1. 1.

   Cette première communication est dédiée à la mémoire de Dimitrie Pompeiu. Notre illustre prédécesseur D. Pompeiu, en dehors de ses résultats pleins d’originalité qu’il a obtenus, savait nous montrer comment des faits, en apparence mineurs, peuvent aboutir à des theories remarquables.
   D. Pompeit a beauicoup insisté sur la célèbre formule des accroissements finis

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( $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ ), en suggérant divers problèmes et généralisations dont plusieurs ont été résolus par des mathémađiciens roumains ou étrangers.

En particulier, il s’est intéressé à la position du point $\xi$ dans l’intervalle ] $a,b$ [ lorsque la fonction appartient a certains ensembles particuliers, tels que, par exemple, l’ensemble des polynômes d’un degré donné.

Je ne veux par présenter un historique des problèmes dits de "l’intervalle de contraction », mais seulement signaler un résultat que j’ai obtenu récemment et qui nous montre que les problèmes soulevés par D. Pompeiu peuvent encore être beaucoup généralisés.
2. Considérons une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) $R(f)$, définie sur un ensemble linéaire $S$ de fonotions $f$ réelles, définies et continues stur un intervalle (de longueur non nulle) $I$ de l’axe réel. Nous supposerons que $S$ contionne tous les polynômes.

Je rappelle que l’entier $m\geqslant-1$ détini par la propriété que

(pour $m=-1$, seulement $R(1)\neq 0$ ) est appelé le degré d’exactitude de $\bar{R}(f)$ et que la fonctionnelle linéaire $R(f)$ est dite de la forme simple si pour tout $f\in S$ on a.

où $K$ est un nombre $\neq 0$ et indépendant de la fonction $f$ et $\xi_{i}$ sont $m+2$ points distinct de $I$ qui dépendent, en général, de la fonction $f$. D’ailleurs, si $m\geqslant 0$ on peut toujours prendre les points $\xi_{i}$, à l’intérieur de $I$.

Dans le second membre de (2) figure aussi la différence divisée de la fonction $f$ sur les nœuds $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{m+2}$ et dont la définition est bien connue.

En particulier, si $m\geqslant 0,R(f)$ est de degré d’exactitude $m$, de la forme simple et si $f\in S$ a une dérivée $f^{(m+1)}$ d’ordre $m+1$ à l’intérieur de $I_{\text{, }}$ on a

où $\xi\in\operatorname{int}I$.
La formule classique de Cauchy

où $\min_{i}(x)\leqq\xi\leqq\max_{i}\left(x_{i}\right)$ et qui généralise la formule (1) est à som tour un cas particulier de la formule (3).
3. A propos de la formule (2) on peut obtenir des résultats du «type Pompeiu».

Supposons que les hypothèses suivantes sont vérifiées.

1. 1.

   mi est un entier non négatif.

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2. 2.

   S est formé par toutes les fonctions $f$ ayant une dérivée continue d’ordre $m+1$ sur l’intervalle borné et fermé $[a,b]$.

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3. 3.

   $R(f)$ est une fonctionnelle linéaire définie sur $S$, đe degré d’exaotitude $m$, de la forme simple et bornée par rapport à la norme

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pour un entier $k$ tel que $0\leqq k\leqq m+1$.
4. Le point e est donné par

et on a $a<0<b$.
5. La fonction $f$ est non concave d’ordre $m+1$ et non concave d’ordre $m+2$.

Alors la formule de la moyenne (3) est vérifiée pour un $\xi\in[c,b]$.
Dans le cas de la formule de Cauchy (4) on a $c=\frac{1}{m+2}\sum_{i=1}^{m+2}x_{i}$.
Pour la démonstration et autres propriétés analogues voir mes travaux antérieurs [2].

Certaines restrictions imposées à la dérivée $f^{(m+1)}$ et à la position du point $\xi$ proviennent de la méthode de démonstration que nous avons employée et qui certainement peuvent être levées.
4. D. Pompeiu a aussi démontré, par analogie avec la formule classique (1), que nous avons

si $x_{1},x_{2},\xi$ et la fonction $f$ satisfont (pour $n=1$ ) aux conditions sous lesquelles la formule (6) a lieu.

Un ancien étudiant, Carol Szász, membre du cerole de l’Analyse à 1 Université de Cluj, a étendu le résultat de D. Pompeiu en démontrant la propriété suivante.

Soit $C$ le coefficient de $x^{r}$ dans le polynôme d’interpolation de LagrangeHermite $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right)(n>0,0\leqq r\leqq n)$ sur les neuds $x_{1},x_{2},\ldots\ldots,\hat{w}_{n+1}$ supposés non tous confondus et relatif da la fonction $f$. Si $f$ est une fonction continue sur bintervalle positif $T(\infty\in I\Rightarrow x>0)$ et a une dérivée $f^{(in)}$ d’ordre n sur int $I$,
aloys nous avons

où appartient à l’intérieuv du plus petit intervalle contenant les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$.

On considère le polynóme de Lagrange-Hermitè ordonné suivant les puissances successives de $x$ et l’intervalle $I$ est de longueur non nulle.
5. La propriété précédente peut être généralisée de la manière suivante.

Si les conditions suivantes sont vérifiées :

1. 1.

   $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ sont $n+1(n>0)$ points non tous confondus de Jintervalle I.

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2. 2.

   $f$ est une fonotion continue sur $I$ et a une dérivée $n^{\text{idne }}f^{(n)}$ sur int $I$.

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3. 3.

   Nous đésignons, pour simplifier, par L le polynôme d’interpolation $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,w_{n+1};f\right)$ et par

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Le même polynôme pour $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n\uparrow 1}=\xi$.
4. $y_{1},y_{2},\ldots,y_{r+1}(0\leqq r\leqq n)$ sont $r+1$ points de l’axe réel vérifiant Les in égalités

Alors il existe un point $\xi$ à l’intérieu du plus petit intervalle quà contient les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$, tel que l’on ait

Les points $y_{1},y_{2},\ldots,y_{r+1}$ ne sont pas nócessairement distincts.
Pour $y_{1}=y_{2}=\ldots=y_{r+1}=0$ la formule (8) revient à la formule (6) et pour $r=n$ à la formule (4) de Cauchy.
6. Quoique les formules (6) et (8) soient des cas particuliers d’autres formules beaucoup plus générales dues à E. Popoviciu [1], elles présentent de l’intérêt étant liées à divers développements du polynóme de LagrangeHermite. On peut donner une démonstration élémentaire directe de la formule (8). Nous pouvons suivre la méthode qui nous à permis autrefois d’établir diverses formules de la moyenne des différences divisées.

On peut supposer $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$. Il existe alors un $\xi\in]x_{1},x_{n+1}\left[\right.$ tel que tout voisinage de $\xi$ contienne les points $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<<\ldots<\omega_{n+1}^{\prime}$ tels que

La propriété résulte de la formule de la moyenne

où $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2},1<s<n+2$ et $A,B$ sont des coefficients positifs, indépendants de la fonction $f$ et $A+B=1$.

La positivité des coefficients $A,B$ et la formule $A+B=1$ résultent de leurs valeurs explicites,

où $\omega(x)=\prod_{i=1}^{n+2}\left(x-w_{i}\right)$.

A cause de l’hypothèse (7) les quatre diftérences divisées qui intervionnent ici sont différentes de 0 et du même signe (à cause de la convexité où la concavité d’ordre $r-1$ des fonetions qui interviennent.