Original title (in Romanian)
Asupra unicității prelungirii p-seminormelor continue
Abstract
Authors
“Tiberiu Popoviciu” Institute of Numerical Analysis, Romanian Academy, Romania
Keywords
Paper coordinates
C. Mustăţa, On the uniqueness of the extension of continuous p-seminorms, Rev. Anal. Numer. Teoria Approximatiei 2 (1973) no. 2, 173-177 (in Romanian).
About this paper
Journal
Rev. Anal. Numer. Theoria Approximatiei
Publisher Name
Romanian Academy
Print ISSN
Online ISSN
MR 53 # 8759
google scholar link
[1] Czipser, J. si Geher, L., Extension of functions satisfying a Lipschitz condition, Acta Math. Acad. Sci. Hungar 6, 213-220, 1955
[2] Kolumban I., Ob edinstvenosti prodoljenia linein]h functionalov, Mathematica, Cluj, 4 (27), 267-270, 1962
[3] Phelps, R.P., Uniquencess of Hahn-Banach extension and unique best approximation, Trans. Amer. Math. Soc. 95, 238-255, 1960.
Paper (preprint) in HTML form
ASUPRA UNICITATTII PRELUNGIRII pp-SEMINORMELOR CONTINUE
- Fie XX un spaţiu liniar real și p in(0,1]p \in(0,1]. O funcţională ||||||:X rarr R\|\|\|: X \rightarrow R se numeşte o pp-normă pe XX dacă ea verifică axiomele:
{:[{:p_(1))quad|||x||| >= 0","||x||=0<=>x=0",",x in X],[{:p_(2))quad|||x+y||^(p) <= |||x|||^(p)+|||y∣||^(p)",",x","y in X],[{:p_(3))quad||lambda x|||=|lambda|*||x|||",",x in X","lambda in R]:}\begin{array}{ll}
\left.p_{1}\right) \quad\||x|\| \geqq 0,\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0, & x \in X \\
\left.p_{2}\right) \quad\left\|\left|x+y\left\|^{p} \leqq\right\|\right| x\left|\left\|^{p}+\right\|\right| y \mid\right\|^{p}, & x, y \in X \\
\left.p_{3}\right) \quad\|\lambda x|\|=|\lambda| \cdot\| x|\|, & x \in X, \lambda \in R
\end{array}
Spatiul liniar real XX, înzestrat cu pp-norma ||| ||| îl numim spaţiu pp-normat şi îl notăm ( X,|||||∣||X,\||\|\mid\| ).
In lucrarea [4], w. RUESS defineşte conul convex al pp-seminormelor continue definite pe spaţiul pp-normat (X,||||||)(X,\| \| \|) :
{:[(1)C_(X)^(p)tau={h∣h:X rarrR^(+),^(**))quad AA x","y in X","quad AA lambda in R","quad h(x+y) <= ],[{:h(x)+h(y)quad" şi "h(lambda x)=|lambda|^(p)h(x)}]:}\begin{gather*}
C_{X}^{p} \tau=\left\{h \mid h: X \rightarrow R^{+},{ }^{*}\right) \quad \forall x, y \in X, \quad \forall \lambda \in R, \quad h(x+y) \leqq \tag{1}\\
\left.h(x)+h(y) \quad \text { şi } h(\lambda x)=|\lambda|^{p} h(x)\right\}
\end{gather*}ş
şi spațiul generat de C_(X)^(p)C_{X}^{p}, anume
{:(2)X_(tau)^(p)=C_(X)^(p)tau-C_(X)^(p)tau.:}\begin{equation*}
X_{\tau}^{p}=C_{X}^{p} \tau-C_{X}^{p} \tau . \tag{2}
\end{equation*}
Vom nota cu X^(#)X^{\#} spatiul liniar real al functionalelor lipschitziene definite pe spatiul pp-normat ( X,||||||X,||||| | ) (vezi [2]):
(3) AA f inX^(#),EE M >= 0,AA x,y in X,|f(x)-f(y)| <= M*|||x-y|||\forall f \in X^{\#}, \exists M \geqq 0, \forall x, y \in X,|f(x)-f(y)| \leqq M \cdot|\|x-y\||
(3) AA f inX^(#),EE M >= 0,AA x,y in X,|f(x)-f(y)| <= M*|||x-y|||\forall f \in X^{\#}, \exists M \geqq 0, \forall x, y \in X,|f(x)-f(y)| \leqq M \cdot|\|x-y\||
Cu Phi\Phi vom nota funcţionala nulă pe ( X,||||||X,||||| | ).
C_(X)^(p_(tau))C_{X}^{p_{\tau}} este un con convex din spaţiul liniar X^(#)X^{\#}. Intr-adevăr dacă h inC_(gamma_(tau)^(p))^(p_(tau))h \in C_{\gamma_{\tau}^{p}}^{p_{\tau}} atunci pentru orice x_(1),x_(2)in Xx_{1}, x_{2} \in X avem |h(x_(1))-h(x_(2))| <= h(x_(1)-x_(2))\left|h\left(x_{1}\right)-h\left(x_{2}\right)\right| \leqq h\left(x_{1}-x_{2}\right) de unde, pentru x_(1)!=x_(2)x_{1} \neq x_{2}
C_(X)^(p_(tau))C_{X}^{p_{\tau}} este un con convex din spaţiul liniar X^(#)X^{\#}. Intr-adevăr dacă h inC_(gamma_(tau)^(p))^(p_(tau))h \in C_{\gamma_{\tau}^{p}}^{p_{\tau}} atunci pentru orice x_(1),x_(2)in Xx_{1}, x_{2} \in X avem |h(x_(1))-h(x_(2))| <= h(x_(1)-x_(2))\left|h\left(x_{1}\right)-h\left(x_{2}\right)\right| \leqq h\left(x_{1}-x_{2}\right) de unde, pentru x_(1)!=x_(2)x_{1} \neq x_{2}
{:(4)(|h(x_(1))-h(x_(2))|)/(||x_(1)-x_(2)||∣) <= (h(x_(1)-x_(2)))/(||∣x_(1)-x_(2)||||) <= s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(h(x-y))/(||x-y||||):}\begin{equation*}
\frac{\left|h\left(x_{1}\right)-h\left(x_{2}\right)\right|}{\left\|x_{1}-x_{2}\right\| \mid} \leqq \frac{h\left(x_{1}-x_{2}\right)}{\left\|\mid x_{1}-x_{2}\right\| \|} \leqq \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{h(x-y)}{\|x-y\| \|} \tag{4}
\end{equation*}
Pe de altă parte h inC_(X)^(p)h \in C_{X}^{p} dacă şi numai dacă s u p_(x in X-{theta})(h(x))/(||x||) < oo\sup _{x \in X-\{\theta\}} \frac{h(x)}{\|x\|}<\infty (vezi [4] pag. 16, Obs. 2.6) și avînd în vedere (4) rezultă că h inX^(#)h \in X^{\#}.
Evident X_(tau)^(p)X_{\tau}^{p} este un subspaţiu liniar al lui X^(#)X^{\#}.
Pe| X_(tau)^(p)X_{\tau}^{p} se definesc următoarele norme (vezi Definitia 2.7 şi Lema 2.8 din [4]) :
Pe| X_(tau)^(p)X_{\tau}^{p} se definesc următoarele norme (vezi Definitia 2.7 şi Lema 2.8 din [4]) :
{:(5)||||_(X)^(1):X_(tau)^(p)rarrR^(+):}:}\begin{equation*}
\left\|\|_{X}^{1}: X_{\tau}^{p} \rightarrow R^{+}\right. \tag{5}
\end{equation*}
AA f inX_(tau)^(p),||f||_(X)^(1)=s u p_(||x|||| <= 1)|f(x)|,\forall f \in X_{\tau}^{p},\|f\|_{X}^{1}=\sup _{\|x\| \| \leqslant 1}|f(x)|,
(6)
||||_(X):X_(tau)^(p)rarrR^(+):}\left\|\|_{X}: X_{\tau}^{p} \rightarrow R^{+}\right.
AA f inX_(tau)^(p),quad||f||_(X)=q_((B_(1)(0,1)nn nnint_(X)^(p)tau-B_(1)(0,1)nnc_(X)^(p)tau))(f)\forall f \in X_{\tau}^{p}, \quad\|f\|_{X}=q_{\left(B_{1}(0,1) \cap \cap \int_{X}^{p} \tau-B_{1}(0,1) \cap c_{X}^{p} \tau\right)}(f)
unde qq este funcţionala lui Minkowski ataşată mulțimii B_(1)(0,1)nnC_(X)^(p)tauB_{1}(0,1) \cap C_{X}^{p} \tau --B_(1)(0,1)nnC_(X)^(p_(tau))-B_{1}(0,1) \cap C_{X}^{p_{\tau}} iar B_(1)(0,1)={f inX_(tau)^(p),||f||_(X)^(1) <= 1}B_{1}(0,1)=\left\{f \in X_{\tau}^{p},\|f\|_{X}^{1} \leqq 1\right\}.
Conform Lemei 2.8 din [4], ( X_(tau)^(p),||||_(X)X_{\tau}^{p},\| \|_{X} ) este un spațiu Banach şi pentru orice f inX_(tau)^(p),||f||_(X)^(1) <= ||f||_(X)f \in X_{\tau}^{p},\|f\|_{X}^{1} \leqq\|f\|_{X}. Dacă hh este chiar din C_(X)^(p)tauC_{X}^{p} \tau atunci ||h||_(X)=||h||_(X)^(1)\|h\|_{X}=\|h\|_{X}^{1}.
‥ Fie YY un subspatiu liniar al lui (X,||||||):}\left(X,\left|\left|\left||| |)\right.\right.\right.\right.. Pentru h inC_(X)^(p_(tau))h \in C_{X}^{p_{\tau}} vom nota cu h|_(Y)\left.h\right|_{Y} restrictia lui hh pe subspatiul YY.
teorema 1. (Teorema 2.9 din [4]). Fie YY un subspatiu liniar al lui ( XX, III III) si h inC_(X)^(p_(tau))h \in C_{X}^{p_{\tau}}. Atunci functionala
(7)
‥ Fie YY un subspatiu liniar al lui (X,||||||):}\left(X,\left|\left|\left||| |)\right.\right.\right.\right.. Pentru h inC_(X)^(p_(tau))h \in C_{X}^{p_{\tau}} vom nota cu h|_(Y)\left.h\right|_{Y} restrictia lui hh pe subspatiul YY.
teorema 1. (Teorema 2.9 din [4]). Fie YY un subspatiu liniar al lui ( XX, III III) si h inC_(X)^(p_(tau))h \in C_{X}^{p_{\tau}}. Atunci functionala
(7)
H:X rarrR^(+)H: X \rightarrow R^{+}
AA x in X quad H(x)=i n f_(y in Y){h|_(Y)(y)+||h|_(Y)||_(Y)*||∣x-y||||}\forall x \in X \quad H(x)=\inf _{y \in Y}\left\{\left.h\right|_{Y}(y)+\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y} \cdot\|\mid x-y\| \|\right\}
verifică proprietățile:
{:(8)H inC_(X)^(p)tau;H|_(Y)=h|_(Y);||H||_(X)=||h|_(Y)||_(Y).:}\begin{equation*}
H \in C_{X}^{p} \tau ;\left.H\right|_{Y}=\left.h\right|_{Y} ;\|H\|_{X}=\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y} . \tag{8}
\end{equation*}
Functionala HH din teorema 1 se numeşte o prelungire a restrictiei lui h inC_(X)^(p_(tau))h \in C_{X}^{p_{\tau}} pe YY, de pe YY pe XX cu păstrarea normei de pe YY.
2. În general, prelungirea HH, cu proprietățile (8) nu este unică. În cele ce urmează vom găsi o condiţie necesată şi suficientă pentru unicitatea unei astfel de prelungiri. Pentru alte tipuri de functionale, condiţii pentru unicitatea prelungirii se pot găsi în lucrările [1], [2], [3].
2. În general, prelungirea HH, cu proprietățile (8) nu este unică. În cele ce urmează vom găsi o condiţie necesată şi suficientă pentru unicitatea unei astfel de prelungiri. Pentru alte tipuri de functionale, condiţii pentru unicitatea prelungirii se pot găsi în lucrările [1], [2], [3].
Definifia 1. Fie ( X,||||X,\| \| ) un spatiu liniar normat, VV o submultime a sa nevidă şi YY un subspațiu liniar al lui XX. Vom zice că subspatiul YY este VV-cebîsevian dacă dîndu-se v in Vv \in V există un singur element y_(0)in Yy_{0} \in Y astfel ca
(9)
(9)
||v-y_(0)||=i n f_(y in Y)||v-y||=d(v,Y).\left\|v-y_{0}\right\|=\inf _{y \in Y}\|v-y\|=d(v, Y) .
Fie YY un subspatiu liniar al lui ( X,||||||X,\| \| \| ). Vom nota
{:(10)Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)={f inX_(tau)^(p),f(y)=0" pentru toti "y in Y}.:}\begin{equation*}
Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}=\left\{f \in X_{\tau}^{p}, f(y)=0 \text { pentru toti } y \in Y\right\} . \tag{10}
\end{equation*}
Evident Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp} este un subspatiu al lui X_(tau)^(p)X_{\tau}^{p}.
Lema 1. Fie YY un subspatiu liniar al lui (X,||||||)(X,\| \| \|) şi h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau. Atunci are loc următoavea egalitate:
(11)
Lema 1. Fie YY un subspatiu liniar al lui (X,||||||)(X,\| \| \|) şi h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau. Atunci are loc următoavea egalitate:
(11)
||h|_(Y)||_(Y)=d(h,Y_(X^(p))^(_|_)).\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=d\left(h, Y_{X^{p}}^{\perp}\right) .
Demonstratie. Conform teoremer 1 , dacă h inC_(X)^(p)h \in C_{X}^{p}, pentru h|_(Y)\left.h\right|_{Y} există H inC_(X)^(p)tauH \in C_{X}^{p} \tau cu proprietățile (8). Conform Lemei 2.8 (d) din [4] avem:
{:[||h|_(Y)||_(Y)=||h|_(Y)||_(Y)^(1)=s u p_({:[||y||||_(1) < 1],[y in Y]:})h(y)=s u p_({:[||y_(1)||||_(1) < 1],[y in Y]:})|h(y)|=],[=s u p|(h-g)(y)| <= s u p|(h-g)(x)|=]:}\begin{aligned}
& \left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}^{1}=\sup _{\substack{\|y\| \|_{1}<1 \\
y \in Y}} h(y)=\sup _{\substack{\left\|y_{1}\right\| \|_{1}<1 \\
y \in Y}}|h(y)|= \\
& =\sup |(h-g)(y)| \leqq \sup |(h-g)(x)|=
\end{aligned}
{:=||h-g||_(X)^(1) <= ||h-g||_(X).:}\begin{aligned}
& =\|h-g\|_{X}^{1} \leqq\|h-g\|_{X} .
\end{aligned}
De aici rezultă că
||h|_(Y)||_(Y) <= i n f_(epsi inY^(_|_))||h-g||_(X)^(p)=d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_))\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y} \leqq \inf _{\varepsilon \in Y^{\perp}}\|h-g\|_{X}^{p}=d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right)
Invers, conform teoremei 1 avem:
||h|_(Y)||_(Y)=||H||_(X)=||h-(h-H)||_(X) >= d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)).\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=\|H\|_{X}=\|h-(h-H)\|_{X} \geqq d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right) .
Deci
||h|_(Y)||_(Y)=d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)).\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right) .
teorema 2. Fie YY un subspatiu liniar al lui ( X,||||X,\| \| |||) şi h inC_(X)^(p)h \in C_{X}^{p}. Următoavele două afirmații sînt echivalente:
a) Oricare ar fi h inC_(X)^(p)tau,h|_(Y)h \in C_{X}^{p} \tau,\left.h\right|_{Y} are o prelungire HH, cave verifică proprietătile (8) unică.
b) Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp} este C_(X)^(p)tau-C_{X}^{p} \tau- cebîşevian.
a) Oricare ar fi h inC_(X)^(p)tau,h|_(Y)h \in C_{X}^{p} \tau,\left.h\right|_{Y} are o prelungire HH, cave verifică proprietătile (8) unică.
b) Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp} este C_(X)^(p)tau-C_{X}^{p} \tau- cebîşevian.
Demonstratie. a) =>\Rightarrow b). Mai întîi observăm că pentru orice h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau există un element g_(0)inY_(X_(tau)^(p))^(_|_)g_{0} \in Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp} astfel ca ||h-g_(0)||_(X)=d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_))\left\|h-g_{0}\right\|_{X}=d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right). Intr-adevăr, conform TEOREMEI 1 și LEMEI 1,h|_(Y)1,\left.h\right|_{Y} are o prelungire H inC_(X)^(p)tauH \in C_{X}^{p} \tau astfel ca
||h|_(Y)||_(Y)=d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_))=||h-(h-H)||_(X).\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right)=\|h-(h-H)\|_{X} .
Deci g_(0)=h-Hg_{0}=h-H.
Să presupunem acum că Y_(X)^(_|_)Y_{X}^{\perp} nu este C_(X)^(p)C_{X}^{p} - cevişevian; atunci există h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau şi există g_(1),g_(2)dinY_(X_(tau)^(p))^(tau),g_(1)!=g_(2)g_{1}, g_{2} \operatorname{din} Y_{X_{\tau}^{p}}^{\tau}, g_{1} \neq g_{2} astfel ca
Să presupunem acum că Y_(X)^(_|_)Y_{X}^{\perp} nu este C_(X)^(p)C_{X}^{p} - cevişevian; atunci există h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau şi există g_(1),g_(2)dinY_(X_(tau)^(p))^(tau),g_(1)!=g_(2)g_{1}, g_{2} \operatorname{din} Y_{X_{\tau}^{p}}^{\tau}, g_{1} \neq g_{2} astfel ca
{:(12)||h-g_(1)||_(X)=||h-g_(2)||_(X)=d(h,Y_(X_(tau)^(p))^(_|_))=||h|_(Y)||_(Y).:}\begin{equation*}
\left\|h-g_{1}\right\|_{X}=\left\|h-g_{2}\right\|_{X}=d\left(h, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right)=\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y} . \tag{12}
\end{equation*}
Dar atunci, avînd în vedere şi egalitățile (12) rezultă că h-g_(1)h-g_{1} şi h-g_(2)h-g_{2} sînt două prelungiri diferite ale lui h|_(Y)\left.h\right|_{Y}.
b) =>\Rightarrow a). Să presupunem că există h inC_(X)^(p)h \in C_{X}^{p} astfel ca h|_(Y)\left.h\right|_{Y} să aibă prelungirile H_(1),H_(2)inC_(X)^(p)tau,H_(1)!=H_(2)cuH_{1}, H_{2} \in C_{X}^{p} \tau, H_{1} \neq H_{2} \mathrm{cu} proprietățile (8). Atunci din mema 1 rezultă că:
b) =>\Rightarrow a). Să presupunem că există h inC_(X)^(p)h \in C_{X}^{p} astfel ca h|_(Y)\left.h\right|_{Y} să aibă prelungirile H_(1),H_(2)inC_(X)^(p)tau,H_(1)!=H_(2)cuH_{1}, H_{2} \in C_{X}^{p} \tau, H_{1} \neq H_{2} \mathrm{cu} proprietățile (8). Atunci din mema 1 rezultă că:
||H_(1)||_(X)=||H_(1)-(H_(1)-H_(2))||_(X)=||h|_(Y)||_(Y)=||H_(1)|_(Y)||_(Y)=d(H_(1),Y_(X_(tau)^(p))^(_|_)).\left\|H_{1}\right\|_{X}=\left\|H_{1}-\left(H_{1}-H_{2}\right)\right\|_{X}=\left\|\left.h\right|_{Y}\right\|_{Y}=\left\|\left.H_{1}\right|_{Y}\right\|_{Y}=d\left(H_{1}, Y_{X_{\tau}^{p}}^{\perp}\right) .
Dar aceasta înseamnă că pentru H_(1)H_{1} există două elemente din Y_(x_(tau)^(p))^(_|_)Y_{x_{\tau}^{p}}^{\perp} pentru care are loc (9) şi anume Phi\Phi şi H_(1)-H_(2)!=PhiH_{1}-H_{2} \neq \Phi, deci Y_(X)^(_|_)_(tau)^(p)Y_{X}^{\perp}{ }_{\tau}^{p} nu este C_(X)^(p)C_{X}^{p} r-cebîşevian.
SUR L'UNICITÉ DU PROLONGEMENT DES pp-SÉMINORMES CONTINUES
RÉSUME
Soit ( X,||||||X,\| \| \| ) un espace pp-normé réel ( p in(0,1]p \in(0,1] ), YY un sousespace de (X,||∣||)(X,\|\mid\|) et soit C_(X)^(p)C_{X}^{p} r le cône des pp-séminormes continues sur (X,||||||)(X,\| \| \|). Soit h inC_(X)^(p)tauh \in C_{X}^{p} \tau et HH un prolongement de h|_(Y)\left.h\right|_{Y} de YY sur XX qui conserve 1a norme de YY. On montre que HH est un prolongement unique si et seulement si ∣Y_(C)^(_|_)_(X)^(p)tau-C_(X)^(p)tau\mid Y_{C}^{\perp}{ }_{X}^{p} \tau-C_{X}^{p} \tau lest un sousespace de Tchébycheff pour les éléments de C_(X)^(p)tauC_{X}^{p} \tau.
BIBLIOGRAFIE
[1] Kolumban I., Ob edinstvenosti prodoljenia lineinîh functionalov, Mathematica, vol. 4
[2] (24), 2, 1962), 267-270. schitziene, "Revista de analiză numerică şi teoria aproximației", vol. 2, fasc. 1, (1973), "81-87.
[3] Phelps R. R., Uniqueness of Hahn-Banach extension and unique best approximction, Trans. Amer. Math. Soc., 95, (1960), 238-255.
[4] Ruess W., Ein Dualkegel für p-konvexe topologische lineare Räume, Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeltung, Bonn, Nr. 60, (1973).
[2] (24), 2, 1962), 267-270. schitziene, "Revista de analiză numerică şi teoria aproximației", vol. 2, fasc. 1, (1973), "81-87.
[3] Phelps R. R., Uniqueness of Hahn-Banach extension and unique best approximction, Trans. Amer. Math. Soc., 95, (1960), 238-255.
[4] Ruess W., Ein Dualkegel für p-konvexe topologische lineare Räume, Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeltung, Bonn, Nr. 60, (1973).
Institutul de calcul din Clui
al Academiei Republicii Socialiste
Románia
Primit la 28. V. 1973.
al Academiei Republicii Socialiste
Románia
Primit la 28. V. 1973.
- R+\mathrm{R}+ reprezintă mulțimea numerelor reale nenegative.