SUR CERTAINS PROBLÈMES DE MAXIMUM DE STIELTJES

PAR
TIBERIU POPOVICIU
(Cluj)

Sur quelques théorèmes de Stieltjes et de M. I. Schur

1.

Désignons par $V\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\right)$ le déterminant de Van Der Monde des nombres (ou points) $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$ . Le carré de ce déterminant est le discriminant des nombres $\alpha_{i}$ , ou le discriminant du polynome de degré $n$ ayant comme zéros les points $\alpha_{l}$ .

Dans une note Stieljes a énoncé le théorème suivant ² ) :
Théorème 1. Lorsque $\alpha>0,\beta>0$ et que les $\mathrm{x}_{1}$ restent compris dans l’intervalle ( 0,1 ), l’expression

\mathrm{D}=\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=\left[\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha}\left(1-x_{i}\right)^{\beta}\right]\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{1}$ sont les zéros du polynome de Jacobi $\mathrm{P}_{n}(x)=\mathrm{F}(-n,\alpha+\beta+n-1,\alpha,x)=\frac{x^{1-\alpha}(1-x)^{1-\beta}}{\alpha(\alpha+1)\ldots(\alpha+n-1)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}x^{\alpha+n-1}(1-x)^{\beta+n-1}$

La valeur de ce maximum est

\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{i^{i}(\alpha+i-1)^{\alpha+i-1}(\beta+i-1)^{\beta+i-1}}{(\alpha+\beta+n+i-2)^{\alpha+\beta+n+i-2}}

Stieltjes a donné la démonstration dans un autre travail ³ ), sur lequel nous reviendrons plus loin. Le calcul de $\mathrm{M}_{n}(x,\beta)$ n’est pas indiqué par Stieltjes mais il peut se faire en suivant la méthode, développée sur certains cas particuliers, de M. I. Schur ⁴ ).

1.

J’ai entrepris ce travail à la suite des discussions que j’ai eu avec M. le Prof. Th. Angheluta à l’Institut Mathématique de l’Université de Cluj.
² ) Th. J. Stieltjes „Sur les polynomes de Jacobi", C. R. Acad. Sc., Paris, t. 100 (1885), p. 620.
³ ) Th. J. Stieltjes "Sur certains polynomes qui vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre et sur la théorie des fonctions de lamÉ". Acta Math., t. 6 (1885), p. 321.
⁴⁾ I. Schur „Uber die Verteilung der Warzeln gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Maih. Zeitschrift, t. 1 (1918), p. 377.

2.

La démonstration du théorème I peut se faire facilement. Remarquons d’abord que $\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ a un maximum pour $0\leq x_{i}\leq 1$ qui est nécessairement atteint et notamment pour des valeurs $x_{i}$ toutes distinctes et ne coïncidant pas avec 0 et 1 .

On peut voir facilement que ce maximum ne peut être atteint que pour un seul système de points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ . Supposons, en effet, que
$\operatorname{max.\penalty 10000\ }\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2}\ldots,x_{n}\right)=\mathrm{D}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)=\mathrm{D}\left(y_{1}^{\prime},y_{2}^{\prime},\ldots,y_{n}^{\prime}\right)$
$(0,1)$ et (1)

\begin{gathered}0<y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}<1;0<y_{1}^{\prime}<y_{2}^{\prime}<\ldots<y_{n}^{\prime}<1\\ \left|y_{1}-y_{1}^{\prime}\right|+\left|y_{2}-y_{2}^{\prime}\right|+\ldots+\left|y_{n}-y_{n}^{\prime}\right|>0\end{gathered}

Si nous posons

y_{i}^{\prime\prime}=\frac{y_{i}+y_{i}^{\prime}}{2},\quad i=1,2,\ldots,n

nous avons

\left(y_{i}^{\prime\prime}\right)^{2}\geqslant y_{i}y_{i}^{\prime},\left(1-y_{i}^{\prime\prime}\right)^{2}\geqslant\left(1-y_{i}\right)\left(1-y_{i}^{\prime}\right),\left(y_{i}^{\prime\prime}-y_{j}^{\prime\prime}\right)^{2}\geqslant\left|\left(y_{i}-y_{j}\right)\left(y_{i}^{\prime}-y_{j}^{\prime}\right)\right|

l’égalité, dans l’une de ces formules, ne pouvant avoir lieu que si $y_{i}=y_{i}^{\prime}$ , resp. $y_{i}-y_{j}=y_{i}^{\prime}-y_{j}^{\prime}$ .

Il en résulte que
(2) $\quad\mathrm{D}\left(y_{1}^{\prime\prime},y_{2}^{\prime\prime},\ldots,y_{n}^{\prime\prime}\right)\geq V\overline{\mathrm{D}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)\mathrm{D}\left(y_{1}^{\prime},y_{2}^{\prime},\ldots,y_{n}^{\prime}\right)}$
l’égalité n’étant possible que si les suites (1) coincident. C’est en contradiction avec nos hypothèses et l’unicité signalée en résulte.

On en déduit, en particulier, que si $\alpha=\beta$ les points pour lesquels le maximum est atteint sont simétriquement distribués par rapport au milieu de l’intervalle $(0,1)$ . Cela résulte du fait que si $\alpha=\beta$ , on a
$\mathrm{D}\left(1-x_{1},1-x_{2},\ldots,1-x_{n}\right)=\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\quad\left(0\leq x_{i}\leq 1\right)$
3. Stieltjes a démontré que la détermination du maximum se fait à l’aide du calcul différentiel. Posons

\mathrm{P}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)

Le maximum est donné par le système

\frac{\partial\mathrm{D}}{\partial x_{i}}=0,i=1,2,\ldots,n

qui admet, comme il va en résulter plus loin, une seule solution sous l’hypothèse que les $x_{i}$ sont distincts entre eux. Cette unicité est d’ailleurs démontrable directement à l’aide de l’inégalité (2).

Un calcul simple nous donne

\frac{1}{\mathrm{D}}\frac{\partial\mathrm{D}}{\partial x_{i}}=\frac{\alpha}{x_{i}}-\frac{\beta}{1-x_{i}}+2\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x_{i}-x_{j}}=\frac{\alpha}{x_{i}}-\frac{\beta}{1-x_{i}}+\frac{\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}

$\Sigma^{\prime}$ désignant une sommation où la valeur $j=i$ est exclue.

Le maximum sera donc donné par le système

\begin{gathered}x_{l}\left(1-x_{i}\right)\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)+\left[\alpha-(\alpha+\beta)x_{i}\right]\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{j}\right)=0\\ i=1,2,\ldots,n.\end{gathered}

On voit immédiatement que le polynome $\mathrm{P}(x)$ , qui est de degré $n$ , doit vérifier l’équation différentielle

x(1-x)y^{\prime\prime}+[\alpha-(\alpha+\beta)x]y^{\prime}+\lambda y=0

$\lambda$ étant une constante. On trouve $\lambda=n(n+\alpha+\beta-1)$ et on voit que $\mathrm{P}(x)$ s’exprime à l’aide de la série hypergéométrique de Gauss, $\mathrm{F}(\alpha,\beta,\gamma,x)$ . On trouve effectivement que ce polynome, à un facteur constant près, est égal à $\mathrm{F}(-n,\alpha+\beta+n-1,\alpha,x)$ donc il est un polynome de Jacobi de degré $n$ .
4. Pour calculer la valeur du maximum $M_{n}(x,\beta)$ nous allons faire d’abord quelques considérations un peu plus générales.

Soit

\mathrm{Q}_{0}(x),\mathrm{Q}_{1}(x),\ldots,\mathrm{Q}_{n}(x),\ldots

une suite de polynomes définis par les relations de récurrence
(3) $\mathrm{Q}_{0}=1,\mathrm{Q}_{1}=b_{1}x+c_{1},\mathrm{Q}_{n}=\left(b_{n}x+c_{n}\right)\mathrm{Q}_{n-1}+a_{n}\mathrm{Q}_{n-2}$

n=2,3,\ldots

où nous supposons que les $a_{i}$ et les $b_{t}$ sont différents de zéro.
Désignons par $\xi_{1}^{(n)},\xi_{2}^{(n)},\ldots,\xi_{n}^{(n)}$ les zéros du polynome $Q_{n}(x)$ et par

\Delta_{n}=\prod_{l=1}^{n}\mathrm{Q}_{n}

(i)

le résultant des polynomes $Q_{n-1},Q_{n}$ (ce résultant étant défini de cette manière).

De (3) nous déduisons que le coefficient de $x^{n}$ dans $\mathrm{Q}_{n}(x)$ est égal à $b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ . Faisant ensuite succesivement $x=\xi_{1}^{(n-1)},\xi_{2}^{(n-1)},\ldots,\xi_{n-1}^{(n-1)}$ , nous en déduisons

\prod_{i=1}^{n-1}\mathrm{Q}_{n}\left(\xi_{i}^{(n-1)}\right)=a_{n}^{n-1}\prod_{i=1}^{n-1}\mathrm{Q}_{n-2}\left(\xi_{i}^{(n-1)}\right)\doteq a_{n}^{n-1}\Delta_{n-1}

Mais

\prod_{l=1}^{n-1}\mathrm{Q}_{n}\left(\xi_{l}^{(n-1)}\right)=\frac{b_{n}^{n-1}}{b_{1}b_{2}\ldots b_{n-1}}\Delta_{n}

donc

\Delta_{n}=\frac{b_{1}b_{2}\ldots b_{n-1}}{b_{n}^{n-1}}a_{n}^{n-1}\Delta_{n-1}

Si on remarque maintenant que $\Delta_{1}=1$ , on obtient

\Delta_{n}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\left(\frac{a_{3}}{b_{3}}\right)^{2}\cdots\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\right)^{n-2}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)^{n-1}b_{1}^{n-1}b_{2}^{n-2}\ldots b_{n-2}^{2}b_{n-1}

(4)

En particulier, les polynomes $\mathrm{P}_{n}(x)=\mathrm{F}(-n,\alpha+\beta+n-1,\alpha,x)$ sont liés par des relations de la forme (3). Dans ce cas
(5) $\quad b_{n}=-\frac{(\alpha+\beta+2n-2)(\alpha+\beta+2n-3)}{(\alpha+n-1)(\alpha+\beta+n-2)},\left(b_{1}=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha}\right)$ et on trouve

\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{(n-1)(\beta+n-2)}{(\alpha+\beta+2n-3)(x+\beta+2n-4)}

(6) $\quad\Delta_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i=1}^{n-1}\frac{i^{i}(\beta+i-1)^{i}}{(\alpha+i-1)^{n-i}(\alpha+\beta+n+i-2)^{i}}\text{. }}$
5. Passons maintenant au calcul de $M_{n}(\alpha,\beta)$ . Si $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}$ sont les zéros du polynome $\mathrm{P}_{n}(x)$ , nous avons

M_{n}(\alpha,\beta)=\left[\prod_{i=1}^{n}\xi_{i}^{\alpha}\left(1-\xi_{i}\right)^{\beta}\right]V^{2}\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}\right).

Les relations

\begin{gathered}P_{n}(0)=1,\quad P_{n}(1)=(-1)^{n}\prod_{i=1}^{n}\frac{\beta+i-1}{\alpha+i-1}\\ P_{n}(x)=(-1)^{n}\left[\prod_{i=1}^{n}\frac{\alpha+\beta+n+i-2}{\alpha+i-1}\right]\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right)\ldots\left(x-\xi_{n}\right)\end{gathered}

nous donnent

\left\{\begin{array}[]{c}\xi_{1}\xi_{2}\ldots\xi_{n}=\prod_{i=1}^{n}\frac{\alpha+i-1}{\alpha+\beta+n+i-2}\\ \left(1-\xi_{1}\right)\left(1-\xi_{2}\right)\ldots\left(1-\xi_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\beta+i-1}{\alpha+\beta+n+i-2}\end{array}\right.

Nous avons maintenant

\mathrm{V}^{2}\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}\right)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{\frac{i=1}{\left(b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\right)^{n}}\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{i}\right)}

(8)

Mais les polymones $\mathrm{P}_{n},\mathrm{P}_{n-1}$ et la dérivée du premier vérifient encore la relation suivante

x(1-x)\mathrm{P}_{n}^{\prime}(x)=\left(d_{n}x+e_{n}\right)\mathrm{P}_{n}(x)-\frac{n(\beta+n-1)}{\alpha+\beta+2n-2}\mathrm{P}_{n-1}(x)

$d_{n},e_{n}$ étant deux constantes sans importance pour nous.
Si nous faisons succesivement $x=\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}$ nous obtenons

\prod_{l=1}^{n}\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{l}\right)=(-1)^{n}\frac{n^{n}(\beta+n-1)^{n}}{(\alpha+\beta+2n-2)^{n}}\frac{\Delta_{n}}{\prod_{l=1}^{n}\xi_{l}\left(1-\xi_{l}\right)}

(9)

Enfin, compte tenant de (5), (6), (7), (8), (9) nous obtenons

\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{i^{i}(\alpha+i-1)^{\alpha+i-1}(\beta+i-1)^{\beta+i-1}}{(\alpha+9+n+i-2)^{\alpha+\beta+n+i-2}}

qui est précisément la formule demandée.
6. Une transformation linéaire simple permet d’énoncer le théorème suivant :

Théorème II. Lorsque $\alpha>0,\beta>0$ et que les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ restent compris dans l’intervalle $(\mathrm{a},\mathrm{b}),\mathrm{a}<\mathrm{b}$ , l’expression

\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{\alpha}\left(b-x_{i}\right)^{\beta}\right]\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome

(x-a)^{1-\alpha}(b-x)^{1-\beta}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x-a)^{\alpha+n-1}(b-x)^{\beta+n-1}

La valeur de ce maximum est

(b-a)^{n(\alpha+f+n-1)}\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)

En particulier si $a=-1,b=1,\alpha=\beta=1$ on obtient un autre théorème de Stieltjes ⁵ ) :

Théorème III. Lorsque les $\mathbf{x}_{\mathbf{i}}$ restent dans l’intervalle $(-1,1)$ , l’expression

\left(1-x_{1}^{2}\right)\left(1-x_{2}^{2}\right)\ldots\left(1-x_{n}^{2}\right)V^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome $\mathrm{X}_{\mathrm{n}}$ de legendre de degré n. La valeur de ce maximum est

\frac{2^{4}3^{6}\ldots n^{2n}}{3^{3}5^{5}\ldots(2n-1)^{2n-1}}

7.

Stieltjes a encore énoncé le théorème suivant ⁶ ) :

Théorème IV. Lorsque les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont dans l’intervalle $(-1,1)$ l’expression

\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome $\mathrm{V}_{n}$ qui provient du développement

\sqrt{1-2xz+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}V_{n}(x)z^{n}

La valeur de ce maximum, qu’on peut désigner par $2^{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}\mathrm{M}_{\mathrm{n}}(0,0)$ , est

\frac{2^{2}3^{3}\ldots(n-2)^{n-2}2^{2}3^{3}\ldots n^{n}}{3^{3}5^{5}\ldots(2n-3)^{2n-3}}

⁰⁰footnotetext: ⁵⁾ Th. J. Stieltjes „Sur quelques théorèmes d’algèbre", C. R. Acad. Sc., Paris, t. 100 (1885) p. 439.
⁶ ) Loc cit. ⁵ ).

Ce théorème correspond au cas où $\alpha=\beta=0$ . Il a été démontré par M. I. Schur ⁷ ). Les résultats précédents ne sont pas applicables sans précautions, mais on peut voir àisément que cette propriété résulte du théorème II. On voit, en effet, que ce maximum ne peut être atteint que si les $x_{i}$ sont tous distinct et si l’un coincide avec 0 et un autre avec 1. On déduit donc le théorème IV du théorème II en $y$ faisant $a=-1$ , $b=1,\alpha=\beta=2$ et en prenant $n-2$ au lieu $n$ .

Remarquons que

\begin{gathered}\frac{1}{2^{n-1}(n-1)!}\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\left(x^{2}-1\right)^{n-1}=-\frac{n\left(x^{2}-1\right)}{2^{n-1}(n-2)!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n-1}=\\ =-\int_{-1}^{x}X_{n-1}(x)dx=V_{n}(x)\end{gathered}

On peut aussi, de la même manière, traiter les cas où $\alpha=0$ ou $\beta=0$ seulement. Par exemple le cas $\alpha=0,\beta\neq 0$ résulte du théorème II en $y$ faisant $x=2$ et en prenant $n-1$ au lieu de $n$ . On définit ainsi les nombres $\mathrm{M}_{n}(0,\mathrm{p}),\mathrm{M}_{n}(\alpha,0)$ .

On trouve effectivement ⁸ )

M_{n}(\alpha,0)=M_{n}(0,\alpha)=M_{n-1}(\alpha,2)=\prod_{i=1}^{n-1}\frac{i^{i}(i+1)^{i+1}(\alpha+i-1)^{\alpha+i-1}}{(\alpha+n+i-1)^{\alpha+n+i-1}}

8.

Sur les nombres $M_{n}(\alpha,\beta)$ nous pouvons faire quelques remarques. Délimitons d’abord le nombre $M_{n}(\alpha,\beta)$ à l’aide de $M_{n}(0,0)$ .

Nous avons
(10) $M_{n}(x,\beta)<\max_{(0,1)}V^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=M_{n}(0,0)\quad(\alpha+\beta>0)(0,1)$
Remarquons que

\mathrm{V}^{2}\left(\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{n}\right)=\frac{\mathrm{V}^{2}\left(\eta_{0},\eta_{1},\ldots,\eta_{n},\eta_{n+1}\right)}{\left(\eta_{0}-\eta_{n+1}\right)^{2}\prod_{i=1}^{n}\left(\eta_{0}-\eta_{l}\right)^{2}\left(\eta_{n+1}-\eta_{l}\right)^{2}}

Si $\eta_{0}=-1,\eta_{1},\ldots,\eta_{n},\eta_{n+1}=1$ sont les zéros du polynome $V_{n+2}(x)$ , nous avons

\begin{gathered}2^{n(\alpha+\beta+n-1)}M_{n}(\alpha,\beta)\geqslant\left[\prod_{i=1}^{n}\left(1+\eta_{i}\right)^{\alpha}\left(1-\eta_{i}\right)^{\beta}\right]V^{2}\left(\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{n}\right)=\\ =2^{(n+2)}(n+1)-2M_{n+2}(0,0)\left[\prod_{i=1}^{n}\left(1+\eta_{i}\right)^{\alpha-2}\left(1-\eta_{i}\right)^{\beta-2}\right]\end{gathered}

⁷ ) Loc cit. ⁴ ).

		$\displaystyle\qquad\begin{aligned} \mathrm{M}_{n}(\alpha,0)=\lim_{\beta\rightarrow 0}\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)&;\mathrm{M}_{n}(0,0)=\lim_{\alpha\rightarrow 0}\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)\\ &\beta\rightarrow 0\end{aligned}$
		$\displaystyle\text{ compte tenant de }\alpha^{\alpha}\rightarrow 1\text{ lorsque }\alpha\rightarrow 0.$

Nous avons

\mathrm{V}_{n+1}(x)=-\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!(n+2)!}x^{n+2}+\cdots

donc

	$\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left(1-\eta_{i}\right)=-\frac{2^{n}n!(n+2)!}{(2n+1)!}\lim$	$\displaystyle\frac{\mathrm{V}_{n+2}(x)}{x^{2}-1}=-\frac{2^{n-1}n!(n+2)!}{(2n+1)!}\mathrm{V}_{n+2}^{\prime}(1)$
	$\displaystyle x\rightarrow 1$
	$\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left(1+\eta_{i}\right)=(-1)^{n+1}\frac{2^{n}n!(n+2)!}{(2n+1)!}$	$\displaystyle\lim\cdot\frac{\mathrm{V}_{n+2}(x)}{x^{2}-1}$
		$\displaystyle=-1$
		$\displaystyle=(-1)^{n+2}\frac{2^{n+1}n!(n+2)!}{(2n+1)!}\mathrm{V}_{n+2}^{\prime}(-1)$

Mais

\mathrm{V}_{n+2}^{\prime}(1)=-1,\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n+2}^{\prime}(-1)=(-1)^{n+2}

donc

\prod_{i=1}^{n}\left(1+\eta_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-\eta_{i}\right)=\frac{2^{n-1}n!(n+2)!}{(2n+1)!}

Tenant compte de la formule
$2^{(n+2)(n+1)}\mathrm{M}_{n+2}(0,0)=\frac{2^{n(n-1)}(n-1)^{n-1}n^{n}(n+1)^{n+1}(n+2)^{n+2}}{(2n-1)^{2n-1}(2n+1)^{2n+1}}\mathrm{M}_{n}(0,0)$ nous en déduisons

	$\displaystyle\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)$	$\displaystyle=\frac{(n-1)^{n-1}n^{n}(n+1)^{n+1}(n+2)^{n+2}}{2^{\alpha+\beta+2(2n+1)}(2n-1)^{2n-1}(2n+1)^{2n+1}}$		(11)
		$\displaystyle\because\left[\frac{n!(n+2)!}{(2n+1)!}\right]^{\alpha+\beta-4}\mathrm{M}_{n}(0,0)$

et cette formule est évidemment valable pour $\alpha\geqslant 0,\beta\geqslant 0$ .
Compte tenant de la formule de Stirling, on voit que la racine $n(n-1)^{\text{éme }}$ du coefficient de $\mathrm{M}_{n}(0,0)$ dans (11) tend vers 1 pour $n\longrightarrow\infty$ . D’autre part M. M. Fekete ⁹ ) a déjà remarqué que

\begin{gathered}\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{M}_{n}(0,0)}\longrightarrow\frac{1}{4}\\ n\longrightarrow\infty\end{gathered}

ce nombre étant le diamètre transfini du segment $0-1$ . Les formules (10), (11) nous montrent donc que :

Théorème V. $\alpha,\beta$ étant deux nombres non-négatifs, l’expression

\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{M}_{n}(\alpha,\beta)}

⁹ ) M. Fekete „Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" Math. Zeitschrift,t. 17 (1923), p. 228.
tend, pour $\mathrm{n}\longrightarrow\infty$ , vers le diamètre transfini $\frac{1}{4}$ du segment $0-1^{10}$ ).

On établit facilement que $M_{n}(\alpha,\beta)$ est une fonction décroissante de $\alpha$ et de $\beta$ . On vérifie immédiatement que la fonction

\begin{gathered}(\alpha+i-1)\log(\alpha+i-1)+(\beta+i-1)\log(\beta+i-1)-\\ -(\alpha+\beta+n+i-2)\log(\alpha+\beta+n+i-2)\end{gathered}

est convexe par rapport à $\alpha$ et $\beta$ lorsque $i\leq n,\alpha>0,\beta>0$ .
La fonction $\log M_{n}(\alpha,\beta)$ est une somme de fonctions convexes et nous pouvons donc énoncer la propriété suivante :

Théorème VI. La fonction $M_{n}(\alpha,\beta)$ est décroissante et son logarithme est une fonction convexe par rapport aux deux variables a et $\beta$ .

On peut facilement voir que la propriété est valable pour $\alpha\geq 0,\beta\geq 0$ .
On trouve facilement les propriétés correspondantes quand, au lieu de l’intervalle ( 0,1 ), on prend un intervalle fini quelconque ( $a,b$ ).
9. Prenons $a=0,b=\beta$ dans le théorème II ; nous en déduisons que pour $0\leq x_{l}\leq\beta$ l’expression

\left[\prod_{l=1}^{n}x_{i}^{\alpha}\left(1-\frac{x_{l}}{\beta}\right)^{\beta}\right]\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $x_{i}$ sont les zéros du polynome (écrit sous une forme convenable)

\frac{x^{1-\alpha}\left(1-\frac{x}{\beta}\right)^{1-\beta}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}x^{\alpha+n-1}\left(1-\frac{x}{\beta}\right)^{\beta+n-1}.

Si nous faisons maintenant $\beta\longrightarrow\infty$ , nous obtenons le
Théorème VII. Lorque $x>0$ et que les $x_{1}$ restent non-négatifs, l’expression
(12) $\quad\left(x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\right)^{\alpha}e^{-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$
¹⁰ ) M. Fekete a établi l’existence de la limite $n(n-1)$ que la suite

\left\{\sqrt[n]{\mathrm{M}_{n}(0,0)}\right\}\quad n=2,3,\ldots

est décroissante. $\alpha,\beta$ étant donnés, la suite plus générale

\left\{V\overline{M_{n}(\alpha,\beta)}\right\}\quad n=k,k+1,\ldots

est aussi décroissante si on prend le nombre $k$ suffisament grand.
devient maximum quand les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome de Laguerre généralisé

L_{n}^{(\alpha)}(x)=\frac{e^{x}x^{1-\alpha}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x}x^{\alpha+n-1}

La valeur de ce maximum est

\mathrm{N}_{n}(\alpha)=e^{-n(\alpha+n-1)}\prod_{i=1}^{n}i^{i}(\alpha+i-1)^{\alpha+i-1}.

Le passage à la limite est justifié par le fait - qu’on démontre comme au No. 2-que l’expression (12) admet un maximum atteint pour un seul système de points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\geq 0$ .

Si $\alpha=1$ le problème correspondant est résolue par le polynome de Laguerre proprement dit.

Le cas $\alpha=0$ peut aussi se rattacher au cas $\alpha=2$ . En effet si $\alpha=0$ pour que (12) soit maximum il faut qu’un des points $x_{i}$ coincide avec 0 . Faisant donc $\alpha=2$ et prenant $n-1$ au lieu de $n$ on déduit le

Théorème VIII. Lorsque les $\mathrm{x}_{1}$ restent non-négatifs, l’expression

e^{-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{1}$ sont les zéros du polynome

-\frac{e^{x}x}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x}x^{n-1}=\frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}e^{-x}x^{n}=\int_{0}^{x}\mathrm{\penalty 10000\ L}_{n-1}(x)dx=\mathrm{G}_{n}(x)

La valeur de ce maximum est

\mathrm{N}_{n}(0)=e^{-n(n-1)}2^{2}3^{3}\ldots(n-1)^{n-1}2^{2}3^{3}\ldots n^{n}

$\mathrm{L}_{n-1}(x)$ est le polynome de Laquerre

\mathrm{L}_{n-1}(x)=\frac{e^{x}}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}e^{-x}x^{n-1}

de degré $n-1$ .
10. Faisons quelques remarques sur les nombres $\mathrm{N}_{n}(\alpha)$ .

Si $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}$ sont les zéros de $L_{n}^{(\alpha)}(x)$ , nous avons

\left.\mathrm{N}_{n}(\alpha)\leq\left(\xi_{1}\xi_{2}\ldots\xi_{n}\right)^{\alpha}\mathrm{N}_{n}(0)^{11}\right)

Si $\eta_{0}=0,\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{n}$ sont les zéros de $G_{n+1}(x)$

\begin{gathered}\mathrm{N}_{n}(\alpha)\geqslant\left(\eta_{1}\eta_{2}\ldots\eta_{n}\right)^{\alpha}e^{-\left(\eta_{1}+\eta_{2}+\ldots+\eta_{n}\right)}\mathrm{V}^{2}\left(\eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{n}\right)=\\ =\left(\eta_{1}\eta_{2}\ldots\eta_{n}\right)^{\alpha-2}e^{-\left(\eta_{0}+\eta_{1}+\ldots+\eta_{n}\right)}\mathrm{V}^{2}\left(\eta_{0},\eta_{1},\ldots,\eta_{n}\right)=\\ =\left(\eta_{1}\eta_{2}\ldots\eta_{n}\right)^{\alpha-2}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{n+1}(0)\end{gathered}

Mais, un calcul simple nous donne
$\xi_{1}\xi_{2}\ldots\xi_{n}=\alpha(x+1)\ldots(x+n-1),\eta_{1}\eta_{2}\ldots\eta_{n}=(n+1)!$
donc
(13) $[(n+1)!]^{\alpha-2}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{n+1}(0)\leq\mathrm{N}_{n}(x)[x(\alpha+1)\ldots(\alpha+n-1)]^{\alpha}\mathrm{N}_{n}(0)$ .
¹¹ ) L’égalité n’est d’ailleurs possible que si $\alpha=0$ .

Or, l’ordre de grandeur du produit $2^{2}3^{3}$ . $n^{n}$ est

n^{\frac{n^{2}}{2}}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}e^{-\frac{n^{2}}{4}}

ce qui signifie que

\begin{gathered}\frac{\sqrt[n(n-1)]{V2^{2}3^{3}\cdots n^{n}}}{\sqrt{n}}\rightarrow\frac{1}{\sqrt[4]{e}}\\ n\rightarrow\infty.\end{gathered}

On en déduit que

	$\displaystyle\frac{\sqrt[n(n-1)]{V}\overline{\mathrm{\penalty 10000\ N}_{n}(0)}}{n}$	$\displaystyle\rightarrow\frac{1}{eV\bar{e}}$
	$\displaystyle n\rightarrow\infty$

Remarquons encore que $\mathrm{N}_{n}(\alpha)$ n’est pas une fonctions monotone mais son logarithme est convexe. Compte tenant aussi de (13) et de $\mathrm{N}_{n+1}(0)=e^{-2n}n^{n}(n+1)^{n+1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{n}(0)$ nous avons le

Thèorème IX. Le logarithme de la fonction $\mathrm{N}_{n}(\alpha)$ est convexe pour $\alpha\geqslant 0$ . a étant donné on a

\frac{\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{N}_{n}(\alpha)}}{n}\rightarrow\frac{1}{e\sqrt{e}}

11.

Prenons maintenant $a=-\sqrt{2\beta,}b=\sqrt{2\beta,}\alpha=\beta$ dans le théorème II. Nous déduisons que pour $-\sqrt{2\beta}\leq x_{i}\leq\sqrt{2\beta}$ l’expression

\left[\prod_{i=1}^{n}\left(1-\frac{x_{i}^{2}}{2\beta}\right)^{\beta}\right]\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $x_{i}$ sont les zéros du polynome (écrit sous une forme convenable)

(-1)^{n}\left(1-\frac{x^{2}}{2\beta}\right)^{1-\beta}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-\frac{x^{2}}{2\beta}\right)^{\beta+n-1}

Faisant $\beta\longrightarrow\infty$ nous obtenons un troisième théorème énoncé par Stieltjes ¹² ).
¹² ) Loc. cit. ⁵ ).

Théorème X. L’expression

e^{-\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\right)\quad\left(x_{i}\text{ réels }\right)

devient maximum quand les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome d’Hermite

\mathrm{H}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}

La valeur de ce maximum est

\mathrm{N}_{n}^{*}=e^{-\frac{n(n-1)}{2}}2^{2}3^{3}\ldots n^{n}

Le passage à la limite, on le démontre facilement, est parfaitement justifié.

Nous avons

\frac{\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{N}_{n}^{*}}}{\sqrt{\bar{n}}}\rightarrow\frac{1}{\sqrt[4]{\bar{e}^{3}}}

12.

Remarquons qu’on a

(-1)^{n}n!\mathrm{L}_{n}^{(\alpha)}(x)=x^{n}-n(\alpha+n-1)x^{n-1}+\cdots

On voit que la somme des zéros du polynome $L_{n}^{(\alpha)}(x)$ . est égale à $n(\alpha+n-1)$ . Le théorème VII nous montre alors que si $\alpha>0,x_{i}$ sont non-négatifs et

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq n(\alpha+n-1)

(14)

l’expression

\left(x_{1}x_{2},\ldots x_{n}\right)^{\alpha}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

atteint son maximum, égal à $\prod_{i=1}^{n}i^{l}(x+i-1)^{x+i-1}$ , quand les $x_{i}$ sont les zéros du polynome $L_{n}^{(\alpha)}(x)$ . On a pu supprimer le facteur $e^{-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)}$ puisque la fonction $e^{x}$ croît lorque $x$ croît à partir de la valeur zéro. On voit d’ailleurs qu’il faut prendre l’égalité dans (14) pour avoir le maximum.

La substitution $x\mid n(x+n-1),x$ permet d’énoncer le théorème suivant :

Théorème XI. Lorsque $x>0$ , les $x_{i}$ sont non-négatifs et
l’expression

\begin{gathered}x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq 1\\ \left(x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\right)^{\alpha}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\end{gathered}

devient maximum quand les $\mathrm{n}(\alpha+\mathrm{n}-1)\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome de Laguerre généralisé $\mathrm{L}_{\mathrm{n}}^{(\alpha)}(\mathrm{x})$ . La valeur de ce maximum est

M_{n}^{*}(\alpha)=\frac{\prod_{i=1}^{n}i^{i}(\alpha+n-1)^{\alpha+n-1}}{[n(\alpha+n-1)]^{n(\alpha+n-1)}}\ldots

On a, en particulier, le
Théorème XII. Lorsque les $\mathrm{x}_{1}$ sont non-négatifs et

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq 1

le discriminant

\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ sont les zéros du polynome $\mathrm{G}_{n}(\mathrm{x})$ . La valeur de ce maximum est

M_{n}^{*}(0)=\frac{2^{2}3^{3}\ldots n^{n}2^{2}3^{3}\ldots(n-1)^{n-1}}{[n(n-1)]^{n(n-1)}}

De la même manière, en remarquant que

\mathrm{H}_{n}(x)=x^{n}-\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\ldots

on voit que la somme des carrés des zéros du polynome $\mathrm{H}_{n}(x)$ est égale à $n(n-1)$ . On obtient alors, comme plus haut, le

Théorème XIII. Lorsque les nombres réels $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ vérifient l’inégalité

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\leq 1

le discriminant

\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

devient maximum quand les $V\overline{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}\mathrm{x}_{1}$ sont les zéros du polynome d’Hermite $\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$ . La valeur de ce maximum est

\mathrm{M}_{n}^{*}=\frac{2^{2}3^{3}\cdots n^{n}}{[n(n-1)]^{\frac{n(n-1)}{2}}}

Les théorèmes XII, XIII sont dus à M. I. Schur qui les a démontré par une autre voie ¹³ ).
13. Exactement comme plus haut on démontre que :

Théorème XIV. La fonction $\mathrm{M}_{n}^{*}(x)$ est décroissante et son logarithme est convexe pour $\alpha\geq 0$ . Nous avons la limite

\begin{gathered}n{}_{n\rightarrow\infty}\overline{M_{n}^{*}(\alpha)}\\ n\rightarrow\frac{1}{\sqrt{e}}\end{gathered}

pour toute valeur donnée de $x$ .

⁰⁰footnotetext: ¹³ ) Loc. cit. ⁴ ).

Nous avons aussi

\begin{gathered}\sqrt{n}^{\frac{n(n-1)}{V}}\overline{\mathrm{M}}_{n}^{*}\longrightarrow\frac{1}{V^{\frac{4}{e}}}\\ n\longrightarrow\infty\end{gathered}

II. Généralisation du problème de Stieltjes

14.

Considérons maintenant l’expression

\mathrm{E}_{n}=\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)=f\left(x_{1}\right)f\left(x_{2}\right)\ldots f\left(x_{n}\right)\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

dont nous chercherons à étudier le maximum quand les $x_{i}$ restent dans un intervalle fini. Nous pouvons toujours nous rapporter à l’intervalle $(0,1)$ , mais il va sans dire qu’on passe aux problèmes analogues pour un intervalle quelconque par des transformations simples.

Bien entendu, pour avoir des propriétés intéressantes nous allons nous borner au cas ou la fonction $f(x)$ a une certaine forme particuliere. Précisons avant tout les hypotheses que nous faisons sur la fonction $f(x)$ .

Nous dirons que la fonction $f(x)$ , réelle, définie et uniforme dans l’intervalle fermé ( 0,1 ) vérifie les conditions ( C ) ou bien que c’est une fonction (C), si :
$1^{0}$ . elle est positive dans l’intervalle ouvert $(0,1)$ .
$2^{0}$ . elle est continue aux points 0 et 1 .
$3^{0}.f(0)=f(1)=0$ .
$4^{0}$ . elle est exponentiellement concave dans l’intervalle $(0,1)$ .
Nous dirons aussi que $f(x)$ vérifie les conditions ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) ou bien que c’est une fonctions ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) si, en dehors des propriétés $1^{0},2^{0},3^{0},4^{0}$ , elle vérifie aussi la propriété suivante :
$5^{0}.\mathrm{f}(\mathrm{x})$ a une dérivée en tout point de l’intervalle ouvert $(0,1)$ .
La propriété $4^{0}$ est entendue au sens restrictif (et non pas au sens de Jensen), donc

f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)^{\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{3}-x_{1}}}f\left(x_{3}\right)^{\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}}

(15)

quels que soient les points $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ de l’intervalle $(0,1)$ .
En particulier nous avons

f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>V\overline{f\left(x_{1}\right)f\left(x_{2}\right)}

(16)

pour deux points $x_{1},x_{2}$ de $(0,1)$ . La fonction $\log f(x)$ est concave dans tout intervalle complètement intérieur à $(0,1)$ .

Des propriétés bien connues résulte qu’une fonction (C) est bornée superieurement dans $(0,1)$ et est continue non seulement à l’intérieur mais, par suite de la propriété $2^{0}$ , partout dans $(0,1)$ .

Le problème que nous nous proposons d’examiner est le suivant :
La fonction $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ vérifiant les conditions ( C ), déterminer et étudier le maximum de l’expression $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$ lor sque les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ restent dans l’intervalle $(0,1)$ .

On pourrait étudier ce problème aussi quand la fonction $f(x)$ ne vérifie pas les conditions (C), mais nos hypothèses paraissent être les plus intéressantes. Soit par exemple la fonction $f(x)$ égale à 1 pour $0<x<1$ et $f(0)=f(1)=0$ . Cette fonction vérifie les propriétés $1^{0},3^{0},4^{0}$ . On a dans ce cas

\max_{(0,1)}\mathrm{E}\left(x_{1}x_{2},\right)=1

mais il est clair que ce maximum n’est pas atteint.
Passons maintenant à l’étude de notre problème.
15. L’expression $\mathrm{E}_{n}$ est une fonction simétrique et est continue dans le domaine $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq\ldots\leq x_{n}\leq 1$ . Elle s’annule sur la frontière de ce domaine, donc

Théorème XV. Si $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ est une fonction (C) l’expression $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$ admet dans $(0,1)$ un maximum atteint pour au moins un système de points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ distincts et situés à l’intérieur de l’intervalle $(0,1)$ .

Supposons que le maximum soit atteint pour deux systèmes différents de points $x_{i}$

	$\displaystyle 0<y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}<1,\quad 0<y_{1}^{\prime}<y_{2}^{\prime}<\ldots<y_{n}^{\prime}<1$		(17)
	$\displaystyle\left\|y_{1}-y_{2}^{\prime}\right\|+\left\|y_{2}-y_{2}^{\prime}\right\|+\ldots+\left\|y_{n}-y_{n}^{\prime}\right\|>0.$

En prenant alors les points

y_{i}^{\prime\prime}=\frac{y_{i}+y_{i}^{\prime}}{2},\quad i=1,2,\ldots,n

et tenant compte de (16) on déduit, exactement comme au No. 2, que

\mathrm{E}\left(y_{1}^{\prime\prime},y_{n}^{\prime\prime},\ldots,y_{n}^{\prime\prime};f\right)\geq\sqrt{\mathrm{E}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n};f\right)\mathrm{E}\left(y_{1}^{\prime},y_{2}^{\prime},\ldots,y_{n}^{\prime};f\right)}

l’égalité n’étant possible que si les deux suites (17) coincident. C’est en contradiction avec nos hypothèses. Nous avons donc le

Théorème XVI. Si $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ est une fonction ( C ) l’expression $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$ admet dans $(0,1)$ un maximum atteint pour un seul système de points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ distincts et situés à l’intérieur de intervalle $(0,1)$

Nous désignerons par $0<\xi_{n,1}<\xi_{n,2}<\ldots<\xi_{n,n}<1$ les points pour lesquels ce maximum est atteint. Nous appelons see système le système maximisant de $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$ . Le polynome

\mathrm{P}_{n}(x)=\left(x-\xi_{n,1}\right)\left(x-\xi_{n,2}\right)\ldots\left(x-\xi_{n,n}\right)

sera appelé le polynome maximisant de $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$ .

Enfin nous désignerons par

\mathrm{M}_{n}(f)=\max_{(0,1)}\mathrm{E}_{n}=\mathrm{E}\left(\xi_{n,1},\xi_{n,2},\ldots,\xi_{n,n},f\right)

qui est èvidemment un nombre positif.
16. Nous allons démontrer maintenant que la correspondance entre une fonction $(\mathrm{C})$ et son système maximisant ou son polynome maximisant est continue.

Nous avons besoin de la propriété suivante :
Lemme I. Nous pouvons faire correspondre à tout nombre positif $\varepsilon$ un autre nombre positif $\eta$ tel que si
on ait aussi

\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)-\mathrm{M}_{n}(f)\mid<\eta

\begin{gathered}\left|x_{i}-\xi_{n,i}\right|<\varepsilon\left(x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}\right)\\ i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

Cette propriété est une conséquence de l’unicité. Supposons, en effet, que la propriété ne soit pas vraie. Par un raisonnement classique on voit qu’il existerait alors un nombre positif $\varepsilon$ et une suite de systèmes de points

x_{1}^{(m)}\leq x_{2}^{(m)}\leq\ldots\leq x_{n}^{(m)}\quad,\quad m=1,2,\ldots

telles qu’on ait

\left|\mathrm{E}\left(x_{1}^{(m)},x_{2}^{(m)},\ldots,x_{n}^{(m)};f\right)-\mathrm{M}_{n}(f)\right|<\frac{1}{m}\quad,\quad m=1,2,\ldots

et que l’une au moins des inégalités

\left|x_{i}^{(m)}-\xi_{n,i}\right|\geq\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n

soit vérifiée pour tout $m$ . On en déduit l’existence d’un système

\left.x_{1}\leq x_{2}\leq\ldots\leq x_{n}{}^{14}\right)

tel que

\begin{gathered}\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)=\mathrm{M}_{n}(f)\\ \left|x_{1}-\xi_{n,1}\right|+\left|x_{2}-\xi_{n,2}\right|+\ldots+\left|x_{n}-\xi_{n,n}\right|\geq\varepsilon\end{gathered}

ce qui est en contradiction avec le théorème XVI.
Considérons maintenant deux fonctions (C), $f(x),g(x)$ .
Soient $\xi_{n,1}<\xi_{n,2}<\ldots<\xi_{n,n}$ et $\xi_{n,1}^{\prime}<\xi_{n,2}^{\prime}<\ldots<\xi_{n,n}^{\prime}$ les sys-
tèmes maximisants correspondants. Soit A la borne supérieure de la fonction $f(x)$ et B la borne supérieure de $|f(x)-g(x)|$ ,

\mathrm{A}=\max.f(x),\quad\mathrm{B}=\max.|f(x)-g(x)|

$(0,1)$
$(0,1)$

⁰⁰footnotetext: ¹⁴⁾ Nous savons d’ailleurs que partout nous avons le signe <.

Nous avons
donc

f(x)\leq g(x)+\mathrm{B},\quad g(x)\leq f(x)+\mathrm{B}

\begin{gathered}f\left(x_{1}\right)f\left(x_{2}\right)\ldots f\left(x_{n}\right)\leq g\left(x_{1}\right)g\left(x_{2}\right)\ldots g\left(x_{n}\right)+\mathrm{C}\\ g\left(x_{1}\right)g\left(x_{2}\right)\ldots g\left(x_{n}\right)\leq f\left(x_{1}\right)f\left(x_{2}\right)\ldots\left(x_{n}\right)+\mathrm{C}\end{gathered}

où $\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{n}-\mathrm{A}^{n}$ .
Nous en déduisons
$\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)\leq\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};g\right)+\mathrm{CV}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$

\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};g\right)\leq\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)+\mathrm{CV}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)

d’où

		$\displaystyle\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right)\leq\mathrm{M}_{n}(g)+\mathrm{CM}_{n}(0)$
		$\displaystyle\mathrm{E}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};g\right)\leq\mathrm{M}_{n}(f)+\mathrm{CM}_{n}(0)$

Nous avons, en particulier,

\begin{gathered}M_{n}(f)\leqslant M_{n}(g)+\mathrm{CM}_{n}(0,0),\quad M_{n}(g)\leqslant M_{n}(f)+\mathrm{CM}_{n}(0,0)\\ \therefore\quad\left|M_{n}(f)-M_{n}(g)\right|\leqslant\mathrm{CM}_{n}(0,0)\end{gathered}

Ici $M_{n}(0,0)$ est le nombre défini au $\S$ précédent.
Nous avons aussi

		$\displaystyle\mathrm{E}\left(\xi_{n,1}^{\prime},\xi_{n,2}^{\prime},\ldots,\xi_{n,1}^{\prime};f\right)\leq\mathrm{M}_{n}(g)+\mathrm{CM}_{n}(0)$
		$\displaystyle\mathrm{M}_{n}(g)\leq\mathrm{E}\left(\xi_{n,1}^{\prime},\xi_{n,2}^{\prime},\ldots\xi_{n,n}^{\prime};f\right)+\mathrm{CM}_{n}(0)$
		$\displaystyle\left\|\mathrm{E}\left(\xi_{n,1}^{\prime},\xi_{n,2}^{\prime},\ldots,\xi_{n,n}^{\prime};f\right)-\mathrm{M}_{n}(g)\right\|\leq\mathrm{CM}_{n}(0).$

On en déduit que

\left|E\left(\xi_{n,1}^{\prime},\xi_{n,2}^{\prime},\ldots,\xi_{n,n}^{\prime};f\right)-M_{n}(f)\right|\leq 2\mathrm{CM}_{n}(0,0).

Or, C tend vers zéro avec B. Tenant alors compte du lemme I, il en résulte le

Théorème XVII. Nous pouvons faire correspondre à tout nombre positif a un autre nombre positif $\eta$ tel que, pour la fonction (C) $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ et pour tout autre fonction (C) $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ qui vérifie l’inégalité
on ait aussi

|f(x)-g(x)|<\eta\text{ dans }(0,1)

\left|\xi_{n,i}-\xi_{n,i}^{\prime}\right|<\varepsilon,i=1,2,\ldots,n

pour les systèmes maximisants correspondants.
C’est la propriété que nous avions en vue.
Nous en déduisons, en particulier, le
Théorème XVIII. Si une suite de fonctions (C)

f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{n}(x),\ldots

converge uniformément vers une fonction (C), $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ , le système maximisant $\xi_{\mathrm{n},1}^{(\mathrm{m})}<\xi_{\mathrm{n},2}^{(\mathrm{m})}<\ldots<\xi_{\mathrm{n},\mathrm{n}}^{(\mathrm{m})}$ correspondant à $\mathrm{f}_{\mathrm{m}}(\mathrm{x})$ tend, pour
$\mathrm{m}\longrightarrow\infty$ , vers le système maximisant $\xi_{\mathrm{n},1}<\xi_{\mathrm{n},2}\ldots<\xi_{\mathrm{n},\mathrm{n}}$ correspondant à $\mathrm{f}(\mathrm{x})^{15}$ ).

\begin{gathered}\xi_{n,i}^{(m)}\longrightarrow\xi_{n,i}\quad i=1,2,\ldots,n\\ m\longrightarrow\infty\end{gathered}

Cette propriété sera fondamentale pour nous dans la suite.
17. Supposons maintenant que $f(x)$ soit une fonction $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ . Pour déterminer alors le maximum nous pouvons appliquer le calcul différentiel. Le maximum est donc déterminé par le système

\frac{1}{\mathrm{E}_{n}}\frac{a\mathrm{E}_{n}}{dx_{i}}=\frac{\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}+\frac{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}{f\left(x_{i}\right)},i=1,2,\ldots,n

(18)

P(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right).

(où)

II est facile de voir que, par suite des hypothèses faites et surtout à cause de la propriété $4^{0}$ (concavité), nous avons le

Lemme II. Si $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ est une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) le système (18) admet une solution et une seule telle que les $\mathrm{x}_{1}$ soient dans l’intervalle $(0,1)$ .

Compte tenant du théorème XV, nous avons le
Théorème XIX. Si $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ est une fonction $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ , nous avons

\begin{gathered}f\left(\xi_{n,i}\right)\mathrm{P}_{n}^{\prime\prime}\left(\xi_{n,i}\right)+\left(\xi_{n,i}\right)\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{n,i}\right)=0\\ i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

18.

Avant d’aller plus loin, nous devons montrer comment les démonstrations des propriétés énoncées pour les fonctions (C) et qui vont suivre se déduisent des démonstrations des propriétés correspondantes pour les fonctions ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ).

Démontrons avant tout le
Lemme III. Si

0<x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}<1

est une suite de points situés à l’intérieur de l’intervalle $(0,1)$ et si

c_{1}>c_{2}>\ldots>c_{m}

est une suite de nombres non-croissants, il existe une fonction ’ $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ dont la dérivée logarithmique prend les valeurs $\mathrm{c}_{\mathrm{i}}$ aux points correspondants $\mathbf{x}_{1}$ .

Soit $\varphi(x)$ la fonction continue définie dans l’intervalle ( $x_{1},x_{m}$ ) telle que

\varphi\left(x_{l}\right)=c_{i},\quad i=1,2,\ldots,m

$\varphi(x)=$ une fonction linéaire dans $\left(x_{i},x_{i+1}\right),i=1,2,\ldots,m-1$ .
¹⁵⁾ Que la limite soit une fonction (C) n’est pas essentiel, mais nous appliquerons ce théorème sous cette forme dans la suite.

La fonction

\varphi_{1}(x)=\int_{x_{1}}^{x}\varphi(x)dx

est concave dans l’intervalle ( $x_{1},x_{m}$ ).
Nous allons maintenant prolonger convenablement cette fonction dans l’intervalle $(0,1)$ . Prenons la fonction $\varphi_{2}(x)$ définie de la manière suivante :

\begin{gathered}\varphi_{2}(x)=\left(\left|c_{1}\right|+1-c_{1}\right)\left(x_{1}-x\right)+x_{1}\left(\left|c_{1}\right|+1\right)-\frac{x_{1}^{2}\left(\left|c_{1}\right|+1\right)}{x},0<x\leq x_{1}\\ \varphi_{2}(x)=\varphi_{1}(x),\quad\leq x\leq x_{m}\\ \varphi_{2}(x)=\left(c_{m}-1-\left|c_{m}\right|\right)\left(x-x_{m}\right)+\varphi_{1}\left(x_{m}\right)+\left(1-x_{m}\right)\left(\left|c_{m}\right|+1\right)-\\ -\frac{\left(1-x_{m}\right)^{2}\left(\left|c_{m}\right|+1\right)}{1-x},\quad x_{m}\leq x<1.\end{gathered}

Enfin la fonction $f(x)$ définie de la manière suivante

		$\displaystyle f(0)=f(1)=0$
		$\displaystyle f(x)=e^{\Phi_{2}(x)}\quad\text{ pour }0<x<1$

est une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) et vérifie les conditions du lemme III.
Le prolongement de la fonction $\varphi_{1}(x)$ se fait en somme par raccordement à l’aide d’arcs d’hyperboles convenablement choisies. Si $c_{1}$ est non-négatif la fonction $\varphi_{2}(x)$ est croissante dans l’intervalle $\left(0,x_{1}\right)$ et si $c_{m}$ est non-positif $\rho_{2}(x)$ est décroissante dans l’intervalle ( $x_{m},1$ ). Cette remarque nous sera utile pour la propriété suivante.

Le lemme III a une conséquence importante :
Si $\mathrm{P}_{\mathrm{n}_{1}}(\mathrm{x}),\mathrm{P}_{\mathrm{n}_{2}}(\mathrm{x}),\ldots,\mathrm{P}_{\mathrm{n}_{\mathrm{k}}}(\mathrm{x})$ sont les polynomes maximisants correspondants à une fonction ( C ) et à k valeurs de n , ces polynomes sont aussi les polynomes maximisants correspondants à une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) et aux mêmes valeurs de n.

La démonstration ne présente aucune difficulté et résulte immédiatement du lemme II et du théorème XIX.

Dans la suite nous appliquerons cette propriété pour les polynomes $\mathrm{P}_{n}(x),\mathrm{P}_{n-1}(x)$ .

Nous avons encore le
Lemme IV. Toute fonction (C) est la limite d’une suite de fonctions ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) convergeant uniformément dans l’intervalle ( 0,1 ).

Il existe d’abord un nombre positif $\rho$ tel que dans l’intervalle $(0,\rho)$ la fonction $f(x)$ soit non-decroissante et dans l’intervalle ( $1-p,1$ ) non-croissante. (On prend bien entendu $\rho\leq\frac{1}{2}$ ). Soit maintenant $\varepsilon$ un nombre positif arbitraire. Il existe un nombre positif $\delta<\rho$ tel que

f(x)<\varepsilon

pour $0\leq x\leq\delta$ , et pour $1-\delta\leq x\leq 1$ .

Dans l’intervalle fermé ( $\delta,1-\delta$ ) la fonction $\mathrm{F}(x)=\log f(x)$ est continue et concave. Il existe un nombre A tel que dans cet intervalle $|\mathrm{F}(x)|\leq\mathrm{A}$ . Considérons maintenant la suite de polynomes ¹⁶ )

\mathrm{Q}_{1}(x),\mathrm{Q}_{2}(x),\ldots,\mathrm{Q}_{m}(x),\ldots

(19)

$\mathrm{Q}_{m}(x)=\frac{1}{(1-2\delta)^{m}}\sum_{i=1}^{m}\mathrm{\penalty 10000\ F}\left(\delta-i\frac{1-2\delta}{m}\right)\binom{m}{i}(x-\delta)^{i}(1-\delta-x)^{m-i}$
qui vérifient les propriétés suivantes :
$1^{0}.\quad\mathrm{Q}_{m}(\delta)=\mathrm{F}(\delta),\mathrm{Q}_{m}(1-\delta)=\mathrm{F}(1-\delta)$
$2^{0}.\left|\mathrm{Q}_{m}(x)\right|\leq\mathrm{A}$ , dans $(\delta,1-\delta)$
$3^{0}$ . $\quad\mathrm{Q}_{m}(x)$ est concave dans ( $\delta,1-\delta$ )
4. $\quad\mathbf{Q}_{m}^{\prime}(\delta)=\frac{m}{1-2\delta}\left[\mathrm{\penalty 10000\ F}\left(\delta+\frac{1-2\delta}{m}\right)-\mathrm{F}(\delta)\right]$

\mathrm{Q}_{m}^{\prime}(1-\delta)=\frac{m}{1-2\delta}\left[\mathrm{\penalty 10000\ F}(1-\delta)-\mathrm{F}\left(1-\delta-\frac{1-2\delta}{m}\right)\right]

$5^{0}$ . La suite (19) converge uniformément vers $\mathrm{F}(x)$ dans tout l’intervalle ( $\delta,1-\delta$ ).

Nous prolongeons le polynome $\mathrm{Q}_{m}(x)$ exactement comme nous l’avons fait avec $\Phi_{1}(x)$ et nous désignons par $Q_{m}^{*}(x)$ la fonction ainsi définie dans tout l’intervalle ouvert ( 0,1 ). Définissons enfin la fonction $f_{m}(x)$ par

		$\displaystyle f_{m}(0)=f_{m}(1)=0$
		$\displaystyle f_{m}(x)=e^{Q^{*}m(x)}\quad,\quad 0<x<1$

Les fonctions $f_{m}(x)$ vérifient les conditions ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ).
Pour $m>\frac{\rho-\delta}{1-2\delta}$ nous avons $Q_{m}^{\prime}(\delta)\geq 0,Q_{m}^{\prime}(1-\delta)\leq 0$ , donc $f_{m}(x)$ est respectivement croissante et décroissante dans les intervalles $(0,\delta)$ , ( $1-\delta,1$ ), donc à fortiori

f_{m}(x)<\varepsilon\text{ pour }0\leq x\leq\delta,1-\delta\leq x\leq 1,m>\frac{p-\delta}{1-2\delta}

D’autre part, nous pouvons determiner un nombre $m^{\prime}$ tel que pour $m>m^{\prime}$ on ait

\left|\mathrm{Q}_{m}(x)-\mathrm{F}(x)\right|<\log\left(\varepsilon+e^{\mathrm{A}}\right)-\mathrm{A},\quad\delta\leq x\leq 1-\delta

¹⁰ ) Les polynomes $\mathrm{Q}_{m}(x)$ sont les polynomes de M. S. Bernstein. Pour la démonstration des propriétés du texte voir : Tiberiu Popoviciu „Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre supérieur" Mathematica t. X (1935), p. 49.

Nous en déduisons

\left|f_{m}(x)-f(x)\right|<\varepsilon,\quad\delta\leq x\leq 1-\delta,\quad m>m^{\prime}

Finalement donc
$\left|f_{m}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ pour $0\leq x\leq 1,m>\max.\left(m^{\prime},\frac{\rho-\delta}{1-2o}\right)$
ce qui démontre le lemme IV.
19. Nous dirons que deux suites

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}\text{ et }x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n-1}^{\prime}

(20)

de $n$ et de $n-1$ points respectivement, se séparent au sens strict si l’on a

x_{1}<x_{1}^{\prime}<x_{2}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n-1}<x_{n-1}^{\prime}<x_{n}

Nous dirons aussi que les deux suites (20) se séparent au sens large si l’on a

x_{1}\leq x_{1}^{\prime}\leq x_{2}\leq x_{2}^{\prime}\leq\ldots\leq x_{n-1}\leq x_{n-1}^{\prime}\leq x_{n}

et si les suites ont au moins un point commun.
On peut aussi dire que les zéros des polynomes

\mathrm{P}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right),\mathrm{P}_{1}(x)=\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right)\ldots\left(x-x_{n-1}^{\prime}\right)

se séparent respectivement au sens strict et au sens large.
Le polynome $\mathrm{P}_{1}(x)$ peut toujours s’écrire sous la forme

\mathrm{P}_{1}(x)=\mathrm{P}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{x-x_{i}}\quad\left(\sum_{i=1}^{n}s_{i}=1\right)

qui n’est autre que la formule d’interpolation de Lagrange. Les constantes $s_{i}$ sont complètement déterminées.

Nous avons le
Lemme V. La condition nécessaire et suffisante pour que les zéros des polynomes $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ et $\mathrm{P}_{1}(\mathrm{x})$ se séparent au sens strict est que les coefficients si soient tous positifs. La condition nécessaire et suffisante pour que les zéros de ces polynomes se séparent au sens large est que les si soient tous non-négatifs l’un au moins étant nul.

Ces propriétés sont bien connues la démonstration étant immédiate. Revenons maintenant aux polynomes maximisants $\mathrm{P}_{n}(x),\mathrm{P}_{n-1}(x)$ correspondants à une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ). Nous avons le

Théorème XX. Les zéros des polynomes maximisants $\mathrm{P}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$ , $\mathrm{P}_{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x})$ correspondants à une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) ne peuvent pas se séparer au sens large.

La démonstration est facile. Supposons le contraire. Nous pouvons alors écrire

\mathrm{P}_{n-1}(x)=\mathrm{P}_{n}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{x-\xi_{n,i}}

où $s_{i}\geq 0,\sum_{i=1}^{n}s_{i}=1$ . Pour fixer les idées, supposons que $s_{1}=0$ . On a alors $\xi_{n,1}=\xi_{n-1,1}$ . Dérivant deux fois de suite nous avons

\mathrm{P}_{n-1}^{\prime}(x)=\mathrm{P}_{n}^{\prime}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{x-\xi_{n,i}}-\mathrm{P}_{n}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{\left(x-\xi_{n,i}\right)^{2}}

	$\displaystyle\mathrm{P}_{n-1}^{\prime\prime}(x)=\mathrm{P}_{n}^{\prime\prime}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{x-\xi_{n,i}}-2\mathrm{P}_{n}^{\prime}(x)\sum_{i=1}^{n}$	$\displaystyle\frac{s_{i}}{\left(x-\xi_{n,i}\right)^{2}}+$
		$\displaystyle+2\mathrm{P}_{n}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{s_{i}}{\left(x-\xi_{n,i}\right)^{3}}$

d’où

\begin{gathered}\mathrm{P}_{n-1}^{\prime}\left(\xi_{n,1}\right)=\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{n,1}\right)\sum_{i=2}^{n}\frac{s_{i}}{\xi_{n,1}-\xi_{n,i}}\\ \mathrm{P}_{n-1}^{\prime\prime}\left(\xi_{n,1}\right)=\mathrm{P}_{n}^{\prime\prime}\left(\xi_{n,1}\right)\sum_{i=2}^{n}\frac{s_{i}}{\xi_{n,1}-\xi_{n,i}}-2\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{n,1}\right)\sum_{i=2}^{n}\frac{s_{i}}{\left(\xi_{n,1}-\xi_{n,i}\right)^{2}}\end{gathered}

Tenant compte de $\xi_{n,1}=\xi_{n,1}$ et du théorème XIX nous en déduisons

f\left(\xi_{n,1}\right)\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{n,1}\right)\sum_{i=2}^{n}\frac{s_{i}}{\left(\xi_{n,1}-\xi_{n,l}\right)^{2}}=0

Mais, $f\left(\xi_{n,1}\right)\mathrm{P}_{n}^{\prime}\left(\xi_{n,1}\right)\neq 0$ , il en résulte donc que

s_{2}=s_{3}=\ldots=s_{n}=0

C’est en contradiction avec l’hypothèse $\sum_{i=1}^{n}s_{i}=1$ et le théorème XX est donc démontré.
20. Nous nous proposons de démontrer maintenant la propriété que nous avions en vue et qui s’exprime par le

Théorème XXI. Les zéros de deux polynomes maximisants consécutifs $\mathrm{P}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}),\mathrm{P}_{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x})$ correspondants à une fonction $(\mathrm{C})$ se séparent au sens strict.

Montrons d’abord qu’il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ . En effet, si la propriété est vraie pour les fonctions $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ , le théorème XVIII et le lemme IV nous montrent que pour une fonction (C) les zéros se séparent ou bien au sens strict ou bien se séparent au sens large. Mais, en vertu de la conséquence du lemme III, c’est bien le premier cas qui arrive.

Il reste à démontrer la propriété dans le cas où $f(x)$ est une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ). Considérons pour cela la fonction

\begin{gathered}f_{m}(x)=[x(1-x)]^{1-m}[f(x)]^{m}\\ 0\leq m\leq 1,f_{0}(x)=x(1-x),f_{1}(x)=f(x)\end{gathered}

$f_{m}(x)$ est une fonction $\left(\mathrm{C}^{\prime}\right)$ . Lorque $m$ croit de 0 à 1 , la fonction $f_{0}(x)$ ou $x(1-x)$ se déforme d’une façon continue et tend uniformément vers $f_{1}(x)$ ou $f(x)$ .

Les théorèmes XVIII et XX nous montrent alors qu’il suffit de démontrer la propriété pour la fonction $\mathrm{f}_{0}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(1-\mathrm{x})$ . Or, dans ce cas

\mathrm{P}_{n}(x)=\mathrm{F}(-n,n+1,1,x),\mathrm{P}_{n-1}(x)=\mathrm{F}(-n+1,n,1,x)

et il est bien connu que les zéros de ces polynomes de Jacobi se séparent au sens strict. Le théorème est donc complétement démontré.
21. Nous nous proposons de dire maintenant quelques mots sur le maximum $M_{n}(f)$ .

Soit A le maximum (ou bien la borne supérieure) de $f(x)$ . Nous avons

\mathrm{M}_{n}(f)\leqslant\mathrm{A}^{n}.\max_{(0,1)}\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=\mathrm{A}^{n}\mathrm{M}_{n}(0,0)

(0,1)

Le théorème de M. M. Fekete nous montre donc que
(21)

\varlimsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n(n-1)]{\lim_{n}(f)}\leq\frac{1}{4}

Soit $\varepsilon<\frac{1}{4}$ un nombre positif arbitraire. Dans l’intervalle $(2\varepsilon,1-2\varepsilon)$ la fonction $f(x)$ a un minimum positif $a$ . Soient $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}$ les points pour lesquels

		$\displaystyle\quad\max.\mathrm{V}^{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=m_{n}(\varepsilon)$
		$\displaystyle(2\varepsilon 1-2\varepsilon)$

est atteint. Nous avons

f\left(\xi_{1}\right)f\left(\xi_{2}\right)\ldots f\left(\xi_{n}\right)m_{n}(\varepsilon)\leq\mathrm{E}\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n};f\right)\leq M_{n}(f)

d’où

a^{n}m_{n}(\varepsilon)\leq M_{n}(f)

Mais

\begin{gathered}\sqrt[n(n-1)]{a^{n}}\longrightarrow 1,\text{ pour }n\longrightarrow\infty\\ \sqrt[n(n-1)]{m_{n}(\varepsilon)}\longrightarrow\frac{1}{4}-\varepsilon,\text{ pour }n\longrightarrow\infty\end{gathered}

et il en résulte que

\underset{n\rightarrow\infty}{\lim.}\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{M}_{n}(f)}\geq\frac{1}{4}-\varepsilon

(22)

quel que petit que soit $\varepsilon$ . Les relations (21) et (22) nous montrent donc que :

Théorème XXII. Si $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ est une fonction (C) l’expression

\sqrt[n(n-1)]{\mathrm{M}_{n}(f)}

a, pour $\mathrm{n}\longrightarrow\infty$ , une limite qui est égale au diamètre transfini $\frac{1}{4}$ du segment 0–1.
22. Nous allons maintenant considerer un cas particulier.

Soit
$f(x)=\left|x-a_{1}\right|^{\sigma_{1}}\left|x-a_{2}\right|^{\sigma_{2}}\ldots\left|x-a_{h}\right|^{\sigma_{h}}\left|x-a_{h+1}\right|^{\sigma_{h+1}}\ldots\left|x-a_{h+k}\right|^{\sigma_{h+k}}$ où $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{h-1}<a_{h}=0<a_{h+1}=1<a_{h+2}<\ldots<a_{h+k}$ et $\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{h+k}$ sont $h+k$ nombres positifs. C’est une fonction ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ). Le polynome maximisant $\mathrm{P}_{n}(x)$ est alors solution de l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+\left(\frac{\sigma_{1}}{x-a_{1}}+\frac{\sigma_{2}}{x-a_{2}}+\ldots+\frac{\sigma_{h+k}}{x-a_{h+k}}\right)y^{\prime}+\ldots$		(23)
	$\displaystyle\cdots+\frac{\psi(x)}{\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\ldots\left(x-a_{h+k}\right)}y=0$

où $\psi(x)$ est un polynome de degré $h+k-2$ convenablement choisi. Nos résultats permettent donc de dire qu’une équation de la forme (23) admet une solution polynome de degré $n$ et une seule tel que ce polynome ait tous ses zéros réels et compris dans l’un des intervalles ( $a_{i},a_{i+1}$ ). Soit $\mathrm{P}_{n}(x)$ la solution de degré $n$ qui a ses zéros dans l’intervalle ( $a_{i},a_{i+1}$ ) et $\mathrm{P}_{n-1}(x)$ la solution de degré $n-1$ qui a ses zéros dans le même intervalle. Nous pouvons alors dire que les zéros des polynomes $\mathrm{P}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$ et $\mathrm{P}_{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x})$ se séparent au sens strict.

C’est Stieltjes qui a étudié pour la première fois les solutions polynomiales de l’équation (23) ¹⁷ ). Il a montré, compte tenant du fait que l’équation a au plus

\binom{n+h+k-2}{h+k-2}=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+h+k-2)}{1.2\cdots(h+k-2)}

solutions polynomes de degré $n$ , que cette équation a exactement $\binom{n+h+k-2}{h+k-2}$ solutions de cette forme qui ont tous leurs zéros réels et compris dans l’intervalle ( $a_{1},a_{h+k}$ ). Les zéros de ces polynomes sont distribués de toutes les manières possibles dans les intervalles ( $a_{i},a_{i+1}$ ), à chaque distribution correspondant une seule solution. D’ailleurs à toute solution correspond un problème de maximum. Ces problèmes de maxima, qui constituent une généralisation du problème étudié dans ce travail, ainsi que d’autres problèmes sur la distribution des zéros des solutions polynomiales d’une équation de la forme (23) seront examinés par nous dans un autre travail qui paraîtra prochenement ¹⁸ ).

⁰⁰footnotetext: ¹⁷ ) Loc. cit. ³ )
18) Nous avons énoncé des résultats plus généraux dans notre note : „Sur un problème de maximum de Stielties". C. R. Acad. Sc., Paris, t. 202 (1936) p. 1645.

Sur certaines problèmes de maximum de Stieltjes

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SUR CERTAINS PROBLÈMES DE MAXIMUM DE STIELTJES

Sur quelques théorèmes de Stieltjes et de M. I. Schur

II.

Généralisation du problème de Stieltjes

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