FORMULES DE CUBATURE. APPLICATION À L’INTÉGRATION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

ELENA MOLDOVAN
à Cluj

Dans la première partie de ce travail, nous étudions les formules de cubature

	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=\frac{S}{4}\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{1},y_{2}\right)+f\left(x_{2},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)\right]+R$		(1)
	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=Sf\left(x_{0},y_{0}\right)+R$		(2)

où $D$ est le rectangle formé par les droites $x=x_{1},x=x_{2},y=y_{1},y=y_{2}$ , $\left(x_{0},y_{0}\right)$ sont les coordonnées du centre du rectangle $D$ et $S$ est l’aire du rectangle $D$ . Nous nous attachons surtout à la détermination du reste de ces formules, que nous mettons sous la forme

R=\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+0\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy

(3)

en supposant que la fonction $f(x,y)$ ait des dérivées partielles par rapport à $x$ et à $y$ , du premier et du second ordre continues dans $D$ .

Nous déterminons aussi la formule de cubature

\iint_{D}fdxdy=\frac{S}{2}\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)\right]+R

(4)

et nous mettons son reste sous la forme (3). Nous appliquerons cette formule dans la seconde partie de ce travail à l’intégration numérique de l’équation aux dérivées partielles du second ordre de type hyperbolique.

Nous avons obtenu les formules de cubature (1), (2), (4), par une exten. sion de la méthode que J. radon [1] a donné pour obtenir des for. mules de quadrature et que nous avons appliqué d’une façon systhématique [2]. Nous continuons à développer cette méthode et nous donnerons ailleurs d’autres travaux sur les formules de cubature.

Dans la seconde partie de notre travail nous traitons comme application de la première partie, de l’intégration numérique de l’équation aux dérivées partielles

\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f(x,y,z,p,q)

(5)

où $p=\frac{\partial z}{\partial x},q=\frac{\partial z}{\partial y}$ qui admet une intégrale unique $z(x,y)$ dans le rectangle $\Delta$ formé par les droites $x=0,x=\lambda,y=0,y=\mu$ et qui est nulle sur les côtés de ce rectangle, situés sur les axes $Ox,Oy$ .

Le problème que nous traiterons est le suivant : déterminer un réseau $\Gamma$ formé par les droites $x=x_{i},y=y_{k}$ où les points $x_{i}$ et $y_{k}$ partagent les intervalles $(0,\lambda)$ et $(0,\mu)$ en $n$ et $m$ parties égales et chercher un algorithme de calcul pour les nombres $z_{ik}^{(v)},p_{ik}^{(v)},q_{ik}^{(v)}$ de façon que $\varepsilon$ étant un nombre positif donné, les valeurs absolues des différences

z\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(v)},p\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(v)},q\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(v)}

sur les noeuds du réseau $\Gamma$ , soient plus petites que $2\varepsilon$ .
Les résultats de ce travail ont été communiqués au Colloque sur la théorie des équations aux dérivées partielles tenu à Bucarest du 21-26 Septembre 1959.

I. FORMULES DE CUBATURE

§. Première formule de cubature

1.

Considérons le rectangle $D$ , défini par les inégalités

x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2},y_{1}\leqslant y\leqslant y_{2}

(1)

et une fonction $f(x,y)$ ayant des dérivées partielles du premier et du second ordre dans $D$ . Nous cherchons une formule de cubature pour l’intégrale double

\iint_{D}f(x,y)dxdy

(2)

relativement au rectangle $D$ . A cet effet, nous allons étendre la méthode donnée par J. radon [1], et que nous avons appliqué dans des noinbreux travaux [2].

Désignons par $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ les intégrales des équations aux derivées partielles

\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\alpha,\quad\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}=\beta,\quad\frac{\partial^{2}\theta}{\partial y^{2}}=\gamma,

(3)

définies dans le rectangle $D$ et qui satisfont à des conditions aux limites qui seront précisées plus loin. Dans les seconds membres $\alpha,\beta,\gamma$ sont des constantes qui seront déterminées.

Nous allons transformer les intégrales

\iint_{D}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}fdxdy,\quad\iint_{D}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}fdxdy,\iint_{D}\frac{\partial^{2}\theta}{\partial y^{2}}fdxdy

(4)

par des intégrations par parties convenables.
$1^{\circ}$ . Nous pouvons écrire

\iint_{D}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}fdxdy=\int_{y_{1}}^{y_{2}}dy\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}f-\varphi\frac{\partial f}{\partial x}\right)dx+\iint_{D}\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy

et nous aurous

$\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}fdxdy$	$\displaystyle=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left[\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{2},y\right)f\left(x_{2},y\right)-\varphi\left(x_{2},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{2},y\right)\right]dy-$	(5)
	$\displaystyle-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left[\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{1},y\right)f\left(x_{1},y\right)-\varphi\left(x_{1},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{1},y\right)\right]dy+$
	$\displaystyle+\iint_{D}\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy$

$2^{\circ}$ . Nous aurons également

\iint_{D}\frac{\partial^{2}\theta}{\partial y^{2}}fdxdy=\int_{x_{1}}^{x_{2}}dx\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\theta}{\partial y}f-\theta\frac{\partial f}{\partial y}\right)dy+\iint_{D}\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}dxdy

c’est à dire

$\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial^{2}\theta}{\partial y^{2}}fdxdy$	$\displaystyle=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial^{\theta}}{\partial y}\left(x,y_{2}\right)f\left(x,y_{2}\right)-\theta\left(x,y_{2}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{2}\right)\right]dx-$	(6)
	$\displaystyle-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial\theta}{\partial y}\left(x,y_{1}\right)f\left(x,y_{1}\right)-\theta\left(x,y_{1}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{1}\right)\right]dx+$
	$\displaystyle+\iint_{D}\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}dxdy$

$3^{\circ}$ . Nous pouvons écrire

	$\displaystyle 2\iint_{D}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}fdxdy$	$\displaystyle=\int_{x_{1}}^{x_{2}}dx\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{\partial\psi}{\partial x}f-\psi\frac{\partial f}{\partial x}\right)dy+$
		$\displaystyle+\int_{y_{1}}^{y_{2}}dy\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}f-\psi\frac{\partial f}{\partial y}\right)dx+2\iint_{\\|}\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy$

c’est à dire

Mais

	$\displaystyle 2\iint_{D}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}fdxdy$	$\displaystyle=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)f\left(x,y_{2}\right)dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\psi\left(x,y_{2}\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)dx-$
		$\displaystyle-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)f\left(x,y_{1}\right)dx+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\psi\left(x,y_{1}\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)dx+$
		$\displaystyle+\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)f\left(x_{2},y\right)dy-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\psi\left(x_{2},y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{2},y\right)dy-$
		$\displaystyle-\int_{y_{1}}^{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\left(x_{1},y\right)f\left(x_{1},y\right)dy+\int_{y_{1}}^{y_{2}}\psi\left(x_{1},y\right)\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\left(x_{1},y\right)dy+$
		$\displaystyle+2\iint_{D}\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy$

	$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\psi\left(x,y_{2}\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)dx$	$\displaystyle=\psi\left(x_{2},y_{2}\right)f\left(x_{2},y_{2}\right)-\psi\left(x_{1},y_{2}\right)f\left(x_{1},y_{2}\right)-$
	$\displaystyle-$	$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)f\left(x,y_{2}\right)dx$
	$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\psi\left(x,y_{1}\right)\frac{\partial f}{\partial x}f\left(x,y_{1}\right)dx$	$\displaystyle=\psi\left(x_{2},y_{1}\right)f\left(x_{2},y_{1}\right)-\psi\left(x_{1},y_{1}\right)f\left(x_{1},y_{1}\right)-$
	$\displaystyle-$	$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)f\left(x,y_{1}\right)dx$

\begin{gathered}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\psi\left(x_{2},y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{2},y\right)dy=\psi\left(x_{2},y_{2}\right)f\left(x_{2},y_{2}\right)-\psi\left(x_{2},y_{1}\right)f\left(x_{2},y_{1}\right)-\\ -\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)f\left(x_{2},y\right)dy\\ \int_{y_{1}}^{y_{2}}\psi\left(x_{1},y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{1},y\right)dy=\psi\left(x_{1},y_{2}\right)f\left(x_{1},y_{2}\right)-\psi\left(x_{1},y_{1}\right)f\left(x_{1},y_{1}\right)-\\ -\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{1},y\right)f\left(x_{1},y\right)dy\end{gathered}

En tenant compte de ces formules, nous aurons

$\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}fdxdy$	$\displaystyle=-\psi\left(x_{2},y_{2}\right)f\left(x_{2},y_{2}\right)+\psi\left(x_{1},y_{2}\right)f\left(x_{1},y_{2}\right)+$	(7)
	$\displaystyle+\psi\left(x_{2},y_{1}\right)f\left(x_{2},y_{1}\right)-\psi\left(x_{1},y_{1}\right)f\left(x_{1},y_{1}\right)+$
$\displaystyle+$	$\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)f\left(x,y_{2}\right)dx-\int_{x_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)f\left(x,y_{1}\right)dx+$
$\displaystyle+$	$\displaystyle\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)f\left(x_{2},y\right)dy-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{1},y\right)f\left(x_{1},y\right)dy+$
$\displaystyle+$	$\displaystyle\iint_{D}\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy$

Les fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ étant les intégrales des équations aux dérivées partielles (3), en ajoutant membre à membre les formules (5), (6) et (7) nous aurons la formule

$\displaystyle(\alpha+\beta+\gamma)\iint_{D}fdxdy$	$\displaystyle=-\psi\left(x_{2},y_{2}\right)f\left(x_{2},y_{2}\right)+\psi\left(x_{1},y_{2}\right)f\left(x_{1},y_{2}\right)+$	(8)
	$\displaystyle+\psi\left(x_{2},y_{1}\right)f\left(x_{2},y_{1}\right)-\psi\left(x_{1},y_{1}\right)f\left(x_{1},y_{1}\right)-$
	$\displaystyle-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\varphi\left(x_{2},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{2},y\right)dy+\int_{y_{1}}^{x_{2}}\varphi\left(x_{1},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{1},y\right)dy-$
	$\displaystyle-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\theta\left(x,y_{2}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{2}\right)dx+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\theta\left(x,y_{1}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{1}\right)dx+$

\begin{gathered}+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)+\frac{\partial\theta}{\partial y}\left(x,y_{2}\right)\right]f\left(x,y_{2}\right)dx-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)+\frac{\partial\theta}{\partial y}\left(x,y_{1}\right)\right]f\left(x,y_{1}\right)dx+\\ +\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left[\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{2},y\right)\right]f\left(x_{2},y\right)dy-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\left[\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{1},y\right)+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{1},y\right)\right]f\left(x_{1},y\right)dy+\\ +\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy.\end{gathered}

La formule (8) se réduit à une formule de cubature avec son reste si les fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ satisfont aux conditions aux limites suivantes

$\displaystyle\varphi\left(x_{2},y\right)=0,$	$\displaystyle\varphi\left(x_{1},y\right)=0$
$\displaystyle\theta\left(x,y_{2}\right)=0,$	$\displaystyle\theta\left(x,y_{1}\right)=0$
$\displaystyle\left.\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)+\frac{\partial 0}{\partial y}x,y_{2}\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)+\frac{\partial\theta}{\partial y}\left(x,y_{1}\right)=0$	(9)
$\displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{2},y\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{1},y\right)+\frac{\partial\varphi}{\partial x}\left(x_{1},y\right)=0.$

S’il est possible d’intégrer les équations aux dérivées partielles (3) avec les conditions aux limites (9), on est conduit à la formule de cubature

	$\displaystyle(\alpha+\beta+\gamma)\iint_{D}fdxdy=$	$\displaystyle-\psi\left(x_{2},y_{2}\right)f\left(x_{2},y_{2}\right)+\psi\left(x_{1},y_{2}\right)f\left(x_{1},y_{2}\right)+$		(10)
		$\displaystyle+\psi\left(x_{2},y_{1}\right)f\left(x_{2},y_{1}\right)-\psi\left(x_{1},y_{1}\right)f\left(x_{1},y_{1}\right)+R$

avec son reste

R=\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy

(11)

La recherche de la formule de cubature (10) est ainsi ramenée à l’intégration des équations aux dérivées partielles (3), avec les conditions aux limites (9). Les nombres $\alpha,\beta,\gamma$ seront déterminés de façon que ^ce problème soit possible.
2. Déterminons les fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ . La première équation (3), nous montre que

\varphi(x,y)=\frac{\alpha}{2}x^{2}+A_{1}(y)x+A_{2}(y)

et les conditions $\varphi\left(x_{1},y\right)=0,\varphi\left(x_{2},y\right)=0$ , déterminent les fonctions $A_{1}(y)$ et $A_{2}(y)$ ; nous aurons

\varphi(x,y)=\frac{\alpha}{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)

(12)

D’une manière analogue, nous aurons

\theta(x,y)=\frac{Y}{2}\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right).

(13)

Les autres conditions aux limites (9) deviennent

\begin{array}[]{cc}\frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{1}\right)=\frac{\gamma}{2}\left(y_{2}-y_{1}\right);&\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{1},y\right)=\frac{\alpha}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ \frac{\partial\psi}{\partial x}\left(x,y_{2}\right)=-\frac{\gamma}{2}\left(y_{2}-y_{1}\right);&\frac{\partial\psi}{\partial y}\left(x_{2},y\right)=-\frac{\alpha}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right).\end{array}

La seconde équation (3), nous donne

\psi(x,y)=\beta xy+\psi_{1}(x)+\psi_{2}(y)

où $\psi_{1}(x)$ et $\psi_{2}(y)$ sont des fonctions à déterminer. En écrivant que les conditions (14) sont satisfaites, nous aurons les équations

		$\displaystyle\beta y_{1}+\psi_{1}^{\prime}(x)=\frac{\gamma}{2}\left(y_{2}-y_{1}\right);\quad\beta x_{1}+\psi_{2}^{\prime}(y)=\frac{\alpha}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)$
		$\displaystyle\beta y_{2}+\psi_{1}^{\prime}(x)=-\frac{\gamma}{2}\left(y_{2}-y_{1}\right);\quad\beta x_{2}+\psi_{2}^{\prime}(y)=-\frac{\alpha}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right),$

qui nous donneront

		$\displaystyle\psi_{1}^{\prime}(x)=\frac{\gamma}{2}y_{2}-\left(\frac{\gamma}{2}+\beta\right)y_{1}=\frac{\gamma}{2}y_{1}-\left(\frac{\gamma}{2}+\beta\right)y_{2}$
		$\displaystyle\psi_{2}^{\prime}(y)=\frac{\alpha}{2}x_{2}-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)x_{1}=\frac{\alpha}{2}x_{1}-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)x_{2}.$

Pour que ces équations soient possibles nous choisissons les constantes $\alpha,\beta,\gamma$ telles que

\frac{\gamma}{2}=-\left(\frac{\gamma}{2}+\beta\right),\quad\frac{\alpha}{2}=-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right),

c’est à dire

\alpha=-\beta,\quad\gamma=-\beta.

Pour déterminer complétement $\alpha,\beta,\gamma$ ajoutons l’équation

\alpha+\beta+\gamma=1

et nous aurons

\alpha=1,\quad\beta=-1,\quad\gamma=1,

(15)

d’où il résulte que

\psi_{1}^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right),\quad\psi_{2}^{\prime}(y)=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)

et par suite

\psi_{1}(x)+\psi_{2}(y)=\frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)x+\left(x_{1}+x_{2}\right)y}{2}+\text{ const. }

Nous aurons donc finalement

\psi(x,y)=-\frac{1}{2}\left[\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)\right]+C

(16)

où $C$ est une constante arbitraire.
3. Les fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ étant determinées par les formules (12), (13), (16) revenons à la formule de cubature (10). Nous avons

\begin{array}[]{ll}\psi\left(x_{1},y_{1}\right)=C,&\psi\left(x_{1},y_{2}\right)=C+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\\ \psi\left(x_{2},y_{2}\right)=C,&\psi\left(x_{2},y_{1}\right)=C+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\end{array}

et la formule (10) devient

	$\displaystyle\iint_{U}fdxdy=-C\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)\right]+$		(17)
	$\displaystyle+\left[C+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\right]\left[f\left(x_{1},y_{2}\right)+f\left(x_{2},y_{1}\right)\right]+R$

où le reste $R$ est donné par la formule

R=\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial f^{2}}{\partial y^{2}}\right)dxdy

(18)

Dans la formule (17) le coefficient de la constante arbitraire $C$ est

\iint_{D}\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy-\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)-f\left(x_{1},y_{2}\right)-f\left(x_{2},y_{1}\right)\right]

et il est nul, de sorte que cette formule se réduit à la formule de cubature
avec

	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\left[f\left(x_{1},y_{2}\right)+f\left(x_{2},y_{1}\right)\right]+$			(19)
		$\displaystyle+\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy$

	$\displaystyle\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$
	$\displaystyle\psi(x,y)=-\frac{1}{2}\left[\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)\right]$		(20)
	$\displaystyle\theta(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)$

Mais on peut choisir, dans la formule (17), la constante $C$ , de façoll que cette formule ait d’autres formes.

Par example, pour $C=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}$ , nous avons la formule de cubature

	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)\right]+$		(21)
	$\displaystyle+\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y^{\prime}}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy$

avec

		$\displaystyle\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$
		$\displaystyle\psi(x,y)=-\frac{1}{2}\left[\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)+\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)\right]$
		$\displaystyle\theta(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)$

De même si $C=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{4}$ , nous avons la formule de cubature

	$\displaystyle\iint_{U}fdxdy=$	$\displaystyle\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{4}\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)+f\left(x_{1},y_{2}\right)+f\left(x_{2},y_{1}\right)\right]+$		(23)
		$\displaystyle+\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy$

avec

\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)

	$\displaystyle\psi(x,y)=-\frac{1}{2}\left[\left[\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\right]\right.$		(24)
	$\displaystyle\theta(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)$

4.

On peut discuter le signe des fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ dans les formules de cubature (19), (21) et (23) dans $D$ .

Dans la formule (19) nous avons $\varphi(x,y)<0,\theta(x,y)<0,\psi(x,y)>0$ dans $D$ .

Par contre dans la formule (21), nous avons $\varphi(x,y)<0,\theta(x,y)<0$ , $\psi(x,y)<0$ dans $D$ . En effet, si nous faisons dans la seconde formule (22) le changement de variables

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\xi,y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+\eta,\lambda=\frac{x_{2}-x_{1}}{2},\quad\mu=\frac{y_{2}-y_{1}}{2}

nous aurons
nous aurons

\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)+\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=2\left(\xi_{\eta}+\lambda_{\mu}\right)

et dans le rectangle $D$ , nous avons $|\xi|<\lambda,|\eta|<\mu$ , de sorte que le nombre $\xi\eta+\lambda\mu$ est positif et par suite $\psi(x,y)<0$ dans $D$ .

Dans la formule de cubature (23), la fonction $\psi(x,y)$ change de signe dans le rectangle $D$ . En effet d’après les calculs précédents, nous avons

\left(x-x_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right)\left(y-y_{1}\right)+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}=2\xi_{\eta}

et par suite la fonction $\psi(x,y)$ change de signe dans le rectangle $D$ .
5. Dans le second chapitre nous ferons une application importante de la formule de cubature (21). Pour cette formule nous allons donner une evaluation de $|R|$ .

Nous remarquons d’abord que les fonctions $\varphi(x,y),\psi(x,y),\theta(x,y)$ de cette formule étant négatives dans $D$ , nous pouvons employer le théorème de la moyenne et nous aurons

R=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(P_{1}\right)\iint_{D}\varphi dxdy+\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\left(P_{2}\right)\iint_{D}\psi dxdy+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(P_{3}\right)\iint_{D}\theta dxdy

où $P_{1},P_{2},P_{3}$ sont certains points du rectangle $R$ .
Nous avons

\begin{gathered}\iint_{D}\varphi dxdy=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{3}\left(y_{2}-y_{1}\right)}{12},\iint_{D}\psi dxdy=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}{4}\\ \iint_{D}\theta dxdy=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)^{3}}{12}\end{gathered}

et par suite la formule précédente devient
$R=-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{12}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(P_{1}\right)+3\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\left(P_{2}\right)+\right.$

\left.+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(P_{3}\right)\right]

(25)

Si nous désignons par $M_{2}$ une borne supérieure de $\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right|$ , dans $D$ , nous aurons l’évaluation suivante de la valeur absolue du reste $R$ de la formule de cubature (21).

|R|\leqslant\frac{S}{12}\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+3\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right]M_{2}

(26)

où $S$ est l’aire du rectangle $D$ .

§ 2. Seconde formule de cubature

(1)
6. Considérons le rectangle $D$ défini par les inégalités

x_{0}-h\leqslant x\leqslant x_{0}+h\quad,\quad y_{0}-k\leqslant y\leqslant y_{0}+k

Nous allons déterminer le reste de la formule de cubature
(2)

\iint_{D}f(x,y)dxdy=4hkf\left(x_{0},y_{0}\right)+R

en supposant que la fonction $f(x,y)$ ait des dérivées partielles du premer et du second ordre continues dans $D$ .

Désignons par $D_{1},D_{2},D_{3},D_{4}$ , les rectangles définis par les inégalités
(3)
$\left(D_{1}\right)\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{0}+h$ ,
$y_{0}\leqslant y\leqslant y_{0}+k$
$\left(D_{2}\right)\quad x_{0}-h\leqslant x\leqslant x_{0}\quad$ ,
$y_{0}\leqslant y\leqslant y_{0}+k$
$\left(D_{3}\right)\quad x_{0}-h\leqslant x\leqslant x_{0}$
$y_{0}-k\leqslant y\leqslant y_{0}$
$\left(D_{4}\right)\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{0}+h$ ,
$y_{0}-k\leqslant y\leqslant y_{0}$ .

A ces rectangles nous attachons les fonctions et les nombres suivants

\begin{array}[]{llllll}\varphi_{1}(x,y),&\psi_{1}(x,y),&\theta_{1}(x,y);&\alpha_{1},&\beta_{1},&\gamma_{1}\\ \varphi_{2}(x,y),&\psi_{2}(x,y),&\theta_{2}(x,y);&\alpha_{2},&\beta_{2},&\gamma_{2}\\ \varphi_{3}(x,y),&\psi_{3}(x,y),&\theta_{3}(x,y);&\alpha_{3}.&\beta_{3},&\gamma_{3}\\ \varphi_{4}(x,y),&\psi_{4}(x,y),&\theta_{4}(x,y);&\alpha_{4},&\beta_{4},&\gamma_{4},\end{array}

telles que

\begin{array}[]{lll}\frac{\partial^{2}\varphi_{1}}{\partial x^{2}}=\alpha_{1},&\frac{\partial^{2}\psi_{1}}{\partial x\partial y}=\beta_{1},&\frac{\partial^{2}\theta_{1}}{\partial y^{2}}=\gamma_{1}\\ \frac{\partial^{2}\varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\alpha_{2},&\frac{\partial^{2}\psi_{2}}{\partial x\partial y}=\beta_{2},&\frac{\partial^{2}\theta_{2}}{\partial y^{2}}=\gamma_{2}\\ \frac{\partial^{2}\varphi_{3}}{\partial x^{2}}=\alpha_{3},&\frac{\partial^{2}\psi_{3}}{\partial x\partial y}=\beta_{3},&\frac{\partial^{2}\theta_{3}}{\partial y^{2}}=\gamma_{3}\\ \frac{\partial^{2}\varphi_{4}}{\partial x^{2}}=\alpha_{1},&\frac{\partial^{2}\psi_{4}}{\partial x\partial y}=\beta_{4},&\frac{\partial^{2}\theta_{4}}{\partial y^{2}}=\gamma_{4}\end{array}

A chaque rectangle $D_{1},D_{2},D_{3},D_{4}$ nous appliquons la formule (8) du § 1. Nous aurons
(5)
$\left(\alpha_{1}+\beta_{1}+\gamma_{1}\right)\iint_{D_{1}}f(x,y)dxdy=-\psi_{1}\left(x_{0}+h,y_{0}+k\right)f\left(x_{0}+h,y_{0}+k\right)++\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}+k\right)f\left(x_{0},y_{0}+k\right)+\psi_{1}\left(x_{0}+h,y_{0}\right)f\left(x_{0}+h,y_{0}\right)-\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)f\left(x_{0},y_{0}\right)-$

		$\displaystyle-\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\varphi_{1}\left(x_{0}+h,y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)dy+\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\varphi_{1}\left(x_{0},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},y\right)dy-$
		$\displaystyle-\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}\theta_{1}\left(x,y_{0}+k\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)dx+\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}\theta_{1}\left(x,y_{0}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)dx+$

(6)

\begin{gathered}+\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}\left[\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)+\frac{\partial\theta_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)\right]f\left(x,y_{0}+k\right)dx-\\ -\int_{x_{9}}^{x_{0}+h}\left[\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\theta_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)\right]f\left(x,y_{0}\right)dx+\\ +\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\left[\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)\right]f\left(x_{0}+h,y\right)dy-\\ -\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\left[\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)\right]f\left(x_{0},y\right)dy+\\ +\iint_{D_{1}}\left(\varphi_{1}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi_{1}\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta_{1}\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy\\ \left(\alpha_{2}+\beta_{2}+\gamma_{2}\right)\int_{D_{2}}f(x,y)=-\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}+k\right)f\left(x_{0},y_{0}+k\right)+\\ +\psi_{2}\left(x_{0}-h,y_{0}+k\right)f\left(x_{0}-h,y_{0}+k\right)+\\ +\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)f\left(x_{0},y_{0}\right)-\psi_{2}\left(x_{0}-h,y_{0}\right)f\left(x_{0}-h,y_{0}\right)-\\ -\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\varphi_{2}\left(x_{0},y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},y\right)dy+\int_{y_{0}}^{x_{0}+k}\varphi_{2}\left(x_{0}-h,y\right)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}-h,y\right)dy-\\ -\int_{x_{0}-h}^{x_{0}}\theta_{2}\left(x,y_{0}+k\right)\frac{\partial f_{2}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)dx+\int_{x_{0}-k}^{x_{0}}\theta_{2}\left(x,y_{0}\right)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)dx+\\ +\int_{x_{0}-h}\left[\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)+\frac{\partial\theta_{2}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)\right]f\left(x,y_{0}+k\right)dx-\\ -\int_{x_{0}-h}^{x_{0}}\left[\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\theta_{2}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)\right]f\left(x,y_{0}\right)dx+\\ +\int_{y_{0}+k}\left[\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)\right]f\left(x_{0},y\right)dy-\\ -\int_{y_{0}}^{y_{0}+k}\left[\frac{\partial\psi_{2}}{\partial y}\left(x_{0}-h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial x}\left(x_{0}-h,y\right)\right]f\left(x_{0}-h,y\right)dy+\end{gathered}

\begin{gathered}+\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}\left[\frac{\partial\psi_{4}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\theta_{4}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)\right]f\left(x,y_{0}\right)dx-\\ -\int_{y_{0}}^{x_{0}+h}\left[\frac{\partial\psi_{4}}{\partial x}\left(x,y_{0}-k\right)+\frac{\partial\theta_{4}}{\partial y}\left(x,y_{0}-k\right)\right]f\left(x,y_{0}-k\right)dx-\\ -\int_{y_{0}-k}^{y_{0}}\left[\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{4}}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)\right]f\left(x_{0}+h,y\right)dy+\\ +\int_{y_{0}-k}^{y_{0}-k}\left[\frac{\partial\psi_{4}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\varphi_{4}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)\right]f\left(x_{0},y\right)dy+\\ +\iint_{I_{4}}\left(\varphi_{4}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi_{4}\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta_{4}\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy\end{gathered}

Ajoutons membre à membre les formules (5), (6), (7) et (8) et imposons des conditions aux limites, pour que la nouvelle formule soit de la forme
(2). Nous supposons d’abord que les constantes $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ soient telles que
(9) $\alpha_{1}+\beta_{1}+\gamma_{1}=\alpha_{2}+\beta_{2}+\gamma_{2}=\alpha_{3}+\beta_{3}+\gamma_{3}=\alpha_{4}+\beta_{4}+\alpha_{4}=\lambda$

Les conditions aux limites seront les suivantes

$\displaystyle\psi_{1}\left(x_{0}+h,y_{0}+k\right)=0,$	$\displaystyle\psi_{2}\left(x_{0}-h,y_{0}+k\right)=0$	(1)
$\displaystyle\psi_{3}\left(x_{0}-h,y_{0}-k\right)=0,$	$\displaystyle\psi_{4}\left(x_{0}+h,y_{0}-k\right)=0$
$\displaystyle\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}+k\right)-\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}+k\right)=0,$	$\displaystyle\psi_{2}\left(x_{0}-h,y_{0}\right)-\psi_{3}\left(x_{0}-h,y_{0}\right)=0$	(2)
$\displaystyle\psi_{3}\left(x_{0},y_{0}-k\right)-\psi_{4}\left(x_{0},y_{0}-k\right)=0,$	$\displaystyle\psi_{4}\left(x_{0}+h,y_{0}\right)-\psi_{1}\left(x_{0}+h,y_{0}\right)=0$
$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0}+h,y\right)=0,$	$\displaystyle\theta_{1}\left(x,y_{0}+k\right)=0$
$\displaystyle\varphi_{2}\left(x_{0}-h,y\right)=0,$	$\displaystyle\theta_{2}\left(x,y_{0}+k\right)=0$	(3)
$\displaystyle\varphi_{3}\left(x_{0}-h,y\right)=0,$	$\displaystyle\theta_{3}\left(x,y_{0}-k\right)=0$
$\displaystyle\varphi_{4}\left(x_{0}+h,y\right)=0,$	$\displaystyle\theta_{4}\left(x,y_{0}-k\right)=0$
$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0},y\right)-\varphi_{2}\left(x_{0},y\right)=0,$	$\displaystyle\theta_{1}\left(x,y_{0}\right)-\theta_{4}\left(x,y_{0}\right)=0$	(4)
$\displaystyle\theta_{2}\left(x,y_{0}\right)-\theta_{3}\left(x,y_{0}\right)=0,$	$\displaystyle\varphi_{3}\left(x_{0},y\right)-\varphi_{4}\left(x_{0},y\right)=0$
$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)+\frac{\partial\theta_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)+\frac{\partial\theta_{2}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)=0$
$\displaystyle\frac{\partial\psi_{2}}{\partial y}\left(x_{0}-h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial x}\left(x_{0}-h,y\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi_{3}}{\partial y}\left(x_{0}-h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{3}}{\partial x}\left(x_{0}-h,y\right)=0$	(5)
$\displaystyle\frac{\partial\psi_{3}}{\partial x}\left(x,y_{0}-k\right)+\frac{\partial\theta_{3}}{\partial y}\left(x,y_{0}-k\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi_{4}}{\partial x}\left(x,y_{0}-k\right)+\frac{\partial\theta_{4}}{\partial y}\left(x,y_{0}-k\right)=0$
$\displaystyle\frac{\partial\psi_{4}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{4}}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)=0,$	$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)+\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)=0$

		$\displaystyle-\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)-\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\psi_{2}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)=0$
		$\displaystyle-\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)-\frac{\partial\theta_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\psi_{4}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\theta_{4}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)=0$
		$\displaystyle-\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)-\frac{\partial\theta_{2}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\psi_{3}}{\partial x}\left(x,y_{0}\right)+\frac{\partial\theta_{3}}{\partial y}\left(x,y_{0}\right)=0$
		$\displaystyle-\frac{\partial\psi_{4}}{\partial y^{\prime}}\left(x_{0},y\right)-\frac{\partial\varphi_{4}}{\partial x}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\psi_{3}}{\partial y}\left(x_{0},y\right)+\frac{\partial\varphi_{3}}{yx}\left(x_{0},y\right)=0$

On obtient ainsi la formule de cubature

	$\displaystyle\lambda\iint_{D}f(x,y)dxdy=$		(11)
	$\displaystyle=\left[-\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)-\psi_{3}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{4}\left(x_{0},y_{0}\right)\right]f\left(x_{0},y_{0}\right)+R,$

où le reste $R$ est donné par la formule

R=\iint_{U}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+0\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy

(12)

les fonctions $\varphi,\psi,0$ étant égales à $\varphi_{1},\psi_{1},\theta_{1}$ dans $D_{1}$ à $\varphi_{2},\psi_{2},\theta_{2}$ dans $D_{2}$ , à $\varphi_{3},\psi_{3},\theta_{3}$ dans $D_{3}$ , et à $\varphi_{4},\psi_{4},\theta_{4}$ dans $D_{4}$ .

La recherche de la formule de cubature (11) est ainsi ramenée à l’intégration des équations aux dérivées partielles (4) avec les conditions aux limites (10). Les constantes $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ seront déterminées de façon que ce problème soit possible.
7. Nous allons maintenant déterminer les fonctions $\varphi_{i},\psi_{i},\theta_{i}$ et les nombres $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ .

Intégrons d’abord les équations
où le
(12)
L Les sob n

		$\displaystyle\frac{\partial^{2}\varphi_{1}}{\partial x^{2}}=\alpha_{1},\quad\frac{\partial^{2}\varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\alpha_{2}$
		en tenant compte des conditions aux limites
		$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0}+h,y\right)=0,\varphi_{2}\left(x_{0}-h,y\right)=0$
		$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0},y\right)-\varphi_{2}\left(x_{0},y\right)=0$
		$\displaystyle\text{ Nous aurons }\quad\begin{aligned} \varphi_{1}(x,y)&=\frac{\alpha_{1}}{2}x^{2}+A_{1}(y)x+B_{1}(y)\\ \varphi_{2}(x,y)&=\frac{\alpha_{2}}{2}x^{2}+A_{2}(y)x+B_{2}(y)\\ 0&=\frac{\alpha_{1}}{2}\left(x_{0}+h\right)^{2}+A_{1}(y)\left(x_{0}+h\right)+B_{1}(y)\end{aligned}$

0=\frac{\alpha_{2}}{2}\left(x_{0}-h\right)^{2}+A_{2}(y)\left(x_{0}-h\right)+B_{2}(y),

d’où il résulte que

		$\displaystyle\varphi_{1}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{\alpha_{1}}{2}\left(x+x_{0}+h\right)+A_{1}(y)\right]$
		$\displaystyle\varphi_{2}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{\alpha_{2}}{2}\left(x+x_{0}-h\right)+A_{2}(y)\right].$

La condition $\varphi_{1}\left(x_{0},y\right)-\varphi_{2}\left(x_{0},y\right)=0$ , nous donne l’équation

\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)x_{0}+\frac{h}{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+A_{1}(y)+A_{2}(y)=0

(15)

qui détermine $A_{2}(y)$ ; nous aurons

A_{2}(y)=-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)x_{0}-\frac{h}{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-A_{1}(y)

et par suite

	$\displaystyle\varphi_{1}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{\alpha_{1}}{2}\left(x+x_{0}+h\right)+A_{1}(y)\right]$		(13)
	$\displaystyle\varphi_{2}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{\alpha_{2}}{2}\left(x-x_{0}\right)-\alpha_{1}x_{0}-\frac{h}{2}\alpha_{1}-A_{1}(y)\right]$

où $A_{1}(y)$ est une fonction arbitraire.
D’une manière analogue on trouve

	$\displaystyle\varphi_{3}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{\alpha_{3}}{2}\left(x-x_{0}\right)-\alpha_{4}x_{0}-\frac{h}{2}\alpha_{4}-A_{4}(y)\right]$		( $\prime$ )
	$\displaystyle\varphi_{4}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{\alpha_{4}}{2}\left(x+x_{0}+h\right)+A_{4}(y)\right]$

où $A_{4}(y)$ est une fonction arbitraire.
Par un procédé analogue, on trouve

	$\displaystyle\theta_{1}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{\gamma_{1}}{2}\left(y+y_{0}+k\right)+C_{1}(x)\right]$		(17)
	$\displaystyle\theta_{2}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{\gamma_{2}}{2}\left(y+y_{0}+k\right)+C_{2}(x)\right]$		(14)
	$\displaystyle\theta_{3}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{\gamma_{3}}{2}\left(y-y_{0}\right)-\gamma_{2}y_{0}-\frac{k}{2}\gamma_{2}-C_{2}(x)\right]$
	$\displaystyle\theta_{4}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{\gamma_{4}}{2}\left(y-y_{0}\right)-\gamma_{1}y_{0}-\frac{k}{2}\gamma_{1}-C_{1}(x)\right]$

où $C_{1}(x)$ et $C_{2}(x)$ sont des fonctions arbitraires.
Avec les formules (13), (13’) et (14) les conditions aux limites ( $10_{3}$ ) et $\left(10_{4}\right)$ sont satisfaites.

Passons à la détermination de la fonction $\psi_{1}(x,y)$ . Les conditions aux limites $\left(10_{5}\right)$ nous donnent

		$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\left(x,y_{0}+k\right)=-\frac{\partial\theta_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)$
		$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)=--\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x}\left(x_{0}+h,y\right)$

et les formules (13) et (14) nous donnent

		$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x,y_{0}+k\right)=-\gamma_{1}\left(y_{0}+k\right)-C_{1}(x)$
		$\displaystyle\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}\left(x_{0}+h,y\right)=-\alpha_{1}\left(x_{0}+h\right)-A_{1}(y)$

Il s’agit maintenant d’intégrer l’équation

\frac{\partial^{2}\psi_{1}}{\partial x\partial y}=\beta_{1}

avec les conditions (15) et la première condition (101).
Nous aurons

\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}=\beta_{1}\left(y-y_{0}-k\right)-\gamma_{1}\left(y_{0}+k\right)-C_{1}(x)

et en intégrant par rapport à $x$ , on trouve

	$\displaystyle\psi_{1}(x,y)$	$\displaystyle=\beta_{1}\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\gamma_{1}\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}-h\right)$		(16)
		$\displaystyle-\alpha_{1}\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}+h}^{x}C_{1}(s)ds-\int_{y_{0}+k}^{y}A_{1}(t)dt$

La fonction $\psi_{1}(x,y)$ ainsi déterminée satisfait aux conditions (15) et à la condition $\psi_{1}\left(x_{0}+h,y_{0}+k\right)=0$ .

En introduisant les fonctions

\begin{array}[]{ll}P_{1}(x)=\int_{x_{0}+h}^{x}C_{1}(s)ds,&Q_{1}(y)=\int_{y_{0}+k}^{y}A_{1}(t)dt\\ P_{2}(x)=\int_{x_{0}-h}^{x}C_{2}(s)ds,&Q_{2}(y)=\int_{y_{0}-k}^{v}A_{4}(t)dt\end{array}

nous aurons les formules

\begin{gathered}\psi_{1}(x,y)=\beta_{1}\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\gamma_{1}\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}-h\right)-\\ -\alpha_{1}\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-P_{1}(x)-Q_{1}(y)\end{gathered}

	$\displaystyle\psi_{2}(x,y)=$	$\displaystyle\beta_{2}\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)+\left(\alpha_{1}x_{0}+\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-$		(18)
		$\displaystyle-\gamma_{2}\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}+h\right)-P_{2}(x)+Q_{1}(y)$

\begin{gathered}\psi_{3}(x,y)=\beta_{3}\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\left(\gamma_{2}y_{0}+\frac{\gamma_{2}+\gamma_{3}}{2}k\right)\left(x-x_{0}+h\right)+\\ +\left(\alpha_{4}x_{0}+\frac{\alpha_{3}+\alpha_{4}}{2}h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+P_{2}(x)+Q_{2}(y)\\ \psi_{4}(x,y)=\beta_{4}\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\left(\gamma_{1}y_{0}+\frac{\gamma_{1}+\gamma_{4}}{2}k\right)\left(x-x_{0}-h\right)-\\ -\alpha_{4}\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+P_{1}(x)-Q_{2}(y)\end{gathered}

Avec les formules (18) on satisfait aux conditions ( $10_{1}$ ) et ( $10_{5}$ ).
Écrivons maintenant que les conditions $\left(10_{2}\right)$ sont satisfaites.
Nous aurons les équations

\begin{gathered}\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)\left(y_{0}+k\right)h+P_{2}\left(x_{0}\right)-P_{1}\left(x_{0}\right)=0\\ \left(\alpha_{1}+\alpha_{4}\right)\left(x_{0}+h\right)k+Q_{2}\left(y_{0}\right)-Q_{1}\left(y_{0}\right)=0\\ {\left[\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)y_{0}+\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}+\gamma_{3}+\gamma_{4}}{2}k\right]h+P_{2}\left(x_{0}\right)-P_{1}\left(x_{0}\right)=0}\\ {\left[\left(\alpha_{1}+\alpha_{4}\right)x_{0}+\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}}{2}h\right]k+Q_{2}\left(y_{0}\right)-Q_{1}\left(y_{0}\right)=0}\end{gathered}

qui nous donnent

	$\displaystyle\gamma_{1}+\gamma_{2}=\gamma_{3}+\gamma_{4}=-\frac{P_{2}\left(x_{0}\right)-P_{1}\left(x_{0}\right)}{\left(y_{0}+k\right)h}$		(19)
	$\displaystyle\alpha_{1}+\alpha_{4}=\alpha_{2}+\alpha_{3}=-\frac{Q_{2}\left(y_{0}\right)-Q_{1}\left(y_{0}\right)}{\left(x_{0}+h\right)k}$

En écrivant que les conditions ( $10_{6}$ ) sont aussi satisfaites, nous aurons les équations suivantes

	$\displaystyle\alpha_{1}+\alpha_{2}+\beta_{1}+\beta_{2}=0$
	$\displaystyle\beta_{1}+\beta_{4}+\gamma_{1}+\gamma_{4}=0$		(20)
	$\displaystyle\gamma_{3}+\gamma_{2}+\beta_{2}+\beta_{3}=0$
	$\displaystyle\alpha_{3}+\alpha_{4}+\beta_{3}+\beta_{4}=0$

8.

Il nous reste à déterminer les nombres $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ satisfaisant aus relations (9), (19) et (20).

Introduisons les notations
(21)

\frac{P_{1}\left(x_{0}\right)-P_{2}\left(x_{0}\right)}{2h\left(y_{0}+k\right)}=I,\quad\frac{Q_{1}\left(y_{0}\right)-Q_{2}\left(y_{0}\right)}{2k\left(x_{0}+h\right)}=J

et les paramètres $t,u,v,z$ par les relations

\alpha_{1}-\alpha_{4}=2t,\quad\alpha_{3}-\alpha_{2}=2u,\quad\gamma_{1}-\gamma_{2}=2v,\quad\gamma_{3}-\gamma_{4}=2z

Les équations

\begin{array}[]{lll}\gamma_{1}+\gamma_{2}=2I;&\gamma_{3}+\gamma_{4}=2I;&\alpha_{1}+\alpha_{4}=2J;\\ \gamma_{1}-\gamma_{3}=2v;&\gamma_{3}-\gamma_{4}=2z;&\alpha_{1}-\alpha_{4}=2t;\\ \alpha_{3}-\alpha_{2}=2u\end{array}

déterminent $\alpha_{i}$ et $\gamma_{i}$ et nous aurons

\begin{array}[]{ll}\alpha_{1}=J+t,&\gamma_{1}=I+v\\ \alpha_{2}=J-u,&\gamma_{2}=I-v\\ \alpha_{3}=J+u,&\gamma_{3}=I+z\\ \alpha_{1}=J-t,&\gamma_{4}=I-z.\end{array}

Enfin les équations (9) où $\lambda$ est supposé connu, nous donnent

		$\displaystyle\beta_{1}=\lambda-I-J-v-t$
		$\displaystyle\beta_{2}=\lambda-I-J+v+u$
		$\displaystyle\beta_{3}=\lambda-I-J-z-u$
		$\displaystyle\beta_{4}=\lambda-I-J+z+t$

En écrivant que les équations (20) sont satisfaites, nous aurons les conditions

\lambda=I=J.

(22)

Nons aurons finalement

\begin{array}[]{lll}\alpha_{1}=J+t,&\beta_{1}=-J-v-t,&\gamma_{1}=J+v\\ \alpha_{2}=J-u,&\beta_{2}=-J+v+u,&\gamma_{2}=J-v\\ \alpha_{3}=J+u,&\beta_{3}=-J-z-u,&\gamma_{3}=J+z\\ \alpha_{4}=J-t,&\beta_{4}=-J+z+t,&\gamma_{4}=J-z\end{array}

Ainsi le problème sur les équations aux dérivées partielles (4) avec les conditions aux limites $\left(10_{1}\right),\ldots,\left(10_{6}\right)$ est résolu. Les fonctions $\varphi_{i},\psi_{i},\theta_{i}$ sont données par les formules (13), (14), (18) où $A(y),A_{4}(y),C_{1}(x),C_{2}(x)$ sont des fonctions arbitraires, qui par les fonctions (17), sont liées par la relation

\frac{P_{1}\left(x_{0}\right)-P_{2}\left(x_{0}\right)}{2h\left(y_{0}+k\right)}=\frac{Q_{1}\left(y_{0}\right)-Q_{2}\left(y_{0}\right)}{2k\left(x_{0}+h\right)}

(24)

9.

Calculons maintenant le coefficient de $f\left(x_{0},y_{0}\right)$ dans la formule de cubature (11). Nous avons

\begin{gathered}-\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)-\psi_{3}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{4}\left(x_{0},y_{0}\right)=\\ =-\left(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}+\beta_{4}\right)hk-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}\right)\frac{hk}{2}-\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}+\gamma_{3}+\gamma_{4}\right)\frac{hk}{2}-\\ -\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)h\left(y_{0}+k\right)-\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)hy_{0}-\left(\alpha_{1}+\alpha_{4}\right)k\left(x_{0}+h\right)-\left(\alpha_{1}+\alpha_{4}\right)kx_{0}+\\ +2\left[P_{1}\left(x_{0}\right)-P_{2}\left(x_{0}\right)\right]+2\left[Q_{1}\left(y_{0}\right)-Q_{2}\left(y_{0}\right)\right].\end{gathered}

En tenant compte des formules (21), (22), (23), (24) on trouve

-\psi_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)-\psi_{3}\left(x_{0},y_{0}\right)+\psi_{4}\left(x_{0},y_{0}\right)=4Jhk.

17 - Mathematica

La formule de cubature (11), devient donc

\iint_{D}f(x,y)dxdy=4hkf\left(x_{0},y_{0}\right)+\frac{R}{I}

(25)

10.

Voyons maintenant le rôle des constantes arbitraires $t,u,v,z$ et des fonctions arbitraires $A_{1}(y),A_{4}(y),C_{1}(x),C_{2}(x)$ qui entrent dans l’expres. sion des fonctions $\varphi_{i},\psi_{i},\theta_{i}$ , dans l’expression du reste $R$ de la formule de cubature (25).

Le coefficient de $t$ dans l’expression du reste $R$ , d’après les formules (13), (14), (18) et (23) est

		$\displaystyle T=\frac{1}{2}\iint_{D_{1}}\left(x-x_{0}-h\right)\left(x+x_{0}+h\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy-$
		$\displaystyle-\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\iint_{J_{2}}\left(x-x_{0}+h\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy+$
		$\displaystyle+\left(\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\iint_{D_{3}}\left(x-x_{0}+h\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy-\right.$
		$\displaystyle-\frac{1}{2}\iint_{D_{4}}\left(x-x_{0}-h\right)\left(x+x_{0}+h\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}dxdy-$
		$\displaystyle-\left(x_{0}+h\right)\iint_{D_{1}}\left(y-y_{0}-k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy-$
		$\displaystyle-\iint_{D_{1}}\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+$
		$\displaystyle+\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\iint_{D_{2}}\left(y-y_{0}-k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy-$
		$\displaystyle-\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)\iint_{D_{3}}\left(y-y_{0}+k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+$
		$\displaystyle+\left(x_{0}+h\right)\iint_{D_{4}}\left(y-y_{0}+k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+$
		$\displaystyle+\iint_{D_{4}}\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy$

Par des intégrations par parties, convenablement menées on démontre que $T=0$ . On démontre de la même manière que dans l’expression $R$ du reste de la formule de cubature, les coefficients de $u,v,z$ sont nuls.

Il résulte alors qu’on peut faire dans les formules (23) $t=u=v=z=0$ et alors ces formules se réduisent à
(26)

		$\displaystyle\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=J$
		$\displaystyle\beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{3}=\beta_{4}=-J$
		$\displaystyle\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}=\gamma_{4}=J$

Les formules (13), (14), et (18) deviennent

\begin{gathered}\varphi_{1}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x+x_{0}+h\right)+A_{1}(y)\right]\\ \varphi_{2}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}\right)-J\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)-A_{1}(y)\right]\\ \varphi_{3}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}\right)-J\left(x_{0}+\frac{h}{2}\right)-A_{4}(y)\right]\\ \rho_{4}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x+x_{0}+h\right)+A_{4}(y)\right]\\ \theta_{1}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y+y_{0}+k\right)+C_{1}(x)\right]\\ \theta_{2}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y+y_{0}+k\right)+C_{2}(x)\right]\\ \theta_{3}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}\right)-J\left(y_{0}+\frac{k}{2}\right)-C_{2}(x)\right]\\ \theta_{4}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}\right)-J\left(y_{0}+\frac{k}{2}\right)-C_{1}(x)\right]\\ \begin{array}[]{c}\psi_{1}(x,y)=-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-J\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}-h\right)-\\ x\\ -J\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}+h}^{y}C_{1}(s)ds-\int_{y_{0}+k}A_{1}(t)dt\\ \psi_{2}(x,y)=-J\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)+J\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\\ -J\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}+h\right)-\int_{x_{0}-h}^{x}C_{2}(s)ds+\int_{y_{0}+k}^{y}A_{1}(l)dt\\ \begin{array}[]{c}\psi_{3}(x,y)=-J\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+J\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}+h\right)+\\ x\end{array}C_{0}^{y}A_{4}(t)dt.\end{array}\end{gathered}

	$\displaystyle\psi_{4}(x,y)=$	$\displaystyle-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+J\left(y_{0}+k\right)\left(x-x_{0}-h\right)-$
		$\displaystyle-J\left(x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\int_{x_{0}+h}^{x}C_{1}(s)ds-\int_{y_{0}-k}^{y}A_{4}(t)dt$

Les fonctions $\psi_{1}(x,y),\psi_{2}(x,y),\psi_{3}(x,y),\psi_{4}(x,y)$ peuvent encore s’écrire sous la forme suivante

	$\displaystyle\psi_{1}(x,y)=-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}+h}^{x}\left[C_{1}(s)+J\left(y_{0}+k\right)\right]ds-$	$\displaystyle\int_{y_{0}+k}^{y}\left[A_{1}(t)+J\left(x_{0}+h\right)\right]dt$
	$\displaystyle\begin{array}[]{l}\psi_{2}(x,y)=-J\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}-h}^{x}\left[C_{2}(s)+J\left(y_{0}+k\right)\right]ds+\\ +\int_{y_{0}+k}^{y}\left[A_{1}(t)+J\left(x_{0}+h\right)\right]dt\end{array}$	$\displaystyle\begin{array}[]{c}x_{3}(x,y)=-J(x-h)\left(y-y_{0}+k\right)+\int_{x_{0}-h}^{x}\left[C_{2}(s)+J\left(y_{0}+k\right)\right]ds+\\ +\int_{y_{0}-k}^{y}\left[A_{4}(t)+J\left(x_{0}+h\right)\right]dt\\ \psi_{4}(x,y)=-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\int_{x_{0}+h}^{x}\left[C_{1}(s)+J\left(y_{0}+k\right)\right]ds-\\ -\int_{y_{0}-k}^{y}\left[A_{4}(t)+J\left(x_{0}+h\right)\right]dt\end{array}$

Ceci, nous invite a poser

\begin{array}[]{ll}\bar{A}_{1}(y)=A_{1}(y)+J\left(x_{0}+h\right),&\bar{C}_{1}(x)=C_{1}(x)+J\left(y_{0}+k\right)\\ \bar{A}_{4}(y)=A_{4}(y)+J\left(x_{0}+h\right),&\bar{C}_{2}(x)=C_{2}(x)+J\left(y_{0}+k\right)\end{array}

et les formules précédentes deviennent

\begin{gathered}\varphi_{1}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}-h\right)+\bar{A}_{1}(y)\right]\\ \varphi_{2}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}+h\right)-\bar{A}_{1}(y)\right]\\ \varphi_{3}(x,y)=\left(x-x_{0}+h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}+h\right)-\bar{A}_{4}(y)\right]\\ \varphi_{4}(x,y)=\left(x-x_{0}-h\right)\left[\frac{J}{2}\left(x-x_{0}-h\right)+\bar{A}_{4}(y)\right]\\ \theta_{1}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}-k\right)+\bar{C}_{1}(x)\right]\\ \theta_{2}(x,y)=\left(y-y_{0}-k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}-k\right)+\bar{C}_{2}(x)\right]\\ \theta_{3}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}+k\right)-\bar{C}_{2}(x)\right]\\ \theta_{4}(x,y)=\left(y-y_{0}+k\right)\left[\frac{J}{2}\left(y-y_{0}+k\right)-\bar{C}_{1}(x)\right]\\ \psi_{1}(x,y)=-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}+h}^{x}\bar{C}_{1}(s)ds-\int_{y_{0}+k}^{y}\bar{A}_{1}(l)dt\\ \psi_{2}(x,y)=-J\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}-k\right)-\int_{x_{0}-h}^{x}\bar{C}_{2}(s)ds+\int_{y_{0}+k}^{y}\bar{A}_{1}(l)dt\\ \psi_{3}(x,y)=-J\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\int_{x_{0}-h}^{x}\bar{C}_{2}(s)ds+\int_{y_{0}-k}^{y}\bar{A}_{4}(l)dl\\ \psi_{4}(x,y)=-J\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+k\right)+\int_{x_{0}+h}^{x}\bar{C}_{1}(s)ds-\int_{y_{0}-k}^{y}\bar{A}_{4}(t)dt.\end{gathered}

Avec les nouvelles fonctions (27), nous avons

	$\displaystyle P_{1}\left(x_{0}\right)-P_{2}\left(x_{0}\right)$	$\displaystyle=\int_{x_{0}+h}^{x_{0}}\overline{C_{1}}(s)ds-\int_{x_{0}-h}^{x_{0}}\overline{C_{2}}(s)ds+2Jh\left(y_{0}+k\right)$
	$\displaystyle Q_{1}\left(y_{0}\right)-Q_{2}\left(y_{0}\right)$	$\displaystyle=\int_{y_{0}+k}^{y_{0}}\overline{A_{1}}(l)dl-\int_{y_{0}-k}^{y_{0}}\overline{A_{4}}(l)dl+2Jk\left(x_{0}+h\right)$

et la condition (24) devienne

\frac{\int_{x_{0}+h}^{x_{0}}\overline{C_{1}}(s)ds-\int_{x_{0}-h}^{x_{0}}\overline{C_{2}(s)}ds}{2h\left(y_{0}+k\right)}=\frac{\int_{y_{0}+k}^{y_{0}}\overline{A_{1}(t)}dt-\int_{y_{0}-k}^{y_{0}}\overline{A_{1}(t)}dt}{2k\left(x_{0}+h\right)}

(29)

La contribution des fonctions $\bar{A}_{1}(y),\bar{A}_{4}(y),\bar{C}_{1}(x),\bar{C}_{2}(x)$ à l’expression du reste $R$ est la suivante

-\iint_{D_{3}}\bar{C}_{2}(x)\left(y-y_{0}+k\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}dxdy+\iint_{D_{3}x_{0}-h}^{r}\left(\bar{C}_{2}(s)ds\right)\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy

Par des intégrations pir parties, on démontre que

\left(30^{\prime}\right)\quad Q=\left[\int_{y_{0}+k}^{y_{0}}\bar{A}_{1}(t)dt-\int_{y_{0}-k}^{v_{0}}\overline{A_{4}}(t)dt\right]\left[f\left(x_{0}-h,y_{0}\right)-2f\left(x_{0},y_{0}\right)+f\left(x_{0}+h,y_{0}\right)\right]+

(

\prime

)

+\left[\int_{x_{0}+h}^{x_{0}}\overline{C_{1}}(s)ds-\int_{x_{0}-h}^{x_{0}}\overline{C_{2}}(s)ds\right]\left[f\left(x_{0},y_{0}-k\right)-2f\left(x_{0},y_{0}\right)+f\left(x_{0},y_{0}+k\right)\right]

Ainsi les expressions des fonctions $\varphi_{i},\psi_{i},0_{i}$ sont données par les formules (28), les fonctions arbitraires $\bar{A}_{1}(y),\bar{A}_{4}(y),\bar{C}_{1}(x),\bar{C}_{2}(x)$ étant obligées à satisfaire à la condition (29). La contribution des fonctions $\bar{A}_{1}(y)$ , $\bar{A}_{4}(y),\bar{C}_{1}(x),\overline{C_{2}}(x)$ à l’expression du reste $R$ est donnée par les formules (30) et (30’). Si nous prennons $\bar{A}_{1}(y)=\bar{A}_{4}(y)=\bar{C}_{1}(x)=\bar{C}_{2}(x)=0$ , la condition (29) est satisfaite, et la contribution de $\bar{A}_{1}(y),\bar{A}_{4}(y),\bar{C}_{1}(x),\bar{C}_{2}(x)$ à l’expression du reste $R$ est nulle.

Done nous pouvons faire dans les formules (28) $\bar{A}_{1}(y)=\bar{A}_{4}(y)==\bar{C}_{1}(x)=\bar{C}_{2}(x)=0$ , et nous aurons finalement la formule de cubature

\int_{E}\int_{E}f(x,y)dxdy=4hkf\left(x_{0},y_{0}\right)+\iint_{D}\left(\varphi\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+\theta\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)dxdy

(31)

où les fonctions $\varphi,\psi,0$ coïncident dans les rectangles $D_{i}$ , avec les fonctions $\varphi_{i},\psi_{i},\theta_{i}$ où $i^{\prime}=1,2,3,4$ , données par les formules suivantes

	$\displaystyle\varphi_{1}(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{0}-h\right)^{2},\quad\psi_{1}(x,y)=-\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}-k\right),$
	$\displaystyle\theta_{1}(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{0}-k\right)^{2}$
	$\displaystyle\varphi_{2}(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{0}+h\right)^{2},\quad\psi_{2}(x,y)=-\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{2}-k\right),$		(32)
	$\displaystyle\theta_{2}(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{0}-k\right)^{2}$		(32)
	$\displaystyle\varphi_{3}(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{0}+h\right)^{2},\quad\psi_{3}(x,y)=-\left(x-x_{0}+h\right)\left(y-y_{0}+k\right),$
	$\displaystyle\theta_{3}(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{0}+k\right)^{2}.$

\begin{gathered}\varphi_{4}(x,y)=\frac{1}{2}\left(x-x_{0}-h\right)^{2},\quad\psi_{4}(x,y)=-\left(x-x_{0}-h\right)\left(y-y_{0}+h\right)\\ \theta_{4}(x,y)=\frac{1}{2}\left(y-y_{0}+k\right)^{2}.\end{gathered}

11.

Nous pouvons donner une évaluation de la valeur absolue du reste $R$ de la formule de cubature (31). En désignant par $M_{2}$ une borne supérieure de $\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right|$ dans $D$ , nous pouvons écrire

	$\displaystyle\|R\|$	$\displaystyle\leqslant\frac{M_{2}}{2}\left\{\iint_{D_{1}}\left(x-x_{0}-h\right)^{2}dxdy+\ldots\right\}$
		$\displaystyle+M_{2}\left\{\iint_{D_{1}}\left(x_{0}+h-x\right)\left(y_{0}+k-y\right)dxdy+\ldots\right\}$
		$\displaystyle+\frac{M_{2}}{2}\left\{\iint_{D_{1}}\left(y-y_{0}-k\right)^{2}dxdy+\ldots\right\}$

Nous avons

\begin{gathered}\iint_{D_{1}}\left(x-x_{0}-h\right)^{2}dxdy=\frac{h^{3}k}{3},\ldots\\ \iint_{D_{1}}\left(x_{0}+h-x\right)\left(y_{0}+k-y\right)dxdy=\frac{h^{2}k^{2}}{4},\ldots\\ \iint_{D_{1}}\left(y-y_{0}-k\right)^{2}dxdy=\frac{hk^{3}}{3},\ldots\end{gathered}

d’où il résulte que
c’est à dire

R\left\lvert\,\leqslant\frac{M_{2}}{2}\left(\frac{4h^{3}k}{3}+\frac{4hk^{3}}{3}\right)+M_{2}h^{2}k^{2}\right.

|R|\leqslant\frac{S}{12}\left[2\left(h^{2}+k^{2}\right)+3hk\right]M_{2}

(33)

où $S$ est l’aire du rectangle $D,S=4hk$ .
12. Nous pouvons comparer les deux formules de cubature démontrées dans ce chapitre

	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}{2}\left[f\left(x_{1},y_{1}\right)+f\left(x_{2},y_{2}\right)\right]+R_{1}$		( $21,\penalty 10000\ \S 1$ )
	$\displaystyle\iint_{D}fdxdy=4hkf\left(x_{0},y_{0}\right)+R_{2}$		( $31,\penalty 10000\ \S 2$ )

La seconde formule est préférable à la première. D’abord la seconde formule utilise un seul noeud $\left(x_{0},y_{0}\right)$ , le centre du rectangle $D$ , tandis que la seconde utilise deux noeuds, les sommets opposés $\left(x_{1},y_{1}\right)$ et $\left(x_{2},y_{2}\right)$ . En ce qui concerne les restes $R_{1}$ et $R_{2}$ , nous avons les formules ( $26,\S 1$ ) et (33, § 2) c’est à dire

\left|R_{1}\right|\leqslant\varrho_{1}\frac{SM_{2}}{12},\quad\left|R_{2}\right|\leqslant\varrho_{2}\frac{SM_{2}}{12}

où

\begin{gathered}Q_{1}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+3\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\\ Q_{2}=2\left(h^{2}+k^{2}\right)+3hk.\end{gathered}

En remplaçant dans l’expression de $\varrho_{1},x_{2}-x_{1}$ et $y_{2}-y_{1}$ par $2h$ et $2k$ , nous avons

\varrho_{1}-\varrho_{2}=2\left(h^{2}+k^{2}\right)+9hk>0

c’est à dire $\varrho_{1}>\varrho_{2}$ .
Dans le cas d’un carré, $h=k$ , nous avons

\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{20}{7}=2,8\ldots

$. 3. Calcul approché d’une intégrale double dans un rectangle $D$

13.

Nous allons appliquer les formules de cubature établies dans ce chapitre, au calcul approché d’une intégrale double dans le rectangle $D$ .

Considérons l’intégrale double

\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy

et supposons que la fonction $f(x,y)$ ait des dérivées partielles du premier et du second ordre continues dans $D$ .

Partageons l’intervalle $(a,b)$ en $n$ parties égales par les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ et l’intervalle ( $c,d$ ) en $m$ parties égales par les points $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m-1}$ . Désignons par $D_{ik}$ le rectangle formé par les droites $x=x_{i-1},\quad x=x_{i},\quad y=y_{k-1},\quad y=y_{k}$ où $i=1,\ldots,n,\quad k=1,\ldots,m,\quad$ avec $x_{0}=a,x_{n}=b,y_{0}=c,y_{m}=d$ .

Appliquons à chaque rectangle $D_{ik}$ la première formule de cubature. Nous aurons

\iint_{D_{ik}}f(x,y)dxdx=\frac{(b-a)(d-c)}{2nm}\left[f\left(x_{i},y_{k}\right)+f\left(x_{i+1},y_{k+1}\right)\right]+R_{ik}

où

\left|R_{ik}\right|\leqslant\frac{(b-a)(d-c)}{12mn}\left[\frac{(b-a)^{2}}{n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{nm}+\frac{(d-c)^{2}}{m^{2}}\right]M_{2}

$M_{2}$ étant une borne supérieure de $\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right|,\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right|$ dans $D$ .
En faisant la somme des intégrales doubles dans les rectangles $D_{ik}$ . nous aurons la formule de calcul approché

	$\displaystyle\iint_{B}f(x,y)dxdy=$	$\displaystyle\frac{(b-a)(d-c)}{2nm}\left\{\sum_{i=0}^{n-1}f\left(x_{i},c\right)+\sum_{i=1}^{n}f\left(x_{i},d\right)+\sum_{k=1}^{m-1}f\left(b,y_{k}\right)+\right.$		(1)
		$\displaystyle\left.+\sum_{k=1}^{m-1}f\left(a,y_{k}\right)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{m-1}f\left(x_{i},y_{k}\right)\right\}+R$

et nous avons pour le reste

|R|\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\left|R_{ik}\right|

c’est à dire

|R|\leqslant\frac{(b-a)(d-c)}{12}\left[\frac{(b-a)^{2}}{n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{mn}+\frac{(d-c)^{2}}{m^{2}}\right]M_{2}.

(2)

\frac{(b-a)(d-c)}{12}\left[\frac{(b-a)^{2}}{n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{nm}+\frac{(d-c)^{2}}{m^{2}}\right]M_{2}<\varepsilon

Avec ce choix de $n$ et $m$ nous aurons dans la formule de calcul approché (1), $|R|<\varepsilon$ .
14. On peut aussi appliquer au calcul approché d’une intégrale double, la seconde formule de cubature.

Nous aurons

\iint_{D_{ik}}f(x,y)dxdy=\frac{(b-a)(d-c)}{nm}f\left(\xi_{i},\eta_{k}\right)+R_{ik}^{\prime}

où ( $\xi_{i},r_{ik}$ ) sont lcs coordonnées du centre du rectangle $D_{ik}$ , et nous avons

\left|R_{ik}^{\prime}\right|\leqslant\frac{(b-a)(d-c)}{12nm}\left[\frac{(b-a)^{2}}{2n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{4nm}+\frac{(d-c)^{2}}{2m^{2}}\right]M_{2}

Il résulte alors la formule de calcul approché

\iint_{D}f(x,y)dxdy=\frac{(b-a)(d-c)}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}f\left(\zeta_{i},\eta_{k}\right)+R^{\prime}

(3)

avec

\left|R^{\prime}\right|\leqslant\frac{(b-a)(d-c)}{12}\left[\frac{(b-a)^{2}}{2n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{4nm}+\frac{(d-c)^{2}}{2m^{2}}\right]M_{2}

(4)

Étant donné, un nombre positif e on peut choisir les nombres naturels $n$ et $m$ suffisament grands, pour que

\frac{(b-a)(d-c)}{12}\left[\frac{(b-a)^{2}}{2n^{2}}+3\frac{(b-a)(d-c)}{4nm}+\frac{(d-c)^{2}}{2m^{2}}\right]M_{2}<\varepsilon

On aura alors dans la formule de calcul approché (3), $|R|<\varepsilon$ .
Nous appliquerons la formule de calcul approché (1), à l’intégration numérique des équations aux dérivées partielles du second ordre de type hyperbolique.

II. LINTÉGIATION NUMÉRIQUE DE L’EQUATION AUX DERIVÉES PARTHELES DU SECOND ORDIRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

s. 1. Considérations générales et hypothèses

15.

Considérons l’équation aux dérivées partielles
(1)

\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f(x,y,z,p,q)

où la fonction $f(x,y,z,p,q)$ est continue dans le domaine $\dot{D}$ , défini par les inégalités

0\leqslant x\leqslant a,\quad 0\leqslant y\leqslant b,\quad|z|\leqslant\alpha,\quad|p|\leqslant\beta,\quad|q|\leqslant\gamma

(2)

et satisfait à la condition de Lipschitz

|f(x,y,Z,P,Q)-f(x,y,z,p,q)|\leqslant A|Z-z|+B|P-p|+C|Q-q|.

(3)

On sait que dans ces conditions l’équation aux dérivées partielles (1) a une intégrale unique $z(x,y)$ , nulle sur les axes $Ox,Oy$ . Elle est définie dans le rectangle $\Delta_{1}$ , formé par les droites $x=0,x=\lambda_{1},y=0,y=\mu_{1}$ , où $\lambda_{1}$ et $\mu_{1}$ sont des nombres positifs satisfaisant aux conditions

\lambda_{1}=\min\left(a,\frac{\gamma}{M}\right),\quad\mu_{1}=\min\left(b,\frac{\beta}{M}\right),\quad\lambda_{1}\mu_{1}\leqslant\frac{\alpha}{M}

où $M$ est une borne supérieure de $|f(x,y,z,p,q)|$ dans le domaine $D$ .
On peut obtenir l’intégrale $z(x,y)$ par la méthode des approximations successives, en intégrant les équations

	$\displaystyle\frac{\partial^{2}z^{(0)}}{\partial x\partial y^{\prime}}=f(x,y,0,0,0)$		(4)
	$\displaystyle\frac{\partial^{2}z^{(s)}}{\partial x\partial y}=f\left(x,y,z^{(s-1)},p^{(s-1)},q^{(s-1)}\right)$

où $s=1,2,\ldots$ avec les conditions $z^{(s)}(x,0)=z^{(s)}(0,y)=0$ , où $s==0,1,\ldots$ .

Les séries

z^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}\left[z^{(s)}-z^{(s-1)}\right],\quad p^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}\left[p^{(s)}-p^{(s-1)}\right],\quad q^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}\left[q^{(s)}-q^{(s-1)}\right]

sont absoluement et uniformément convergentes dans le rectangle $\Delta_{1}$ ; on a

		$\displaystyle\left\|z^{(s)}-z^{(s-1)}\right\|\leqslant ML^{s}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{s+2}}{(s+2)!}$
		$\displaystyle\left\|p^{(s)}-p^{(s-1)}\right\|\leqslant ML^{s}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{s+1}}{(s+1)!}$
		$\displaystyle\left\|q^{(s)}-q^{(s-1)}\right\|\leqslant ML^{s}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{s+1}}{(s+1)!}$

Nous avons donc

\begin{gathered}\left.\sim(x,y)=z^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}z^{(s)}-z^{(s-1)}\right]\\ p(x,y)=p^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}\left[p^{(s)}-p^{(s-1)}\right],\quad q\left(x,y^{\prime}\right)=q^{(0)}+\sum_{s=1}^{\infty}\left[q^{(s)}-q^{(s-1)}\right]\end{gathered}

et nous écrivons

		$\displaystyle z(x,y)-z^{(\nu)}(x,y)=\sum_{s=\nu}^{\infty}\left[z^{(s+1)}-z^{(s)}\right]$
		$\displaystyle p(x,y)-p^{(\nu)}(x,y)=\sum_{s=\nu}^{\infty}\left[p^{(s+1)}-p^{(s)}\right]$
		$\displaystyle q(x,y)-q^{(\nu)}(x,y)=\sum_{s=\nu}^{\infty}\left[q^{(s+1)}-q^{(s)}\right]$

On démontre que

		$\displaystyle\left\|z(x,y)-z^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant ML^{\nu+1}e^{L\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{\nu+3}}{(\nu+3)!}$
		$\displaystyle\left\|p(x,y)-p^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant ML^{\nu+1}e^{L\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{\nu+2}}{(\nu+2)!}$
		$\displaystyle\left\|q(x,y)-q^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant ML^{\nu+1}e^{L\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)}\frac{\left(\lambda_{1}+\mu_{1}\right)^{\nu+2}}{(\nu+2)!}$

Étant donné, un nombre positif a on peut choisir le nombre naturel $\nu$ , tel que les seconds membres des inégalités précédentes soient plus petits que $\varepsilon$ . Ainsi nons aurons pour le plus petit nombre $\nu$ satisfaisant à ces conditions

	$\displaystyle\left\|z(x,y)-z^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p(x,y)-p^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$		(5)
	$\displaystyle\left\|q(x,y)-q^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$

Le nombre $\nu$ ainsi précisé restera fixe dans la suite et jouera un rôle important dans l’intégration numérique de l’équation aux dérivées partielles (1).
16. Pour l’intégration numérique de l’équation aux dérivées partielles (1) nous ferons des nouvelles hypothèses sur la fonction $f(x,y,z,p,q)$ . Ces hypothèses sont imposées par le procédé d’intégration numérique que nous allons employer.

Nous supposerons que la fonction $f(x,y,z,p,q)$ admette des dérivées partielles par rapport à $x$ et à $y$ , du premier et du second ordre continues dans $D$ . Dans ces conditions nous pouvons prendre pour les nombres $A,B,C$ de la condition de Lipschitz (3), des bornes supérieures de $\left|\frac{\partial f}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial f}{\partial p}\right|,\left|\frac{\partial f}{\partial q}\right|$ dans $D$ .

On démontre, avec ces hypothèses, que les fonctions $z^{(s)}(x,y)$ , données par les équations aux dérivées partielles (4) avec les conditions $z^{(s)}(x,0)=z^{(s)}(0,y)=0$ , ont des dérivées partielles par rapport à $x$ et à $y$ , du premier et du second ordre, continues dans $\Delta_{1}$ , et que si nons posons

f_{s}(x,y)=f\left[x,y,z^{(s-1)},p^{(s-1)},q^{(s-1)}\right]

(6)

où $s=1,2,\ldots$ , les fonctions $f_{s}(x,y)$ , où $s=0,1,2,\ldots$ , avec $f_{0}(x,y)==f(x,y,0,0,0)$ , ont des dérivées partielles par rapport à $x$ et à $y$ , du second ordre, continues dans le rectangle $\Delta_{1}$ , Nous désignerons par $N$ une borne supérieure des valeurs absolues de toutes les dérivées partielles du second ordre

\frac{\partial^{2}f_{s}}{\partial x^{2}},\frac{\partial^{2}f_{s}}{\partial x\partial y},\frac{\partial^{2}f_{s}}{\partial y^{2}}

(7)

pour $s=0,1,2,\ldots$ , v. Le nombre $N$ joue un rôle important dans l’intégration numérique de l’équation aux dérivées partielles (1).’

Étant donné, un nombre positif $\delta$ suffisamment petit, désignons par $\lambda$ et $\mu$ les nombres positifs satisfaisant aux conditions suivantes

\lambda=\min\left(a,\frac{\gamma-\delta}{M}\right),\mu=\min\left(b,\frac{\beta-\delta}{M}\right),\quad\lambda\mu\leqq\frac{\alpha-\delta}{M}

(8)

Il est evident que $\lambda\leqq\lambda_{1},\mu\leqq\mu_{1}$ . Nous désignerons dans la suite par $\Delta$ , le rectangle formé par les droites $x=0,x=\lambda$ et $y=0,y=\mu$ .

	$\displaystyle\left\|z^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{k}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon$		(9)
	$\displaystyle\left\|q^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon.$

La recherche de l’algorithme se basera sur la formule de cubature (21) du § 1 du premièr chapitre.

§. 2. Application de la formule de cubature (21, $1, I)

17.

La première équation (4) du §. 1 et les conditions $z^{(0)}(x,0)==z^{(0)}(0,y)=0$ , domment
(1)

\begin{gathered}z^{(0)}(x,y)=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}f_{0}(s,t)dsdt\\ p^{(0)}(x,y)=\int_{0}^{y}f_{0}(x,t)dt,q^{(0)}(x,y)=\int_{0}^{x}f_{0}(s,y)ds\end{gathered}

Pour calculer $z^{(0)}(x,y)$ nous utiliserons la première formule de cubature qui conduit à la formule de calcul approché (1) (I, § 3). Pour calculer $p^{(0)}(x,y)$ et $q^{(0)}(x,y)$ nous utiliserons la formule de quadrature du trapèze

\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{(b-a)}{2}[f(a)+f(b)]+\int_{a}^{b}\frac{(s-a)(s-b)}{2}f^{\prime\prime}(s)ds

qui conduit à la formule de calcul approché

\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{(b-a)}{2n}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f\left(x_{i}\right)\right]+R

(2)

où les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ partagent en $n$ parties égales l’intervalle ( $a,b$ ). Pour le reste $R$ nous avons l’évaluation suivante

|R|\leqq\frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}N_{1}

(3)

où $N_{1}$ est une borne supérieure de $\left|f^{\prime\prime}(x)\right|$ dans l’intervalle $[a,b]$ .
Soit $\varepsilon_{1}$ un nombre positif que nous préciserons plus loin et $n,m$ deux nombres naturels correspondant à $\varepsilon_{1}$ . Partageons les intervalles ( $0,\lambda$ ) et $(0,\mu)$ en $n$ et $m$ parties égales par les points $x_{1},\ldots,x_{n-1}$ et $y_{1},\ldots,y_{m-1}$ Les droites $x=x_{i}$ et $y=y_{k}$ où $i=0,1,\ldots,n$ et $k=0,1,\ldots,m$ , ( $x_{0}=0,x_{n}=\lambda,y_{0}=0,y_{m}=\mu$ ) forment un réseau $\Gamma$ . Nous allons calculer $z^{(0)}(x,y),p^{(0)}(x,y),q^{(0)}(x,y)$ sur les noeuds de ce réseau. Désignons par $\Delta_{ik}$ le rectangle formé par les droites $x=0,x=x_{i},y=0,y=y_{k}$ . En appliquant les formules de calcul approché, nous aurons
(4)

		$\displaystyle z^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)=z_{ik}^{(0)}+R_{ik}^{(0)}$
		$\displaystyle p^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)=p_{ik}^{(0)}+R_{ik}^{(0)}$
		$\displaystyle q^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)=q_{ik}^{(0)}+R_{ik}^{(0)^{\prime\prime}}$

où

	$\displaystyle\left.z_{ik}^{(0)}=\frac{\lambda\mu}{2nm}\right\rvert\,\sum_{j=0}^{i-1}f_{0}\left(x_{j},0\right)$	$\displaystyle+\sum_{l=1}^{k-1}f_{0}\left(0,y_{e}\right)+\sum_{j=1}^{i}f_{0}\left(x_{j},y_{k}\right)+\sum_{l=1}^{k-1}f_{0}\left(x_{i},y_{l}\right)+$
		$\displaystyle\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}\sum_{l=1}^{k-1}f_{0}\left(x_{j},y_{l:}\right)\right]$		(5)

		$\displaystyle p_{ik}^{(0)}=\frac{\mu}{2m}\left[f_{0}\left(x_{i},0\right)+f_{0}\left(x_{i},y_{k}\right)+2\sum_{l=2}^{k-1}f_{0}\left(x_{i},y_{l}\right)\right]$
		$\displaystyle q_{ik}^{(0)}=\frac{\lambda}{2n}\left[f_{0}\left(0,y_{k}\right)+f_{0}\left(x_{i},y_{k}\right)+2\sum_{j=1}^{i-1}f_{0}\left(x_{j},y_{k}\right)\right]$

et mons avons

		$\displaystyle\left\|R_{ik}^{(0)}\right\|\leqslant\frac{\lambda\mu}{12}\frac{i}{n}\frac{k}{m}\left(\frac{\lambda^{2}}{n^{2}}+3\frac{\lambda\mu}{nm}+\frac{\mu^{2}}{m^{2}}\right)N.$
		$\displaystyle\left\|R_{ik}^{(0)^{\prime}}\right\|\leqslant\frac{\mu^{3}}{12m^{2}}\frac{k}{m}N,\quad\left\|R_{ik}^{(0)^{\prime\prime}}\right\|\leqslant\frac{\lambda^{3}}{12n^{2}}\frac{i}{n}N$

Comme $\frac{i}{n}\leqslant 1,\frac{k}{m}\leqslant 1$ on peut encore écrire

		$\displaystyle\left\|R_{ik}^{(0)}\right\|\leqslant\frac{\lambda\mu}{12}\left(\frac{\lambda^{2}}{n^{2}}+3\frac{\lambda\mu}{nm}+\frac{\mu^{2}}{m^{2}}\right)N$
		$\displaystyle\left\|R_{ik}^{(1)\prime}\right\|\leqslant\frac{\mu^{3}}{12m^{2}}N,\quad\left\|R_{ik}^{(0)^{\prime\prime}}\right\|\leqslant\frac{\lambda^{3}}{12n^{2}}N$

Nous dirons que $z_{ik}^{(0)},p_{ik}^{(0)},q_{ik}^{(0)}$ données par les formules (5) sont les „valeurs calculées" de $z\left(x_{i},y_{k}\right),p\left(x_{i},y_{k}\right),q\left(x_{i},y_{k}\right)$ sur les noeuds $\left(x_{i},y_{k}\right)$ .

Nous pouvons choisir les plus petits nombres naturels $n$ et $m$ tels que

\frac{\lambda^{3}}{12n^{2}}N<\varepsilon_{1},\quad\frac{\mu^{3}}{12m^{2}}N<\varepsilon_{1},\quad\frac{\lambda\mu}{12}\left(\frac{\lambda^{2}}{n^{2}}+3\frac{\lambda\mu}{mm}+\frac{\mu^{2}}{m^{2}}\right)N<\varepsilon_{1}

(7)

et alors nous aurons dans les formules (4)

\left|R_{ik}^{(0)}\right|,\left|R_{ik}^{(n)^{\prime}}\right|,\left|R_{ik}^{(0)^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon_{1}

(8)

Les nombres naturels $n$ et $m$ une fois choisis par les conditions (7) restent fixes dans la suite et par suite le réseau $\Gamma$ est bien déterminé.
18. Passons au calcul de $z^{(1)}(x,y),p^{(1)}(x,y),q^{(1)}(x,y)$ . Nous avons

		$\displaystyle z^{(1)}(x,y)=\int_{0}^{xy}f\left[s,t,z^{(1)}(s,t),p^{(0)}(s,t),q^{(0)}(s,t)\right]dsdt$
		$\displaystyle p^{(1)}(x,y)=\int_{0}^{y}f\left[x,t,z^{(0)}(x,t),p\quad(x,t),q^{(0)}(x,t)\right]dt$

q^{(1)}(x,y)=\int_{0}^{x}f\left[s,y,z^{(0)}(s,y),p^{(0)}(s,y),q^{(0)}(s,y)\right]ds

et nous pouvons appliquer pour le calcul de $z^{(1}(x,y),p^{(1)}(x,y),q^{(1)}(x,y)$
les formules de calcul approché sur les noeuds $\left(x_{i},y_{k}\right)$ les formules de calcul approché sur les noeuds $\left(x_{i},y_{k}\right)$

z^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[z_{ik}^{(1)}\right]+r_{ik}^{(1)}

où

	$\displaystyle p^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[p_{ik}^{(1)}\right]+r_{ik}^{(1)^{\prime}}$		(10)
	$\displaystyle q^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[q_{ik}^{(1)}\right]+r_{ik}^{(1)^{\prime\prime}},$

\left|r_{ik}^{(1)}\right|,\quad\left|r_{ik}^{(1)^{\prime}}\right|,\quad\left|r_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon_{1}

(11)

$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}(1)\\ lk]=\end{array}=\frac{\lambda\mu}{2nm}\right.}$	$\displaystyle\left\{\sum_{j=0}^{i-1}f\left[x_{j},0,z^{(0)}\left(x_{j},0\right),p^{(0)}\left(x_{j},0\right),q^{(0)}\left(x_{j},0\right)\right]\right.$
	$\displaystyle+\sum_{l=1}^{k-1}f\left[0,y_{l},z^{(0)}\left(0,y_{l}\right),p^{(0)}\left(0,y_{l}\right),q^{(0)}\left(0,y_{l}\right)\right]$
	$\displaystyle+\sum_{j=1}^{i}f\left[x_{j},y_{k},z^{(0)}\left(x_{j},y_{k}\right),p^{(0)}\left(x_{j},y_{k}\right),q^{(0)}\left(x_{j},y_{k}\right)\right]$
	$\displaystyle+\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{i},y_{l},z^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right),p^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right),q^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right)\right]$
	$\displaystyle+2\sum_{j=1}^{i-1}\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{j},y_{l},z^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),p^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),q^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right]$
$\displaystyle{\left[p_{ik}^{(1)}\right]=}$	$\displaystyle\frac{\mu}{2m}\left\{f\left[x_{i},0,z^{(0)}\left(x_{i},0\right),p^{(0)}\left(x_{i},0\right),q^{(0)}\left(x_{i},0\right)\right]\right.$
	$\displaystyle+f\left[x_{i},y_{k},z^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right),p^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right),q^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)\right]$	(12)
	$\displaystyle\left.+2\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{i},y_{l},z^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right),p^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right),q^{(0)}\left(x_{i},y_{l}\right)\right]\right\}$
$\displaystyle{\left[q_{lk}^{(1)}\right]=}$	$\displaystyle\frac{\lambda}{2n}\left\{f\left[0,y^{k},z^{(0)}\left(0,y_{k}\right),p^{(0)}\left(0,y_{k}\right),q^{(0)}\left(0,y_{k}\right)\right]\right.$
	$\displaystyle+f\left[x_{i},y_{k},z^{(0)}\left(x_{i},y^{k}\right),p^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right),q^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)\right]$
	$\displaystyle\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}f\left[x_{j},y_{k},z^{(0)}\left(x_{j},y_{k}\right),p^{(0)}\left(x_{j},y^{k}\right),q^{(0)}\left(x_{j},y_{k}\right)\right]\right\}$

Mais les valeurs de $z^{(0)}(x,y),p^{(0)}(x,y),q^{(0)}(x,y)$ sur les noeuds $\left(x_{i},y_{k}\right)$ sont données approximativement par les formules (4). Si $\varepsilon_{1}$ est assez petit nous pouvons remplacer en général dans les formules (12) les valeurs de $z^{(0)}\left(x_{i},y^{k}\right)p^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right),q^{(0)}\left(x_{i},y_{k}\right)$ par $z_{ik}^{(0)},p_{ik}^{(0)},q_{ik}^{(0)}$ . Nous démontrerons cela au nr. 20.

Désignons par $z_{ik}^{(1)},p_{ik}^{(1)},q_{ik}^{(1)}$ les nombres obtenus en remplaçant dans $\left[z_{ik}^{(1)}\right],\left[p_{ik}^{(1)}\right],\quad\left[y_{ik}^{(1)}\right],\quad z^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),\quad p^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),\quad q^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right)\quad$ pas $z_{jl}^{(0)},\quad p_{jl}^{(0)},q_{jl}^{(0)}$ c’est à dire

	$\displaystyle z_{ik}^{(1)}$	$\displaystyle=\frac{\lambda\mu}{2nm}\left[\sum_{j=0}^{i-1}f\left(x_{j},0,z_{j0}^{(0)},p_{j0}^{(0)},q_{j0}^{(0)}\right)+\sum_{l=1}^{k-1}f\left(0,y_{l},z_{0l}^{(0)},p_{0l}^{(0)},q_{0l}^{(0)}\right)\right.$
		$\displaystyle+\sum_{j=1}^{i}f\left(x_{j},y_{k},z_{jk}^{(0)},p_{jk}^{(0)},q_{jk}^{(0)}\right)+\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{i},y_{l},z_{il}^{(0)},p_{il}^{(0)},q_{il}^{(0)}\right)$
		$\displaystyle\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{j},y_{l},z_{jl}^{(0)},p_{jl}^{(0)},q_{jl}^{(0)}\right)\right]$
	$\displaystyle p_{ik}^{(1)}$	$\displaystyle=\frac{\mu}{2m}\left[f\left(x_{i},0,z_{i0}^{(0)},p_{i0}^{(0)},q_{i0}^{(0)}\right)+f\left(x_{i},y_{k},z_{ik}^{(0)},p_{ik}^{(0)},q_{lk}^{(0)}\right)\right.$
		$\displaystyle\left.+2\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{i},y_{l},z_{ll}^{(0)},p_{il}^{(0)},q_{il}^{(0)}\right)\right]$
	$\displaystyle q_{ik}^{(1)}$	$\displaystyle=\frac{\lambda}{2n}\left[f\left(0,y_{k},z_{0k}^{(0)},p_{0k}^{(1)},q_{0k}^{(0)}\right)+f\left(x_{i},y_{k},z_{ik}^{(0)},p_{ik}^{(0)},q_{ik}^{(0)}\right)\right.$
		$\displaystyle\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}f\left(x_{j},y_{k},z_{jk}^{(0)},p_{jk}^{(0)},q_{jk}^{(0)}\right)\right]$

En posant

		$\displaystyle{\left[z_{ik}^{(1)}\right]=z_{ik}^{(1)}+\varrho_{ik}^{(1)}}$
		$\displaystyle{\left[p_{ik}^{(1)}\right]=p_{ik}^{(1)}+\varrho_{ik}^{(1)^{\prime}}}$
		$\displaystyle{\left[q_{ik}^{(1)}\right]=q_{ik}^{(1)}+\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}},}$

nous aurons

		$\displaystyle\begin{array}[]{l}\varrho_{ik}^{(1)}=\frac{\lambda\mu}{2nm}\left\{\ldots+\left[f\left(x_{j},y_{l},z^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),p^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right),q^{(0)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right.\right.\right.\\ \left.\left.\quad-f\left(x_{j},y_{l},z_{jl}^{(0)},p_{jl}^{(0)},q_{jl}^{(0)}\right)\right]+\cdots\right\}\end{array}$
		$\displaystyle\varrho_{ik}^{(1)\prime}=\ldots\ldots$
		$\displaystyle\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}=\ldots\ldots$

18 - Mathematica

De ces formules, il résulte que

	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)}\right\|\leqslant\lambda\mu\frac{i}{n}\frac{k}{m}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\lambda\mu(A+B+C)\varepsilon_{1}$
	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime}}\right\|\leqslant\mu\frac{k}{m}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\mu(A+B+C)\varepsilon_{1}$		(14)
	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}\right\|\leqslant\lambda\frac{i}{n}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\lambda(A+B+C)\varepsilon_{1}$

En désignant par

Q=\max[\lambda\mu(A+B+C),\mu(A+B+C),\lambda(A+B+C)]

(15)

nous aurons
(14’)

\left|\varrho_{ik}^{(1)}\right|,\quad\left|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime}}\right|,\quad\left|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}\right|<Q\varepsilon_{1}.

Nous avons donc

$\displaystyle z^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=z_{ik}^{(1)}+R_{ik}^{(1)}$
$\displaystyle p^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=p_{ik}^{(1)}+R_{ik}^{(1)^{\prime}}$	(16)
$\displaystyle q^{(1)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=q_{ik}^{(1)}+R_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}$

où

R_{ik}^{(1)}=r_{ik}^{(1)}+\varrho_{ik}^{(1)},\quad R_{ik}^{(1)^{\prime}}=r_{ik}^{(1)^{\prime}}+\varrho_{ik}^{(1)^{\prime}},\quad R_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}=r_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}+\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}.

D’après les inégalités (11) et (14) nous avons dans les formules (16)

\left|R_{ik}^{(1)}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(1)^{\prime}}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}\right|<(1+Q)\varepsilon_{1}.

(17)

19.

Passons au cas général. Supposons que nous ayons démontré les formules

	$\displaystyle z^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=z_{ik}^{(s-1)}+R_{ik}^{(s-1)}$
	$\displaystyle p^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=p_{ik}^{(s-1)}+R_{ik}^{(s-1)^{\prime}}$		(18)
	$\displaystyle q^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right)=q_{ik}^{(s-1)}+R_{ik}^{(s-1)^{\prime\prime}}$

analogues aux formules (16) et les inégalités

\left|R_{lk}^{(s-1)}\right|,\quad\left|R_{lk}^{(s-1)}\right|,\quad\left|R_{lk}^{(s-1)^{\prime\prime}}\right|<\left(1+Q+\ldots+Q^{s-1}\right)\varepsilon_{1}

(19)

analogues aux inégalités (17).
Pour $s=2$ les formules (18) et les inégalités (19) se réduisent als formules (16) et aux inégalités (17).

La fonction $z^{(s)}(x,y)$ et ses dérivées partielles $p^{(s)}(x,y),q^{(s)}\left(x,y^{\prime}\right)$ sont données par les formules

	$\displaystyle z^{(s)}(x,y)$	$\displaystyle=\int_{0}^{xy}f\left[\xi,\eta,z^{(s-1)}(\xi,\eta),p^{(s-1)}(\xi,\eta),q^{(s-1)}(\xi,\eta)\right]d\xi d\eta$
	$\displaystyle p^{(s)}(x,y)$	$\displaystyle=\int_{0}^{y}f\left[x,\eta,z^{(s-1)}(x,\eta),p^{(s-1)}(x,\eta),q^{(s-1)}(x,\eta)\right]d\eta$
	$\displaystyle q^{(s)}(x,y)$	$\displaystyle=\int_{0}^{x}f\left[\xi,y,z^{(s-1)}(\xi,y),p^{(s-1)}(\xi,y),q^{(s-1)}(\xi,y)\right]d\xi$

et nous aurons sur les noeuds du réseau $\Gamma$

	$\displaystyle z^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=\int_{0}^{x_{i}y_{k}}\int_{0}f\left[\xi,\eta_{1},z^{(s-1)}(\xi,\eta),p^{(s-1)}(\xi,\eta),q^{(s-1)}(\xi,\eta)\right]d\xi d\eta$
	$\displaystyle p^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=\int_{0}^{y_{k}}f\left[x_{i},\eta,z^{(s-1)}\left(x_{i},\eta\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},\eta\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},\eta\right)\right]d\eta$
	$\displaystyle q^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)$	$\displaystyle=\int_{0}^{x_{i}}f\left[\xi,\eta_{k},z^{(s-1)}\left(\xi,\eta_{k}\right),p^{(s-1)}\left(\xi,\eta_{k}\right),q^{(s-1)}\left(\xi,\eta_{k}\right)\right]d\xi$

Nous pouvons appliquer aux intégrales du second membre, les formules de calcul approché que nous avons utilisé, et nons aurons
où

	$\displaystyle z^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[z_{lk}^{(s)}\right]+r_{ik}^{(s)}$		(20)
	$\displaystyle p^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[p_{ik}^{(s)}\right]+r_{ik}^{(s)^{\prime}}$
	$\displaystyle q^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=\left[q_{ik}^{(s)}\right]+r_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}$
	$\displaystyle{\left[z_{ik}^{(s)}\right]=\frac{\lambda_{i}}{2nm}\left\{\sum_{j=0}^{i-1}f\left[x_{j},0,z^{(s-1)}(xj,0),p^{(s-1)}\left(x_{i},0\right),q^{(s-1)}\left(x_{j},0\right)\right]+\right.}$
	$\displaystyle+\sum_{l=1}^{k-1}f\left[0,y_{l},z^{(s-1)}\left(0,y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(0,y_{l}\right),q^{(s-1)}\left(0,y_{l}\right)\right]+$
	$\displaystyle+\sum_{j=1}^{i}f\left[x_{j},y_{k},z^{(s-1)}\left(x_{j},y_{k}\right),p^{(s-1)}\left(x_{j},y_{k}\right),q^{(s-1)}\left(x_{j},y_{k}\right)\right]+$
	$\displaystyle+\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{i},y_{l},z^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right)\right]+$

+2\sum_{j=1}^{l-1}\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{j},y_{l},z^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right),q^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right]

$\displaystyle{\left[p_{ik}^{(s)}\right]=}$	$\displaystyle\frac{\mu}{2m}\left\{f\left[x_{i},0,z^{(s-1)}\left(x_{i},0\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},0\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},0\right)\right]+\right.$	(21)
	$\displaystyle+f\left[x_{i},y_{k},z^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right)\right]+$	(24)
	$\displaystyle\left.+2\sum_{l=1}^{k-1}f\left[x_{i},y_{l},z^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},y_{l}\right)\right]\right\}$
$\displaystyle{\left[q_{ik}^{(s)}\right]=}$	$\displaystyle\frac{\lambda}{2n}\left\{f\left[0,y_{k},z^{(s-1)}\left(0,y_{k}\right),p^{(s-1)}\left(0,y_{k}\right),q^{(s-1)}\left(0,y_{k}\right)\right]+\right.$
	$\displaystyle+f\left[x_{i},y_{k},z^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right),p^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right),q^{(s-1)}\left(x_{i},y_{k}\right)\right]+$
	$\displaystyle\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}f\left[x_{j},y_{k},z^{(s-1)}\left(x_{j},y_{k}\right),p^{(s-1)}\left(x_{j},y_{k}\right),q^{(s-1)}\left(x,y_{k}\right)\right]\right\}$

\left.+2\sum_{j=1}^{i-1}f\left(x_{j},y_{k},z_{ik}^{(s-1)},p_{jk}^{(s-1)},q_{jk}^{(s-1)}\right)\right].

En posant

		$\displaystyle{\left[\sum_{ik}^{(s)}\right]=z_{ik}^{(s)}+\varrho_{ik}^{(s)}}$
		$\displaystyle{\left[p_{ik}^{(s)}\right]=p_{ik}^{(s)}+\varrho_{ik}^{(s)^{\prime}}}$
		$\displaystyle{\left[q_{ik}^{(s)}\right]=q_{ik}^{(s)}+\varrho_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}}$

nous aurons

		$\displaystyle\varrho_{ik}^{(s)}=\frac{\lambda_{il}}{2nm}\left\{\cdots+\left[f\left(x_{j},y_{l},z^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right),q^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right)-\right.\right.$
		$\displaystyle\left.\left.\quad-f\left(x_{j},y_{l},z_{ll}^{(s-1)},p_{jl}^{(s-1)},q_{ll}^{(s-1)}\right)\right]+\ldots\right\}$
		$\displaystyle\quad\varrho_{ik}^{(s)\prime}=\ldots$
		$\displaystyle\varrho_{ik}^{(s)\prime\prime}=\ldots$

et où

\left|r_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|r_{ik}^{(s)^{\prime}}\right|,\quad\left|r_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon_{1}.

(22)

Désignons par $z_{ik}^{(s)},p_{ik}^{(s)},q_{ik}^{(s)}$ les nombres obtenus en remplaçant dans es seconds membres des formules (21) en général $z^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right),p^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right)$ , $q^{(s-1)}\left(x_{j},y_{l}\right)$ par $z_{jl}^{(s-1)},p_{jl}^{(s-1)},q_{jl}^{(s-1)}$ . Nous démontrerons au 11r. 20 que cela est possible. Nous aurons done
$z_{ik}^{(s)}=\frac{\lambda\mu}{2nm}\left[\sum_{j=0}^{l-1}f\left(x_{j},0,z_{j0}^{(s-1)},p_{j0}^{(s-1)},q_{j0}^{(s-1)}\right)+\sum_{l=1}^{k-1}f\left(0,y_{l},z_{0l}^{(s-1)},p_{0l}^{(s-1)},q_{0l}^{(s-1)}\right)+\right.$

\begin{array}[]{r}+\sum_{j=1}^{l}f\left(x_{j},y_{k},z_{jk}^{(s-1)},p_{jk}^{(s-1)},q_{jk}^{(s-1)}\right)+\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{i},y_{l},z_{ll}^{(s-1)},p_{il}^{(s-1)}\right.\\ \left.+2\sum_{j=1}^{i-1}\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{j},y_{l},z_{jl}^{(s-1)},p_{jl}^{(s-1)},q_{jl}^{(k-1)}\right)\right]\end{array}

(23) $p_{ik}^{(s)}=\frac{\mu}{2m}\left[f\left(x_{i},0,z_{i0}^{(s-1)},p_{i0}^{(s-1)},q_{i0}^{(s-1)}\right)+f\left(x_{i},y_{k},z_{ik}^{(s-1)},p_{ik}^{(s-1)},q_{ik}^{(s-1)}\right)+\right.$

	$\displaystyle\left.+2\sum_{l=1}^{k-1}f\left(x_{i},y_{l},z_{il}^{(s-1)},p_{il}^{(s-1)},q_{il}^{(s-1)}\right)\right]$
	$\displaystyle q_{ik}^{(s)}=\frac{\lambda}{2n}\left[f\left(0,y_{k},z_{ok}^{(s-1)},p_{ok}^{(s-1)},q_{ok}^{(k-1)}\right)+f\left(x_{i},y_{k},z_{ik}^{(s-1)},p_{ik}^{(s-1)},q_{ik}^{(s-1)}\right)+\right.$		(27)

et d’après les formules (18), (19) nous pouvons écrire

		$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(s)}\right\|\leqslant\lambda\mu(A+B+C)\left(1+Q+\ldots+Q^{s-1}\right)\varepsilon_{1}$
		$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(s)^{\prime}}\right\|\leqslant\mu(A+B+C)\left(1+Q+\ldots+Q^{s-1}\right)\varepsilon_{1}$
		$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right\|\leqslant\lambda(A+B+C)\left(1+Q+\ldots+Q^{s-1}\right)\varepsilon_{1},$

ou bien, d’après la signification du nombre $Q$ ,

\left|\varrho_{ik}^{(s)}\right|,\left|\varrho_{ik}^{(s)^{\prime}}\right|,\left|\varrho_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right|\leqq\left(Q+Q^{2}+\cdots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}

(25)

En revenant aux formules (20), (24) nous aurons

		$\displaystyle z^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=z_{ik}^{(s)}+R_{ik}^{(s)}$
		$\displaystyle p^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=p_{ik}^{(s)}+R_{ik}^{(s)^{\prime}}$
		$\displaystyle q^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)=q_{ik}^{(s)}+R_{ik}^{(s)\prime^{\prime\prime}}$

où

		$\displaystyle R_{ik}^{(s)}=r_{ik}^{(s)}+\varrho_{ik}^{(s)}$
		$\displaystyle R_{ik}^{(s)^{\prime}}=r_{ik}^{(s)^{\prime}}+\varrho_{ik}^{(s)^{\prime}}$
		$\displaystyle R_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}=r_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}+\varrho_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}$

et tenant compte des inégalités (22) et (25) nous aurons

\left|R_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime}}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right|\leqslant\left(1+Q+\ldots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}.

En comparant les formules (26), (27) avec les formules (18), (19) il résulte que les formules (26), (27) sont valables pour $s=12,\ldots$ , v.
20. Nous avons donc établi un algorithme pour le calcul des nombres $z_{ik}^{(s)},p_{ik}^{(s)},q_{ik}^{(s)}$ . Les nombres $z_{ik}^{(0)},q_{ik}^{(0)},q_{ik}^{(0)}$ sont donnés par les formules (5), et les nombres $z_{ik}^{(s)},p_{ik}^{(s)},q_{ik}^{s)}$ pour $s=1,2,\ldots,v$ , sont donnés pas les formules de récurrence (23).

Pour pouvoir appliquer les formules de récurrence (23), il faut montrer qu’on peut choisir $\varepsilon_{1}$ de façon que les points de coordonnées $\left(x_{j},y_{l}\right.$ , $\left.z_{jl}^{(s)},p_{jl}^{(s)},q_{jl}^{(s)}\right)$ où $s=0,1,2,\ldots,\nu$ , se trouvent dans le domaine $D$ de définition de la fonction $f(x,y,z,p,q)$ . Pour $s=v$ nous avons

		$\displaystyle z_{jl}^{(v)}=z^{(v)}\left(x_{j},y_{l}\right)-R_{jl}^{(v)}$
		$\displaystyle p_{jl}^{(v)}=p^{(v)}\left(x_{j},y_{l}\right)-R_{jl}^{(v)^{\prime}}$
		$\displaystyle q_{jl}^{(v)}=q^{(v)}\left(x_{j},y_{l}\right)-R_{jl}^{(v)^{\prime\prime}}.$

Puisque les noeuds $\left(x_{j},y_{l}\right)$ sont pris dans le rectangle $\Delta$ , nous avons d’après les formules (8)

\left|z^{(\nu)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right|\leqq\alpha-\delta,\quad\left|p^{(\nu)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right|\leqq\beta-\delta,\quad\left|q^{(\nu)}\left(x_{j},y_{l}\right)\right|\leqq\gamma-\delta

et alors les formules précédentes montrent que

		$\displaystyle\left\|z_{jl}^{(v)}\right\|\leqq\alpha-\delta+\left\|R_{jl}^{(v)}\right\|\leqq\alpha-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{\nu}\right)\varepsilon_{1}$
		$\displaystyle\left\|p_{jl}^{(v)}\right\|\leqq\beta-\delta+\left\|R_{jl}^{(v)}\right\|\leqq\beta-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{\nu}\right)\varepsilon_{1}$
		$\displaystyle\left\|q_{jl}^{(v)}\right\|\leqq\gamma-\delta+\left\|R_{jl}^{(v)^{\prime\prime}}\right\|\leqq\gamma-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{\nu}\right)\varepsilon_{1}.$

Si nous prenons
nous aurons

\varepsilon_{1}<\frac{\delta}{1+Q+\ldots+Q^{v}}

(28)

\left|z_{ll}^{(v)}\right|\leqq\alpha,\quad\left|p_{ll}^{(v)}\right|\leqq\beta,\quad\left|q_{jl}^{(v)}\right|\leqq\gamma

et par suite le point de coordonnes $\left(x_{j},y_{l},z_{jl}^{(v)},p_{jl}^{(v)},q_{jl}^{(v)}\right)$ se trouve dans le domaine $D$ .

Pour un indice quelconque $s<v$ , nous avons par des calculs analogues
$\left|z_{jl}^{(s)}\right|\leqq\alpha-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}<\alpha-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{\nu}\right)\varepsilon_{1}<\alpha\left|p_{jl}^{(s)}\right|\leqq\beta-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}<\beta-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{v}\right)\varepsilon_{1}<\beta\left|q_{ji}^{(s)}\right|\leqq\gamma-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}<\gamma-\delta+\left(1+Q+\ldots+Q^{\nu}\right)\varepsilon_{1}<\gamma$ , ce qui prouve que les points de coordonnées $\left(x_{j},y_{l},z_{jl}^{(s)},p_{jl}^{(s)},q_{ji}^{(s)}\right)$ pour $s=0,1,2,\ldots,v-1$ se trouvent dans le domaine $D$ .

Donc en supposant que $\varepsilon_{1}$ vérifie l’inégalité (28), les formules (13), et en général les formules (23) sont valables pour $s=1,2,\ldots,\nu$ .
21. Nous pouvons maintenant préciser le nombre $\varepsilon_{1}$ . En faisant dans les formules (20) et dans les inégalités (27) $s=v$ et en tenant compte de l’inégalité (28), prenons

\varepsilon_{1}=\min\left(\frac{\delta}{1+Q+\ldots+Q^{\nu}},\frac{\varepsilon}{1+Q+\ldots+Q^{\nu}}\right).

(29)

Nous aurons alors dans les formules (26) pour $s=v$ ,

\left|R_{ik}^{(v)}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(v)^{\prime}}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(v)^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon

(30)

et pour $s<v$ nous aurons dans les formules (26)

\left|R_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime}}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right|\leqslant\left(1+Q+\cdots+Q^{s}\right)\varepsilon_{1}<\left(1+Q+\ldots+Q^{v}\right)\varepsilon_{1}

c’est à dire

\left|R_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime}}\right|,\quad\left|R_{ik}^{(s)^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon.

(31)

22.

En résumé la méthode de calcul numérique des valeurs de i’intégrale $z(x,y)$ et de ses dérivées partielles $p(x,y),q(x,y)$ sur les noeuds du réseau $I$ est la suivante : on calcule d’abord les nombres $z_{ik}^{(s)},p_{ik}^{(s)},q_{ik}^{(s)}$ par les formules (5) et (23). Ensuite nous avons les formules (26) et d’après les inégalités (30) et (31), nous avons

\left|z^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|p^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(s)}\right|,\quad\left|q^{(s)}\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(s)}\right|<\varepsilon

(32)

pour $s=0,1,\ldots$ ,
Considérons les inégalités

		$\displaystyle z\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(v)}=\left[z\left(x_{i},y_{k}\right)-z^{(v)}\left(x_{i},y_{k}\right)\right]+\left[z^{(v)}\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(v)}\right]$
		$\displaystyle p\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(v)}=\ldots$
		$\displaystyle q\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(v)}=\ldots$

et tennons compte des inégalités (5) du § 1 et (32). Nous aurons

	$\displaystyle\left\|z\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$		(33)
	$\displaystyle\left\|q\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$

Ainsi nons avons attaché à un nombre positif $\varepsilon$ donné un réseau $I$ formé par les noeuds ( $x_{i},y_{k}$ ) et un algorithme permettant le calcul des nombres $z_{ik}^{(s)},p_{ik}^{(s)},q_{ik}^{(s)}$ rélativement à ce réseau, pour $s=0,1,\ldots,v$ ,
ces nombres étant pour $s=v$ , les valeurs approchées de l’intégrale $z(x,y)$ et de ses dérivées partielles $p(x,y),q(x,y)$ sur les noeuds du réseau, les valeurs absolues des différences $z\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(v)},p\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(v)},q\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(i)}$ étant plus petites que $2\varepsilon$ .

BIBLIOGRAPHIE

[1] Radon J., Restausdrücke bei Interpolations und Quadratur Formeln durch bestimmte Integralen. Monatshefte für Mathematik und Physik 42, 389 (1935).
[2] Ionescu D. V., Cuadraturi numerice. București, Editura Tehnică 1957. Reçu le 25. XI. 1959.

MATHEMATICA VOL. 1 (24), 2, 1959. pp. 281-286

APPLICATIONS DES FONCTIONS CONVEXES GENERALISEES

par

1.

Dans ce travail nous allons donner des applications de la notion de fonction convexe par rapport à un ensemble de fonctions interpolatoires, que nous avons introduite dans notre travail [3].

Soit $E$ un ensemble de points sur l’axe réelle et $f_{n}$ un ensemble de fonctions réelles et d’une variable réelle. Dans [3] nous avons donné la

Définition 1. L’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ s’appelle interpolatoire d’ordre $n$ sur $E$ ou simplement ensemble du type $I_{n}\{E\}$ si :
(A) Les éléments de $\mathscr{F}_{n}$ sont des fonctions continues sur $E$ .
(B) Quels que soient les $n$ points distincts de $E$
(1)

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}

et quels que soient les $n$ nombres
(2)

y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}

il existe une fonction et une seule $\varphi(x)\in\mathscr{F}_{n}$ , tel que l’ont ait

\varphi\left(x_{i}\right)=y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n.

(3)

Pour mettre en évidence les conditions (3) et l’ensemble $\mathscr{F}_{n}$ , nous employons pour la fonction $\varphi(x)$ qui vérifie les conditions (3) la notation
et aussi

L\left(\mathcal{F}_{n};x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\mid x\right)

L\left(\mathscr{F}_{n};x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)

lorsque $f(x)$ est une fonction qui prend les valeurs (2) aux points correspondants (1).

Considérons un système de $n+1$ points distincts de l’ensemble $E$

	$\displaystyle\left\|z(x,y)-z^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p(x,y)-p^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$		(5)
	$\displaystyle\left\|q(x,y)-q^{(\nu)}(x,y)\right\|\leqslant\varepsilon$

	$\displaystyle\left\|z^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{k}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon$		(9)
	$\displaystyle\left\|q^{(\nu)}\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(\nu)}\right\|<\varepsilon.$

	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)}\right\|\leqslant\lambda\mu\frac{i}{n}\frac{k}{m}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\lambda\mu(A+B+C)\varepsilon_{1}$
	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime}}\right\|\leqslant\mu\frac{k}{m}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\mu(A+B+C)\varepsilon_{1}$		(14)
	$\displaystyle\left\|\varrho_{ik}^{(1)^{\prime\prime}}\right\|\leqslant\lambda\frac{i}{n}(A+B+C)\varepsilon_{1}\leqslant\lambda(A+B+C)\varepsilon_{1}$

	$\displaystyle\left\|z\left(x_{i},y_{k}\right)-z_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$
	$\displaystyle\left\|p\left(x_{i},y_{k}\right)-p_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$		(33)
	$\displaystyle\left\|q\left(x_{i},y_{k}\right)-q_{ik}^{(\nu)}\right\|<2\varepsilon$

Formules de cubature. Application à l’intégration numérique des équations aux dérivées partielles du second ordre de type hyperbolique

Abstrait

Traduction en anglais du titre

Auteur(s)

Mots-clés

PDF

Pour citer ce travail

Sur ce travail

Journal

Publié par

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Références

HTML forme du travail (preprint)

FORMULES DE CUBATURE. APPLICATION À L’INTÉGRATION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

I. FORMULES DE CUBATURE

§. Première formule de cubature

§ 2. Seconde formule de cubature

$. 3. Calcul approché d’une intégrale double dans un rectangle $D$

II. LINTÉGIATION NUMÉRIQUE DE L’EQUATION AUX DERIVÉES PARTHELES DU SECOND ORDIRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

s. 1. Considérations générales et hypothèses

§. 2. Application de la formule de cubature (21, $1, I)

BIBLIOGRAPHIE

MATHEMATICA VOL. 1 (24), 2, 1959. pp. 281-286

APPLICATIONS DES FONCTIONS CONVEXES GENERALISEES

Related Posts

Formules de cubature. Application à l’intégration numérique des équations aux dérivées partielles du second ordre de type hyperbolique

Abstrait

Traduction en anglais du titre

Auteur(s)

Mots-clés

PDF

Pour citer ce travail

Sur ce travail

Journal

Publié par

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Références

HTML forme du travail (preprint)

FORMULES DE CUBATURE. APPLICATION À L’INTÉGRATION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

I. FORMULES DE CUBATURE

§. Première formule de cubature

§ 2. Seconde formule de cubature

$. 3. Calcul approché d’une intégrale double dans un rectangle DD

II. LINTÉGIATION NUMÉRIQUE DE L’EQUATION AUX DERIVÉES PARTHELES DU SECOND ORDIRE DE TYPE HYPERBOLIQUE

s. 1. Considérations générales et hypothèses

§. 2. Application de la formule de cubature (21, $1, I)

BIBLIOGRAPHIE

MATHEMATICA VOL. 1 (24), 2, 1959. pp. 281-286

APPLICATIONS DES FONCTIONS CONVEXES GENERALISEES

Related Posts

$. 3. Calcul approché d’une intégrale double dans un rectangle $D$