Dans ce travail nous étudions quelques méthodes numériques pour la résolution des équations de la forme:

(1)

$$f\left(x\right)=0,$$

où $f:I\to ℝ$ est une fonction réelle d’une variable réelle, et $I$ est un intervalle de l’axe réel.

Nous désignons par $E$ un ensemble de $n+1$ nombres réels distincts de l’ensemble $I,$ c’est-à-dire, $E=\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_{n+1}\}$ où $x_i\ne x_j$ pour $i\ne j,i,j=1,2,\mathrm{\dots },n+1.$

Désignons par

(2)

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_{n+1}$$

$n+1$ nombers naturels qui vérifient la condition:

(3)

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+,\mathrm{\dots }+{\alpha }_{n+1}=m+1$$

où $m\in \mathbb{N}$, et par

(4)

$$y_i^j;j=0,1,\mathrm{\dots },{\alpha }_i-1;i=1,2,\mathrm{\dots },n+1,$$

$m+1$ nombres réels donnés.

La théorème suivant est bien connu.

Si nous supposons que la fonction $f$ admet des dérivées jusqu’à l’ordre $m+1$ inclusivement dans l’intervalle $I$ et si $y_i^j=f^{\left(j\right)}\left(x_i\right),j=0,1,\mathrm{\dots },{\alpha }_i-1,i=1,2,\mathrm{\dots },n+1,$ alors, le reste de la formule d’interpolation de Hermite satisfait à l’ègalité suivante:

(8)

$$f\left(x\right)-P\left(x\right)=\frac{f^{\left(m+1\right)}\left(\xi \right)}{\left(m+1\right)!}\cdot \omega \left(x\right),$$

où $\xi \in I.$

Supposons que $f^{\prime }\left(x\right)\ne 0,$ pour chaque $x\in I$ et désignons par $F=f\left(I\right),$ l’image de l’intervalle $I$ par la fonction $f.$ De l’hypothèse ci-dessus il résulte que la fonction $f:I\to F$ est bijective, que la fonction $f^{-1}:F\to I$ admet des dérivées juqu’à l’ordre $m+1$ inclusivement dans l’intervalle $F.$ La dérivée d’ordre $k$ $\left(k\in \mathbb{N},k\le m+1\right)$ en un point $y_0=f\left(x_0\right),y_0\in F$ a la forme suivante [4], [8]:

(9)

${\left[f^{-1}\left(y_0\right)\right]}^{\left(k\right)}$

$={\displaystyle \sum \frac{\left(2k-2-i_1\right)!{\left(-1\right)}^{k-1+i_1}}{i_2!\mathrm{\dots }{i}_k!{\left(f^{\prime }\left(x_0\right)\right)}^{2k-1}}{\left(\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{1!}\right)}^{i_1}{\left(\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}\right)}^i\mathrm{\dots }{\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)}{k!}\right)}^{i_k}}$

où la somme ci-dessus s’étend à toutes les solutions entières et non négatives du système d’équations:

(10)

$$\{\begin{array}{c}{i}_2+2i_3+\mathrm{\dots }+\left(k-1\right)i_k=k-1\\ i_1+i_2+\mathrm{\dots }+i_k=k-1\end{array}$$

Si nous supposons que l’équation (1) admet une racine $\overline{x}\in I,$ alors de $f\left(\overline{x}\right)=0$ il résulte  que $f^{-1}\left(0\right)=\overline{x},$ et de $f^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ pour chaque $x\in I$ il résulte que $\overline{x}$ est unique.

Si dans l’expression du polynôme d’interpolation de Hermite (6) nous choisissons pour les noeuds d’interpolation les valeurs $y_i=f\left(x_i\right),i=1,2,\mathrm{\dots },n+1$ et pour les valeurs de la fonction et de ses dérivées les nombres $f^{-1}\left(y_i\right)=x_i,i=1,2,\mathrm{\dots },n+1,$ respectivement ${\left[f^{-1}\left(y_i\right)\right]}^{\left(j\right)},j=1,2,\mathrm{\dots },{\alpha }_i-1;i=1,2,\mathrm{\dots },n+1,$ alors nous obtenons le polynôme d’interpolation d’Hermite de la fonction $f^{-1}.$ Ce polynôme aura la forme suivante:

(11)

$$P\left(y\right)=\sum _{i=1}^{n+1}\sum _{j=0}^{{\alpha }_i-1}\sum _{k=0}^{{\alpha }_i-j-1}{\left[\left(f^{-1}\left(y_i\right)\right)\right]}^{\left(j\right)}\frac{1}{k!j!}\cdot {\left[\frac{{\left(y-y_i\right)}^{{\alpha }_i}}{\omega \left(y\right)}\right]}_{y=y_i}^{\left(k\right)}\cdot \frac{\omega \left(y\right)}{{\left(y-y_i\right)}^{{\alpha }_i-1-k}}$$

où

(12)

$$\omega \left(y\right)=\prod _{i=1}^{n+1}{\left(y-y_i\right)}^{{\alpha }_i}.$$

Le polynôme défini par la relation (11) s’appelle le polynôme d’interpolation inverse d’Hermite.

De l’égalité (8) il résulte:

(13)

$$f^{-1}\left(y\right)-P\left(y\right)=\frac{{\left[f^{-1}\left(\eta \right)\right]}^{\left(m+1\right)}}{\left(m+1\right)!}\cdot \omega \left(y\right),\eta \in F.$$

En tenant compte que $f^{-1}\left(0\right)=\overline{x},$ (13) nous donne

(14)

$$\overline{x}-P\left(0\right)=\frac{{\left[f^{-1}\left({\eta }_1\right)\right]}^{\left(m+1\right)}}{\left(m+1\right)!}\cdot \omega \left(0\right)$$

où ${\eta }_1$ est contenu dans le plus petit intervalle qui contient les points: $0,f\left(x_1\right),\mathrm{\dots },f\left(x_{n+1}\right).$ Si nous désignons par $F_1$ l’intervalle ci-dessus et par $M_{m+1}$ le nombre $M_{m+1}=\underset{y\in F_1}{sup}\left|{[f^{-1}\left(y\right)]}^{\left(m+1\right)}\right|$ alors nous déduisons de (14)

(15)

$$\left|\overline{x}-P\left(0\right)\right|\le \frac{{}_{M_{m+1}}}{(m+1)!}{\left|f\left(x_1\right)\right|}^{{\alpha }_1}\cdot \left|f\left(x_2\right)\right|\mathrm{\dots }{\left|f\left(x_{n+1}\right)\right|}^{{\alpha }_{n+1}}.$$

Si les points de l’ensemble $E$ sont suffisamment proches de $\overline{x}$, alors les nombres $f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),\mathrm{\dots },f\left(x_{n+1}\right)$ sont proches de zéro. A plus forte raison le nombre $\prod _{i=1}^{n+1}{\left|f\left(x_i\right)\right|}^{{\alpha }_i}$ est proche de zéro et le choix de $P\left(0\right)$ comme approximation pour la racine $\overline{x}$ de l’équation (1) est justifié. Par conséquent

(16)

$$\overline{x}\simeq P\left(0\right).$$

Si l’approximation $P\left(0\right)$ de $\overline{x}$ donnée par (16) n’est pas convenable, alors par des itérations successives on peut obtenir dans certains cas des approximations de plus en plus proches de la racine.

Désignons par

(17)

$$x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_{n+1}$$

$n+1$ approximations initiales de la racine $\overline{x}$ de l’équation (1). A l’aide de ces approximations nous construisons la suite ${\left(x_p\right)}_{p=1}^{\mathrm{\infty }}$ donnée par le procédé itératif suivant:

(18)

$$x_{n+s+1}=P_{n+s}\left(0\right),$$

où $P_{n+1}\left(0\right)=P\left(0\right),P$ a l’expression donée par (11) et $P_{n+s}$ a l’expression suivante:

(19)		$P_{n+s}\left(y\right)=$
	$={\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{{\alpha }_i-1}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{{\alpha }_i-j-1}}{\left(f^{-1}\left(y_{s+i-1}\right)\right)}^{\left(j\right)}\frac{1}{k!j!}{\left[\frac{\left(y-y_{s+i-1}\right)}{{\omega }_s\left(y\right)}\right]}_{y=y_{s+i+1}}^{\left(k\right)}\frac{{\omega }_s\left(y\right)}{{\left(y-y_{s+i-1}\right)}^{{\alpha }_i-j-k}}$

ou

(20)

$${\omega }_s\left(y\right)=\prod _{i=0}^n{\left(y-y_{s+i}\right)}^{{\alpha }_i+1}.$$

Dans ce qui suit nous étudions la convergence de la suite ${\left(x_p\right)}_{p=1}^{\mathrm{\infty }}$ générée par le procédé itératif (18). Nous désignons par

$$M=\underset{y\in F}{sup}\left|{\left[\left(f^{-1}\left(y\right)\right)\right]}^{\left(m+1\right)}\right|\text{et }\beta =\underset{x\in I}{sup}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|,$$

alors de (14) et (18) il resulte:

(21)

$$\left|\overline{x}-x_{n+2}\right|\le \frac{M{\beta }^{m+1}}{\left(m+1\right)!}\cdot {\left|\overline{x}-x_1\right|}^{{\alpha }_1}\mathrm{\dots }{\left|\overline{x}-x_{n+1}\right|}^{{\alpha }_{n+1}}.$$

Plus généralement si les éléments de la suite ${\left(x_p\right)}_{p=1}^{\mathrm{\infty }}$ sont contenus dans l’intervalle $I,$ on a les inéqualitiés suivantes:

(22)		$\left|\overline{x}-x_{n+s+1}\right|$	$\le \frac{M{\beta }^{m+1}}{\left(m+1\right)!}{\left|\overline{x}-x_s\right|}^{{\alpha }_1}\cdot {\left|\overline{x}-x_{s+1}\right|}^{{\alpha }_2}\mathrm{\dots }{\left|x-x_{s+n}\right|}^{{\alpha }_{n+1}}$
	$s$	$=1,2,3,\mathrm{\dots }.$

En multipliant les termes de (22) par $\beta \sqrt[m]{\frac{\beta M}{\left(m+1\right)!}}$ et on désignant par ${\rho }_i$ le nombre

$${\rho }_i=\beta \sqrt[m]{\frac{\beta M}{\left(m+1\right)!}}\cdot \left|\overline{x}-x_i\right|,i=1,2,\mathrm{\dots },$$

les inégalités (22) deviennent:

(23)

$${\rho }_{n+s+1}\le {\rho }_{n+s}^{{\alpha }_{n+1}}{\rho }_{n+s-1}^{{\alpha }_n}\mathrm{\cdots }{\rho }_{s+1}^{{\alpha }_2}{\rho }_s^{{\alpha }_1},s=1,2,\mathrm{\dots }.$$

Nous supposons dans ce qui suit:

(24)

$${\rho }_i\le d^{{\omega }^i},i=1,2,\mathrm{\dots },n+1$$

où $\omega$ est la racine positive de l’équation

(25)

$$t^{n+1}={\alpha }_{n+1}{t}^n+{\alpha }_n{t}^{n-1}+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_{2}t+{\alpha }_1,$$

et

Si nous supposons

(26)

$${\rho }_{n+s+1}\le d^{u_{n+s+1}},s=1,2,\mathrm{\dots },$$

alors en tenant compte de (23) et (25) on a

(27)

$$u_{n+s+1}={\alpha }_{n+1}{u}_{n+s}+{\alpha }_n{u}_{n+s-1}+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_2{u}_{s+1}+{\alpha }_1{u}_s$$

Il résulte de (24) que

(28)

$$u_i={\omega }^i,i=1,2,\mathrm{\dots },n+1.$$

Il est facile de montrer que l’équation (25) a une racine  unique réelle et positive $\omega >1.$ Alors de (27), (26), (28) et tenant compte que $\omega$ est la racine de l’equation (25) nous déduisons les égalités suivantes:

(29)

$$u_{n+s+1}={\omega }^{n+s+1},s=1,2,3,\mathrm{\dots },$$

c’est-à-dire

(30)

$${\rho }_{n+s+1}\le d^{{\omega }^{n+s+1}},s=1,2,3,\mathrm{\dots }$$

De l’égalité (3) il résulte que $\omega >1$ et $\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\rho }_{n+s+1}=0.$ Par conséquent

$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\overline{x}-x_{n+s+1}\right|=0,$$

ce qu’il fallait démontrer.

L’expression de ${\rho }_{n+s+1}$ fournit l’évaluation suivante:

(31)

$$\left|\overline{x}-x_{n+s+1}\right|\le \frac{1}{\beta \sqrt[m]{\frac{\beta M}{\left(m+1\right)!}}}\cdot d^{{\omega }^{n+s+1}}$$

Désignons par $a_1,a_2$ deux nombres de $N$ tels que $a_1+a_2=m+1$ , et par $x_1,x_2$ deux points de l’intervalle $I.$ Supposons que dans chaque point $x_i,i=1,2$ nous connaissons les valeurs de la fonction $f$ et de ses dérivées successives jusqu’à l’ordre $a_1-1,a_2-1$ respectivement.

A l’aide de la formule (9) on peut calculer les valeurs de la fonction $f^{-1}$ dans les points $y_1=f\left(x_1\right),y_2=f\left(x_2\right)$ et les valeurs de ces dérivées successives jusqu’à l’ordre $a_1-1,a_2-1$ respectivement.

Le polynôme d’interpolation inverse d’Hermite sur les noeuds $y_1,y_2$ aura la forme suivante:

(32)

$P\left(y\right)$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^2}{\displaystyle \sum _{j=0}^{a_i-1}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{a_i-j-1}}{\left(f^{-1}\left(y_i\right)\right)}^{\left(j\right)}\cdot \frac{1}{k!j!}\cdot {\left[\frac{{\left(y-y_i\right)}^{{\alpha }_i}}{\omega \left(y\right)}\right]}_{y=y_i}^{\left(k\right)}\cdot \frac{\omega \left(y\right)}{{\left(y-y_i\right)}^{a_i-j-k}},$

où

(33)

$$\omega \left(y\right)={\left(y-y_1\right)}^{a_1}\cdot {\left(y-y_2\right)}^{a_2}.$$

En prenant en (32) $y=0$ on obtient une première approximation de la racine $\overline{x}$ de l’équation (1). Si nous désignons par $x_3$ cette approximation alors on a:

(34)		$\overline{x}$	$\approx x_3={\displaystyle \sum _{i=1}^2}{\displaystyle \sum _{j=0}^{a_i-1}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{a_i-j-1}}{\left(f^{-1}\left(y_i\right)\right)}^{\left(j\right)}\cdot \frac{1}{k!j!}\cdot {\left[\frac{{\left(y-y_i\right)}^{a_i}}{\omega \left(y\right)}\right]}_{y-y_i}^{\left(k\right)}\cdot \frac{{\left(-1\right)}^{a_i-j-k}\cdot \omega \left(0\right)}{y_i^{a_i-j-k}}$
		$\cdot$

De (34) et (14) on déduit

(35)

$$\left|\overline{x}-x_3\right|\le M{\left|f\left(x_1\right)\right|}^{a_1}\cdot {\left|f\left(x_2\right)\right|}^{a_2},M=\underset{\eta \in f\left(I\right)}{sup}\frac{\left|{\left(f^{-1}\left(\eta \right)\right)}^{\left(m+1\right)}\right|}{\left(m+1\right)!}$$

En utilisant l’égalité

(36)

$$\left|\overline{x}-x_3\right|=\frac{\left|f\left(x_3\right)\right|}{\left|[\overline{x},x_3;f]\right|},$$

où par $[\overline{x},x_3;f]$ nous désignons la différence divisée de la fonction $f$ sur les noeuds $\overline{x},x_3;$ on déduit de (35) l’inégalité suivante:

(37)

$$\left|f\left(x_3\right)\right|\le K{\left|f\left(x_1\right)\right|}^{a_1}\cdot {\left|f\left(x_2\right)\right|}^{a_2}$$

où $K\ge \left|M\cdot [x,y;f]\right|,x,y\in I.$

Si nous considerons les nombres $x_1$ et $x_2$ comme des approximations intiales pour la racine $\overline{x}$ de l’équation (1), nous obtenons de (19) pour $y=0$ une suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, avec

(38)		$x_{s+1}=$
	$={\displaystyle \sum _{i=1}^2}{\displaystyle \sum _{j=0}^{a_i-1}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{a_i-j-1}}{\left(f^{-1}\left(y_{s+i-1}\right)\right)}^{\left(j\right)}\frac{1}{k!j!}{\left[\frac{{\left(y-y_{s+i-1}\right)}^{a_i}}{{\omega }_s\left(y\right)}\right]}_{y=y_{s+i-1}}^{\left(k\right)}\frac{{\left(-1\right)}^{a_i-j-k}{\omega }_s\left(0\right)}{y_{s+i-1}^{a_i-j-k}}$

(39)

$${\omega }_s\left(y\right)={\left(y-y_{s-1}\right)}^{a_1}\cdot {\left(y-y_s\right)}^{a_2},s=2,3,\mathrm{\dots }$$

Dans l’hypothèse selon laquelle touts les éléments de la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ sont contenus dans l’intervalle $I,$ on a les inégalités suivantes:

(40)

$$\left|f\left(x_{n+2}\right)\right|\le K{\left|f\left(x_n\right)\right|}^{a_1}\cdot {\left|f\left(x_{n+1}\right)\right|}^{a_2},n=1,2,\mathrm{\dots }$$

Si nous multiplions les inégalités (40) par $K^{\frac{1}{m}}$ et si nous tenons compte que $a_1+a_2=m+1$ nous obtenons:

(41)

$K^{\frac{1}{m}}\left|f\left(x_{n+2}\right)\right|$

$\le {\left[K^{\frac{1}{m}}\left|f\left(x_n\right)\right|\right]}^{a_1}\cdot {\left[K^{\frac{1}{m}}\left|f\left(x_{n+1}\right)\right|\right]}^{a_2},n=1,2,\mathrm{\dots }$

Dans ce qui suit nous désignons par ${\rho }_i$ les nombres

(42)

$${\rho }_i=K^{\frac{1}{m}}\left|f\left(x_i\right)\right|,i=1,2,\mathrm{\dots }$$

Alors les inégalités (41) deviennent:

(43)

$${\rho }_{n+2}\le {\rho }_n^{a_1}\cdot {\rho }_{n+1}^{a_2},n=1,2,\mathrm{\dots }$$

Nous supposerons que

(44)

$$\{\begin{array}{c}{\rho }_1\le d^{{\omega }_1}\\ {\rho }_2\le d^{{\omega }_2}\end{array}$$

où et ${\omega }_1$ est la racine positive de l’équation

(45)

$$t^2-a_{2}t-a_1=0.$$

De (43) on déduit:

(46)

$${\rho }_n\le d^{u_n}$$

où la suite ${\left(u_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ vérifie les égalités

(47)		$u_{n+2}$	$=a_2{u}_{n+1}+a_1{u}_n,n=1,2,\mathrm{\dots }$
	$u_1$	$={\omega }_1,u_2={\omega }_1^2.$

De (45) on déduit:

(48)

$${\omega }_1=\frac{a_2+\sqrt{a_2^2+4a_1}}{2}$$

auquel cas (47) donne

(49)

$$u_n={\omega }_1^n,n=1,2,\mathrm{\dots }.$$

En déduit pour ${\rho }_n$ les évaluations suivantes:

(50)

$${\rho }_n\le d^{{\omega }_1^n},n=1,2,\mathrm{\dots }$$

L’inégalité précedente et (42) impliquent:

(51)

$$\left|f\left(x_n\right)\right|\le K^{-\frac{1}{m}}\cdot d^{{\omega }_1^n}.$$

En désignant par $\alpha$ le nombre

(52)

$$\alpha =\underset{x,y\in [x_1,x_2]}{inf}\left|[x,y;f]\right|$$

et en supposant $\alpha >0,$ on déduit de (51)

(53)

$$\left|\overline{x}-x_n\right|\le \frac{1}{\alpha }\left|f\left(x_n\right)\right|\le \frac{1}{\alpha }{K}^{-\frac{1}{m}}\cdot d^{{\omega }_1^n},n=1,2,\mathrm{\dots }$$

ce qui représente une évaluation de l’ereur apres $n-2$ pas d’iteration.

En passant à limite lorsque $n\to \mathrm{\infty }$ on déduit de (53)

(54)

$$\overline{x}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$$

et de (51) il résulte, du fait que $f$ est une fonction continue, $f\left(x\right)=0.$

Dans ce qui suit nous allons présenter une analyse de la vitesse de convergence de la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ donnée par (38). Pour ce faire nous remarquons que si nous considérons dans le polynôme d’interpolation d’Hermite le noeud $x_1$ ayant l’ordre de multiplicité $a_2,$ et le noeud $x_2$ ayant l’ordre de multiplicité $a_1,$ l’équation qui nous donne la vitesse de convergence de la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (45) prendra la forme:

(55)

$$t^2-a_{1}t-a_2=0.$$

On peut facilement démontrer que, si $a_1\le a_{2}et$ si ${\omega }_2$ est la racine positive de l’équation (55), alors:

(56)

$${\omega }_2\le {\omega }_1.$$

Des considérations ci-dessus nous concluons qu’on obtient l’ordre de convergence maximal quand dans l’interpolation invérse de type Hermite à deux noeuds, l’ordre de multiplicité de $x_1$ est au moins égal à l’ordre de multiplicité de $x_2.$ Il va de soi que dans la conclusion ci-dessus nous avons supposé que les éléments de la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ sont obtenus à l’aide de la relation (38).

Dans ce qui suit nous présentons deux cas particuliers du polynôme d’interpolation invèrse d’Hermite et les méthodes itératives rattachées.

1. $a_1=a_2=1.$

Dans ce cas le polynôme d’interpolation inverse d’Hermite a la forme suivante:

(57)

$$P_1\left(y\right)=\frac{1}{y_1-y_2}\left[\left(y-y_2\right)f^{-1}\left(y_1\right)-\left(y-y_1\right)f^{-1}\left(y_2\right)\right].$$

En tenant compte que $f^{-1}\left(y_1\right)=x_1$ et $f^{-1}\left(y_2\right)=x_2$ et en faisant dans (57) $y=0$ nous obtenons la premiére approximation de $\overline{x}$ donnée par la relation:

(58)

$$x_3=x_1-\frac{x_2-x_1}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}\cdot f\left(x_1\right).$$

En procédant de proche en proche nous obtenons la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ donnée par la relation:

(59)

$$x_{n+2}=x_n-\frac{x_{n+1}-x_n}{f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_n\right)}\cdot f\left(x_n\right),n=1,2,\mathrm{\dots },$$

qui représente la méthode de la corde. En ce cas la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ a l’ordre de convergence ${\omega }_1=(1+\sqrt{5})/2.$

2. $a_1=1,a_2=2.$[2].

Le polynôme d’interpolation inverse d’Hermite prend dans ce cas la forme suivante:

(60)		$P_2\left(y\right)=$	${\left(f^{-1}\left(y_2\right)\right)}^{\prime }\cdot \frac{\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)}{y_2-y_1}+$
		$+f^{-1}\left(y_2\right)\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\left(1+\frac{y-y_2}{y_1-y_2}\right)+f^{-1}\left(y_1\right)\cdot \frac{{\left(y-y_2\right)}^2}{{\left(y_1-y_2\right)}^2}.$

En tenant compte des égalités $f^{-1}\left(y_1\right)=x_1,f^{-1}\left(y_2\right)=x_2$ et ${\left(f^{-1}\left(y_2\right)\right)}^{\prime }$ $=1/f^{\prime }\left(x_2\right),$ et en faisant en (60) $y=0,$ nous déduisons:

(61)

$$x_3=x_1-\frac{x_2-x_1}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}f\left(x_1\right)+\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)-\left(x_2-x_1\right)f^{\prime }\left(x_2\right)}{{\left(f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right)}^2{f}^{\prime }\left(x_2\right)}f\left(x_1\right)f\left(x_2\right).$$

En procédant de proche en proche nous obtenons la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

(62)		$x_{n+2}=$	$x_n-\frac{x_{n+1}-x_n}{f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_n\right)}f\left(x_n\right)$
		$+\frac{f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_n\right)-\left(x_{n+1}-x_n\right)f^{\prime }\left(x_{n+1}\right)}{{\left(f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_n\right)\right)}^2\cdot f^{\prime }\left(x_{n+1}\right)}f\left(x_n\right)f^{\prime }\left(x_{n+1}\right),$

où $n=1,2,\mathrm{\dots }$

L’ordre de convergence de cette méthode est ${\omega }_1=1+\sqrt{2}.$