About the use of tables of special functions

Die Aufgabe besteht darin, die Tabelle durch Interpolation für andere Werte von $x\mathrm{zu}$$x\mathrm{zu}$xzux \mathrm{zu}$x\mathrm{zu}$ ergänzen. Um diese Aufgabe zu lösen, beginnt man gewöhnlich mit einer linearen Interpolation in den aufeinanderfolgenden Intervallen, welche durch die Punkte $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$, $i=1,2,\dots ,m$$i=1,2,\dots ,m$i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, m$i=1,2,\dots ,m$ bestimmt sind. Wird vorausgesetzt, daß $x_1<x_2<\dots <x_m$$x_1<x_2<\dots <x_m$x_(1) < x_(2) < dots < x_(m)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$x_1<x_2<\dots <x_m$ gilt, so besteht die lineare Interpolation darin, daß man statt der Funktion $f$$f$ff$f$ im abgeschlossenen Intervall $[x_1,x_m]$$\left[x_1,x_m\right]$[x_(1),x_(m)]\left[x_{1}, x_{m}\right]$[x_1,x_m]$ die Polygonalfunktion $P$$P$PP$P$ verwendet, welche in die Kurve $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)quady=f(x) \quad$y=f(x)$ eingeschrieben ist und die Ecken ( $x_i,f\left(x_i\right)$$x_i,f\left(x_i\right)$x_(i),f(x_(i))x_{i}, f\left(x_{i}\right)$x_i,f\left(x_i\right)$ ), $i=1,2,\dots ,m$$i=1,2,\dots ,m$i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, m$i=1,2,\dots ,m$ besitzt. Analytisch ausgedrückt bedeutet das, daß die Funktion $f$$f$ff$f$ in jedem Intervall $[x_i,x_{i+1}]$$\left[x_i,x_{i+1}\right]$[x_(i),x_(i+1)]\left[x_{i}, x_{i+1}\right]$[x_i,x_{i+1}]$ durch das Lagrangesche Polynom ersten Grades $L(x_i,x_{i+1};f)$$L\left(x_i,x_{i+1};f\right)$L(x_(i),x_(i+1);f)L\left(x_{i}, x_{i+1} ; f\right)$L(x_i,x_{i+1};f)$ ersetzt wird, welches in den Endpunkten $x_i,x_{i+1}$$x_i,x_{i+1}$x_(i),x_(i+1)x_{i}, x_{i+1}$x_i,x_{i+1}$ dieselben Werte wie die Funktion $f$$f$ff$f$ annimmt.

Da wir angenommen haben, daß die Werte der Funktion $f$$f$ff$f$ außerhalb der Punkte $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$, $i=1,2,\dots ,m$$i=1,2,\dots ,m$i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, m$i=1,2,\dots ,m$ nicht bekannt sind, können wir im allgemeinen nichts aussagen über die Güte der Approximation

wobei $x$$x$xx$x$ ein Punkt ist, der zwischen den Punkten $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ und $x_{i+1}$$x_{i+1}$x_(i+1)x_{i+1}$x_{i+1}$ liegt.
Ganz anders behandelt man die anfangs gestellte Aufgabe, wenn zusätzlich bekannt ist, daß die Funktion $f$$f$ff$f$ ein bestimmtes Verhalten aufweist; z, B., wenn die Funktion $f$$f$ff$f$ positiv ist, dann sind auch die Approximationsfunktionen $L(x_i,x_{i+1};f)$$L\left(x_i,x_{i+1};f\right)$L(x_(i),x_(i+1);f)L\left(x_{i}, x_{i+1} ; f\right)$L(x_i,x_{i+1};f)$, im Intervall
$[x_i,x_{i+1}]$$\left[x_i,x_{i+1}\right]$[x_(i),x_(i+1)]\left[x_{i}, x_{i+1}\right]$[x_i,x_{i+1}]$ für jedes $i=1,2,\dots ,m-1$$i=1,2,\dots ,m-1$i=1,2,dots,m-1i=1,2, \ldots, m-1$i=1,2,\dots ,m-1$ positiv. Wenn die Funktion $f$$f$ff$f$ zunehmend ist, so sind auch die obigen Approximationsfunktionen (für alle $x$$x$xx$x$ ), und auch die oben erwähnte Polygonalfunktion $P$$P$PP$P$, zunehmend u.s.w.

Wir werden im folgenden einen anderen wichtigen Spezialfall eines solchen Verhaltens untersuchen.

Es sei bemerkt, daß in den Tabellen, die man im allgemeinen benützt, nicht die genauen Werte der dargestellten Funktion enthalten sind, sondern Näherungswerte. Das ist z. B. bei den Logarithmentafeln der Fall. Wir werden diese Tatsache weiter im Auge behalten.
2. Wir wollen nun das Interpolationsproblem für den Fall einer Funktion $f$$f$ff$f$ betrachten, welche in einem die Punkte $x_i,i=1,2,\dots ,m$$x_i,i=1,2,\dots ,m$x_(i),i=1,2,dots,mx_{i}, i=1,2, \ldots, m$x_i,i=1,2,\dots ,m$, enthaltenden Intervall stetig und konkav ist. Für eine solche Funktion sind die dividierten Differenzen 2-ter Ordnung negativ. Das ist z. B. bei einer Funktion, deren zweite Ableitung negativ ist, der Fall. Dieser Fall liegt z. B. bei der Funktion $\ln x$$\ln x$ln x\ln x$\ln x$ vor, die (für $x>0$$x>0$x > 0x>0$x>0$ ) konkav ist, so daß das Folgende auf die Logarithmentafeln angewendet werden kann.

Das zu untersuchende Problem kann dann wie folgt formuliert werden:

Es sei eine stetige konkave Funktion $f$$f$ff$f$ in einem Intervall gegeben, das die Punkte $a,b(a<b)$$a,b(a<b)$a,b(a < b)a, b(a<b)$a,b(a<b)$ enthält. Es soll die Approximation dieser Funktion durch ein Polynom 1-ten Grades im Intervall [ $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ] untersucht werden.

Das Lagrangesche Polynom $L=L(a,b;f)$$L=L(a,b;f)$L=L(a,b;f)L=L(a, b ; f)$L=L(a,b;f)$, das die Werte von $f$$f$ff$f$ in den Endpunkten $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ annimmt, ergibt eine solche Näherung. Die Approximation von $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ durch $L(a,b;f)(x)$$L(a,b;f)(x)$L(a,b;f)(x)quadL(a, b ; f)(x) \quad$L(a,b;f)(x)$ ist für jedes $x\in [a,b]$$x\in [a,b]$x in[a,b]x \in[a, b]$x\in [a,b]$ eine Näherung von unten. Um eine bessere Approximation zu erhalten, versucht man das Polynom $L$$L$LL$L$ durch ein anderes Approximationspolynom zu ersetzen.

Gemäß einer Idee von E. V. VORONOVSKAIA [3] kann man statt $L$$L$LL$L$ das Polynom 1-ten Grades nehmen, das die Funktion am besten im Sinne von Tschebyscheff approximiert. Diese Wahl ist dadurch gerechtfertigt, daß dieses Polynom wegen des speziellen Verhaltens (Konkavität) der Funktion $f$$f$ff$f$ sich vom Polynom $L$$L$LL$L$ nur durch eine positive Konstante unterscheidet. Genauer gesagt: das betrachtete Tschebyscheffsche Polynom ist gleich $L+\rho$$L+\rho$L+rhoL+\rho$L+\rho$, wobei

gilt. Der Punkt $\xi \in ]a,b[(a<\xi <b)$$\xi \in ]a,b[(a<\xi <b)$xi in]a,b[(a < xi < b)\xi \in] a, b[(a<\xi<b)$\xi \in ]a,b[(a<\xi <b)$ ist eindeutig bestimmt. Ist die Funktion $f$$f$ff$f$ differenzierbar, so ist er die einzige Wurzel der Gleichung

Die Berechnung der Zahl pist aber i. A. zu kompliziert, um bei numerischen Berechnungen verwendet werden zu können. Nehmen wir z. B. an, wir hätten eine Tafel, welche die Werte der Funktion $\ln x$$\ln x$ln x\ln x$\ln x$ für die natürlichen Zahlen bis zu einer genügend großen Zahl enthält, und setzen wir $a=n,b=n+1$$a=n,b=n+1$a=n,b=n+1a=n, b=n+1$a=n,b=n+1$, wobei $n$$n$nn$n$ eine natürliche Zahl bezeichnet, dann ist

Die entsprechende Zahl 2p:

kann nicht durch rationale Operationen aus den Daten der Tabelle erhalten werden.
Es ist also sinnvoller, eine Abänderung des Approximationspolynoms $L+\rho$$L+\rho$L+rhoL+\rho$L+\rho$ zu suchen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine solche Änderung vorzunehmen. Die von uns im folgenden behandelten scheinen die einfachsten zu sein.
3. Nehmen wir als Approximationspolynom das Polynom $L+\lambda$$L+\lambda$L+lambdaL+\lambda$L+\lambda$ an, wobei $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ eine positive Konstante ist, die durch die Gleichung

bestimmt ist. Dabei ist $c$$c$cc$c$ eine vorgegebene Zahl mit $a<c<b$$a<c<b$a < c < ba<c<b$a<c<b$. Es gilt dann $o<\lambda \le \rho$$o<\lambda \le \rho$o < lambda <= rhoo<\lambda \leq \rho$o<\lambda \le \rho$. Die Gleichheit $\lambda =\rho$$\lambda =\rho$lambda=rho\lambda=\rho$\lambda =\rho$ tritt nur im Falle $c=\xi$$c=\xi$c=xic=\xi$c=\xi$ ein. Ist eine positive Zahl $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ vorgegeben, die kleiner als $\rho$$\rho$rho\rho$\rho$ ist, so gibt es zwei Punkte $c$$c$cc$c$, für welche die Gleichung (4) besteht. $\rho$$\rho$rho\rho$\rho$ und $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ haben die im vorhergehenden Abschnitt angegebene Bedeutung.

Die zur Sehne $y=L(x)$$y=L(x)$y=L(x)y=L(x)$y=L(x)$ parallele Gerade $y=L(x)+\lambda$$y=L(x)+\lambda$y=L(x)+lambday=L(x)+\lambda$y=L(x)+\lambda$ schneidet den Bogen $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$ in zwei Punkten $(a_1,f\left(a_1\right)),(b_1,f\left(b_1\right))$$\left(a_1,f\left(a_1\right)\right),\left(b_1,f\left(b_1\right)\right)$(a_(1),f(a_(1))),quad(b_(1),f(b_(1)))\left(a_{1}, f\left(a_{1}\right)\right), \quad\left(b_{1}, f\left(b_{1}\right)\right)$(a_1,f\left(a_1\right)),(b_1,f\left(b_1\right))$, wobei $a<a_1<b_1<b$$a<a_1<b_1<b$a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b$a<a_1<b_1<b$. Die Abszissen $a_1$$a_1$a_(1)a_{1}$a_1$ und $b_1$$b_1$b_(1)b_{1}$b_1$ kann man jedoch nicht einmal für einfache Funktionen $f$$f$ff$f$ genau bestimmen.

Beispiel 1. Die Funktion $x(1-x)$$x(1-x)$x(1-x)x(1-x)$x(1-x)$ ist im Intervall $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$ konkav. Wir wählen $a=0$$a=0$a=0a=0$a=0$,
$b=1$$b=1$b=1b=1$b=1$. Das Tschebyscheff-Polynom ersten Grades ist dann die Konstante $\frac{1}{8}$$\frac{1}{8}$(1)/(8)\frac{1}{8}$\frac{1}{8}$. Die Wurzeln $\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$(1)/(2)-(1)/(2sqrt2),(1)/(2)+(1)/(2sqrt2)\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$ der Gleichung $x(1-x)=\frac{1}{8}$$x(1-x)=\frac{1}{8}$x(1-x)=(1)/(8)x(1-x)=\frac{1}{8}$x(1-x)=\frac{1}{8}$, die in diesem Fall die Abszissen $a_1,b_1$$a_1,b_1$a_(1),b_(1)a_{1}, b_{1}$a_1,b_1$ darstellen, können nicht mittels rationaler Operationen aus den Daten des Problems berechnet werden. Hingegen können die Abszissen $a^{\prime },b^{\prime }$$a^{\prime },b^{\prime }$a^('),b^(')a^{\prime}, b^{\prime}$a^{\prime },b^{\prime }$ der Schnittpunkte der Geraden $y=L(x)+\lambda$$y=L(x)+\lambda$y=L(x)+lambday=L(x)+\lambda$y=L(x)+\lambda$ mit der Geraden $y=L(a,c;f)(x)$$y=L(a,c;f)(x)$y=L(a,c;f)(x)y=L(a, c ; f)(x)$y=L(a,c;f)(x)$ bzw. $y=L(c,b;f)(x)$$y=L(c,b;f)(x)$y=L(c,b;f)(x)y=L(c, b ; f)(x)$y=L(c,b;f)(x)$ leicht bestimmt werden.
Eine einfache Rechnung ergibt $a^{\prime }=\frac{a+c}{2},b^{\prime }=\frac{c+b}{2}$$a^{\prime }=\frac{a+c}{2},b^{\prime }=\frac{c+b}{2}$a^(')=(a+c)/(2),quadb^(')=(c+b)/(2)a^{\prime}=\frac{a+c}{2}, \quad b^{\prime}=\frac{c+b}{2}$a^{\prime }=\frac{a+c}{2},b^{\prime }=\frac{c+b}{2}$ und wegen der Konkavität der Funktion $f$$f$ff$f$ gilt $a<a_1<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b_1<b$$a<a_1<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b_1<b$a < a_(1) < a^(') < c < b^(') < b_(1) < ba<a_{1}<a^{\prime}<c<b^{\prime}<b_{1}<b$a<a_1<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b_1<b$.
Hieraus folgt:
I. Im Intervall $[a^{\prime },b^{\prime }]$$\left[a^{\prime },b^{\prime }\right]$[a^('),b^(')]\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$[a^{\prime },b^{\prime }]$, das die Länge $\frac{b-a}{2}$$\frac{b-a}{2}$(b-a)/(2)\frac{b-a}{2}$\frac{b-a}{2}$ besitzt, ergibt die Approximation von $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ durch $L(x)+\lambda$$L(x)+\lambda$L(x)+lambdaL(x)+\lambda$L(x)+\lambda$ ebenfalls eine Näherung von unten, die aber besser ist als die Approximation von $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ durch $L(x)$$L(x)$L(x)L(x)$L(x)$.

Diese Eigenschaft gilt auch für $x\in ]a_1,b_1[$$x\in ]a_1,b_1[$x in]a_(1),b_(1)[x \in] a_{1}, b_{1}[$x\in ]a_1,b_1[$, doch können die Endpunkte dieses Intervalls, wie vorhin bemerkt wurde, nur schwierig berechnet werden.
4. Außerhalb des Intervalls $]a_1,b_1[$$]a_1,b_1[$]a_(1),b_(1)[] a_{1}, b_{1}[$]a_1,b_1[$, also für $x\in [a,b]\mathrm{\setminus }]a_1,b_1[$$x\in [a,b]\mathrm{\setminus }]a_1,b_1[$x in[a,b]\\]a_(1),b_(1)[x \in[a, b] \backslash] a_{1}, b_{1}[$x\in [a,b]\mathrm{\setminus }]a_1,b_1[$ ergibt $L(x)+\lambda$$L(x)+\lambda$L(x)+lambdaL(x)+\lambda$L(x)+\lambda$ eine Näherung von oben für $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$.

Es seien nun ( $a_2,f\left(a_2\right)),(b_2,f\left(b_2\right))$$\left.a_2,f\left(a_2\right)\right),\left(b_2,f\left(b_2\right)\right)${:a_(2),f(a_(2))),(b_(2),f(b_(2)))\left.a_{2}, f\left(a_{2}\right)\right),\left(b_{2}, f\left(b_{2}\right)\right)$a_2,f\left(a_2\right)),(b_2,f\left(b_2\right))$, wobei $a<a_2<b_2<b$$a<a_2<b_2<b$a < a_(2) < b_(2) < ba<a_{2}<b_{2}<b$a<a_2<b_2<b$ ist, die Schnittpunkte der Geraden $y=L(x)+\frac{1}{2}\lambda$$y=L(x)+\frac{1}{2}\lambda$y=L(x)+(1)/(2)lambday=L(x)+\frac{1}{2} \lambda$y=L(x)+\frac{1}{2}\lambda$ mit dem Bogen $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$, und $a^{\prime \prime }$$a^{\prime \prime }$a^('')a^{\prime \prime}$a^{\prime \prime }$ bzw. $b^{\prime \prime }$$b^{\prime \prime }$b^('')b^{\prime \prime}$b^{\prime \prime }$ die Abszisse des Schnittpunktes dieser Geraden und der Geraden $y=L(a,c;f)(x)$$y=L(a,c;f)(x)$y=L(a,c;f)(x)y=L(a, c ; f)(x)$y=L(a,c;f)(x)$ bzw. $y=L(c,b;f)(x)$$y=L(c,b;f)(x)$y=L(c,b;f)(x)y=L(c, b ; f)(x)$y=L(c,b;f)(x)$. Wie im Falle von $a_1,b_1$$a_1,b_1$a_(1),b_(1)a_{1}, b_{1}$a_1,b_1$ können die Abszissen $a_2,b_2$$a_2,b_2$a_(2),b_(2)a_{2}, b_{2}$a_2,b_2$ im allgemeinen nicht explizit durch rationale Operationen aus den Daten des Problems berechnet werden.

Beispiel 2, Für die im Beispiel 1 betrachtete Funktion $x(1-x)$$x(1-x)$x(1-x)x(1-x)$x(1-x)$ ist $a_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4},b_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$$a_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4},b_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$a_(2)=(1)/(2)-(sqrt3)/(4),quadb_(2)=(1)/(2)+(sqrt3)/(4)a_{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}, \quad b_{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$a_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4},b_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Es gilt $a^n=\frac{3a+c}{4},b^n=\frac{c+3b}{4}$$a^n=\frac{3a+c}{4},b^n=\frac{c+3b}{4}$a^(n)=(3a+c)/(4),b^(n)=(c+3b)/(4)a^{n}=\frac{3 a+c}{4}, b^{n}=\frac{c+3 b}{4}$a^n=\frac{3a+c}{4},b^n=\frac{c+3b}{4}$. Weiterhin ist $a<a_2<a_1<b_1<b_2<b$$a<a_2<a_1<b_1<b_2<b$a < a_(2) < a_(1) < b_(1) < b_(2) < ba<a_{2}<a_{1}<b_{1}<b_{2}<b$a<a_2<a_1<b_1<b_2<b$ und $a<a^{\prime \prime }<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b^{\prime \prime }<b$$a<a^{\prime \prime }<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b^{\prime \prime }<b$a < a^('') < a^(') < c < b^(') < b^('') < ba<a^{\prime \prime}<a^{\prime}<c<b^{\prime}<b^{\prime \prime}<b$a<a^{\prime \prime }<a^{\prime }<c<b^{\prime }<b^{\prime \prime }<b$. Beachtet man einerseits, daß $a_1<\xi <b_1$$a_1<\xi <b_1$a_(1) < xi < b_(1)a_{1}<\xi<b_{1}$a_1<\xi <b_1$ ist, wobei $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ der durch (2) bestimmte Punkt ist, und andererseits bekannte Eigenschaften der konkaven Funktionen, so ergibt sich, daß die Funktion $f$$f$ff$f$ auf dem Intervall [ $a,\xi$$a,\xi$a,xia, \xi$a,\xi$ ] steigend und auf dem Intervall $[\xi ,b]$$[\xi ,b]$[xi,b][\xi, b]$[\xi ,b]$ fallend ist. Die gleichen Monotonieeigenschaften besitzt diese Funktion auch auf dem Intervall $[a,a_1]$$\left[a,a_1\right]$[a,a_(1)]\left[a, a_{1}\right]$[a,a_1]$ bzw. [ $b_1,b$$b_1,b$b_(1),bb_{1}, b$b_1,b$ ]. Hieraus folgt:
II. Im Intervall [ $a^n,b^n$$a^n,b^n$a^(n),b^(n)a^{n}, b^{n}$a^n,b^n$ ], das die Länge $\frac{3}{4}$$\frac{3}{4}$(3)/(4)\frac{3}{4}$\frac{3}{4}$ (b-a) besitzt, ergibt die Approximation von $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ durch $L(x)+\lambda$$L(x)+\lambda$L(x)+lambdaL(x)+\lambda$L(x)+\lambda$ einen Absolutfehler, der kleiner ist als der bei der Approximation von $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ durch $L(x)$$L(x)$L(x)L(x)$L(x)$.

Diese Eigenschaft gilt auch für $x\in ]a_2,b_2[$$x\in ]a_2,b_2\left[\right.$x in]a_(2),b_(2)[:}x \in] a_{2}, b_{2}\left[\right.$x\in ]a_2,b_2[$, doch muß bezüglich der Endpunkte $a_2,b_2$$a_2,b_2$a_(2),b_(2)a_{2}, b_{2}$a_2,b_2$ die gleiche Bemerkung wie die über $a_1$$a_1$a_(1)a_{1}$a_1$ und $b_1$$b_1$b_(1)b_{1}$b_1$ gemacht werden.
5. Um eine Anwendung anzuführen, kehren wir zur natürlichen Logarithmentafel zurück, welche Werte für eine genügend große Zahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen enthält.

Um den Wert von $\ln (n+r)$$\ln (n+r)$ln(n+r)\ln (n+r)$\ln (n+r)$ (mit $o<r<1$$o<r<1$o < r < 1o<r<1$o<r<1$ ) zu berechnen, interpoliert man gewöhnlich linear zwischen $n$$n$nn$n$ und $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ mittels des Lagrangeschen Polynoms. Man erhält dann

Wenn wir die in den vorhergehenden Abschnitten dargelegte Theorie anwenden und $c=\frac{2n+1}{2}$$c=\frac{2n+1}{2}$c=(2n+1)/(2)c=\frac{2 n+1}{2}$c=\frac{2n+1}{2}$ setzen (also $c$$c$cc$c$ als den Mittelpunkt des Intervalls [ $n,n+1$$n,n+1$n,n+1n, n+1$n,n+1$ ] wählen), so erhalten wir die Näherung

wobei

In diesem Fall ist $a^{\prime }=n+\frac{1}{4},b^{\prime }=n+\frac{3}{4},a^{\prime \prime }=n+\frac{1}{8},b^{\prime \prime }=n+\frac{7}{8}$$a^{\prime }=n+\frac{1}{4},b^{\prime }=n+\frac{3}{4},a^{\prime \prime }=n+\frac{1}{8},b^{\prime \prime }=n+\frac{7}{8}$a^(')=n+(1)/(4),b^(')=n+(3)/(4),a^('')=n+(1)/(8),b^('')=n+(7)/(8)a^{\prime}=n+\frac{1}{4}, b^{\prime}=n+\frac{3}{4}, a^{\prime \prime}=n+\frac{1}{8}, b^{\prime \prime}=n+\frac{7}{8}$a^{\prime }=n+\frac{1}{4},b^{\prime }=n+\frac{3}{4},a^{\prime \prime }=n+\frac{1}{8},b^{\prime \prime }=n+\frac{7}{8}$.
Die Näherung (6) ist eine Näherung von unten, die für $\frac{1}{4}\le r\le \frac{3}{4}$$\frac{1}{4}\le r\le \frac{3}{4}$(1)/(4) <= r <= (3)/(4)\frac{1}{4} \leq r \leq \frac{3}{4}$\frac{1}{4}\le r\le \frac{3}{4}$ besser ist als (5) und für $\frac{1}{8}\le r\le \frac{7}{8}$$\frac{1}{8}\le r\le \frac{7}{8}$(1)/(8) <= r <= (7)/(8)\frac{1}{8} \leq r \leq \frac{7}{8}$\frac{1}{8}\le r\le \frac{7}{8}$ eine Näherung mit einem kleineren Absolutfehler als (5).

Man beachte, daß sich für eine rationale Zahl $r$$r$rr$r$ der in (6) angegebene Näherungswert mittels elementarer Operationen berechnen läßt und zwar aus $\ln n,\ln (n+1)$$\ln n,\ln (n+1)$ln n,ln(n+1)\ln n, \ln (n+1)$\ln n,\ln (n+1)$ und $\ln \frac{2n+1}{2}=\ln (2n+1)-\ln 2$$\ln \frac{2n+1}{2}=\ln (2n+1)-\ln 2$ln((2n+1)/(2))=ln(2n+1)-ln 2\ln \frac{2 n+1}{2}=\ln (2 n+1)-\ln 2$\ln \frac{2n+1}{2}=\ln (2n+1)-\ln 2$, Werte, die entweder in der Tafel angegeben sind, beziehungsweise sich aus den Daten der Tafel sofort bestimmen lassen.

Aus (7) ergibt sich, daß der Wert von ${\lambda }_1$${\lambda }_1$lambda_(1)\lambda_{1}${\lambda }_1$ bei wachsendem $n$$n$nn$n$ fällt und für $n\to +\mathrm{\infty }$$n\to +\mathrm{\infty }$n rarr+oon \rightarrow+\infty$n\to +\mathrm{\infty }$ gegen Null strebt. Weiterhin ergibt sich

und $n(n+1){\lambda }_1\to \frac{1}{16}$$n(n+1){\lambda }_1\to \frac{1}{16}$n(n+1)lambda_(1)rarr(1)/(16)n(n+1) \lambda_{1} \rightarrow \frac{1}{16}$n(n+1){\lambda }_1\to \frac{1}{16}$ für $n\to +\mathrm{\infty }$$n\to +\mathrm{\infty }$n rarr+oon \rightarrow+\infty$n\to +\mathrm{\infty }$, also ist ${\lambda }_1$${\lambda }_1$lambda_(1)\lambda_{1}${\lambda }_1$ asymptotisch gleich $\frac{1}{16n(n+1)}$$\frac{1}{16n(n+1)}$(1)/(16 n(n+1))\frac{1}{16 n(n+1)}$\frac{1}{16n(n+1)}$.
Beispiel 3. Es sei $n=2,r=\frac{3}{8}=o,375$$n=2,r=\frac{3}{8}=o,375$n=2,r=(3)/(8)=o,375n=2, r=\frac{3}{8}=o, 375$n=2,r=\frac{3}{8}=o,375$. Einer Logarithmentafel mit 10 Dezimalstellen entnehmen wir die Werte

Man erhält dann

und

Demnach ist

In der gleichen Tabelle finden wir den Wert $\ln 2,375=0,8649975374$$\ln 2,375=0,8649975374$ln 2,375=0,8649975374\ln 2,375=0,8649975374$\ln 2,375=0,8649975374$; also haben wir eine genaue Dezimalstelle für $\ln 2,375$$\ln 2,375$ln 2,375\ln 2,375$\ln 2,375$ erhalten.
6. Eine der Formel (6) ähnliche Formel kann man wie folgt erhalten. Wir gehen aus von der Interpolationsformel

wobei $[a,b,x;f]$$[a,b,x;f]$[a,b,x;f][a, b, x ; f]$[a,b,x;f]$ die dividierte Differenz zweiter Ordnung der auf dem Intervall $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ konkaven Funktion $f$$f$ff$f$ bezüglich der Punkte $a,b,x$$a,b,x$a,b,xa, b, x$a,b,x$ bezeichnet. Ist $f$$f$ff$f$ zweimal differenzierbar und die zweite Ableitung (negativ) $\le -M$$\le -M$<= -M\leq-M$\le -M$ auf dem Intervall $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$, wobei $M$$M$MM$M$ eine positive Konstante ist, so erhält man aus (2)

Im Fall der Funktion $\ln x$$\ln x$ln x\ln x$\ln x$ ist $M=\frac{1}{(n+1{)}^2}$$M=\frac{1}{(n+1{)}^2}$M=(1)/((n+1)^(2))M=\frac{1}{(n+1)^{2}}$M=\frac{1}{(n+1{)}^2}$, wenn man $a=n,b=n+1$$a=n,b=n+1$a=n,b=n+1quada=n, b=n+1 \quad$a=n,b=n+1$ wählt, während der Wert von $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ durch (3) angegeben ist. Beachtet man Aufgabe I-168 aus der bekannten Aufgabensammlung von G. PÓLYA und G. SZEGÖ [1], so ergibt sich, daß die Folge ${\left({(1+\frac{1}{n})}^{n+\frac{1}{2}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$${\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+\frac{1}{2}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$((1+(1)/(n))^(n+(1)/(2)))_(n=1)^(+oo)\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}\right)_{n=1}^{+\infty}${\left({(1+\frac{1}{n})}^{n+\frac{1}{2}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ fallend ist ${}^{1)}$${}^{1)}$^(1)){ }^{1)}${}^{1)}$. Um diese Behauptung zu beweisen, kann man die Funktion $y=(x+\frac{1}{2})\ln (1+\frac{1}{x})$$y=\left(x+\frac{1}{2}\right)\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$y=(x+(1)/(2))ln(1+(1)/(x))y=\left(x+\frac{1}{2}\right) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$y=(x+\frac{1}{2})\ln (1+\frac{1}{x})$ benutzen, für die $y^{\prime }=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{2x+1}{x(x+1)}$$y^{\prime }=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{2x+1}{x(x+1)}$y^(')=ln(1+(1)/(x))-(2x+1)/(x(x+1))y^{\prime}=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{2 x+1}{x(x+1)}$y^{\prime }=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{2x+1}{x(x+1)}$ und $y^{\prime \prime }=\frac{1}{2x^2(x+1{)}^2}>0$$y^{\prime \prime }=\frac{1}{2x^2(x+1{)}^2}>0$y^('')=(1)/(2x^(2)(x+1)^(2)) > 0y^{\prime \prime}=\frac{1}{2 x^{2}(x+1)^{2}}>0$y^{\prime \prime }=\frac{1}{2x^2(x+1{)}^2}>0$ ist.
Daraus ergibt sich $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\prime }=0;$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim} y^{\prime }=0;$lim_(x rarr+oo)y^(')=0;quad\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=0 ; \quad$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\prime }=0;$ also ist $y^{\prime }<0$$y^{\prime }<0$y^(') < 0quady^{\prime}<0 \quad$y^{\prime }<0$ für $x>0$$x>0$x > 0x>0$x>0$.
Vermittels der Funktion $y=(x+\frac{1}{3})\ln (1+\frac{1}{x})$$y=\left(x+\frac{1}{3}\right)\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$y=(x+(1)/(3))ln(1+(1)/(x))y=\left(x+\frac{1}{3}\right) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$y=(x+\frac{1}{3})\ln (1+\frac{1}{x})$ kann man zeigen, daß die Folge ${\left({(1+\frac{1}{n})}^{n+\frac{1}{3}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$${\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+\frac{1}{3}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$((1+(1)/(n))^(n+(1)/(3)))_(n=1)^(+oo)\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{3}}\right)_{n=1}^{+\infty}${\left({(1+\frac{1}{n})}^{n+\frac{1}{3}}\right)}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ steigend ist. Beide Folgen haben die Zahl $e$$e$ee$e$ als Grenzwert. Wir erhalten also