un ensemble du type $I_{n}(-\infty,\infty)$ et l’ensemble $T_{2n+1}$ des polynomes trigonométriques d’ordre $n$ est du type $I_{2n+1}[a,b$ . si $b-a<2\pi$ . En général, l’ensemble des intégrales d’une équation différentielle linéaire et homogène d’ordre $n$ à coefficients continues sur un intervalle donné (le coefficient de $y^{(n)}$ étant égal à 1) est interpolatoir d’ordre $n$ sur tout sous-intervalle suffisamment petit [13].

Dans les exemples précédents, l’ensemble $f_{n}$ est linéaire*) Il existe aussi des ensembles interpolatoire non linéaires. Un exemple simple d’un tel ensemble est l’ensemble ’ $D_{n}(A)$ des polynomes $Ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n}$ où $A$ est fixe et les autres coefficients sont variables. Cet ensemble est dt type $I_{n}(-\infty,\infty)$ et n’est pas linéaire si $A\neq 0$ .

Les ensembles du type $I_{n}[a,b]$ ont été introduits par L. TORNHEN [14] sous la dénomination d’ensembles à $n$ paramètres et par m. I. MOROZOI [6] sous la dénomination de classes de fonctions d’approximation.

Dans ce travail nous utiliserons les théorèmes de moyenne relatifs aus ensembles du type $I_{n}[a,b]$ et que nous avons déjà considérés dans d’autrè travaux [3,4]
2. Lemme 1. - $\mathscr{F}_{n}$ étant un ensemble du type $I_{n}[a,b],n>1$ , s $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)\in F_{n}$ sont distincts mais coincident en $n-1$ points distincts

⁰⁰footnotetext: *). Donc, avec deux de ses éléments

f_{1},f_{2}

contient toute combinaison linéaire

af_{1}+f^{i-}

. de ces éléments,

\alpha,\beta

étant des nombres réels quelconques.

$x_{2},\ldots,x_{n-1}$ , la différence $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ change de signe en passant par tout point $x_{i}\in(a,b)$ .

Nous avons donné ailleurs la démonstration [3].

théoreme 1. - Considérons les suites convergentes de nombres $\left\{x_{j}^{(i)}\right\}_{i=1}^{\infty},j=1,2,\ldots,n$ où $x_{j}^{(i)}\in[a,b],j=1,2,\ldots,n,i=1,2,\ldots,x_{l}^{(i)}\neq x_{k}^{(i)}$ si $l\neq k$ et dont les limites respectives $x_{j},j=1,2,\ldots,n$ sont supposées être distinctes. Considérons également les suites convergentes de nombres $\left\{y_{j}^{(i)}\right\}_{i=1}^{\infty}$ , $j=1,2,\ldots,n$ ayant respectivement pour limites les nombres $y_{j},j=1,2,\ldots,n$ .

Dans ces conditions la suite
$\left\{L\left(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},\ldots,x_{n}^{(t)};y_{1}^{(i)},y_{2}^{(i)},\ldots y_{n}^{(i)}\mid x\right)\right\}_{i=1}^{\infty}$ dont les termes appartiennent à l’ensemble $\mathcal{F}_{n}$ du type $I_{n}[a,b]$ , converge uniformément sur $[a,b]$ vers la jonction $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\mid x\right)\in\mathscr{F}_{n}$ .

C’est le théorème de l. Tornheim [14]. Nous le retrouvons aussi chez m. I. MOROZOV [6].
3. - Définition 2. - La fonction $f(x)$ définie sur l’intervalle $[a,b]$ est dite n-valente par rapport à l’ensemble $f_{n}$ du type $I_{n}[a,b]$ si, quelle que soit la fonction $\varphi(x)\in\mathcal{F}_{n}$ , la différence $f(x)-\varphi(x)$ s’annule, sur l’intervalle $[a,b]$ , sur au plus $n$ points.

Cette notion de fonction $n$ -valente a été introduite, dans le cas particulier $\mathcal{F}_{n}=\mathcal{P}_{n}$ , part. popoviciu [12]. Dans ce cas pour $n=1$ , on retrouve la notion classique d’univalence.
theoreme 2. – Si $f(x)$ est continue sur l’intervalle $[a,b]$ et est $n$ -valente par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ du type $I_{n}[a,b]$ et si les points $x_{i}\in[a,b]$ , $i=1,2,\ldots,n$ sont distincts, la différence $f(x)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ change de signe en passant par tout point $x_{i}\in(a,b)$ .

Pour démontrer ce théorème, supposons que

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}

(4)

et soit $n\geqq 2$ . Supposons que la différence $f(x)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ garde le même signe sur les intervalles ( $x_{k-1},x_{k}$ ), ( $x_{k},x_{k+1}$ ), où $x_{k}\in(a,b)$ et où on a posé $x_{0}=a,x_{n+1}=b$ . Pour fixer les idées supposons que la différence en question soit $>0$ pour $x\in\left(x_{k-1},x_{k}\right)\cup\left(x_{k},x_{k+1}\right)$ . Les éléments de $f_{n}$ qui coincident avec $f(x)$ sur les $n-1$ points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}$ forment un ensemble du type $I_{1}\left(x_{k-1},x_{k+1}\right)$ . Si la suite de nombres $\left\{\eta_{i}\right\}_{i=0}^{\infty}$ à termes positifs tend vers zéro, en vertu du théorème 1, la suite de fonctions

	$\displaystyle\left\{L\left(x_{1},x_{2},\ldots,\mathrm{x}_{n};f_{1},f_{2},\ldots,f_{k-1},\eta_{i}+f_{k},f_{k+1},\ldots,f_{n}\mid x\right)\right\}_{i=1}^{\infty}$		(5)
	$\displaystyle f_{i}=f\left(x_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots,n$

tend uniformément vers $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ sur tout intervalle fermé appartenant à $\left(x_{k-1},x_{k+1}\right)$ . A partir d’un certain rang les termes de la suite (5) coincident avec la fonction $f(x)$ sur au moins deux points distincts de ( $x_{k-1},x_{k+1}$ ). C’est en contradiction avec l’hypothèse que la fonction $f(x)$ est $n$ -valente par rapport à $\mathscr{f}_{n}$ . Le théorème est donc démontré pour $n\geqq 2$ . Si $n=1$ la démonstration est analogue, en prenant la suite $\left\{L\left(x_{1};\eta_{i}+f_{1}\mid x\right)\right\}_{i=1}^{\infty}$ au lieu de (5).

On procède de la même manière si la différence $f(x)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n;1}\|_{x}\right.$ reste négative sur $\left(x_{k-1},x_{k}\right)\cup\left(x_{k},x_{k+1}\right)$ .

Au § 2 nous donnerons aussi d’autres propriétés des fonctions $n_{\text{va }}$ lentes par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ .
4. - $F_{n}$ étant toujours un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ , considéron un système de $n+1$ points distincts de l’intervalle $[a,b]$ ,
(6)

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<x_{n+1}

et $n+1$ nombres quelconques
(7)

y_{1},y_{2},\ldots,y_{n},y_{n+1}

Définition 3. - L’ensemble des $n+1$ fonctions

	$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y_{1},y_{2},\ldots,y_{i-1},y_{t+1},\ldots,y_{n+1}\mid x\right.$		(8)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,n+1$

est dit un système interpolatoire sur les points (6) et par rapport aux nombre (7).

Pour les fonctions (8) nous utiliserons aussi la notation

L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right)

S’il existe un élément de $\mathscr{F}_{n}$ qui sur les points (6) prend les valeurs (i correspondantes, le système (8) est formé par une seule fonction. Dans 1 t cas contraire le système ( 8 ) est formé par $n+1$ fonctions distinctes. Dan : ce cas, deux quelconques des fonctions (8) coincident sur $n-1$ points de 1 suite (6). En vertu du lemme 1, la différence

	$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right)-$
	$\displaystyle-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right),\quad i\neq k$

change de signe en passant par les $n-1$ points où elle s’annule. Lorsqué $y_{n+1}>L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x_{n+1}\right)$ nous avons donc

y_{i}>\text{ resp. }<L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x_{i}\right)

(9)

suivant que $i+n+1$ est pair resp.impair. Lorsque $y_{n+1}<L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x_{n+1}\right.$ les inégalités (9) ont lieu suivant que $i+n+1$ est impair resp. pair.

Les fonctions (8) ont des importantes propriétés qui résultent de la définition 1 et du lemme 1. Plus loin nous donnerons quelques’unes de ce propriétés.
5. - Lemme 2. - Si $x_{n+1}<x_{0}\in[a,b]$ , nous avons
suivant que

	$\displaystyle\geqq L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+1};y\mid x_{0}\right)\leqq\text{ resp. }\geqq$		(10)
	que

L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x_{n+1}\right)\geqq\text{ resp. }\leqq y_{n+1}

(11)

Pour la démonstration remarquons d’abord que si dans (11) nous avons l’égalité, l’ensemble (8) est composé par une seule fonction et le lemme 2 en résulte. Dans le cas contraire, en tenant compte du fait que deux des fonctions (8) coincident en $n-1$ points (6), du lemme 1 il résulte que (12) $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x_{i}\right)>$ resp. $<y_{i},\quad i=2,3,\ldots,n$ suivant que $i+n+1$ est pair resp. impair ou suivant que $i+n+1$ est impair resp. pair si nous avons la première resp. la seconde inégalité (11). Dans le premier cas, pour $x_{n}<x<x_{n+1}$ , nous avons

		$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right)<$
		$\displaystyle<L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right),\quad i=3,\ldots,n$

et done, pour $x>x_{n+1}$ nous aurons

		$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right)>$
		$\displaystyle>L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};y\mid x\right),\quad i=3,\ldots,n$

Dans le second cas nous avons pour $x_{n}<x<x_{n+1}$ et $x>x_{n+1}$ respectivement les inégalités contraires.

Lemme 3. - Si $x_{n+1}<x_{0}\in[a,b]$ , nous avons

	$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x_{0}\right)\geqq\text{ resp. }\leqq$		(13)
	$\displaystyle\leqq L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};y\mid x_{0}\right),i=2,3,\ldots,n.$

suivant que nous avons (11).
La démonstration de ce lemme est analogue à celle du lemme 2 .
Les inégalités signalées par les lemmes 2,3 donnent des indications sur les fonctions (8), qui ont un rôle dans l’étude des ensembles du type $I_{n}[a,b]$ .
6. - Considérons les $m(\geqq n+1)$ points

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}

(14)

et les nombres

y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}

(15)

Sur tout groupe de $n$ points distincts $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n}}$ extraits de la suite (14) on peut construire la fonction $L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x\right)$ qui appartient à $\mathscr{F}_{n}$ , du type $I_{n}[a,b]$ . Nous supposons toujours que $1\leqq i_{1}<i_{2}<<\ldots<i_{n}\leqq m$ et $x_{m}<b$ . Nous avons alors le
théoreme 3. - Si $x_{i_{n}}<x_{0}\leqq b$ , le nombre

L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x_{0}\right)

(16)

est compris entre le plus petit et le plus grand des nombres

L\left(x_{j}x_{j+1},\ldots,x_{j+n-1};y\mid x_{0}\right),j=i_{1},i_{1}+1,\ldots,i_{n}-n+1

(17)

On peut dire que la valeur de la fonction $L\left(x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x\right)_{\text{su }}$ le point $x_{0}$ est une moyenne des valeurs sur $x_{0}$ des fonctions $L\left(x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n-1};y\mid x\right),j=i_{1},i_{1}+1,\ldots,i_{n}-n+1$ , construite sur des groupes de $m$ points consécutifs de la suite (14). Nous avons done

	$\displaystyle\min_{j=i_{1},i_{1}\div 1,\ldots,i_{n}-n\div 1}L\left(x_{j},x_{j\div 1},\ldots,x_{j\div\pi-1};y\mid x_{0}\right)\leqq$		(18)
	$\displaystyle\leqq L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x_{0}\right)\leqq$

\leqq\max_{j=i_{1},i_{1}\div 1,\ldots,i_{n}-n\div 1}L\left(x_{j},x_{j\div 1},\ldots,x_{j\div n-1};y\mid x_{0}\right),\quad\left(x_{i_{n}}<x_{0}\leqq b\right)

Les égalités ont lieu si et seulement si les nombres (17) sont tous égaux
La démonstation du théoréme 3 est basée sur les lemmes 2, 3. Ce deux lemmes constituent, en réalité, le cas particulier $1=i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n}==n+1$ du théorème. Nous procédons par induction complète sur le nombre $i_{n}-i_{1}$ des points de la suite (14) compris entre $x_{i_{1}}$ it $x_{i_{n}}$ Nous avons $i_{n}-i_{1}\geqq n-1$ . Si $i_{n}-i_{1}=n-1$ , les points $x_{i_{j}}$ sont consécutifs et la propriété est évidemment vraie, avec le signe $=$ dans (18). Si $i_{n}-i_{1}=n$ , il existe un indice $k$ , tel que $i_{k}<i_{k}+1<i_{k+1}$ et le point $x_{i_{k+1}}$ est compris entre $x_{i_{k}}$ et $x_{i_{k+1}}$ . Considérons les points

x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{k}},x_{i_{k}+1},x_{i_{k+1}},\ldots,x_{i_{n}}

(19)

Si $x_{i_{n}}<x_{0}<b$ les 1 mmes 2,3 nous montrent que
lorque

	$\displaystyle L\left(x_{i_{2}},x_{i_{3}},\ldots,x_{i_{k}},x_{i_{k}+1},x_{i_{k+1}},\ldots,x_{i_{n}};y\left(x_{0}\right)<\right.$	(20)
	$\displaystyle<L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{k}},x_{i_{k+1}},\ldots,x_{i_{n}};y\left(x_{0}\right)<\right.$
$\displaystyle<$	$\displaystyle L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{k}},x_{i_{k+1}},x_{i_{k+1}},\ldots,x_{i_{n-1}};yx_{0}\right)$

(21)

L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{k}},x_{i_{k}+1},x_{i_{k+1}},\ldots,x_{i_{n-1}};y\mid x_{i_{n}}\right)>y_{i_{n}}

Si au lieu de (21) nous avons l’inégalité contraire, dans (20) il faut aussi prendre partout les inégalités contraires. Le signe $=$ a lieu simultanément dans (20), (21). Il en résulte que le théorème 3 est vraie pour $i_{n}-i_{1}=n$ .

Supposons maintenant que la propriété ait lieu pour $i_{2}-i_{1}\leqq v,v\geqq n$ et démontrons qu’elle reste vraie aussi pour $i_{n}-i_{1}=v+1$ . Si $i_{n}-i_{1}=v+1$ , il existe un indice $p$ , pour lequel $i_{p+1}-i_{p}>1$ . Considérons les points (22)

x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{p}},x_{i_{p}+1},x_{i_{p+1}},\ldots,x_{i_{n}}.

En appliquant à ces points le même raisonnement que nous avons fait

	$\displaystyle\min_{j=1,2}L\left(x_{i_{j}},x_{i_{j+1}},\ldots,x_{i_{p}},x_{i_{p+1}},x_{i_{p+1}},\ldots,x_{i_{j+n-2}};y\mid x_{0}\right)\leqq$		(23)
	$\displaystyle\quad\leqq L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{p}},x_{i_{p+1}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x_{0}\right)\leqq$
	$\displaystyle\leqq\max_{j=1,2}L\left(x_{i_{j}},x_{i_{j+1}},\ldots,x_{i_{p}},x_{i_{p+1}},x_{i_{p+1}},\ldots,x_{i_{j+n-2}};y\mid x_{0}\right)$

Posons
est une valeur moyenne des nombres

L\left(x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n-1};y\mid x_{0}\right),j=i_{1},i_{1}+1,\ldots,i_{n-1}-n+1

(24)

et $L\left(x_{i_{3}},x_{i_{3}},\ldots,x_{i_{p}},x_{i_{p+1}},x_{i_{p+1}},\ldots,x_{i_{n}};y\mid x_{0}\right)$ une valeur moyenne des nombres

L\left(x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n-1};y\mid x_{0}\right),j=i_{2},i_{2}+1,\ldots,i_{n}-n+1

(25)

De (23) il résulte donc (17) et le théorème 3 est démontré.
7. - Considérons les points (6) et la fonction $f(x)$ définie sur ces points.

		$\displaystyle D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i};f\right]=$		(26)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle f\left(x_{i}\right)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f\mid x_{i}\right)$		(6))

Pour chaque valeur de $i=1,2,\ldots,n+1$ (26) est une fonctionnelle définie sur les fonctions $f=f(x)$ définies sur les points (6). Nous avons le
théoreme 4. - Si les points (6) restent fixes et si la suite $\left\{f_{k}(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ , des fonctions $l_{k}(x)$ , définies sur l’intevalle $[a,b]$ converge sur $[a,b]$ vers la fonction limite $/(x)$ , alors pour chaque $i$ , nous avons

	$\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i};f_{k}\right]=$		(27)
	$\displaystyle\quad=D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i};f\right]$

La démonstration résulte du théorème 1. En effet, sous les hypothèses du théorème 4, la suite de fonctions
$\left\{L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f_{k}\mid x\right)\right\}_{k=1}^{\infty}$ , converge uniformément, sur $[a,b]$ , vers la fonction $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)$ . Il en résulte que la suite de nombres
$\left\{L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f_{k}\mid x_{0}\right)\right\}_{k=1}^{\infty}$ tend, pour $k\rightarrow\infty$ , vers le nombre $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f\mid x_{0}\right)$ . De $f_{k}\left(x_{i}\right)\rightarrow f\left(x_{i}\right)$ , pour $k\rightarrow\infty$ , il résulte la relation (27).

Si nous fixons la fonction $f(x)$ et si nous varions d’une façon continue, les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ , de manière qu’ils restent distincts, pour chaque $i,D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i};f\right]$ devient une fonction $\Phi_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i}\right)$ de $n+1$ variables. Nous avons le
théoreme 5. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ , les fonctions $\Phi_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1},x_{i}\right)i=1,2,\ldots,n+1$ sont continues sur tout point où elles ont été définies.

La démonstration résulte facilement du théorème 1. Il est inutile de la reproduire ici.
théoreme 6. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et si pour deux groupes de $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1},x_{1}^{\prime}<<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+1}^{\prime}de[a,b]$ nous avons
$D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};t\right]=A,D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime},x_{n+1}^{\prime};t\right]\approx B$ où $A\neq B$ , quel que soit le nombre $C$ compris entre $A,B$ (au sens strict), i] existe, dan’s le plus petit intervalle contenant les points $x_{i},x_{i}^{\prime},i=1,2$ , , $n+1$ , un système de $n+1$ points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n+1}$ tel que l’on ail $D\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n},\xi_{n+1};f\right]=C$ .

Pour démontrer*) le théorème posons $t_{t}(\lambda)=\lambda x_{i}+(1-\lambda)x_{i}^{\prime}i=1,2,\ldots,n+1,\lambda$ étant un nombre réel, $0\leqq\lambda\leqq 1$ . En vertu du théorème $5,\psi(\lambda)=D\left[t_{1}(\lambda),t_{2}(\lambda),\ldots,t_{n}(\lambda),t_{n+1}(\lambda);f\right]$ est une fonction continue de $i$ . sur l’intervalle $[0,1]$ . Nous avons $\psi(0)=A,\psi(1)=B$ et en vertu d’une propriété bien connue, il existe un $\lambda_{0}\in(0,1)$ , tel que $\psi\left(\lambda_{0}\right)=C$ . Les points $\xi_{i}=t_{i}\left(\lambda_{0}\right),i=1,2,\ldots,n+1$ vérifient la conclusion du théorème 6 .
théoreme $6^{\prime}$ .- Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et si sur les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1},x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+1}^{\prime}$ de $[a,b]$ nous avons $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]<0,D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime},x_{n+1}^{\prime};f\right]>0$ , il existe, dans le plus petit intervalle qui contient les points $x_{i},x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n+1$ , un système de $n+1$ points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n+1}$ tels que l’on ait

D\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n},\xi_{n+1};f\right]=0

C’est un cas particulier du théorème 6. Nous l’avons donné puisqu’il interviendra sous cette forme dans la suite.
théoreme 7. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et si pour les $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<x_{n+1}$ de $[a,b]$ nous avons $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};t\right]=0$ , il existe un point $\bar{\zeta}\in\left(x_{1},x_{n+1}\right)$ qui jouit de la propriété que dans chacune de ses voisinage on peut trouver $n+1$ points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n}<\xi_{n+1}$ tel que l’on ait $D\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n},\xi_{n+1};t\right]=0$ .

La démonstration est fondée sur les lemmes suivants
Lemme 4. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et si :
$1^{\circ}.\varphi(x)\in F_{n}$ et la différence $f(x)-\varphi(x)$ s’annule sur les points $x_{1}<<x_{2}<\ldots<x_{n+1}de[a,b]$ .
$2^{\circ}.f(x)-\varphi(x)$ ne s’annule pas sur les intervalles $\left(x_{i},x_{i+1}\right)i=1,2,\ldots,n$ .
$3^{\circ}.f(x)-\varphi(x)$ ne change pas de signe en $k$ des points $x_{i},i=2,3,\ldots,n$ , $1\leqq k\leqq n-1(n\geqq 2)$ ,
il existe alors un $\varphi_{1}(x)\in F_{n}$ tel que la différence $f(x)-\varphi_{1}(x)$ s’annule sur $n+k+1$ points de $\left[x_{1},x_{n+1}\right]$ en changeant de signe sur $n+k$ de ces points situés à l’intérieur de cet intervalle.
$f_{n}$ est toujours un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ .
Pour la démonstration du lemme supposons d’abord que $k=n-1$ . Le sous-ensemble de $\mathscr{F}_{n}$ dont les éléments prend la valeur $f\left(x_{1}\right)$ au point $x_{1}$ , est un ensemble du type $I_{n-1}\left(x_{1},b\right]$ . Supposons que $\varphi(x)-f(x)\geqq 0$ pour $x\in\left(x_{1},x_{n+1}\right)$ . Alors si $\varepsilon>0$ est suffisamment petit, la différence $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)-\varepsilon,\ldots,f\left(x_{n}\right)-\varepsilon(x)-f(x)\right.$ s’annule, en changeant de signe en au moins $2k+1=2n-1$ points de ( $x_{1},x_{n+1}$ ). On procède de la même manière si $\varphi(x)-f(x)\leqq 0$ .

⁰⁰footnotetext: *). La démonstration est analogue à celle donnée dans théorème de moyenne du page 8.

Si $k=n-j$ où $2\leqq j\leqq n-1$ , soit $x_{i_{1}}<x_{i_{2}}<\ldots<x_{i_{n-1-k}}$ ceux des points $x_{i},i=2,3,\ldots,n$ sur lesquels $f(x)-\varphi(x)$ s’annule en changeant de signe. Les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ qui prendent les mêmes valeurs que $f(x)$ sur les points $x_{1},x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n-1-k}}$ forment un ensemble du type $I_{k}\{M\}$ où $\mathcal{M}$ est la réunion des intervalles $\left[x_{1}+\eta,x_{i_{1}}-\eta\right],\left[x_{i_{1}}+\eta,x_{i_{2}}-\eta\right],\ldots$ , $\left[x_{i_{n-2-k}}+\eta,x_{i_{n-1-k}}-\eta\right],\left[x_{i_{n-1-k}}+\eta,b\right]$ où $\eta>0$ est assez petit. Soient $x_{1}^{*},x_{2}^{*},\ldots,x_{k}^{*}$ ceux des points $x_{i},i=2,3,\ldots,n$ où $f(x)-\varphi(x)$ s’annule sans changer de singne. Considérons la différence

	$\displaystyle L\left(x_{1},x_{i_{1}},x_{i_{2}}\ldots,x_{i_{n-1-k}},x_{1}^{},x_{2}^{},\ldots,x_{k}^{*};f_{1},f_{i_{1}},\ldots,f_{i_{n-1-k}},y_{1}\right.$		(28)
	$\displaystyle,y_{2},\ldots,y_{k}(x)-f(x),\left(f_{i}=f\left(x_{i}\right)\right)$

où

y_{i}=\left\{\begin{array}[]{l}f\left(x_{i}^{*}\right)+\varepsilon\operatorname{si}f(x)-\varphi(x)\geqq 0\text{ au voisinage de }x_{i}^{*}\\ f\left(x_{i}^{*}\right)-\varepsilon\operatorname{si}f(x)-\varphi(x)\leqq 0\text{ au voisinage de }x_{i}^{*}\end{array}\right.

Si $s>0$ est assez petit, la différence (28) s’annule en changeant de signe sur au moins $n+k$ points de l’intervalle ( $x_{1},x_{n+1}$ ) Le lemme 4 est démontré. La démonstration utilise le théorème 1 et le lemme 1 .

Lemme 5 . - Si la fonction $f(x)$ est continue sur l’intervalle $[a,b]$ et si pour les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ , nous avons $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=0$ , il existe, dans l’intervalle ouvert ( $x_{1},x_{n+1}$ ), $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ , tel que $D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime},x_{n+1}^{\prime};j\right]=0$ .

Pour la démonstration nous distinguons deux cas :
$(\alpha)$ . La différence $f(x)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ ne change pas de signe sur les intervalles $\left(x_{i},x_{i+1}\right),i=1,2,\ldots,n$ .
( $\beta$ ). La différence $f(x)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ change de signe sur $m$ point de ( $x_{1},x_{n+1}$ ) différents des points $x_{i},i=1,2,\ldots,n$

Dans le cas $(\alpha)$ nous avons $\varphi\left(x_{1}\right)=f\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n+1$ si $\varphi(x)==L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ . Si la différence $\varphi(x)-f(x)$ change de signe sur les points $x_{i},i=2,3,\ldots,n$ , nous considérons la fonction interpolatoire $\varphi_{1}(x)$ qui sur les points $x_{i}^{\prime}=1/2\left(x_{i}+x_{i+1}\right),i=1,2,\ldots,n$ prend les valeurs de la fonction $f(x)$ . Les nombres $f\left(x_{i}^{\prime}\right)-\varphi\left(x_{i}^{\prime}\right),i=1,2,\ldots,n$ sont alternativement positifs et négatifs et il en résulte que la différence $\varphi(x)-\varphi_{1}(x)$ s’annule $n-1$ fois, notamment sur un point au moins de chacun des intervalles $\left(x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime}\right),i=1,2,\ldots,n$ . Nous distinguons deux sous-cas :
$\left(\alpha^{\prime}\right)\varphi_{1}(x)-f(x)$ s’annule, sans changer de signe sur au moins un point $x_{i}$ .
$\left(\alpha^{\prime\prime}\right)\varphi_{1}(x)-f(x)$ change de signe sur chacun des points $x_{i}^{\prime}$ .
Dans le cas ( $\alpha^{\prime}$ ), de la même manière que dans la démonstration du lemme 4, nous pouvons construire un élément de $\mathscr{F}_{n}$ qui coincide avec $j(x)$ sur au moins $n+1$ points de l’intervalle ( $x_{1},x_{n+1}$ ).

Dans le cas $\left(\alpha^{\prime\prime}\right)$ , si $\varphi_{1}(x)-f(x)$ ne change pas de signe sur aucun des intervalles $\left(x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime}\right),i=1,2,\ldots,n$ , nous avons sgn $\{\varphi(x)-f(x)\}==\operatorname{sgn}\left\{\varphi_{1}(x)-f(x)\right\}$ lorsque $x$ est soit dans un voisinage gauche soit dans un voisinage droite de chacun des points $x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n$ . Mais les fonctions.
$\varphi_{1}(x),\varphi(x)$ ne peuvent coincider sur plus de $n-1$ points. La différence $\varphi_{1}(x)-f(x)$ doit donc s’annuler sur ( $x_{1},x_{n+1}$ ) sur un point différent des points $x_{i},i=1,2,\ldots,n$ . Il en résulte que la différence $\varphi_{1}(x)-f(x)$ devient nulle sur au moins $n-1$ points de l’intervalle ( $x_{1},x_{n+1}$ ).

Si $\varphi_{1}(x)-f(x)$ change de signe sur un des intervalles $\left(x_{i},x_{i+1}^{\prime}\right)i=1,2,\ldots$ , $n$ , cette différence s’annule sur $n+1$ points de ( $x_{1},x_{n+1}$ ).

Si $\varphi_{1}(x)-f(x)$ ne change pas de signe sur l’un au moins des points $x_{i}$ , $i=2,3,\ldots,n$ , nous appliquons le lemme 4 et nous revenons ainsi au cas ( $\alpha^{\prime}$ ), ( $\alpha^{\prime\prime}$ ) du plus haut.

Passons à l’étude du cas ( $\beta$ ). Supposons $m=1$ et soit $x^{*}$ un point de $\left(x_{j},x_{j+1}\right)$ tel que $f\left(x^{*}\right)-L\left(x_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,x_{n};f\mid x^{*}\right)=0$ . Aiors nous appli. quons le raisonnement fait dans le cas ( $\alpha$ ) soit pour les point $x_{1},x_{2},\ldots$ , $x_{j},x^{*},x_{j+1},\ldots,x_{n}$ soit pour les points $x_{2},x_{3},\ldots,x_{j},x^{*},x_{j+1},\ldots,x_{n+1}$ .

Lorsque $m>1$ l’existence des points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ est évidente.
Nous allons maintenant revenir à la démonstration du théorème 7. D’après le lemme 5, nous pouvons construire une suite infinie d’intervalles $\left[x_{1},x_{n+1}\right],\left[x_{1}^{\prime},x_{n+1}^{\prime}\right],\ldots,\left[x_{1}^{(k)},x_{n+1}^{(k)}\right],\ldots$ , telle que
$1^{\circ}x_{1}<x_{1}^{\prime}<\ldots<x_{1}^{(k)}\ldots,x_{n+1}>x_{n+1}^{\prime}>\ldots>x_{n+1}^{(k)}\ldots$
$2^{\circ}$ Dans chacun des intervalles $\left[x_{1}^{(k)},x_{n+1}^{(k)}\right]$ il existent $n-1$ points $x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)},\ldots,x_{n}^{(k)}$ de manière que $D\left[x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\ldots,x_{n}^{(k)},x_{n+1}^{(k)};I\right]=0$
$3^{\circ}\lim_{k\rightarrow\infty}\left(x_{n+1}^{(k)}-x_{1}^{(k)}\right)=0$
Pour construire la suite des intervalles $\left[x_{1}^{(k)},x_{n+1}^{(k)}\right],k=1,2,\ldots$ à l’aide du lemme 5 , nous partons de l’hypothèse qu’on peut toujours mettre en évidence $n+1$ points ,,consécutifs" sur lesquels une fonction de $\mathscr{F}_{n}$ coincide avec $f(x)$ . Cette hypothèse se justifie par le fait que si on ne peut pas trouver $n+1$ racines consécutives de la différence entre $f(x)$ et un élément de $\mathscr{F}_{n}$ , le nombre des intervalles contigues à l’ensemble fermé appartenantà $\left[x_{1},x_{n+1}\right]$ et sur lequel cette différence est nulle, est plus petit que $n$ . Il est alors facile de voir que $f(x)$ coincide avec la fonction interpolatoire sur tout un intervalle. Dans ce cas l’existence du point $\boldsymbol{\xi}$ du théorème 7 est évidente.

La propriété $3^{\circ}$ résulte toute de suite du théorème 1. Soit $\lim x_{1}^{(k)}==\alpha,\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n+1}^{(k)}=\beta$ . Nous pouvons supposer que $\beta-\alpha.\quad$ soit égale à la borne inférieure des longueur des intervalles $[\alpha,\beta]$ qui peuvent être construits de la manière indiquée. Il suffit de démontrer que cette borne inférieure est égale à 0 , donc que $\beta-\alpha=0$ où $\alpha=\beta$ . En effet, supposons le contraire, donc que l’on ait $\alpha\neq\beta$ . Pour tout $k$ il existe une fonction interpolatoire qui coincide avec $f(x)$ sur $n+1$ points de $\left[x_{1}^{(k)},x_{n+1}^{(k)}\right]$ . De l’ensemble de ces fonctions nous pouvons extraire une suite $\left\{\varphi_{k}(x)\right\}^{\infty}=1,\varphi_{k}\left(x_{i}^{(k)}\right)=f\left(x_{i}^{(k)}\right),i=1,2,\ldots,n+1,k=1,2,\ldots$ qui tend uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $\varphi(x)$ de $\mathscr{F}_{n}$ . Nous pouvols toujours choisir les points $x_{i}^{(k)}$ de manière que $\lim x^{(k)}-\lim x^{(k)}=$
$=\beta$ et que les suites $\left\{x_{i}^{(k)}\right\}_{k=1}^{\infty},i=2,3,\ldots,n$ soient convergents. Les limites, pour $k\rightarrow\infty$ , des points $x_{i}^{(k)},i=1,2,\ldots,n+1$ ne sont pas nécessairement touts distinctes mais la suite $\left\{\varphi_{k}(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ peut être choisie de manière que $n$ au moins de ce limites soient distinctes. Cette propriété résulte de la remarque suivante : Si $n=1$ la propriété est claire. Si $n=2$ et $D\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]=0$ , quel que soit le point $x_{2}^{\prime}\in\left(x_{1},x_{3}\right)$ il existe un point $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}$ ou un point $x_{3}^{\prime}>x_{2}^{\prime}$ tel que $D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},x_{3};f\right]=0$ ou $D\left[x_{1},x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime};f\right]==0$ . Dans le cas $n>2$ remarquons que l’ensemble des elements de $\mathscr{F}_{n}$ qui coincident avec $f(x)$ sur les points $x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\ldots,x_{i-1}^{(k)},x_{i+2}^{(k)},\ldots$ , $x_{n+1}^{(k)}$ ( $k$ étant donné) forment un ensemble du type $I_{2}\left[x_{i-1}^{(k)},x_{i+2}^{(k)}\right]$ , quel que soit $i=2,3,\ldots,n-1$ . Nous pouvons appliquer, à l’un des points $x_{i}^{(4)},\quad x_{i+1}^{(k)}$ le raisonnement que nous avons utilisé dans le cas $n=2$ pour le point $x_{2}$ . Puisque les $n-2$ points $x_{3}^{(k)},x_{4}^{(k)},\ldots,x_{n}^{(k)}$ peuvent être remplaçés par $n-2$ autres points quelconques de l’intervalle ( $x_{1}^{(k)},x_{n+1}^{(k)}$ ), il en résulte que nous pouvons trouver les intervalles $\left[\alpha_{i},\beta_{i}\right],i=1,2,\ldots,n-2$ de manière que les différences $\alpha_{i}-\beta_{i-1},i=2,3,\ldots,n-2$ soient plus grand qu’un nombre positif $\eta$ et de manière que $x_{i}^{(k)}\in\left(\alpha_{i},\beta_{i}\right),i=1,2,\ldots$ , $n-2$ . Il en résulte que la fonction limite $\varphi(x)$ coincide avec $f(x)$ sur $n+1$ points de $[\alpha,\beta]$ parmi lesquels il $y$ a au plus deux qui soient confondus. Il résulte aussi que nous pouvons trouver $n+1$ points distincts de $[\alpha,\beta]$ sur lesquels $f(x)$ coincide avec un élément de $\mathscr{F}_{n}$ . Ceci contredit la définition de l’intervalle $[\alpha,\beta]$ si $\alpha\neq\beta$ . Nous avons $\alpha=\beta$ , justement ce qu’il fallait démontrer.

Il est facile de voir que le point $\xi$ peut toujours être choisi de manière que parmi les points $\xi_{i}$ il y ait au moins un non à gauche et au moins un non à droit de $\xi$ . Cette propriété de séparation peut encore être précisée dans le cas où la fonction est convenablement particularisée. Nous allons revenir sur cette question au § 2.
8. - Nous allons faire quelques applications. Les théorèmes 6, 7 généralisent certains théorèmes de la moyenne bien connus dans l’analyse classique.

Considérons l’ensemble , $P_{n+1}$ du type $I_{n+1}(-\infty,\infty)$ formé par tous les polynomes du degré $n$ . Si la fonction $f(x)$ est définie sur les points $x_{1}$ , $x_{2},\ldots,x_{n+1}$ la fonction interpolatoire $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)$ se réduit au polynome de Lagrange

P\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)=\sum_{i=1}^{n+1}f\left(x_{i}\right)\quad\iota_{i}^{(n)}(x)

(29)

où

\ell_{i}^{(n)}(x)=\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)\ell^{\prime}\left(x_{i}\right)},\quad\ell(x)=\prod_{i=1}^{n+1}\left(x-x_{i}\right)

(30)

Si $x_{0}\neq x_{i},i=1,2,\ldots,n+1$ , nous avons

	$\displaystyle D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},x_{0};f\right]=f\left(x_{0}\right)-$		(31)
	$\displaystyle-P\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x_{0}\right)=l\left(x_{0}\right)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x_{0};f\right]$

où $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},x_{0};f\right]$ est la différence divisée d’ordre $n+1$ sur les noeuds $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},x_{0}$ , de la fonction $f(x)$ . Le coefficient $L\left(x_{0}\right)$ étant toujours différent de zéro, du théorème 7 il résulte la propriété suivante de l’ensemble : $\rho_{n+1}$ :

Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$ et si pour les points $x_{1}^{\#}<x_{2}^{*}<\ldots<x_{n\div 2}^{*}$ de $I$ nous avons $\left[x_{1}^{*},x_{2}^{*},\ldots,x_{n+2}^{*};j\right]=0$ , il existe un point $\xi\in\left(x_{1}^{*},x_{n+2}^{*}\right)$ tel que dans tout voisinage de $\xi$ il existent $n+2$ points $\xi_{1}^{*}<\xi_{2}^{*}<\ldots<\xi_{n+2}^{*}$ pour lesquels $\left[\xi_{1}^{*},\xi_{2}^{*},\ldots,\xi_{u+2}^{*};f\right]-0[9]$ .

La différence divisée $\left\lfloor x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right\rfloor$ est le coefficient de $x^{n}$ dans le polynome d’interpolation (29). Soit maintenant l’ensemble $D_{n+1}(A)$ des polynomes du degré $n$ dans lesquels le cofficient de $x^{n}$ est égal à $A$ et qui est du type $I_{n}(-\infty,\infty)$ . Si’l existe dans $D_{n+1}(A)$ un polynome qui prend les valeurs $f\left(x_{i}\right)$ sur les $n+2$ points $x_{i}$ respectifs, alors $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=A$ . Dans ce cas le théorème 7 nous donne la propriété valable pour l’ensemble $\mathcal{P}_{n+1}(A)$ :

Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$ et si sur les points $x_{1}^{*}<x_{2}^{*}<\ldots<x_{n+1}^{*}$ de I nous avons $\left[x_{1}^{*},x_{2}^{*}\ldots,x_{n+1}^{*};f\right]=A$ , il existe un point de $\left(x_{1}^{*},x_{n+1}^{*}\right)$ tel que chacun de ses viosinages contient $n+1$ points $\xi_{1}^{*},\xi_{2}^{*},\ldots,\xi_{n+1}^{*}$ (distincts) pour lesquels $\left[\xi_{1}^{*},\xi_{2}^{*},\ldots,\xi_{n+1}^{*};f\right]=A$ .

Si $n=1$ et si la fonction $f(x)$ est dérivable sur l’intervalle ( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ) on déduit la formule des accroissements finis. Dans ce cas $A=\frac{i\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$ .

Remarquons que si au lieu de l’ensemble $\mathcal{D}_{n+1}$ , nous considérons l’enveloppe linéaire d’un système Tschebycheff-Markoff formé par les foctions $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n+1}(x)$ , nous retrouvons les théorèmes de moyenne pour les différences divisées généralisées respectives (voir T. popoviciu [10], où cette différence divisée est définie)

Pour terminer remarquons que dans le cas de l’ensemble $F_{n+1}$ , si nous fixons le dernier coefficient du polynome de la forme $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n+1}+\ldots++a_{n}$ , donc si nous considérons l’ensemble des polynomes $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}++\ldots+a_{n-1}x+A$ , où, $a_{i},i=0,1,\ldots,n-1$ sont variables et $A$ est fixe, nous obtenons un ensemble interpolatoire d’ordre $n$ sur tout intervalle ne contenant pas l’origine. Dans ce cas, pour $n=1$ , du théorème 7 il résulte l’analogue discret du théorème de la moyenne de d. pompeiu [7] et, sous l’hypothèse de la dérivabilité, le théorème même de d. POMPEIU*.) Le cas $n>1$ nous donne une extension de ce théorème. Les théorèmes de moyennes valables pour les autres coefficients du polynome de Lagrange sont aussi contenus dans le théorème 7 .

de POMPEIU. Cette formule revient, d’ailleurs, à la f $x_{1}-x_{2}$ quée à la fonction $xf(1/x)$ .

On sait que pour les différence divisées il existe aussi un théorème de la moyenne sur un ensemble discret de points [9]. Sa généralisation pour le cas d’un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ résulte du théorème 3 . Au § 3 nous donnerons cette généralisation.
9. - théorème 8. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b],n$ -valente par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ du type $I_{n}[a,b]$ , $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]$ garde le même signe pour les points $x_{1}<x_{2}<<\ldots<x_{n+1}$ de $[a,b]$ .

La démonstration de ce théorème résulte du théorème 6’ . En effet, supposons que, sous les hypothèses du théorème 8 , il existe deux systèmes chacun de $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1};x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+1}^{\prime}$ tels que $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]>0,D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime},x_{n+1}^{\prime};f\right]<0$ . Du théorème $6^{\prime}$ il résulte l’existence d’un système de $n+1$ points $x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<<\ldots<x_{n+1}^{\prime\prime}$ tel que $D\left[x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime},x_{n+1}^{\prime\prime};f\right]=0$ , ce qui contredit la $n$ -valence de la foction $f(x)$ .

Dans l’énoncé du théorème 8 , l’hypothèse de la continuité de la fonction $f(x)$ est essentielle*).

L’importance de l’étude des propriétés des fonctions $n$ -valentes par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ a son origine précisément dans le théorème 8. Au § 2 nous reviendrons sur cette question.

§ 2.

La notion de tonction convexe par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ .

1.
- —
  
  Considérons l’ensemle $\mathscr{F}_{n}$ du type $I_{n}[a,b]$ , les points

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<x_{n+1}

(32)

de l’intervalle $[a,b]$ et la foction $f(x)$ définie sur les points (32)
Définition 4. - La fonction $f(x)$ est dite convexe, polynomiale resp. concave, par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , sur les points (32), suivant que

D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]>,=\text{ resp. }<0.

(33)

On voit toute de suite, compte tenant des propriétés du système interpolatoire (8), que si $f(x)$ est convexe par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , sur les points (32), on a les inégalités

\begin{gathered}(-1)^{n+1-i}\left\{f\left(x_{i}\right)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f\mid x_{i}\right)\right\}>0\\ i=1,2,\ldots,n+1\end{gathered}

et bien entendus, si $f(x)$ est concave par rapport à $f_{n}$ sur les points (32), nous avons les inégalitès contraire (partout $<$ au lieu de $>$ ).

⁰⁰footnotetext: *). Voir dans [12] un exemple dans le cas de l’ensemble

D_{1}

Considérons maintenant le sous-ensemble $E$ de $[a,b]$ , ayant au moins $n+1$ points et supposons que la fonction $f(x)$ soit définie sur $E$ .

Définition 5. - La fonction $f(x)$ est dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe resp. concave par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ , sur l’ensemble $E_{\text{, }}$ suivant que
(34) $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]>,\geqq,=,\leqq$ resp. $<0$ pour tout système de $n+1$ poinst $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ de $E$ .

Toute fonction qui vérifie une des propriétés de la définition 5 sera dite une fonction d’ordre $n$ par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ et sur l’ensemble $E$ . Pour simplifier le langage, nous employerons aussi les dénominations de $\mathscr{F}_{n}$ -convexe, $\mathscr{F}_{n}$ -non-concave, $\mathscr{F}_{n}$ -polynomiale, $\mathscr{F}_{n}$ -non-convexe resp. de F _n-concave pour les fonctions appartenant aux classes respectives précisées par la définition 5.

Les fonctions d’ordre $n$ par rapport à l’ensemble $\varnothing_{n}$ ont été étudiées par t. popoviciu [9]). Le cas $n=2,\mathscr{F}_{2}$ quelconque, a été considéré par beckenbach [2]. Dans ce § nous reprenons aussi une définition de L. tornheim [14].
2. - théoreme 9. - Pour que la jonction $f(x)$ soit $f_{n}$ - convexe sur les points
(35)

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m},\quad m\geqq n+1

il faut et il suffit qu’elle soit $\mathscr{F}_{n}$ -convexe sur tout système de $n+1$ points consécutifs $x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n},\quad j=1,2,\ldots,m-n$ de la suite (35).

La démonstration de ce théorème est basée sur le théorème 3. La nécésité de la condition est évidente. Le fait que la condition est aussi suffisant résulte de la manière suivante. Soit $n\geqq 2$ et soient satisfaites les inégalités suivantes

D\left[x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n};f\right]>0,\quad j=1,2,\ldots,m-n

(36)

Nous avons donc aussi

\begin{array}[]{cl}L\left(x_{j},x_{j+1},\ldots,x_{j+n-1};\right.&\left.f\mid x_{j+n}\right)<\\ <L\left(x_{j+1},x_{j+2},\ldots,x_{j+n};f\mid x_{j+n}\right),&j=1,2,\ldots,m-n-1\end{array}

En vertu du théorème 3 , nous avons aussi

L\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n}};f\mid x_{i_{n+1}}\right)<f\left(x_{i_{n+1}}\right)

(38)

quel que soit le système de $n+1$ points $x_{i_{1}}<x_{i_{2}}<\ldots<x_{i_{n+1}}$ extraits de la suite (35). La propriété résulte des inégalités (38) Si $n=1$ nous tenons compte du fait que deux éléments distincts de $\mathscr{F}_{1}$ ne peuvent coincider sur aucun point de $[a,b]$ . Dans ce cas de $D\left[x_{j},x_{j+1};f\right]>0$ , $j=1,2,\ldots,m-1$ il résulte que $L\left(x_{1};f\mid x_{i}\right)<f\left(x_{i}\right),i=2,3,\ldots m_{\text{, }}L\left(x_{2};f\mid x_{i}\right)<f\left(x_{i}\right),i=3,4,\ldots,m,\ldots,L\left(x_{m-2};f\mid x_{i}\right)<f\left(x_{i}\right),i=\ldots--1,m$ .

Un théorème analogue au théorème 9 a lieu pour les autres types de fonctions d’ordre $n$ par rapport à $f_{n}$ sur l’ensemble (35).
3. - théorème 10, - Si la fonction $f(x)$ , définie sur l’intervalle $[a,b]$ est d’ordre $n$ par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ et si $n\geq 2$ , elle est continue sur l’intervalle ouvert ( $a,b$ ).

Pour la démonstration soit $x_{0}$ un point de $(a,b)$ et supposons $f(x)\mathscr{F}_{n}$ - convexe sur l’intervalle $[a,b]$ . Considérons aussi les $n+1$ points de $[a,b]$ ,

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{i}<x_{0}<x_{i+1}<\ldots<x_{n}.

(39)

Les fonctions

	$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n-1};f\mid x\right)$		(40)
	$\displaystyle L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$

coincident sur $x_{0}$ avec $f\left(x_{0}\right)$ et, pour $h>0$ suffisamment petit, nous avons

	$\displaystyle L\left(x,x_{3},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n};f\mid x_{0}+h\right)<f\left(x_{0}+h\right)<$		(41)
	$\displaystyle<L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n-1};f\mid x_{0}+h\right)$

	$\displaystyle L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n};f\mid x_{0}-h\right)>f\left(x_{0}-h\right)>$		(42)
	$\displaystyle\quad>L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{0},x_{i+1},\ldots,x_{n-1};f\mid x_{0}-h\right)$

ou les inégalités contraires (sans égalité) suivant que $n+i+1$ est pair ou impair. Les fonctions (40) étant continues, en faisant $h\rightarrow 0$ , la continuité de $f(x)$ sur le point $x_{0}$ en résulte.

La proprité reste vraie aussi pour les autres types de fonctions d’ordre $n$ .
théoreme 11. - Si la fonction $f(x)$ est d’ordre 1 par rapport à l’ensemble $\mathcal{F}_{1}$ sur l’intervalle $[a,b]$ , elle ne peut avoir que des discontinuités de première espèce.

La démonstration de ce théorème est basée sur le fait que deux fonctions distinctes de $\mathscr{F}_{1}$ ne peuvent coincider sur aucun point de $[a,b]$ . Pour fixer les idées, supposons que $f(x)$ soit $f_{1}$ -non-concave sur $[a,b]$ . Nous avons donc $D\left[x_{1},x_{2};f\right]\geqq 0$ , quels que soient $x_{1}<x_{2}$ Soit $x_{0}\in[a,b]$ et $\left\{x_{v}\right\}_{v=1}^{\infty},x_{v}>x_{0},v=1,2,\ldots$ une suite de points de $[a,b]$ tendant vers $x_{0}$ . En vertu de la remarque faite plus haut sur les éléments de $\mathscr{F}_{1}$ , nous pouvons supposer que la suite $\left\{x_{v}\right\}_{v=1}^{\infty}$ soit décroissante. La suite de fonctions $\left\{L\left(x_{v};f\mid x\right)\right\}_{v=1}^{\infty}$ est non-croissante et bornée inférieurement par 1a fonction $L\left(x_{0};f\mid x\right)$ Cette suite, en vertu du théorème 1 , est uniformément convergente sur $[a,b]$ . De là résulte la convergence de la suite de nombres $\left\{f\left(x_{\nu}\right)\right\}_{\nu=1}^{\infty}$ . Nous avons ainssi démontré l’existence de la limite à droite $f\left(x_{0}+0\right)$ sur le point $x_{0}$ . On démontre de la même manière l’existence de la limite à gauche $f\left(x_{0}-0\right)$ sur le point $x_{0}\in[a,b]$ .

On fait la démonstration de la même manière pour les autres catégories de fonctions d’ordre 1.
théoreme 12. - Si la fonction $f(x)$ est d’ordre $n$ par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , sur l’intervalle $[a,b]$ et si elle est $\mathscr{F}_{n}$ -polynomiale sur les points (32), elle est aussi $\mathscr{F}_{n}$ -polynomiale sur l’intervalle ( $x_{1},x_{n+1}$ ).

Pour démontrer le théorème, il suffit de montrer que, sous les hypothèses énoncées, sur tout point de ( $x_{1},x_{n+1}$ ) la valeur de la fonction $f(x)$ coincide avec celle de $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};j\mid x\right)$ . Supposons le contraire, done qu’il existe un point $x_{0}\epsilon\left(x_{1},x_{n+1}\right)$ pour lequel

f\left(x_{0}\right)\neq L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\left(x_{0}\right)\right.

(43)

Soit $x_{k}<x_{0}<x_{k+1}$ et considérons les fonctions

	$\displaystyle L\left(x_{1},\ldots,x_{k},x_{0},x_{k+1},\ldots x_{n-1};f\mid x\right)$		(44)
	$\displaystyle L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k},x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$

Si $x_{0}<x_{n}$ , les différences

		$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n-1};jx\right)$
		$\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)-L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k},x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n};jx\right)$

ont des signes contraires pour $x>x_{n}$ . Dans ce cas le nombre $f\left(x_{n+1}\right)$ est compris entre les valeurs des fonctions (44) sur le point $x_{n+1}$ . C’est en contradiction avec l’hypothèse que $f(x)$ soit d’ordre $n$ par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ sur $[a,b]$ . Si $x_{n}<x_{0}<x_{n+1}$ , par suite de (43), les nombres $\left.Dx_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{0};f\right]$ , $D\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n},x_{0},x_{n+1};f\right]$ sont de signes contraires. Ceci est également en contradiction avec l’hypothèse faite sur la fonction $f(x)$ . Le théorème 12 est donc démontré. Remarquons que la démonstration s’étend aussi au cas $n=1$ .
4. - Définition 6. - Un sous-ensemble & de $[a,b]$ , ayant au moins $n+1$ points, sera dit un ensemble de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité de la fonction $f(x)$ définie sur $[a,b]$ si pour tout système de $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ de $\mathcal{E}$ on a $\mathrm{D}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]=0$ .

En se basant sur le théorème 12 , on peut faire un étude détaillé des ensembles de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomiálité d’une fonction $f(x)$ d’ordre $n$ par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ sur $[a,b]$ . Si $n\geqq 2,f(x)$ est continue sur $(a,b)$ . Dans ce cas tout ensemble $\mathscr{L}\in(a,b)$ de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité de $f(x)$ contient tout ses points d’accumulation qui ne coincident pas avec $a$ au avec $b$ . Si $\lim\mathscr{E}\neq b$ , fim $\mathscr{E}\neq a$ , $\mathscr{E}$ est un ensemble fermé. Si $a\in\mathscr{E}^{\prime},a\in\mathscr{L}$ , la fonction $f(x)$ doit être continue sur $a$ . La même remarque est valable pour l’extrémité droite $b$ . En vertu du théorème 12 , l’ensemble $\mathcal{E}$ est convexe, donc contient avec deux de ses points tout point compris entre ces points. Il en résulte que $\mathscr{C}$ est un intervalle (qui ne se réduit pas à un point).

Soient $\mathscr{L}_{1},\mathscr{L}_{2}$ deux ensembles de $\mathscr{f}_{n}$ -polynomialité. Si l’intersectioll $\mathscr{E}_{1}\cap\mathscr{E}_{2}$ a plus d’un point, la réunion $\mathscr{E}_{1}\cup\mathscr{E}_{2}$ est un ensemble de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité. Dans le cas contraire, $\mathscr{L}_{1}\cup\mathscr{E}_{2}$ peut ne pas être un ensemble de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité. En réunissant toujours deux ensembles de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité qui ont plus d’un point commun, l’ensemble $F$ de tous les ensembles de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialité de la fonction $f(x)$ , d’ordre $n$ par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ sur $[a,b]$ , est un ensemble d’intervalles, deux quelconques ayant au plus ${}^{\text{un }}$ point en commun et parmi lesquls deux au plus ne sont pas fermés. $F$ est au plus dénombrable.

Si $n=1,f(x)$ peut aussi avoir des discontinuités à l’intérieur de l’intervalle $[a,b]$ . Tout ensemble de $\mathscr{F}_{n}$ -polynomialités est un intervalle, mais, contrairement au cas $n\geqq 2$ , l’ensemble $F$ peut contenir plus de deux intervalles non fermés.
5. - thíoreme 13. - Si $f(x)$ est une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ , la condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b]$ est qu’elle soit $n$ -valente par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ sur $[a,b]$ .

Pour la démonstration nous nous basons sur le théorème 6. Supposons que les hypothèses de ce théorème soient vérifiées. Alors $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\right]$ garde son signe pour tout système de points (32) de $[a,b].f(x)$ est donc $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ -concave suivant que ce signe est + ou - . La condition du théorème énoncé est donc suffisante. La nécéssité de la condition est évidente par suite de la définition 4. Pour les ensembles , $D_{n}$ le théorème a été donné par t. popoviciu [12].

I’importance de la notion, donnée dans ce travail, de la $n$ -valence par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ résulte justement du théorème 13. Dans son travail, L. TORNHEIM [14] appele convexe par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ , une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et $n$ -valente par rapport à l’ensemble interpolatoire considéré*). Notre définition 5 est plus générale.

§ 3.

Fonctions d’ordre n par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ , qui contient une chaine d’interpolation d’ordre $(1,2,\ldots,n-1)$ .

1.
- —
  
  Définition 7. Si $\mathscr{F}_{n}$ est un ensemble du type $I_{n}[a,b],n\geqq 2$ nous dirons qu’il contient une chaine d’interpolation d’ordre ( $1,2,\ldots,n-1$ ), s’ils existent $n-1$ sous-ensembles $\mathscr{F}_{1}\subset\mathscr{F}_{2}\subset\ldots\subset\mathscr{F}_{n-1}$ de $\mathscr{F}_{n}$ tels que $\mathcal{F}_{k}$ soit du type $I_{k}[a,b],k=1,2,\ldots,n-1$ . Pour préciser nous dirons que les sous-ensembles $f_{k},k-1,2\ldots,n-1$ forment une chaine d’interpolation d’ordre $(1,2,\ldots,n-1)$ sur $[a,b]$ .

Définition 8. - Le point $\xi\in(a,b)$ s’appele point d’ordre $k$ , de la fonction $f(x)$ définie sur l’intervalle $[a,b]$ , par rapport à l’ensemble $F_{k}du$ type $I_{n}[a,b]$ , si dans chacun de ses voisinages ils existent $k+1$ points distincts $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},x_{k+1}$ , tels que l’on ait $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},x_{k+1};f\right]=0$ .

⁰⁰footnotetext: *) L. TORNHEIM [14], utilise d’autres dénominations.

Lemme 6. - Soit $f(x)$ une fonction $\mathscr{F}_{n}$ -convexe sur $[a,b]$ et soit $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]=0$ , où $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<b$ . Si $x_{k}<x_{0}<x_{k+1}$ , $3\leqq k\leqq n-1,n\geqq 4$ , alors pour $x>x_{n}$ nous avons

		$\displaystyle f(x)-L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k-1},x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)>0.\text{ Si }x_{2}<x_{0}<x_{2}$
		.

Une propriété analogue a lieu pour la fonction $f(x),\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b]$ , en changeant respectivement le sens des inégalités.

La démonstration est immédiate. Si $x_{2}<x_{0}<x_{3}$ les fonctions

L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n};f\mid x\right),\quad L\left(x_{0},x_{3},\ldots,x_{n};f\mid x\right)

(45)

coincident sur $n-2$ points, donc leur différence change de signe en passant par ces points. Si l’on avait $f(x)-L\left(x_{0},x_{3},\ldots,x_{\mathrm{n}};f\mid x\right)<0$ pour $x>x_{n}$ , la différence des fonctions (45) devrait s’annuler deux fois dans ( $x_{2},x_{3}$ ) (autrement les fonctions (45) coincideraient en $n-1$ points, ce qui est impossible) et on tomberait sur une contradiction avec la $\mathscr{F}_{n}$ -convexité de la fonction $f(x)$ . Pour la même raison on ne pent pas avoir $f(x)--L\left(x_{0},x_{3},\ldots,x_{n};f\mid x\right)=0$ sur un point $x>x_{n}$ .

Si $3\leqq k\leqq n-1$ les fonctions $L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ et $L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k-1},x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ coincident sur $n-2$ points. Comme plus haut on voit que nous ne pouvons pas avoir $f(x)--L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k-1}.x_{0},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)\leqq 0$ pour un $x>x_{n}$ .

Lemme 7. - Si $f(x)$ est une fonction $\mathcal{F}_{n}$ -convexe (ou $\mathcal{F}_{n}$ -concave) sur $[a,b],n\geqq 2$ et si $\xi$ est un point d’ordre $n-1$ de cette fonction par rappor à l’ensemble $F_{n-1}$ , ils , existent $n-1$ points $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n-1}^{\prime}$ , où $\xi\leqq x_{1}$ tels que pour $x_{0}>x_{n-1}^{\prime}$ on ait $D\left[x_{1}^{\prime}x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n-1}^{\prime},x_{0};t\right]>0(\mathrm{ou}<0)$ . Sous les mêmes hypothèses, ils existent $n-1$ points $x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots<x_{n-1}^{\prime\prime}$ , où $x_{n-1}^{\prime\prime}<\xi$ tels que $D\left[x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{n-1}^{\prime\prime},\xi;f\right]>0\quad(\mathrm{ou}<0)$ .

Pour démontrer le lemme 7 nous nous basons sur le lemme 6. Nous pouvons toujours faire l’hypothèse que les points $x_{i}$ du voisinage de $\xi$ sur lesquels $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]=0$ , vérifient les inégalités $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<b$ . Supposons $x_{k}<\xi<x_{k+1},2\leqq k\leqq n-1$ (si $k=1$ nous n’avons rien à étudier). Nous construisons, en vertu du lemme 6, la fonction $L\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{k-1},\xi,x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ et les points $\xi,x_{k+1},\ldots,x_{n}$ seront $n-k+1$ des points $x_{i}^{\prime}$ . Nous construisons successivement les fonctions

		$\displaystyle L\left(x_{3},x_{4},\ldots,x_{k-1},\xi,x_{2}^{\prime},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right),\ldots$
		$\displaystyle L\left(x_{k-1},\xi,x_{2},x_{3}^{\prime},\ldots,x_{k-2}^{\prime},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$
		$\displaystyle L\left(\xi,x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime},\ldots,x_{k-1}^{\prime},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$

(les points $x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime},\ldots,x_{k-1}^{\prime}$ étant choisis arbitrairement dans $\left(\xi,x_{k+1}\right)$ ).
Les points $x_{1}=\xi,x_{2},x_{3},\ldots,x_{k+1},x_{k}^{\prime},=x_{k+1},\ldots,x_{n-1}^{\prime}=x_{n}$ , vérfient la première partie de la conclusion du lemme 7.

On peut enoncer un lemme analogue au lemme 6, en failint of le point $x_{1}$ au lieu de point $x_{n}$ et $x_{k}$ au lieu de $x_{k+1}$ . Le role du point $x>x_{k}$
sera joué par tout point de l’intervalle ( $x_{k+1},x_{k}$ ). Nous n’insistons donc pas sur la seconde partie de la conclusion du lemme 7.
2. - théoreme 14. - Si $f(x)$ est une fonction $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ concave sur l’intervalle $[a,b],n\geqq 2$ , elle a au plus un point d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ sur $(a,b)$ .

En vertu du lemme 7 , si $\xi_{1}<\xi_{2}$ était deux points d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ , de la fonction $f(x)$ , il existerait deux systèmes chacun formé par $n$ points $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n}^{\prime};x_{1}^{\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime}<\ldots<x_{n}^{\prime\prime}$ , de manière que $x_{1}^{\prime}\leqq\xi_{1},x_{n}^{\prime\prime}\leqq\xi_{2}$ et que $D\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right],D\left[x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime};f\right]$ soient (non nuls et) de signes contraires. En appliquant le théorème 5 à l’ensemble $\mathscr{F}_{n-1}$ , on voit qu’ils existent $n$ points distincts $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ appartenant à $\left(\zeta_{1},\zeta_{2}\right)$ tels que $D\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]=0$ .

Soit $M_{n-1}$ l’ensemble de tous les points d’ordre $n-1$ , par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ de la fonction $f(x)$ . Soient $\xi^{\prime}=\inf M_{n-1},\xi^{\prime\prime}=\sup M_{n-1}$ et supposons $\xi^{\prime}<\zeta^{\prime\prime}$ . L’ensemble $M_{n-1}$ est partout dense dans l’intervalle $\left[\xi^{\prime},\xi^{\prime\prime}\right]^{*}$ ), donc $f(x)$ coincide avec un élément de $\mathscr{F}_{n-1}$ sur cet intervalle, ce qui est en contradiction avec le fait que $f(x)$ est $n$ -valente par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ sur $[a,b].M_{n-1}$ ne peut donc contenir qu’au plus un point.

Du théorème 14 on peut déduire quelques conséquences intéressantes Si $f(x)$ n’a aucun point d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ , elle est $(n-1)$ valente par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ , donc elle est $\mathscr{F}_{n-1}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n-1}$ -concave. En vertu du théorème 14, dans ce cas $f(x)$ ne peut avoir plus de $un$ point d’ordre $n-2$ par rapport à $f_{n-2}$ .

Si $f(x)$ a effectivement un point $\xi$ d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ ce point divise l’intervalle $[a,b]$ dans les sous-intervalles $[a,\xi],[\xi,b]$ , sur chacun la fonction étant ( $n-1$ )-valente par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}\mathrm{Si}f(x)$ est $\mathscr{F}_{n-1}$ -convexe resp. $\mathscr{F}_{n-1}$ -concave sur l’intervalle $[a,\xi]$ , il est $\mathscr{F}_{n-1}$ concave resp. $\mathscr{F}_{n-1}$ -convexe sur l’intervalle $[\xi,b]$ .

Définition 9. - Sous les hypothèses du théorème 14, le point $\xi$ d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ , de la fonction $f(x)$ , est dit de la première classe si à sa gauche la fonction est $\mathfrak{f}_{n-1}$ -concave et est dit de la seconde classe dans le cas contraire.**).

De la démonstration du théorème 7 il résulte que le point $\xi$ , qui figure dans l’énoncé, sépare les points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n+1}$ .

Soit $f(x)$ une fonction $n$ -valente par rapport à $\mathscr{F}_{n}$ et $\xi$ un point d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ de cette fonction. Nous avons alors le
théoreme 15. - Si $n\geqq 2$ ils existent, dans tout voisinage de $\xi$ , $n$ points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n}$ , tels que $\xi_{n-1}<\xi<\xi_{n}$ et $D\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n};f\right]=0$ . De même, ils existent n points $\xi_{1}^{\prime\prime}<\xi_{2}^{\prime\prime}<\ldots<\xi_{n}^{\prime}$ , tels que $\xi_{1}^{\prime}<\xi<\xi_{2}^{\prime}$ et $D\left[\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi^{\prime};f\right]=0$ .

Pour démontrer le théorème 15 il suffit de considérer le cas $n=3$ . Supposons que $f(x)$ soit $\mathscr{F}_{n}$ -convexe sur $[a,b]$ . Soit $\xi_{1}<\xi<\xi_{2}<\xi_{3}$

⁰⁰footnotetext: *).

M_{n-1}

se réduit, en effet, à l’intervalle [

\xi^{\prime},\xi^{\prime\prime}

].
à

f_{n-k}

et $D\!\left[\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3};f\right]=0$ . Nous avons

L\!\left(\xi_{2},\xi_{3};f\mid x\right)<f(x)\quad\text{pour }x>\xi_{3},

L\!\left(\xi_{1},\xi_{2};f\mid x\right)>f(x)\quad\text{pour }\xi_{2}<x<\xi_{3}.

Parmi les éléments de la forme $L\!\left(x_{0},\xi_{3};f\mid x\right)$ , où $\xi_{1}<x_{0}<\xi$ , appartenant à $\mathscr{F}_{2}$ , il en existe un qui coïncide avec $f(x)$ en un point $\xi^{\prime}$ compris entre $x_{0}$ et $\xi$ . En effet, si une telle fonction n’existait pas, alors, pour $x_{0}=\xi$ , la différence

f(x)-L\!\left(x_{0},\xi_{3};f\mid x\right)

serait nulle en un point compris entre $\xi$ et $\xi_{2}$ , ou bien s’annulerait en $x_{0}$ sans changer de signe. Dans tous les cas, $f(x)$ devrait posséder un point d’ordre $n-1$ , relativement à $\mathscr{F}_{n-1}$ , distinct de $\xi$ , ce qui, en vertu du théorème 14, est impossible.

Nous avons donc

\xi_{1}<\xi_{2}^{\prime}<\xi<\xi_{3}\quad\text{et}\quad D\!\left[\xi_{1},\xi_{2}^{\prime},\xi_{3};f\right]=0.

Si $n<3$ et

\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{k}<\xi<\xi_{k+1}<\ldots<\xi_{n},\qquad 2\leq k\leq n-2,

nous procédons de la même manière avec les éléments de $\mathscr{F}_{n-1}$ qui coïncident avec $f(x)$ aux points

\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k-1},\xi_{k+2},\ldots,\xi_{n}.

Dans le cas $k=1$ , on supprime le point $\xi_{1}$ . Cet ensemble est alors du type $I_{2}\!\left[\xi_{k-1},\xi_{k+2}\right]$ .

Nous pouvons donc trouver un point $\xi_{k+1}^{\prime}$ tel que

\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{k}<\xi_{k+1}^{\prime}<\xi<\xi_{k+2}<\ldots<\xi_{n},

D\!\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{k},\xi_{k+1}^{\prime},\xi_{k+2},\ldots,\xi_{n};f\right]=0.

En répétant cette construction, on obtient la première partie de la conclusion du théorème. La seconde partie de la conclusion se démontre de manière analogue. théoreme 16. - Si $f(x)$ est une fonction $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b],n\geqq 2$ , l’intervalle $[a,b]$ peut être décomposé en au plus $k+1$ sous-intervalles consécutifs sur lesquel $f(x)$ soit alternativement convexe et concave par rapport à $\mathscr{F}_{n-k}$ (on suppose $\left.1\leqq k\leqq n-1\right)^{*}$ ).

Pour la démonstration soit d’abord le cas $k=1$ et supposons que $f(x)$ soit $\mathscr{F}_{n}$ -convexe sur $[a,b]$ . Il faut distinguer deux cas : ou bien il existe dans $\mathscr{F}_{n-1}$ un élément qui coincide avec $f(x)$ sur $n$ points de $[a,b]$ , ou bien une telle fonction n’existe pas dans $\mathscr{F}_{n-1}$ . Dans le second cas $f(x)$ est $(n-1)$ -valente par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ sur $[a,b]$ . Dans le premier cas $f(x)$ a un point $\xi^{(n-1)}$ d’ordre $n-1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ . Le point $\xi^{(n-1)}$ divise l’intervalle $[a,b]$ en deux sous-intervalles consécutifs $\left[a,\xi^{(n-1)}\right]$ et $\left[\xi^{(n-1)},b\right]$ sur chacun $f(x)$ étant ( $n-1$ )-valente par rapport à $\mathscr{f}_{n-1}$ . Il en résulte, compte tenant du lemme 6 , que $f(x)$ est $\mathscr{F}_{n-1}$ -concave sur le premier et $\mathscr{F}_{n-1}$ -convexe sur le second de ces sous-intervalles. On procède de la même manière si $f(x)$ est $\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b]$ .

Pour $k=1$ la propriété exprimée par le théorème 16 a donc lieu par suite de l’unicité de la décomposition qui résulte de la définition du point $\xi^{(n-1)}$ .

Sous 1’hypothèse de l’existence du point $\xi^{(n-1)}$ , désignons par $f_{1}^{(n-1)}(x)$ et $\operatorname{par}f_{2}^{(n-1)}(x)$ les restrictions de $f(x)$ respectivement sur les intervalles $\left[a,\xi^{n-1)}\right],\left[\xi^{(n-1)},b\right]$ . La fonction $f_{1}^{(n-1)}(x)$ peut avoir au plus un point d’ordre $n-2$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ et la même remarque est aussi valable pour la fonction $f_{2}^{(n-1)}(x)$ . Il en résulte que $f(x)$ a au plus deux points $\xi_{1}^{(n-2)}<\xi_{2}^{(n-2)}$ d’ordre $n-2$ , par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ sur $[a,b]$ . En effet, si le point $\xi^{(n-1)}$ était

⁰⁰footnotetext: *). Les sousintervalles

\left[\alpha_{1},\beta_{1}\right],\left[\alpha_{2},\beta_{2}\right],\ldots,\left[\alpha_{k},\beta_{k}\right]

[a,b]

sont consecutifs si

a\leqq\alpha_{1},\beta_{1}=\alpha_{2},\ldots,\beta_{k-1}=\alpha_{k},\beta_{k}\leqq b

en même temps un point d’ordre $n-2$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ , alors l’un des points d’ordre $n-2$ , par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ , situé dans $\left(a,\xi^{(n-1)}\right)$ et $\left(\xi^{(n-1)},b\right)$ devrait manquer. Dans le cas contraire ils seraient de classes différentes et $\xi^{(n-1)}$ serait de la même classe avec l’un d’entre eux, ce qui est impossible, puisqu’alors il existerait un intervalle sur lequel $f(x)$ coinciderait avec un élément de $\mathscr{F}_{n}$ .

Soient donc $\xi_{1}^{(n-2)}<\xi_{2}^{(n-2)}$ les points d’ordre $n-2$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ de la fonction $f(x)$ . La propriété exprimée par le théorème 16 subsiste pour $k=2$ sur les intervalles $\left[a,\xi_{1}^{(n-2)}\right],\left[\xi_{1}^{(n-2)},\xi_{2}^{(n-2)}\right],\left[\xi_{2}^{(n-2)},b\right]$ . Si $\xi^{(n-1)}$ n’existe pas, $f(x)$ étant $\mathscr{f}_{n-1}$ -convexe ou $\mathscr{f}_{n-1}$ -concave, il n’y a sur $[a,b]$ qu’au plus un point d’ordre $n-2$ , par rapport à $\mathscr{F}_{n-2}$ .

Pour $k>2$ , on voit facilement, que le nombre des points d’ordre $n-k$ par rapport à $\mathscr{f}_{n-k}$ est fini. Supposons ce nombre $m\geqslant k+1$ . Remarquons qu’entre deux points consécutifs $\xi_{i}^{(n-k)}<\xi_{i+1}^{(n-k)}$ d’ordre $n-k$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-k}$ , il existe $un$ point d’ordre $n-k+1$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-k+1}$ . Dans le cas contraire, en effet, les points $\xi_{i}^{(n-k)},\xi_{i+1}^{(n-k)}$ appartiendraient à un intervalle sur lequel $f(x)$ serait convexe ou concave par rapport à $\mathscr{F}_{n-k+1}$ , donc ne pourrait avoir sur cet intervalle deux points d’ordre $n-k$ . L’hypothèse $m\geqq k+1$ nous conduit à l’existence d’au moins deux points d’ordre $n-1$ par rapport à $f_{n-1}$ de la fonction $f(x)$ , ce qui est impossible. Le théorème 16 est donc vrai, puisque sur les sous-intervalles déterminés par les points de divers ordres, l’alternance de la convexité avec la concavité est également assurée.

Cette propriété peut aussi s’énoncer sous la forme suivante :
THEOREME 17. - Une Jonction $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b]$ a au plus $k$ points d’ordre $n-k$ par rapport à $\mathcal{F}_{n-k},k=1,2,\ldots,n-1$ . Les points d’un même ordre appartiennent alternativement à des classes dijférentes.

La première partie est claire. La seconde partie résulte toute de suite si nous remarquons qu’entre deux points du même ordre, qui appartiennent à la même classe, ils existe toujours encore au moins un point du même ordre.

S’ils existent exactement $k$ points d’ordre $n-k$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-k}$ , sous les hypothèses précédentes, nous avons aussi le
théorème 18. - Les points d’ordre $n-k$ par rapport à $\mathscr{F}_{n-k}$ et ceux d’ordre $n-k+1$ par rapport à $\mathscr{f}_{n-k+1}$ se séparent ( $2\leqq k\leqq n-1$ )
3. - En particularisant l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ nous déduisons des théorèmes précédents, quelques conclusions.

Une fonction convexe ou concave par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , a au plus $n-1$ points d’ordre 1, par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{1}$ . Ces sont les points où $f(x)$ a des maxima et des minima relatifs.

Les théorèmes 15,16 peuvent être étendus aux fonctions non-concaves ou non-convexes par rapport à l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ . Dans ce cas la décomposition de l’intervalle $[a,b]$ , telle qu’on l’exige dans les énoncés, peut ne pas être unique.
4. - Pour terminer ce §, nous allons donner un théorène qui est relatif à une propriété intéressante des éléments de $\mathscr{F}_{n}$ , sous l’hypothèse
de l’xistence d’une chaine d’interpolation $\mathscr{F}_{1}\subset\mathscr{F}_{2}\subset\ldots\subset\mathscr{F}_{n-1}$ d’ordre $(1,2,\ldots,n-1)$ .

Conformément à la définition de l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , la différence de deux éléments distincts de $\mathscr{F}_{n}$ s’annule en au plus $n-1$ points de $[a,b]$ . Il en résulte que toute fonction $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n}$ qui n’appartient pas à $\mathscr{F}_{n-1}$ est ( $n-1$ ). valente par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ donc ètant continue sur $[a,b]$ , par définition est convexe ou concave par rapport à $\mathscr{F}_{n-1}$ sur l’intervalle $[a,b]$ . En tout cas une telle fonction $\varphi(x)$ a au plus $n-2$ points d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ sur ( $a,b$ ), conformément au théorème 17.

Lemme 8. - Si $n\geqq 3$ , si $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n}$ , n’appartient pas à $\mathscr{F}_{n-1}$ et si $g(x)$ est un élément quelconque de $\mathscr{F}_{1}$ , tel que $g(x)-\varphi(x)$ s’annule sur les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-1}$ de $[a,b]$ , alors $\varphi(x)$ a $n-2$ points d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ .

La démonstration de ce lemme résulte du théorème 7. Sur chacun des intervalles $\left(x_{i},x_{i+1}\right),i=1,2,\ldots,n-2,\varphi(x)$ a un point d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ .

Lemme 9. — Sous les hypothèses du Lemme 8, si l’on désigne par $\xi_{i}$ le point d’ordre $1$ par rapport à $\mathcal{F}_{1}$ situé dans l’intervalle $(x_{i},x_{i+1})$ , pour $i=1,2,\ldots,n-2$ , alors les différences

\varphi(x)-L\!\left(\xi_{i};\varphi\mid x\right)

s’annulent respectivement aux points $\xi_{i}$ , sans changer de signe.

La démonstration résulte du fait que la différence $L\left(\xi_{i};\varphi(x)-g(x)\right.$ , $i=1,2,\ldots,n-2$ ne peut pas s’annuler sur $[a,b]$ .

Le m m e 10. - Si les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ sont dérivables, sous les hypothèses du lemme 9, nous avons

\left[\frac{dL\left(\xi_{i};\varphi\mid x\right)}{dx}\right]_{x=\xi_{i}}=\left[\frac{dg(x)}{dx}\right]_{x=\xi_{i}},i=1,2,\ldots,n-2

La démonstration résulte du lemme 9 .
5. - Définition 10. - Soit $g(x)\in\mathscr{F}_{n}$ et $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-1},n-1$ points de $(a,b)$ . Les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ , qui sur les points $x_{i},i=1,2,\ldots,n-1$ , coincident avec $g(x)$ forment un ensemble que nous appelerons un épi d’ordre $n-1$ et nous le désignerons par $\mathrm{S}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};g(x)\right)^{*}$ )

Il est clair que tout épi d’ordre $n-1,n>1$ , contient une infinité de fonctions. Tout élément, distinct de $g(x)$ , de l’épi $S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};g(x)\right)$ a, dans chacun des intervalles ( $x_{i},x_{i+1}$ ), un point d’ordre 1 par rapport à $F_{1}$

Définition 11. - L’épi $S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};g(x)\right)$ est dit normal si tous ses éléments, différents de $g(x)$ , ont les même points d’ordre 1 par rapport $\stackrel{{\scriptstyle a}}\mathscr{F}_{1}$ .

Dans ce qui suit nous supposerons que les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ soient dérivables sur $(a,b)$ . Soit $g(x)\in\mathscr{F}_{1}$ et $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)$ deux éléments distincts de $\mathscr{F}_{n}$ , qui n’appartiennent pas à $\mathscr{F}_{n-1}$ et ont le même caractère de convexité par rapport à $f_{n-1}$ sur $[a,b]$ . Nous avons alors le

THÉOREME 19. - Supposons que $\varphi_{1}(x)-g(x)$ s’annulle sur les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-1}$ et que $\varphi_{2}(x)-g(x)$ s’annulle sur les points

⁰⁰footnotetext: *). Il est inutile de souliguer que la définition est relative à l’ensemble

\mathscr{F}_{n}

, car cet ellsemble reste inchangé.

$x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n-1}^{\prime}$ . De plus les points $x_{i}$ séparent les points $x_{i}^{\prime}{}^{*}$ ). Si les épis $S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};g(x)\right),S\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{-1}^{\prime};g(x)\right)$ sont normaux, les $n-2$ points $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-2}$ d’ordre 1 par rapport à $\mathcal{G}_{1}$ de $\varphi_{1}(x)$ séparent les $n-2$ points $\xi_{1}^{\prime}<\xi_{2}^{\prime}<\ldots<\xi_{n-2}^{\prime}$ d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ de la fonction $\varphi_{2}(x)$ .

Un cas particulier de ce théorème est constitué par le théorème bien connu de v. a. MARKOFF [2] relativement à la séparation mutuelles des extrema de deux polynomes de même degré.

La démonstration du théorème est basée sur les lemmes $8,9,10$ . Supposons que

x_{1}<x_{1}^{\prime}<x_{2}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n-1}<x_{n-1}^{\prime}

(46)

Démontrons qu’entre deux termes consécutifs de la suite

\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-2}

(47)

il existe toujours un point et un seul de la suite

\xi_{1}^{\prime},\xi_{2}^{\prime},\ldots,\xi_{n-2}^{\prime}

En effet, la différence, $\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)$ s’annule sur chacun des intervalles $\left(x_{i},x_{i+1}\right),i=1,2,\ldots,n-2$ . Soit $x_{i}^{\prime\prime}$ . le point de $\left(x_{i},x_{i+1}\right)$ sur lequel cette différence devient nulle et, pour fixer les idées, soit $i$ un indice pour lequel $\varphi_{1}\left(x_{i}^{\prime\prime}\right)=\varphi_{2}\left(x_{i}^{\prime\prime}\right)>g\left(x_{i}^{\prime\prime}\right)$ . Demontrons que $\xi_{i}^{\prime}>\xi_{i}$ . Nous allons démontrer d’abord que nous ne pouvons pas avoir $\xi_{i}^{\prime}<\xi_{i}$ . Supposons que $\xi_{i}^{\prime}<\xi_{i}$ . On peut d’abord remarque que nous ne pouvons pas avoir $\zeta_{i}^{\prime}<x_{i}^{\prime\prime}<\xi$ puisque dans le cas contraire on aurait $\varphi_{2}\left(\xi_{i}^{\prime}\right)<\varphi_{1}\left(\xi_{i}^{\prime}\right),\varphi_{1}\left(\xi_{i}\right)<<\varphi_{2}\left(\xi_{i}\right)$ , d’où il résulterait que la différence $\varphi_{1}(x)-L\left(\xi_{i};\varphi_{2}\mid x\right)$ s’annule sur deux points de l’intervalle ( $x_{i},x_{i}^{\prime\prime}$ ), donc $\varphi_{1}(x)$ aurait dans l’intervalle $\left(x_{1},x_{2}\right)$ deux points d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ , ce qui est en contradiction avec le lemme 8 . Nous ne pouvons donc pas avoir $\xi_{i}^{\prime}<x_{i}^{\prime\prime}<\xi_{i}$ .

Supposons $\xi_{i}^{\prime}<\xi_{i}<x_{i}^{\prime\prime}$ . L’épi $S\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n-1}^{\prime};g(x)\right)$ contient une fonction qui sur le point $\xi_{i}$ prend la valeur $\varphi_{1}\left(\xi_{i}\right)$ . Le point $\xi_{i}^{\prime}$ est point d’ordre 1 par rapport à $\mathscr{F}_{1}$ de cette fonction. On voit que de l’hypothèse $\xi_{i}^{\prime}<\xi_{i}$ il résulterait pour $\varphi_{1}(x)$ un point d’ordre 1 par rapport à $G_{1}$ , situe à gauche de $\xi_{1}$ ce qui est impossible. Nous avons donc $\xi_{i}\leqq\xi_{i}^{\prime}$ . En utilisant la dérivabilité des fonctions de $\mathscr{F}_{n}$ , le cas $\xi_{i}=\xi_{i}^{\prime}$ est exclu puisque cette égalité entrenerait 1’existence d’un élément de l’épi $S\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};g(x)\right.$ ) dont la différence avec $\varphi_{1}(x)$ s’annulerait, sans changer de signe sur $\xi_{i}^{\prime}$ . Nous sommes ainsi en contradiction avec le lemme 9. Nous avons donc démontré que $\xi_{i}<\xi_{i}^{\prime}$ . D’une manière analogue on démontre que $\xi_{i}^{\prime}<\xi_{i+1}$ . Nous avons donc finalement

\xi_{1}<\xi_{1}^{\prime}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-2}<\xi_{n-2}^{\prime}

(49)

ce qu’il fallait démonter.

⁰⁰footnotetext: ^∗). donc

x_{i}<x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n-1

ou bien

x_{i}^{\prime}<x_{i},i=1,2,\ldots,n-1

Le théorème 19 a étè démontré, par diverses méthodes, dans le cas particulier où $\mathscr{F}_{n}$ se réduit à $\mathcal{D}_{n}$ . Ce théorème joue un rôle important dans l’étude des problèmes de meilleure approximation. La définition 11 nous conduit à une classification des ensembles interpolatoirs sur laquelle nous n’insistons pas ici.
6. - Dans ce§ a intervenu le fait essentiel que l’ensemble $\mathcal{F}_{n}$ contient une chaine d’interpolation d’ordre $(1,2,\ldots,n-1)$ . Un exemple classique dans ce sens est l’ensemble ’ $p_{n}$ qui contient la chaine d’interpolation $p_{n}C\subset\mathcal{D}_{2}\subset\ldots\subset\mathcal{F}_{n-1}$ . De la même propriété jouit tout système de $n$ fonctions continues $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ sur l’intervalle $[a,b]$ , qui vérifie la condition que toute combinaison linéaire $\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_{i}\varphi_{i}(x)$ s’annule sur au plus $k-1$ points de $[a,b]$ et ceci pour $k=1,2,\ldots,n$ .

Soit l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ formé par les fonctions $F\left(x;\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)$ définies sur $[a,b]$ et dépendant de $n$ paramètres réels $\left.\alpha_{i},i=1,2,\ldots,n\right)^{*}$ .

Sous certaines hypothèses supplémentaires, il existe encore une chaine d’interpolation d’ordre $(1,2,\ldots,n-1)$ . Ces hypothèses peuvent être déduites des propriétés dont jouissent alors les paramètre $\alpha_{i},i=1,2,\ldots,n$ . Supposons que l’un de ces paramètres, soit $\alpha_{l}$ , a la propriété que pour chacune de ses valeurs $\alpha_{l}=\tilde{\alpha}_{l}$ , l’ensemble des fonctions $F\left(x;\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{l-1},\tilde{\alpha}_{l}\right.$ , $\left.\alpha_{l+1},\ldots,\alpha_{n}\right)$ soit du type $I_{n-1}[a,b]$ , ce qui signifie que pour tout système de $n-1$ points distincts $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ de $[a,b]$ le système d’équations

F\left(x_{i};\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{l-1},\tilde{\alpha}_{l},\alpha_{l+1},\ldots,\alpha_{n}\right)=y_{i},i=1,2,\ldots,n-1

par rapport aux inconnues $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{l-1},\alpha_{l+1},\ldots,\alpha_{n}$ a une solution et une seule, quels que soient les nombres $y_{i},i=1,2,\ldots,n-1$

Nous avons alors le
Lemme 12. - Quel que soit le système de $n-1$ points distincts $x_{1}$ , $x_{2},\ldots,x_{n+1}$ et quels que soient les nombres $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n-1}$ , le paramèri $\alpha_{l}$ est une fonction montone, par rapport aux valeurs sur un point $x_{0}\neq x_{i}$ , $i=1,2,\ldots,n-1$ des élements de l’épi $\mathrm{S}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};y\right)^{***}$ ).

En effet, conformément à l’hypothèse faite sur $\alpha_{l}$ dans tout épi $S\left(x_{1}\right.$ . $x_{2},\ldots,x_{n-1};y$ ), il existe une seule fonction de $\mathscr{F}_{n}$ avec $\alpha_{l}=\tilde{\alpha}_{l}$ . Il en résulte que la valeur sur $x_{0}$ des fonctions de l’épi $S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};y\right)$ est une fonction continue $y_{0}=\Phi\left(\alpha_{l}\right)$ par rapport à $\alpha_{l}$ . Son inverse $\alpha_{l}=\Phi^{-1}\left(y_{0}\right)$ est univalente, donc continue, donc une fonction monotone en $y_{0}$ .

Nous avons aussi le reciproque du lemme 12,
Lemme 13. - Si la propriété de monotonie du lemme 12 a lieu, pour toute valeur $\hat{\alpha}_{l}$ du paramètre $\alpha_{l}$ l’ensembue des fonctions $F\left(x;\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots\right)\left.\alpha_{l-1},\tilde{\alpha}_{l},\alpha_{l+1},\ldots,\alpha_{n}\right)$ est du type $I_{n-1}[a,b]$ .

⁰⁰footnotetext: *). Nous supposons toujcurs que

F\left(x;\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)

est continue par rapport à l’ensemble de

\operatorname{ses}n+1

variables.
**) Pour simplifier

S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right.x_{i}

et aux valeurs

y_{i},i=1.2,\ldots,n-1

Si $A[f]=0$ nous sommes dans le cas du lemme 14. Supposons done que $A[f]=C\neq 0$ et considérons la fonction $g(x)=f(x)-\frac{A[f]}{A\left[\varphi_{0}\right]}\varphi_{0}$ , où $\varphi_{0}$ est un élément de $\mathscr{F}_{n+1}$ qui n’appartient pas à $\mathscr{F}_{n}$ . Nous avons done $A\left[\varphi_{0}\right]\neq 0$ et, on le verifie toute de suite, $A[g]=0$ . Il en résulte que $g(x)$ ne peut être ni $\mathscr{F}_{n}$ -convexe ni $\mathscr{F}_{n}$ -concave. $g(x)$ étant continue sur $[a,b]$ , nous pouvons appliquer le lemme 14 et nous avons $A\left[L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};g\mid x\right)\right]=0$ pour un certain système de points $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1}$ de $[a,b]$ . En tenant compte du fait que $L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};\varphi_{0}\mid x\right)$ coincide avec $\varphi_{0}$ nous déduisons (50), en calculant $A\left[L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};g\mid x\right)\right]$ .

La conclusion du lemme 15 nous conduit à quelques remarques. Si $f_{n+1}$ , $\mathscr{f}_{n}$ sont linéaires, nous savons que dans $\mathscr{f}_{n+1}$ ils existent $n+1$ éléments $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{n+1}(x)$ , qui forment une base interpolatoire [5]. Toute fonction $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n+1}$ , est de la forme $\varphi(x)=\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_{i}i_{i}(x)$ . Si pour $\alpha_{n+1}==0$ nous obtenons l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , nous sommes dans le cas classique d’un système de Tschebycheff $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{n}(x),f_{n+1}(x)$ où les $n$ premières fonctions forment également un système de Tschebycheff. Nous avons $\mathrm{L}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\mid x\right)=\sum_{i=1}^{n+1}d_{i}[f]f_{i}(x)$ , où $d_{n+1}[f]$ est la différence divisée généralisée de la fonction $f(x)$ par rapport au système de fonctions $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{n+1}(x)$ ,
(51)

d_{n+1}[f]=\frac{\left.\left|\begin{array}[]{ccccccc}f_{1}\left(x_{1}\right)&f_{2}\left(x_{1}\right)&\cdots&\cdots&f_{n}\left(x_{1}\right)&f\left(x_{1}\right)\\ f_{1}\left(x_{2}\right)&f_{2}\left(x_{2}\right)&\cdots&\cdot&\cdot&f_{n}\left(x_{2}\right)&f\left(x_{2}\right)\\ \cdots&\cdots&\cdot&\cdot&\ddots&\cdot&\cdot\\ f_{1}\left(x_{n+1}\right)&f_{2}\left(x_{n+1}\right)&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&f_{n}\left(x_{n+1}\right)\end{array}\right|\begin{array}[]{c}f\left(x_{n+1}\right)\\ \cdot\end{array}\right\rvert\,}{\left|\begin{array}[]{ccccccc}f_{1}\left(x_{1}\right)&f_{2}\left(x_{1}\right)&\cdots&\cdot&\cdot&f_{n}\left(x_{1}\right)&f_{n+1}\left(x_{1}\right)\\ f_{1}\left(x_{2}\right)&f_{2}\left(x_{2}\right)&\cdots&\cdot&\cdot&f_{n}\left(x_{2}\right)&f_{n+1}\left(x_{2}\right)\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ f_{1}\left(x_{n+1}\right)&f_{2}\left(x_{n+1}\right)&\cdots&\cdot&f_{n}\left(x_{n+1}\right)&f_{n+1}\left(x_{n+1}\right)\end{array}\right|}

Sous les hypothèses du lemme 15, la formule (50) devient
(52)

A\left[L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\mid x\right)\right]=d_{n+1}[f]\mathrm{A}\left[f_{n+1}\right]=A[f]

L’énoncé du Lemme 14 contient donc, comme cas particulier, le théorème de la moyenne pour les fonctionnelles linéaires, donné par T. Popoviciu [11]. 3. - Dans la suite nous utiliserons les propriétés d’un épi d’ordre" de l’ensemble $f_{n+1}$ . Remarquons d’abord que tout épi d’ordre $n$ de l’ensemble $\mathscr{F}_{n+1}$ , contient une fonction et une seule appartenant à $\mathscr{F}_{n}$ . Corsidérons les points $M_{i}\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,n$ où $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sont $n$ points
distincts de l’intervalle $[a,b]$ . La fonction $\mathrm{L}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x\right)$ détermine dans l’épi considéré deux sous-ensemble non vides : celui des fonctions de $\mathscr{F}_{n+1}$ , qui sont $\mathscr{F}_{n}$ -convexes et celui des fonctions de $\mathscr{F}_{n+1}$ qui sont $\mathscr{F}_{n}$ -concaves.

Nous avons le
Lemme 16. - Si :
$1^{\circ}A[f]$ est continue sur son ensemble de définition *)
$2^{\circ}A[f]=0$ , pour $f\in\mathscr{F}_{n}$ .
$3^{\circ}A[f]\neq 0$ pour $f\mathscr{F}_{n}$ -convexe ou $\mathscr{F}_{n}$ -concave sur $[a,b]$ ,
alors $A[f]$ garde un signe constant pour toutes les fonctions $\mathscr{F}_{n}$ convexes ( $f_{n}$ -concaves) appartenant à un épi d’ordre $n$ de l’ensemble $f_{n+1}$ .

Considérons les points $M_{i}\left(x_{i},y_{i}\right)$ de plus haut. Nous avons $A\left[L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\mid x\right)\right]=0$ . Supposons que parmi les fonctions $\mathscr{F}_{n}$ -convexes ( $\mathscr{f}_{n}$ -concaves) appartenant à lépi correspondant à ces points, ils existent deux, $g_{1}(x),g_{2}(x)$ , telles que $A\left[g_{1}\right]<0,A\left[g_{2}\right]>0$ . Supposons que pour $x>x_{n}$ on ait $\mathrm{g}_{1}(x)<g_{2}(x)$ . Si $x_{n}=b$ nous choisissons un point $x$ de l’intervalle $\left(x_{n-1},x_{n}\right)$ sur lequel nous supposons $g_{2}(x)>g_{1}(x)$ . En vertu du théorème 1 , l’ensemble des éléments de l’épi, dont les valeurs sur $x$ sont comprises entre $g_{1}(x)$ et $g_{2}(x)$ est compact. Il en résulte que $A[f]$ doit s’annuler sur un élément de cet ensemble. C’est en contradiction avec 1’hypothèse $3^{\circ}$ du lemme.

Supposons que $\mathscr{F}_{n+1}$ soit l’ensemble engendré par le système de Tschebycheff $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n+1}(x)$ et que $\mathscr{F}_{n}$ et le sousensemble de $f_{n+1}$ engendré par le fonctions $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ , qu’on suppose former aussi un système de Tschebycheff.

Lemme 17. - Sous les hypothèses du lemme 15, $A[f]$ est monotone par rapport à la valeur, sur un point fixe différent des points $x_{i},i=1,2,\ldots,n$ , des fonctions de l’épi relatif à un système de points $\left.Mi\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,n^{**}\right)$ .

La démonstration résulte du lemme 15. En vertu de la formule (52), $A\left[f_{n+1}\right],A[f]$ coincident, en dehors d’un facteur constant, avec le paramètre $\alpha_{n+1}$ de la foction $F\left(x;\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n+1}\right)=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{k}\varphi_{k}(x)$ qui engendre l’ensemble $\mathscr{F}_{n+1}$ . Le lemme 17 résulte alors du lemme 13 du § précédent.

Remarquons que, sous les hypothèses du lemme 16, l’ensemble des éléments de $\mathscr{F}_{n+1}$ , pour lesquels $A[f]$ prend la même valeur $C$ , est du type $I_{n}[a,b]$ . Nous avons donc le

Lemme 18. - Si $\mathscr{F}_{n},\mathscr{F}_{n+1},\mathscr{F}_{n}\subset\mathscr{F}_{n+1}$ sont des ensembles interpolatoires quelconques (non pas necessairement linéaires) et si les hypothèses du lemme 15 sont vérifiées, de la monotonie de la fonctionnelle $A[f]$ sur tout épi (dans le sens du lemme 16), il résulte que l’ensemble des éléments de $\mathscr{F}_{n+1}$ sur lesquels $A[t]$ prend une même valeur $C$ , est du type $I_{n}[a,b]$ .
*) S•i la suite de fonctions $\left\{f_{k}(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ , tend uniformément vers $f(x)$ sur $[a,b]$ , nous avons $A\left[f_{k}\right]\rightarrow A[f]$ .
^∗∗ ). Cette monotonie sera dite une montonie sur l’épi $S\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y\right)$ .

Nous en déduisons aussi le
théorème 20, - Si les conditions du lemme 16 sont vérifiées et si.
$1^{\circ}$ . A $[f]$ est monotone sur tout épi de l’ensemble $f_{n+1}$ ,
$2^{\circ}.C\neq 0$ étant quelconque, on a $A[\varphi]\neq C$ pour toute fonction $\varphi(x)$ qui est convexe ou concave par rapport à l’ensemble des foctions $f$ de $\mathcal{F}_{n+1}$ pour lesquelles nous avons $A[f]=C$ ,
alors pour toute fonction $f(x)$ continue sur $[a,b]$ , il existe un système de $n+1$ points $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1}$ de $[a,b]$ tel que $A[f]=A\left[L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n};f\mid x\right)\right]$ .

La démonstration revient à l’application du lemme 14 au sousensemble formé par les foctions $f$ de $\mathscr{F}_{n+1}$ pour lesquelles $A[f]=A[\rho]=C_{\neq 0}$ Si $C=0$ nous revenons au lemme 14 .
4. - Nous allons donner une application du théorème 20, en particu. larisant les ensembles $\mathscr{F}_{n}$ et $\mathscr{F}_{n+1}$ . Considérons l’ensemble des polynome du degré (au plus égal à) $n$ et le sous-ensemble formé par les polynome du degré $n-1,n\geqq 1$ . Soit $f(x)$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ , et $T_{n-1}^{*}(x)$ , le polynome de meilleure approximation du degie $n-1$ , de la fonction $f(x)$ , sur l’intervalle $[a,b]$ . Comformément à la dé. finition du polynome $T_{n-1}^{*}(x)$ ,

\begin{array}[]{r}\mu_{n-1}[f]=\max_{x\in[a.b]}\left|f(x)-T_{n-1}^{*}(x)\right|,\text{ où }\mu_{n-1}[f]=\\ =\min_{T_{n-1}\in\mathcal{D}_{n}}\left|\max_{x\in[a,b]}\right|f(x)-T_{n-1}(x)\mid\end{array}

On sait que le polynome $T_{n-1}^{*}(x)$ existe et est unique.
Désignos par $\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)$ le déterminant de Vandermonde de nombres $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ et par $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};j\right]$ la différence divisée d’ordre $n$ de la fonction $f(x)$ sur les points (supposées distincts) $x_{1},x_{2},\ldots$ . $x_{n+1}$ . On sait que

=\frac{\rho_{n-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)=}{\sum_{i=1}^{n+1}V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1}\right)}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|

(53)

est la meilleure approximation de la fonction $f(x)$ , par des polynomes du degre $n-1$ sur les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ . D’aprés le théorème bien connu de de la Vallée Poussin, nous avons

\mu_{n-1}[f]=\max\rho_{n-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)

(54)

le maximum du second membre étant relatif à tous les systèmes de $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ de l’intervalle $[a,b]$ . On peut remarquer $q^{\text{1è }}$
le maximum de

\left|\sum_{i=1}^{n+1}V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1}\right)\right|

dans les mêmes conditions, est la meilleure approximation de la fonction $f(x)==x^{n}$ par des polynomes du degré $n-1$ , sur l’intervalle $[a,b]$ , donc est égal à $\frac{(b-a)^{n}}{2^{2n}}$ . Il en résulte que si $p(x)\in\nabla_{n+1}$ et $p(x)\bar{\epsilon},\nabla_{n}$ nous avons

\mu_{n-1}[p]=\frac{(b-a)^{n}}{2^{2n}}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};p\right]\right|

(55)

le facteur $\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};p\right]\right|$ étant constant et égal à la valeur absolue du coefficient de $x^{n}$ du polynome $p(x)$ .
nome $p\left(x_{n}\right)\in p_{n+1}(\alpha)$ tel que $p\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n$ . Mais $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1;q_{1}}\right.$ coincide sur $n+1$ points avec la foction $f(x)$ qui est concave per rapport à $p_{n+1}(\alpha)$ , donc $p\left(x_{n+1}\right)-L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1};f\left(x_{n+1}\right)>0\right.$ ce qui est équivalent avec $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]<\alpha$ . Dans la dem stration de cette inégalité, nous avons tenu compte du fait que quels que soient les points $M_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),M_{2}\left(x_{2},y_{2}\right),\ldots,M_{n}\left(x_{n},y_{n}\right.$ . $x_{1},<x_{2}<\ldots<x_{n}$ si $x_{n+1}>x_{n}$ et si $p_{1}(x),p_{2}(x)$ , sont deux polynoms de l’épi relatif a ces points, alors de $p_{1}\left(x_{n+1}\right)>p_{2}\left(x_{n+1}\right)$ il résulte $q\left(x_{k}\right.\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};p_{1}\right]>\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};p_{2}\right]$ .

De ce qui précede on peut déduire quelques précisions sur la meilleur approximation de la fonction $f(x)$ par des polynomes de l’ensemble $\bar{p}_{3}$ Nous gardons toujours l’hypothèse de la convexité de la fonction $f(x)$ , qunous supposons aussi continue sur l’intervalle $[a,b]$ . Soit alors $\mathscr{E}_{\text{ni }}$ l’ensemble des points de $[a,b]$ pour lesquels nous avons $\left|f(x)-T_{n-1}^{*}(x)\right|==\mu_{n-1}[f]$ , où $T_{n-1}^{*}(x)$ est le polynome de meilleure approximatio : du degré $n-1$ de la foction $f(x)$ sur l’intervalle $[a,b]$ . L’ensemble $\mathscr{E}_{n-1}$ et fermé et soit alors $\xi=\inf\mathscr{E}_{n-1}$ . Nous avons $\left|f(\xi)-T_{n-1}^{+}(\xi)\right|=\mu_{n-1}[j$ . Posons

\delta_{n-1}[f]=(-1)^{n}\left[f(\xi)-T_{n-1}^{*}(\xi)\right].

(57)

On peut remarquer que si $f(x)$ coincide avec un élément $p(x)$ de $P_{n-1}$ qui ne se réduit pas à un polynome du degré $n-1$ , la fonctionnelle défina par (57) coincide avec $\delta_{n-1}$ [ $p$ ] donné par (56).

Sous les hypothèses faites sur la fonction $f(x)$ , $\partial_{\,n-1}[f]$ ne peut jamais coïncider avec $\delta_{\,n-1}[p]$ , si $p\in\mathcal{P}_{n+1}(\alpha)$ . En effet, d’après la remarque faite sur la différence divisée

[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f],

où les points $x_{i}$ , $i=1,2,\ldots,n+1$ , sont arbitraires dans $[a,b]$ , il résulte que $f(x)$ est une fonction à différences divisées bornées, au sens de la définition donnée par T. Popoviciu [9].

Ce résultat s’obtient aisément. Des propriétés des fonctions convexes d’ordre supérieur, il résulte d’abord que l’ensemble des éléments de $\mathcal{P}_{n+1}^{(2)}$ qui coïncident en $n$ points distincts avec $f(x)$ est également borné. Il en résulte aussi que l’ensemble des éléments de $\mathcal{P}_{n+1}$ qui coïncident en $n+1$ points avec $f(x)$ et qui sont tous concaves par rapport à $\mathcal{P}_{n+1}(\alpha)$ est également borné.

Le fait que les différences divisées

[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]

soient bornées découle alors de la majoration bien connue des coefficients d’un ensemble également borné de polynômes de même degré.

Nous avons donc …

\mu_{n-1}[f]=\frac{(b-a)^{n}}{2^{2n}}\left\{\max_{x_{1},x_{1},\ldots,x_{n+1}}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|\right\}

(58)

Du fait que nous avons toujours $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\neq\alpha$ , il résulte $q^{\text{qu }}$ nous ne pouvons jamais avoir $\delta_{n-1}[f]=\delta_{n-1}[p]$ si $p\in\mathcal{O}_{n+1}(\alpha)$ .

Passons à l’application du théorème 20. Considérons la fonctionull $A[f]=\delta_{n-1}[f]$ . En vertu des remarques faites plus haut, elle véifi toutes les condition de l’énoncé du théorème 20. En ce qui concerne ${}^{\text{l }}$ continuité de cette fonctionnelle, par rapport à. En ce qui cólément d l’espace des fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ et par rapport à la 1 I’s
trique uniforme*), elle est bien connue. Nous sommes ici dans le cas de l’application du théorème 20 à une fonctionnelle non linéaire.

Si $f(x)$ est une foction continue sur l’intervalle $[a,b]$ , nous avons le téoreme 21. - Si $\mu_{n-1}[f]$ est la meilleure approximation de la fonction $f(x)$ par des polynomes du degré $n-1$ sur l’intervalle $[a,b]$ , ils existent dans $[a,b]n+1$ points $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1}$ , tels que le polynome d’interpolation de Lagrange $L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\mid x\right)$ sur les noeuds $\xi_{i},i=1,2,\ldots,n+1$ , ait la propriété**)

\mu_{n-1}\left[L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\mid x\right)\right]=\mu_{n-1}[f].

(59)

Ce théorème nous conduit à une remarque intéressante sur les nombres $\mu_{k}[f],k=0,1,\ldots$ On sait que la suite de ces nombres est non-croissante. En vertu du théorème de weierstrass, nous avons $\lim_{k\rightarrow\infty}\mu_{k}[f]=0$ . Le théorème 21 nous montre que nous avons $\mu_{k}[f]=\frac{(b-a)^{k\rightarrow+1}}{2^{2k+2}}M_{k}[f]$ . L’étude de la structure des nombres $M_{k}[f],k=0,1,\ldots$ , sous l’hypothèse de la continuité de la fonction $f(x)$ , conduirair peut être à lá démonstration du théorème de weierstrass, a l’aide des polynomes de meilleure approximation. Le problème d’une telle démonstration a été signalé aussi ailleurs [8].

Le théorème 20 a aussi d’autres applications dans l’étude de la structure de certaines fonctionnelles qui interviennent dans l’analyse numérique. Un intérret tout particulier présente, pour une fonctionnelle donnée $A[f]$ , la recherche d’un ensemble interpolatoire d’ordre $n+1\geqq 2$ , tel que les hypothèses du théorème 20 soit vérifiées.

BIBLIOGRAPHIE

1.

E. F. Beckenbach. Generalized convex fonctions. Bull. Amer. Math. Soc. T. 43, 363-371, 1937.
2.

W. Markoff. Uber Polynome, die in einem gegebenen Intervalle moglichts wenig von Null abweichen. Math. Ann. 77, 213-258, 1916.
3.

E. Moldovan. Asupra unei generalizări a noțiunii de convexitate. Studii şi Cercetăr științifice, Cluj, VI, 65-73, 1955.
4.

E. Moldovan. Asupra unor teoreme de medie. Comunicările Academiei R.P.R. t. VI, nr. 1, 7-12, 1956.
5.

E. Moldovan. Proprietăti ale multimilor de functii interpolatoare. Bul. Univ. ,,V. Babeş" si ,,Bolyai". Seria şt. naturii I, 1-2, 1957.

⁰⁰footnotetext: *). La métrique

\rho\left(f_{1},f_{2}\right)=\underset{x\in[a,b]}{\max}\left|f_{1}(x)-f_{2}(x)\right|

**). De

\delta_{n-1}[f]=A

il résulte évidemment que

\mu_{n-1}[f]=|A|

7. D. Pompeiu. Sur une proposition analogue au théorème des accroissements finis. Matk matica T. 22, 143-146, 1946.
8. T. Popoviciu. Cea mai bună aproximatic a functiilor continue prin polinoame. Cluj, 19ji
9. T. Popoviciu. Sur quelques proprietés des fonctions d’une ou deux variables réllet Mathematica t. VIII, 1-86, 1934.
10. T. Popoviciu. Sur une généralisation le la notior de convexité d’ordre supérieu. Mathematica t. 12, 227-333, 1936.
11. T. Popoviciu. Notes sur les fonctions convexes d’ordre subérieuré ( $IX$ ). Bull. Math. de ? Soc. Roumaine des Sc : t. 43, 85-141, 1941.
12. T. Popoviciu. Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (1). Mathematicat 12 81-92, 1936.
13. G. Póly a. On the mean-value theorem coresponding to a given linear homogeneous different equation. Trans. Am. Math. Soc. 24, 312-324, 1922.
14. L. Tornheim. On n-parameter families of functions and associated convexe function : Trans. Amer. Mat. Soc. t. 69, 457-467, 1950.

Reçu le 7 noembre 1958.

Sur une généralisation des fonctions convexes

Abstrait

Traduction en anglais du titre

Auteur(s)

Mots-clés

PDF

Pour citer ce travail

Sur ce travail

Journal

Publié par

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Références

HTML forme du travail (preprint)

SUR UNE GÉNERALISATION DES FONCTIONS CONVEXES

Quelques propriétés des ensembles de fonctions interpolatoires

Nous avons donné ailleurs la démonstration [3].

§ 2.

La notion de tonction convexe par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ .

§ 3.

BIBLIOGRAPHIE

Related Posts

Sur une généralisation des fonctions convexes

Abstrait

Traduction en anglais du titre

Auteur(s)

Mots-clés

PDF

Pour citer ce travail

Sur ce travail

Journal

Publié par

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Références

HTML forme du travail (preprint)

SUR UNE GÉNERALISATION DES FONCTIONS CONVEXES

Quelques propriétés des ensembles de fonctions interpolatoires

Nous avons donné ailleurs la démonstration [3].

§ 2.

La notion de tonction convexe par rapport à un ensemble du type In​[a,b]I_{n}[a,b].

§ 3.

BIBLIOGRAPHIE

Related Posts

La notion de tonction convexe par rapport à un ensemble du type $I_{n}[a,b]$ .