SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS D’UNE OU DE DEUX VARIABLES RÉELLES.

Tiberiu Popoviciu
Ancien Élève de 1’École Normale Supérieure

par

Reque le 8 mars 1933.

Introduction.

Dans la théorie des fonctions on cherche à approfondir l’étude des fonctions très générales qui se rapprochent, d’une certaine manière, de fonctions connues. Les fonctions les plus simples sont les polynomes, il est donc tout naturel d’étudier les fonctions auxquelles certaines propriétés des polynomes s’appliquent. C’est d’un tel problème que nous nous occupons dans la première partie de ce travail.

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=\frac{\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)}

où $\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)$ est le déterminant d’ordre $n+1$ dont la ligne générale est $1x_{i}x_{i}^{2}\ldots x_{i}^{n-1}f\left(x_{i}\right)$ et $\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)==\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};x^{n}\right)$ .

La $n^{\text{ème }}$ différence divisée d’un polynome de degié $n$ est constamment égale à un même nombre ; ce nombre est nul si le polynome est de degré $n-1$ . Nous examinons les tonctions dont la nème différence divisée est bornée. Nous considérons également la nème variation totale (ou la variation totale d’ordre $n$ ) d’une fonction, qui est par définition égale à la limite supérieure de la somme

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{m-1}\left|\Delta_{n}^{i}-J_{n}^{i+1}\right|\\ \Delta_{n}^{i}=\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n};f\right],\quad i=1,2,\ldots,m-n\\ x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m}\end{gathered}

lorsqu’on fait varier les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ et leur nombre de tou-
tes les manières possibles sur l’ensemble de définition de la fonction. Nous dirons que la fonction est à nème variation bornée si sa variation totale d’ordre $n$ est finie. Nous étudions après les fonctions dont la $(n+1)$ ème différence divisée ne change pas de signe. Nous dirons qu’une telle fonction est d’ordre $n$ . Pour $n=0$ nous avons les fonctions monotones et pour $n=1$ les fonctions convexes (ou concaves) ordinaires. Nous signalons les principales propriétés de ces fonctions et nous montrons leur rapport avec les fonctions à nème différence divisée bornée et les fonctions à nème variation bornée.

Si la fonction $f(x)$ est à ( $n+1$ jème différence divisée bornée on peut évidemment déterminer $\lambda$ tel que la fonction $f(x)+\lambda x^{n+1}$ soit d’ordre $n$ . Nous montrons aussi qu’une fonction à nème variation bornée est la différence de deux fonctions d’ordre $n$ .

Nous étudions aussi la dérivation des fonctions précédemment définies, après avoir completé certaines recherches de Stieltjes sur la nème dérivée d’une fonction. Nous examinons la limitation de la dérivée d’une fonction d’ordre $n$ définie dans un intervalle. On trouve ainsi que les fonctions d’ordre $n$ se comportent à peu près comme les polynomes de degré $n$ , tout au moins dans un intervalle intérieur convenablement choisi

Dans la seconde partie nous essayons d’étendre pour les fonctions de deux variables les résultats obtenus pour les fonctions d’une seule variable.

La différence divisée d’ordre $(m,n)$ de $f(x,y)$ pour les $k==(m+1)(n+1)$ points $M_{i}\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,k$ est égale au quotient

\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};f\right]_{m,n}=\frac{\mathrm{U}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};f\right)}{\mathrm{V}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k}\right)}

où $\mathrm{U}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};f\right)$ est le déterminant dont la ligne générale est $1x_{i}x_{i}^{2}\ldots\ldots x_{i}^{m}y_{i}x_{i}y_{i}\ldots x_{i}^{m}y_{i}\ldots y_{i}^{n}x_{i}y_{i}^{n}\ldots x_{i}^{m-1}y_{i}^{n}f\left(x_{i},y^{i}\right)$ et $\mathrm{V}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k}\right)=\mathrm{U}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};x^{m}y^{n}\right)$ . Nous supposons, bien entendu que les points $\mathrm{M}_{i}$ soient tels que le déterminant $\mathrm{V}_{m,n}$ soit différent de zéro.

Nous étudions ces différences divisées et nous montrons qu’on peut établir une analogie complète entre le cas d’une et le cas de deux variables.

Dans le dernier Chapitre nous donnons une généralisation des fonctions convexes et des fonctions doublement convexes (Voir P. Montel, Journal de Math. 9ème série, t. 7 (1928), p. 29-60) de deux variables.

Nous sommes heureux de pouvoir exprimer ici l’hommage de notre profonde reconnaissance à M. P. Montel qui nous a beaucoup encourage et dont les conseils précieux nous ont été très utiles pour la rédaction de ce travail.

première partie.

SUR QUELQUES PROPRIÉTES DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR

CHAPITRE 1.

-SUR LES DIFFÉRENCES DIVISÉES DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE.

§ 1. - Fonctions à différence divisée bornée et fonctions

à variation hornée.

1.

Nous considérons des fonctions $f(x)$ définies, uniformes et rêelles de la variable réelle $x$ sur un ensamble linéaire et borné E. A tout point de E correspond une valeur finie et bien déterminée pour $f(x)$ . Nous désignons par a l’extrémité gauche et par $b$ l’extrémité droite de l’ensemble E. Les points $a$ et $b$ sont déterminés quel que soit E. Nous désignons par $\mathrm{E}^{\prime},\mathrm{E}^{\prime\prime},\ldots$ , les ensembles dérivés successifs de k . Nous disons qu’un ensemble $\mathrm{E}_{1}$ est complètement intérieur à E si tous ses points appartiennent à E et si ses extrémités $a_{1},b_{1}$ sont intéricurs à l’intervalle ( $a,b$ ), ( $a<a_{1}\leq b_{1}<b$ ).

Nous disons qu’une suite de points de l’axe de la variable $x$ est - ordonnée ou bien que ces points sont ordonnés si leurs abscisses rap– portées à une origine fixe sont rangées par ordre de non décroissance. Nous supposons d’ailleurs, sauf avis contraire, que tous les points d’une telle suite sont distincts.

Nous appelons polynome l (polynome de Lagrange-Hermite) le polynome de plus petit degré

\mathrm{P}\left(\alpha_{1}\right)=\mathrm{P}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots\alpha_{k};f\mid x\right)

vérifiant les conditions (l) : (los accents désignent des dérivations)
( ² ) Hermite a généralisé les polynomes de Lagrange dans son mémoire „Sur la formule d’interpolation de Lagrange". Journal für die Reine und Bangew. Math t. 84 (1878) p. 70.

\begin{array}[]{ccc}\mathrm{P}\left(\alpha_{1}\right)=f\left(\alpha_{1}\right)&\mathrm{P}\left(\alpha_{p+1}\right)=f\left(\alpha_{p+1}\right)&\mathrm{P}\left(\alpha_{p+q+1}\right)=f^{\prime}\left(\alpha_{p+q+1}\right)\ldots\\ \mathrm{P}^{\prime}\left(\alpha_{2}\right)=f^{\prime}\left(\alpha_{2}\right)&\mathrm{P}^{\prime}\left(\alpha_{p+2}\right)=f^{\prime}\left(\alpha_{p+2}\right)&\mathrm{P}^{\prime}\left(\alpha_{p+q+2}\right)=f^{\prime}\left(\alpha_{p+q+2}\right)\ldots\\ \mathrm{P}(p-1)\left(\alpha_{p}\right)=f^{(p-1)}\left(\alpha_{p}\right)&\mathrm{P}^{(q-1)}\left(\alpha_{p+q}\right)=f^{(q-1)}\left(\alpha_{p+q}\right)&\mathrm{P}^{(r-1)}\left(\alpha_{p+q+r}\right)=f^{(r-1)}\left(\alpha_{p+q+r}\right)\\ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{p},&\alpha_{p+1}=\alpha_{p+2}=\ldots=\alpha_{p+q},&\alpha_{p+q+1}=\alpha_{p+q+2}=\ldots=\alpha_{q+p+r},\ldots\\ p+q+r+\cdots=k.\end{array}

On sait que ce polynome est unique.
Enfin nous appelons avec M. Nörlund ⁽²⁾ différence divisée d’ordre : $\boldsymbol{k}$ de la fonction $f(x)$ pour les points distincts $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots\alpha_{k+1}$ l’expression définie par la relation de récurrence

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+};f\right]=\frac{\left[\alpha_{2},\alpha_{3},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]-\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]}{\left[\alpha_{k};f\right]=f(\alpha)}

(1)

La quantité (l) est symétrique par rapport aux points $\alpha_{i}$ et peuit se mettre sous la forme d’un quotient

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]=\frac{\mathrm{U}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right)_{i}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)_{j}}

où

\mathrm{U}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right)=\left|\begin{array}[]{cccccc}1&\alpha_{1}&\alpha_{1}^{2}&\ldots&\alpha_{1}^{k-1}&f\left(\alpha_{1}\right)\\ 1&\alpha_{2}&\alpha_{2}^{2}&\ldots&\ldots&\alpha_{2}^{k-1}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 1&\alpha_{k+1}&\alpha_{k+1}^{2}&\ldots&\alpha_{k+1}^{k-1}&\ldots\\ 1&\ldots&\ldots&\ldots\end{array}\right|

\mathrm{V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)=\mathrm{U}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};x^{k}\right)

est le déterminant de Van der Monde des quantités $\alpha_{i}$ .
De la formule (1) on peut en déduire d’autres que sous signalem rons à mesure de leur emploi. Remarquons icj que
(2)

f\left(\alpha_{k+1}\right)-\mathrm{P}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};\left.f\right|^{\frac{1}{\alpha}}\alpha_{k+1}\right)=

$=\frac{\mathrm{U}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right)}{\mathrm{V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)}=\frac{\mathrm{V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)}{\mathrm{V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)}\cdot\left\lfloor\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+r};f\right]$ .
Il en résulte que si $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]=0,f(x)$ prend sur E less mêmes valeurs qu’un polynome. Nous disons alors que $f(x)$ est unefonction polynomiale.
2. Considérons les différences divisées

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]

⁽²⁾ N. E. Nöblund „Leçons sur les séries d’interpolation." p. 2.
sur tous les groupes de $n+1$ points distincts de E . Si E contient moins de $n+1$ points on peut indifféremment supposer que la nème différence divisée n’existe pas ou bien qu’elle soit identiquement nulle.

Posons

\varlimsup_{(\operatorname{sur}E)}\cdot\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|=\Delta_{n}[f;E].

Ce nombre sera appelé la nème borne de $f(x)$ sur $\mathrm{E}\Delta_{n}[f;\mathrm{E}]$ peut être désigné aussi par $\Delta_{n}[f]$ ou même $\Delta_{n}$ quand il n’y a pas d’ambiguité et par $\Delta_{n}\stackrel{{\scriptstyle b}}\mid$ quand il s’agit d’un intervalle ( $a,b$ ).

Nous disons que la fonction est à nème différence divisée bornée :sur E si $\Delta_{n}$ est fini.

Le cas $n=0$ est celui des fonctions bornées ; $n=1$ celui des fonections vérifiant une condition de lipschitz ordinaire.
3. Considérons $m$ points ordonnés

x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}

(3)

—

et soient

	$\displaystyle\dot{\Delta}_{k}^{i}=\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+k};f\right]$		(4)
	$\displaystyle\hat{\imath}=1,2,\ldots,m-k,\quad k=0,1,2,\ldots,m-1$		(i)

des différences divisées d’une fonction définie en ces points.
La somme

v_{n}=\sum_{i=1}^{m-n-1}\left|\Delta_{n}^{i+1}-\Delta_{n}^{i}\right|

(5)

est la nème variation de $f(x)$ sur les points (3).
Soit $f(x)$ définie sur un ensemble E. Les variations $v_{n}$ sur toutes les suites ordonnées de E ont une limite supérieure $\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]$ . Nous désignons ce nombre par $\mathrm{V}_{n}[f],\mathrm{V}_{n}$ ou $\mathrm{V}_{n}[f]$ et nous l’appelons la nème variation totale de $f(x)$ sur E.

Nous dirons que la fonction est à nème variation bornée sur E si $V_{n}$ est fini.

Le cas $n=0$ est celui des fonctions à variation bornée ordinaire de Jordan ${}^{(3)};n=1$ a été implicitement considéré déjà par M. De la
( ³ ) Pour l’étude de ces fonctions voir H. Lebesgue „Leçons sur l’intégration … etc." $2^{\text{ème }}$ ed. (1928) p. 96 ; ou encore L. Tonelli „Fondamenti di Calcolo della variazioni" t. I, p. 40.

Vallée Poussin ( ⁴ ) et étudié d’une manière générale par M. A. Winternitz $\left({}^{5}\right)$ .

S. 2. - Propriétés des fonctions dont la nème différence divisée

est bornée.
4. Soient $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{j};\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{j};\alpha_{j+1}=\beta_{j+1},\alpha_{j+2}=\beta_{j+2},\ldots,{}_{2}\alpha_{k}=\beta_{k},k+j$ points distincts ( $1\leq j\leq k$ ). Nous avons-d’après la formule (1)
$\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{i},\beta_{i},\beta_{i+1},\ldots,\beta_{k};f\right]=$

=\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{i},\beta_{i+1},\ldots,\beta_{kj};f\right]-\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{i-1},\beta_{i},\ldots,\beta_{k};f\right]_{j}

Faisant $i=1,2,\ldots,k$ , ajoutant membre à membre et supprimant les termes identiquement nuls nous en déduisons la formule suivanie :
(6) $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]-\left[\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{k};f\right]=$

=\sum_{i=1}^{j}\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{i},\beta_{i},\beta_{i+1},\ldots,\beta_{k};f\right]

(pour $j=1$ nous avons la formule (1) elle même).
Cette formule permet d’écrire
(7) $\left.\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]\right|\leq\left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]\right|+\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-x_{i}^{\prime}\right|\right)\right\}.A_{n}[f\mid]$

<\left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]\right|+n(b-a).\Delta_{n}[f]

donc toute fonction à nème différence divisée bornée est aussi à ( $n-1$ )ème différence divisée bornée.

En particulier toute fonction à nème différence divisée bornée est bornée.

On voit encore que la fonction est à nombre dérivés bornés si $n>1$ ; elle est donc aussi continue dans ce cas.

La continuité résulte également de la formule suivante :
(8) $\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime};f\right]\right|<2n\Delta_{n}$ . §

\delta_{i}=\max.\left|\frac{x_{i}-x^{\prime}}{\delta_{i}}\right|\leq 1\left({}^{6}\right)

(4) Ch. de la Vallée Poussin "Note sur l’approximation par un polynomed’une fonction dont la dérivée est à variation bornée ${}^{\text{" }}$ Bull. Aead. Belgique1908 p. 403.
( ⁵ ) A. Winternitz "Über eine Klasse von linearen Funktional Ungleichungen und über konvexe Funktionale ⁴. Berichte kön, sächsischen Gesellschs der Wissensch. zu Leipzig t. 69 (1917) p. 349.
(6) Par la notation max $\left(a_{1},a_{2},\ldots\right.$ ) ou $\max_{i=1,2,\ldots}\left(a_{i}\right)$ nous désignons le(ou les) plus grand des nombres $a_{1},a_{2},\ldots$ . Notation analogue pour le plus petit de ces nombres.
$\delta=$ longueur du plus petit intervalle contenant
les points $x_{1},x_{2},\ldots,x,x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime}$

i=1,2,\ldots,n+1

Soit $x^{\prime}$ un point de $\mathrm{E}^{\prime}$ n’appartenant pas à E . Si, quelle que soit la manière dont le point $x$ de E tend vers $x^{\prime},f(x)$ tend vers une même limite finie et bien déterminée, nous pouvons encore dire que la fonction est continue au point $x^{\prime}$ en prenant $f(\dot{x})$ égai à cette limite.

Il existe toujours un sous-ensemble dénombrable $\mathrm{E}^{*}$ de E tel que $\mathrm{E}-\mathrm{E}^{*}$ appartienne à $\mathrm{E}^{*\prime}$ et que la fonction continue $f(x)$ soit completement déterminée par ses valeurs sur $\mathrm{E}^{*}$ .

La formule (1) permet encore d’établir la suivante :

		$\displaystyle\left(\alpha_{k+1}-\alpha_{1}\right)\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]=$		(9)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\alpha_{i}-\alpha_{1}\right)\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]+\left(\alpha_{k+1}-\alpha_{i}\right)\left[\alpha_{2},\alpha_{3},\ldots,\alpha_{k+1};f\right].$

Si la suite $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}$ est ordonnée on voit que la $d$ frérence divisée $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{l-1},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]$ est comprise entre les différences divisées $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right],\left[\alpha_{2},\alpha_{3},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]$ .

Soit $\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{k+1}^{\prime}$ une suite partielle extraite de la suite ordonnée $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}$ et telle que $\alpha_{1}^{\prime}=\alpha_{1},\alpha_{k+1}^{\prime}=\alpha_{m}$ .

Par application répétée de la formule (9) nous obtenons

\left[\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{k+1}^{\prime};f\right]=\sum_{i=1}^{m-k}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{l}\left[\alpha_{i},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{i+k};f\right]\left({}^{7}\right)

(10)

où les $\mathrm{A}_{i}$ sont positifs, indépendants de la fonction $f(x)$ , et ont une somme égale à 1 .

Il en résulte que

\begin{array}[]{r}\min_{i=1,2,\ldots,m-k}\left(\left[\alpha_{i},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{i+k};f\right]\right)\leq\left[\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{k+1}^{\prime};f\right]\leq\\ \leq\max_{i=1,2,\ldots,m-k}\left(\left[\alpha_{i},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{i+k};f\right]\right)\end{array}

( ⁷ ) On peut remarquer d’une manière générale que si la somme

\sum_{i=1}^{m-k}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{l}\left[\alpha_{l},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{i+k};f\right]\quad\left(\mathrm{A}_{l}\text{ indépendanls de }f(x)\right)

ne dépend explicitement que de $f\left(\alpha_{1}^{\prime}\right)_{1},f\left(\alpha_{2}^{\prime}\right),\ldots,f\left(\alpha_{p}^{\prime}\right)_{1}\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{p}^{\prime}$ étant une suite partielle de $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}$ , elle est nécessairement de la form

\sum_{i=1}^{p-k}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i}^{\prime}\left[\alpha_{i}^{\prime},\alpha^{\prime}+1,\ldots,\alpha^{\prime}{}_{i+k};f\right]\quad\left(\mathrm{A}^{\prime}{}_{i}\text{ indépendants de }f(x)\right).

Un cas particulier de la formule (10) a été employé par M. A. Marchaud dans sa Thèse "Sur les dérivées et les différences des fonctions de variables réelles" (Paris 1927) p. 32.
et

\left|\left[\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{k+1}^{\prime};f\right]\right|\leq\max_{i=1,2,\ldots,m-k}\left(\left|\left\{\alpha_{l},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_{i+k};f\right]\right|\right).

Supposons que E soit un intervalle et soient $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime},2n+2$ points de cet intervalle.

Supposons que $n>0$ et écrivons

\xi_{i}=\frac{x_{1}+\lambda x_{i}^{\prime}}{1+\lambda},\quad i=1,2,\ldots,n+1.

La formule (8) montre que $\left|\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\right|$ est une fonction continue de $\lambda$ pour $\lambda\geq 0$ , égale pour $\lambda=0$ à $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]$ et pour $\lambda=+\infty$ à $\left[x^{\prime}{}_{1},x^{\prime}{}_{2},\ldots,x^{\prime}{}_{n+1};f\right]$ .

On en déduit donc la propriété suivante :
Si $\mathbf{E}$ est un intervalle $\epsilon t$ si $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=\mathbf{A}$ ,
$\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime};f\right]=\mathrm{B}$ , il existe dans tout intervalle contenant tous les points $x_{i},x_{i}^{\prime}$ une différence divisée prenant une valeur quelconque comprise entre $A$ ei $B$ .

La propriété n’est pas vraie pour $n=0$ puisque dans ce cas on a toujours $\delta=1$ dans la formule (8).

En particulier si la nème différence divisée reste en module plus grande qu’un nombre positif, elle garde un signe constant.

Soit $x_{1}^{*},x_{2}^{*},\ldots,x_{m}^{*}$ une suite ordonée telle que $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ en soit une suite partielle ( $x_{1}=x_{1}^{*},x_{n+1}=x^{*}{}_{m}$ ) et telle que

\max_{i=1,2,\ldots,m-1}\left(\left|x_{i+1}^{*}-x_{i}^{*}\right|\right)<\frac{\varepsilon}{n+1}

$\varepsilon$ étant un nombre positif.
Considérons les différences divisées

\text{ (11) }\quad d_{i}=\left[x_{i}^{*},x_{i+1}^{*},\ldots,x_{i+n}^{*};f\right]\quad i=-1,2,\ldots,m-n\text{. }

Supposons maintenant que $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=0$ et appliquons la formule (10). On voit alors qu’il doit exister au moins un indice $i$ pour lequel $d_{i}d_{i+1}\leq 0$ . De cette inégalité et de la propriété précédemment démontrée on déduit que

Si $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=0$ il existe, dans le plus petit intervalle contenant les points $x_{i}$ , un intervalle de longueur aussi petite qu’on veut où il y a au moins une différence divisée nulle.

En appliquant la propriété à la fonction $f-\mathrm{A}x^{n}$ et en regardant plus attentivement la démonstration, on voit que si $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]=\mathrm{A}$ , il existe un point $x$ dans le plus petit intervalle contenant les points $x_{i}$ tel que dans tout intervalle $\mathrm{I}(x;\eta)$ de milieu $x$ et de longueur $\eta$ il existe au moins une différence divisée prenant la valeur $A_{1}$

Nous pouvons voir encore que, de la formule (6), on peut déduire que si E est un intervalle et si

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]=0,\quad\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]=0}\\ x_{1},x_{1}^{\prime},x_{2},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n},x_{n}^{\prime}\quad\text{ ordonnés }\end{gathered}

on peut trouver dans l’intervalle ( $x_{1},x_{n}^{\prime}$ ) au moins une nème différence divisée nulle.
5. Il résulte de la définition que la nème borne sur un sousensemble est au plus égale à $\Delta_{n}$ .

Soit $c$ un point de $E$ et $E_{1},E_{2}$ les parties de $E$ comprises respectivement dans les intervalles fermés $(a,c),(c,b)$ . Nous allons montrer que si l’ensemble E est dense dans l’intervalle ( $a,b$ ) la nème iborne de $f(x)$ est égale à $\Delta_{n}[f;E]$ sur l’un au moins des ensembles $\mathbb{E}_{1},\mathrm{E}_{2}$ .

Pour $n=0$ la propriété est évidente, quel que soit E .
Supposons donc $n>0$ et considérons une suite de nombres positifs $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{m},\ldots$ tendant vérs zéro avec $\frac{1}{m}$ . Il existe, par définition, une différence divisée telle que

\left.\mid x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\left\lvert\,>\Delta_{n}-\frac{\varepsilon_{m}}{2}>\Delta_{n}-\varepsilon_{m}\right.

Si les points $x_{i}$ sont du même côté du point $c$ nous prenons cette différence divisée et nous la désignons par $\Delta_{n}\left(\varepsilon_{m}\right)$ . Dans le cas contraire, en appliquant au besoin la formule (9), on peut supposer que $c$ intervienne dans la différence divisée considérée.

Soit donc

\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},c,x_{i+1},\ldots,x_{n};f\right]\right|>\Delta_{n}-\frac{\varepsilon_{m}}{2}

(12)

La suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{l},c,x_{i+1},\ldots,x_{n}$ étant ordonnée. Appliquons la formule (9) en intercalant un nouveau point entre $c$ , $x_{i+1}$ [ce qui est toujours possible puisque E est supposé dense dans l’intervalle ( $a,b$ )] et prenons celle des différences divisées qui vérifie l’inégalité (12). En répétant ce procédé, deux cas peuvent se présenter :
10. Ou bien, il reste toujours $i$ points à gauche de $c$ et alors il y a des différences divisées $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},c,x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]$ vérifiant (12), les points $x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime}$ étant aussi près qu’on veut de c. Nous pouvons trouver alors une suite ordonnée $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{i}^{\prime\prime}{}_{1},\ldots,x_{n}^{\prime\prime}$ , c telle que la formule (8) nous donne
$\|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x^{\prime\prime}{}_{i+1},\ldots,x^{\prime\prime}{}_{n},c;f\right]\left|>\left|\left[r_{1},x_{2},\ldots x_{i},c,x^{\prime}{}_{i+1},\ldots,x^{\prime}{}_{n};f\right]\right|-\frac{\varepsilon_{m}}{2}\right.$
et alors

\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{i+1}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime},c;f\right]\right|>\Delta_{n}-\varepsilon_{m}.

Nous prenons cette différence divisée pour $\Delta_{n}\left(\varepsilon_{m}\right)$ .
$2^{0}$ . Ou bien, à un moment donné, il n’y a que $i-1$ points à gauche : de $c$ et nous sommes ramenés au cas $1^{0}$ .

Finalement il existe done toujours dans $\mathrm{E}_{1}$ ou $\mathrm{E}_{2}$ une différencedivisée $\Delta_{n}\left(\varepsilon_{m}\right)$ vérifiant les inégalités

La suite

\Delta_{n}\geq\left|\Delta_{n}\left(\varepsilon_{m}\right)\right|>\Delta_{n}-\varepsilon_{m}

\Delta_{n}\left(\varepsilon_{1}\right),\Delta_{n}\left(\varepsilon_{2}\right),\ldots,\Delta_{n}\left(\varepsilon_{m}\right),\ldots

a donc pour limite $\Delta_{-}$ . Or, il y a certainement une suite partielleinfinie située tout entière dans $\mathfrak{E}_{1}$ ou $\mathfrak{E}_{2}$ et cette suite a évidemment. la même limite $\Delta_{n}$ , ce qui prouve la propriété.

Nous en déduisons facilement que
La nème borne d’une fonction définie et à nème différence diviséebornée sur un ensemble dense dans un intervalle ( $a,b$ ) est la même que sur un sous-ensemble compris dans un sous-intervalle de ( $a,b$ ), de longueur aussi petite qu’on veut.

La démonstration précédente nous montre aussi que si E est dense dans un intervalle, la limite supéricure de $\left\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right\}\mid$ est égale à sa plus grande limite.

La formule (9) nous montre encore que si $\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|=\Delta_{n}$ la nème différence divisée est constamment égale à $\left\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right\}$ dans le plus petite intervalle contenant les points $x_{i}$ .

L’étude des fonctions dont la nème différence divisée est une constante A revient à celle des fonctions à nème différence nulle puisque $f-\mathrm{A}x^{n}$ est une telle fonction. Cette dernière est donc une fonction polynomiale. Pour préciser nous dirons qu’elle est une fonction polynomiale d’ordre $n-1$ . Elle prend sur E les valeurs d’un polynome de degré $n-1$ .

Si la borne $\Delta_{n}$ est atteinte par $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]$ la fonction est polynomiale d’ordro $n$ sur la partie de E comprise dans le plus petit. intervalle contenant les points $x_{i}$ . Si $\Delta_{n}>0$ , le degné du polynome : est effectivement égal à $n$ .
6. Entre deux bornes $\Delta_{n},\Delta_{m}$ il n’y a en général aucune relation. Reprenons la formule (7). La relation (1) nous montre que
(13)

\left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]\right|\leq A_{k}.\Delta_{k},k<n-1

où $\mathbf{A}_{\boldsymbol{k}}$ dépend des points $x^{\prime}{}_{\boldsymbol{i}}$ . Le minimum A de $\mathrm{A}_{k}$ dépend seulement. de l’ensemble E. Nous avons alors
(14)

\Delta_{n-1}\leq\mathrm{A}\cdot\Delta_{k}+\mathrm{B}\cdot\Delta_{n},k<n-1

où $\mathrm{A},\mathrm{B}$ ne dépendent que de l’ensemble E .
D’une manière générale entre trois bornes $\Delta_{p},\Delta_{q},\Delta_{r},p<q<r$ ir : $y$ a toujours une relation de la forme $\Delta_{q}\leq\mathrm{A}.\Delta_{p}+\mathrm{B}.\Delta_{r}$ , où A et B . ne dépendent que de l’ensemble E.

Supposons en particulier que E soit un intervalle fermé $(a,b)$ . On peut écrire

	$\displaystyle\mid\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};fj\mid\right.$	$\displaystyle\leq\frac{2}{\left\|x_{1}^{\prime}-x_{n}^{\prime}\right\|}\cdot\Delta_{n-2}$
	$\displaystyle\min\cdot\frac{2}{\left\|x_{1}^{\prime}-x_{n}^{\prime}\right\|}$	$\displaystyle=\frac{2}{b-a}$

Les résultats du Nr. 5 nous montrent que pour rendre minimum le coefficient de $J_{n}$ dans la formule (7) il est permis de prendre

x_{2}^{\prime}=x_{3}^{\prime}=\cdots=x_{n-1}^{\prime}=x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}

On obtient alors la formule
(15)

\Delta_{n-1}\leq\frac{2}{a-b}\leftharpoonup_{n-2}+(b-a)\Delta_{n}

\begin{gathered}\left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]\right|\leq\frac{2\left(x_{n}^{\prime}+x_{n-1}^{\prime}-x_{1}^{\prime}-x_{2}^{\prime}\right)}{\left(x_{n}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)\left(x_{n-1}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)\left(x_{n}^{\prime}-x_{2}^{\prime}\right)}\Delta_{n-3}\\ n>3,x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<x_{n-1}^{\prime}<x_{n}^{\prime}\end{gathered}

\Delta_{n-1}\leq\frac{4}{(b-a)^{2}}\Delta_{n-3}+2(b-a)\Delta_{n}\quad(n>3)

Prenons encore

Le minimum du coefficient de $\Delta_{0}$ est égal à ( ⁸ )

\frac{2^{2n-3}}{(b-a)^{n-1}}

(8) Le maximum de l’invers de cette quantité est en effet égal au ₁ maximum du polynome $x^{n-1}+\ldots$ s’écartant le moins possible de zéro dans. l’intervalle ( $a,b$ ). Voir Ch. de la Vallée Potjssin „Leçons sur l’approximation. des fonctions d’une variable réelle" Chap. VI. Le polynome en question est :

\frac{(b-a)^{n-1}}{2^{2n-8}}\cos\left[(n-1)\arccos\frac{2x-a-b}{b-a}\right]

Voir : S. Bernștein "Leçons sur les propriétés extrémales . . . etc." p. 6.
avec

x_{i}^{\prime}=\frac{b+a}{2}-\frac{b-a}{2}\cos\frac{i-1}{n-1}\pi,\quad i=1,2,\ldots,n.

Nous avons alors

\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-x_{i}^{\prime}\right|\leq\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}^{\prime}-a\right|=\frac{b-a}{2}\left(n-\sum_{i=1}^{n}\cos\frac{i-1}{n-1}\pi\right)=\frac{n}{2}(b-a)

-d’où la relation
’(17)

\Delta_{n-1}\leq\frac{2^{2n-8}}{(b-a)^{n-1}}\Delta_{0}+\frac{n}{2}(b-a)\Delta_{n}

Dans les relations (15), (16), (17) on peut évidemment remplacer $-b-a$ par un nombre inférieur.

Les inégalités précédentes sont celles de M. Hadamard $\left({}^{9}\right)$ lorsqu’on :suppose l’existence de la nème dérivée. Nous les avons obtenues par une méthode très simple.
7. Si $f$ et $\varphi$ sont à nème différence divisée bornée, $f+\varphi$ , ef où $c$ est une constante sont aussi à nème différence divisée bornée.

Le produit de deux fonctions à nème différence divisée bornée est encore à nème différence divisée bornée. Cela résulte de la formule $\left({}^{10}\right)$

	$\displaystyle{\left[\alpha_{i},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f.\varphi\right]=\sum_{t=0}^{k}\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k-i+1};f\right].}$		(18)
	$\displaystyle{\left[\alpha_{k-i+1},\alpha_{k-i+2},\ldots,\alpha_{k+1};\varphi\right]}$

que l’on vérifie facilement par récurrence à l’aide de (1).
Plus généralement si $F$ et $f$ sont à nème différence divisée bornée , $\mathbf{F}(f)$ l’est aussi. Cela va résulter d’une formule donnant la différence - divisée d’une fonction de fonction.

Posons.

f_{i}=f\left(\alpha_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots,k+1

On a évidemment une relation de la forme

	$\displaystyle{\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};\mathrm{F}(f)\right]=\sum_{i=1}^{k}\left[f_{i},f_{i+1},\ldots,f_{k+1};\mathrm{F}\right].}$		(19)
	$\displaystyle.\mathrm{A}_{1}^{(k)}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)$

(9) Voir par ex. T. Carleman "Les fonctions quasi-analytiques" (Paris, 1926) Chap. II.
( ¹⁰ ) C’est l’analogun en termes finis de la formule de Leibnitz. Pour des points équidistants elle a été signalée par M. E. Jacobsthal „Mittelwertbildung und Reihentransformation" Math. Zeitschr. t. 6 (1920) p. 100.
les $\mathrm{A}_{i}^{(k)}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)$ ne dépendant que de la fonction $f(x)$ . Ces : quantités peuvent se calculer à l’aide des relations de récurrence

\begin{gathered}A_{i}^{(k)}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)=\sum_{j=1}^{i}\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]\cdot A_{i-j+1}^{(k+1)}\left(\alpha_{j},\alpha_{j+1},\ldots,\alpha_{k}\right)\\ A_{k}^{(k)}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)=\left[\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k+1};f\right)\end{gathered}

Si nous désignons par $d_{r}^{\prime},d_{r}^{\prime\prime},,\ldots,d_{r}^{(p)}$ des différences divisées : d’ordre $r$ de la fonction $f(x)$ sur des points $\alpha_{i}$ , convenablement choisis le coefficient $A_{i}^{(k)}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}\right)$ est de la forme

\sum d_{1}^{\prime}d_{1}^{\prime\prime}\ldots d_{1}^{(p)}d_{2}^{\prime}d_{2}^{\prime\prime}\ldots d_{2}^{(q)}\ldots d_{k}^{\prime}d_{k}^{\prime\prime}\ldots\dot{a}_{k}^{(t)}

(20)

avec

p+q+\cdots+t=k-i+1,\quad p+2q+\cdots+kl=k\left({}^{11}\right)

(21)

Par exemple si $f$ est à nème différence divisée bornée, $f^{k}$ l’est : aussi si $k\geq n\left({}^{12}\right)$ , ou bien si $k$ est un entier positif. Si $|f|>c>0$ . sur $\mathrm{E},f^{k}$ est à nème différence divisée bornée quel que soit $k$ . On en $\mathrm{en}^{\mathrm{a}}$ déduit que le quotient de deux fonctions à nème différence divisée bornée l’est aussi si le dénominateur reste en module plus grand qu’un nombre positif. Nous en déduisons aussi que le module d’une fonction à nème différence divisée bornée n’est pas en général à nème différence : divisée bornée si $n>1$ .

Considérons une famille de fonctions ( $f$ ) définies sur un même ensemble E. Désignons par $\Delta_{n}^{*}$ la limite supérieure des nèmes bornes des fonctions de cette famille. On voit tout d’abord que si $\Delta_{n}^{*}$ est fini. toute fonction limite de la famille est à nème différence divisée bornéeet sa borne ne dépasse pas $\Delta^{*}{}_{n}$ . Si $\Delta^{*}{}_{n}$ est fini, il ne résulte pas encoreque $\Delta_{0}^{*},\Delta_{1}^{*},\ldots,\Delta_{n-1}^{*}$ sont finis. Mais si $\Delta_{n}^{*},\Delta_{m}^{*}(m<n)$ sont finisil résulte des inégalités de M. Hadamard que $\Delta_{m+1}^{*},\Delta_{m+2}^{*},\ldots,\Delta_{n-1}^{*}$ sont aussi finis. Si les fonctions de la famille ne sont pas définies surle même ensemble des circonstances toutes différentes peuvent se présenter.

Considérons une suite d’ensembles finis $\mathrm{E}^{*}{}_{1},\mathrm{E}^{*}{}_{2},\ldots,\mathrm{E}_{m}^{*},\ldots$ chacun contenant le précédent et ayant pour limite $\mathrm{E}^{*}$ , évidemment dénom-. brable ; inversement, tout ensemble dénombrable peut s’obtenir de
(11) La somme (20) s’étend à toutes les solutions en nombres entiers et. positifs du système (21) et à chaque solution correspondent $\frac{(k-i+1)!}{p!q!\ldots t!}$ termes _… La formule (19) donne à la limite la dérivée kème d’une fonction de fonction
⁽¹²⁾ On considère bien entendu une branche réelle de la fonction $f^{k}$ .
cette manière. Soit une suite de fonctions $f_{1},f_{2},\ldots,f_{m},\ldots,f_{m}$ étant définie sur $\mathrm{E}_{m}^{*},m=1,2,\ldots$ , et telle que

\Delta_{0}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}^{*}\right]\leq\Delta_{0},\quad\Delta_{n}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}^{*}\right]\leq\Delta_{n},\quad m=1,2,\ldots

Il existe alors au moins une fonction limite $f(x)$ définie sur $\mathrm{E}^{*}$ wérifiant les inégalités

\Delta_{0}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\Delta_{0},\quad\Delta_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\Delta_{n}

La démostration est immédiate $\left({}^{13}\right)$ .

§ 3. Propriétés des fonctions à nème variation bornée.

8.

La formule (6) donne
(22) $\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|\leq\leq\left|\left[x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime};f\right]\right|+(n+1)V_{n}$ donc, toute fonction à nème variation bornée est à nème différence divisée bornée.

La réciproque n’est pas vraie.
De (1) et de (5) nous déduisons $\mathrm{V}_{n}\leq(n+1)(b-a)\Delta_{n!1}$ , donc toute tonciion à ( $n+1$ )ème différence divisée bornée est à nème variation bornée.

La réciproque n’est pas vraie ( ⁽¹⁴⁾.
Il èn résulte que toute fonction à nème variation bornée est aussi à $(n-1)$ ème variation bornée. En particulier une telle fonction est toujours bornée.

Posons $v_{n}=v_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ en mettant en évidence les points (3). Soit $v_{n}^{(m)}$ la limite supérieure des $v_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ lorsque les points varient sur E, leur nombre restant fixe. A tout $\varepsilon>0$ correspond donc au moins une suite (3) telle que

v_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)>v_{n}^{(m)}-\varepsilon

On démontre facilement, à l’aide de la formule (9), que si on ajoute un nouveau point $x$ , compris par exemple entre $x_{i},x_{i+1}$ , on a

v_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{l},x_{,}x_{i+1},\ldots,x_{m}\right)\geq v_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)

d’où

v_{n}^{(m+1)}>v_{n}^{(m)}-\varepsilon

⁽¹³⁾ La démonstration se fait par la méthode diagonale bien connue. Grâce aux travaux de M. Montel, c’est aujourd’hui une méthode courante dans ce genre de problèmes.
( ¹⁴ ) Il est facile de mettre en défaut la réciproque par des fonctions convenablement choisies et par des intégrations répétées.
donc

v_{n}^{(m+1)}\geq v_{n}^{(m)}

La quantité $v_{n}^{(m)}$ tend donc pour $m\rightarrow\infty$ vers une limite, qui est nécessairement égale à $\mathrm{V}_{n}$ . Si E contient $m$ points $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{V}_{n}^{(m)}$ . Si E contient une infinité de points $V_{n}$ est aussi la plus grande des limites des $v_{n}$ .

Il est à peu près évident que, si E* est un sous-ensemble de E, on a $\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]$ .

Prenons un point $c$ appartenant à $\mathrm{E}+\mathrm{E}^{\prime}$ et désignons par $\mathrm{E}_{4},\mathrm{E}_{2}$ , des parties de E comprises dans les intervalles fermés $(a,c),(c,b)$ .

Il est facile de voir que

\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{1}\right]+\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{2}\right]\leq[f;\mathrm{E}].

Supposons maintenant que $c$ appartienne à E. Soit $v^{\prime}{}_{n}$ la variation sur les points (3) auxquels on ajoute le point $c$ et $v_{n}^{\prime\prime},v_{n}^{\prime\prime\prime}$ les variations sur les points de cette suite qui sont respectivement dans $\mathrm{E}_{1}$ et $\mathbb{E}_{2}$ . On peut prendre les points (3) de manière que

v_{n}^{(m)}-\varepsilon<v_{n}\leq v_{n}^{\prime}\leq v_{n}^{\prime\prime}+v_{n}^{\prime\prime\prime}

d’où

\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]\leq\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{1}\right]+\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{2}\right].

Nous avons donc dans ce cas

\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]=\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{1}\right]+\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{2}\right]

(23)

9.

Si $n>0$ , une fonction à nème variation bornée est continue.

Soit E* un sous ensemble dénombrable de E, tel que E-E* apparđienne tout entier au dérivé de $\mathrm{E}^{*}$ ( $\mathrm{E}^{*}$ peut coïncider avec E ).

A toute variation $v_{n}$ et à tout nombre $\varepsilon>0$ , on peut faire correspondre une variation $v^{*}{}_{n}$ sur $\mathrm{E}^{*}$ telle que $v_{n}<v^{*}{}_{n}+\varepsilon$ , donc : $\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]\leq\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]$ .

Mais on a aussi $\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]\geq\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]$ , donc :

\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]=\mathrm{V}_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]

Nous pouvons toujours trouver une suite d’ensemble $\mathrm{E}^{*}$ finis $\mathbb{E}^{*}{}_{1},\mathrm{E}^{*}{}_{2},\ldots,\mathrm{E}^{*}{}_{m},\ldots$ , chacun contenant le précédent, telle que la fonction soit complètement déterminée par ces valeurs sur la limite $\mathrm{E}^{*}$ de cette suite, et telle aussi qua

\lim_{m\rightarrow\infty}\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}\left[f;\mathrm{E}_{m}^{*}\right]=\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]

Ces propriétés résultent de la continuité. Elles restent donc vraies pour $n=0$ si la fonction est continue. On voit aussi que dans ce cas (23) reste vraie même si $c$ est un point de $E^{\prime}$ :
10. Si $f,\varphi$ sont à nème variation bornée il en est de même pour $f+\varphi$ et $cf,c$ étant une constante.

La formule (19) permet de montrer que si $f$ est à nème variation bornée et F à $(n+1)$ ème différence divisée bornée, $\mathrm{F}(f)$ est à nème variation bornée. $f^{k}$ l’est aussi pourvu que $k\geq n+1$ ou bien égal à un nombre entier positif. La propriété est vraie quel que soit $k$ si $|f|>c>0$ . On en déduit que le quotient de deux fonctions à nème variation bornée est à nème variation bornée si le dénominateur reste en module plusgrand qu’un nombre positif.

Il est à remarquer que $f^{k}$ peut ne pas être à nème variatione bornée si $k<n+1$ . Par exemple la fonction

f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{(-1)^{n}}{n^{3}},\quad n=1,2,3,\ldots

est à variation bornée ordinaire (d’ordre 0 ) tandis que $f^{\frac{1}{3}}$ est à variation non bornée.

Si la nème variation totale des fonctions d’une famille ( $f$ ) reste-au-dessous d’un nombre fixe, toute fonction limite a une variation totale d’ordre $n$ au plus égale à ce nombre.

Soit enfin, comme au No. 7, une suite de fonctions $f_{1},f_{2},\ldots$ , $f_{m},\ldots$ , définies respectivement sur les ensembles finis $\mathrm{E}^{*}{}_{1},\mathrm{E}^{*}{}_{2},\ldots\pi_{\pi}\mathrm{E}^{*}{}_{m},\ldots$ et telles que

\Delta_{0}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}^{*}\right]\leq\Delta_{0},\quad\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}^{*}\right]\leqslant\mathrm{V}_{n}

il existe alors au moins une fonction limite définie sur l’ensemble limite $\mathrm{E}^{*}$ et vérifiant les inégalités

\Delta_{0}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\Delta_{0},\quad\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\mathrm{V}_{n}

La formule (22) nous montre d’ailleurs, par un raisonnement analogue à celui employé au No. 6 que

\Delta_{n}\leq\mathrm{A}\cdot\Delta_{0}+(n+1)\mathrm{V}_{n}

A étant un nombre fixe dépendant des ensembles $\mathrm{E}^{*}{}_{m}$ , cette inégalité étant vérifiée par toutes les fonctions $f_{m}$ . La limite $f(x)$ peut alors être déterminée et elle vérifie aussi l’inégalité

\Delta_{n}\left[f;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\mathrm{A}.\Delta_{0}+(n+1)\mathrm{V}_{n}

CHAPITRE II.

DÉFINITION ET PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES FCNCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR.
§. 1. - Classification des fonctions de variable réelle par rapport aux polynomes.
11. Considérons $n+2$ points ordonnés de l’ensemble E

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}

(24)

et représentons la fonction $f(x)$ par les points $A_{t}$ de coordonnées $x_{i},f\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n+2$ .

Le point $\mathrm{A}_{n+2}$ peut avoir trois positions différentes par rapport à la courbe représentative ( L ) du polynome

\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)

Il peut être au-dessus, sur ou au-dessous de (L). Nous dirons que la fonction est convexe, polynomiale, ou concave pour les points (24) suivant les trois cas.

Analytiquement, on aura les trois relations

f\left(x_{n+2}\right)=\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x_{n+2}\right)

La formule (2) permet d’écrire ces relations sous la forme

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n,2};f\right]\stackrel{{\scriptstyle>}}{{<}}0

(25)

Sous cette forme, on voit que la définition est indépendante de l’ordre des points.

Si les points (24) sont ordonnés on peut écrire aussi

\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)\stackrel{{\scriptstyle>}}{{<}}0

puisque dans ce cas, $\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)>0$ .
En général le point $A_{l}$ aura une disposition précise par rapport au polynome

\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n\mid 2};f\mid x\right).

(26)

La fonction est par exemple convexe si le point $A_{i}$ est au-dessus ou au-dessous de cette ligne suivant que $n+2-i$ est pair ou impair.

Nous pouvons donner la définition générale
La fonction sera appelée convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe ou concave d’ordre $n$ sur l’ensemble E suivant que les différences divisées d’ordre $n+1$ sur tous les groupes de $n+2$ points de E sont $>0,\geq 0,=0,\leq 0,<0$ .

Ces fonctions forment la classe des fonetions d’ordre $n$ .
Pour $n=0$ , nous avons les fonctions monotones. Pour $n=1$ les fonctions convexes ou concaves ordinaires.

Si la fonction $f(x)$ est convexe ou concave, $-f(x)$ est respectivement concave ou convexe. On peut prendre la fonction non-concave d’ordre $n$ comme type de fonction d’ordre $n$ . Les fonctions convexes et polynomiales peuvent alors être regardées comme des cas particuliers. Dans l’étude des fonctions d’ordre $n$ il s’agira toujours, sauf avis contraire, de fonctions non-concaves.

Il peut arriver qu’une fonction possède à la fois plusieurs propirétés de convexité d’ordre différents. Nous dirons qu’elle est de la classe ( $a,b,c,\ldots$ ) si elle possède des propriétés d’ordre $a,b,c,\ldots$ Pour mettre en évidence la nature de la fonction nous affecterons les nombres $a,b,c,\ldots$ d’indices de la manière suivante : $a,a^{*},a,a^{\prime},a^{\prime*}$ suivant que la fonction est non-concave, convexe, polynomiale, nonconvexe ou concave d’ordre $a$ . Il est quelquefois utile de distinguer les fonctions de signe invariable. Pour l’uniformité des notations, nous conviendrons de les appeler fonctions d’ordre -1, et nous affecterons ce nombre d’indices, comme plus haut, suivant que la fonction reste $>0,\geq 0,=0,\leq 0,<0$ .
12. Si nous faisons le changement de variables

x=\alpha x^{\prime}+\beta,\quad y^{\prime}=\gamma y+\delta,\quad f_{1}\left(x^{\prime}\right)=\gamma f\left(\alpha x^{\prime}+\beta\right)+\delta

nous obtenons facilement

\left[x_{4}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right]=\frac{\gamma}{\alpha^{n+1}}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]

Donc un changement d’axes de coordonnées ne change pas l’ordre de la fonction. Un changement d’unités sur les axes, ou un déplacement d’origine ne changent pas la nature de convexité de la fonction. La nature de la fonction rie change pas si on change l’orientation des deux axes, la fonction étant d’ordre pair, ou bien l’orientation de l’axe des abscisses, la fonction étant d’ordre impair. Dans les autres cas, la fonction non-concave (convexe) se change en une fonction non-convexe (concave).

Soient $a^{\prime},b^{\prime}$ , les extrémités d’un sous-ensemble complètement intérieur à E . Dans la suite (24) prenons le point $x_{1}$ dans i’intervalle
( $a,a$ , $a$ ) fermé à droite et $x_{n+2}$ dans l’intervalle ( $b^{\prime},b$ ) fermé à gauche. La fonction est, par définition, comprise entre les deux polynomes L

\mathbb{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right),\quad\mathrm{P}\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f\mid x\right)

Toute fonction d’ordre $n(\geq 0)$ est bornée sur tout sous-ensemble complètemsnt intérieur à l’ensemble sur lequel cette fonction est définie.

Si E contient ses extrémités, on peut prendre $x_{1}=a,x_{n+2}=b$ et on voit alors qu’une fonction d’ordre $n(\geq 0)$ définie sur un ensemble contenant ses extrémités est bornée.

Nous pouvons remarquer encore que si $f(x)$ est d’une classe donnée sur E, elle sera de même classe sur tout sous-ensemble de E à condition, bien entendu, de regarder la convexité et la polynomialité comme des cas particuliers de la non-concavité.
13. Occupons-nous des fonctions définies sur un ensemble fini.

Prenons une fonction définie sur la suite ordonnée (3) et employons les notations (4) ; on voit alors que

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que la tonction soit non-concave (convexe, polynomiale) d’ordre $n$ sur (3) sont :

\Delta_{n+1}^{i}\geq 0,(>0,=0),\quad i=1,2,\ldots,m-n-1.

Ces conditions sont, par définition, nécessaires. Montrons qu’elles sont suffisantes.

Il suffit de montrer que de l’hypothèse

\Delta_{n+1}^{1},\Delta_{n+1}^{2}\geqslant 0,\quad(>0,=0)

an peut conclure,

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+3};f\right]\geq 0,(>0,=0)}\\ i=2,3,\ldots,n+1\end{gathered}

Construisons des polynomes L

	$\displaystyle\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid=x\right),\quad\mathrm{P}\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f\mid x\right)$		(27)
	$\displaystyle\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+2};f\mid x\right)$		(28)

et soit le point $\mathrm{A}_{i}\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)$ . On vérifie sur la figure que si les signes me se correspondaient, pas le polynome (28) aurait en commun avec l’un au moins des polynomes (27) plus de $n$ points ⁽¹⁵⁾ ce qui ne saurait arriver que si les trois polyomes (27), (28) coincident. Il y a alors contradiction, ce qui démontre la propriété. En répétant ce procédé
⁽¹⁵⁾ Si deux polynomes coïncident sans se traverser, ce point compte cau moins pour deux points d’intersections.
on peut atteindre tous les groupes de $n+2$ points de ( 3 ). La propriêté. résulte d’ailleurs aussi très simplement de la formule (10).

La fonction étant non-concave d’ordre $n$ sur (3) la suite
(29)

\Delta_{n+1}^{1},\quad\Delta_{n+1}^{2},\ldots,\Delta_{n+1}^{m-n-1}

ne présente pas de variation de signe $\left({}^{16}\right)$ . La formule (1), montre alors : que la suite

\Delta_{n}^{1},\quad\Delta_{n}^{2},\ldots,\Delta_{n_{4}}^{m+n}

est non-décroissante. Si $f$ est convexe cette suite est oroissante et sir elle est polynomiale, la suite a tous ses termes égaux.

Une fonction polynomiale d’ordre $n$ est aussi polynomiale d’ordre : supérieur à $n$ , elle ne pout être que convexe, polynomials ; ou concaved’ordre $(n-1)\left({}^{17}\right)$ . Pour qu’une fonction diordre $n$ soit aussi d’ardre- $n-1$ il suffit d’ajouter une condition supplémentaire, comme nous le : montre la monotonie de la suite (30). Cette condition est mise en évidence dans le tableau suivant

		nature d’ordre $n$ de la fonction
		$n^{*}$	$n$	$\bar{n}$	$n!$	$n^{\prime*}$
propriété supplémenlaire		$\Delta_{n}^{1}>0$	$\Delta_{n}^{\prime}>0$	$\Delta_{n}^{\prime}>0$	$\Delta_{n}^{m-n}>0$	$\Delta_{ii}^{m-n}>0$
	$\frac{(n-1)^{*}}{(n-1)}$	$\Delta_{l}^{\prime}=0$	$\Delta_{n}^{\prime}=0$	impossibililé	$\Delta_{n}^{m-n}=0$	$\Delta_{n}^{m-n}=0$
	$(n-1)^{\prime}$	$\Delta_{n}^{m-n}=0$	$\Delta_{m}^{m-n}=0$	impossibililé	$\Delta_{n}^{1}=0$	$\Delta_{t}^{\prime}=0$
	$(n-1)^{\prime*}$	$\Delta_{n}^{m-n}<0$	$\Delta_{n}^{m-n}<0$	$\Delta_{n}^{1}<0$	$\Delta_{n}^{\prime}<0$	$\Delta_{n}^{\prime}<0$

Maintenant, pour que la fonction soit d’ordre $-1,1,2,\ldots$ , n il nous faut $m$ conditions au plus- (dont une constante additive éventuelle correspondant à l’ordre -1). Pourque la fonction soit de classe : donnée il suffira d’égaler les différences divisées $\Delta_{n+1}^{1},\Delta_{n+1}^{2},\ldots,\Delta_{n+1}^{m-n-1}$ , $\Delta_{n}^{i_{n}},\Delta_{n-1}^{i_{n-1}},\ldots,\Delta_{1}^{i_{1}}$ et $f\left(\mathscr{X}_{i_{0}}\right)$ à des nombres convenablement choisis, $i_{r}$ étant égal à 1 ou $m-j$ suivant le caractère de la classe. On voit. immédiatement que le système est toujours compatible sous les restrictions signalées, donc :

Il existe des fonctions d’une classe donnée d’avance sur m points ${}_{\text{p- }}$ pourvu que cette classe cérifie les conditions suivantes :
$1^{0}$ . La condition d’ordre $n$ élant polynomiale, toutes les conditions : d’ordre supérieur sont polynomiales.
( ¹⁶ ) Une suite $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots$ présente une varation de signe entre $\alpha_{m},\alpha_{m+1}$ si $\alpha_{m},\alpha_{m+1}<0$ . Si $\alpha_{m+1}=\alpha_{m+2}=\cdots=\alpha_{m+k-1}=0$ il yi as une variation de signe entre $\alpha_{m},\alpha_{m+k}$ lorsque $\alpha_{m}.\alpha_{m+k}.<0$ .
(17) Elle est dailleurs nécessairement d’ardre $n-1$ .
20. La condition d’ordre $n$ étant la plus petite condition de polymomialité la condition d’ordre $n-1$ est de convexité ou concavité.

Soit $f(x)$ une fonction d’ordre $n$ définie sur un ensemble quelconque. Je dis que si elle est polynomiale sur une suite ordonnée $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ elle sera nécessairement polynomiale sur toute la partie de E comprise dans l’intervalle fermé ( $x_{1},x_{n+2}$ ).

Soient $x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime}n+2$ points de E dans $\left(x_{1},x_{n+2}\right)$ non mécessairement tous distincts des $x_{i}$ . Il suffit évidemment de montrer que

\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime};f\right]=0

Or, parmi les points $x_{i}^{\prime}$ il y a au moins $un$ qui est distinct des $x_{i}$ , par exemple $x_{4}{}^{\prime}$ , supposons $x_{i}<x_{1}{}^{\prime}<x_{i+1}$ .

11 suffit de considérer les deux polynomes $L$
$\mathbb{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t},x_{1}{}^{0},x_{i+1},\ldots,x_{n};f\mid x\right),\mathrm{P}\left(x_{2},x_{3},\ldots,x_{i},x^{0}{}_{1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)$
pour woir que si $\mathrm{A}_{1}{}^{\prime}\left(x_{1}{}^{\prime},f\left(x_{1}{}^{\prime}\right)\right)$ ne se trouve pas sur

\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)

lla fonction ne peut être d’ordre n. Analytiquement, la propriété est ïmmédiate en vertu de la formule (10).
14. Si la fonction $f(x)$ est d’ordre $n$ sur (3) la suite (29) ne présente pas de variations de signes. On en déduit alors que la suite

\Delta_{n-k+1}^{1},\Delta_{n-k+1}^{2},\ldots,\Delta_{n-k+1}^{m-n+k-1}

(

(\{31)

)

présente $k$ variations de signes au plus ( ¹⁸ ).
Supposons que $f(x)$ soit définie et d’ordre $n$ sur E. Nous allons admettre que toute fonction définie sur moins de $n+2$ points soit d’ordre $n$ et que sa nature de convexité soit la plus défavorable pour des propriétés que nous avons en vue.

Nous dirons que deux différences divisées d’ordre quelconque

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r+1};f\right],\left[\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{r+1};f\right]

sont conséculives si on a

\alpha_{1}\leq\alpha_{2}\leq\ldots..<x_{r+1}\leq\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots<\beta_{r+1}

ou bien généralement
$\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{1}=\beta_{1}\leqslant\alpha_{i+1}=\beta_{2}<\ldots<\alpha_{r+1}=\beta_{r-i+2}<\beta_{r-i+3}<\ldots<\beta_{r+1}$
Considérons les points $\alpha,\beta,\gamma$ dans l’intervalle ( $a,b$ ) tels que $a\leq\alpha\leq\beta\leq\gamma\leq b$ . Soit $\mathrm{E}_{1}$ la partie de E comprise dans l’inter-

⁰⁰footnotetext: (18) Cela sésulte du fait que si

a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2},\ldots,a_{m}-a_{m-1}

, présente .

\pi

variations, la suite,

a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}

présente

k+1

variations au plus.

valle $(\alpha,\beta)$ et $E_{2}$ la partie de $E$ comprise dans $(\beta,\gamma)$ . Le point $\beta$ appartient à l’un au moins des ensembles $\mathrm{E}_{1}$ et $\mathrm{E}_{2}$ . Nous dirons alors quo $\mathrm{E}_{1},\mathrm{E}_{2}$ sont deux sous-ensembles consécutifs de $\mathbf{E}$ .

Soit maintenant $c$ un point intérieur à l’intervalle ( $a,b$ ). Je disque la fonetion est d’ordre $n-k$ dans le roisinage gauche et dons le voisinage droit de e.

Pour fixer les idées, démontrons la propriété pour le voisinage gauche. Considérons donc l’intervalle ( $a,c$ ) ouvert ò droite. Il faut démontrer qu’on peut trouver un point $c^{\prime}$ à gauche de $c$ tel que dansl’intervalle ( $c^{\prime},c$ ) ouvert à droite la fonction soit d’ordre $n-k$ . Si $c$ n’appartient pas à E’ ou bien si c est point limite seulement de droite la propriété est évidente puisq’il n’y a alors qu’un nombre fini de points à gauche de c. Supposons donc que c soit point limite de gauche de $E$ et supposons que le point $c^{\prime}$ n’existe pas. On peut alors trouver un point $\alpha$ à gauche de $c$ tel que dans l’intervalle ( $\alpha,c$ ) ouvert à droite il existe deux différences divisées $\Delta_{n-k+1}^{(1)},\Delta_{n-k+1}^{(2)}$ non nulles et de signes contraires. Les résultats du No. 13 nous montrent qu’on peut supposer que $\Delta_{n-k+1}^{(1)},\Delta_{n-k+2}^{(2)}$ soient consécutives. Soit $\alpha^{\prime}$ le point le plus proche de $c$ qui intervient dans ces différences divisées. Dansl’intervalle ( $\alpha^{\prime},c$ ) ouvert à droite on peut trouver deux différences divisées consécutives $\Delta_{n-k+1}^{(3)},\Delta_{n-k+1}^{(4)}$ non nulles et de signes contraires. Soit $\alpha^{\prime\prime}$ le point le plus proche de $c$ qui intervient dans ces différences divisées. On continue le procédé jusqu’à ce qu’on arrive au point $\alpha(k+1)$ . Nous avons ainsi une suite de différences divisées con-sécutives

\Delta_{n-k+1}^{(1)},\Delta_{n-k+1}^{(2)},\ldots,\Delta_{n-k+1}^{(2k+1)},\Delta_{n-k+1}^{(2k+2)}

(32)

qui, par construction, présente au moins $k+1$ variations de signes.-
Considérons tous les points qui interviennent dans les différences. divisées (32) et formons la suite (31) correspondante. Gette suite a, pardéfinition au plus $k$ variations de signes. Or il y a contradiction puisque : (32) en est une suite partielle ( ¹⁹ ). L’existence du point $c^{\prime}$ est donc établie.

On démontre de la même manière la propriété pour le koisinago : droit de $c$ .

La propriété est vraie même pour $k=n+1$ .
Il résulte immédiatement de cette propriété qu’on pout décomposear l’ensenible E en un nombre fini d’ensemble consécutifs
⁽¹⁹⁾ Il est clair qu’une suite présente au moins autant de variations de : signes qu’une quelconque de ses suites partielles.
(33)

\mathrm{E}_{1},\mathrm{E}_{2},\ldots,\mathrm{E}_{m},

tel que sur chacun la fonction soit d’ordre $n-k$ .
Les ensembles $\mathrm{E}_{1}$ et $\mathrm{E}_{m}$ peuvent éventuellement être formés par les seuls points $a$ et $b$ et alors ils n’ont pas de point commun avec $\mathrm{E}_{2}$ resp. $\mathrm{E}_{m-1}$ .

Supposons que la décomposition (33) soit faite de manière qu’on ne puisse pas remplacer ces ensembles par un nombre plus petit d’ensembles vérifiant la même propriété. On peut alors supposer que de deux ensembles $\mathrm{E}_{i},\mathrm{E}_{i+1}$ l’un au moins a au moins $n-k+2$ points.

Montrons qu’on peut former une suite de différences divisées

\Delta_{n-k+1}^{(1)},\Delta_{n-k+1}^{(2)},\ldots,\Delta_{n-k+1}^{(m)}

(34)

toutes différentes de zéro et de signes alternés En effet il existe par hypothèse dans $\mathrm{E}_{1}+\mathrm{E}_{2}$ deux différences divisées non nulles et des signes contraires. On peut les supposer conséculives (No. 13) ; soient $\Delta_{n-l+1}^{(1)},\Delta_{n-k+1}^{(2)}$ . De plus on peut toujours supposer qu’ou bien $\Delta_{n-k+1}^{(1)}$ soit dans $\mathrm{E}_{1}$ , ou bien $\Delta_{n-k+1}^{(2)}$ soit dans $\mathrm{E}_{2}$ . On voit alors qu’on peut trouver une différence divisée $\Delta_{n-k+1}^{(3)}$ consécutive à $\Delta_{n-k+1}^{(2)}$ et située dans $\mathrm{E}_{2}+\mathrm{E}_{3}$ telle que $\Delta_{n-k+1}^{(2)}\cdot\Delta_{n-k+1}^{(3)}<0$ . En effet si celà n’était possible pour aucun choix de $\Delta_{n-k+1}^{(1)},\Delta_{n-k+1}^{(2)}$ la fonction serait d’ordre $n-k$ sur $\mathrm{E}_{2}{}_{7}\mathrm{E}_{3}$ . Et ainsi de suite.

Formons la suite (31) correspondant à tous les points qui interviennent dans (34). Cette suite a au plus $k$ variations ; (34) en est une suite partielle, donc, $m-1\leq k$ , d’où $m\leq k+1$ .

On peut donc énoncer la propriété :
Si la fonction $f(x)$ est d’ordre $n$ sur l’ensemble E , on peut décomposer cet ensemble en $k+1$ ensembles consécutifs au plus sur chacun la fonction étant d’ordre $n-k$ .

Cette décomposition peut en général être effectuée d’une infinité de manières. Dans certains cas, par exemple si la fonction est convexe et si E est un intervalle, la décomposition est unique. On peut le démontrer très facilement.

Si $n=1$ la fonction jouit d’une propriété de convexité ordinaire. Une telle fonction se décompose en au plus deux fonctions monotones et en au plus trois fonctions de signe constant. Les ensembles extrèmes de décomposition peuvent se composer effectivement des points $a$ et $b$ seuls. Soit par exemple la fonction

f(0)=f(1)=1,\quad f(x)=x-1,\quad(0<x<1).

Nous avons les décompositions :
si $k=1$ les ensembles sont $\mathrm{E}_{1}$ (point 0 ), $\mathrm{E}_{2}$ (intervalle $0<x\leq 1$ )
si $k=2$ les ensembles sont $\mathrm{E}_{1}$ (point 0 ), $\mathrm{E}_{2}$ (int. $0<x<1$ ), $\mathrm{E}_{3}$ (point 1 ).
15. Démontrons encore la propriété suivante

Toute fonction d’ordre $n(\geq 0)$ définie sur un ensemble fermé alteint son maximum et son minimum.

Démontrons la propriété relative au maximum. Nous savons déjà que la fonction est bornée, il existe donc un nombre A tel que

		$\displaystyle f(x)<\mathrm{A}-\frac{1}{m}\text{ sur }\mathrm{E}$
		$\displaystyle f(x)>\mathrm{A}-\frac{1}{m}\text{ en au moins un point de }\mathrm{E}$

et ceci pour tout nombre $m$ entier et positif.
Soit une suite monotone, par exemple

x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots\ldots<x_{m}<\ldots\ldots

(35)

telle que $f\left(x_{m}\right)>\mathrm{A}-\frac{1}{m}$ .
A uńe extraction de suite près on peut supposer que la suite (35) soit telle qu’on ait $x-x_{m}<\frac{1}{m},x$ étant le point limite de la suite.

Il suffit évidemment d’examiner le cas où la suite (35) est infinie. On a alors nécessairement $x>x_{m}$ pour tout $m$ .

De l’inégalité

\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{m},x;f_{1}\geq 0\quad(m>n)\right.

nous déduisons

f(x)\geq f\left(x_{m}\right)+\frac{\mathrm{B}}{m}

B étant une constante finie, done

\mathrm{A}+\frac{1}{m}>f(x)>\mathrm{A}+\frac{\mathrm{B}-1}{m}

d’où

f(x)=\mathrm{A}.

On démontre de la même manière la propriété relative au minimum.

De la définition résulte qu’une fonction convexe (ou concave) d’ordre $n$ ne peut prendre plus de $n+1$ fois la même valeur. Démontrons la propriété suivante :

Une fonction convexe (ou concave) d’ordre n définie sur un ensem–ble dense dans un intervalle atteint son maximum en $\left\lceil\frac{n+3}{2}\right\rceil\left(\right.$ ou $\left.\left\lceil\frac{n+2}{2}\right\rceil\right)$ et son minimum en $\left[\frac{n+2}{2}\right]\left(\right.$ ou $\left.\left|\frac{n+3}{2}\right|\right)$ points au plus, $|x|$ désignant l’entier égal ou immédiatement inférieur à $\alpha$

Pour fixer lés idées, supposons $n=2m$ et démontions la propriété relative au minimum.

Supposons que contrairement à l’énoncé, le minimum A soit atteint aux points ordonnés

x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+k+1}\quad m\geq k>0

(36)

-en tout autre point la fonction étant plus grande que A.
On peut toujours intercaler entre les points (36) les points $x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{m-k+1}^{\prime}$ de E tels que la suite
(37) $x_{1},x_{2},\ldots,x_{2k},x_{1}^{\prime},x_{2k+1},x_{2}^{\prime},x_{2k+2},\ldots,x_{m+k},x_{m-k+1}^{\prime}\cdot x_{m-k+1}$ soit ordonnée.

Développant le premier membre de la relation
$\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{2k},x_{1}^{\prime},x_{2k+1},x_{2}^{\prime},x_{2k+2},\ldots,x_{m+k},x_{m-k+1}^{\prime},x_{m+k+1};f_{1}>0\right.$ nous avons

\sum_{i=1}^{2m+2}(-1)^{i}\left[f\left(\xi_{i}\right)-A\right]\cdot\frac{V_{i}}{V}>0

(38)

Nous avons par hypothèse

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=\cdots=f\left(x_{m+k+1}\right)=\mathrm{A}

U’inégalité (38) devient donc

\left.-\sum_{i=1}^{m-k+1}\mid f\left(x_{i}^{\prime}\right)-\mathrm{A}\right]\frac{\mathrm{V}_{2k+2i-1}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}}>0.

(39)

Nous savons que $f\left(x_{i}^{\prime}\right)>\mathrm{A}$ et que $\mathrm{V}>0,\mathrm{\penalty 10000\ V}_{2k+2i-1}>0,i=1,2,\ldots$ , $m-k+1,\left({}^{20}\right)$ ce qui est en contradiction avec l’inégalité (39). La proeprietí est donc démontrée.

On procède de même dans les autres clas.
(²) En effet si la suite $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}$ est ordonnée on a $V\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)>0$ .

Si la fonction est convexe et si le nombre des points cù le maximum est atteint est $\left\lceil\frac{n+3}{2}\right\rceil$ , l’une des extrémités $a,b$ ou bien toutes les deux se trouvent parmi ces points suivant que $n$ est pair ou impair. Si le nombre des points où le minimum est atteint est $\left[\frac{n+2}{2}\right]$ , l’une des extrémités se trouve parmi ces points lorsque $n$ est pair.
16. Si $f$ et $\varphi$ sont deux fonctions de même classe, $f+\varphi$ et $c.f$ où $c$ est une constante positive sont c ncore de même classe. On ne peut en général rien dire sur la classe du produit de deux fonctions. La formule (18) permet d’écrire les propriétés suivantes :

onctions	c l a s s e s
$f$	$(-1,01,2,\ldots,n)!\left(-1,0^{\prime},1,2^{\prime},\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)$	$(-1,0,1.2,\ldots,n)\left\|\left(-1,0^{\prime},1,2^{\prime},.,n\left(n^{\prime}\right)\right)\right\|$
$\varphi$	$(-1,0,1,2,\ldots,n)$	$\left(-1,0^{\prime},1,2^{\prime},..,n\left(n^{\prime}\right)\right)$
$f.\varphi$	$(-1,0,1,2,\ldots,n)$	$\left(-1,0^{\prime},1^{\prime},2^{\prime},\ldots,n^{\prime}\right)$

De même la fonction de fonction $F(f)$ peut s’étudicr avec la formule (19). On a par exemple les propriétés

fonctions

c l a s s e s

f

(0,1,2,\ldots,n)\left|\left(0,1^{\prime},2,3^{\prime},\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)\right|\left(0,1^{\prime},2,3^{\prime},\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\mid\left(0^{\prime},1,2^{\prime},3,\ldots,n^{\prime}(n)\right)\right.

(0,1,2,\ldots,n)|

$\left(0,1^{\prime},2,3^{\prime},\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)$	$\left(0^{\prime},1,2^{\prime},3,\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)$	$0,1,2,\ldots,n$
$\mathrm{\penalty 10000\ F}(f)$	$(0,1,2,\ldots,n)$	$\left(0,1^{\prime},2,3^{\prime}\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)$
$\left(0^{\prime},1,2^{\prime},3,\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right)$	$\left(0^{\prime},1,2^{\prime},3,\ldots,n^{\prime}(n)\right)$

Il est possible d’établir des résultals plus précis. On peut monts er par exemple que si F est de la classe $(0,1)$ et si $f$ est d’ordre $1,\mathrm{\penalty 10000\ F}(t)$ . est aussi d’ordre 1.

On en déduit par exemple que si $1>0$ est de la classe ( 0,1 ’, $2,3^{\prime}\ldots,n\left(n^{\prime}\right)$ ) la fonction $f^{p},0<p<1$ est de la même classe et $\frac{1}{f}$ est de la classe $\left(0^{\prime},1,2^{\prime}3,\ldots,n\left(n^{\prime}\right)\right.$ .

Si ñous considérons la convexité et la polynomialité comme cas particuliers de la non-concavité on peut énoncer la propriété :

La limite d’une suite convergente de fonctions d’une même classe : est une fonction de la même classe.

Nous avons encore la propriété suivante :
Une fonction continue sur l’ensemble fermé $\mathbf{E}$ et d’une classe donnée sur un sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}$ , tel que $\mathrm{E}-\mathrm{E}^{*}=\mathrm{E}^{*\prime}$ , est de la même. classe sur E.

Cette proposition est vraie sans restrictions. Elle est immédiate
pour la non-concavité et la polynomialité et elle résulte pcur la con-vexité de la propriété démontrée à la fin du No. 13.

Soit maintenant une suite de fonctions

f_{1},f_{2},\therefore,f_{m},\ldots

(40)

définies sur les ensembles finis $\mathrm{E}_{4}{}^{*},\mathrm{E}_{2}{}^{*},\ldots,\mathrm{E}_{m}^{*},\ldots$ , compris chacun dans le suivant.

Si $\Delta_{0}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}{}^{*}\right]\leq\Delta_{0},\quad\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}\left[f_{m};\mathrm{E}_{m}{}^{*}\right]\leq\mathrm{V}_{n}$ et si les fonctions (40). sont de la même classe il existe une fonction limite $f$ , définie sur l’ensemble limite $\mathrm{E}^{*}$ , vérifiant les conditions signalées au No. 10 , et quis soit de la même classe.

§ 2. - Relations entre les fonctions d’ordre et de classe donnés et les fonctions étudiées au Chap. I.

17.

Supposons que la fonction $f$ soit définie sur l’ensemble $\mathrm{E}_{1}$ , formé par l’ensemble E et un point isolé $\mathfrak{x}$ . On vérifie facilement que si $f$ est à nème différence divisée bornée sur E , elle est aussi à nème différence divisée bornée sur $\mathrm{E}_{1}$ .

Considérons maintenant une fonction d’ordre $n$ sur E. Soient $a^{\prime},b^{\prime}$ les extrémités d’un sous-ensemble complètement intérieur à E. En vertu de a remarque faite nous pourrons supposer qu’il y ait au. moins $n+1$ points $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime}$ dans l’intervalle ( $a,a^{\prime}$ ) ouvert à droite et au moins $n+1$ points $x^{\prime\prime}{}_{1},x^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,x^{\prime\prime}{}_{n+1}$ dans l’intervalle ( $b^{\prime},b$ ) ouvert à gauche. Soient enfin $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},n+1$ points du. sous-ensemble considéré. Du fait que la suite (30) est monotone il. résulte que la différence divisée $\left[\mathfrak{x}_{1},\mathfrak{x}_{2},\ldots,\mathfrak{x}_{n+1};f\right]$ est comprise entre les différences divisées $\left[x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x^{\prime}{}_{n+1};f\right],\left[x_{1}{}^{\prime\prime},x_{2}{}^{\prime\prime},\ldots,x^{\prime\prime}{}_{n+1}{}^{\prime};f\right]$ ; done

Toute fonction d’ordre n esì à nème différence divisée bornée sur tout sous-eänsemble complètement intérieur E .

On en déduit que toute fonction d’ordre $n(\geq 1)$ sur E est continue sur tout sous-ensemble complètement intérieur à E .

Si $\mathrm{E}^{*}$ est un sous-ensemble complètement intérieur à E on a.

\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|\leq\Delta_{n}\left[f;\mathbb{E}^{*}\right]=\text{ nombre fini. }

Pour une suite de points quelconque (3) de $\mathrm{E}^{\prime}$ nous en déduisons.

\left.\sum_{i=1}^{m-1}\left|\Delta_{n}^{i+1}-\Delta_{n}^{i}\right|=\left|\sum_{i=1}^{m-1}\left(\Delta_{n}^{i+1}-\Delta_{n}^{i}\right)\right|=\left|\Delta^{\prime}-\Delta_{n}^{m-n}\right|\leq 2\Delta_{n}\mid f;\mathrm{E}^{*}\right]

done :

Toute fonction d’ordre $n$ sur E est à nème variation bornée sur tout sous-enamble complètement intérieur à E.

Dans le No. suivant nous allons établir une réciproque de cette propriété.
18. Reprenons les fonctions définies sur un ensemble fini (3) On voit aisément que toute fonction définie sur cet ensemble se dêcompose en la différence de deux fonctions de la classe ( $-1,0,1,2,\ldots,n$ ).

Posons en effet
(41)

f=\phi-\psi

Il est clair qu’on pout prendre $\phi\left(x_{1}\right)>0$ assez grand pour qu’on ait aussi $\psi\left(œ_{1}\right)>0$ . Ensuite on peut prendre $\phi\left(w_{2}\right)>0$ assez grand pour qu’on ait aussi $\left[x_{1},x_{2};\phi\right]>0,\psi\left(x_{2}\right)>0,\left[x_{1},x_{2};\psi\right]>0$ etc…. etc….

On obtient les décompositions (41) en écrivant

	$\displaystyle{\left[\mathfrak{x}_{i},\mathfrak{x}_{i+1},\ldots,\mathfrak{x}_{i+k};\phi\right]\geq\frac{1}{2}\left\{1\left[\mathfrak{x},\mathfrak{x}_{i+1},\ldots,\mathfrak{x}_{i+k}\right.\right.}$		(42)
	$\displaystyle\left.+\left[\mathfrak{x}_{i},\mathfrak{x}_{i+1},\ldots,x_{i+k};f\right]\right\}$
	$\displaystyle i=1,\quad k=0,1,2,\ldots,n$
	$\displaystyle k=n+1\quad i=1,2,3,\ldots,m-n-1.$

Considérons le système

\begin{array}[]{ll}{\left[x_{1},x_{2},\ldots x_{k+1};\phi\right]=\lambda_{k}}&k=0,1,2,\ldots,n\\ {\left[x_{.}x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};\phi\right]=\mu_{i}}&i=1,2,3,\ldots,m-n-1\end{array}

ade $m$ équations linêaires en $\phi\left(x_{1}\right),\phi\left(x_{2}\right),\ldots,\phi\left(x_{m}\right)$ . Tenant compte du fait que la suite (3) est ordonnée et appliquant la formule fondamentale (1) on trouve facilement que d’une manière générale $\phi\left(x_{i}\right)$ est une expression linéaire et homogène de $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n};\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m-n-1}$ -dont les coefficients sont non-négatifs.

Soit maintenant $\phi^{*}(x)$ une solution quelconque du système d’inêgalités (42) et $\phi(x)$ la solution qn’on obtient si on remplace tous les signes $\geq$ par $=$ . Le système qu’on obtient ainsi est en effet compatible et la solution en est complètement déterminée.

De l’analyse précédente on dêduit qu’on a

\phi^{*}\left(\mathfrak{x}_{i}\right)\geqslant\phi\left(\mathfrak{x}_{i}\right)\quad i=1,2,3,\ldots,m.

On voit d’ailleurs facilement que toutes les égalitês ne peuvent avoir lieu à la fois que si (42) est un système d’égalités.

La décomposition (41) peut se faire d’une infinité de manières.

Parmi ces décompositions il $y$ a une pour laquelle les fonctions $\phi,\psi$ . sont les plus petites possibles (*1). De ce qui précède résulte que cette : dêcomposition canonique s’obtient par les formules

f(x)=\phi(x)-\psi(x)\quad\text{ sur }(3)

(43) $\left[\mathfrak{x}_{i},\mathfrak{x}_{i+1},\ldots,\mathfrak{x}_{i+k};\phi\right]=\frac{1}{2}\left\{\left|\left[\mathfrak{x}_{i},\mathfrak{x}_{i+1},\ldots,\mathfrak{x}_{i+k};f\right]\right|+\right.$

\begin{gathered}\left.\quad+\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+k};f\right]\right\}\\ i=1,\quad k=0,1,2,\ldots,n\\ k=n+1,\quad i=1,2,3,\ldots,m-n-1.\end{gathered}

Cette décomposition jouit des propriétés suivantes :
$1^{0}$ . La $(n+1)ee$ borne des fonctions $\phi$ et $\psi$ est au plus égale ì calle de $f$ .
20. La variation totale d’ordre $n$ des fonctions $\phi$ et $\psi$ ne dépassepas celle de $f$ .
30. Les fonctions $\phi,\psi$ sont bornées par une quantité dépendant. uniquement des propriétés jusqu’à l’ordre $n$ de $f$ et d’un intervalle qui. anferme les points (3), mais non du nombre de ces points.
$1^{0}$ , et $2^{0}$ sont immédiates. Pour démontrer la propriété 30 remarquons qu’en désignant par $\Delta_{k},\mathrm{\penalty 10000\ V}_{k}$ les bornes et les variations totales : de $f$ on a

		$\displaystyle\left\|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};\phi\right]\right\|\leq\Delta_{k-1}\quad k=2,\ldots,n$
		$\displaystyle\left\|\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n};\phi\right]\right\|\leq\frac{1}{2}\left(\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}+2\Delta_{n}\right)\quad i=2,\ldots,m-n$

ce qu’on obtient en ajoutant convenablement les relations (43). Tenant. compte de (1) nous en déduisons

\begin{gathered}\left|x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};\phi_{1}\right|\leq\Delta_{k-1}\quad k=1,2,\ldots,n-1\\ \left.\left|\left[x_{1},x_{i+1},\ldots,x_{i+n-1};\phi\right]\right|<\Delta_{n-1}+\frac{n}{2},b-a\right)\left(\mathrm{V}_{n}+2\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}\right)\\ i=2,3,\ldots,m-n+1\end{gathered}

où ( $a,b$ ) est un intervalle renfermant les points (3). En répétant co : procédé on arrive à la limitation

|\phi|<\sum_{i=0}^{n-1}i!(b-a)^{i}\Delta_{i}+n!(b-a)^{n}\cdot\frac{1}{2}\left(\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}+2\Delta_{n}\right)\quad\text{ sur (3) }

⁽²¹⁾ Une fonction $f$ est „plus petite" qu’une autre fonction $f_{1}$ si on $\mathbf{a}_{-}t\leq f_{1}$ sur l’ensemble comun au deux ensembles où les fonctions sont définies, le signe < ayant lieu pour une valeur au moins de la variable.

Cette formule est valable aussi pour $\psi$ , elle est assez grossière, mais suffit pour dêmontrer la propriété $3^{0}$ puisqu’elle ne dépeud pas de m.

Soit maintenant une fonction quelconque $f$ à nème variation bornée sur un ensemble $\mathbf{E}$ et supposons $n>0$ . La fonction étant contimue, est complètement déterminée par ses valeurs sur un sous-ensemble dénombrable $\mathrm{E}^{*}$ tel que $\mathrm{E}-\mathrm{E}^{*}$ appartienne au dérivé de $\mathrm{E}^{*}$ .

Envisageons maintenant E* comme limite d’une suite d’ensembles finis $\mathrm{E}^{*}{}_{1},\mathrm{E}^{*}{}_{2},\ldots\mathrm{E}^{*}{}_{m},\ldots$ chacun contenant le précédent et soient

f=\phi_{m}-\psi_{m}\quad m=1,2,\ldots

Les décompositions minima sur ces ensembles.

\left\{\begin{array}[]{l}\phi_{1},\phi_{2},\ldots,\phi_{n},\ldots\\ \psi_{1},\psi_{2},\ldots,\psi_{m},\ldots\end{array}\right.

sont également bornées, de la classe $(-1,0,1,2,\ldots,n)$ et leur variation totale d’ordre $n$ ne dépasse pas $\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]$ . Nous savons alors que les fonctions $\phi_{i}$ ont au moins une limite $\phi$ sur $\mathrm{E}^{*}$ et par conséquent les $\psi_{i}$ ont aussi une limite $\psi$ telle que

\begin{gathered}\mathrm{V}_{n}\left[\phi;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}],\quad\mathrm{V}_{n}\left[\psi;\mathrm{E}^{*}\right]\leq\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]\\ \phi,\psi\text{ de la classe }(-1,0,1,2,\ldots,n)\\ f=\phi-\psi\quad\text{ sur }\mathrm{E}^{*}\end{gathered}

Par le principe de continuité on déduit donc la propriété suivante :
Toute fonction à nème variation bornée est la différense de deux fonctions de la classe $(1,0,1,2,\ldots,n)$ et dont la nème variation totale ne dépasse pas celle de $\left.f(\tau){}^{(22}\right)$ .

Soit $f=\phi-\psi$ la décomposition minimum sur la suite (3). Ajoutons aux points (3) un nouveau point $x_{0}$ et soit $f_{1}=\phi_{1}-\psi_{1}$ la décomaposition minimum sur la nouvelle suite obtenue ( $f_{1}=f$ sur (3)). On montre facilement à l’aide des formules (43) que l’on a $\phi\leq\phi_{1}$ sur (3) (23). On en déduit que les suites (44) ont effectivement une limite.

Il en résulte alors que la décomposition obtenue plus haut pour un ensemble quelconque vérifie aussi la propriété de minimum, c’est-à-

⁰⁰footnotetext: (22) Pour le cas

n=1

M. A. Winternitz (voir loc. cit. 5) a démontré que toute fonction à première variation bornée (Funktion von beschränkter Drehung) est la différence de deux fonctions d’ordre 1. La méthode de cet -auteur est différente de celle employée ici.
(23) L’égalité peut d’ailleurs avoir lieu partout. Si

x_{i}<x_{0}<x_{i+1}

on a certaimement

\phi\left(x_{j}\right)=\phi_{1}\left(x_{j}\right),j=1,2,\ldots,i

dire que parmi toutes les fonctions $\phi,\psi$ de classe $(-1,0,1,2,\ldots,n)$ vérifiant l’égalité $f=\phi-\psi$ celles obtenues plus haut sont les plus petites possibles. Dans le cas contraire, en effet, on montrerait qu’il existe un $m_{m}$ pour lequel $f=\phi_{m}-\psi_{m}$ n’est pas la décomposition minimum sur $\mathrm{E}^{*}{}_{m}$ , -ce qui est impossible.

Nous avons supposé $n>0$ . Si $n=0$ la fonction $f$ n’est pas en général continue, mais ses points de discontinuité forment un ensemble -dénombrable. Il suffit de prendre l’ensemble E* de manière qu’il contienne l’ensemble des discontinuités, la méthode est alors applicable et conduit nécessairement à la décomposition minimum en deux fonctions non-négatives et non-décroissantes, bien connue.

CHAPITRE III.

SUR LES DÉRIVÉES DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE.

§ 1. - Quelques remarques sur la définition
de la dérivée d’ordre $n$ .

19.

Nous allons supposer maintenant que la fonction $f(x)$ soit ornée sur E. Lorsque les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n_{T1}}$ tendent vers un point $x$ de $\mathrm{E}^{\prime}$ la différence divisée

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]

(45)

ne tend en général vers aucune limite.
Nous désignerons par $f_{n}(x)$ la limite de la différence divisée (45) si elle existe, est finie et bien déterminée quand les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ tendent d’une manière quelconque vers $x$ .

Supposons que le point $x$ appartienne à E, nous désignerons alors par $f_{n}{}^{*}(x)$ la limite de la différence divisée $\left[x,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]$ si elle existe, est finie et bien déterminée quand les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ tendent d’une manière quelconque vers $x$ .

On peut facilement démontrer que pour que $f_{n}(x)$ existe il faut et il suffit qu’à tout nombre $\varepsilon>0$ on puisse faire correspondre un nombre $\eta>0$ tel que
(46) $\quad\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime};f\right]\mid<\varepsilon$ , dans $\mathrm{I}(x;\eta){}^{(24)}$ .

Cette inégalité peut d’ailleurs être remplacée par la suivante (formule (6)) :
(47) $\quad\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f\right]\right|<\varepsilon$ , dans $\mathrm{I}(x;\eta)$ .
( ²⁴ ) $\mathrm{I}(x;\eta)$ désigne l’intervalle de milieu $x$ et de longueur $\eta$ .

On peut aussi prendre $\eta>0$ de manière que

\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-f_{n}(x)\right|<\varepsilon,\quad\text{ dans }\mathrm{I}(x;\eta)

(48)

Les mêmes propriétés sont vraies pour $f_{n}^{*}(x)$ en faisant figurer* le point $x$ dans toutes les différences divisées des formules (46), (47). et (48).

La formule (9) montre que si $f_{n}^{*}(x)$ existe, la différence divisée (45) tend vers $f_{n}{}^{*}(x)$ lorsque les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ tendent vers $x$ pourvu que le quotient

\left|\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}\right|

reste borné. En effet, dans ce cas, toute limite de (45) est finie et de toute suite de différences divisées convergeant vers une limite on peut. extraire une nouvelle suite telle que

\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}

ait une limite, qui est finie par hypothèse. La formule (9) montre alors. que cette suite de différences divisées tend vers $f_{n}{}^{*}(x)\left({}^{25}\right)$ .

Nous supposerons que E soit fermé.
L’existence de $f_{n}(x)$ entraine par définition celle de $f_{n}{}^{*}(x)$ .
Par définition, la $n$ ème dérivée $f^{(n)}(x)$ est la dérivée de la $(n-1$ ,èmedérivée et par définition aussi, la première dérivée $f^{\prime}(x)$ est identique à $f_{1}{}^{*}(x)$ .
$f^{(n)}(x)$ peut donc être définie sur l’ensemble $\mathrm{E}^{(n)}$ et il est évident que son existence implique celle de $f^{(n-1)}(x)$ en tous les points de $\mathrm{E}^{(n-1)}$ dans un voisinage $\mathrm{I}(x;\eta),\eta>0$ de $x$ . Quand nous parlons de la continuité de $f^{(n)}(x)$ en un point $x$ de $E^{(n)}$ nous supposons bien entendu que cette dérivée existe dans le voisinage de $x$ .
20. De (46) nous déduisons que si $f_{n}(x)$ existe en un point $x$ de : $\mathrm{E}^{\prime}$ la fonction est à nème différence divisée bornée dans le voisinage de $x$ . Si la fonction est à $(n+1)$ ème différence divisée bornèe, $f_{n}(x)$ existe en tout point de $\mathrm{E}^{\prime}$ et est continue (sur $\mathrm{E}^{\prime}$ ). Si $f_{n}(x)$ existe en. tout point de $\mathrm{E}^{\prime}$ , elle est continue, donc nécessairement bornée. Il en résulte que la fonction est à nème différence bornée. Dans ce cas l’inégalité (46) a lieu uniformément sur E.

Si $f_{n}(x)$ existe en un point $x,f_{n-1}(x)$ existe aussi en ce point et :
(25) Cette remarque permet de définir $f_{n}{}^{*}(x)$ même en un point de $\mathrm{E}^{\prime}$ qui n’appartient pas à E , mais il est inutile de considérer cette extension.
dans son voisinage, mais il est à remarquer que $f_{n}(x)$ peut exister en un point (de $E^{\prime\prime}$ ) sans exister dans son voisinage ( ²⁶ ).

Si $f_{n}^{*}(x)$ existe en un point $x,f_{n-1}^{*}(x)$ existe aussi en ce point, mais non pas en général dans son voisinage ( ²⁷ ).

Enfin $f_{n}^{*}(x)$ peut exister en un point et même être continue sans que $f_{n}(x)$ existe ( ²⁸ ).

Nous pouvons démontrer la propriété suivante :
(26) Soit la fonction

\begin{array}[]{ll}f(0)=0,f\left(\frac{1}{n}\right)=0,&n=2,3,\ldots\\ f\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{3^{p}n(n+1)}\right)=0,&p=1,2,\ldots n=2,3,\ldots\\ f\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2\cdot 3^{p}n(n+1)}\right)=\frac{1}{2\cdot 3^{p-1}n^{2}(n+1)},&p=1,2,\ldots n=2,3,\ldots\end{array}

L’ensemble $E^{\prime}$ est formé par les points

\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots,\text{ et }0

Aux points $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,f_{1}(\mathcal{x})$ n’existe pas, au contraire $\left|\left[x_{1},x_{2};f\right]\right|\leq\frac{1}{n}$ dans $\left(0,\frac{1}{n}\right)$ donc $f_{1}(0)$ existe et est égale à zéro.
(27) Considérons la fonction définie pour $0\leq x\leq\frac{1}{2}$ de la manière suivante
$f(0)=0,.f(x)=\frac{1}{2^{n+1}n}\left(x-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$ pour $\frac{1}{2^{n+1}}\leq x\leq\frac{3}{2^{n+2}},n=1,2,3,\ldots$

f(x)=-\frac{1}{2^{n+1}n}\left(x-\frac{1}{2^{n}}\right)\quad\text{ pour }\frac{3}{2^{n+2}}\leq x\leq\frac{1}{2^{n}}\quad n=1,2,3,\ldots

On vérifie que $f_{2}^{*}(0)$ existe et est égale à zéro, tandis que $f_{2}^{*}(x)$ n’existe évidemment pas aux points $\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{3}},\frac{1}{2^{4}},\ldots$
⁽²⁸⁾ Il suffit de prendre la fonction

\begin{array}[]{lr}f(0)=0,f\left(\frac{1}{n}\right)=0,&n=2,3,\ldots,\\ f\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2np(n+1)}\right)=0,&p=1,2,\ldots,n=1,2,\ldots,\\ f\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(2p+1)n(n+1)}\right)=\frac{1}{p^{2}n^{\prime}(n+1)},p=1,2,\ldots,n=1,2,\ldots,\end{array}

$f_{1}^{*}(x)$ existe en tout point $0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$ , mais $f_{1}(0)$ n’existe pas.

Si $f_{n}(x)$ existe en un point de $\mathrm{E}^{(n)}$ , la nème dérivée $f^{(n)}(x)$ existe en ce point et on a l’égalité :

f^{(n)}(x)=n!f_{n}(x)

En effet il existe un nombre $\eta>0$ tel que dans $\mathrm{I}\left(x;\gamma_{1}\right)$ la nème différence divisée de $f(x)$ ne dépasse pas en module le nombre fini A . Toutes les limites $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots,f_{n-1}(x)$ existent dans $\mathrm{I}(x;\eta)$ . On peut alors démontrer la propriété par récurrence. Elle est évidente pour $n=1$ . Supposons donc qu’elle soit vraie pour $1,2,\ldots,n-1$ et démon-trons-la pour $n$ . A tout $\varepsilon>0$ correspond un $\eta_{1}\leq\eta$ tel que si $x^{\prime}$ est un point de $\mathrm{E}^{(n-1)}$ dans $\mathrm{I}\left(x;\eta_{1}\right)$ et si $x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n}{}^{\prime}$ sont suffisamment raprochés de $x^{\prime}$ et $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ suffisamment raprochés de $x$ on ait à la fois

\begin{gathered}\left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i}^{\prime},x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{n};f\right]-f_{n}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3n},\left|1-\frac{x_{i}^{\prime}-x_{i}}{x^{\prime}-x}\right|<\frac{\varepsilon}{3n\mathrm{\penalty 10000\ A}}\\ i=1,2,\ldots,n\\ \left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right]-f_{n-1}(x)\right|<\frac{\left|x^{\prime}-x\right|}{6}\varepsilon\\ \left|\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]-f_{n-1}\left(x^{\prime}\right)\right|<\frac{\left|x^{\prime}-x\right|}{6}\varepsilon\end{gathered}

Mais, par hypothèse

f_{n-1}(x)=\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x),\quad f_{n-1}(x)=\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}\left(x^{\prime}\right)

Nous avons done
$\left|\frac{1}{(n-1)!}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}\left(x^{\prime}\right)}{x-x^{\prime}}-\frac{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]-\left[x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n}{}^{\prime};f\right]}{x-x^{\prime}}\right|<\frac{\varepsilon}{3}$

\left|nf_{n}(x)-\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}-x_{i}^{\prime}}{x-x_{i}}\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i}^{\prime},x_{i},\ldots,x_{n};f\right]\right|<\frac{2\varepsilon}{3}

La formule (6) donne

\left|n!f_{n}(x)-\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}\left(x^{\prime}\right)}{x-x^{\prime}}\right|<\varepsilon\quad\text{ dans }\mathrm{I}\left(x;\eta_{1}\right)

ce qui démontre la propriété.
On en déduit que pour que $f^{(n)}(x)$ existe et soit continue sur $E^{(n)}$ , il suffit que $f_{n}(x)$ existe sur $E^{(n)}$ , mais il est à remarquer que cette condition n’est pas nécessaire en général.

Remarquons aussi que, de l’existence de $f_{n}^{*}(x)$ , on ne peut pas conclure en général à celle de $f^{(n)}(x)(n>1)$ .
21. Des propriétés plus précises peuvent être obtenues si E est win intervalle fermé ( $a,b$ ). Stieltjes a démontré ( ²⁹ ) en effet que :

Si $f^{(n)}(x)$ existe et est continue au point $x,f_{n}(x)$ existe et on a

f_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(x)}{n!}

En comparant avec ce qui a été dit plus haut on voit que :
La condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction $f(x)$ ubéfinie et bornée dans l’intervalle ( $a,b$ ) ait une nème dérivée continue - dans cet intervalle est que la nème différence divisée soit uniformément continue dans ( $a,b$ ).

Nous savons déjà que la nème différence divisée est uniformément continue si à tout nombre $=\varepsilon>0$ et à tout point $x$ de $(a,b)$ on peut sfaire correspondre un nombre $\eta>0$ tel qu’on ait
$\because\mid\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\left|-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f\right]\right|<\varepsilon\operatorname{dans}\mathrm{I}(x;\eta)\right.$ .
Dans le cas d’un intervalle, si $f_{n}{}^{*}(x)$ existe et est continue au point $x,f_{n}(x)$ existe aussi en ce point. Supposons en effet que dans $\mathbb{I}(x;\delta),\delta>0,f_{n}^{*}(x)$ existe et soit continue au point $x$ . A tout $\varepsilon>0$ correspond un $\eta,(0<\eta\leq\delta)$ tel que

\left|f_{n}^{*}(x)-f_{n}^{*}\left(x^{\prime}\right)\right|<\varepsilon\quad\text{ dans }\mathrm{I}(x;\eta)

f_{n}^{*}\left(x_{n}^{\prime}\right)=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]

donc

\left|f_{n}^{*}(x)-\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|<\varepsilon\quad\text{ dans }I(x;\eta)

$f_{n}(x)$ existe et est évidemment égale à $f_{n}{}^{*}(x)$ .
Il importe de remarquer que même dans le cas d’un intervalle $f_{n}(x)$ (ou $f_{n}*(x)$ ) peut exister en un point sans exister dans son voisimage (30). De même si $f_{n}{}^{*}(x)$ existe au point $x,f_{n-1}^{*}(x)$ existe aussi au point $x$ , mais non pas en géntral dans son voisinage ( ³¹ ).
(29) T. J. Stieltjes „Over Lagrange’s interpolatie-formulae" Verslagen cen Mendeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Ansterdam 2 e ser. t. XVII (1882), p. 239.
(30) Voir l’exemple donné dans le note ( ²⁷ ).
(31) L’exemple de la note ( ²⁷ ) vérifie la propriété.

Stieltues a également démontré la proposition suivante ( ³² ) :-
Si $f(x)$ est définie et bornée dans ( $a,b$ ) et si $f^{(n)}(x)$ existe en una point, $f_{n}^{*}(x)$ existe aussi en ce point et on a

f_{n}^{*}(x)=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)

C’est une condition nécessaire pour l’existence de la nème dérivées. mais elle n’est pas suffisante en général. Nous allons au contrairedémontrer la propriété suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction $f(x)$ définie et bornée dans l’intervalle ( $a,b$ ) ait une nème dérivée en tout point de ( $a,b$ ) est que $f_{n}{}^{*}(x)$ existe en tout point de ( $a,b$ ).

Nous savons que la condition est nécessaire. Montrons qu’elle est. suffisante.

Dans ce cas $f^{*}{}_{n-1}(x)$ existe partout et est continue, donc.

f_{n-1}^{*}(x)=f_{n-1}(x)=\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x)

Il suffira de montrer que $f_{n-1}(x)$ a une dérivée en tout point de ( $a,b$ ). Soit $x$ un point de ( $a,b$ ) ; on peut trouver $\mathrm{A}>0$ et $\delta>0$ tels que

\left|\left[x,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]\right|<\mathrm{A}\quad\text{ dans }\mathrm{I}(x;\delta)

$\varepsilon>0$ étant donné, on peut trouver $0<\eta\leq\delta$ , tel que
(49) $\left|\left[x,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]-\left[x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]\right|<\varepsilon$ dans $I(x;\eta)$ .

Soient $x^{\prime}$ un point de $I^{\prime}(x;\eta),x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ des points au voisinage de $x$ et $x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n}{}^{\prime}$ des points au voisinage de $x^{\prime}$ . Nous pouvons trouver les points $x^{*},x^{**}$ dans $\mathrm{I}(x;\eta)$ tels $q\mu e$
$f_{n-1}\left(x^{*}\right)=\left[x,x_{2},x_{3},\ldots,x_{n};f\right],f_{n-1}\left(x^{*}\right)=\left[x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots x_{n}{}^{\prime};f\right]$ .
Or, $f_{n-1}(x)$ étant continue on peut choisir les points $x_{i},x_{i}^{\prime}$ tels _i qu’on ait à la fois

\left|\frac{x_{i}-x_{i}^{\prime}}{x^{*}-x^{\prime*}}\right|<1+\varepsilon\quad i=1,2,\ldots,n,\left(x_{1}=x\right)

\left|\frac{f_{n-1}\left(x^{*}\right)-f_{n-1}\left(x^{*}\right)}{x^{*}-x^{\prime*}}-\frac{f_{n-1}(x)-f_{n-1}\left(x^{\prime}\right)}{x-x^{\prime}}\right|<\frac{\varepsilon}{3}.

(50)

Considérons un autre point $x^{\prime\prime}$ dans $\mathrm{I}(x;\eta)$ , et faisons lui corres*-
⁽³²⁾ T. J. STIELTJES „Einige bemerkingen omtrent de differentialquotienten. van eene functie van eene veranderlijke" Niéuw. Archief voor Wiskunde t. IX, (I882), p. 106-111.
pondre de la même manière les points $x_{1}{}^{\prime\prime},x_{2}{}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}{}^{\prime\prime};x^{\prime\prime*}$ tel que les inégalités correspondantes (49), (50) soient vérifiées. Il est toujours possible de prendre ces points de manière qu’on ait aussi

\left|\frac{x_{i}-x_{i}^{\prime}}{x^{*}-x^{**}}-\frac{x_{i}-x^{\prime\prime}}{x^{*}-x^{\prime*}}\right|<\frac{\varepsilon}{6n\mathrm{\penalty 10000\ A}},\quad i=1,2,\ldots,n\left(x_{1}=x\right)

La formule (6) nous donne alors

\begin{gathered}\left\lvert\,\frac{\left[x,x_{2},x_{3},\ldots,x_{n};f\right]-\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]}{x^{*}-x^{**}}-\right.\\ \left.-\frac{\left[x,x_{2},x_{3},\ldots,x_{n};f\right]-\left[x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime};f\right]}{x^{*}-x^{\prime\prime*}}\right\rvert\,\leq\\ \leq\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{x_{i}-x_{i}^{\prime}}{x^{*}-x^{\prime*}}-\frac{x_{1}-x_{i}^{\prime\prime}}{x^{*}-x^{\prime\prime*}}\right|\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},x_{i}^{\prime\prime},x_{i+1}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime};f\right]\right|+\\ \left.+\left|\frac{x_{i}-x_{i}^{\prime}}{x^{*}-x^{\prime*}}\right|\right\rvert\,\left[x,x_{2},x_{3},\ldots,x_{i},x_{t}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f\right]-\\ \left.-\left[x,x_{2},x_{3},\ldots,x_{i},x_{i}^{\prime\prime},\ldots,x_{n}^{\prime\prime};f\right]\mid\right\}<\frac{\varepsilon}{3}\end{gathered}

\left|\frac{f_{n-1}(x)-f_{n,1}\left(x^{\prime}\right)}{x-x^{\prime}}-\frac{f_{n-1}(x)-f_{n-1}\left(x^{\prime\prime}\right)}{x-x^{\prime\prime}}\right|<\varepsilon\quad\text{ dans }\mathrm{I}(x;\eta)

«ce qui démontre la propriété.
22. Supposons maintenant que $f(x)$ soit bornée et sommable dans ( $a,b$ ). La fonction

\mathrm{F}_{a}(x)=1_{a}^{(\alpha)}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{\alpha-1}f(t)dt

est alors continue pour $\alpha>0$ . Nous allons démontrer la propriété plus générale (en supposant toujours $\alpha>0$ ) :

Si $f(x)$ est à nème différence divisée bornée, la nème différence divisée de la fonction $\mathrm{F}_{a}(x)$ est uniformément continue dans tout intervalle $\left\{\left(a_{1},b\right),a_{1}>a_{0}\right.$ .

Nous savons que celte propriété signifie qu’à tout $\varepsilon>0$ et à tout point $x$ de $\left(a_{1},b\right)$ on peut faire correspondre un $\eta>0$ tel que l’on ait (51) $l_{1}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};\mathrm{F}_{a}\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};\mathrm{F}_{a}\right]\mid<$ dans $\mathrm{I}(x;\eta)$ .
[Faisons le changement de variables

t\mid(x-a)t+a

qui est légitime ( ³³ ) et supprimons le facteur $\frac{1}{\Gamma(\alpha)}$ . Nous pouvons con sidérer, avec un léger changement de notation,

\mathrm{F}_{a}^{*}(x)=\int_{0}^{1}(1-t)^{a-1}(x-a)^{a}f((x-a)t+a)dt

Nous avons (formule (8)) :

\left[x_{1},x_{2},.,x_{n+2};(x-a)^{a}f((x-a)x+a)\right]=

(52)

\sum_{k=1}^{n+2}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};(x-a)^{a}\right].\left[x_{k},x_{k+1},\ldots,x_{k+2};f((x-a)t+a)\right]

Or, la fonction $(x-a)^{a}$ et toutes ses différences divisées sont bornées dans l’intervalle ( $a_{1},b$ ). Il en est de même, par hypothèse, de la : fonction $f((x-a)t-+a)$ jusqu’à l’ordre $n$ inclus dans ( $a_{1},b$ ) et pourtoutes les valeurs de $t$ . Il suffit done de démontrer qu’à tout nombre $\varepsilon>0$ on peut faire correspondre un nombre $\eta>0$ tel qu’on ait
$\left|\int_{0}^{1}\left(1-t_{j}{}^{a-1}\left\{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f((x-a)t+a)\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f(x-a)t+a\right)\right]\right\}dt\right|<\varepsilon$ pourvu que $x_{1},x_{2},\ldots x_{n+2}$ restent dans un intervalle de longueur $\eta$ .

Le cas général résulte immédiatement du cas $n=0$ . Nous savons en effet que $f^{(n-1)}(x)$ existe et est continue. De plus on peut trouver un point $\xi$ dans $(a,b)$ et compris dans be plus petit intervalle contenant les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ tel que dans tout intervalle contenant lepoint $\xi$ il existe une différence divisée égale à $\left[x_{1},x_{2},..,x_{n+1};f((x-a)t+a)\right]$ . Ce point $\xi$ se trouve toujours dans le plus petit intervalle où les points, sur lesquels ces différences divisées sont prises, sont situés. Supposonsque $f(x)$ ait une nème dérivée au point $(\xi-a)t+a$ , alors en vertu du second théorème de Stifltjes

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f((x-a)t+a)\right]=\frac{t^{n}f^{(n)}((\xi-a)t+a)}{n!}

De même nous pouvons trouver $\xi^{\prime}$ de manière que si $f(x)$ a une : nème dérivée au point $\left(\xi^{\prime}-a\right)t+a$ , on a

\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f((x-a)t+a)\right]=\frac{t^{n}f^{(n)}((\xi-a)t+a)}{n!}

⁰⁰footnotetext: ⁽³³⁾ Voir H. Lebesgue, "Sur les intégrales singulières", Ann. Fac. Toulouse 3ème s. t. L. (1909), pp. 25-117, sp. p. 44.

Les points $\xi,\xi^{\prime}$ sont dans un intervalle de longueur $\leq\eta$ . D’autre part $f^{(n-1)}(x)$ existe partout et est à première différence divisée bornée, en vertu d’un théorème de M. Lebesgue $f^{(n)}(x)$ existe donc presque partout et est évidemment bornée. En vertu des propriétés bien connues des fonctions sommables il résulte que le prob’ème se réduit à la continuité d’une expression de la forme $F_{a}(x)$ . Ce que nous savonsêtre exact ( ³⁴ ).

On sait que la dérivée d’ordre $\alpha(\alpha>0)$ est définie par l’égalité :

\left.\mathrm{D}^{(a)}f(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathrm{I}_{a}^{\prime n-a)}f(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathrm{\penalty 10000\ F}_{n-a^{\prime}}x\right)

$n$ étant entier $>\alpha$ .
La première proposition énoncée au No. 21 nous permet d’éerire les conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une dérivée continue d’ordre $\alpha$ . En vertu de la propriété exprimée par la formule (51) nous déduisons que si $t(x)$ est à nène différence divisée bornée la. dérivée d’ordre $\alpha$ existe et est continue dans $(a,b)$ pour $\alpha<n$ . C’est un théorème de M. P. Montel, énoncé d’une façon un peut différente. M. Montel a moniré que, la fonction étant supposée bornée, il suffit de considérer seulement les différences divisées pises sur des points équidistants ( ³⁵ ) :

Les propriétés démontrées au No. 21 permettent d’écrire lés conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence, dans l’intervalle ( $a,b$ ) ouvert à gauche, de la dérivée d’ordre $\alpha$ ou bien de la dérivée continue d’ordre $\alpha$ . Pratiquement ces enoncés ne présentent pas beaucoup d’intérêt. Il est possible par diverses transformations d’en déduire les critères donnés par M. Marchaud. Nous n’msistons pas sur cette question qui nous eloignerait trop de notre sujet et nous renverrons au memorie de M. A. Marchaud ( ³⁶ ).

§. 2. - Remarques sur les dérivées des fonctions étudiées aux Chap. I. et II.

23.

Nous déduisons de ce qui précède qu’une fonction d’ordre n sur E a des dérivées continues d’ordre $1,2,\ldots,n-1$ sur tout sousensemble complèlement intérieur à E. Si la fonction est définie dans un intervalle elle a des dérivées continues d’ordre $r<n$ dans tout intervalle complètement intérieur.
(34) A la rigueur ceci ne résulte que si $x$ est dans $\left(a_{1},b\right)$ ce qui n’est pas en contradiction avec notre hypolhèse initiale.
(35) P. Montel "Sur les polynomes d’approximation" Bull. de la Soc. Math. t. 46 (1918) pp. 151-192 sp. p. 183.
(36) Voir loc, cit. (7).

Posons

\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\\ x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime}\end{array};f\right)=

$=\left|\begin{array}[]{cccc}\left.1\mid x_{1},x_{1}{}^{\prime};x^{2}\right]&{\left[x_{1},x_{1}{}^{\prime};x^{3}\right]}&\ldots\left[x_{1},x_{1}{}^{\prime};x^{n}\right]&{\left[x_{1},x_{1}{}^{\prime};f\right]}\\ 1\left[x_{2},x_{2}{}^{\prime};x^{2}\right]&{\left[x_{2},x_{2}{}^{\prime};x^{3}\right]}&\ldots\left[x_{2},x_{2}{}^{\prime};x^{n}\right]&{\left[x_{2},x_{2}{}^{\prime};f\right]}\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\\ 1\left[x_{n+1},x_{n+1}^{\prime};x^{2}\right]&{\left[x_{n+1},x_{n+1}^{\prime};x^{3}\right]\ldots\left[x_{n+1},x_{n+1}^{\prime};x^{n}\right]}&{\left[x_{+1},x_{n+1}^{\prime};f\right]}\end{array}\right|$
Cette expression s’annule identiquement lorsque $f(x)$ est un polynome de degré n. Done, pourvu que tous les points

x_{1},x_{1}^{\prime},x_{2},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1},x_{n+1}^{\prime}

(53)

soient distincts, elle est nécessairement de la forme
(54) $\left.\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\\ x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime}\end{array};f\right)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{1}.\mid y_{i},y_{i+1},\ldots,y_{i+n+1};f\right]$

y_{2i+1}=x_{i},y_{2i}=x_{i}^{\prime},\quad i=1,2,\ldots,n+1

On peut déterminer cette formule de la manière suivante : On retranche chaque, ligne du déterminant de la suivante. En appliquant alors la formule (6) le déterminant se décompose (en vertu de la formule de Binet donnant le produit de deux tableaux) on une somme de déterminants d’ordre $n$ de la même forme mais portant sur des différences divisées secondes, multipliés chacun par un facteur indépendant de la fonction $f$ . On décompose chaque déterminant de la même manière jusqu’à ce qu’on arrive à la formule (54). Si on suppose que la suite (53) soit ordonnée on peut écrire la formule (6) de manière que les facteurs introduits soient toujours positifs et ce procédé conduit effectivement à (54). Il en résulte que si la suite (53) est ordonnée les coeficients $\mathrm{A}_{i}$ dans (54) sont positifs.

Si la dérivée $f^{\prime}(x)$ existe et est continue on a

\lim\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\\ x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime}\end{array};f\right)=n!\mathrm{U}\left(x_{1}^{*},x_{2}^{*},\ldots,x_{n+1}^{*};f^{\prime}\right)

si $x_{i},x_{i}^{\prime}$ tendent vers le point $x_{i}^{*}$ de $\mathrm{E}^{\prime},i=1,2,\ldots,n+1$ .
La suite (53) étant ordonnée, des formules (54) et (55) on déduit que si la fonction $f(x)$ est non-concave dordre $n$ sa dérirée tst nonconcave d’ordre $n-1$ . La réciproque de cette propriété n’èst pas vraje en général. La dérivée $f^{\prime}(x)$ peut être d’ordre $n-1$ sans que la fonction soit d’crdre $n$ , elle peut être convexe d’ordre $n-1$ et la fonction d’ordre $n$ , sans être convexe. La ( $n-1$ )éme dérivée d’une fonction d’ordre
^m est d’ordre 1. Une tęlle fonction a une dérivée à gauche et une dérivée à droite, qui sont des fonctions d’ordre 0 . Si la $(n+1)^{\text{ème }}$ dérivée existe, elle est de signe constant.

Si E est un intervalle et si la dérivée $f^{\prime}(x)$ est non-concave d’ordre $n-1$ la fonction $f(x)$ est nécessairement non-concave d’ordre $n$ . De plus, si $f(x)$ est convexe, $f^{\prime}(x)$ est convexe aussi et réciproquement puisqu’une de ces fonctions ne peut être polynomiale sans que l’autre le soit aussi dans le même intervalle. Dans le cas où E est un intervalle, si $f^{(n+1)}(x)$ existe, la condition $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ est nécessaire et suffisante pour que la fonction soit non-concave d’ordre $n$ , la condition $f^{(n+1)}(x)>0$ est suffisante pour qu’elle soit convexe.

Dans le cas d’un intervalle les propriétés de la fonction se dédui–sent simplement de celles de la dérivée par la formule facile à établir
(56) $\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)=n!\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{x_{2}}^{x_{\mathrm{s}}}\ldots\int_{x_{n+1}}^{x_{n+2}}\mathrm{U}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+1};f^{\prime}\right)dt_{1}dt_{2}\ldots dt_{n+1}$ .
24. Nous avons vu qu’une fonction à nème variation bornée ’est à nème différence divisée bornée donc, une fonction à nème variation bornée a des derivées continues d’orcire $1,2,\ldots,n-1$ . Si elle est définie dans un intervalle fermé ( $a,b$ ) les dérivées continues d’ordre $r<n$ existent dans l’intervalle ouvert à gurche.

Nous allons démontrer aussi que la dérivée d’une fonction à nème variation bornée est à ( $n-1$ )ème variation bornée.

Ecrivons la formule générale (54) pour les $2n$ points

\alpha_{1},\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{n},\alpha_{n}^{\prime}

Faisant $f=x^{n}$ , nous avons

\sum_{1=1}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ A}=\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha^{n}\\ \alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{n}^{\prime}\end{array};x^{n}\right)

Il est manifeste alors que si $\alpha_{1}{}^{*},\alpha_{2}{}^{*},\ldots,\alpha_{n}{}^{*}$ est une suite ordonnée, à tout $\varepsilon>0$ , correspond un $\eta>0$ tel qu’on ait

0<\frac{\mathrm{A}_{i}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(\alpha_{1}{}^{*},\alpha_{2}{}^{*},\ldots,\alpha_{n}{}^{*}\right)}<n!+\varepsilon,i=1,2,\ldots,n\left|\frac{\sum_{i=1}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i}}{\left.\mathrm{\penalty 10000\ V}\alpha_{1}{}^{*},\alpha_{2}{}^{*},\ldots,\alpha_{n}{}^{*}\right)}-n!\right|<\varepsilon

pourvu que $\left|\alpha_{1}-\alpha_{1}{}^{*}\right|<\eta,\quad\left|\alpha_{i}{}^{\prime}-\alpha_{i}{}^{*}\right|<\eta,\quad i=1,2,\ldots,n$ .
Considérons maintenant une suite ordonnée de $E^{\prime}$

x_{1},x_{2},\ldots x_{m}

(57)

D’après la propriété précédente on peut toujours prendre les ; points de E
(58)

y_{1},y_{2},\ldots,y_{2m}

de manière que, $\varepsilon>0$ étant donné, on ait

\begin{gathered}\left|\frac{\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}y_{2i-1},y_{2i+1},\ldots,y_{2i+2n-3}\\ y_{2i},y_{2i+2},\ldots,y_{2i+2i-2}\end{array};f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n-1}\right)}-\frac{\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}y_{2i+1},y_{2i+3},\ldots,y_{2i+2n-1}\\ y_{2i+2},y_{2i+4},\ldots,y_{2i+2n}\end{array};f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{i+n}\right)}\right|<\\ <(2n-1)(n!+\varepsilon)\left\{\left|\Delta_{n}^{2i-1}-\Delta_{n}^{2i}\right|+\left|\Delta_{n}^{2i}-\Delta^{2i+1}\right|+\ldots\right.\\ \left.\cdots+\left|\Delta_{n}^{2i+n-1}-\Delta_{n}^{2i+n}\right|\right\}+2\varepsilon.\Delta_{n}[f;\mathrm{E}]\\ i=1,2,\ldots,m-n\end{gathered}

\Delta_{n}^{\prime}=\left[y_{i},y_{i+1},\ldots,y_{i+n};f\right],\quad j=1,2,\ldots,2m-n.

On en déduit que
(59)

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{m-n}\left\lvert\,\frac{\mathrm{U}\left(\begin{array}[]{l}y_{2i-1},y_{2i+1},\ldots,y_{2i+2n-3}\\ y_{2i},y_{2i+2},\ldots,y_{2i+2n-2}\end{array};f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n-1}\right)}-\right.\\ \left.-\frac{\mathrm{U}\binom{y_{2i+1},y_{2i+3},\ldots,y_{2i+2n-1}}{y_{2i+2},y_{2i+4},\ldots,y_{2i+2n}}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{i+n}\right)}\right\rvert\,<\\ <(2n-1)(n!+\varepsilon)(n+1)\left\{\left|\Delta_{n}^{\prime}-\Delta_{n}^{2}\right|+\left|\Delta_{n}^{2}-\Delta_{n}^{3}\right|+\ldots\right.\\ \left.\cdots+4\Delta_{n}^{2m-n-1}-\Delta_{n}^{2m-n}\mid\right\}+2\varepsilon(m-n)\Delta_{n}[f;\mathrm{E}]\end{gathered}

Mais $\Delta_{n}[f;E]$ étant fini, avec un léger changement de notations on peut dire aussi que, la suite (57) étant donnée, on peut déterminer la suite (58) de manière que le premier membre de (59) soit

<(2n-1)\cdot(n+1)!V_{n}[f;E]+\frac{\varepsilon}{3}

$\varepsilon>0$ étant donné d’avance.
Mais le premier membre de (59) peut être déterminé par un choix : convenable de la suite (57) de manière qu’il diffère de moins de $\frac{\varepsilon}{3}$ de : la quantité
(60)

\left(\begin{array}[]{ll}n&1\end{array}\right)!\cdot\left((n-1)\text{ ème variation de }f^{\prime}(x)\text{ sur }(57)\right)\text{. }

Enfin la suite (57) peut être prise telle que la quantité (60) diffère de moins de $\frac{\varepsilon}{3(n-1)!}$ de $\left.V_{n-1}!^{\prime}f^{\prime}E^{\prime}\right]$ .

Il en résulte que

\mathrm{V}_{n-1}\left[f^{\prime};\mathrm{E}^{\prime}\right]<(2n-1)(n+1)!\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}]+\varepsilon

done

\mathrm{V}_{n-1}\left[f^{\prime};\mathrm{E}^{\prime}\right]\leq(2n-1)(n+1)!\mathrm{V}_{n}[f;\mathrm{E}].

Cette inégalité est assez grossière, mais suffit pour démontrepla propriété. $f(x)$ étant à nòme variation bornée $f^{(n-1)}(x)$ est donc àt première variation bornée. On suit que $f^{(n-1)}(x)$ admet alors une dérjvée à gauche et une dérivée à droite qui sont à variation bornée d’ordre $0\left({}^{37}\right)$ .
25. Suupposons d’abord que E soit un intervalle ( $a,b$ ). On peut donner un sens précis à la $(n+1)$ ème différence divisée d’une fonction d’ordre $n$ , même si les points ne sont pas tous distincts.

Il s’agit de donner un sens à la différence divisée

	$\displaystyle{[\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{i_{1}},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{i_{2}},\underbrace{x_{k},x_{k},\ldots,x_{k}}_{i_{k}};f]}$		(61)
	$\displaystyle i_{1}+i_{2}+\cdots i_{k}=n+2$

les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ étant distincts. Si nous regardons (61) comme le quotient de deux déterminants (voir No. 1) elle se présente sous la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Pour lever l’indétermination nous remplaçonschaque groupe de points confondus $x_{l},x_{j},\ldots,x_{j}$ par $i_{j}$ points distincts tendant vers $x_{i}$ . On peut alors obtenir par un procédé bien connu (règle de l’Hospital) la vraie valeur du quotient (61). Ceci revient à. définir le déterminant

\mathbf{U}(\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{i_{1}},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{i_{2}},\underbrace{x_{k},x_{k},\ldots,x_{k},}_{i_{k}};f)

comme étant égal au déterminant $\mathrm{U}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n+2};f\right)$ où, d’une. manière générale on remplace les lignes d’ordre $i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{j-1}+1_{j}$ , $i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{j-1}+2,\ldots,i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{j-1}+i_{j}$ par :
$1x_{j}\quad a_{j}^{2}\quad x_{j}^{3}$ ………… $x_{j}^{n}\quad f\left(x_{j}\right)$
$\begin{array}[]{llll}0&1&2x_{j}&3x_{j}^{2}\end{array}nx_{j}^{n-1}f^{\prime}\left(x_{j}\right)$
$0\quad 0\quad 2\quad 6x_{j}$ . . $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ .. $n(n-1)x_{j}^{n}$ 2 $\_\_\_\_$ $f^{\prime\prime}\left(x_{j}\right)\begin{array}[]{llll}0&0&0&0\end{array}$ 0 $\_\_\_\_$ . $\left(i_{j}-1\right)$ ! $n(n-1)$ $\_\_\_\_$ . $\left(n-i_{j}+2\right)x_{j}^{n}$ ).
$\mathrm{V}\left(x_{1},x_{1},\ldots,x_{1},x_{2},x_{2},\ldots,x_{2},\ldots,x_{k},x_{k},\ldots,x_{k}\right)$ s’obtient en faisant $f=x^{n+1}$ et on voit facilement que celte expression est différente de zéro, donc la différence divisée est parfaitement définie.

L’opération précédente est justifiée si $k>2$ puisque la fonction a une dérivée continue d’ordre $n-1$ . Il en est de même si $k=2$ , $\mathrm{e}_{\mathrm{t}}2\leq i_{1}\leq n$ . Si $k=2$ et $i_{1}=1$ il faut introduire la nème dérivée. Cette dérivée n’existe pas en général mais il y a toujours une nème dérivée à gauche et une nème dérivée à droite. Il en résulte qu’on peut encore donner un sens à la différence divisée à condition de faire tendre les $n+1$ points du deuxième groupe vers $x_{2}$ d’un même côté.

Par exemple si ces points restent constamment à gauche de $x_{2}$ la formule trouvée est valable pourvu que $f^{(n)}\left(x_{2}\right)$ représente la nème dérivée à gauche.
ll est clair que ces considérations ne sont valables qu’à l’intérieur de l’intervalle ( $a,b$ ), plus exactement partout où les dérivées existent.

On peut compléter maintenant les propriétés des fonctions d’ordre n. Si $f(x)$ est non-concave d’ordre $n$ on a

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]\geq 0

les points étant distincts ou non. On verra aussi que si $f(x)$ est d’ordre $n$ et si l’on a

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};t\right]=0}\\ x_{1}\leq x_{2}\leq\cdots\leq x_{n+2}\quad(\text{ non pas tous confondus })\end{gathered}

Ja fonction est polynomiale d’ordre $n$ dans l’intervalle ( $x_{1},x_{n+2}$ ).
D’ailleurs toutes ces proriétés peuvent se traduire géométriquement au moyen des polynomes L.

Si l’ensemble E est quelconque les considérations précédentes s’appliquent encore à condition que les points où il y en a plusieurs confondus appartiennent à un ensemble dérivé d’ordre convenable. Les dérivées peuvent d’ailleurs être prolongées par l’expression $n!f_{n}(x)$ sur tout l’ensemble $\mathrm{E}^{\prime}$ . On vérifie facilement que ce prolongement permet de généraliser tout à fait les propriétés. Par exemple si $f(x)$ est non-concave d’ordre $n$ on montre que partout où ils existent $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$ sont aussi non-concaves d’ordre $n-1,n-2,\ldots$ respectivement
26. Supposons que $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ soient des points de l’ensemble dérivé. On peut prendre $x_{1}{}^{\prime},x_{2}{}^{\prime},\ldots,x_{n}{}^{\prime}$ suffisamment près des points respectifs de la suite précédente tels que, $\varepsilon>0$ étant donné, on ait
avec la formule (54)

\left|\frac{\mathrm{U}\binom{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}{x_{1}^{\prime}\cdot x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime};f}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}-(n-1)!\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f^{\prime}\right]\right|<\frac{\varepsilon}{2}(n-1)!

\left|\frac{\sum_{i=1}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}-n!\right|<\frac{\varepsilon}{2J_{n}}(n-1)!

en supposant que la fonction soit à nème différence divisée bornée.
On en déduit

\left|\mid x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f^{\prime}\right]\mid<n.\Delta_{n}[f;\mathbb{E}]+\varepsilon

d’où

\Delta_{n-1}\left[f^{\prime};\mathrm{E}^{\prime}\right]\leq n\Delta_{n}[t;\mathrm{E}]

(62)

Lorsque l’ensemble E est un intervalle ( $a,b$ ) la formule (56) permet d’écrire (pour $n+1$ points)

\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)=

$=(n-1)!\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{x_{3}}^{x_{3}}\cdots\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{n};f^{\prime}\right],\mathrm{V}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\right)dt_{1}dt_{2}\ldots dt_{n}\ldots$
Nons avons aussi
$\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)=n!\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{x_{2}}^{x_{3}}\ldots\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\right)dt_{1}dt_{2}\ldots dt_{n}\ldots$
On en déduit

n.\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|\leq\Delta_{n-1}\left[f_{a}^{b}\right]

d’où

\left.n\Delta_{n}[\underset{a}{b}]\leq\Delta_{n}\stackrel{{\scriptstyle b}}\frac{b}{a}\right]

Comparant avec (62) on déduit pour le cas dunintervalle, l’égalite.

\Delta_{n-1}\left[f_{a}^{b}\right]=n\Delta_{n}\left[f_{a}^{b}\left({}^{38}\right)\right.

(63)

27.

Nous savons déjà que si $f(x)$ est à nème variation bornée $f^{\prime}(x)$ est à ( $n-1$ )ème variation bornée. Nous savons aussi que si la
⁽³⁸⁾ On peut facilement vérifier que cette égalité n’a pas líeu en général si l’ensemble E est quelconque. Ceci est d’ailleurs évident à priori puisque : la dérivation n’existe pas sur les points isolés de E .
fonction est continue (ce qui a toujours lieu si $n\geq 1$ ) on peut ne considérer que des points équidistants pour l’étude de la variation. Supposons que E soit un intervalle $(a,b)$ et que $n>1$ .
A tout $\varepsilon>0$ correspond une suite

64.

$x,x+h,x+2h,\ldots,x+mh,\quad(h>0)$
telle que
(665) (nème variation de $f$ sur (64)) $>V_{n}\left[\frac{b}{a}\right]-\varepsilon$ .

On peut toujours supposer (par suite de la continuité) $a<x$ , $x+mh<b$ .

On voit facilement que

[x+ih,x+(i+1)h,\ldots,x+(n+i)h;f]=

=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\left[ht+x+ih,ht+x+(i+1)h,\ldots,ht+x+(n+i-1)h;t^{\prime}\right]dt

"et en comparant avec (65) il résulte que

n\left(\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\stackrel{{\scriptstyle b}}]-\varepsilon\right)<\mathrm{V}_{n-1}\left[\stackrel{{\scriptstyle b}}_{a}^{b}\right]

d’où

n\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\stackrel{{\scriptstyle b}}]\leq\mathrm{V}_{n-1}[\stackrel{{\scriptstyle b}}{{\underset{a}{f}}}]

Maintenant, à tout $\varepsilon>0$ , correspond un nombre $\eta>0$ tel que $\left.\mid\left\{\mid x+y,x+2y,\ldots,x+ny;t^{\prime}\right]-\left[x,x+y,\ldots x+(n-1)y;t^{\prime}\right]\right\}-$
$\left.-\frac{ny}{h}\{[x,x+y,\ldots,x+ny;f]-[x+h,x+y+h,\ldots,x+ny+h;f]\}\right\rvert\,<\varepsilon$ Ipourvu que $|h|<\eta$ .

A l’aide des formules (6) et (10) on peut écrire
(66) $[x+h,x+y+h,\ldots,x+ny+h;f]-[x,x+y,\ldots,x+ny;f]=$

\begin{gathered}=\mathrm{A}_{1}[x,x+h,x+y,\ldots;f]+\mathrm{A}_{2}[x+h,x+y,x+y+h,\ldots;f]+\ldots\\ \ldots+\mathrm{A}_{n+1}[\ldots,x+(n-1)y+h,x+ny,x+ny+h;f]\end{gathered}

toutes les différences divisées du second membre étant d’ordre $n+1$ . ules $\mathrm{A}_{l}$ sont indépendants de $f(x)$ et acssi de $x$ et ils sont nonmógatifs si $x<x+h<x+y$ .

Nous pouvons trouver une suite

x,x+y,\ldots,x+my,\quad y>0,a<x,x+my<b

telle que, $\varepsilon>0$ étant donné, on ait

<\begin{gathered}\mathrm{V}_{n+1}\left[f_{a}^{b}\right]-\frac{\varepsilon}{2}<\\ \left.<\sum_{\imath=1}^{m-n+1}\mid x+iy,x+(i+1)y,\ldots,x+(n+i-1)y;f^{\prime}\right]-\\ -\left[x+(i-1)y,x+iy,\ldots,x+(n+i-2)y;f^{\prime}\right]\mid.\end{gathered}

Nous prenons $h$ assez petit tel que $x<x+h<x+y,x+my+h<b$ ,
et

\begin{gathered}\sum_{\imath=1}^{m-n+1}\mid\left[x+iy,x+(i+1)y,\ldots,x+(n+i-1)y;f^{\prime}\right]-\\ -\left[x+(i-1),x+iy,\ldots,x+(n+i-2)y;f^{\prime}\right]\mid<\\ \left.<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{ny}{h}\sum_{\imath=1}^{m-n+1}\right\rvert\,[x+(i-1)y+h,x+iy+h,\ldots,x+(n+i-1)y+h;f]-\\ {[x+(i-1)y,x+iy,\ldots,x+(n+i-1)y;f]\mid.}\end{gathered}

Or, la formule (66) montre que la somme du second membre est plus petite que

\mathrm{A}^{*}\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\stackrel{{\scriptstyle b}}]

où
$A^{*}=\frac{2}{(n+1)y}\cdot\max.\left(A_{1}+A_{3}+A_{5}+,\ldots,A_{2}+A_{4}+A_{6}+\ldots\right)n$ impair $=\max.\left(\frac{\mathrm{A}_{1}+\mathrm{A}_{3}+\mathrm{A}_{5}+\ldots}{\frac{n}{2}y+h},\frac{\mathrm{\penalty 10000\ A}_{2}+\mathrm{A}_{4}+\mathrm{A}_{6}+\ldots}{\left(\frac{n}{2}+1\right)y-h}\right)\quad n$ pair.
Si $n$ est impair il suffit de faire $f=x^{n+1},x^{n+2}$ pour voir que

\mathrm{A}^{*}=\frac{h}{y}.

La relation (1) permet ensuite de montrer que cette égalité a lieu aussi pour $n$ pair.

On en déduit

\mathrm{V}_{n-1}[\underset{a}{f}]-\varepsilon<n\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\underset{a}{b}]

d’oú

\mathrm{V}_{n-1}[\underset{a}{\stackrel{{\scriptstyle b}}}]\leq n\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\underset{a}{b}].

Finalement on a donc
(67)

\mathrm{V}_{n-1}\left[{\underset{a}{f}}^{b}\right]=n\mathrm{\penalty 10000\ V}_{n}[\underset{a}{b}.

Nous avons supposé que $t^{\prime}$ soit continue. M. A. Winternitz æ montré qu’on a aussi ( ³⁹ )

\mathrm{V}_{0}\left[{}_{a}^{b}\right]=\mathrm{V}_{1}\left[{}_{a}^{b}\right]

$f$ étant à première variation bornée et $f_{d}{}^{\prime}$ sa dérivée à droite.

§ 3. - Sur la limitation de la dérivée d’une fonction dordre $n$ .

28.

Soit $f(x)$ non-concave d’ordre $n$ dans l’intervalle ( $a,b$ ). Si $n>1$ elle admet une dérivée continue, donc bornée, dans tout intervalle complètement intérieur.

La suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},x,x^{\prime},x_{k+1},\ldots,x_{n}$ étant ordonnée on a

\lim_{x^{\prime}\rightarrow x}\frac{\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},x,x^{\prime},x_{k+1},\ldots,x_{n};f\right)}{x^{\prime}-x}\geq 0

d’où en développant
(68) $(-1)^{n-k-1}f^{\prime}(x)$

\left.=||\begin{array}[]{cccccc}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\ldots\ldots&x_{1}^{n}&f\left(x_{1}\right)\\ 1&x_{2}&x_{2}^{2}&\ldots\ldots&x_{2}^{n}&f\left(x_{2}\right)\\ \ldots\ldots\ldots&\ldots\ldots&\ldots&\ldots\\ 1&x_{k}&x_{k}^{2}&\ldots\ldots&x_{k}^{n}&f\left(x_{k}\right)\\ 1&x&x^{2}&\ldots\ldots&x^{n}&f(x)\\ 0&4&2x&\ldots\ldots&x_{n}^{n+1}&0\\ 1&x_{k11}&x_{k+1}^{2}&\ldots\ldots&x_{k}^{n}&f\left(x_{k+1}\right)\\ \cdots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 1&x_{n}&x_{n}^{2}&\ldots&\ldots&x_{n}^{n}\end{array}\quad f\left(x_{n}\right)\quad\right\rvert\,

Pour trouver une limitation de $f^{\prime}$ dans l’intervalle ( $a_{1},b_{1}$ ) $a<a_{1}<b_{1}<b$ , il suffit de prendre lés points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ dans
( $a,a_{1}$ ) les points $x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{n}$ dans ( $b_{1},b$ ) et de déterminer convenablement $k$ (on peut toujours choisir entre deux valeurs consécutives de $k)$ de manière que $(-1)^{n-k-1}f^{\prime}(x)>0$ . On peut alors prendre les modules dans (68).

Soit $\Delta_{0}$ la borne de $f(x)$ et posons

\mathrm{P}(z)=(z-x)\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right)\ldots\left(z-x_{n}\right).

Le second membre de (68) peut s’écrire

\left|\mathrm{P}^{\prime}(x)\right|\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{n-t}f\left(x_{i}\right)}{\left|x-x_{i}\right|.\left|\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|}+(-1)^{n-k+1}f(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-x_{i}}

et cette expression permet d’écrire

\left|f^{\prime}\right|\leq\Delta_{0}\left\{\sum_{i=1}^{n}\frac{\left|\mathrm{P}^{\prime}(x)\right|}{\left|x-x_{i}\right|\cdot\left|\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\left|x-x_{i}\right|}\right\}

$k$ étant convenablement choisi.
Cherchons une meilleure limitation pour des points suffisamment intérieurs.

Nous allons supposer que $f(x)=0$ . Posons alors

\mathrm{B}_{k}=\left|\mathrm{P}^{\prime}(x)\right|\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\left|x-x_{i}\right|\cdot\left|\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|}=(-1)^{n-k}\mathrm{P}^{\prime}(x)\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{n-i+1}}{\left(x-x_{i}\right)\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}

et
$\mathrm{B}^{*}{}_{k}=\min$ . de $\mathrm{B}_{k},\mathrm{\penalty 10000\ B}^{*}{}_{i,j}=\max.\left(\mathrm{B}^{*}{}_{i},\mathrm{\penalty 10000\ B}^{*}{}_{j}\right)\quad i+j=$ impair.
On en déduit que
$\left|f^{\prime}\right|\leq\Delta_{0}.\min.\left(\mathrm{B}^{*}{}_{i,j}\right)\quad i,j=0,1,2,\ldots,n,\quad i+j=$ impair.
Désignons encore par $F(z)$ le polynome $L$ prenant les valeurs $(-1)^{n-i+1}$ aux points $x_{i},i=1,2,\ldots,n+1\left(x_{n+1}=x\right)$ , nous avons

		$\displaystyle\frac{\mathrm{F}(z)}{\mathrm{P}(z)}=\sum_{\imath=1}^{n+1}\frac{(-1)^{n-i+1}}{\left(z-x_{i}\right)\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\quad\left(x_{n+1}=x\right)$
		$\displaystyle\mathrm{B}_{k}=(-1)^{n-k}\left(\mathrm{\penalty 10000\ F}^{\prime}(x)-\frac{\mathrm{P}^{\prime\prime}(x)}{2\mathrm{P}^{\prime}(x)}\right)$
		ement si nous posons

	$\displaystyle\mathrm{P}(z)$	$\displaystyle=(z-x)\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{n}\right)Q(z)$
	$\displaystyle\mathrm{R}(z)$	$\displaystyle=\mathrm{F}(z)-\frac{\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{n}\right)Q(z)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{n}\right)Q(x)}$

nous en déduisons

\mathrm{B}_{k}=(-1)^{n-k}\mathrm{R}^{\prime}(x)=\left|\mathrm{R}^{\prime}(x)\right|

29.

On voit que si $x$ est fixe $\mathrm{B}_{k}$ est positif et ne s’annule jamaisSi deux points $x_{i}$ et $x$ coïncident $\mathrm{B}_{k}$ devient infini, il atteint donc certainement son minimum pour des points distincts. Enfin $\mathbf{B}_{k}$ est homogène de degré -1 en $x_{i}$ et $x$ et ne dépend que des différences mutuelles de ces nombres. Il en résulte que pour le minimum l’une au moins des égalités $x_{1}=a,x_{n}=b$ , doit être vérifiée.

Supposons $x_{1}=a$ et écrivons les conditions

\frac{\partial\mathrm{B}_{k}}{\partial x_{j}}=0,\quad j=2,3,\ldots,n

La valeur ainsi trouvée pour $\mathrm{B}_{k}$ sera $\geq\mathrm{B}_{k}^{*}$ .
Nous avons

\frac{\partial\mathrm{B}_{k}}{\partial x_{j}}=\frac{(-1)^{n-k}\mathrm{P}^{\prime}(x)}{x_{j}-x}\left(\frac{\mathrm{\penalty 10000\ F}^{\prime}\left(x_{j}\right)}{\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{j}\right)}-\frac{1}{\left(x_{j}-x\right)\mathrm{P}^{\prime}(x)}\right)

donc

\left(x_{j}-x\right)\mathrm{P}^{\prime}(x)\mathrm{F}^{\prime}\left(x_{j}\right)=\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{j}\right)\quad j=2,3,\ldots,n

en supposant les points $x_{f},x$ distincts.
Nous en déduisons finalement
$\mathrm{R}(x)=0,\mathrm{R}\left(x_{i}\right)=(-1)^{n-i+1},i=1,2,\ldots,n,\mathrm{R}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0,i=2,3,\ldots,n$ .
Pour mettre en évidence le nombre $k$ désignons ce polynome $\operatorname{par}\mathrm{T}_{k}(z)$ .

Supposons maintenant que $x_{n}=b$ et écrivons

\frac{\partial\mathrm{B}_{k}}{\partial x_{j}}=0,\quad j=1,2,\ldots,n-1

nous obtenons alors pour $\mathrm{B}_{k}$ une valeur $\geq\mathrm{B}^{*}{}_{k}$ . Comme plus haut on trouve
$\mathrm{R}(x)=0,\mathrm{R}\left(x_{i}\right)=(-1)^{n-i+1},i=1,2,\ldots,n,\mathrm{R}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0,i=1,2,\ldots,n-1$
Désignons ce polynome par $-\overline{\mathrm{T}}_{k}(z)$ .
Nous avons

\begin{array}[]{ll}\mathrm{B}_{k}^{*}\leq\left|\mathrm{T}^{\prime}(x)\right|&\text{ pourvu que }x_{n}\leq b\\ \mathrm{\penalty 10000\ B}_{k}^{*}\leq\left|\overline{\mathrm{T}}^{\prime}(x)\right|&\text{ pourvu que }x_{1}\geq a.\end{array}

On peut d’ailleurs démontrer que l’égalité est effectivement atteinte pour une position particulière du point $x$ .

Le polynome $\mathrm{T}(z)$ est un polynome de Tchebichef ( ⁴⁰ ) dans un

⁰⁰footnotetext: (40) Voir S. Beinstein loc. cit. (8).

certain intervalle ( $a,b$ , )

\mathrm{T}_{k}(z)=\cos\left[n\arccos\frac{2z-b_{1}-a}{b_{1}-a}\right]

Pour que la formule (69) soit applicable il faut écrire que $x$ est la Kème racine de $\mathrm{T}_{k}(z)=0$ et que $x_{n}$ , qui st la plus grande racine de la dérivée, est au plus égal à $b$ ,
$x=\frac{b_{1}+a}{2}-\frac{b_{1}-a}{2}\cos\frac{2k-1}{2n}\pi,\quad b\geq x_{n}=\frac{b_{1}+a}{2}+\frac{b_{1}-a}{2}\cos\frac{\pi}{n}$ .
Eliminant $b_{4}$ nous trouvons

x\leq\dot{\xi}_{k}=\frac{a\left(\cos\frac{\pi}{n}+\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right)+b\left(1-\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right)}{1+\cos\frac{\pi}{n}}

Les points $\xi_{k}$ sont distribués de la manière suivante :

a<\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-1}<b<\xi_{n}

De la même manière nous avons

\bar{T}_{k}(z)=\cos\left[n\arccos\frac{2z-a_{1}-b}{b-a_{1}}\right]

les conditions d’applicabilité de la formule (70) sont

x=\frac{b+a_{1}}{2}+\frac{b-a_{1}}{2}\cos\frac{2k+1}{2n}\pi,\quad a\leq x_{1}=\frac{b+a_{1}}{2}+\frac{b-a_{1}}{2}\cos\frac{\pi}{n}

d’où

x\geq\eta_{k}=\frac{a\left(1+\cos\frac{2k+1}{2n}\pi\right)+b\left(\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{2k+1}{2n}\pi\right)}{1+\cos\frac{\pi}{n}}

Les peints $\eta_{k}$ sont distribués de la manière suivante :

\eta_{0}<a<\eta_{1}<\eta_{2}<\ldots<\eta_{n-1}<b.

30.

Si $x$ est dans l’intervalle $\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)$ les polynomes $\mathrm{T}_{m}(z)$ , $m=k,k+1,\ldots$ conviennent pour la limitation. Nous avons

\left|T_{m}^{\prime}(x)\right|=\frac{n}{\sqrt{(x--a)\left(b_{1}-x\right)}}=\frac{n}{x-a}\operatorname{tg}\frac{2n-1}{4n}\pi

donc

\left|\mathrm{T}^{\prime}{}_{k}(x)\right|<\left|\mathrm{T}_{k+1}^{\prime}(x)\right|<\left|\mathrm{T}_{k+2}^{\prime}(x)\right|<\ldots

et on poura alors écrire certainement

\left|f^{\prime}(x)\right|\leq\Delta_{0}.\left|\mathrm{T}_{k+1}^{\prime}(x)\right|\quad\quad\text{ dans }\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)^{)}

De la même manière on trouve

\left|f^{\prime}(x)\right|\leq\Delta_{0}\cdot\left|\overline{\mathrm{\penalty 10000\ T}}_{k-1}^{\prime}(x)\right|\quad\text{ dans }\left(\eta_{k},\eta_{k+1}\right)

avec

\left|\overline{\mathrm{T}}_{k-1}^{\prime}(x)\right|=\frac{n}{\sqrt{\left(x-a_{1}\right)(b-x)}}=\frac{n}{b-x}\operatorname{cotg}\frac{2k-1}{4n}\pi

Nous avons dans $\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)$

\begin{gathered}\left|\mathrm{T}^{\prime}k+1(x)\right|=\frac{n}{x-a}\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi\leq\frac{n}{5k-1-a}\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi=\\ =\frac{n}{b-a}\frac{1+\cos\frac{\pi}{n}}{1-\cos\frac{2k-3}{2n}\pi}\cdot\operatorname{tg}\frac{2k+1}{2n}\pi=\frac{n}{b-a}\frac{1+\cos\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{2k-3}{2n}}\cdot\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}<\\ <\frac{2n}{b-a}\frac{2n}{\pi}\frac{\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}<\frac{4n}{b-a}\frac{1}{\pi}\frac{\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}\end{gathered}

et finalement

\begin{gathered}\left|\mathrm{T}_{k+1}^{\prime}(x)\right|<\frac{4}{3}\frac{n^{2}}{b-a}\cdot\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}\quad\text{ dans }\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)\mid\\ n>2,k=2,3,\ldots,n-1\end{gathered}

De la même manière nous avons

\begin{gathered}\left|\overline{\mathrm{T}}_{k-1}^{\prime}(x)\right|<\frac{4}{3}\frac{n^{2}}{b-a}\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+3}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-1}{4n}\pi}\quad\text{ dans }\left(\eta_{k},\eta_{k+1}\right)\\ n>2,k=1,2,\ldots,n-2\end{gathered}

On peut écrire aussi dans $\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)$

	$\displaystyle\\|\mathrm{T}_{k+1}^{*}(x)\mid$	$\displaystyle=\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\sqrt{\frac{b-x}{x-a}}\cdot\operatorname{tg}\frac{2k-1-1}{4n}\pi\leq$
		$\displaystyle\leq\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\sqrt{\frac{b-\xi_{k-1}}{\xi_{k-1}-a}\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi=}$
		$\displaystyle=\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\cdot\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}\sqrt{\frac{\cos\frac{2k-5}{4n}\pi\cdot\cos\frac{2k-1}{4n}\pi}{\cos^{2}\frac{2k-3}{4n}\pi}}$

d’oú enfin

\begin{gathered}\left|\mathrm{T}_{k+1}^{\prime}(x)\right|<\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}\\ n>2,k=2,3,\ldots,n-1\end{gathered}\quad\text{ dans }\left(\xi_{k-1},\xi_{k}\right)

D’une manière analogue

\begin{gathered}\left|\bar{T}_{k-1}^{\prime}(x)\right|<\frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\cdot\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+3}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-1}{4n}\pi}\\ n>2,k=1,2,\ldots,n-2.\end{gathered}\text{ dans }\left(\eta_{k},\eta_{k+1}\right)

Remarquons que

\frac{\operatorname{tg}\frac{2k+1}{4n}\pi}{\operatorname{tg}\frac{2k-3}{4n}\pi}\leq\frac{\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4n}}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{4n}}\leq\frac{\operatorname{tg}\frac{5\pi}{12}}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}},\quad n>2,k=2,3,\ldots,n-1

\begin{gathered}\eta_{1}>\xi_{1}=\frac{a\left(\cos\frac{\pi}{n}+\cos\frac{\pi}{2n}\right)+b\left(1-\cos\frac{\pi}{2n}\right)}{1+\cos\frac{\pi}{n}}\\ \xi_{n-1}<\eta_{n-1}=\frac{a\left(1-\cos\frac{\pi}{2n}\right)+b\left(\cos\frac{\pi}{n}+\cos\frac{\pi}{2n}\right)}{1+\cos\frac{\pi}{n}}\end{gathered}

+On voit done que :
La dérivés d’une fonction $f(x)$ bornée et d’ordre $n$ dans l’intex-
valle ( $a,b$ ) vérifie les inégalités ( $n>2$ )

\left\{\begin{array}[]{l}\left|f^{\prime}(x)\right|<\frac{8}{3}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{n^{2}}{b-a}\Delta_{0}\\ \left|f^{\prime}(x)\sqrt{(x-a)(b-x)}\right|<2\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}n\cdot\Delta_{0}\end{array}\right.

$x$ appartenant à l’intervolle ( $a+\lambda,b-\lambda$ ) avec

\lambda=(b-a)\frac{1-\cos\frac{\pi}{2n}}{1+\cos\frac{\pi}{n}}

Nous avons introduit ici le coefficient 2 ; il provient du fait que, dans la démonstration, nous avons supposé $f(x)=0$ . Le cas général se ramène à celui-ci en considérant la fonction $f_{1}(z)=f(z)-f(x)$ qui est encore d’ordre $n$ et on a évidemment

f_{1}(x)=0,f_{1}^{\prime}(z)=f^{\prime}(z),\left|f_{1}(z)\right|\leq 2\Delta_{0}.

M. P. Montel a bien voulu nous faire remarquer que, dans le voisinage des extrémités $a+\lambda$ ou $b-\lambda$ la seconde limitation est comparable à la première pour les grandes valeurs de $n$ . Il suffit de remarquer pour celà que $\lambda$ est de l’ordre de $\frac{1}{n^{2}}$ .

Les formules (71) ressemblent beaucoup à celles que Markoff et M. S. Bernstein ont donné pour la limitation de la dérivée d’un polynome ( ⁴¹ ). On voit qu’une fonction d’ordre $n$ se comporte à peu près comme un polynome de degrén dans un sous-intervalle, qui se rapproche d’ailleurs autant qu’on veut de $(a,b)$ pour $n\rightarrow\infty$ .

GHAPITRE IV.

SUR LES FONCTIONS CONVEXES AU SENS DE M. JENSEN.
31. Dans son célèbre mémoire M. J. Jensen ( ⁴² ) définit les fonctions convexes (ordinaires) en ne considérant que des différences divisees secondes prises sur des points équidistants.
$\left({}^{41}\right)$ Voir S. Bernstein loc. cit. $\left({}^{8}\right)$ .
(42) J. L. W. V. Jensen „Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Math. t. 30 (1906), p. 175. M, L, Galvani a le premier considéré des fonctions définies sur des ensembles quelconques. Voir son mémoire "Sulle funzioni convesse di una o due variabili definite in un aggregato qualunque" Rendiconti di Palermo t. 41 (1916), p. 103.

Supposons pour fixer les idées que E soit un intervalle ( $a,b$ ) et considérons les différences divisées

\delta_{n}(x;h;f)=\frac{1}{n!h^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f(x+(n-i)h).

Supposons que $f(x)$ soit bornée et posons

\begin{gathered}\lim.\sup.\left|\sum_{i=1}^{n}(-1)^{t}\binom{n}{i}f(x+(n-i)h)\right|=\omega_{n}(\delta)\\ a\leq x,x+h\leq b,\quad|h|\leq\delta\end{gathered}

$\omega_{n}(\delta)$ est le module d’oscillation d’ordre $n$ de la fonction.
Posons

\Delta_{n}^{\prime}=\lim.\sup.\left|\delta_{n}(x;h;f)\right|\quad\operatorname{dans}(a,b).

Nous avons $\omega_{n}(\delta)\leq n!\delta^{n}\Delta_{n}^{\prime}$ , donc si $\Delta_{n}^{\prime}$ est fini

\lim_{\delta\rightarrow 0}\omega_{n}(\delta)=\dot{0}

M. A. Marchaud a démóntré que dans ce cas la fonction est continue ( ⁴³ ).

Prenons $n+1$ points ordonnés $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ et divisons l’intervalle ( $\omega_{1},x_{n+1}$ ) en $p$ parties égales par les points

x_{1}=x_{0}^{\prime},x_{1}^{\prime},\ldots,x_{p-1}^{\prime},x_{p}^{\prime}=x_{n+1}

Soit $x_{i}{}^{\prime\prime}$ le point $x_{j}{}^{\prime}$ qui est le plus proche de $x_{i}$ (ou bien l’un d’eux s’il y en a deux). La formule (10) nous donne alors

\left|\left[x_{1}^{\prime\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime\prime};f\right]\right|\leq\Delta_{n}^{\prime}.

Mais

\left|x_{i}-x^{\prime\prime}\right|\leq\frac{x_{n+1}-x_{1}}{2p}

et la fonction étant continue, on peut trouver un nombre $\eta>0$ tel què

\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-\left[x^{\prime\prime}{}_{1},x^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,x^{\prime\prime}{}_{n+1};f\right]\right|<\varepsilon

$\varepsilon>0$ étant un nombre donné quelconque, pourvu que $p>\eta$ . Il en résulte que

Si $\Delta^{\prime}{}_{n}$ est fini et si la fonction est borne elle est aussi à nème différence divisée bornée et on a

\Delta_{n}=\Delta_{n}^{\prime}.

(43) A. Marghaud loc, cit. (7). .

On peut aussi définir une nène variation totale $V^{\prime}{}_{n}$ sur des points équidistants en posant

	$\displaystyle\mathrm{V}_{n}^{\prime}$	$\displaystyle=\lim.\sup.\sum_{i=0}^{m}\left\|\delta_{n}(x+ih;h;f)-\delta_{n}(x+(i+1)h;h;f)\right\|=$
		$\displaystyle=\lim.\sup.(n+1)h\sum_{\imath=1}^{m}\left\|\delta_{n}{}_{1}(x+ih;h;f)\right\|\quad(h>0)$

Si $\Delta^{\prime}{}_{n+1}$ est bornè, il en est de même pour $\mathrm{V}^{\prime}{}_{n}$ , mais $\mathrm{V}^{\prime}{}_{n}$ peut être bornée sans que $\Delta_{n}^{\prime}$ le soit.

On démontre encore comme plus haut que si $\mathrm{V}^{\prime}{}_{n}$ est fini et la fonction $f(x)$ bornée, elle est à nème variation bornée et on a

V_{n}=V_{n}^{\prime}.

Bien entendu, cette propriété n’est vraie que pour $n>0$ . On a en général $V_{0}>V_{0}^{\prime}$ .
32. Nous pouvons enfin considérer des fonctions $f(x)$ vérifiant l’inégalité

\delta_{n+1}(x;h;f)\geq 0\quad\text{ dans }(a,b)

(72)

Je dis d’abord que si une telle fonction est bornée elle est continue dans l’intervalle ouvert ( $a,b$ ) ( $n>0$ ).

De la formule (10) résulte qu’on a

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]\geq 0

(73)

pourvu que les points $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+1}$ divisent rationnellement l’intervalle ( $x_{1},x_{n+2}$ ). Soit alors $x$ un point intérieur de ( $a,b$ ) et prenons $n$ points fixes $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ ordonnés et à gauche de $x$ et soit $x^{\prime}$ un point voisin de $x$ , qu’on peut supposer à droite de $x$ , pour fixer les idées. On a

\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x,x^{\prime};f\right)\geq 0

(74)

pourvu que la condition de rationalité soit vérifiée. Or, nous pouvons toujours prendre les points $x_{i}$ de manière que $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ divisent rationnellement l’intervalle ( $x_{1},x$ ). Alors, ou bien $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n},x$ divisent rationnellement l’intervalle ( $x_{1},x^{\prime}$ ), ou bien nous pouvons rem-
placer les points $x_{i}$ par d’autres $x_{i}^{\prime}$ aussi près qu’on veut des $x_{i}$ tels que cette propriété soit vérifiee. En développant alors l’inégalité (74) nous avons

f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\geq\left(x^{\prime}-x\right)\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x\right)}=\left(x^{\prime}-x\right)\mathrm{A}_{1}.

(75)

La quantité A est bornée la fonction l’étant aussi par hypothèse. Dans $\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x\right)$ les points ordonnés $x_{1},\ldots,x_{n},x$ sont, ou .bien fixes ou bien on remplace $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ par des points aussi voisins qu’on veut ; on peut donc s’arranger toujours de manière que $\mathbb{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x\right)$ reste plus grand qu’un nombre positif.

Il en résulte que $A_{1}$ reste borné quand $x^{\prime}$ varie.
Par le même procédé nous obtenons

f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\leq\left(x^{\prime}-x\right)\mathrm{B}_{1}

(76)

$\mathrm{B}_{4}$ étant borné lorsque $x^{\prime}$ varie. Pour celà il suffit de prendre par exemple $x_{n}$ à droite de $x$ . On procède de la même manière si $x^{\prime}$ est à gauche de $x$ .

Les inégalités (75), (76) prouvent la continuité.
Comme au No. précédent nous obtenons la propriété suivante :
Si une fonction bornée définie dans l’intervalle ( $a,b$ ) vérifie l’inégalité (72), elle est non-concave d’ordre $n$ (au sens du Chap. II).

Signalons encore la propriété suivante ( ⁴⁴ ) :
Si une fonction mesurable (au sens de M. Lebesgue) vérifie l’inégaLité (72), dans ( $a,b$ ) elle est continue en tout point intérieur.

Supposons le contraire et soit $x$ un point de discontinuité intérieur à ( $a,b$ ). Il résulte de ce qui précède que dans tout intervalle entourant $x$ il existe un point $\xi$ tel que

|f(\xi)|>\mathrm{A}

(77)

A étant un nombre positif aussi grand qu’on veut.
Soit a un nombre positif tel que l’intervalle ( $x-2\sigma,x+2\sigma$ ) soit complètement intérieur à ( $a,b$ ). Dans l’intervalle ( $x-\sigma,x+\sigma$ ) il existe un point $\xi$ tel que

|f(\xi)|>(n+1)\binom{n+1}{k}\mathrm{\penalty 10000\ A}

(78)

où $k$ est égal à $\frac{n}{2}$ ou $\frac{n+1}{2}$ suivant que $n$ est pair ou impair.

⁰⁰footnotetext: ( ⁴⁴ ) Pour

n=1

voir W. Sierpinski "Sur les fonctions convexes mesurables". Fundamenta Math. t. I (1920), p, 125.

Considérons l’un des intervalles de longueur $\sigma$ ayant $\xi$ comme extrémité. Nous avons
$\frac{1}{n+1}\left\{f(\xi-h)+\binom{n+1}{2}f(\xi+h)-\binom{n+1}{3}f(\xi+2h)+\cdots\right\}\geq f(\xi)\geq\geq\binom{n+1}{1}f(\xi+h)-\binom{n+1}{2}f(\xi+2h)+\binom{n+1}{3}f(\xi+3h)+\cdots$
en supposant par exemple $h>0$ et $\xi+(n+1)h\leq x+2\sigma$ .
On -voit alors qu’on a

|f(\xi+jh)|>\mathrm{A}

au moins pour un $j=-1,1,2,\ldots,n+1$ . En effet autrement il $y^{-}$ aurait certainement contradiction avec (78).

Il en résulte que les points $\xi$ , pour lesquels on a (77), forment un ensemble de mesure $\geq\sigma$ et alors la fonction ne peut être mesurable en vertu d’un théorème de M. Borel.

SECONDE PARTIE.

SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR DE DEUX VARIABLES RÉELLES.

CHAPITRE V.

SUR LES DIFFÉRENCES DIVJSÉES DES FONCTIONS DE DEUX variables réelles.

§ 1. - Théorie générale des différences divisées.

33.

Considérons une fonction $f(x,y)$ réelle et uniforme sur un en-semble plan borné $E$ dont la nature sera précisée plus loin.

On peut généraliser la notion de dufférence divicée pour le cas des fonctions de deux variables indépendantes d’une infinité de manières. Nous étudierons la généralisation qui paraît présenter le plus d’intérêt.

Soient $\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k},k=(m+1)(n+1)$ points de l’ensemble E. Désignons par $x_{i},y_{i},i=1,2,\ldots,k$ les coordonnées du point $\mathrm{M}_{i}$ et posons

\mathrm{V}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k}\right)=

(79)

$=\left|1x_{i}x_{i}^{2}\ldots x_{i}^{m}y_{i}y_{i}x_{i}y_{i}x_{i}^{2}\ldots y_{i}x_{i}^{m}\ldots y_{i}^{n}y_{i}^{n}x_{i}\quad y_{i}^{n}x_{i}^{2}\ldots y_{i}^{n}x_{i}^{m}\right|$
où, suivant une notation usitée, nous n’avons écrit que la ligne générale du déterminant.

Pour abréger, nous désignerons aussi par e l’ensemble des points. $\mathrm{M}_{i}$ et par $\mathrm{V}_{m,n}(e)$ le déterminant (79).

Désignons par $\mathrm{U}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots\mathrm{M}_{k};f\right)$ ou $\mathrm{U}_{m,n}(e;f)$ le détérminant qu’on déduit de (79) en remplaçant les éléments de la dernière : colonne par

f\left(x_{1},y_{1}\right),f\left(x_{2},y_{2}\right),\ldots,f\left(x_{k},y_{k}\right)

Appelons courbe d’ordre ( $m,n$ ) une courbe algébrique représentée. par l’équation $\mathrm{F}(x,y)=0$ où $\mathrm{F}(x,y)$ est un polynome de degré $m$ ena $x$ et de degré $n$ en $y$ .

Considérons alors le quotient

\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};f\right]_{m,n}=\frac{\mathrm{U}_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k};f\right)}{V_{m,n}\left(\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}^{k}\right)}

(80)

Remarqouns que la différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) est symétrique par rapport aux points $\mathrm{M}_{i}$ .

Soit $\mathrm{E}^{*}$ l’ensemble dont les éléments sont les groupes de $k==(m+1)(n+1)$ points de E non situés sur une courbe d’ordre $(m,n)$ . A chaque élément de $\mathrm{E}^{*}$ correspond, pour la fonction $f,x,y$ ), une dififérence divisée d’ordre ( $m,n$ ).

Prenons un sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ de $\mathrm{E}^{*}$ . L’ensemble de toutes les différences divisées d’ordre ( $m,n$ ) forme ce que nous appelerons une différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E de la fonction $f(x,y)$ .

La différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E est donc une fonction d’ensemble égale au quotient (80) en tout élément de $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ . Ainsi à tout sous-ensemble $\mathrm{E}_{1}^{*}$ correspond uue différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E.

Un sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}$ : est toujours caractérisé par certaines propriétés restrictives que doivent vérifier les groupes de points donnant ales éléments de ce sous-ensemble.
34. Supposons que tout point de E appartienne à au moins un "élément de $\mathbb{E}_{1}^{*}$ . Nous dirons alors que la différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E , correspondant à $\mathrm{E}^{*}\mathrm{\penalty 10000\ s}$ , est complète.

Il est à peu près évident qu’une différence divisée sur. E non complète ne présente aucune utilité pour l’étude de la fonction sur E.

Soit $\mathrm{E}_{1}$ un groupe de $k=(m+1)(n+1)$ points de E , ce groupe étant un élément de $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ , $\mathrm{E}_{2}$ l’ensemble de tous les points de E tels que chacun d’eux donne, avec $k-1$ points de $\mathrm{E}_{1}$ , un élément de $\mathrm{E}_{4}^{*}\ldots,\mathrm{E}_{p}$ l’ ensemble de tous les points de E tels que chacun d’eux donne, avec ${}_{..}k-1$ points de $\mathrm{E}_{p-1}$ , un élément de $\mathrm{E}_{1}^{*},\ldots$ etc.

On a $\mathrm{E}_{1}<\mathrm{E}_{2}<\ldots<\mathrm{E}_{p}<\ldots$ et la somme $\Sigma\mathrm{E}_{p}$ est contenue dans E.

Supposons qu’on puisse trouver $\mathrm{E}_{\mathrm{f}}$ de manière qu’on ait $\Sigma\mathrm{E}_{p}=\mathrm{E}$ . - Nous dirons alors que la différence divisée sur E , correspondant à $\mathrm{E}^{*}\mathrm{t}$ , est close.

Il est clajr que la propriété d’être close entraine celle d’ètre complète.

Soient $\mathrm{E}_{1}^{*},\mathrm{E}_{2}^{*}$ deux sous-ensembles de $\mathrm{E}^{*}$ tels que $\mathrm{E}_{1}^{*}<\mathrm{E}^{*}{}_{2}$ Nous dirons alors que la différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E , correspondant au sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{2}$ est plus élendue que celle correspondant au sous-ensemble $\mathrm{E}_{i}^{*}$ . On peut aussi dire que la différence divisée sur E , correspondant à $\mathrm{E}_{1}^{*}$ , est moins étendue que celle correspondant à $\mathrm{E}_{2}^{*}$ .

Si une différence divisée sur E est complète ou close, toute différence divisée sur E plus étendue sera a fortiori complète ou close.

Nous supposons bien entendu qu’il existe au moins une différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) donc que l’ensemble E ne soit pas vide. Pourqu’il en soit ainsi il taut et il suffit que les points de E ne soient pas. tous sur une courbe d’ordre ( $m,n$ ).

Une différence divisée d’ordre ( $m,n$ ) sur E est nulle identiquement si les différences divisées sont nulles pour tout élément de l’ensemble. $\mathrm{E}_{1}^{*}$ correspondant.

Si une différence divisée close d’ordre ( $m,n$ ) sur E est nulle identiquement, la fonction se réduit sur E aux valeurs d’un polynome de. degré $m$ en $x$ et de degré $n$ en $y$ ne contenant pas de terme en $x^{m}y^{n}$ .

Considérons une suite d’ensembles $\mathrm{E}_{1},\mathrm{E}_{2},\ldots,\mathrm{E}_{p},\ldots$ exprimant.. la clôture. Nous allons démontrer la propriété de proche en proche. La propriélé est vraie sur l’ensemble $\mathrm{E}_{1}$ . On le voit immédiatement en remarquant que, parmi les $k=(m+1)(n+1)$ points de $\mathrm{E}_{1}$ , il y a toujours $k-1$ par lesquels passe une scule courbe d’ordre ( $m,n$ ). Il suffit maintenant de montrer que si la propriété est vraie sur l’ensemble $\mathrm{E}_{p-1}$ elle sera vraie aussi sur l’ensemble $\mathrm{E}_{p}$ . Ceci résulte du fait que les points de $\mathrm{E}_{p}$ qui ne se trouvent pas dans $\mathrm{E}_{p-1}$ s’obtiennent de là manière suivante : On prend dans $\mathrm{E}_{p-1}k-1$ points par lesquels passe une seule courbe d’ordre ( $m,n$ ) ; soit ( $C$ ) cette courbe. On prend les points qui ne sont pas sur (C) et qui avec les $k-1$ points. choisis donnent un élément de l’ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ correspondant à la différence divisée sur E considérée. En prenant toutes les courbes ( C ) possibles on obtient tous les points de $\mathbf{E}_{p}$ .
35. Etablissons encore une propriété de certaines différences divisées sur E. Pour qu’une différence divisée sur E soit utilisable pour l’étude des fonctions il faut que, au moins pour des fonctions simples. elle conduise à des propriétés différentielles simples pour la fonction. $f(x,y)$ .

Soit $M^{\prime}$ un point du dérivé $E^{\prime}$ de $E$ et e un élément de $E^{*}{}_{1}$ , formé
par les points $\mathrm{M}_{i},i=1,2,\ldots,k,k=(m+1)(n+1)$ . Appelons distance du point $\mathrm{M}^{\prime}$ à l’élément e la plus grande des distances du point $\mathrm{M}^{\prime}$ aux points $M_{i}$ .

Convenons de dire que la suite d’éléments de $\mathrm{E}^{*}{}_{1},e^{\prime},e^{\prime\prime},\ldots,e^{(p)},\ldots$ / tend vers le point $\mathrm{M}^{\prime}$ de $\mathrm{E}^{\prime}$ si la distance du point $\mathrm{M}^{\prime}$ à l’élément $e^{(p)}$ tend vers zéro lorsque $p\rightarrow\infty$ .

Nous dirons qu’une différence divisée sur E est régulière si quelle que soit la manière dont une suite d’éléments $e^{\prime},e^{\prime\prime},\ldots,e^{\prime p},\ldots$ de E tend vers le point $\mathrm{M}^{\prime}$ de $\mathrm{E}^{\prime}$ , la différence divisée $\left[e^{(p)};x^{\alpha}y^{\beta}\right]_{m,n}$ tend vers une limite finie et bien déterminée et ceci :
10. Pour tout point M’ qui est limite d’au moins une suite d’éléments de $E_{1}^{*}$
$2^{0}$ . Pour toit couple de nombres $\alpha,\beta$ entiers non négatifs ( ⁴⁵ ).
Les conditions de régularité ne sont pas toutes indépendantes. Tout d’abord pour $\alpha\leq m,\beta\leq n,\alpha+\beta<m+n$ la limite en question est toujours égale à zéro et pour $\alpha=m,\beta=n$ elle est évidemment égale à 1 . Ces propriétés appartiennent à toutes les différences divisées sur E.

Désignons par $\mathrm{L}_{m,n}^{(\alpha,\beta)}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ la limite de la différence divisée $\left[e;x^{a}y^{\beta}\right]_{m,n}$ au point $M^{\prime}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ , dans le cas de la régularité. Nous avons donc

	$\displaystyle\mathrm{L}_{m,n}^{\left(a_{1}\beta\right)}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$	$\displaystyle=0$		$\displaystyle\alpha\leq m,\quad\beta\leq n,\alpha+\beta<m+n$
		$\displaystyle=1$		$\displaystyle\alpha=m,\quad\beta=n.$

Nous pouvons écrire

\left[e;x^{\alpha}y^{\beta}\right]_{m,n}=\sum_{\imath=1}^{k}A_{i}c_{\imath}^{\alpha}y_{\imath}^{\beta}\quad(k=(m+1)(n+1))

Tes $A_{i}$ étant indépendants de $\alpha$ et $\beta$ .
Désignons par $\mathrm{X}_{i}$ les fonctions symétriques fondamentales des abscisses des points formant $e$ et par $\mathrm{Y}_{i},i=i,2,\ldots,k$ les fonctions

⁰⁰footnotetext: ⁽⁴⁵⁾ Les considérations précédentes s’appliquent aux fonctions d’une variable ^∗ La différence divisée générale, envisagée dans la première partie, est close. Si la fonction est définie dans un intervalle, la différence divisée prise sur des points équidistants est complète mais n’est pas close. La question de régularité ne se pose pas. Toute différence divisée est régulière. C’est précisement à cause de cette propriété que les questions exposées dans la première cpartie presentaient une aussi grande simplicité.

symétriques fondamentales des ordonnées de ces points. Nous avons

	$\displaystyle{\left[e;\mathfrak{x}^{a}y^{\beta}\right]_{m,n}}$	$\displaystyle=\sum_{\imath=1}^{k}(-1)^{i-1}X_{i}\left[e;\mathfrak{x}^{\alpha-i}y^{\beta}\right]_{m,n}$		$\displaystyle\alpha\geq k$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}Y_{i}\left[e;\mathfrak{x}^{\alpha}y^{\beta-i}\right]_{m,n}$		$\displaystyle\beta\geq k$

ce qui nous montre que :
Il n’y a qu’un nombre fini de conditions de régularité indépendantes.

Il suffit en particulier que la condition de régularité soit vérifiée pour $\alpha\leq k-1,\beta\leq k-1$ et nous avons alors

	$\displaystyle L_{m,n}^{(\alpha,\beta)}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$	$\displaystyle=\sum_{i}^{k}(-1)^{i-1}\binom{k}{i}\mathfrak{X}^{\prime i}L_{m,n}^{(\alpha-i,\beta)}\left(\mathscr{X}^{\prime},y^{\prime}\right)\quad\alpha\geq k$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\binom{k}{i}y^{\prime i}L_{m,n}^{(\alpha,\beta-i)}\left(\mathscr{A}^{\prime},y^{\prime}\right)\quad\beta\geq k$

Nous avons ainsi trouvé $(m-1)(n+1)(m+n+mn)$ conditions de régularité. Ces conditions ne sont pas encore toutes indépendantes et on peut les réduire de diverses manières. Nous n’insistons pas ici sur ce point.

La régularité n’entraine pas la clôture et inversement la clôture n’entraine pas la régularité ( ⁴⁶ ).

Si une différence divisée sur E est régulière, toute différence divisée sur E moins étendue est aussi régulière et présente le même caractère de régularité (les limites sont les mêmes).

§. 2. - Sur une différence divisée particulière.

36.

Si le sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ coïncide avec E on obtient la différence divisée sur E la plus étendue. E n’étant pas vide on peut facilement démontrer que cetté différence divisée sur E est close. Toutefois, cette différence divisée sur E ne paraît pas présenter un grand intérêt pour l’étude de la fonction, car elle n’est pas en général régulière. Soient

⁰⁰footnotetext: (46) C’est précisement sur ce point que le cas de deux variables diffère essentiellement de celui d’une variable.

par exemple les quatre points

\begin{gathered}\mathrm{M}_{1}(1,1),\quad\mathrm{M}_{2}\left(1-a,1-a^{2}(1-\theta)\right),\quad\mathrm{M}_{3}\left(1+a,1-a,1-a^{2}(1-\theta)\right)\\ \mathrm{M}_{4}\left(1+a^{2},1+\theta a^{2}\right)\end{gathered}

et la fonction $f(x,y)=x^{2}$ ; nous avons

\left[M_{1},M_{2},M_{3},M_{4};f\right]_{1,1}=(1-\theta)a^{2}+\theta

Si $a\rightarrow 0$ les quatre points tendent vers le point $(1,1)$ et la différence divisée peut tendre vers n’importe quelle limite.
37. Nous allons supposer, pour simplifier, que E soit un rectangle fermé ( ⁴⁷ )

\mathrm{E}\binom{a\leq x\leq b}{c\leq y\leq a}

(81)

Appelons avec M. Marchaud $\left({}^{48}\right)$ , réseau d’ordre ( $m,n$ ) la figure formée par $m$ parallèles à l’axe $0y$ et $n$ parallèles à l’axe $0x$ . Bien entendu on ne considère que les points du réseau qui appartiennent. au rectangle E .

Nous appelons différence divisée partielle d’ordre ( $m,n$ ) la différence divisée sur E correspondant au sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ dont les éléments sont les noeuds (ou points d’intersections) de tous les réseaux. d’ordre ( $m+1,n+1$ ).

La différence divisée partielle d’ordre ( $m,n$ ) est complète maisn’est pas close. Elle est aussi régulière et sa régularité s’exprime parles égalités

\mathrm{L}_{m,n}^{(\alpha,\beta)}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=\binom{\alpha}{m}\binom{\beta}{n}x^{m-\alpha}y^{\prime m-\beta}.

La dénomination de différence divisée partielle peut s’expliquer de la manière suivante : Prenons la mème différence divisée de la fonction par rapport à $x$

\mathrm{F}(y)=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1};f\right]

et la nème différence divisée de $\mathrm{F}(y)$

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]=\left[y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1};F\right].

En changeant l’ordre des deux variables $x,y$ nous définissons également la quantité

\left[\begin{array}[]{l}y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\\ x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\end{array};f\right].

⁽⁴⁷⁾ Il est clair qu’on pourrait prendre un ensemble plus compliqué. (48) Thèse loc, cit. (7).

Nous voyons facilement qu’on a identiquement

\left[\begin{array}[]{l}y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\\ x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\end{array};f\right]=\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right].

L’expression (82) est précisément la différence divisée d’ordre $(m,n)$ de la fonction $f(x,y)$ sur les points $\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,m+1j=1,2,\ldots,n+1$ .

Appelons encore avec M. Marchaud (49) pseudo-polynome d’ordre ( $m,n$ ) toute fonction de la forme

\sum_{i=0}^{m}x^{i}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i}(y)+\sum_{j=0}^{n}y^{\prime}\mathrm{B}_{j}(x)\quad\begin{aligned} &\mathrm{A}_{l}(y)\text{ fonctions arbitraires de }y\\ &\mathrm{\penalty 10000\ B}_{j}(x)\text{ fonctions arbitraires de }x\end{aligned}.

Un pseudo-polynome d’ordre $(m,n)$ est complétement déterminé par ses valeurs sur un réseau d’ordre ( $m+1,n+1$ ).

Cette propriété est analogue à la propriété d’unicité des polynomes L.

Désignons par

\mathrm{P}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\binom{x}{y}\right.

le pseudo-polynome d’ordre $(m,n)$ coïncidant avec la fonction $f(x,y)$ sur le réseau

\begin{array}[]{ll}x=x_{i},&i=1,2,\ldots,m+1\\ y=y_{j},&j=1,2,\ldots,n+1\end{array}.

On voit aisément que

	$\displaystyle f(x,y)-\mathrm{P}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\left\lvert\,\begin{array}[]{l}x\\ y\end{array}\right.\right)=$		(83)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\right)\cdot\mathrm{V}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\right)}{\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1},x\right)\cdot\mathrm{V}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1},y\right)}\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x\\ y_{1},y_{2},\ldots,y\end{array}\right]\cdot$

38.

On peut voir facilement que la solution générale de l’équation

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]=0.\quad\text{ sur }\mathrm{E}

est un pseudo-polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ).

		$\displaystyle\text{ (49) Nous appelons pseudo-polynome d'ordre }(m,n)\text{ ce que M. Marchaud }$
		$\displaystyle\text{ appelle d'ordre }(m+1,n+1)\text{. Nous introduisons ce changement en vue d'ob- }$
		tenir une plus grande symétrie dans les dénominations.

Mathemat ca VIII. $\square$

Les différences divisées partielles d’ordre $\left(m_{1},n_{1}\right)<(m,n)\left[m_{1}\leq m,n_{1}\leq n,m_{1}+n_{1}<m+n\right]$ d’un pseudo-polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ) ne sont pas bornées en général. Le pseudo-polynome lui même est en général non borné. Nous avons la propriété suivante :

Pour qu’un pseudo-polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ) ait toutes ses différences divisées partielles d’ordre $\leq(m,n)$ bornées il faut et il suffit que ses différences divisées partielles d’ordre ( $m,0$ ), ( $0,n$ ) soient bornées.

Supposons la fonction $f(x,y)$ nulle sur le réseau

x=x_{i}^{\prime},\quad i=1,2,\ldots,m;\quad y=y_{j}^{\prime},\quad j=1,\ldots,n

Appliquons la formule (6) aux différences divisées partielles

		$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]=\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]-\left[\begin{array}[]{l}x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]}$
		$\displaystyle\left.\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\end{array};f\right]=\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\end{array};f\right]-\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1}^{\prime},y_{2}^{\prime},\ldots,y_{n}^{\prime}\end{array}\right]f\right]$

nous voyons alors que si lx différence divisée partielle d’ordre ( $m,n$ ) est bornée les différences divisées partielles d’ordre ( $m-1,n$ ), ( $m,n-1$ ) sont aussi bornées.

Il en résulte que toutes les différences divisées partielles d’ordre $\leq(m,n)$ sont bornées. On peut donc énoncer la propriété suivante :

Pour que les différences divisées partielles d’ordre $\leq(m,n)$ d’une fonction $f(x,y)$ soient bornées il faut et il suffit que :
10. La différence divisée partielle d’ordre ( $m,n$ ) soit bornée.
²⁰. Les différences divisées partielles d’ordre $(m,0),(0,n)$ soient bornées sur un réseau d’ordre ( $m+1,n+1$ ).

On voit aussi que :
Toute fonction dont la différence divisée partielle d’ordre ( $m,n$ ) est bornée est la somme d’une fonction ayant toutes ses différences divisées partielles d’ordre $\leq(m,n)$ bornées et d’un pseudo-polynome d’ordre $(m-1,n-1)$ .

Le fait que la différence divisée partielle d’ordre $(0,0)$ est bornée signifie que la fonction est bornée.

On peut encore remarquer que

f\left(x,y-f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=\left(y-y^{\prime}\right)\left[\begin{array}[]{l}x\\ y,y^{\prime}\end{array};f\right]+\left(x-x^{\prime}\right)\left[\begin{array}[]{l}x,x^{\prime}\\ y\end{array}\right]f\right]

donc, si les différences divisées partielles d’ordre $(1,0)$ et $(0,1)$ sont bornées la fonction est continue.

Rappelons encore un théorème de M. P. Montel (50) sous un farme un peu modifiée.

Si les différences divisées partielles d’ordre ( $m-m^{\prime},n$ ), ( $m,n-n^{\prime}$ ) d’un ? fonstion sont bornées, la différence divisée partielle d’ordre ( $m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}$ ) est bornée pourvu que

\begin{array}[]{ccc}m^{\prime\prime}\geq m-m^{\prime}&m\geq m^{\prime}>0&\frac{m-m^{\prime\prime}}{m^{\prime}}+\frac{n-n^{\prime\prime}}{n^{\prime}}>1.\end{array}

On montre d’abord que la propriété est vraie pour un pseudo«polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ) (les conditions $m\geq m^{\prime\prime}\geq m-m^{\prime}$ , $n\geq n^{\prime\prime}\geq\imath-n^{\prime}$ sont alors suffisantes). On démontre ensuite la propriété pour une fonction s’annulant sur un réseau d’ordre ( $m,n$ ) (les deux premières conditions peuvent alors être remplacées par $m^{\prime\prime}\leq m,n^{\prime\prime}\leq n$ ). La démostration peut se faire à l’aide des fonctions $\omega_{n,n}(\delta,\lambda)$ introduites par M. Marchaud dans sa Thèse ( ⁵¹ ).

S. 3. - Étude d’une autre différence divisée particulière.

39.

Pour simplifier nous supposerons encore que E soit un rectangle (81).

Soit $\mathrm{E}_{1}^{*}$ le sous-ensemble de $\mathrm{E}^{*}$ dont les éléments sont tous les groupes $e$ de $m+1$ points $\mathrm{M}_{i}\left(x_{i},y_{i}\right)$ vérifiant les conditions suivantes :
$1^{0}$ . La suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}$ est ordonnée.
$2^{0}$ . On a

\left|y_{i+1}-y_{i}\right|\leq\phi\left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad\dot{\imath}=1,2,\ldots,m

où $\phi(\theta)$ est une fonction positive et non décroissante pour $\theta>0$ .
Nous dirons que la différence divisée d’ordre ( $m,0$ ) sur E correspondant à $\mathrm{E}_{1}^{*}$ est une différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ). La foncation $\phi(\theta)$ est sa fonction caractéristique.

Une différence divisés normale d’ordre ( $m,0$ ) est close ; elle est adégulière si $\phi(\theta)$ est assez petit et tend assez rapidement vers zéro.

Nous dirons qu’une différence divisée sur E est bornée au point $\mathrm{M}(x,y)$ de E s’il existe un cercle de centre M où cette différence divisée soit bornée. On dira aussi que la différence divisée sur E n’est pas Gornée au point M si elle n’est bornée dans aucun cercle de centre M.

Démontrons la propriété suivante :
Si une tonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre

⁰⁰footnotetext: (50) Voir loc. cit. (35).
(51) Voir le troisième Chapitre de sa Thèse.

( $m,0$ ) bornée dans E , elle a aussi une différence divisbe normale d’ordire : ( $m-1,0$ ) bornée en tout point de E.

—

On peut faire la démonstration avec la formule (6) de la première : partie qui est ici aplicable sous la forme

		$\displaystyle{\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{m};f\right]_{m-1,0}-\left[\mathrm{M}_{1}^{\prime},\mathrm{M}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{M}_{m}^{\prime};f\right]_{m-1,0}}$		(84)
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}-x_{i}^{\prime}\right)\left[\mathrm{M}_{i},\mathrm{M}_{i+1},\ldots,\mathrm{M}_{m},\mathrm{M}_{1}^{\prime},\mathrm{M}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{M}_{i}^{\prime};f\right]_{m,0}$

où ( $x_{i},y_{i}$ ), ( $x_{i}^{\prime},y_{i}^{\prime}$ ) sont les coordonnées des points $\mathrm{M}_{i},\mathrm{M}_{i}^{\prime}i=1_{i},2_{ij}\ldots,m$ .

Soit $M(x,y)$ un point de $E$ et considérons un cercle de centre $M$ et de rayon $p$ . Prenons les points fixes $\mathrm{M}^{\prime};{}_{\mathrm{a}}$ i l’extérieur du eercle et. du même côté de la verticale passant par M. Supposons que nous les : prenions à droite de cette verticale de manière que la suite $x^{*}{}_{1},x^{\prime}{}_{2},\ldots,x^{\prime}{}_{m}$ . soit ordonnée. Prenons les points $\mathrm{M}_{i}$ dans le cercle tel que la suite : $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ soit ordonnée. Les suites $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{m},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i}^{\prime}$ seront alors ordonnées.

On voit alors qu’on peut toujours fixer le points $\mathrm{M}^{\prime}{}_{i}$ et prendre le rayon $\rho$ assez petit pour que quels que soient les points Misvérifiant la condition $2^{0}$ , les groupes de points $\mathrm{M}_{i},\mathrm{M}_{i+4},\ldots,\mathrm{M}_{na}\mathrm{M}_{1}^{\prime},\mathrm{M}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{M}_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,m$ , vérifient aussi la condition $2^{0}$ . La formule (84) démontre alors la propriété.

Nous allons préciser les résultats obtenus :
Désignons par $\mathrm{C}(\mathrm{M};\mathrm{p})$ le cercle de centre M et dè rayon $p$ .
Nous pouvons dire qu’il existe un $\rho>0$ tel que la fonction ait une différence divisée normale d’ordre $(m-1,0)$ barnée dans $\mathrm{C}\left(\mathrm{M};\mathrm{Q}_{q}\right)_{2}$ quel que soit le point M.

Pour tous les points M situés à gauche de la verticale d’abscisse $\frac{a+b}{2}$ on prend les points $\mathrm{M}_{i}^{\prime}$ tel qu’on ait $x_{i}^{\prime}<b-\lambda,i=1,2;\ldots,m$ , $\lambda$ étant un nombre positif fixe assez petit. La propriété en résulte pourtous ces points, tenant compte du fait que la fonetion caractéristique $\phi(\theta)$ de la différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) donnée est nom décroissante. On démontre de la même maniêre pour les points M qui sont à droite de la verticale d’abscisse $\frac{a+b}{2}$ . La propriété énoncée en résulte.

Je dis encore que : la différence diviśe normale diordre ( $m-1,0$ ) est uniformément bornée dans les cercles $\mathrm{C}\left(\mathrm{M};\rho_{1}\right),\rho>\rho_{1}>0$ .

Cet énoncé signifie qu’il existe un nombre positif $\mathrm{A}_{2}$ , tel que damæ :
lle cercle $C\left(M;p_{1}\right)$ les différences divisées de la différence divisée normale considérée, ne dépassent pas en module le nombre A, quel que soit M.

En effet, dans le cas contraire on trouve aisément qu’il existe un point $M_{0}$ tel que dans le cercle $C\left(M_{0};\rho\right)$ la différence divisée normale d’ordre ( $m-1,0$ ) ne soit pas bornée ; ce qui est impossible.
40. Supposons que la fonction $f(x,y)$ ait une différence divisée mormale d’ordre ( $m,0$ ) qui soit bornée dans le cercle $\mathrm{C}(\mathrm{M};\rho),\rho>0$ -quel que soit M dans E.

Nous allons montrer que dans ce cas la fonction à une (autre) différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) bornée dans le rectangle E .

Soit $\phi(\theta)$ la fonction caractéristique de la différence divisée normale donnée. Considérons la différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) udont la fonction caractéristique $\phi_{1}(\theta)$ est définie de la manière suivante :

\begin{array}[]{lll}\phi_{1}(\theta)=\phi\left(\rho_{1}\right)&\text{ pour }0\leq\theta\leq\frac{\rho_{1}}{2m}&\rho>\rho_{1}>0\\ \phi_{1}(\theta)=\phi\left(\rho_{1}\right)&\text{ pour }\theta>\frac{\rho_{1}}{2m}.&\end{array}

Nous montrerons qu’on peut toujours choisir $\rho_{1}$ de manière que «cette différence divisée normale vérifie la propriété.

Soient $\mathrm{M}_{i}\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,m+1,m+1$ poits de E vérifiant des inégalités :

		$\displaystyle x_{1}<x_{2}<,\ldots,<x_{m+1}$
		$\displaystyle\left\|y_{i+1}-y_{i}\right\|\leq\phi_{1}\left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i=2,\ldots,m.$

Sur chaque couple de points "consécutifs" $\mathrm{M}_{i},\mathrm{M}_{i+1}$ nous faisons d’opération suivante : Si $x_{i+1}-x_{i}\leq\frac{p_{1}}{m}$ nous laissons les points inchangés, si $\frac{\rho_{1}}{m}<x_{i+1}-x_{i}\leq\frac{2\rho_{1}}{m}$ nous partageons le segment $M_{i}M_{i+1}$ en deux parties égales par un point supplémentaire ; en général, si $\frac{(j-1)\rho_{1}}{c}<x_{i+1}-x_{i}\leq\frac{j\rho_{1}}{m}$ nous partageons le segment $M_{i}M_{i+1}$ en $j$ - parties égales par $j-1$ points supplémentaires.

Rangeons les points $\mathrm{M}_{i}$ et tous les points supplémentaires introduits dans l’ordre de croissance de leurs abscisses. On voit alors qu’on peut choisir $\rho_{1},\rho_{2}\left(\rho>\rho_{2}>\rho_{1}>0\right)$ , de manière que quels que soient les points $\mathrm{M}_{i}$ tout groupe de $m+1$ points consécutifs de la suite obtenue wérifie les propriétés suivantes :
10. Le groupe de $m+1$ points est un élément du sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ correspondont à la différence divisée normale donnée (dont la fonction caractéristique est $\phi(\theta)$ ).
$2^{0}$ . Les $m+1$ points du groupe sont dans un cerele de rayon $p_{2}$ ayant pour centre un point de $\mathbf{E}$ .

La propriété énoncée en résulte alors, en appliquant éventuellement la formule (10) de la première partie et tenant compte du fait que la différence divisée normale donnée est uniformément bornée dans les cercles $C\left(M;p_{2}\right)$ .

Tenant compte des résultats du No. précédent nous pouvonsénoncer la propriété :

Si une fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre( $m,0$ ) bornée dans E , clle a aussi une différence divisée normale d’ordre. ( $m-1,0$ ) bornée dans E .

On voit aussi que la fonction a une différence divisée normale d’ordre ( $r,0$ ) bornée dans E pour $r<m$ .

Remarque. Considérons la différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) dont la fonction caractéristique est $\lambda.\theta,\lambda$ étant un nombre positif _∘ Pour que cette différence divisée normale soit bornée dans E il faut et il suffit qu’elle soit bornée en lout point de E. On montre en effet, à l’aide de la formule (10), que si elle n’est pas bornée dans E , il existeun point où elle est non-bornée.
41. Si la fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre $(1,0)$ bornée elle est continue en tout point de $\mathbb{E}$ .

Soit $M(x,y)$ un point de $E$ et $M_{p}\left(x_{p},y_{p}\right)$ une suite de points deE tendant vers M. On voit qu’à tout nombre $\varepsilon>0$ on peut faire correspondre un nombre $N$ et une abscisse $x^{\prime}{}_{p}$ telle qu’on ait

\left|f(x,y)-f\left(x_{p}^{\prime},y_{p}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2},\left|f\left(x_{p}^{\prime},y_{p}\right)-f\left(x_{p},y_{p}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}

pour $p>\mathrm{N}$ ; donc

\left|f(x,y)-f\left(x_{p},y_{p}\right)\right|<\varepsilon,\quad p>N

Si la fonction a une différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) bornée elle a en tout point de E une dérivée partielle d’ordre $m-1$ , $\frac{\partial^{m-1}f}{\partial x^{m-1}}$ . Nous nous proposons de montrer que :

Si la fonction $f(x,y)$ a une différence divisée nonmale d’ordre $(m,0),m>1$ bornée, la dérivée partielle $f_{x}^{\prime}$ existe en tout point et a unedifférence divisée normale d’ordre ( $m-1,0$ ) bornée.

Pour démontrer la propriété il suffit de prendre les points $M_{i},M_{i}^{r}{}_{i}^{r}$
de manière que $y_{1}=y_{i}^{\prime},\quad i=1,2,\ldots,m$ et $x_{1}<x_{1}^{\prime}<x_{2}<x_{2}^{\prime}<\ldots$ On peut alors appliquer le raisonnement employé pour les fonctions d’une variable au Chap. III. En faisant tendre $x_{i}^{\prime}$ vers $x_{i},i=1,2,\ldots,m$ , on voit que $f^{\prime}{}_{x}$ a une différence divisée normale d’ordre ( $m-1,0$ ) bornée correspondant à une même fonction caractéristiquo $\phi(\theta)$ .

Do la propriété précédente et de ce qui a été dit aux N-os 39 et 40 on déduit que :

Si la fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre $(m,0)$ bornée, elle a des dérivées partielles $f^{\prime}x,f^{\prime\prime}x^{2},\ldots,f_{x^{m-1}}^{(m-1)}$ continues en tout point de E.

La dérivée $f_{x^{i}}^{(i)}$ a une différence divisée normale d’ordre ( $m-i,0$ ) bornée et en particulier $f_{xm-1}^{(m-1)}$ a une différence divisée normale d’ordre $(1,0)$ bornée.

Supposons que la fonction $f(x,y)$ ait une différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) et que cette différence divisée normale soit telle que la différence divisée ait une limite finie et bien déterminée quand les points, sur lesquels elle est prise, tendent d’une manière quelconque vers un point limite.

Il en résulte que la différence divisée normale considérée est bornée et que la dérivée partiolle $\frac{\partial^{m}f}{\partial x^{m}}$ existe et est continue. Réciproquement, si $\frac{\partial^{m}f}{\partial x^{m}}$ existe et est continue la fonction à une difference divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) bornée. Il est à remarquer que la fonction caractéristique $\phi(\theta)$ de cette différence divisée normale dépend en général de la fonction considérée.

On peut démontrer aussi la propriété suivante :
Pour que la tonction $f(x,y)$ ait une dérivée partielle $\frac{\partial^{m}f}{\partial x^{m}}$ continue en tout point de E il taut et il suffit qu’il existe une différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) telle que quelle que soit la manière dont les points sur lesquels une différence divisée est prise tendent vers un point limite, la différence divisée tende vers une limite finie et bien déterminée.

Disons encore qu’on peut faire la même construction pour l’ordre $(0,n)$ et introduire ainsi des différences divisées normales d’ordre ( $0,n$ ) qui jouirons des mêmes propriétés relativement à la variable $y$ .
42. Définissons le sous-ensemble $\mathrm{E}_{1}^{*}$ de manière que ses éléments $e$ soient tous les groupes de $k=(m+1)(n+1)$ points $M_{i,j}\left(x_{i,j},y_{i,j}\right)$ , $i=1,2,\ldots,m+1,j=1,2,\ldots,n+1$ vérifiant les conditions suivantes :

1’. Les suites

\begin{array}[]{lr}x_{1,j},x_{2,j},\ldots,x_{m+1,j}&j=1,2,\ldots,n+1\\ y_{i,1},y_{i,2},\ldots,y_{i,n+1}&i=1,2,\ldots,m+1\end{array}

sont ordonnées.
$2^{0}$ . On a les inégalitées

\begin{array}[]{lll}\left|y_{i+1,j}-y_{i,j}\right|\leq\phi\left(x_{i+1,j}-x_{i,j}\right),&i=1,2,\ldots,n&j=1,2,\ldots,m+1\\ \left|x_{i,j+1}-x_{i,j}\right|\leq\phi\left(y_{i,j+1}-y_{i,j}\right),&i=1,2,\ldots,m&j=1,2,\ldots,n+1\end{array}

où $\phi(\theta)$ est une fonction positive et non-décroissante pour $\theta>0$ .
On peut déterminer la fonction $\phi(\theta)$ de manière qu’on ait aussi $\mathrm{V}_{m,n}(e)\neq 0$ , quels que soient les points $\mathrm{M}_{i,j}$ . Nous supposerons qu’il en soit toujours ainsi. On voit que si la fonction $\phi(\theta)$ vérifie cette propriété toute fonction plus petite vérifiera la même propriété.

Nous appelons différence divisée normale d’ordre (m, n) la différence divisée sur E correspondant à un tel sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ . La fonction $\phi(\theta)$ est sa fonction caractéristique.

Une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) est plus étendue que la différence divisée partielle de même ordre. Donc, toute différence divisée normale est complète.

Démontrons encore que toute différence divisée normale est close.
Soient en effet $\mathrm{P}_{i,}\left(x_{i},y_{j}\right)i=1,2,\ldots,m+1j=1,2,\ldots,n+1$ les noeuds d’un réseau d’ordre ( $m+1,n+1$ ). Désignons par $e$ l’ensemble de ces $k=(m+1)(n+1)$ points Attachons à chaque pcint $P_{i,j}$ un cercle ayant ce point pour centre et pour rayon le nombre positif $p$ . Considérons les ensembles $e^{\prime}$ de $k$ points $\mathrm{P}^{\prime}{}_{i,}$ , tels que chacun soit dans ou sur la circonférence du cercle correspondant au point $\mathrm{P}_{i,j}$ de mêmes indices $i$ et $j$ . Il existe un $\rho_{e}$ dépendant de l’ensemble $e$ tel que $:1^{0}\mathrm{si}\rho<\rho$ . on ait $\mathrm{V}_{m,n}\left(e^{\prime}\right)\neq 0$ quel que soit $e^{\prime}$ ; $2^{0}$ si $\rho\geq\rho_{e}$ il y ait un $e^{\prime}$ dont le déterminant $\mathrm{V}_{m,n}$ soit nul. Le nombre $\rho_{e}$ est indépendant d’une translation du groupe de points $\mathrm{P}_{i,/}$ .

Considérons maintenant le sous-ensemble $\mathrm{E}^{*}$ , dont les éléments sont $e^{\prime}$ obtenus en prenant pour $\rho$ une valeur $<\rho_{e}$ indépendante d’une translation. On peut facilement démontrer que la différence divisée sur E correspondant à un tel sousensemble est close, en exprimant la condition de clôture d’une façon convenable. Or, étant donnée une différence divisée normale il existe toujours une différence divisée sur E de cette dernière forme qui soit moins étendue, ce qui démontre la propriété.

Nous pouvons énoncer la propriété suivante :

Si une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) d’une fonction sannule identiquement, cette fonction se réduit sur E à un polynome de degré $m$ en $x$ et de degré $n$ en $y$ ne contenant pas de terme en $x^{m}y^{n}$ .

Sans entrer dans les détails disons encore qu’on peut démontrer que si la fonction caractéristique tend assez rapidement vers zéro avec $\theta$ , la différence divisée normale est aussi régulière. Cette régula rité est évidemment toujours celle de la différence divisée partielle de rmême ordre.
43. Considérons une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ). :Soit $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ le sous-ensemble correspondant à cette différence divisée normale et $\phi(\theta)$ sa fonction caractéristique. Nous avons supposé que des points d’un élément de E* ₁ soient tous distincts. Supposons qu’une suite d’éléments de $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ tende vers un groupe limite $e$ de $(n+1)(n+1)$ points et soient $\mathrm{M}_{i,j}\left(x_{i,j},y_{i,j}\right)i=1,2,\ldots,m+1,j=1,2,\ldots,n+1$ les points de $e$ tels que

\begin{array}[]{ll}x_{1,j}\leq x_{2,j}\leq\ldots\leq x_{m+1,j}&j=1,2,\ldots,n+1\\ y_{i,1}\leq y_{i,2}\leq\ldots\leq y_{i,n+1}&i=1,2,\ldots,m+1\end{array}

Les points dé $e$ ne sont pas nécessairement tous distincts. On peut voir aisément que si la fonction caractéristique $\phi(\theta)$ tend assez rapidement vers zéro avec $\theta$ , un point multiple de $e$ est toujours formé par un groupe de $(p+1)(q+1)$ points confondus tels que $\mathrm{M}_{r+i,s+\text{ J }}i=0,1,2,\ldots,p,j=0,1,2,\ldots,q$ .

Nous allons essayer de donner un sens à la différence divisée pour un tel groupe $e$ , contenant des points confondus. Supposons toujours que les points $\mathrm{M}_{r+i,s+j}0\leq i\leq p,0\leq j\leq q$ viennent se confondre au point $\mathrm{M}(x,y)$ . Supposons-les d’abord distincts. Nous remplaçons dans $\mathrm{U}_{m,n}(e;f)$ les lignes correspondantes aux points $\mathrm{M}_{r+i,s+j}$ par $(p+1)(q+1)$ autres lignes qui se déduissent de la ligne

1xx^{2}\ldots x^{m}yyxyx^{2}\ldots yx^{m}\ldots y^{n}y^{n}x\ldots y^{n}x^{m}\quad f(x,y)

par le procédé suivant : On remplace la ligne correspondante au point $\mathrm{M}_{r+i,s+/}$ par (80) dans lequel on a substitué à chaque terme sa différence divisée d’ordre ( $i,j$ ) prise sur les points $\mathrm{M}_{r+\alpha,s+\beta}\alpha=0,1,2,\ldots,i,\quad\beta=0,1,2,\ldots,j$ . On fait cette opération pour $i=0,1,2,\ldots,p,j=0,1,2,\ldots,q$ [on pose bien entendu $\left[\mathrm{M}_{r,s};f\right]_{0,0}==f\left(x_{r,s},y_{r,s}\right)$ . Faisons tendre maintenant les points $\mathrm{M}_{r-i,s+j}$ vers $\mathrm{M}\left({}^{52}\right)$ . On voit alors facilement que si la fonction caractéristique tend assez
( ⁵² ) On suppose bien entendu que ces points appartiennent constamment des éléments de $E^{*}{}_{1}$ .
vite vers zéro avec $\theta$ , la ligne correspondante au point $\mathrm{M}_{r+i,s+j}$ tend vers ce qu’on déduit de (85), si on applique à ses termes l’opération : $\frac{\partial^{i+j}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}$ , pourvu bien entendu que la dérivée $\frac{\partial^{i+i}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}}$ existe et soit continue. On peut choisir $\phi(\theta)$ de manière que ceci soit vrai pour $i=0,1,2,\ldots,p,j=0,1,2,\ldots,q$ .

Enfin, on peut choisir $\phi(\theta)$ de manière que le procédé précédent s’applique à tous les points multiples de $e$ , pourvu que toutes les dérivées introduites existent et soient continues. Le déterminant $\mathrm{V}_{m,n}(e)$ ; sera défini par l’égalité $\mathrm{V}_{m,n}(e)=\mathrm{U}_{m,n}\left(e;x^{m}y^{n}\right)$ et si $\phi(\theta)$ est assez petit et tend assez vite vers zéro avec $\theta$ , on aura encore $V_{m,n}(e)\neq 0$ .

Il est donc possible de définir, sous les conditions indiquées, la différence divisée sur e par le rapport

[e;f]_{m,n}=\frac{\mathrm{U}_{m,n}(e;f)}{\mathrm{V}_{m,n}(e)}

Ajoutons à l’ensemble $\mathrm{E}_{1}^{*}$ toutes les limites d’éléments sur lesquelles la différence divisée peut être définie de cette manière. On voit alors que si une suite d’éléments de $\mathrm{E}_{1}^{*}$ tend vers un tel groupe limite $e$ , les différence divisées correspondantes ont pour limite $[e;f]_{m,n}$ .

Supposons en particulier que $f(x,y)$ soit continue et ait unedérivée $\frac{\partial^{m+n-2}f}{\partial x^{m-1}\partial y^{n-1}}$ continue ; donc toutes les dérivées $\frac{\partial^{r+s}f}{\partial x^{r}\partial y^{s}}r\leq m-1_{2}$ . $s\leq n-1$ existent et sont continues. Nous savons alors que la fonction a une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) qui peut être prolongée sur tout groupe limite contenant au moins quatre points distincts.

Supposons de plus que la dérivée $\frac{\partial^{m+n-2}f}{\partial x^{m-1}\partial y^{n-1}}$ ait une différence divisée normale d’ordre $(1,0)$ et une différence divisée normale d’ordre ( 0,1 ) bornées dans E. Par des considérations analogues à cel. les faites plus haut on montre que la fonction a alors une différencedivisée normale d’ordre ( $m,n$ ) qui peut être prolongée sur tout groupe limite e contenant au moins deux points distincts. Il est à remarquer que si e a seulement deux points distincts la valeur de $[e;f]_{m,n}$ peut ne pas être déterminée ; nous pouvons seulement affirmer que cette quantité reste bornée.

Soit $e^{(p)}p=\mathrm{J},2,\ldots$ une suite d’éléments de $\mathrm{E}^{*}{}_{1}$ tendant vers un
( ⁵³ ) La rapidité avec laquelle la fonction caractéristique doit tendre vers zéro pour $\theta\rightarrow 0$ dépend en général de la fonction $f(x,y)$ On peut préciser cette rapidité à l’aide des modules d’oscilation de divers ordres de la function $f(x,y)$ .
groupe limite $e$ de cette nature. La suite $\left[e^{(p)};f\right]_{m,n}p=1,2,\ldots$ ne tend pas nécessairement vers une limite ; on peut seulement affirmer que toutes les valeurs limites de cette suite sont finies (l’ensemble des valeurs limites étant fermé il sera nécessairement borné).

Nous pouvons maintenant énoncer la propriété suivante :
Si la dérivée $\frac{\partial^{m+n-2}f}{\partial x^{m-1}\partial y^{n-1}}$ de la fonction $f(x,y)$ existe et a une différence divisée normale d’ordre $(1,0)$ et une différence divisée normale d’ordre $(0,1)$ bornées dans E. Si en outre la fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) bornée en tout point ac E, elle a aussi une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) boonée dans E.

La fonction a en effet une différence divisée normale d’ordre $(m,n)$ moins étendue que celle donnée et qui soit prolongeable sur. tout groupe limite ayant au plus deux points distincts Cette différence divisée normale est évidemment bornée en tout point de E. Supposons : qu’elle ne soit pas bornée dans E et considérons alors une suite d’éléments $e^{(p)}$ de $\mathrm{E}_{1}^{*}$ tendant vers un groupe limite $e$ telle que $\left[e^{(p)};f\right]_{m,n}$ tende vers $+\infty$ . On en déduit que tous les points de $e$ doivent être confondus. Il existerait donc un point où la différence divisée normale considérée ne soit pas bornée, ce qui est impossible. La propriété est done démontrée.

Cette propriété complète et généralise certains résultats du No. 40.
44. Le prolongement sur tout groupe limite est possible, au sens : du No. précédent, si la fonction est un polynome et si la différence divisée normale considérée est régulière.

Supposons que la fonction soit à méme différence divisée bornée par rapport à $x$ pour toute valeur de $y$ et à $n^{\text{ème }}$ différence divisée bornée par rapport à $y$ pour toute valeur de $x$ . Considérons une différence divisée normale et régulière d’ordre ( $m,n$ ) de cette fonction, ayant pour fonction caractéristique $\phi(0)$ . Supposons que cette différence divisée normale ne soit pas bornét en un point $M(x,y)$ de $E$ .

Nous allons démontrer, sous ces hypothèses, que la différence divisée normale d’ordre ( $m+1,n$ ), de même fonction caractéristique $\phi(\theta)$ , ne peut pas être bovnée dans E :

$1^{0}$ les points $\mathbb{M}_{i,j}^{(p)}\left(x_{i,j}^{(p)},y_{i,j}^{(p)}\right),1\leq i\leq m+1,1\leq j\leq n+1,x_{1,j}<x_{2,j}<\ldots\ldots<x_{m+1,1};y_{i,1}<y_{i,2}<\ldots<y_{i,n+1}$ de $e^{(p)}$ tendent tous vers M, $2^{0},\left[e^{(p)};f\right]_{m,n}$ tende vers $+\infty$ . Nous modifions $\mathrm{U}_{m,n}\left(e^{(p)};f\right)$ comme au No. précédent ; nous remplaçons donc la ligne correspondante au point $\mathrm{M}_{i,j}^{(p)}$ par (85) dans lequel on a substitué à chaque terme sa différence divisée d’ordre ( $i-1,j-1$ ) prise sur les poirts $M_{\alpha,\beta}^{(p)},1\leq\alpha\leq i$ , $1\leq\beta\leq\equiv j$ . Nous faisons la même opération sur $\mathrm{V}_{m,n}\left(e^{(p)}\right)$ en remplaçant $f$ par $x^{m}y^{n}$ . De cette manière le rapport $\left[e^{(p)};f\right]_{m,n}$ ne change pas. Soit maintenant $e_{1}^{(p)}$ le groupe de $(m+2)(n+1)$ points formé par $e^{(\rho)}$ et par les points $\mathrm{P}_{1,j}^{(\rho)}\left(x_{0},y_{m+1,j}^{(\rho)}\right)1\leq j\leq n+1,x_{0}$ étant fixe et $>x+\rho$ . A la limite les points $\mathrm{P}_{1,j}^{(p)}$ viendrons se confondre avec le point ( $x_{0},y$ ). Nous modifions aussi le rapport $\left[e_{1}^{(p)};t\right]_{m+1,n}$ comme plus haut.

Faisons $p\rightarrow\infty$ , alors ou bien $\left|\left[e_{1}^{(p)};f\right]_{m+1,n}\right|$ a une limite infinie, ou bien il reste borné. Dans ce dernier cas on voit immédiatement qu’il faut qu’une au moins des diftérences divisées

	$\displaystyle{\left[\mathrm{M}_{1,1}^{(p)},\mathrm{M}_{1,2}^{(p)},\ldots,\mathrm{M}_{i,j}^{(p)};t\right]_{i-1,j-1}}$		(86)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,m+1,\quad j=1,2,\ldots,n+1$

(le système $i=m+1,\quad j=n+1$ étant exclu.)
soit non bornée.
Supposons que (86) soit non borné pour $i=r+1,j=s+1,r\leq m$ , $s\leq n,r+s<m+n$ et que les différences divisées (86) pour $i=1,2,\ldots,r+1,j=1,2,\ldots,s+1,i+j<r+s+2$ restent bornées. On peut toujours déterminer $r$ et $s$ de cette manière (si $r=s=0$ la fonction est non bornée au point $M$ ).

Désignons par $e_{2}^{(p)}$ l’ensemble de $(m+2)(n+1)$ points

\left.\begin{array}[]{ll}\mathrm{M}_{i,j}^{(p)}&i=1,2,\ldots,r,j=1,2,\ldots,s\\ \left(x_{i,1}^{(p)},y_{j}\right)&i=1,2,\ldots,r+1,j=1,2,\ldots,n-s\\ \left(x_{i},y_{j}\right)&i=1,2,\ldots,m-r+1,j=1,2,\ldots,n-s\\ \left(x_{i},y_{r+1,j}^{(p)}\right)&i=1,2,\ldots,m-r+1,j=1,2,\ldots,s+1\end{array}\right\}\text{ (aucun si }n=s\text{ ) }

où $x+p<x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-r+1};y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n-s}<y-p$ sont des abscisses et des ordonnées fixes.

Faisant $p\rightarrow\infty$ , la différence divisée $\left[e_{c}^{(p)};f\right]_{m+1,n}$ ne reste pas bornée, ce qui démontre la propriété.

On démontre de la même manière que la différence divisé normale d’ordre ( $m,n+1$ ) et plus généralement que la différence divisée normale d’ordre $\left(m_{1},n_{1}\right)m_{1}\geq m,n_{1}\geq n,m_{1}+n_{1}>m+n$ , de même fonction caractéristique $\phi(\theta)$ , ne peut pas être bornée dans E .
45. Supposons maintenant que la fonction $f(x,y)$ ait une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) bornée dans E. Nous allons démontrerque la différence divisée partielle d’ordre ( $m,0$ ) et la différence divisée partielle d’ordre ( $0,n$ ) sont bornées dans E. Il suffit de montrer que ces différences divisées partielles sont bornées en tout points de E. Nous obtenons cette propriété, pour l’ordre ( $m,0$ ) par exemple, par unraisonnement analogue à celui employé pour la démonstration des. propriétés du No 39 et en faisant usage de l’identité, facile à établir-

\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{m+1};f\right]_{m,0}=

$=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(y,y_{1}\ldots,y_{i-1},y_{i+1},\ldots,y_{n}\right)}{\mathrm{V}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)}\left[\mathrm{M}_{1,i},\mathrm{M}_{2,i},\ldots,\mathrm{M}_{m+1,i};f\right]_{m,0..}+\frac{(-1)^{n}\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(y,y_{1}y_{2},\ldots,y_{n}\right)}{\mathrm{V}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)}\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{m+1},\mathrm{M}_{1,1},\mathrm{M}_{1,2},\ldots,\mathrm{M}_{m+1,n};\right]_{m,n}$
où, $\left(x^{\prime}{}_{i},y\right)$ sont les coordonnées des point $\mathrm{M}_{i},i=1,2,\ldots,m+1$ et. ( $x_{i},y_{j}$ ) sont les coordonnées des points $\mathrm{M}_{i,\mathrm{j}},i=1,2,\ldots,m+1,j=1,2,\ldots,n$ . Ici on suppose que les points $\mathrm{M}_{i,\mathrm{j}}$ restent fixes et que $x_{i}^{\prime},y$ varient dans le domaine permis par la fonction caractéristique de la différence : divisée donnée.

Les résultats du No. précédent nous montrent que :
Si une fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ) bornée dans E , elle a aussi une différence divisée normale d’ordre( $m-1,n$ ) et une différence divisée normale d’ordre ( $m,n-1$ ) bornées dans $\mathrm{E}_{\mathrm{o}\ldots}$

On en déduit que la fonction a aussi une différence divisée normale d’ordre $(m,0)$ bornée dans E. La dérivée $\frac{\partial^{m-1}f}{\partial x^{m-1}}$ existe donc et est continue. Or, considérons la différence divisée normale d’ordre ( $m-1,n$ ) qui est aussi bornée et envisageons seulement les différences divisées… prises sur des points distribués $m$ à $m$ sur $n+1$ parallèles à l’axe $OX$ . Par un passage à limite on en déduit que la dérivée $f_{x^{m-1}}^{(m-1)}$ a aussi une différence divisée normale d’ordre ( $0,n$ ) bornée. Il en résulte que :

Si la fonction $f(x,y)$ a une différence divisée normale d’ordre( $m,n$ ) bornée dans E , elle a une dérivée $f_{x^{m-1}y^{n-1}}^{(m+n-2)}$ continue en tout… point de E.

On peut d’ailleurs démontrer plus exactement que la dérivée $f_{x^{\prime}y}^{(r+s)}r\leq m-1,s\leq n-1$ a une différence divisée normale d’ordre : ( $m-r,n-s$ ) bornée dans E.

Supposons qu’une différence divisée normale d’ordre ( $m,n$ ), de la fonction $f(x,y)$ , soit telle que la différence divisée ait une limite finie et bien déterminée quand les points, sur lesquels elle est prise, tendent d’une manière quelconque vers un point limite. Cette limite est égale en tout point à $\frac{1}{m!n!}f_{x^{m}y^{n}}^{(m+n)}$ . La dérivée $f_{x^{m}y^{n}}^{(m+n)}$ existe et est continue dans E. Bien entendu les limites en question n’existent que pour une classe particulière de fonctions dépendant de la différence divisée normale considérée. Cette classe comprend les polynomes si la différence divisée normale est régulière.

CHAPITRE VI.

SUR les fonctions convexes de deux variables réelles.

S 1. - Première extension de la notion de convexité.

46.

Les différences divisées partielles permettent une généralisation immédiate de la cenvexité d’ordre quelconque pour les fonctions de deux variables indépendantes.

La fonction $f(x,y)$ ’s sera convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe ou concave d’ordre ( $m,n$ ) sur l’ensemble E suivant qu’on a

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+2}\end{array};f\right]>0,\geq 0,=0,\leq 0,<0,\text{ sur E. }

On peut distinguer cette sorte de convexité par la désignation de convexité, non-concavité… etc. partielle, mais nous supprimons cette distinction, étant sous-entendu que nous ne parlons dans de § que de cette sorte de convexité.

L’ensemble des fonctions précédemment définies constitue la classe des fonctions d’ordre (partiel) ( $m,n$ ).

La valeur $m=-1$ n’est pas exclue. Une fonction d’ordre ( $-1,n$ ) est une fonction qui jouit d’une même propriété de convexité d’ordre $n$ par rapport à la variable $y$ , pour toute valeur da $x$ . On définit de la même manière une fonction d’ordre ( $m,-1$ ). Enfin, les fonctions d’ordre $(-1,-1)$ sont les fonctions de signe invariable.

Une définition géométrique, analogue à celle donnée pour les fonctions d’une variable, est obtenue à l’aide des pseudo-polynomes.

Soit en effet

\mathrm{P}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\binom{x}{y}\right.

Cle pseudo-polynome d’ordre ( $m,n$ ) prenant les valeurs de $f(x,y)$ sur le réseau $x=x_{i},i=1,2,\ldots,m+1,y=y_{j},j=1,2,\ldots,n+1$ où on peut supposer que les suites $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1},y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}$ soient ordonnées. La formule (83) nous montre alors que la non-concavité (convexité) s’exprime par le fait que la fonction doit être en tout point du rectangle

\begin{array}[]{ll}\left(x_{i},y_{\mathrm{j}}\right)&\left(x_{i},y_{\mathrm{j}+1}\right)\\ \left(x_{i+1},y_{\mathrm{j}}\right)&\left(x_{i+1},y_{\mathrm{j}+1}\right)\end{array}

inon au-dessous (au-dessus) ou non au-dessus (au-dessous) du pseudopolynome (88) suivant que $n+m-i-j$ est pair ou impair. Cette propriété s’applique au rectangle E entier, en convenant de poser dans (89) $x_{0}=a,x_{m+2}=b,y_{o}=c,y_{n+2}=d$ .

Disons enfin qu’on peut aussi considérer des fonctions jouissant de plusieurs propriétés de convexité et définir ainsi diverses classes de fonctions, comme dans le cas d’une seule variable.
47. Les propriétés des fonctions convexes d’une variable ne se génèralisent pas tout à fait pour ce cas. Par exemple, une fonction d’ordre ( $n,n$ ) dans le rectangle fermé (81), n’est pas nécessairement bornée. Mais :

Si une fonction d’ordre ( $m,n$ ) dans le rectangle E est bornée sur un réseau d’ordre $(m+2,n+2)$ elle est bornée dans le plus petit rectangle contenant les noeuds de ce réseau.

En particulier, si les côtés de E appartiennent au réseau la foncation est bornée dans tout le rectangle E.

On voit également que :
Si la fonction est d’ordre ( $m,n$ ) et si on a

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+2}\end{array};\mathrm{f}\right]=0

elle est polynomiale, donc se réduit à un pseudo-polynome d’ordre ( $m,n$ ) dans le plus petit rectangle contenant les points ( $x_{i},y_{j}$ ).

La démonstration est immédiate.
48. Considérons $pq(p\geq m+2,q\geq n+2)$ points $\mathrm{M}\left(x_{i},y_{j}\right)i=1,2,\ldots,p$ , $j=1,2,\ldots,q$ , dans le rectangle E et supposons què les suites $x_{1},x_{2},\ldots,x_{p}$ ; $y_{1},y_{2},\ldots,y_{q}$ soient ordonnées. On voit alors, comme dans le cas d’une seule variable, que les conditions nécessarres et suffisantes pour la nonconcavité (convexité) d’ordre ( $m,n$ ) sur les pq points sont

\begin{gathered}{\left[\begin{array}[]{l}x_{l},x_{i+1},\ldots,x_{i+m+1}\\ y_{j},y_{j+1}y\ldots,y_{j+n+1};f\end{array}\right]\geq 0,(>0)}\\ i=1,2,\ldots,p-m-1,j=1,2,\ldots,q-n-1.\end{gathered}

La formule (1) nous montre que les suites

		$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{j},y_{j+1},\ldots,y_{i+n+1}\end{array};f\right],\left[\begin{array}[]{l}x_{2},x_{3},\ldots,x_{m+2}\\ y_{j},y_{j+1},\ldots,y_{j+n+1}\end{array};f\right],\ldots}$
		$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right],\left[\begin{array}[]{l}x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+m+1}\\ y_{2},y_{3},\ldots,y_{n+2}\end{array};f\right],\ldots}$

sont ordonnées. On en déduit facilement que :
Si la fonction est d’ordre ( $m,n$ ) dans le rectangle E et si less différences divisées partielles d’ordre ( $m+1,n$ ), ( $m,n+1$ ) sont bornées : sur un réseau d’ordre $(2m+2,2n+2)x=x_{i},i=1,2,\ldots,2m+2$ , $y=y_{j},j=1,2,\ldots,2n+2$ , ces différences divisées seront bornées dans : tout le rectangle

\begin{array}[]{ll}\left(x_{m+1},y_{n+1}\right)&\left(x_{m+1},y_{n+2}\right)\\ \left(x_{m+2},y_{n+1}\right)&\left(x_{m+2},y_{n+2}\right)\end{array}

Si, de plus, les différences divisées partielles d’ordre ( $m+1,0$ ). et ( $0,n+1$ ) sont bornées sur un réseau d’ordre ( $m+1,n+1$ ), compris dans le rectangle ( 90 ), toutes les différences divisées partielles d’ordre $<(m+1,n+1)$ sont bornées dans ce rectangle. Nous démontrons : encore, exactement comme au No. 13 pour les fonctions d’une variable, que :

Il existe des fonctions d’une classe donnée d’avance sur les $pq$ points considérés à condition que si ( $m,n$ ) est la plus grand-ordre de polynomialité toutes les propriétés d’ordre supérieur soient de polynomialité.

Il est à remarquer qu’ici une fonction polynomiale d’ordre $(m,n)$ n’est pas nécessairement d’ordre ( $m-1,n$ ) ou ( $m,n-1$ ).
49. Nous avons la propriélé suivante :

Si une fonction est d’ordre $(1,-1)$ et d’ordre $(-1,1)$ , elle est. continue par rapport à l’ensemble des variables en tout point intérieur…

Cette propriété a.été démontrée par M. P. Montel en supposants que fla fonction soit non-concave d’ordre $(1,-1)$ et non-concave : d’ordre $(-1,1)\left({}^{54}\right)$ .
M. N. Kritikos a généralisé la propriété précédente de la manière suivante : ( ⁵⁵ )
(54) P. Montel „Sur les fonctions doublement convexes et les fonctions doublement sous-harmoniques" Praktika de l’Acad. d’Athènes 6, (1931), p. 374. Une telle fonction est dite doublement convexe.
(55) N. Kritikos „Sur les fonctions multiplement convexes ou concaves ^∗∗. Praktiza de l’Acad. d’Athènes, 7 1932, p. 44. Voir aussi un mémoire demême auteur paru dans le Bulletin de la Soc. Math. de Grèce, t. XI (1930) pp. 21-28.

Si $f(x,y)$ est d’ordre 1 par rapport à l’une des variables et continue par rapport à l’autre, elle est continue par rapport à l’ensemble des variables en tout point interieur.

Plus généralement, si la fonction est d’ordre $n$ par rapport à l’une des variables et continue par rapport à l’autre elle est continue par rapport à l’ensemble des variables. Cette propriété peut d’ailleurs se déduire du théorème de M. Kritikos, compte tenant des résultats du No. 14 de la première partie.

Une fonction d’ordre $(m,-1)$ continue par rapport à $y$ dans le rectangle E a une différence divisée partielle d’ordre ( $m,0$ ) bornée dans tout rectangle complètement intérieur.

Soint en effet $\mathrm{E}\left(a^{\prime}\leq x\leq b^{\prime},c^{\prime}\leq y\leq d^{\prime}\right),a<a^{\prime}<b^{\prime}<b$ , $c<c^{\prime}<d^{\prime}<d$ un rectangle complètement intérieur. Prenons les abscisses $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m+1}^{\prime}$ à l’intérieur de ( $a,a$ ) et les abscisses $x^{\prime\prime}{}_{1},x^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,x^{\prime\prime}{}_{m+1}$ à l’intérieur de ( $b^{\prime},b$ ). Nous savons (No. 17 de la première partie) que si $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}$ sont dans l’intervalle fermé ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ), la différence divisée

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1};f\\ y;\end{array}\right]

est comprise entre les difiérences divisées

\left[\begin{array}[]{l}x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m+1}^{\prime}\\ y\end{array};f\right],\left[\begin{array}[]{l}x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m+1}^{\prime\prime}\\ y\end{array};f\right]

Or, la fonction étant continue par rapport a $y$ elle est bornée sur l’ensemble des parallèles $x=x_{i}^{\prime},x=x_{i}^{\prime\prime}i=1,2,\ldots,m+1$ . ll en résulte que les différences divisées (91) restent bornées dans leur ensemble lorsque $y$ varie, se qui démontre la propriété.

En particulier une fonction qui est d’ordre ( $m,-1$ ) et d’ordre $(-1,n)$ a une différence divisée partielle d’ordre ( $m,0$ ) et une différence divisée partielle d’ordre ( $0,n$ ) bornées dans tout rectangle complètement intérieur.

Tenant compte d’un théorème de M. P. Montel (56) on en déduit la propriété :

Une fonction qui est d’ordre ( $m,-1$ ) et d’ordre ( $-1,n$ ) a en tout point intérieur une dérivée $\frac{\partial^{r+s}f}{\partial x^{r}\partial y^{s}}$ continue par rapport à l’ensemble des variables, pourvu que

\frac{r}{m}+\frac{s}{n}<1

(56) P. Montel loc, cit. (35).

Mathemalica VIH.

Si la fonction est d’ordre ( $m,n$ ) at si la dérivée partielle $f^{\prime}x$ existe c’est une fonction d’ordre ( $m-1,n$ ) présentant le même caractère de convexité et réciproquement. Plus généralement si $t$ est d’ordre ( $m,n$ ) et si $f_{xy}^{(r+s)}{}^{s}$ existe c’est une fonction d’ordre ( $m-r,n-s$ ). Si $f_{x}^{(m+1,n+2)}y^{n+1}$ existe, elle est non négative si la fonction est non-concave d’ordre ( $m,n$ ) et réciproquement. On suppose ici encore que E soit un rectangle.
50. Avant de tinir ce § disons qu’on peut définir la convexité avec d’autres différences divisées que les différences divisées parielles.

On peut par exemple donner des définitions à l’aide des différences divisées normales. Il est inutile de répéter comment on écrit ces conditions. Ces fonctions jouissent des propriétés plus restrictives que celles précédemment définies. Considérons par exemple une fonction qui est d’ordre ( $m,-1$ ) par rapport à une différence divisée normale d’ordre ( $m+1,0$ ). Une telle fonction a une différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ) bornée dans tout rectangle complètement intérieur. Elle a donc des dérivées partielles $\frac{\partial^{i}t}{\partial x^{i}}i=1,2,\ldots,m-1$ continues en tout point intérieur. La dérivée $f^{\prime}x$ est d’ailleurs a son tour d’ordre ( $m-1,-1$ ) par rapport à une certaine différence divisée normale d’ordre ( $m,0$ ). Il est à remarquer que si la dérivée ${\underset{x}{f}}_{m+1}^{(m+1)}$ existe elle est d’un signe invariable, mais la récjproque n’est pas vraie. Il faut des conditions supplémentaires de continuité pour pouvoir affirmer que de l’inégalité $f_{\begin{subarray}{c}m+1\\ m+1\end{subarray}}^{(m+1)}\geq 0$ résulte la non-concavité d’ordre $(m,-1)$ de la fonction par rapport à une différence divisée normale d’ordre ( $m+1,0$ ).

§ 2. - Seconde extension de la notion de convexité.

51.

Considérons une fonction $f(x,y)$ définie, pour ne pas compliquer, sur un domaine fermé convexe et borné E. L’allure de la fonction sur une droite s’obtient en prenant le plan perpendiculaire sur XOY qui se projète sujvant cette droite et en considérant la fonction dans ce plan. L’axe OY dans ce plan est orientée vers le OZ positif.

Nous nous proposons d’étudier les fonctions qui sont d’ordre $n$ sur toute droite contenant des points de E. Nous dirons d’une telle fonction qu’elle est d’irdre $n$ sur l’ensemble E.

Supposons que $n$ soit pair. Nous avons vu que le caractère de convexité d’une fonction d’une variable dépend de l’orientation de l’axe OX. Pour cette raison nous ne ferons pas de distinction entre lacon-
wexité et la concavité, resp. entre la non-concavité et la non-convexité sur une droite. Une fonction peut être d’ordre $n$ au sens strict ou au sens large suivant qu’elle est convexe (ou concave) resp. non-concave (ou non-convexe). Elle peut enfin être polynomiale sur une droite.

Supposons maintenant que $n$ soit impair. La nature de convexité d’une fonction d’une variable et d’ordre impair ze dépend pas de l’orientation de l’axe OX. On peut donc ici faire la distinction entre la convexité, non-concavité, polynomialité, non-convexité et la concavité sur une droite. Une fonction d’ordre impair $n$ sera dite convexe, nonconcave, …. etc. d’orde $n$ sur E si elle est convexe, non-concave, … etc. d’ordre $n$ sur toute droite de E.

On peut distinguer la sorte de convexité ainsi introduite en disant qu’il s’agit d’une convexité, non-concavité …. etc. totale d’ordre $n$ . Nous supprimons dans la suite cette dénomination étant sous endendu qu’il no s’agira que de cette sorte de convexité.

Considérons par exemple un polynome de degré $n+1$

a_{0}x^{n+1}+a_{1}x^{n}y+\ldots.+a_{n+1}y^{n+1}+\ldots

C’est toujours une fonction d’ordre $n$ . Si $n$ est pair il y a toujours des droites sur lesquelles la fonction est polynomiale. Si $n$ est impair et si le polynome $a_{0}t^{n+1}+a_{1}t^{n}+\cdots+a_{n+1}$ est positif (non négatif) la fonction est convexe (non-concave) d’ordre $n$ . Sur cet exemple on voit bien qu’une fonction peut être d’ordre $n$ sans présenter un caractère de convexité déterminé.

On pourait également considérer des classes de fonctions présentant plusieurs propriétés de convexité déterminées.
52. Je dis que si la fonction est d’ordre $n(n>0)$ elle présente le même caractère de convexité sur des droites parallèles.

On peut supposer que les droites soient parallèles à l’axe OX. La démonstration se fait alors très facilement en tenant compte du sfait que si la suite d’ordonnées $y_{1},y_{2},\ldots,y_{p},\ldots$ tend vers l’ordonnée $y_{0}$ , la suite de fonctions de $x,f\left(x,y_{1}\right),f\left(x,y_{2}\right),\ldots,f\left(x,y_{p}\right),\ldots$ converge vers $f\left(x,y_{0}\right)$ .

Une fonction d’ordre $n(n>0)$ est en particulier d’ordre $n$ par rapport à chacune des variables ; elle est donc d’ordre ( $n,-1$ ) et d’ordre $(-1,n)$ . Nous en déduisons que :

Toute fonction d’ordre $n$ sur E est continue en tout point intérieur $-sin>0$ .

En particulier :
Toute fonction d’ordre $n$ sur $\mathbb{E}$ est bornée dans tout domaine comvolètement intérieur à E .

Je dis que cette propriété est vraie même pour $n=0$ . Soit $\left\{\mathrm{M}_{\rho}\right\}$ une suite de points de E tendant vers un point limite intérieur M. Prenons un point $M^{\prime}$ et une droite $\Delta$ dans $E$ de manière que pour $p>\mathrm{N}$ l’intersection des droites $\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{M}_{p}$ et $\Delta$ tombe à l’intérieur de E . Designons par $\mathrm{M}^{\prime}{}_{p}$ l’intersection des droites $\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{M}_{p}$ et $\Delta$ . La valeur de la fonction en $\mathrm{M}_{p}$ est toujours comprise entre ses valeurs en $\mathrm{M}^{\prime}$ et $\mathrm{M}_{p}^{\prime}$ . On voit maintenant que si nous supposons que les valeurs de la fonction aux points $M_{p}$ aient une limite infinie il arrive ou bien qu’en M’ la fonction ne soit pas bornée ou bien qu’elle ne soit pas bornéesur $\Delta$ au voisinage de l’intersection de cette droite avec MM’, ce qui est impossible. La propriété est donc démontrée.
53. Nous avons encore la propriété suivante :

Une fonction d’ordre $n$ dans le domaine $\mathbf{E}$ a des dérivécs partielles d’ordre $<n$ continues en tout point intérieur.

En ce qui concerne les dérivées d’ordre $n$ , nous savons qu’en toutr point interieur elles existent suivant toute demi-droite issue de ce point.

Soient $M_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),M_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ deux points et prenons la différencedivisée première sur la droite joignant ces deux points. Nous avons-

\frac{f\left(x_{1},y_{1}\right)-f\left(x_{2},y_{2}\right)}{M_{1}-M_{2}}=\cos\alpha\cdot\left[x_{1},x_{2}f\left(x,y_{1}\right)\right]+\sin\alpha\cdot\left[y_{1},y_{2}f\left(x_{2},y\right)\right]

où $\alpha$ est l’angle de la droite $\mathrm{M}_{1}\mathrm{M}_{2}$ avec l’axe OX .
Nous en déduisons facilement que la différence divisée d’ordro $n+1$ sur $n+2$ points $\mathrm{M}_{i}\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,\ldots,n+2$ en ligne droite s’écrit

\sum_{i=0}^{n+1}\cos^{n+1-i}\alpha\sin^{i}\alpha\cdot\left[\begin{array}[]{l}x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{n+2}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{i+1}\end{array};f\right]

Si la fonction est d’ordre $n$ cette expression est de signe invariable sur toute droite.

Supposons en particulier que les dérivées d’ordre $n+1$ existent. Il faut alors et il suffit que la fonction

\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i}\cos^{n-i+1}\alpha\sin^{i}\alpha\cdot\frac{\partial^{n+1}T}{\partial x^{n-i+1}\partial y^{i}}

(92)

soit de signe invariable sur toute droite faisant l’angle $\alpha$ avec l’axe $OX$ .
Si la fonction est d’ordre impair et convexe (non-concave) lepolynome est non négatif en tout point où les dérivées existent. Reciproquement, si les dérivées existent et si en tout point intérieur le polynome (92) est non négatif resp. positif on peut affirmer quela fonction est non-concave resp. convexe d’ordre impair $n$ . Si $n=1$ , pour que la fonction soit non-concave d’ordre 1 il faut et il
suffit que $f^{\prime\prime\prime}{}_{x^{2}}\geq 0,f^{\prime\prime}{}_{x^{2}}f^{\prime\prime}{}_{y^{2}}-\left(f^{\prime\prime}{}_{xy}\right)^{2}\geq 0$ et pour qu’elle soit convexe il suffit que $f^{\prime\prime}{}_{x^{2}}>0,f^{\prime\prime}{}_{x^{2}}f^{\prime\prime}{}_{y^{2}}-\left(f^{\prime\prime}{}_{xy}\right)^{2}>0$ , en admettant, bien entendu, que les dérivées secondes existent.

Les fonctions d’ordre 1 sont très proches des fonctions convexes de M. Jensen ( ⁵⁶ ). M. Jensen définit une fonction convexe par l’inégalité

f\left(\frac{x+x^{\prime}}{2},\frac{y+y^{\prime}}{2}\right)\leq\frac{1}{2}\left(f(x,y)+f\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right)

Hes points $(x,y),\left(x^{\prime},y^{\prime}\right),\left(\frac{x+x^{\prime}}{2},\frac{y+y^{\prime}}{2}\right)$ appartenant à l’ensemble de définition de la fonction. Si une telle fonction est bornée elle est non concave d’ordre 1, avec notre définition.
54. - Une fonction polynomiale se réduit à un polynome sur toute droite. Nous allons démontrer que :

Une fonction polynomiale d’ordre $n$ se réduit sur E aux vajeurs d’un polynome de degré n.

Prenons dans E les $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$ points $\mathrm{M}_{l,\mathrm{j}}\left(x_{i},y_{j}\right)i=1,2,\ldots\ldots,j,j=1,2,\ldots,n+1$ et considérons le polynome de degré $n$ prenant les valeurs $f\left(x_{i},y_{i}\right)$ aux points $\mathrm{M}_{i,\mathrm{j}}$ . Ce polynome est bien déterminé. Il suffit de faire passer par un points $M$ de $E$ une droite convenable et d’appliquer la propriété de polynomialité sur cette droite pour voir que la fonction prend en M la même valeur que ce polynome.

Sur les fonctions polynomiales on peut faire encore diverses observations. Par exemple si la fonction est d’ordre $n$ et coïncide avec un polynome de degré $n$ sur un certain nombre de segments de droites, elle est polynomiale aussi sur tout segment qui a ses extrémités sur les segments considérés et contient en outre au moins $n$ autres points appartenant aux segments donnés.

Si la fonction est d’orde $n$ et si elle se réduit a un même polynome de degré $n$ sur les segments $\mathrm{AB},\mathrm{AA}_{i},\mathrm{BB}_{i},i=1,2,\ldots,n-1\mathrm{AC},\mathrm{BC}$ , les points $\mathrm{A}_{1},\mathrm{\penalty 10000\ A}_{2},\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ A}_{n-1}$ étant sur le segment BC et $\mathrm{B}_{1},\mathrm{\penalty 10000\ B}_{2},\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ B}_{n-1}$ sur le segment AC , elle est polynomiale d’ordre $n$ dans le triangle ABC . Pour voir que tout segment, ayant ses extrémités sur les côtés du triangle, contient encore au moins $n$ points il suffit de compléter les segments donnés par ceux qui sont parallèles aux côtés AC et BG . Ces parallèles contiennent évidemment $n$ points appartenant aux segments donnés.
(56) Voir J. L. W. Jensen loc. cit. (42).

TABLE DES MATIÈRES.

M. Biernacki. Sur l’équation du troisième degré ….. 196
J. Capoulade. Sur certaines équations aux dérivées partielles du second ordre et du type elliptique à coefficients singuliers ….. 139
J. Chazy. L’oeuvre mathématique de Painlevé ….. 201
J. Devisme. Sur les équations aux dérivées partielles de MM. P. Humbert et M. Ghermanesco ….. 147
R. H. Germay. Essai sur le principe des travaux virtuels ….. 126
M. Ghermanesco. Sur l’équation $\Delta^{n}u=0$ ….. 134
C. Jacob. Sur un problème concernant les jets gazeux ….. 205
Tib. Popoviciu. Sur quelques propriétés des fonctions d’une ou de deux variables réelles ….. 1
J. Rudnicki. Remarque sur un théorème de M. Walsh ….. 136
W. Sierpinski. Sur les ensembles toujours de première catégorje ….. 191
W. Slebodzinski. Sur les formes différentielles tensorielles et le théorème de Poincaré ….. 86
J. L. Walsh. Note on the location of the roots of the derivative of a polynomial ….. 185
T. Wazewski. Sur un problème de caractère intégral relatif à l’équation $\frac{\partial z}{\partial x}+Q(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ….. 103
E. A. Weiss. Zykliden als Bilder von Flächen 2. Ordnung in der Geraden-Kugeltransformation ….. 98
Notes de la rédaction. ….. 212
Errata. ….. 212
Table des matières. ….. 213

Sur quelques propriétés des fonctions d’une ou de deux variables réelles

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SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS D’UNE OU DE DEUX VARIABLES RÉELLES.

Introduction.

première partie.

CHAPITRE 1.

§ 1. - Fonctions à différence divisée bornée et fonctions

S. 2. - Propriétés des fonctions dont la nème différence divisée

§ 3. Propriétés des fonctions à nème variation bornée.

CHAPITRE II.

§ 2. - Relations entre les fonctions d’ordre et de classe donnés et les fonctions étudiées au Chap. I.

CHAPITRE III.

§ 1. - Quelques remarques sur la définition de la dérivée d’ordre nn.

§. 2. - Remarques sur les dérivées des fonctions étudiées aux Chap. I. et II.

Posons

§ 3. - Sur la limitation de la dérivée d’une fonction dordre nn.

GHAPITRE IV.

SECONDE PARTIE.

SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR DE DEUX VARIABLES RÉELLES.

CHAPITRE V.

§ 1. - Théorie générale des différences divisées.

§. 2. - Sur une différence divisée particulière.

S. 3. - Étude d’une autre différence divisée particulière.

CHAPITRE VI.

S 1. - Première extension de la notion de convexité.

§ 2. - Seconde extension de la notion de convexité.

TABLE DES MATIÈRES.

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§ 1. - Quelques remarques sur la définition
de la dérivée d’ordre $n$ .

§ 3. - Sur la limitation de la dérivée d’une fonction dordre $n$ .