Sur la méthode de Steffensen
pour la résolution des équations
opérationnelles non linéaires^∗

par
Ion Păvăloiu
(Cluj)

Abstraite.

Ce travail répresente une contribution à l’étude de la convergence du procédé généralisé de Steffensen. En partant du travail [2], on apporte des améliorations aux théorèmes d’existence et d’unicité de la solution de l’equation

x=A\left(x\right)

où $A$ est un opérateur non linéaire défini dans l’espace $X$ de type Banach et qui transforme cet espace en lui-même.

^∗Travail communiqué à la séance de communications du 30 avril 1967 de l’Institut de Calcul, Cluj.

Soit donnée l’équation

(1)

F\left(x\right)=x-A\left(x\right)=\theta

où $A$ est un opérateur non linéaire qui transforme l’espace de Banach $X$ en lui-même.

J. W. Schmith [1] a défini les différences divisées généralisées à l’aide d’un opérateur linéaire $\left[x,y;F\right]$ qui possède la propriéte:

(2)

F\left(y\right)-F\left(x\right)=\left[x,y;F\right]\left(y-x\right),\qquad x,y% \in X.

Pour l’équation (1) la méthode généralisée de Steffensen a la forme suivante:

(3)

x_{n+1}=x_{n}-\left[x_{n},A\left(x_{n}\right);F\right]^{-1}F\left(x_{n}\right)

Cette méthode est équivalente à la suivante

(4)

x_{n+1}=A\left(x_{n}\right)-\left[x_{n},A\left(x_{n}\right);F\right]^{-1}F% \left(A\left(x_{n}\right)\right)

S. Ulm [2] a donné un théorème dans lequel il a étabil des conditions de convergence pour un tel procéde. Dans ce travail l’auteur a donné aussi un théorème d’unicité de la solution de l’équation (1) obtenue par le procédé (3).

Le but de notre travail est d’établir un autre théorème de convergence du procédé (3) dans d’autres hypothèses.

Pour simplifier on désignera par $\Gamma_{n}$ l’opérateur $\left[x_{n},A\left(x_{n}\right);F\right]^{-1}.$

Le procédé (3) peut être écrit aussi sous la forme

(5)

x_{n+1}=x_{n}-\Gamma_{n}F\left(x_{n}\right)

et (4) prendra alors la forme

x_{n+1}=A\left(x_{n}\right)-\Gamma_{n}F\left(A\left(x_{n}\right)\right).

Dans ce qui suit on supposera que l’opérateur $A$ est continu dans un domaine convenable.

Théorème 1.

a)

$\Gamma_{0}$ est borné c’est-à-dire $\left\|\Gamma_{0}\right\|\leq B_{0};$
b)

$\max\left\{\left\|x_{1}-x_{0}\right\|,\left\|x_{1}-A\left(x_{0}\right)\right\|% \right\}\leq h_{0};$
c)

$\left\|\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};A\right]-\left[x^{\prime\prime},x^{% \prime\prime\prime};A\right]\right\|\leq K\left\|x^{\prime}-x^{\prime\prime% \prime}\right\|$ pour tout $x^{\prime}$ , $x^{\prime\prime}$ , $x^{\prime\prime\prime}\in S;$
c’)

$\left\|\left[x^{\prime},x^{\prime\prime};A\right]\right\|\leq M$ pour tout $x^{\prime},x^{\prime\prime}\in S$ et $M<1$

où

$S=\left\{x\in X;\left\|x-x_{0}\right\|\leq 2h_{0}\right\}$
d)

$\eta_{0}=B_{0}Kh_{0}<\frac{1}{4}$

alors dans la sphères $S$ de l’espace $X$ l’équation (1) a une seule solution $x^{\ast}$ que l’on obtient comme limite de la suite générée par le procédé (3) ou (4) et pour laquelle on a

(6) $\left\|x^{\ast}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{h_{0}}{2^{n-1}}$

(7) $\left\|x^{\ast}-x_{n}\right\|\leq B_{n}K\left\|x^{\ast}-x_{n-1}\right\|\ \left% \|x^{\ast}-A\left(x_{n-1}\right)\right\|$

où

$B_{n}=\left\|\Gamma_{n}\right\|.$

Démonstration.

Si on tient compte de l’hypothèses c) on a

\big\|\Gamma_{0}\big\{\left[x_{0},A\left(x_{0}\right);F\right]-\left[x_{1}A% \left(x_{1}\right);F\right]\big\}\big\|\leq 2B_{0}Kh_{0}=2\eta_{0}<\tfrac{1}{2}

donc l’opérateur

\bigtriangleup_{0}=E-\Gamma_{0}\left\{[x_{0},A\left(x_{0}\right);F]-\left[x_{1% },A\left(x_{1}\right);F\right]\right\}

admet un inverse pour lequel on a

\left\|\bigtriangleup_{0}^{-1}\right\|\leq\tfrac{1}{1-2\eta_{0}}.

Un calcul simple nous montre que

\Gamma_{1}=\bigtriangleup_{0}^{-1}\Gamma_{0}\qquad\text{et \qquad}\left\|% \Gamma_{1}\right\|\leq\left\|\bigtriangleup_{0}^{-1}\right\|\ \left\|\Gamma_{0% }\right\|\leq\tfrac{B_{0}}{1-2\eta_{0}}

De (3) on déduit

\left\|x_{2}-x_{1}\right\|\leq\left\|\Gamma_{1}\right\|\ \left\|F\left(x_{1}% \right)\right\|.

Mais de (2) on peut déduire facilement l’identité

	$\displaystyle F\left(x_{1}\right)=$	$\displaystyle F\left(x_{0}\right)+\left[x_{0},A\left(x_{0}\right);F\right]% \left(x_{1}-x_{0}\right)+$
		$\displaystyle+\big\{\left[x_{1},x_{0};F\right]-\left[x_{0},A\left(x_{0}\right)% ;F\right]\big\}\left(x_{1}-x_{0}\right).$

Si l’on tient compte encore de la première itération on en déduit

\left\|F\left(x_{1}\right)\right\|\leq Kh_{0}^{2}.

Ce qui conduit à l’évaluation suivante concernant la norme de la différence $x_{2}-x_{1}$

\left\|x_{2}-x_{1}\right\|\leq\tfrac{B_{0}Kh_{0}^{2}}{1-2\eta_{0}}.

En tenant compte maintenant de l’inégalité d) on a

\left\|x_{2}-x_{1}\right\|\leq\tfrac{B_{0}Kh_{0}^{2}}{1-2\eta_{0}}\leq\tfrac{1% }{2}h_{0}.

En raisonnant d’une manière analogue on déduit que

\left\|x_{2}-A\left(x_{1}\right)\right\|\leq\tfrac{B_{0}Kh_{0}^{2}}{1-2\eta_{0% }}\leq\tfrac{1}{2}h_{0}.

On désignera par $\eta_{1}=B_{1}Kh_{1}$ alors on a

\max\left\{\left\|x_{2}-A\left(x_{1}\right)\right\|,\ \left\|x_{2}-x_{1}\right% \|\right\}\leq\tfrac{B_{0}Kh_{0}^{2}}{1-2\eta_{0}}=h_{1}

donc

\eta_{1}=B_{1}Kh_{1}\leq\tfrac{B_{0}^{2}K^{2}h_{0}^{2}}{\left(1-2\eta_{0}% \right)^{2}}<\frac{1}{4}.

Par induction on peut démontrer facilement que les relations suivantes ont lieu:

(8)

B_{n}=\left\|\Gamma_{n}\right\|\leq\tfrac{B_{n-1}}{1-2\eta_{n-1}}

(9)

\eta_{n-1}\leq\tfrac{1}{4}

(10)

h_{n}=\tfrac{B_{n-1}Kh_{n-1}^{2}}{1-2\eta_{n-1}}

(11)

\max\big\{\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|,\left\|x_{n+1}-A\left(x_{n}\right)% \right\|\big\}\leq\tfrac{B_{n-1}Kh_{n-1}^{2}}{1-2\eta_{n-1}}=h_{n}

pour tout $n=1,2,\ldots$

On peut remarquer que la suite de nombres

\left\|x_{1}-x_{0}\right\|,\ \left\|x_{2}-x_{1}\right\|,\ldots,\left\|x_{n}-x_% {n-1}\right\|,\ldots,

satisfait la propriété suivante:

\left\|x_{i}-x_{i-1}\right\|\leq h_{i-1},\qquad\text{pour tout }i=1,2,\ldots,

h_{i-1}\leq\tfrac{1}{2}h_{i-2}

Nous allons montrer maintenant que les éléments de la suite:

(12)

x_{0},x_{1},\ldots,x_{n},\ldots

appartiennent à la sphère $S$ .

En effet pour tout $n$ on a

\left\|x_{n}-x_{0}\right\|\leq h_{0}\sum_{i=0}^{n-1}\tfrac{1}{2^{i}}\leq 2h_{0}

d’où il résulte que $x_{n}\in S$ pour tout $n=1,2,\ldots$ Nous allons montrer à présent que la suite (12) est une suite foundamentale.

En effet on a

	$\displaystyle\left\\|x_{n+p}-x_{n}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|x_{n+p}-x_{n+p-1}\right\\|+\ldots+\left\\|x_{n+1}-x_{n}\right\\|$
		$\displaystyle\leq h_{0}\left(\tfrac{1}{2^{n+p-1}}+\ldots+\tfrac{1}{2^{n}}% \right)\leq\tfrac{h_{0}}{2^{n-1}}.$

En passant à la limite quand $p\rightarrow\infty$ on en déduit

(13)

\left\|x^{\ast}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{h_{0}}{2^{n-1}}.

Il en résulte que la suite (12) est convergente et $x^{\ast}\in S.$ On peut aussi déduire facilement qu’on a

(14)

\left\|x^{\ast}-A\left(x_{n}\right)\right\|\leq\tfrac{h_{0}}{2^{n-1}}.

L’inégalité (7) se déduit facilement; c’est pourquoi on n’en donnera pas la démonstration dans ce travail.

En passant à la limite dans l’égalité (3) et en tenant compte du fait que $\left[x_{n},A\left(x_{0}\right);F\right]$ est un opérateur additif et borné pour tout $n$ , il résulte que $x^{\ast}$ vérifie l’équation (1).

Nous allons démontrer que $x^{\ast}$ est l’unique solution de l’équation (1).

En effet, en supposant que $x^{\ast}$ et $x^{\ast\ast}$ sont deux solutions de l’équation (1) qui appartiennent à la sphère $S$ on a

\left\|x^{\ast}-x^{\ast\ast}\right\|\leq M\left\|x^{\ast}-x^{\ast\ast}\right\|% <\left\|x^{\ast}-x^{\ast\ast}\right\|

ce qui est possible seulement si $x^{\ast}=x^{\ast\ast.}$ ∎

Remarque.

Si $B_{n}$ est borné, alors l’ordre de convergence du procédé de Steffensen est 2. Cela résulte de l’inégalité (10). C’est-à-dire $\left\|B_{n}\right\|\leq B$ pour tout $n$ on a

h_{n}\leq 2B\,K\,h_{n-1}^{2}

et on peut en déduire encore que

h_{n}\leq\tfrac{(2B\,K\,h_{0})^{2n}}{2B\,K}.\displayqed

Reçu le 6 juin 1967

Institutul de Calcul, Cluj

Bibliographie

[1] J. W. Schmith, Konvergenzgeschwindigkeit der im Banachraum. ZAMM, 1966, 46, 2, 146-148.
[2] S. ULM, Obobşcenie metoda Steffensena dlja reşenija nelinejnâh operatornîh uravneij. ”Jur. vâcisl. mat. mat. fiziki”, 1964, 4, 6, 1093-1097.
[3] A. M. OSTROVSKI, Reşenie uravnenij i sistema uravnenij. ”Mat. izd-vo in. lit.”, 1963.
[4] L. V. KANTOROVICI, Funkţional’nâj analiz i prikladnaja matematika. ”UMN”, 1948 (28), 3, 6.
[5]

On the Steffensen method for solving nonlinear operator equations

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