LIGNES POLYGONALES INSCRITES ET CIRCONSCRITES A UN ARC CONVEXE

PAR
TIBERIU POPOVICIU
Roumanie

§ 1. QUESTIONS PRELIMINAIRES

1.

G. Tzitzéica a été non seulement un savant de prestige par ses recherches remarquables en géométrie, mais aussi un éminent professeur qui a contribué largement à l’éducation de nombreuses générations de mathématiciens de Rounanie. Collaborateur actif à la revue «Gazeta Matematica " à laquelle beaucoup d’entre nous devons notre initiation en mathématiques, G. Tzitzéica a écrit plusieurs articles et notes, sur des sujets «élémentaires», mais toujours intéressants et bien inspirés.
2.

Dans une petite note G. Tzitzéica propose [5] une démonstration Olémentaire de l’inégalité

\sin x>\frac{2x}{\pi}\text{ où }0<x<\frac{\pi}{2},

(1)

basée sur la remarque selon laquelle

\operatorname{arc}MAM^{\prime}>\operatorname{arc}MOM^{\prime}

(2)

où $O$ est l’origine des arcs sur le cercle trigonométrique $C,M,M{}^{\prime}$ sont les extrémités des

arcs $x,-x$ respectivement et l’are $MAMM^{\prime}$ est $1a$ longueur du demi-cercle déorit sur $MM^{\prime}$ comme diamètre (voir fig. 1).

D’après D. S. Mitrinović l’inégalité (1) est due à Jordan [2].

Lia démonstration de l’inégalité (2), qui n’est pas donnée par G. Tzitzéica, nous suggère une propriété plus générale relative à deux arcs convexes plans, l’un enveloppant l’autre. En effet, les arcs de cercles $MAMM^{\prime}$ et $MODM^{\prime}$ sont bien convexes et le premier enveloppe le second. Dans la suite nous mettons en évidence la propriété selon laquelle la longueur de l’arc enveloppant est plus grande que celle de l’aro enveloppé.
3. Nous commencerons par étudier quelques relations entre les éléments d’un triangle, relations que nous utiliserons plus loin.

Considérons un triangle $ABO$ dont les sommets, dans le plan rapporté à deux axes rectangulaires $Oxy$ , sont les points $B\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),A\left(x_{2}\right.$ ,

$\left.f\left(w_{2}\right)\right),C\left(w_{3},f\left(w_{3}\right)\right)$ . Nous allons supposer que les abscisses sont numérotées dans l’ordre $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ . Los ordonnées sont les valeurs respectives d’une fonction $f$ définie sur les points $x_{1},x_{2}$ , $w_{3}$ . Dans la suite interviendrons seulement des triangles dans cette situation, mais il est facile de voir que les résultats que nous obtenons peuvent être transposés à un triangle quelconque du plan, en choisissant convenablement les axes de coordonnées.
Désignons par $a,b,c$ , les longueurs des côtés opposés, respectivement aux sommets $A,B,C$ et par $d$ la longueur du segment $AD$ où $D$ est le point où l’ordonnée du point $A$ coupe le côté $BC$ ( $D$ est compris entre $B$ et $O$ ).

La longueur du segment de droite d’extrémités ( $x^{\prime},f\left(x^{\prime}\right)$ ), ( $x^{\prime\prime},f\left(x^{\prime\prime}\right)$ ) est égale à $\sqrt{\left(x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right)^{2}+\left(f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime\prime}\right)\right)^{2}}=\left|x^{\prime}-x^{\prime\prime}\right|\sqrt{1+\left\{\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};f\right]\right\}^{2}}$ où nous avons désigné par

\left[x^{\prime}w^{\prime\prime};f\right]=\frac{f\left(w^{\prime\prime}\right)-f\left(w^{\prime}\right)}{w^{\prime\prime}-w^{\prime}}

(3)

la différence divisée (du premier ordre) de la fonction $f$ sur les points (ou nœuds) $\mathfrak{x}^{\prime},\mathfrak{x}^{\prime\prime}$ .

Revenons alors au triangle $ABC$ et posons, pour simplifier les notations, $\alpha=\left[x_{1},x_{2};f\right],\beta=\left[x_{2},x_{3};f\right],\gamma=\left[x_{1},x_{3};f\right]$ . Nous avons alors

	$\displaystyle a=\left(x_{3}-x_{1}\right)\sqrt{1+\gamma^{2}},b=\left(x_{3}-x_{2}\right)\sqrt{1+\beta^{2}}$
	$\displaystyle c=\left(x_{2}-x_{1}\right)\sqrt{1+\alpha^{2}}$		(4)

A l’aide de ces formules nous pouvons établir quelques inégalités que nous emploierons plus loin.
4. Les inégalités tringulaires $b-c<a\leqq b+c$ sont équivalentes aux inégalités

(b-c)^{2}<a^{2}\leqq(b+c)^{2}

(5)

et d’ésultent des formules
(6) $\quad(b+c)^{2}-a^{2}=2\left(w_{2}-x_{1}\right)\left(w_{3}-x_{2}\right)\left(\sqrt{1+\alpha^{2}}\sqrt{1+\beta^{2}}-1-\alpha\beta\right)$
(7) $\quad a^{2}-(b-c)^{2}=2\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(\sqrt{1+\alpha^{2}}\sqrt{1+\beta^{2}}+1+\alpha\beta\right)$ .

Elles s’obtiennent de (4) et de la formule de la moyenne des différences divisées

\gamma=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\alpha+\left(x_{3}-x_{2}\right)\beta}{x_{3}-x_{1}}.

(8)

Si nous remarquons que nous avons l’inégalité $\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)\geqq(1++\alpha\beta)^{2}$ , où l’égalité a lieu si et seulement si $\alpha=\beta$ , nous déduisons

\sqrt{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}-1-\alpha\beta\geqq 0,\sqrt{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}+1+\alpha\beta\geqq 0

el compte tenu de (6) et (7) les inégalités (5) en résultent.
Remarquons, en passant, que nous avons aussi
$\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)\geqq(1-\alpha\beta)^{2}$ où l’égalité a lieu si, et seulement si, $\alpha+\beta=0$ . Il en résulte que

\sqrt{\left.1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}+1+\alpha\beta\geqq 2,

(9)

inégalité qui sera utilisée plus loin.
Des inégalités (5) il résulte aussi

(b+c)^{2}\leqq\left(1+\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{a^{2}-(b-c)^{2}}\right)a^{2}

(10)

dont la vérification peut être laissée au lecteur*.
Tenant compte de (6), (7) et (9) nous déduisons

		$\displaystyle\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{a^{2}-(b-c)^{2}}=\frac{\sqrt{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}-1-\alpha\beta}{\sqrt{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}+1+\alpha\beta}=$
		$\displaystyle=\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{\left(\sqrt{\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\beta^{2}\right)}+1+\alpha\beta\right)^{2}}\leqq\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{4}.$

•

L’inégalité revient à $b+c\leqslant\frac{a}{\sin\frac{A}{2}}$ , dont la démonstration trigonométrique est immédiate et revient à son tour à $\cos\frac{B-C}{2}\leqq 1$ .

Remarquons que $1+\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{4}\leqq\left(1+\frac{|\alpha-\beta|}{2}\right)^{2}$ et alors de (10) nous déduisons l’inégalité

b+c\leqq\left(1+\frac{|\alpha-\beta|}{2}\right)a.

(11)

5.

Nous avons

a^{2}-b^{2}-e^{2}=2\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)(1+\alpha\beta).

(12)

Si hous remarquons que l’ordonnée du point $D$ est égale à $f\left(x_{1}\right)+\left(x_{2}-\right.\left.-x_{1}\right)$ y ou $f\left(x_{3}\right)+\left(x_{2}-x_{3}\right)$ y et si nous tenons compte de (8) nous obtenons

d^{2}=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}}{\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}}(\alpha-\beta)^{2}

Compte tenu de (4) et (8) nous en déduisons

d^{2}+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)}{\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}}a^{2}=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)b^{2}+\left(x_{3}-x_{2}\right)}{x_{3}-x_{1}}

(13)

Le second membre est uno moyenne arithmétiquo (pondérée) de $b^{2}$ et de $c^{2}$ et il en résulte que

d<\max(b,c)

(14)

Si $|\alpha-\beta|\leqq\sqrt{2}$ nous avons $1+\alpha\beta\geqq 1-\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{2}==\left(1-\frac{|\alpha-\beta|}{\sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{|\alpha-\beta|}{\sqrt{2}}\right)\geqq 1-\frac{|\alpha-\beta|}{\sqrt{2}}\geqq 0$ done $1+\alpha\beta\geqq 0$ et alors de (12) on déduit que $b^{2}+c^{2}\leqq a^{2}$ d’où max $(b,c)\leqq a$ . Compte tenu de (14) nous déduisans le

Lemme 1. Si nous avons $|\alpha-\beta|\leqq\sqrt{2}$ on a l’inégalité $d<\alpha$ .
Nous utiliserous dans le § 4 de ce travail cette propriété.
hemarque 1. La condition $1+\alpha\beta\geqq 0$ est équivalente an fait que l’angle $A$ du triaugle $ABC$ n’est pas aigu, done que $A\geqq 90^{\circ}$ .

Remarque 2. Si nous considérons aussi les différences divisées du second ordre de la fonction $f$ , définies par

\left[w^{\prime},w^{\prime\prime},w^{\prime\prime\prime};f\right]=\frac{\left[w^{\prime\prime},w^{\prime\prime\prime};f\right]-\left[w^{\prime},w^{\prime\prime};f\right]}{w^{\prime\prime\prime}-w^{\prime}}

(15)

la longueur $d\mathrm{du}$ segment $AD$ est égale $\left.\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right).\mid\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]\right]$ ou bien est donnée par la formule $d=\frac{2\mathcal{S}}{x_{3}-x_{1}}$ , $S$ étant l’aire du triangle $ABC$ .

§ 2. QUELQUES PROPRIETÉS DES FONCTIONS POLYGONALES

6.

Considérons un intervalle borné et fermé $[a,b](a<b)$ sur l’axe réel. Soit $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n-1}<x_{n}=b$ ( $n\geqq 1$ ) une division de 1’intervalle $[a,b]$ . Une fonction $P:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ qui est continue et se réduit sur chacun des intervalles partiels $\left[x_{i-1},x_{i}\right],i=1,2,\ldots,n$ à un polynóme de degré 1. s’appelle une fonotion polygonale et son graphique est une ligne polygonale. Les points $x_{i},i=0,1,\ldots,n$ sont les newds et les points $P_{i}\left(x_{i},P\left(x_{s}\right)\right)$ sont les sommets de cette fonction ou ligne polygonale. Dans la suite nous emploierons, selon les circonstances, la dénomination de fonction polygonale ou de ligne polygonale dans le sens de fonction polygonale. La fonction polygonale $P$ est complètement déterminéo par ses valeurs aux noeuds $n_{1}$ . Si ces valeurs sont les valeurs prises par une fonction $f$ , nous désignerons la fonction polygonale par

P=P\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f\right)

(16)

en mettant on évidence les noudsj etj la fonction $f$ . La fonetion polygonale (16) est une fonction interpolatrice sur les nouds $x_{i}$ et relative à la fonction $f$ , puisqu’on a

P\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right),i=0,1,\ldots,n.

Les segments de droites $P_{t-1}P_{i}$ qui relient deux sommets consécutifs et qui sont les graphiques des restrictions sur les intervalles $\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ , $i=1,2,\ldots,n$ de $P$ sont les oótés de la fonction ou de la ligne polygonale $P$ . La longueur du côté $P_{i-1}P_{i}$ est bien déterminée et est égale à

\sqrt{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right)^{2}}=\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\sqrt{1+\left[x_{i-1},x_{i};f\right]^{2}}.

Nous désignerons par $l(P)$ la longueur de la fonction polygonale $P$ , qui est, par définition, égale à la somme des longueurs de ses côtés.

Remarquons que la restriction de la fonction polygonale $P$ sur un sous-intervalle fermé de $[a,b]$ est encore une fonction polygonale. En particulier, si $c$ est un point intérieur de $[a,b]$ , la restriction $Q$ de $P$ sur $[a,e]$ et la restriction $R$ de $P$ sur $[c,b]$ sont des fonctions polygonales, le dernier nooud de la première coincidant avec le premier noeud de la seconde. Nous avons alors la propriété de l’additivité de la longueur

l(P)=l(Q)+l(R).

(17)

Réciproquement, si $Q:[a,b]\rightarrow\mathbb{R},R:[o,b]\rightarrow\mathbb{R}$ , où $a<e<b$ , sont des fonctions polygonales et si $Q(c)=R(c)$ , alors la fonction $P:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ , où

P(x)=\left\{\begin{array}[]{l}Q(x)\text{ pour }x\in[a,c]\\ R(x)\text{ pour }x\in[c,b]\end{array}\right.

est une fonetion polygonale pour laquelle la formule d’additivité (17) est vérifiée.

Il existe d’ailleurs d’autres formules d’additivité. Nous utiliserons celles qu’on déduit de (17) en la répétant un nombre fini de fois.

Rappelons encore que nous avons appelé autrefois les fonctions polygonales des fonctions ólémentaires d’ordre $n$ pour $n=1$ [3]. Aujourd’hui on les appelle des fonctions «spline». Nous pouvons généraliser les fonetions polygonales de diverses manières. Ou bien en prenant un ensemble de définition plus général qu’un intervalle ou bien en définissant des fonctions polygonales ayant une infinité de nouds (voir par exemple [4]). Nous n’utiliserons pas ici de telles fonctions.
7. Nous supposerons qu’on connait les propriétés des fonctions convexes et des fonctions non concaves (d’ordre 1). Une fonotion $f:E\rightarrow\mathbb{R}$ réelle, d’une variable réelle est dite convexe respectivement non concave si sa différence divisée d’ordre 2 est positive, respectivement non négative, donc si l’expression (15) est $>0$ , respectivement $\geqq 0$ pour tout groupe de 3 points distincts $x^{\prime},x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime}$ de $E$ . Pour d’autres définitions et propriétés de ces fonctions on peut consulter mon cours d’Analyse [4].

La définition et les propriétés des différences divisées (d’ordre 1 et 2) (3) et (15) sont bien connues. Dans ce travail nous utiliserons certaines de ces propriétés, le plus souvent, sans les spécifier expressément.
8. Rappelons tout d’abord la propriété expriméo par le

Lemme 2. Pour que la fonotion polygonale (16), définie sur l’intervalle $[a,b]$ soit non concave, il faut et il suffit que sa restriction sur l’ensemble $\left\{x_{i}\right\}_{i=0}^{n}$ de ses nceuds soit non concave.

La propriété résulte immédiatement de la formule

	$\displaystyle P\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f\right)=f\left(x_{0}\right)+\left[x_{0},x_{1};f\right]\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{2}\left[x_{i-1},x_{i},x_{i+1};f\right]\left(\left\|x-x_{i}\right\|+\infty-x_{i}\right).$		(19)

La condition du lemme 2 est équivalente à la propriété selon laquelie la suite $\left(\left[x_{i-1},x_{i};f\right]\right)_{i=1}^{n}$ (des pentes) est non décroissante et à la propriété (si $n>1$ ) selon laquelle la suite ( $\left.\left[x_{i-1},x_{i},x_{i+1};f\right]\right)_{i=1}^{n-1}$ des différences divisées successives du second ordre est non négative.

Si $n=1$ , au second membre de la formule (19) ne figurent que les deux premiers termes.

Désignons par $\alpha_{i}$ l’angle du vecteur $P_{i-1}P_{i}$ avec l’axe $Ox$ . Nous avons alors $\alpha_{i}=\operatorname{arctg}\left[x_{i-1},x_{i};f\right],-\frac{\pi}{2}<\alpha_{i}<\frac{\pi}{2},i=1,2,\ldots,n$ . La différence $\alpha_{i+1}-\alpha_{i}(1\leqq i\leqq n-1)$ est l’angle extérieur du sommet $P_{i}$ de la ligne polygonale $P$ . La condition du lemme 2 est alors équivalente à la propriété selon laquelle la suite ( $\left.\alpha_{i}\right)_{i=1}^{n}$ (des angles) est non décroissante et à la propriété(si $n>1$ ) selon laquelle la suite ( $\left.\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right)_{i=1}^{n-1}$ des angles exterieurs est non négative.
9. Nous allons maintenant démontrer le

Lemme 3. Soient $P,Q$ deux fonetions polygonales définies sur le même intervalle $[a,b](a<b)$ et qui vérifient les conditions suivantes :

1.

$P(a)=Q(a),P(b)=Q(b)$ .
2.

$P,Q$ sont non concaves.
3.

On a

P\neq Q\text{ et }\forall_{x}Q(x)\leqq P(x).

(20)

Alors, entre les longueurs de $P$ et $Q$ nous avons l’inégalité

l(P)<l(Q).

(21)

Si les conditions $1,2,3$ du lemme 3 sont vérifiées et si $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ , ou $\omega^{\prime}<x^{\prime\prime}$ sont deux nœuds consécutifs de la fonction $Q$ , de $P\left(x^{\prime}\right)=Q\left(x^{\prime}\right)$ , $P\left(p^{\prime\prime}\right)=Q\left(x^{\prime\prime}\right)$ il résulte nécessairement que $P(x)=Q(x)$ sur tout l’intervalle $\left[x^{\prime},x^{\prime\prime}\right]$ . Des conditions 1, 2, 3 il résulte done que sur au moins l’un des noeuds $x^{\prime}$ de $Q$ on a $Q\left(x^{\prime}\right)<P\left(x^{\prime}\right)$ . Ceci étant, on peut remarquer que du lemme 3 il résulte aussi le

Lemme 3’. Si $P,Q$ sont deux fonctions polygonales définies sur le méme intervalle $[a,b](a<b)$ et qui vérifient les conditions 1, 2 du lemme 3 ainsi que la condition
$3^{\prime}$ , on a
(20’)

\forall_{x}Q(x)\leqq P(x).

Alors, nous avons l’inégalité

l(P)\leqq l(Q)

(

\prime

)

Dans la démonstration du lemme 3 nous utiliserons aussi le lemme $3^{\prime}$ . Il nous reste à démontrer le lemme 3.
Soient $n+1$ le nombre des nouds de $P$ et $m+1$ celui de $Q.n$ et $m$ sont des nombres naturels quelconques et nous allons procéder par induction complète.

Remarquons d’abord que, en vertu de la non-concavité de $P$ , nous pouvons exclure le cas $m=1$ . En effet, si $m=1$ , les conditions 1 , 2 étant vérifiées, Ia condition (20’) ne peut avoir lieu que si $P=Q$ et alon’s $l(P)==l(Q)$ , la condition 3 n’étant pas vérifiée.

Nous ferons la démonstration en deux étapes.

1.

Première étape. Nous démontrerons la propriété pour $n=1$ et pour $m>1$ quelconque. La propriété est vraie pour $m=2$ . Soit, en effet) dans ce cas, $y_{1}$ le nowd différent de $a$ et de $b$ de $Q$ . Nous avons alors $Q\left(y_{1}\right)<<P\left(y_{1}\right.$ , et le triangle $P_{0}Q_{1}P_{2}$ est non dégénéré. D’après les remaiques faites plus haut, de l’inégalité triangulaire il résulte que $l(P)<lQ(Q)$ .

Soit maintenant $k$ un nombre naturel $>1$ et supposons que la propriété soit vraie pour tout $m$ tel que $1\leqq m\leqq k$ . Démontrons qu’elle sera vraie aussi pour $m=k+1$ . Soit done $m=k+1(k>1)$ et soit $y_{i}$ un noud de $Q$ tel que l’on ait $Q\left(y_{i}\right)<P\left(y_{i}\right)^{\star}$ . Désignons par $Q^{\prime}$ la restriction de $Q$ sur $\left[a,y_{i}\right]$ et par $Q^{\prime\prime}$ sa restriction sur $\left[y_{i},b\right]$ . Désignons aussi par $P^{\prime}$ la fonction polygonale $P\left(a,y_{i};Q\right)$ et par $P^{\prime\prime}$ la fonction polygonale $P\left(y_{i},b;Q\right)$ . Alors, d’apprès le résultat relatif au cas $m=2$ , on a

l(P)<l\left(P^{\prime}\right)+l\left(P^{\prime\prime}\right).

(22)

Remarquons maintenant que $P^{\prime}$ et $Q^{\prime}$ sont des fonetions polygonales ayant respectivement 2 et un nombre $<m$ de nœuds. Il en est de même

⁰⁰footnotetext: • Dans notre cas d’ailleurs cette inégalité est vérifiée pont tout nœud de

Q

diffé. rent de

a

et de

b

pour les fonctions polygonales $P^{\prime\prime}$ et $Q^{\prime\prime}$ . D’après le lemme $3^{\prime}$ , qui par hypothèse s’applique dans ce cas, nous avons

l\left(P^{\prime}\right)\leqq l\left(Q^{\prime}\right),l\left(P^{\prime\prime}\right)\leqq l\left(Q^{\prime\prime}\right).

(23)

Mais, d’après l’additivité de la longueur des lignes polygonales, on a $l\left(Q^{\prime}\right)++l\left(Q^{\prime\prime}\right)=l(Q)$ . Compte tenu de (21), (22) on déduit que $l(P)<l(Q)$ . Ce qu’il fallait démontrer.
2. Deuxième étape. Démontrons maintenant quo pour tout $n$ donné et quel que soit $m$ la propriété est vraie. Pour $n=1$ la propriété a été démontrée plus haut. Soit maintenant $\%$ un nombre naturel $>1$ et supposons que la propriété soit vraie pour tout $n$ tel que $1\leqq n\leqq k$ . Il suffit de démontrer que la propriété est vraie aussi pour $n=k+1$ . Supposons donc que $P$ ait $k+2$ noeuds et soit $x_{1}$ son deuxième noeud (on a $a<a_{1}<b$ ). Nous devons examiner deux cas:

Cas 1. $Q\left(w_{1}\right)=P\left(w_{1}\right)$ . Soient alors $P^{\prime},P^{\prime\prime}$ et $Q^{\prime},Q^{\prime\prime}$ les restric-.

tions de $P$ et $Q$ sur $\left[a,x_{1}\right],\left[x_{1},b\right]$ respectivement. Alors $P^{\prime},Q^{\prime}$ d’une part et $P^{\prime\prime},Q^{\prime\prime}$ d’autre part vérifient les conditions du lemme $3^{\prime}$ et de plus $P^{\prime}$ et $P^{\prime\prime}$ sont des fonctions polygonales à un nombre $<n$ de nouds. Avec ces notations, les inégalités (22) sont encore, par hypothèse, vérifiées. Il en résulte que $l(P)\leqq l(Q)$ . Mais ici l’égalité n’est possible que si nous avons l’égalité dans les deux relations (23), ce qui exige $P^{\prime}=Q^{\prime},P^{\prime\prime}=Q^{\prime\prime}$ et donc $P=Q$ . Il en résulte que $l(P)<l(Q)$ et le lemme 3 est encore démontré.

Cas 2. $Q\left(x_{1}\right)<P\left(x_{1}\right)$ . Dans ce cas, la non-concavité des fonctions $P,Q$ nous montre que la fonction $Q$ et la fonction linéaire $y==\frac{x-a}{x_{1}-a}P\left(x_{1}\right)+\frac{x-x_{1}}{a-x_{1}}P(a)$ coincident sur l’intervalle $[a,b]$ , on dehors du point $x_{1}$ sur un seul point $\alpha$ qui est à droite de $x_{1}$ et à gauche de $b$ (voir la fig, 3).

Nous désignons maintenant par $P^{\prime},P^{\prime\prime}$ les restrictions de $P$ sur $\left[a,x_{1}\right],\left[x_{1},b\right]$ respectivement et par $Q^{\prime},Q^{\prime\prime}$ les restrictions de $Q$ sur $[a,\alpha]$ , $[\alpha,b]$ respectivement. Enfin désignons par $P^{*}$ la fonction polygonale définie sur [ $a,a$ ] par

P^{*}(x)=\left\{\begin{array}[]{l}P^{\prime}(x)\text{ pour }x\in\left[a,x_{1}\right]\\ y(x)\text{ pour }x\in\left[x_{1},\alpha\right],\end{array}\right.

par $Q^{*}$ la fonction polygonale définie sur $\left[x_{1},b\right]$ par

Q^{*}(x)=\left\{\begin{array}[]{l}y(x)\text{ pour }x\in\left[x_{1},\alpha\right]\\ Q^{\prime\prime}\cdot(x)\text{ pour }x\in[\alpha,b]\end{array}\right.

et enfin par $y$ la ligne polygonale restriction de la fonction $y$ sur $\left[w_{1},\alpha\right]$ . Remarquons que $P^{*}$ est une fonction polygonale à 2 nœuds (c’est une ligne droite) et $P^{\prime\prime}$ une fonction polygonale à $<\eta$ nœuds. Nous avons donc, par hypothèse,

l\left(P^{*}\right)<l\left(Q^{\prime}\right),l\left(P^{\prime\prime}\right)\leqq l\left(Q^{*}\right).

(24)

Mais l’additivité de la longueur nous donne $l(P)=l\left(P^{\prime}\right)+l\left(P^{\prime\prime}\right),l(Q)==l\left(Q^{\prime}\right)+l\left(Q^{\prime\prime}\right)$ et $l\left(P^{*}\right)=l\left(P^{\prime}\right)+l(y),l\left(Q^{*}\right)=l(y)+l\left(Q^{\prime\prime}\right)$ . Compte tenu aussi de (23) il en résulte que $l(P)<l(Q)$ . De cette manière le lemmé 3 est encore démontré.

Je dois remarquer qu’un cas particulier du lemme 3 a été démontré par le procédé indiqué ici par E. Hille dans son intéressant livre d’analyse [1].

§ 3. SUR IA LONGUEUR DES LIGNES POLYGONALES INSCRITES OU CIRCONSCRTTES $\mathring{\mathrm{A}}$ UN ARG CONVEXE

10.

Soit $f$ une fonetion convexe définie sur l’intervalle borné et fermé $[a,b]$ où $a<b$ . On sait que $f$ est alors continue et a une dérivée à gauche et une dérivé à droite sur tout point de l’intérieur $]a,b[$ de l’intervalle $[a,b]^{*}$ .

Nous considérons d’abord seulement des fonctions convexes $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ qui vérifient les deux propriétés suivantes :

1.

$f$ est continue (sur $[a,b]$ ),
2.

$f$ admet une dérivée à gauche (finie), $f_{g}^{\prime}(x)$ sur tout $\left.\left.x\in\right]a,b\right]$ et une dérivée à droite $f_{d}^{\prime}(x)$ (finie) sur tout $w\in[a,b[$ .

Pour simplifier nous dirons qu’une telle fonction est une fonction ( $O$ ). Les propriétés de monotonie des fonctions $f_{\rho}^{\prime}f_{a}^{\prime}$ sont bien connues et il est inutile de les rappeler. Nous les emploierons d’ailleurs plus loin. Remarquons seulement ici que si $f$ est whe fonction ( $O$ ) sur l’intervalle $[a,b]$ , sa restriction sur un sous-intervalle fermé quelconque (de longueur non aulle) de $[a,b]$ est aussi une fonction (C). La restriction imposée à la fonction $f$ restreintun peu, mais plutôt en apparence, la généralité des propriétés que nous voulons établir. Nous verrons d’ailleurs que les propriétés relatives aux ares de la frontière d’un ensemble convexe du plan en résultent faciloment.

Pour une fonction ( $O$ ) l’ensemble des différences divisées [ $x^{\prime},w^{\prime\prime};f$ ] pour $x^{\prime},w^{\prime\prime}\in[a,b],\left(x^{\prime}\neq w^{\prime\prime}\right)$ est borné et nous avons

		$\displaystyle\inf\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};f\right]=\lim\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};f\right]=f_{a}^{\prime}(a),$
		$\displaystyle\sup\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};f\right]=\lim\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};f\right]=f_{g}^{\prime}(b).$

11.

Définition 1. La fonction polygonale $P\left(x_{0},x_{1},\ldots,w_{n};f\right)$ ayant ses sommets ( $x_{0}=a,x_{n}=$ b) sur le graphique de la fonction $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est dite inscrite dans cette fonction.

On voit tout de suite que si $f$ est une fonction ( $d$ ) toute fonction polygonale inscrite dans cette fonction est une fonotion non concave.

⁰⁰footnotetext: ^∗ Les dérivées unilatérales existent d’alleurs, au sens propre, ou impropre, aussi sur

a

et sur

b

Nous avons maintenant le
Lemine 4. Les demi-droites d’appui de pentes finies $p,q$ , où $p\leqq\leqq f_{a}^{\prime}(a)f_{\sigma}^{\prime}(b)\leqq q$ respectivement aux points ( $a,f(a)$ ), ( $b,f(b)$ ), se oupent en un point $A(\alpha,\beta)$ dont l’absoisse $\alpha$ est striotement comprise entre a et $b$ .

La démonstration est immédiate. Nous avons

p\leqq f_{a}^{\prime}(a)<[a,b;f]<f_{a}^{\prime}(b)\leqq q

et alors $\alpha$ , qui est l’unique racine de l’équation en $x,-q(x-b)++p(x-a)=f(b)-f(a)$ est strictement comprise entre $a$ et $b$ . Désignons par $Q$ la fonetion polygonale ayant pour sommets les points $(a,f(a)),A$ et ( $b,f(b)$ ) et soit $P$ une fonction polygonale inscrite dans la fonction $f$ . Les conditions du lemme 3 sont alors vérifiées et nous avons done $l(P)<l(Q)$ . On en déduit que la longueur des fonctions polygonales inscrites est bornée supérieurement. Il en résulte le fait bien connu que l’arc convexe $y=f(x)$ , pour ane fonction ( $O$ ), est rectifiable. Désignons par $l(f)$ la longueur de cet are, que nous appelons plus simplement la longueur de la fonction $f$ . Nous avons alors, par définition, $l(f)=\sup l(P),\mathscr{Q}_{i}$ étant l’ensemble des lignes polygonales inscrites dans $\mathscr{G}_{i}$ la fonction $f$ . Remarquons que $l(f)$ est toujours un nombre positif. Il en est de même d’ailleurs de la longueur d’une ligne polygonale.

On a aussi

l(f)=\lim_{(\mathscr{Q}i)}l(P)

(25)

puis que $f$ ne peut coïncider avec une fonction polygonale inscrite dans $f$ .
Remarque 1. Si $f$ est une fonction ( $C$ ), nous avons $l(P)<l(f)$ pour tout $P\in\mathscr{Q}_{i}$ . En effet, si $P=P\left(x_{0},x_{1},\ldots,a_{n};f\right)$ et si nous considérons le point $\xi$ tel que $w_{i}<\xi<w_{i+1}$ , pour la fonction polygonale $P^{*}P^{*}\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{i},\quad\xi,x_{i+1},\ldots,x_{n};f\right)$ nous avons $l(P)<l\left(P^{*}\right)\leq l(f)$ , donc $l(P)<l(f)$ .

Remarque 2. Soit, en particulier, $Q^{*}$ la ligne polygonale qui s’ob. tient en prenant $p=f_{a}^{\prime}(a),q=f_{\sigma}^{\prime}(b)$ . On voit alors facilement que les hypothèses du lemme $3^{\prime}$ sont vérifiées par $Q$ et $Q^{*}$ et nous en déduisons $l\left(Q^{*}\right)\leqq l(Q)$ , l’égalité ayant lieu si, et seulement si, $Q$ coincide avec $Q^{*}$ Nous emploierons plus loin cette remarque.

La fonction polygonale $Q$ construite plus haut, vérifiant la condition 3 du lemme 3 est une fonction polygonale oirconsorite à la fonction $f$ Nous allons généraliser plus loin cette notion de fonction polygonale cir conscrite.

Remarque 3. La longueur $l(f)$ de l’arc d’une fonction $(O)$ jouit encore d’une propriété d’additivité. Cette propriété peut se formuler de diverses. manières et se réduit à l’égalité

l(f)=l(g)+l(h),

(26)

où $f$ est une fonction ( $C$ ) définie sur l’intervalle $[a,b]$ et $g,h$ sont ses restrictions sur les sous-intervalles $[a,e],[c,b]$ respectivement où $a<c<b$ . Remarquons d’abord que $g,h$ sont également des fonctions ( $C$ ).

Soit maintenant $\varepsilon$ un nombre positif quelconque.
Si $Q,R$ sont des fonctions polygonale inscrites dans les fonctions $g,h$ telles que $l(g)-\frac{\varepsilon}{2}<l(Q),l(h)-\frac{\varepsilon}{2}<l(R)$ , done $l(g)+l(h)-\varepsilon<<l(Q)+l(R)$ , si $P$ est la fonction polygonale prolongée sur $[a,b]$ par la formule (18) ot si l’on tient compte de (17), il en résulte que

l(g)+l(h)-\varepsilon<l(f).

(27)

D’autre part, soit $P$ une fonotion polygonale inscrite dans la fonction $f$ telle que $l(f)-\varepsilon<l(P)$ et soit $P^{*}$ la fonction polygonale inscrite qu’on obtient de $P$ en ajoutant éventuellement le noeud $c$ (lorsqu’il n’est pas un noud de $P$ ). Alors si $Q^{*},R^{*}$ sont les restrictions de $P^{*}$ sur $[a,c]$ , $[c,b]$ respectivement on a $l(f)-\varepsilon<l(P)\leqq l\left(P^{*}\right)=l\left(Q^{*}\right)+l\left(R^{*}\right)<<l(g)+l(h)$ , d’où

l(f)-\varepsilon<l(g)+l(h).

(28)

De (27) et (28) il résulte l’égalité (26), done justement l’additivité que nous voulions démontrer.

Enfin remarquons que le lemme 4 et les remarques qui en résultent s’appliquent à toute restriction de la fonction $f$ sur un sous-ensemble fermé de $[a,b]$ .
12. Nous pouvons donner maintenant la définition d’une fonction ou ligne polygonale circonscrite.

Définition 2. $f$ étant une fonction $(C)$ , une fonction polygonale $P$ ayant un nombre impair $2n+1\ (n>0)$ de nœuds $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{2n}=b$ et dont les sommets correspondants seront encore désignés par $P_{i},\ i=0,1,\ldots,2n$ , est dite circonscrite à la fonction $f$ si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1.

Les sommets $P_{2i}$ correspondant auw nouds d’indice pair $\omega_{2i},\quad i==0,1,\ldots,n$ sont sur la courbe $y=f(x)$ .
2.

Ohaque obté $P_{i}P_{i+1},i=0,1,\ldots,2n-1$ est segment d’une droite d’appui de la fonction $f$ (de la courbe $y=f(x)$ .)

La condition 1 implique $P\left(x_{2i}\right)=f\left(x_{2i}\right),\;i=0,1,\ldots,n$ . La fonction polygonale circonscrite est donc une fonction interpolatrice de la fonction $f$ , mais seulement sur les nœuds $x_{2i},\;i=0,1,\ldots,n$ .

La condition 2 implique les inégalités

	$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}{\left[a,w_{1};P\right]\leqq f_{1}^{\prime}(a),f_{g}^{\prime}(b)\leqq\left[w_{2n-1},b;P\right]}\\ f_{o}^{\prime}\left(w_{2i}\right)\leqq\left[w_{2i-1},w_{2i};P\right],\left[w_{2i},w_{2i+1};P\right]\leqq f_{d}^{\prime}\left(w_{2i}\right)\end{array}\right.}$		(29)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,n-1(n>1)$

⁰⁰footnotetext: • Il ne faut pas confondre la fonction polygonale circonscrite

P

avec la fonction polygonale inserite

P\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{2n};f\right)

D’après le lemme 4 le nœud $x_{2i-1}$ est bien compris strictement entre $x_{2i-2}$ et $x_{2i},i=1,2,\ldots,n$ . On voit aussi que les sommets $P_{2i-1},i==1,2,\ldots,n$ sont tous au-dessous de la fonetion $f$ . en résulte que $P(x)<f(x)$ pour tout $x$ différent d’un nowd d’indice pair, ce qui justifie la dénomination pour $P$ de fonction polygonale circonscrite à la fonction $f$ .

Pour faciliter le langage nous dirons que les nouds $x_{2i}$ et les sommets respectifs $P_{2i}$ d’indice pair sont de la première espèce. Les autres nouds. et sommets sont de la seconde espèce.
13. $f$ étant une fonotion (C), il résulte que

f^{\prime}\left(w_{2i-2}\right)<f^{\prime}\left(w_{2i}\right),i=1,2,\ldots,n

(30)

De (29) il résulte que

\left[x_{2i-2},x_{2i-1};P\right]<\left[x_{2i-1},x_{2i};P\right],i=1,2,\ldots,n.

(31)

Mais, il est important de remarquer que si $n>1$ une fonction polynomiale circonscrite n’est pas nécessairement une fonotion non concave. Pour que cette dernière propriété ait lieu il faut et il suffit que, en dehors de (30), les inégalités

\left[x_{2i-1},x_{2i};P\right]\leqq\left[x_{2i},x_{2i+1};P\right],i=1,2,\ldots,n-1

(32)

soient vérifiées.
En supposant toujours $n>1$ , parmi ces fonctions polygonales celles pour lesquelles l’égalité a lieu dans toutes les relations (32) sont particulièrement remarquables. Alors les côtés $P_{2i-1}P_{2i},P_{2i}P_{2i+1}$ , forment ensemble pour tout $i$ un segment d’une droite d’appui au point ( $\omega_{2i},f\left(\omega_{2i}\right)$ ), de la fonction $f$ .

Il est facile de construire de telles fonctions polygonales circonscrites ayant los nouds de première espèce quelconques domés d’avance. Prenons, en effet, los points $x_{2i}$ tels que $a=w_{0}<x_{2}<x_{4}<\ldots<x_{2n-2}<x_{2n}=b$ , mais par ailleurs quelconques et menons des droites d’appui $d_{i}$ aux points $P_{2i}\left(\omega_{2i},f\left(x_{2i}\right)\right),i=1,2,\ldots,n-1$ (si $n>1$ ) et soient encore $d_{0},d_{b}$ des droites d’appui non verticales aux points ( $a,f(a)$ ), ( $b,f(b)$ ).

Alors les pentes des droites $d_{i}$ forment une suite croissante. L’intersection $P_{2i-1}$ des droites $d_{i-1},d_{i}$ a une abscisse $x_{2i-1}$ strictement comprise entre $x_{2i-2}$ et $x_{2i},\;i=1,2,\ldots,n$ . La fonction polygonale de sommets $P_{i},\;i=0,1,\ldots,2n$ est bien de la forme indiquée. On voit facilement que la fonction polygonale circonscrite à $f$ ainsi construite est bien une fonction non concave.

La construction précédente est basée d’abord sur le fait que, si $f$ est une fonction $(C)$ , en chaque point du graphique de $f$ il existe au moins une droite d’appui non verticale. Ensuite, la pente d’une droite d’appui au point $(x^{\prime},f(x^{\prime}))$ est toujours plus petite que la pente d’une droite d’appui en un point $(x^{\prime\prime},f(x^{\prime\prime}))$ ayant l’abscisse $x^{\prime\prime}$ plus grande que $x^{\prime}$ .

14. La construction précédente permet d’éclaircir la notion de fonctions polygonales circonscrites consécutives.

Nous dirons que deux fonctions polygonales $P,Q$ circonscrites à la même fonction $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sont consécutives (l’une à l’autre) si la suite de noeuds de la premièro espèce de l’une d’eles est une suite partielle de la suite des noeuds de la première espèce de l’autre. Dans ce travail nous nous intéressons seulement à la manière dont on peut déduire d’une fonction polygonale circonscrite donnée $P$ whe certaine autre fonction polygonale circonscrite $Q$ , consécutive à $P$ .

Nous avons le
Lienme 5. Si $P$ est une fonction polygonale circonsorite à la fonotion $f$ , ayant la suite des nouds $\left(x_{i}\right)_{i=0}^{2n}$ , il existe toujours une autre fonction polygonale $Q$ oirconscrite à $f$ dont les nouids de première espèce forment une suite croissante quelconque $\left(\xi_{i}\right)_{i=0}^{n}\left(\xi_{0}=a,\xi_{n}=b\right)$ dont $\left(x_{2i}\right)_{i=0}^{n}$ est une suite partielle.

Il suffit de montrer comment on peut construire une fonction polygonale $Q$ vérifiant les conditions du lemme énoncé.

Si $m=n$ on peut prendre pour $Q$ la fonction polygonale $P$ elle-même.
Supposons $m>n$ et soit $\xi_{k_{i}}=x_{2i},i=0,1,\ldots,n$ . Nous avons $k_{0}=0,k_{n}=m$ et $k_{0}<k_{1}<\ldots<k_{n}$ , mais l’une au moins des différences $k_{i}-k_{i-1}$ est plus grande que 1 . Si $k_{r}-k_{r-1}>1$ nous modifions la fonction polygonale $P$ dans l’intervalle $\left[x_{2r-2},x_{2r}\right]$ en faisant la construction du $\mathrm{n}^{0}$ précédent. On prend alors [ $x_{2r-2},x_{2r}$ ] comme intervalle [ $a,b$ ] et on emploie des droites d’appui aux points d’abscisses $\xi_{k_{r-1}+j},j=1,2$ , $\ldots,k_{r}-k_{r-1}-1$ et en prenant, pour fixer les idées, les pentes des droites d’appui aux extrémités $x_{2r-2}$ et $x_{2r}$ respectivement égales à $\left[x_{2r-2},x_{2r-1};P\right]$ et $\left[x_{2r-1},x_{2r};P\right]^{*}$ . En faisant cette construction pour toutes les différences $k_{r}-k_{r-1}$ qui sont $>1$ on obtient finalement une fonction polygonale $Q$ qui vérifie les conditions du lemme 5.

Remarquons encore que la fonction polygonale $Q$ ainsi construite jouit de 1a propriété que si $P$ est une fonction non concave il en est de même de $Q$ et on a toujours $l(Q)<l(P)$ lorsque $m>n$ .

Nous rappelons encore une fois qu’on pourrait étudier d’autres fonctions polygonales circonscrites à la fonction $f$ et consécutives à $P$ , mais ce qui précède sera suffisant pour la suite.
15. Parmi toutes les ligues polygonales circonscrites à la fonction $f$ , de la forme $(C)$ , et ayant les mêmes nouds de la première espèce $x_{0},x_{2}$ , $\ldots,x_{2n}$ , il y en a une, désignée pour le moment par $P^{*}$ , pour laquelle

\begin{gathered}{\left[x_{2i-2},x_{2i-1};P^{*}\right]=f_{d}^{\prime}\left(x_{2i-2}\right),\left[x_{2i-1},x_{2i};P^{*}\right]=f_{0}^{\prime}\left(w_{2i}\right)}\\ i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

$\omega_{1},x_{3},\ldots,x_{2n-1}$ étant (par ordre de grandeur croissante) les noeuds de $P^{*}$ de la seconde espèce. Puisque nous avons (30) ot aussi (si $n>1$ ), $f_{0}^{\prime}\left(x_{2i}\right)\leqq$

⁰⁰footnotetext: • Ceci n’est pas nécessaire, mais permet de définir avec précision une fonction polygonale

Q

jouissant des propriétés désirées.

$\leqq f_{a}^{\prime}\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n-1$ , on voit que la fonction polygonale circonscrite $P^{*}$ est non concave.

Enfin, si nous tenons compte de la remarque 2 qui suit le lemme 4, nous voyons que si $P$ est une fonction polygonale circonscrite ayant les nœuds de la première espèce $x_{0},x_{2},\ldots,x_{2n}$ , nous avons $l\left(P^{*}\right)\leqq l(P)$ où l’égalité n’a lieu que si $P$ coüncide avec $P^{*}$ . La fonction polygonale $P^{*}$ est donc parmi toutes les fonctions polygonales circonscrite à la fonction $f$ et qui ont les mêmes nouds de la seconde espèce $x_{0},x_{2},\ldots,x_{2n}$ , celle dont la longueur est la plus petite et elle est unique.
16. Si $f$ est une fonction ( $C$ ), parallèlement à toute droite non verticale il existe une droite d’appui qui a un seul point de contact avec la fonction (avec la courbe $y=f(x)$ ) et l’abscisse de ce point appartient, bien entendu, à l’intervalle $[a,b]$ . Si le coefficient angulaire de la droite est $\leqq f_{d}^{\prime}(a)$ ce point de contact coïncide avec $a$ et si ce coefficient angulaire est $\geqq f_{g}^{\prime}(b)$ il coïncide avec l’extrémité $b$ de l’intervalle. Enfin si ce coefficient angulaire est strictement compris entre $f_{d}^{\prime}(a)$ et $f_{g}^{\prime}(b)$ , le point de contact est strictement compris entre $a$ et $b$ .

Nous allons maintenant construire une fonction polynomiale circonscrite de la manière suivante.

Considérons une suite croissante $\left(p_{j}\right)_{j=0}^{n=0}(m>0)$ de nombres réels (finis) de manière que $p_{0}\leqq f_{a}^{\prime}(a)$ et $f_{\sigma}^{\prime}(b)\leqq p_{m}$ . Désignons par $d_{j}$ la droite d’appui dont le coefficient angulaire est $p_{j}$ et soit $y_{j}$ l’abseisse du point de contact de $d_{j}$ avec la courbe $y=f(x)$ . La suite $\left(y_{j}\right)_{j=0}^{n!}$ est non décroissante et, par construction on a $y_{0}=a,y_{m}=b$ . Parmi les points $y_{j}$ il $y$ en a au moins 2 distincts (les points $y_{0}$ et $y_{m}$ on tout cas). Désignons alors par ( $a=$ ) $x_{0},x_{2},\ldots,a_{2n}(=b)$ la suite croissante des ponts de $[a,b]$ avec lesquels coincident les points $y_{j}$ . Pour tout $j$ il existe un $i$ tel que $y_{j}=x_{2i}$ et pour tout $i$ au moins un $j$ tel que $x_{2i}=y_{j}$ . Désignons alors par $s_{i}$ le nombre des points $y_{j}$ qui coïncident avec $x_{2i}$ . Alors $s_{i}$ sont positifs et leur somme est égale à $m+1$ . Nous avons $y_{k}=x_{2i}$ pour $s_{0}+s_{1}+\ldots s_{i-1}\leqq k\leqq s_{0}+s_{1}+\ldots+s_{i}-1,i=0,1,\ldots,n\left(s_{0}+\right.+s_{1}+\ldots s_{i-1}$ étant remplacé par 0 si $i=0$ ). Pour simplifier l’écritwe posons encore

\left\{\begin{array}[]{c}d_{0}^{\prime}=d_{s_{0}-1},d_{2n-1}^{\prime}=d_{s_{0}+s_{1}+\ldots+s_{n-1}}\\ d_{2i-1}^{\prime}=d_{s_{0}+s_{1}+\ldots+s_{i-1}},d_{2i}^{\prime}=d_{s_{0}+s_{1}\ldots+s_{i-1}}\\ i=1,2,\ldots,n-1\end{array}\right.

(où on retient seulement les deux premières égalités si $n=1$ ).
Alors $d_{0}^{\prime},d_{2,5-1}^{\prime}$ sont des droites d’appui respectivement aux points ( $a,f(a)$ ), ( $b,f(b)$ ) et $d_{2i-1}^{\prime},d_{2i}^{\prime}$ sont toutes les deux des droites d’appui an point ( $x_{2i},f\left(x_{2i}\right)$ ), $i=1,2,\ldots,n-1$ (lorsque $n>1$ ). Désignons encore par $P_{2i}$ le point $\left(x_{2t},f\left(x_{2t}\right)\right),i=0,1,\ldots,n$ et par $p_{2i-1}$ l’intersection des droites d’appui $d_{2i-2}^{\prime},d_{2i-1}^{\prime},i=1,2,\ldots,n$ . Alors d’après la définition 2, la fonction polygonale $P$ ayant pour sommets les points $P_{i},i=0,1,\ldots$ , $\ldots,2n$ et dont les nouds forment la suite croissante ( $\left.w_{i}\right)_{i=0}^{2n}$ , est circon-
scrite à la fonction $f$ et est bien une fonction non concave. Remarquons que pour cette fonction polygonale nous avons

\begin{gathered}0<\left[w_{2i-1},w_{2i};P\right]-\left[w_{2i-2},w_{2i-1};P\right]=\\ =p_{s_{0}+s_{1}+\ldots+s_{i-1}}-p_{s_{0}+s_{1}+\ldots+s_{i-1}-1},i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

d’où il résulte aussi que

	$\displaystyle 0<\left[x_{2i-1},x_{2i};P\right]-\left[x_{2i-2},x_{2i-1};P\right]\leqq\max_{j=1,2,\ldots,m}\left(p_{1}-p_{j-1}\right)$		(34)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,n.$

17. Nous pouvons maintenant démontrer le*

Limme 6. Itant donnés deux nombres positifs quelconques $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ , on peut toujours trouver une fonotion polygonale $P$ oirconsorite $\grave{a}$ la fonction $f$ (qui est une fonction $(C)$ ) et dont les nouds forment la suite croissante $\left(x_{i}\right)_{i=0}^{2n}$ , de manière que les deuw conditions suivantes soient vérifiées:

1.

On a

0<\left[x_{2i-1},x_{2i};P\right]-\left[x_{2i-2},x_{2i-1};P\right]<\varepsilon_{1},i=1,2,\ldots,n

(35)

2.

La différence $x_{j}-x_{j-1}$ de deux nouds consécutifs est $<\varepsilon_{2}$ ; donc on a l’inégalité

\max_{j=1,2,\ldots,2n}\left(x_{j}-x_{j-1}\right)<\varepsilon_{2}.

(36)

En modifiant un peu, pour les nécessités de la démonstration, les notations, on voit que d’après la construction qui nous a mené aux inégalités (34), on peut d’abord construire une fonotion polygonale circonscrite $P^{\prime}$ , dont la suite des nœuds est $\left(w_{i}^{\prime}\right)_{i=0}^{2k}$ et pour laquelle

0<\left[x_{2i-1}^{\prime},x_{2i}^{\prime};P^{\prime}\right]-\left[x_{2i-2}^{\prime},x_{2i-1}^{\prime};P^{\prime}\right]<\varepsilon_{1},i=1,2,\ldots,k.

Si maintenant $x_{j+1}^{\prime}-x_{j}^{\prime}<\varepsilon_{1},j=0,1,\ldots,2k-1$ il suffit de prendre comme $P$ celte fonction polygonale $P^{\prime}$ et les conditions (35), (36) du lemme 6 sont vérifiées.

Dans le cas contraire on peut, d’après le lemme 5, construire la ligne polygonale circonscrite $P$ consécutive à $P^{\prime}$ de manière que les conditions (35), (36) soient vérifiées. Pour arriver à ce résultat il suffit d’insérer entre deux nœuds de la première espèce oonsécutifs $x_{2i-2}^{t},x_{2i}^{\prime}$ de $P^{\prime}$ un nombre suffisant et convenablement distribués de nouds de la première espèce de $P$ . Par exemple nous pouvons insérer entre $x_{2i-2}^{\prime}$ et $x_{2i}^{\prime}$ comme noeuds de

⁰⁰footnotetext: • C’est pour réaliser les conditions de ce lemme que nous nous sommes d’abord limité aux fonctions (

C

la première espèce les points qui divisent l’intervalle [ $x_{2i-2}^{\prime},x_{2i}^{\prime}$ ] en $r$ parties égales, $r$ étant un nombre naturel $>\frac{x_{2i}^{t}-x_{2i-2}^{t}}{\varepsilon_{2}}$ et en faisant cette construction pour, $i=1,2,\ldots,k$ .

Le lemme 6 est ainsi démontré.
18. Nous pouvons maintenant démontrer le:

Théorimit 1. Si $f$ est une fonction ( $C$ ) et $\mathscr{Q}_{e}$ est l’ensemble des fonctions polygonales circonsorites à $f$ , on a

\inf_{P\in\mathscr{L}}l(P)=l(f)

(37)

Nous ferons la démonstration en deux étapes.
Première étape. Nous allons démontrer d’abord que

\inf_{P\in Q_{c}}l(P)\geqq l(f).

(38)

Soit $P\in\mathbb{2}_{c}$ et $\left(o_{2i}\right)_{i=0}^{n}$ la suite des nœuds de la première espèce de $P$ . Si $\varepsilon$ est un nombre positif quelconque nous pouvons construire une suite croissante $\left(y_{j}\right)_{j=0}^{m}$ , où $y_{0}=a,y_{m}=b$ , dont $\left(x_{2i}\right)_{i=0}^{n}$ est une suite partielle telle que si $P^{(i)}$ est la restriction sur l’intervalle $\left[x_{2i-2},x_{2i}\right]$ de la ligne polygonale inscrite $P^{*}\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{m};f\right)$ et si $f^{(i)}$ est la restriction sur le même. intervalle de $f$ , on ait

l\left(f^{(i)}\right)--\frac{\varepsilon}{n}<l\left(P^{(i)}\right),i=1,2,\ldots,n,

(39)

Ceci résulte de la définition de la longueur d’une fonction (C): Compte tenu de la propriété d’additivité des longueurs des fonctions polygonales et des fonotions ( $O$ ), on a

\sum_{i=1}^{n}l\left(f^{(i)}\right)=l(f),\sum_{i=1}^{n}l\left(P^{(i)}\right)=l\left(P^{*}\right).

De (39) il résulte alors $l(f)-\varepsilon<\left(P^{*}\right)$ . Mais, en appliquant le lemme 3, on a $l\left(P^{*}\right)<l(P)$ et il résulte que $l(f)-\varepsilon<l(P)$ , d’où l’inégalité (38).

Deuxième étape. Nous allons démontrer que

\inf_{P\in\mathscr{Q}_{c}}l(P)\leqq l(f).

(40)

Soit encore e un nombre positif quelconque et soit $P$ une fonction polygonale circonscrite à $f$ vérifiant la condition 1 du lemme avec $\varepsilon_{1}==\frac{2\varepsilon}{u(f)}\cdot\left(x_{i}\right)_{i=0}^{2n}$ étant la suite des nœuds de $P$ , désignons par $P*$ la fonction polygonale inscrite $P*\left(x_{0},x_{2},\ldots,x_{2n};f\right)$ à $f$ . Alors on peut appliquer l’inégalité (11) aux triangles $P_{2i-2}P_{2i-1}P_{2i};i=1,2,\ldots$ , ou les lettres $P_{i}$
désignent toujours les sommets de $P$ . En tenant compte de l’additivité de la longueur, on obtient

\begin{gathered}l(P)<\left(1+\frac{\varepsilon_{1}}{2}\right)l\left(P^{*}\right)=\left(1+\frac{\varepsilon}{l(f)}\right)l\left(P^{*}\right)<\\ <\left(1+\frac{\varepsilon}{l(f)}\right)l(f)=l(f)+\varepsilon\end{gathered}

et l’inégalité (40) on résulte.
Le théorème 1 est démontré.
Il est facile de voir, en appliquant le lemme 3, que si $f$ est une fonction $(C)$ , on a $l(f)<l(P)$ pour toute $P\in\mathscr{E}_{c}$ .
On en déduit que

\lim_{\bar{P}\in\mathscr{Q},}l(P)=l(f)

(41)

§ 4. SUR QUELQUES TIEEORÉMES D’APPROXIMATION

19.

Soit $\omega(\delta)$ le module d’oscillation de la fonction $f:[\alpha,b]\rightarrow\mathbb{R}\omega(\delta)$ est définie pour tout $\delta>0$ et l’on a $\left|f\left(\omega^{\prime}\right)-f\left(\omega^{\prime\prime}\right)\right|\leqq\omega\left(\left|\omega^{\prime}-\omega^{\prime\prime}\right|\right)$ si $x^{\prime}\neq x^{\prime\prime}$ . Parmi les diverses propriétés de $\omega(\delta)$ retenons qu’elle est une fonction non décroissante et que nous avons $\lim_{\delta\downarrow 0}\omega(\delta)=0$ si et seulement si $f$ est continue, donc en particulier si $f$ est une fonetion ( $O$ ). Cette dernière propriété exprime d’ailleurs la continuité uniforme de la fonction $f$ .

Le premier théorème d’approximation s’exprime par le
Théorime 2. Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction ( $C$ ) et si a est un nombre positif quelconque, on peut toujours trouver une fonotion polygonale $P=P\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f\right)$ inserite dans $f$ telle que l’on ait

|f(x)-P(x)|<\varepsilon\text{ pour }x\in[a,b].

(42)

La propriété est bien connue. Pour être complet nous indiquerons la démonstration. La restriction de $P$ sur l’intervalle partiel [ $x_{4-1},x_{i}$ ] coüncide avec le polynôme du premier degré $\frac{1}{x_{i}-x_{i-1}}\left[\left(x-x_{i-1}\right)f\left(x_{i}\right)+\right.\left.+\left(x_{i}-x\right)f\left(x_{i-1}\right)\right]$ et nons déduisons

\begin{gathered}|f(x)-P(x)|\leqq\\ \leqq\frac{1}{x_{i}-x_{i-1}}\left[\left(x-x_{i-1}\right)\left|f(x)-f\left(x_{i}\right)\right|+\left(x_{i}-x\right)\left|f(x)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\right]\leqq\\ \leqq\frac{1}{x-x_{i-1}}\left[\left(x-x_{i-1}\right)\omega\left(x_{i}-x\right)+\left(x_{i}-x\right)\omega\left(x-x_{i-1}\right)\right]\\ \leqq\omega\left(x_{l}-x_{i-1}\right)\text{ pour }x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]\end{gathered}

Ces inégalités résultent en remarquant que pour $x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ , on a $0\leqq x_{i}-x,x-x_{i-1}\leqq x_{i}-x_{i-1}$ .

Soit maintenant

\eta=\max_{i=1_{2}^{2},\ldots,n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right).

II en résulte alors que

|f(x)-P(x)|\leqq\omega(\eta)\text{ pour }x\in[a,b].

En choisissant les nœuds $x_{i}$ de manière que $\omega(\eta)<\varepsilon$ , on obtient l’inégalité (42). Le choix des points $x_{i}$ peut se faire, par exemple, en prenant les points qui divisent en $n$ parties égales l’intervalle $[a,b]$ , $n$ étant un nombre naturel suffisamment grand.

20. On sait d’ailleurs que la propriété exprimée par le théorème 2 est vraie pour toute fonction continue $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ . Mais si $f$ est une fonction $(C)^{\star}$ on peut obtenir un résultat plus complet. Ce résultat est exprimé par le

Théorime 3. Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonotion ( 0 ) et si e est un nombre positif quelconque, on peut toujours trouver une fonction polygonale $Q$ inscrite dans $f$ , telle que l’on ait

0\leqq Q(x)-f(x)<\varepsilon\text{ pour }x\in[a,b]

(43)

0<l(f)-l(Q)<\varepsilon.

(44)

La démonstration ne présente pas de difficultés. Soit $P$ la fonction polygonale inscrite dans $f$ qui vérifie la condition (42). Soit $Q$ une fonction polygonale inscrite dans $f$ qu’on déduit de $P$ en ajoutant un certain nombre de nouveaux nœuds, en dehors des nouds $x_{i}$ de $P$ . On peut encore dire que $Q$ est une fonction polygonale consécutive $\grave{a}P$ , cette fois-ci inscrite dans $f$ . La suite des nouds de $P$ est une suite partielle de la suite des nœuds de $Q^{**}$ .

Or, de la définition de la longueur de la fonction $f$ il résulte qu’on peut choisir ces nouveaux nouds de manière que si $f^{(i)}$ et $Q^{(i)}$ sont respectivement les restrictions de $f$ et $Q$ sur l’intervalle $\left[\mathscr{W}_{i-1},\mathscr{x}_{i}\right]$ , on ait

0<l\left(f^{(i)}\right)-l\left(Q^{(i)}\right)<\frac{\varepsilon}{n},i=1,2,\ldots,n.

La propriété d’additivité de la longueur nous montre alors que l’on a (44). En ce qui concerne les inégalités (43), elles résultent du fait que $\forall_{i}Q(x)\leqq\leqq P(x)$ , done $\forall_{x}0\leqq Q(x)-f(x)\leqq P(x)-f(x)$ .

⁰⁰footnotetext: • ou si

f

a une structure un peu pluş générale, telle que nous le verrons au §

s^{u\text{ lvant. }}

** Ina fonction polygonale inscrite

Q

s’obtient donc, comme dans le cas des fonctions polygonales circonscrites ct consécutives, par un raffinement de la suite des noeuds de

P

On peut voir encore qu’on peut trouver une suite infinie $\left(P^{(n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ non croissante* de fonctions polygonales inscrites, convergeant uniformément vers la fonction $f$ (sur $[a,b]$ ) et, en même temps, la suite croissante de longueurs $\left(l\left(P^{(n)}\right)_{n=0}^{\infty}\right.$ convergeant vers $l(f)$ . Nous pouvons laisser la démonstration de cette propriété au lecteur.
21. Nous allons établir une propriété analogue pour les fonctions polygonales circonscrites à $f$ .

Theorime 4. Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction $(C)$ et si e est un nombre positif quelconque, on peut trouver une fonction polygonale $P$ circonscrite à $f$ , telle que l’on ait

|f(x)-P(x)|<\varepsilon\text{ pour }x\in[a,b].

(45)

Pour la démonstration nous nous baserons sur les lemmes 1 et 6 . Choisissons les nombres positifs $\varepsilon_{1}$ , $\varepsilon_{2}$ tels que

\varepsilon_{1}\leqq\sqrt{2},\varepsilon_{2}<\frac{\varepsilon}{2\sqrt{2}},\omega\left(2\varepsilon_{2}\right)<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}

(46)

ce qui est possible d’après les propriétés du module d’oscillation $\omega(\delta)$ de la fonction $f$ .

Soit maintenant $P$ la fonction polygonale circonscrite à la fonction $f$ , ayant les nœuds $x_{i},i=0,1,\ldots,2n$ et qui vérifie les conditions (35) et (36) du lemme 6. Pour évaluer la différence $f(x)-P(x)$ , considérons le triangle formó par les sommets $B,A,C$ de $P$ d’abscisses respectives $x_{2i-2},x_{2i-1},x_{2i}$ . Désignons par $D,F$ les intersections de la verticale du point $x$ de $\left[x_{2i-2},x_{2i}\right]$ avee les côtés $AC,BC$ respectivement. On a alors $0\leqq f(x)-P(x)\leqq\overline{JF},\bar{K}\bar{F}$ étant la longueur du segment de droite $EF^{\prime}$ . Mais, on a évidemment (comparer aussi avec la figure 2), $\overline{EF}<$ d. En appliquant alors le lemme 1 , ilen résulte que

	$\displaystyle 0\leqq f(x)-P(x)\leqq\mathrm{d}$	$\displaystyle<\sqrt{\left(f\left(x_{2i}\right)-f\left(x_{2i-2}\right)\right)^{2}+\left(x_{2i}-x_{2i-2}\right)^{2}}\leqq$
		$\displaystyle\leqq\sqrt{\omega^{2}\left(2\varepsilon_{2}\right)+4\varepsilon_{2}^{2}<\varepsilon}.$

On en déduit que

|f(x)-P(x)|<\varepsilon,\text{ pour }x\in\left[x_{2i-2},x_{2i}\right],\quad i=1,2,\ldots,n

et l’inégalité (45) est démontrée.
22. De même qu’au cas des fonctions polygonales inscrites, on peut obtenir un résultat plus complet. Ce résultat est exprimé par le

\text{ * donc }\forall n\forall xP^{(n+1)}(x)\leqq P^{(n)}(x)\text{. }

Théorimiz 5. Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction ( $C$ ) et si $\varepsilon$ est un nombre positif quelconque, on peut toujours trouver une fonction polygonale $Q$ eirconscrite à $f$ , telle que l’on ait

0\leqq f(x)-Q(x)<\varepsilon\text{ pour }x\in[a,b]

(47)

0<l(Q)-l(f)<\varepsilon.

(48)

La démonstration ne présente pas de difficultés, en tenant compte du théorème 1. En partant de la fonction polygonale $P$ qui vérifie la condition (45) du théorème 4, on peut trouver une fonction polygonale circonscrite $Q$ consécutive à $P$ telle que l’on ait (48). Puisque, par construction, on a $\forall_{x}P(x)\leqq Q(x)$ , donc $\forall_{x}0\leqq f(x)-Q(x)\leqq f(x)-P(x)$ , on déduit aussi l’inégalité (47).

Enfin on peut voir encore qu’on peut trouver une suite infinio $\left(P^{(n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ non décroissante * de fonctions polygonales circonscrites ò $f$ convergeant uniformément vors la fonction $f$ (sur $[a,b]$ ) et en même temps la suite déroissante des longueurs ( $\left.lI^{(n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ convergeant vers $l(f)$ . Nous pouvons laisser encore la démonstration de cette propriété au lecteur.

Il est clair que nous ne pouvons pas ici étendre le théorème 4 à une fonction continue $f$ quelconque. En effet, nous n’avons pas défini la notion de fonction polygonale circonscrite à une telle fonction.

§ 5. QUESTIONS FINALES

23.

On peut étendre plusieurs des résultats précédents en levant certaines restrictions auxquelles est astreínte la fonction $f$ ou encore en généralisant cette fonction. On peut aussi on un certain sens généraliser la notion de fonction polygonale circonscrite.

Dans la suite nous allons examiner brièvement ces questions sans trop insister sur les démonstrations.
24. Au lieu d’une fonction $(C)$ considérons une fonction convexe et continue quelconque définie sur $[a,b]$ . Dans ce cas les dérivées unilatérales $f_{d}^{\prime}(a),f_{d}^{\prime}(b)$ peuvent être infinies, la première pouvant être égale à $-\infty$ et la seconde à $+\infty$ . Il n’y a rien à dire sur les fonctions polygonales inserites dans la fonction, la définition 1 conservant encore un sens précis, mais il y a une certaine difficulté à définir une fonction polygonale circonsorite à la fonction, la définition 2 n’ayant pas toujours un sens précis. En effet, si, par exemple, $f_{d}^{\prime}(a)=-\infty$ ou $f_{\sigma}^{\prime}(b)=+\infty$ , la seule droite d’appui qu’on peut mener au point ( $a,f(a)$ ) out ( $b,f(b)$ ) est verticale. On peut tourner la difficulté en admettant qu’une ligno polygonale peut avoir aussi des côtés extrêmes verticaux. Plus exactement, nous pouvons convenir que dans la suite $\left(x_{i}\right)_{i=0}^{\infty}$ des nœuds on peut avoir $x_{0}=x_{1}$ , les sommets $P_{0},P_{1}$ n’étant pas confondus et le segment vertical $P_{0}P_{1}$ ayant une longueur non nulle. De même on peut avoir $x_{n-1}=x_{n}$ , les sommets $P_{n-1},P_{n}$ n’étant pas confondus et le segment vertical $P_{n-1}P_{n}$ ayant une longueur non nulle ^⋆⋆. En tous cas

⁰⁰footnotetext: • donc

\forall_{n}\forall_{x}:P^{(n)}(x)\leqq P_{u^{+}}{}^{+1)}(x)

.
** Ou peut introduire aussi d’autres lignes polygonales ayant des côtés verticaux, mass elles n’interviendrons pas dans ee travail.

si $n>2$ la suite $\left(w_{i}\right)_{i=1}^{n-1}$ est croissante. On peut alors maintenir la définition 2 d’une ligne polygonale circonscrite en remarquant que cela n’est plus, en général, une fonction. En effet, par définition une fonction ne peut prendre qu’une seule valeur pour toute valeur de la variable se qui, pour les lignes polygonales considérées peut ne pas avoir lieu aux points $a$ et $b$ . Les lignes polygonales ainsi définies jouissent encore dés propriétés établies au § 4. En particulier, elles ont une longueur bien déterminée qui est $>l(f)$ .
25. On peut encore tourner la difficulté, en remplaçant la définition 2 par la

DEFINITION 3. Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction ( $C$ ), la fonction polygonale $P$ ayant la suite croissante de nauds $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{2n}$ où $x_{0}=a,x_{2n}=b$ , est dite circonscrite à $f$ si les côtés $P_{2i-2}P_{2i-1}$ et $P_{2i-1}P_{2i}$ sont des segments de droites d’appui auw points ( $\left.\omega_{2i-1},f\left(\omega_{2i-1}\right)\right)$ pour $i=1,2,\ldots,n$ .
Il résulte de la définition que

P(a)\leqq f(a),P(b)\leqq f(b).

Alors la définition 3 s’applique même si $f$ est seulement contimue et convexe (sans avoir des dérivées unilatérales bornées).

La propriété $l(P)>l(f)$ subsiste ot les théorèmes $1,4,5$ sont encore valables.

Une autre manière de tourner les difficultés l’ésulte de ce

26.

On peut aussi généraliser le problème en supposant seulement que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction convexe. Elle peut alors ne pas être continue aux extrémités $a$ et $b$ . Dans ce cas la fonction $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est définie par les formules

g(x)=\left\{\begin{array}[]{l}f(a+0)\text{ pour }x=a,\\ f(x)\text{ pour }x\in]a,b[,\\ f(b-0)\text{ pour }a=b,\end{array}\right.

est une fonction convexe continue.
Pour maintenir les propriétés précédentes la plus simple est de compléter toujours les lignes polygonales inscrites et circonscrites dans et à $g$ par des côtés verticaux aux points $a$ et $b$ de longueurs (qui peuvent être aussi nulles) respectivement égales à $f(a)-f(a+0)$ et $f(b)-f(b-0)$ .
27. Les résultats précédents peuvent en partie être étendus aux fonctions non concaves définies sur un intervalle borné et fermé $[a,b]$ . Les définitions des lignes polygonales inserites et circonscrites se font de la même manière. Les propriétés subsistent en remarquant seulement que l’égalité $l(P)=l(f)$ peut bien avoir lieu tant pour une ligne polygonale inscrite que pour une ligue polygonale circonserite à $f$ . On peut d’abord considérér seulement des fonctions non concaves continues et à dérivées bornées et ensuite généraliser les propriétés, ainsi que nous l’avons fait pour les fonctions ( $C$ ).

La formule (25) peut ne pas être vraie. En effet, si la fonction $f$ se réduit à un polynôme de degré 1 , toute fonction polygonale inscrite dans $f$ , conformément à la définition 1 , coüncide avec $f$ et nous avons done $l(P)==l(f)$ , quol que soit $P\in\mathscr{2}_{i}$ . On pout d’ailleurs démontrer qu’en dehors de ce cas la formule (25) est vraie.

Au contraire la formule (41) est toujours viaie. Pour nous rondre compte qu’il en est ainsi il suffit encore de considérer le cas où $f$ se réduit à un polynôme de degré 1. Dans ce cas toute fonction polygonale $P$ ayant les (bois) nœuds $a,\frac{a+b}{2},b$ et pour laquelle $\lambda=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-P\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqq 0$ , $f(a)=P(a),f(b)=P(b)$ est circonscrite à $f$ et on a (pour $\lambda>0$ ) $l(f)<l(P)$ , ainsi que lim $l(P)=l(f)$ pour $\lambda\nmid 0$ .
28. Avant d’aller plus loin remarquons qu’on peut aussi généraliser la notion de ligne polygonale ou de fonction polygonale circonscrite en imposant au lieu de (28) les seules conditions

\begin{gathered}{\left[x_{2i-2},x_{2i-1};P\right]\leqq f_{n}^{\prime}\left(x_{2i-2}\right),f_{n}^{\prime}\left(x_{2i}\right)\leqq\left[x_{2i-1},x_{2i};P\right]}\\ i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

Une telle fonction polygonale peut ne pas être une fonetion non concave. Elle présente peu d’intérêt puisqu’on peut toujours trouver une autre fonction polygonale circonscrite ayant une longueur au plus égale, non concave et ayant les mêmes nounds de la première espèce.
29. Pour justifier maintenant la démonstration proposée par G. Tzitzéica pour l’inégalité (1) il suffit de mettre la propriété exprimée par le lemme 3 sous une forme plus générale.

Si la longueur $l(f)$ de la fonction non concave $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est définie par $l(f)=l(g)+f(a)-f(a+0)+f(b)-f(b-0)$ , où $g$ est la fonction (49), nous avons le

Théorime 6. Si $f$ , $\varphi$ sont deux fondions non concaves définies sur l’intervalle borné et fermé $[a,b](a<b)$ et si les conditions suivantes sont vérifiées :

1.

$f(a)=\varphi(a),f(b)=\varphi(b)$ ;
2.

on $a\forall_{x}f(x)\leqq\varphi(x)$ ,
alors entre les longueurs des fonctions $f,\varphi$ on a l’inégalité

l(\varphi)\leqq l(f),

(50)

l’égalité n’étant vraie que si les fonctions $f$ et $\varphi$ coïncident.

Pour la démonstration, il suffit d’abord de supposer que $f$ et $\varphi$ sont des fonctions $(C)$ . Ensuite, il est facile d’étendre la propriété à des fonctions non concaves quelconques.

Supposons done que $f,\varphi$ soient des fonctions ( $C$ ). Soit $P$ une fonction polygonale inscrite dans $\varphi$ et $Q$ une fonction polygonale non concave circonscrite à $f$ . Les fonctions polygonales $P,Q$ vérifient les conditions du lemme $3^{\prime}$ et nous avons done $l(P)\leqq l(Q)$ , d’où sup $l(P)\leqq$ inf $l(Q)$ et $(50)$ résulte d’appès lo théoreme 1.

Supposons maintenant que $x_{0}$ est un point de $]a,b\left[\right.$ tel que $f\left(x_{0}\right)<\varphi\left(x_{0}\right)$ . Une droite d’appud à $\varphi$ au point ( $x_{0},\varphi\left(x_{0}\right)$ ) coupe la courbe $y=f(x)$ aux points d’abscisses $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ où $a\leqq a^{\prime}<b^{\prime}\leqq b$ . Considérons la fonction définie par les tormules

h(x)=\left\{\begin{array}[]{l}f(x)\text{ pour }x\in\left[a,a^{\prime}\right]\cup\left[b^{\prime},b\right],\\ P\left(a^{\prime},b^{\prime};f\right)\text{ pour }x\in\left[a^{\prime},b^{\prime}\right].\end{array}\right.

Alors $h$ est une fonction non concave et on a $\forall_{x}f(x)\leqq h(x)\leqq\varphi(x)$ , donc $l(\varphi)\leqq l(h)\leqq l(f)$ . Mais l’additivité de la longueur nous montre que $l(h)<l(f)$ . On en déduit que $l(\varphi)<l(f)$ .
30. Considérons maintenant dans le plan, la frontière $\Gamma$ d’un ensemble borné et convexe. T est une courbe fermée convexe. Supposons d’abord que toute droite d’appui coupe $\Gamma$ en un seul point. Soient alors sur $\Gamma$ trois points $A,B,C$ auxquels on peut mener des droites d’appui formant um triangle non dégénéré. Alors chacun des arcs convexes $AB,BC,CA$ est une représentation graphique d’une fonction ( $O$ ) par rapport à dos axes de coordonnées convenables. Ceci permet de définir des lignes polygonale circonscrites à $\Gamma$ , en raccordant des lignes polygonales circonscrites aux arcs $AB,BC,CA$ . Nous arrivons ainsi à définir des polygones circonscrits à $\Gamma$ en variant les points $A,B,C$ sur $\Gamma$ . Il est alors clair ce qu’on entend par le périmètre (la longueur) $l(\Gamma)$ de $\Gamma$ et le périmètre $l(P)$ d’un polygone $P$ circonscrite à $\Gamma$ .

On peut étendre là définition à des courbes convexes $\Gamma$ contenant aussi des portions rectilignes. On a toujours l’inégalité

l(\Gamma)\leqq l(P)

(51)

$P$ étant un polygone circonserit à $\Gamma$ .
L’inégalité (51) est d’ailleurs un cas particulier d’une propriété plus générale qui sera signalée plus loin.
31. On peut démontrer que si dans le plan, $\Gamma,\Gamma_{1}$ sont les frontières de deux ensembles convexes bornés, dont le second contient le premier, on a

l(\Gamma)\leqq l\left(\Gamma_{1}\right)

(52)

Sans qu’il soit nécessaire de considérer le cas général, supposons setulement que la courbe $\Gamma$ est complètement intérieure à $\Gamma_{1}$ . Soient alors $A,B$ deux points de 1 auxquels on peut mener des droites d’appui parallèles et soient: $A^{\prime},A^{\prime\prime}$ , respectivement $B^{\prime},B^{\prime\prime}$ les points où ces droites d’appui compent la courbe $\Gamma_{1}$ . Désignons encore par $a^{\prime},a^{\prime\prime},b^{\prime},b^{\prime\prime}$ les longueurs des segments de droites $A^{\prime}A,A^{\prime\prime}A,B^{\prime}B$ , $B^{\prime\prime}B$ , par $l_{1},l_{2}$ les longueurs des ares $AmB$ , $AnB$ de $\Gamma$ et par $L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}$ les longueurs des ares $A^{\prime}\alpha A^{\prime\prime},A^{\prime\prime}\beta B^{\prime},B^{\prime\prime}\gamma B^{\prime},B^{\prime}\delta A^{\prime}$ de $\Gamma_{1}$ (voir la figure 8). Compte tenu de l’additivité de la longueur on a $l(\Gamma)=l_{1}+l_{2}$ , $l\left(\Gamma_{1}\right)=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}$ . Or d’après les réstultats précédents on a $a^{\prime}+a^{\prime\prime}<L_{1}$ ,

$b^{\prime}+b^{\prime\prime}<L_{3},l_{1}<a^{\prime\prime}+L_{2}+b^{\prime\prime},l_{2}<a^{\prime}+L_{4}+b^{\prime}$ , d’où $l(\Gamma)<l\left(\Gamma_{1}\right)$ , done l’inégalité (52).

Il est facile à démontrer que dans (52) l’égalité n’est possible que si $\Gamma$ et $\Gamma_{1}$ coïncident.

HIBLIOGRAPHYE

1.

Hille, Einar, Analysis, $i^{6F}$ vol., 1064.
2.

Mitrinovio, D. S., Analytic inequalilies, 1970.
3.

Popovidu, T., Notes sur les fonctions convenes d’ordre supéricar (IX). Bull. Math. de la soc. roumaine des Sei,, 1942, 43, 85-141.
4.

Popoviciu, T., Curs de analiză matematică, III ^e part., 1974.
5.

Taitzerca, G., O proprietale a sinusului. Gazeta matematică, 1912/13, 18, 407.

Lignes polygonales inscrites et circonscrites à un arc convexe

Abstrait

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LIGNES POLYGONALES INSCRITES ET CIRCONSCRITES A UN ARC CONVEXE

§ 1. QUESTIONS PRELIMINAIRES

§ 2. QUELQUES PROPRIETÉS DES FONCTIONS POLYGONALES

§ 3. SUR IA LONGUEUR DES LIGNES POLYGONALES INSCRITES OU CIRCONSCRTTES $\mathring{\mathrm{A}}$ UN ARG CONVEXE

17. Nous pouvons maintenant démontrer le*

§ 4. SUR QUELQUES TIEEORÉMES D’APPROXIMATION

§ 5. QUESTIONS FINALES

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17. Nous pouvons maintenant démontrer le*

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