1. Considérons l’équation opérationnelle

où $P$ est un opérateur défini sur l’espace de Banach $X$ à valeurs dans l’espace linéaire normé $Y.$

Au cas où $P\left(x\right)$ est une fonction réelle de la variable réelle $x$, J.F. Traub [5] ètudie l’ordre de la fonction iterative suivante attachée à l’équation (1):

Dans le travail [4], nous avons élargi la fonction itérative (2) pour des équations plus générales de forme (1) et nous avons facilement étudié son ordre en employant une notion d’ordre d’un opérateur itératif, notion plus générale que celle employée [5].

Dans la note ci-présente on étudiera la convergence du procédé itératif qui découle de l’opérateur itératif suivant étudie par nous dans [4]

où $P^{\prime }\left(x\right)est$ la dérivée de la Fréchet de l’operateur $P$ et $Q$ est un opérateur itératif arbitraire attaché à l’équation (1). On considérera ensuite un cas particulier de l’opérateur (3) par la particularisation de l’opérateur $Q.$

2. L’opérateur itératif (3) nous conduit évidemment à la méthode itérative suivante:

où pour la clarté des énoncés et des démonstrations qui suivront on supporsera que l’opérateur $Q$ a la forme

Soit x${}_0{}^{}\in X$ et $\delta$ un nombre réel et positif. On désigne par $S(x_0,\delta )$ l’ensemble $\{x\in X:\Vert x-x_0\Vert \le \delta \}.$

On suppose que dans la sphère $S(x_0,\delta )$ définie antérieurement sont remplies les conditions suivantes.

• 1.i)

  L’opérateur $P\left(x\right)$ admet des dérivées au sens de Fréchet jusqu’à l’ordre $k$ inclusivement et où $k\geqq 2$ est un nombre naturel. On désigne par $M_2=\underset{x\in S(x_0,\delta )}{sup}\Vert P^{\prime \prime }\left(x\right)\Vert .$

• 2.i)

  $\Vert \sum _{s=0}^{k-1}\frac{P^{\left(s\right)}\left(x\right)}{s!}{\phi }^s\left(x\right)\Vert \le \alpha {\Vert P\left(x\right)\Vert }^k$ pour tout $x\in S(x_0,\delta )$ où $\alpha$ est un nombre réel non-négatif.

• 3.i)

  $\Vert \phi \left(x\right)\Vert \le \beta \Vert P\left(x\right)\Vert$ pour tout $x\in S(x_0,\delta ),$ où $\beta$ est un nombre réel positif.

• 4.i)

  L’opérateur $P^{\prime }\left(x\right)$ admet une inverse bornée pour tout $x\in S(x_0,\delta )$ c’est-à-dire il $y$ a une constante réelle et positive $B$ pour laquelle $\Vert {\left[P^{\prime }\left(x\right)\right]}^{-1}\Vert \le B.$

• 5.i)

  La différence divisée généralisée [2], $[x,y;Q]$ de l’opérateur $Q$ est bornée en norme pour tout $x,y\in S(x_0,\delta )$ c’est-à-dire il $y$ a une constante réelle et non-négative $\lambda$ pour laquelle $\Vert [x,y;Q]\Vert \le \lambda .$

• 6.i)

  où

  $${\rho }_0=M_{2}B\left(\frac{M_k{\beta }^k}{k!}+\alpha \right)\left[\frac{1}{2}B\left(\frac{M_k{\beta }^k}{k!}+\alpha \right)h_0^{k-1}+\beta \right]\text{et }{h}_0=\Vert P\left(x_0\right)\Vert$$

• 7.i)

  Soit

  $$r=\lambda {\rho }_0^{-\frac{1}{k}}{\mu }_0\frac{{\epsilon }_0^{k+1}}{1-{\epsilon }_0^{k+1}}+\beta h_0+\lambda {\mu }_0{h}_0$$

  et

  $$r^{\prime }={\mu }_0\left[\frac{{\rho }_0^{-\frac{1}{k}}{\epsilon }_0^{k+1}}{1-{\epsilon }_0^{k-1}}+h_0\right]\text{où}{\mu }_0=\beta +B\left(\frac{M_k{\beta }^k}{k!}+\alpha \right)h_0^{k-1}$$

  on suppose que max$\{r,r^{\prime }\}\le \delta .$

3. En ce qui suit on utilisera le théorème 1 pour caractériser la convergence du procédé itératif suivant:

Ce procédé est obtenu de (4) pour $Q\left(x\right)=x-{\left[P^{\prime }\left(x\right)\right]}^{-1}P\left(x\right).$ On observe dans ce cas, que $\phi \left(x\right)=-{\left[P^{\prime }\left(x\right)\right]}^{-1}P\left(x\right).$

On montre en ce qui suit que certaines hypothèses du théorème 1 sont satisfaites par la méthode (12), et le reste sera modifié par nous, selon les exigences des particularités de la méthode itérative (12).

Désignons par ${\delta }^{\prime }$ le rayon de la sphére $S$ qu’on a considérée dans le théorème 1.

On observe tout de suite que l’hypothèse 2.i) est satisfaite dans ce cas pour $\alpha =0,$ et l’hypothèse 3.i) est satisfaite pour $\beta =B.$

Dans la sphère définie précédemment supposons que sont remplies les conditions suivantes relatives à la méthode itérative (12).

• 1.i’)

  la propriété 1.i) a lieu pour $k=2$ et $x\in S(x_0,{\delta }^{\prime })$

• 2.i’)

  la propriété 4.i) a lieu pour tout $x\in S(x_0,{\delta }^{\prime })$

• 3.i’)

  la propriété 5.i) a lieu pour tout $x\in S(x_0,{\delta }^{\prime })$

• 4.i’)

  où ${\rho }_0=\frac{M_2^2{B}^3}{8}\left[M_2{B}^3{h}_0+4B\right]$ et $h_0=\Vert P\left(x_0\right)\Vert$

• 5.i’)

  Dans l’hypothèse 7.i) du théorème 1 on suppose que

  	$r^{\prime }$	$=\frac{\lambda }{\sqrt{{\rho }_0}}\frac{\epsilon }{1-{\epsilon }_0^3}+\left(\lambda {\mu }_0+\beta \right)\Vert P\left(x_0\right)\Vert \text{et }r={\mu }_0\left[\frac{{\epsilon }_0^3}{\sqrt{{\rho }_0\left(1-{\epsilon }_0^3\right)}}+\Vert P\left(x_0\right)\Vert \right]$
  	$\text{où}{\mu }_0$	$=\frac{B}{2}\left(2+M_2{B}^2{h}_0\right)$

  On suppose que max $\{r,r^{\prime }\}\le {\delta }^{\prime }.$

On peut alors énoncer le résultat suivant:

Evidemment d’aprés ce qu’on a vu le théorème 1 a un caractère général puisqu’il concerne la convergence d’une classe large de méthodes itératives. De 3.i’) et 3.c’) il résulte que la méthode (12) a l’ordre de convergence $3$. Cette méthode a donc le même ordre que la méthode bien connue de Tchébycheff mais par contre la méthode (12) a une forme plus simple et dans certains cas on peut supposer qu’elle est d’un emploi plus facile, puisqu’ elle ne demande pas le calcul de la deuxième dérivée de l’opérateur $P.$

Reçu le 7.IX.1972

Institutul de Calcul din Cluj

al Academiei Republicii Socialiste România