Sur une inégalité entre des valeurs moyennes

et si les nombres $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sont non-négatifs, nous avons les inégalités

Les $\sqrt{q_v},\nu =1,2,\dots$$\sqrt{q_v},\nu =1,2,\dots$sqrt(q_(v)),nu=1,2,dots\sqrt{q_{v}}, \nu=1,2, \ldots$\sqrt{q_v},\nu =1,2,\dots$ sont alors des valeurs moyennes des nombers $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ qui vérifient les inégalités

qu'on déduit facilement de (2).
D'ailleurs si $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$ et les nombres (non-négatifs) $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ ne sont pas tous égaux, partout dans (2) et (3) c'est l'inégalité stricte (avec le signe $<$$<$<<$<$ ) q.ui a lieu.

Une démonstration de ces propriétés se trouve dans le livre de G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya [2] (dans la suite nous désignerons ces trois autears par HLP). Cette démonstration revient à exprimer les coefficients du développement (1) calculés par la formule

le second membre étant la différence divisée d'ordre $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ sur les noeuds $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ (distinct ou non) de la fonction $x^{\nu +n-1},\nu =0,1,\dots$$x^{\nu +n-1},\nu =0,1,\dots$x^(nu+n-1),nu=0,1,dotsx^{\nu+n-1}, \nu=0,1, \ldots$x^{\nu +n-1},\nu =0,1,\dots$ On fait ensuite usage d'une expression bien connue de la différence divisée par une intégrale multiple due à A . Genocchi [1].

Dans le livre cité de HLP [2] (p. 164) on souligne d'ailleurs la propriété plus générale que si $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$ et si les nombres $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sont réels (pas nécessairement du même signe) et non pas tous égaux, la forme quadratique $\sum q_{\mu +\nu }{y}_{\mu }{y}_{\nu }$$\sum q_{\mu +\nu }{y}_{\mu }{y}_{\nu }$sumq_(mu+nu)y_(mu)y_(nu)\sum q_{\mu+\nu} y_{\mu} y_{\nu}$\sum q_{\mu +\nu }{y}_{\mu }{y}_{\nu }$ est positive ét si les nombres $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sont non-négatifs, non

pas tous éguax, la forme quadratique $\sum q_{\mu +\nu +1}{y}_{\mu }{y}_{\nu }$$\sum q_{\mu +\nu +1}{y}_{\mu }{y}_{\nu }$sumq_(mu+nu+1)y_(mu)y_(nu)\sum q_{\mu+\nu+1} y_{\mu} y_{\nu}$\sum q_{\mu +\nu +1}{y}_{\mu }{y}_{\nu }$ est positive. De la théorie des formes quadratiques définies il résulte alors que l'inégalité (2) reste vraie aussi (avec la restriction concernant le cas de l'égalité) lorsque $v$$v$vv$v$ est impair et $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sont réels quelconques.

Pour la démonstration des inégalités (2) on peut employer aussi d'autres représentations intégrales des différences divisées. A la fin de ce travail nous reviendrons sur cette question.
2. $\stackrel{`}{A}$$\stackrel{`}{A}$A^(`)\grave{A}$\stackrel{`}{A}$ titre d'application de certains résultats plus généraux, j'ai donné une autre démonstration des inégalités (2) et (3) [3]. A ce moment je ne connaissais pas le livre cité [2] de HLP*).

Ma démonstration utilise elle aussi la formule (4), mais diffère sensiblement de celle donnée par HLP. Elle est basée sur la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur. Mes recherches sur les fonctionnelles linéaires, que j'ai appelé simples permettent de généraliser considérablement mes résultats du traval cité [3]. Avant de donner cette généralisation, je rappellerai les principales propriétés, qui vont être utilisées ici, des fonctions convexes d'ordre supérieur et des fonctionnelles linéares de la forme simple. Pour plus de détails le lecteur est prié de consulter mes travaux antélieurs et principalement le travail [4] de la bibliographie. On peut consulter aussi le travail [5].
3. Soit $I$$I$II$I$ un intervalle (de longueur non nulle) de l'axe réel $\mathbf{R}$$\mathbf{R}$R\mathbf{R}$\mathbf{R}$ et $m$$m$mm$m$ un nombre entier $\geqq -1$$\geqq -1$>= -1\geqq-1$\geqq -1$. La fonction $f:I\to \mathbf{R}$$f:I\to \mathbf{R}$f:I rarrRf: I \rightarrow \mathbf{R}$f:I\to \mathbf{R}$ est dite non-concave d'ordre $m$$m$mm$m$ (sur $I$$I$II$I$ ) si l'inégalité
(5)

est vérifiée pour tout groupe de $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$ points distincts $x_{\nu },\nu =1,2,\dots ,m+2$$x_{\nu },\nu =1,2,\dots ,m+2$x_(nu),nu=1,2,dots,m+2x_{\nu}, \nu=1,2, \ldots, m+2$x_{\nu },\nu =1,2,\dots ,m+2$ de $I$$I$II$I$. La fonction $f$$f$ff$f$ est dite convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ si dans (5) c'est l'inégalité stricte (avec le signe $>$$>$>>$>$ ) qui est toujours vérifiée. Dans le premier membre de (5) figure la différence divisée (d'ordre $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ ) de la fonction $f$$f$ff$f$ sur les points (ou noeuds) $x_v,v=1,2,\dots ,m+2$$x_v,v=1,2,\dots ,m+2$x_(v),v=1,2,dots,m+2x_{v}, v=1,2, \ldots, m+2$x_v,v=1,2,\dots ,m+2$.

Toute fonction convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ est une fonction non-concave d'ordre $m$$m$mm$m$.
On définit les différences divisées sur des noeids non pas nécessairement distincts, comme d'habitude, à l'aide des dérivées succesives de la fonction. Si alors la fonction $f$$f$ff$f$ est non-concave d'ordre $m$$m$mm$m$ l'inégalité (5) reste vraie quels que soient les points $x_v,v=1,2,\dots ,m+2$$x_v,v=1,2,\dots ,m+2$x_(v),v=1,2,dots,m+2x_{v}, v=1,2, \ldots, m+2$x_v,v=1,2,\dots ,m+2$ distincts ou non. Si la fonction $f$$f$ff$f$ est convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ et si $m\ge 0$$m\ge 0$m >= 0m \geq 0$m\ge 0$, l'inégalité stricte (avec le signe $>0$$>0$> 0>0$>0$ ) reste vraie à condition que les points $x_{\mathrm{y}}$$x_{\mathrm{y}}$x_(y)x_{\mathrm{y}}$x_{\mathrm{y}}$ ne soient pas tous confondus. On suppose, bien entendu, que le premier membre de (5) existe, donc que cette différence divisée soit définie de la manière que nous avons indiquée (ce qui implique l'existence de certaines dérivées de $f$$f$ff$f$ ). Pour $m=-1$$m=-1$m=-1m=-1$m=-1$ la propriété est triviale.

On sait qu'une fonction non-concave d'ordre $m$$m$mm$m$ est continue sur l'intérieur de $I$$I$II$I$ si $m>0$$m>0$m > 0m>0$m>0$ et a une dérivée continue d'ordre $m-1$$m-1$m-1m-1$m-1$ sur l'intérieur de $I$$I$II$I$ si $m>1$$m>1$m > 1m>1$m>1$.

Si la dérivée $f^{(m+1)}$$f^{(m+1)}$f^((m+1))f^{(m+1)}$f^{(m+1)}$ d'ordre $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ existe $(f^{(0)}=f)$$\left(f^{(0)}=f\right)$(f^((0))=f)\left(f^{(0)}=f\right)$(f^{(0)}=f)$, la condition $\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)\geqq 0$$\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)\geqq 0$AAf^((m+1))(x) >= 0\forall f^{(m+1)}(x) \geqq 0$\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)\geqq 0$ est nécessaire et suffisante pour la nonconcavité d'ordre $m$$m$mm$m$ et la condition

$\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)>0$$\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)>0$AAf^((m+1))(x) > 0\forall f^{(m+1)}(x)>0$\mathrm{\forall }{f}^{(m+1)}(x)>0$ est suffisante pour la convexité d'ordre $m$$m$mm$m$ de la fonction $f$$f$ff$f$. Lorsque $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$ la dérivée $f^{(m+1)}$$f^{(m+1)}$f^((m+1))f^{(m+1)}$f^{(m+1)}$ peut s'annuler sur certains points de $I$$I$II$I$ pour une fonction convexe d'ordre $m$$m$mm$m$. Mais cette dérivée doit alors être différente de zéro sur un ensemble partout dense dans $I$$I$II$I$. Si $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$ les conditions $f^{(m+1)}(x)\geqq 0$$f^{(m+1)}(x)\geqq 0$f^((m+1))(x) >= 0f^{(m+1)}(x) \geqq 0$f^{(m+1)}(x)\geqq 0$ sur $I$$I$II$I$ et $f^{(m+1)}(x)>0$$f^{(m+1)}(x)>0$f^((m+1))(x) > 0f^{(m+1)}(x)>0$f^{(m+1)}(x)>0$ sur un ensemble partout dense dans $I$$I$II$I$ sont nécessaires et suffisantes pour la convexité d'ordre $m$$m$mm$m$ de $f$$f$ff$f$ sur $I$$I$II$I$. Cette propriété découle du fait que si pour une fonction $f$$f$ff$f$ non-concave d'ordre $m$$m$mm$m$ nous avons $[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f]=0$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f\right]=0$[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]=0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right]=0$[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f]=0$, cette fonction se réduit à un polynome de degré $m$$m$mm$m$ sur le plus petit intervalle fermé contenant les points $x_1,x_2,\dots ,x_{m+2}$$x_1,x_2,\dots ,x_{m+2}$x_(1),x_(2),dots,x_(m+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2}$x_1,x_2,\dots ,x_{m+2}$ et a donc une dérivée $(m+1{)}^{\text{ième}}$$(m+1{)}^{\text{ième }}$(m+1)^("ième ")(m+1)^{\text {ième }}$(m+1{)}^{\text{ième }}$ nulle sur l'intérieur de ce dernier intervalle (si sa longueur n'est pas nulle). Une conséquence de cette propriété sera appliquée sous la forme du
Lemme 1. Si $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$ et la dérivée d'ordre $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ du polynome $P$$P$PP$P$ n'est pas identiquement nulle et est non-négative sur I, ce polynome est une fonction convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ sur $I$$I$II$I$.

En effet $P^{(m+1)}$$P^{(m+1)}$P^((m+1))P^{(m+1)}$P^{(m+1)}$ ne peut alors s'annuler qu'au plus sur un nombre fini de points, donc est différent de zéro sur un ensemble partout dense dans $I$$I$II$I$. 4. Soit maitenant $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur un ensemble linéaire $S$$S$SS$S$ de fonctions $f$$f$ff$f$ réelles, continues et définies sur l'intervalle 1 . L'ensemble $S$$S$SS$S$ peut être formé par toutes les fonctions continues définies sur $I$$I$II$I$, mais aussi par une partie seulement de ces fonctions. Nous allons supposer que $S$$S$SS$S$ contient toujours tous les polynomes.

Si les égalités

ainsi que l'inégalité

sont vérifiées pour un certain entier $m\geqq -1$$m\geqq -1$m >= -1m \geqq-1$m\geqq -1$, on dit que la fonctionnelle linéaire $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ est de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ (ou que $m$$m$mm$m$ est son degré d'exactitude). Ce nombre $m$$m$mm$m$, s'il existe, est bien déterminé (est unique). Lorsque $m=-1$$m=-1$m=-1m=-1$m=-1$ les relations (6), (7) doivent être remplaçées par l'unique relation $R[1]\ne 0$$R[1]\ne 0$R[1]!=0R[1] \neq 0$R[1]\ne 0$.

Enfin nous rappellerons la notion de fonctionnelle de la forme simple. La fonctionnelle linéaire $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ est dite de la forme simple si elle jouit de la propriété que nous avons $R[f]\ne 0$$R[f]\ne 0$R[f]!=0R[f] \neq 0$R[f]\ne 0$ pour toute fonction $f$$f$ff$f$ convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ (sur I). Nous avons dans ce cas $R[f]R\left[x^{m+1}\right]>0$$R[f]R\left[x^{m+1}\right]>0$R[f]R[x^(m+1)] > 0R[f] R\left[x^{m+1}\right]>0$R[f]R\left[x^{m+1}\right]>0$ pour toute fonction $f$$f$ff$f$ convexe d'ordre $m$$m$mm$m$. Dans la suite nous pouvons considérer seulement des fonctionnelles de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ et de la forme simple pour lesquelles $R\left[x^{m+1}\right]>0$$R\left[x^{m+1}\right]>0$R[x^(m+1)] > 0R\left[x^{m+1}\right]>0$R\left[x^{m+1}\right]>0$. Une telle fonctionnelle linéaire vérifie l'inégalité $R[f]>0$$R[f]>0$R[f] > 0R[f]>0$R[f]>0$ pour toute fonction $f$$f$ff$f$ convexe d'ordre $m$$m$mm$m$. Dans le cas contraire, la fonctionnelle linéaire $-R[f]$$-R[f]$-R[f]-R[f]$-R[f]$, qui est aussi de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ et de la forme simple, vérifie la propriété.

Une fonctionelle linéaire $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ de la forme simple vérifie une importante formule de la moyenne (voir [4]) que nous n'utiliserons pas dans ce travail. D'ailleurs l'existence de cette formule pour $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ est précisément équivalente à la propriété que $R[f]\ne 0$$R[f]\ne 0$R[f]!=0R[f] \neq 0$R[f]\ne 0$ pour toute fonction $f$$f$ff$f$ convex d'ordre $m$$m$mm$m$.
5. Soit $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ une fonctionnèlle linéaire de la forme précédente. Les nombres

sont les moments de cette fonctionnelle.
Lorsque $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ est de dergé d'exactitude $m$$m$mm$m$, les $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$, premiers moments sont nuls (si $m\ge 0$$m\ge 0$m >= 0m \geq 0$m\ge 0$ ). Si nous supposons que $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ soit de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ et de la forme simple, il existe entre les moments $c_{\mathrm{v}},v=m+1,m+2,\dots$$c_{\mathrm{v}},v=m+1,m+2,\dots$c_(v),v=m+1,m+2,dotsc_{\mathrm{v}}, v=m+1, m+2, \ldots$c_{\mathrm{v}},v=m+1,m+2,\dots$, certaines inégalités que nous allons mettre en évidence. Ces inégalités se déduisent du

Théorème 1. Soit $m\ge 0$$m\ge 0$m >= 0m \geq 0$m\ge 0$ et $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ une fonctionnelle linéaire définie sur $S$$S$SS$S$, de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ de la forme simple et $R\left[x^{m+1}\right]>0$$R\left[x^{m+1}\right]>0$R[x^(m+1)] > 0R\left[x^{m+1}\right]>0$R\left[x^{m+1}\right]>0$. Posons

et supposons que le polynome $\sum _{v=0}^k{a}_v{x}^{\nu }$$\sum _{v=0}^k a_v{x}^{\nu }$sum_(v=0)^(k)a_(v)x^(nu)\sum_{v=0}^{k} a_{v} x^{\nu}$\sum _{v=0}^k{a}_v{x}^{\nu }$ soit non-négatif et non pas identiquement nul sur l'intervalle.

Il résulte alors que nous avons l'inégalité

En effet, le polynome

est convexe d'ordere $m$$m$mm$m$, par suite du lemme 1. Compte tenant de (9) il en résulte que

ce qui équivaut à l'inégalité (10).
Corollaire 1. Si $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ est une fonctionnelle linéaire qui vérifie les hypothèses du théorème 1 , la forme quadratique en $y_0,y_1,\dots ,y_r$$y_0,y_1,\dots ,y_r$y_(0),y_(1),dots,y_(r)y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{r}$y_0,y_1,\dots ,y_r$,

est définie positive, lorsque:
$1^{\circ }s$$1^{\circ }s$1^(@)s1^{\circ} s$1^{\circ }s$ est un entier pair $\geqq 0$$\geqq 0$>= 0\geqq 0$\geqq 0$ et $r$$r$rr$r$ un entier $\geqq 0$$\geqq 0$>= 0\geqq 0$\geqq 0$, ou
$2^{\circ }I$$2^{\circ }I$2^(@)I2^{\circ} I$2^{\circ }I$ est un intervalle positif et $s,r$$s,r$s,rs, r$s,r$ sont des entiers $\geqq 0$$\geqq 0$>= 0\geqq 0$\geqq 0$.
Nous dirons que l'intervalle $I$$I$II$I$ est positif s'il ne contient aucun point non-positif, donc si $x\in I\Rightarrow x>0$$x\in I\Rightarrow x>0$x in I=>x > 0x \in I \Rightarrow x>0$x\in I\Rightarrow x>0$.

Pour la démonstration il suffit de remarquer que le polynome $x^s{\left(\sum _{\nu =0}^r{y}_{\nu }{x}^{\nu }\right)}^2$$x^s{\left(\sum _{\nu =0}^r y_{\nu }{x}^{\nu }\right)}^2$x^(s)(sum_(nu=0)^(r)y_(nu)x^(nu))^(2)x^{s}\left(\sum_{\nu=0}^{r} y_{\nu} x^{\nu}\right)^{2}$x^s{\left(\sum _{\nu =0}^r{y}_{\nu }{x}^{\nu }\right)}^2$ est non-négatif sur $\mathit{I}$$\mathit{I}$I\boldsymbol{I}$\mathit{I}$.

La propriété est éqaivalente aux inégalités

et $s=0,2,4,\dots$$s=0,2,4,\dots$s=0,2,4,dotss=0,2,4, \ldots$s=0,2,4,\dots$, respectivement $s=0,1,2,\dots$$s=0,1,2,\dots$s=0,1,2,dotss=0,1,2, \ldots$s=0,1,2,\dots$
En particulier, nous avons

pour tous les entiers $s$$s$ss$s$ vérifiant les restrictions signalées.
6. Le corollaire 1 s'ɔbtient en particularisant le polynome $\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }{x}^{\nu }$$\sum _{\nu =0}^k a_{\nu }{x}^{\nu }$sum_(nu=0)^(k)a_(nu)x^(nu)\sum_{\nu=0}^{k} a_{\nu} x^{\nu}$\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }{x}^{\nu }$ du théorème 1. On peut obtenir diverses inégalités du même type en particularisant autrement ce polynome.

Si l'intervalle $I$$I$II$I$ est borné inférieurement et si $a\leqq infI$$a\leqq infI$a <= i n f Ia \leqq \inf I$a\leqq infI$, le polynome

est non-négatif sur $I$$I$II$I$ et nous déduisons que la forme quadratique en $y_0,y_1,\dots ,y_r(q-a{)}^{(s)}{\left(\sum _{v=0}^{r}q{y}_v\right)}^{(2)}$$y_0,y_1,\dots ,y_r(q-a{)}^{(s)}{\left(\sum _{v=0}^r q{y}_v\right)}^{(2)}$y_(0),y_(1),dots,y_(r)(q-a)^((s))(sum_(v=0)^(r)qy_(v))^((2))y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{r}(q-a)^{(s)}\left(\sum_{v=0}^{r} q y_{v}\right)^{(2)}$y_0,y_1,\dots ,y_r(q-a{)}^{(s)}{\left(\sum _{v=0}^{r}q{y}_v\right)}^{(2)}$ est positive. Ici les exposants ( $s$$s$ss$s$ ), (2) désignent
des puissances symboliques habituelles. Ceci revient à ordonner le polynome (14) d'après les puissances de $x=q$$x=q$x=qx=q$x=q$ et puis à remplacer $q^{\nu }$$q^{\nu }$q^(nu)q^{\nu}$q^{\nu }$ par $q_{\nu }$$q_{\nu }$q_(nu)q_{\nu}$q_{\nu }$. Le nombre $s$$s$ss$s$ est un entier non-négatif quelconque. De la même propriété jouit la forme quadratique $(q-b{)}^{(s)}{\left(\sum _{\nu =0}^{r}q{y}_{\nu }\right)}^{(2)}$$(q-b{)}^{(s)}{\left(\sum _{\nu =0}^r q{y}_{\nu }\right)}^{(2)}$(q-b)^((s))(sum_(nu=0)^(r)qy_(nu))^((2))(q-b)^{(s)}\left(\sum_{\nu=0}^{r} q y_{\nu}\right)^{(2)}$(q-b{)}^{(s)}{\left(\sum _{\nu =0}^{r}q{y}_{\nu }\right)}^{(2)}$ si $supI\leqq b<+\mathrm{\infty }$$supI\leqq b<+\mathrm{\infty }$s u p I <= b < +oo\sup I \leqq b<+\infty$supI\leqq b<+\mathrm{\infty }$. Ces propriétés sont équi-
valentes à la positivité de certains déterminants de Hankel donc à des inégalités analogues à (12). Il est inutile d'insister ici sur d'autres cas particuliers.
7. En particularisant la fonctionnelle linéaire $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ on peut obtenir diverses inégalités particulières plus ou moins intéressantes.

Soient $a_1,a_2,\dots ,a_n,n>1$$a_1,a_2,\dots ,a_n,n>1$a_(1),a_(2),dots,a_(n),n > 1a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, n>1$a_1,a_2,\dots ,a_n,n>1$ points non tous confondus de l'intervalle I. Alors

est une fonctionnelle linéaire de degré d'exactitude $n-2$$n-2$n-2n-2$n-2$, de la forme simple (ipso facto, d'après la définition même des fonctions convexes d'ordre supé-
rieur) et qui est bien définie sur tout polynome. On peut appliquer la théorie précédente et nous retrouvons facilement les résultats de notre travail antérieur [3] et, en particulier, ceux qui ont été exposés au no. 1 du présent travail relativement aux coefficients du développement (1).
8. Supposons que $I=[a,b]$$I=[a,b]$I=[a,b]I=[a, b]$I=[a,b]$ soit un intervalle borné et fermé et considérons la fonctionnelle linéaire

où $\phi$$\phi$varphi\varphi$\phi$ est une fonction continue non-négative et non pas identiquement nulle sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$. Vu que les valeurs de $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ sur les polynomes nous intéressent seules en ce moment, nous pouvons supposer que $S$$S$SS$S$ est formé par toutes les fonctions $f$$f$ff$f$ ayant une dérivée continue d'ordre $m+1(f^{(0)}=f)$$m+1\left(f^{(0)}=f\right)$m+1(f^((0))=f)m+1\left(f^{(0)}=f\right)$m+1(f^{(0)}=f)$ sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$. Dans ce cas (16) est bien une fonctionnelle linéaire de degré d'exactitude $m$$m$mm$m$ de la forme simple et nous avons aussi $R\left[x^{m+1}\right]>0$$R\left[x^{m+1}\right]>0$R[x^(m+1)] > 0R\left[x^{m+1}\right]>0$R\left[x^{m+1}\right]>0$ (voir [6]). Compte tenant de (8) et (9) on peut remarquer que les $\frac{q_{\nu }}{(m+1)!}$$\frac{q_{\nu }}{(m+1)!}$(q_(nu))/((m+1)!)\frac{q_{\nu}}{(m+1)!}$\frac{q_{\nu }}{(m+1)!}$ sont précisément les moments au sens classique de la fonction de distribution $\int \phi dx$$\int \phi dx$int varphi dx\int \varphi d x$\int \phi dx$.

Remarquons que (15) est aussi de la forme (16), l'ensemble $S$$S$SS$S$ étant défini comme plus haut. Si, en effet, $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$ et $-\mathrm{\infty }<a\leqq min\left(a_{\nu }\right)<max\left(a_{\nu }\right)\leqq \leqq b<+\mathrm{\infty }$$-\mathrm{\infty }<a\leqq min\left(a_{\nu }\right)<max\left(a_{\nu }\right)\leqq \leqq b<+\mathrm{\infty }$-oo < a <= min(a_(nu)) < max(a_(nu))≦≦b < +oo-\infty<a \leqq \min \left(a_{\nu}\right)<\max \left(a_{\nu}\right) \leqq \leqq b<+\infty$-\mathrm{\infty }<a\leqq min\left(a_{\nu }\right)<max\left(a_{\nu }\right)\leqq \leqq b<+\mathrm{\infty }$ on a

où $\phi$$\phi$varphi\varphi$\phi$ est une fonction continue non-négative sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ et indépendante de $f$$f$ff$f$ (une soi-dite fonction „spline"). Cette formule est bien connue (voir, par. ex., [5]) et peut être utilisée au lieu de la représentation de A. Genocchi [1], pour démontrer l'inégalité (2).

On peut évidemment considérer, cu lieu de (16), le cas d'une fonctionnelle linéaire plus générale de la forme

où $a,b(a<b)$$a,b(a<b)$a,b(a < b)a, b(a<b)$a,b(a<b)$ sont les extrémités (finies ou non) de l'intervalle (fermé) $I$$I$II$I$ et $V$$V$VV$V$ est une fonction à variation bornée convenablement choisie.

On peut trouver des exemples de fonctionnelles linéaires de la forme simple, qui sont en général du type (16), dans la théorie des formales de quadrature approximative. Ainsi le reste des formules classiques de Côtes et de Gauss et de bien d'autres sont de telles fonctionnelles.

Si $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ a une représentation de la forme (18) ce qui précède reviennent, en général, à des propriétés bien connues de la théorie classique des moments (de Stieltjes, Hamburger, Hausdorff, etc.). Mais nos résultats sont indépendents de toute représentation intégrale de $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$.
9. On peut, sous certaines conditions, obtenir des inégalités entre des moments généralisés.

Sapposons toujours que $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ est une fonctionnelle linéaire de degré d'exactitude $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$ de la forma simole et qle son ensemble de définition $S$$S$SS$S$ contient les fonctions ${\phi }_{\nu },\nu =0,1,\dots ,k$${\phi }_{\nu },\nu =0,1,\dots ,k$varphi_(nu),nu=0,1,dots,k\varphi_{\nu}, \nu=0,1, \ldots, k${\phi }_{\nu },\nu =0,1,\dots ,k$, continues et ayant des dérivées ${\phi }_v^{(m+1)}$${\phi }_v^{(m+1)}$varphi_(v)^((m+1))\varphi_{v}^{(m+1)}${\phi }_v^{(m+1)}$ d'ordre $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ sur I. Si $\sum _{v=0}^k{a}_v{\phi }_v^{(m+1)}(x)$$\sum _{v=0}^k a_v{\phi }_v^{(m+1)}(x)$sum_(v=0)^(k)a_(v)varphi_(v)^((m+1))(x)\sum_{v=0}^{k} a_{v} \varphi_{v}^{(m+1)}(x)$\sum _{v=0}^k{a}_v{\phi }_v^{(m+1)}(x)$ est non-négatif et ne s'annule pas sur un ensemble dense dans $I$$I$II$I$, la fonction $\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }{\phi }_{\nu }(x)$$\sum _{\nu =0}^k a_{\nu }{\phi }_{\nu }(x)$sum_(nu=0)^(k)a_(nu)varphi_(nu)(x)\sum_{\nu=0}^{k} a_{\nu} \varphi_{\nu}(x)$\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }{\phi }_{\nu }(x)$ est convexe d'ordre $m$$m$mm$m$ et nous avons donc l'inégalité $\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }R[\phi ]>$$\sum _{\nu =0}^k a_{\nu }R[\phi ]>$sum_(nu=0)^(k)a_(nu)R[varphi] >\sum_{\nu=0}^{k} a_{\nu} R[\varphi]>$\sum _{\nu =0}^k{a}_{\nu }R[\phi ]>$,0 .