Sur une équation fonctionnelle

D.V. Ionescu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On a functional equation

Auteur(s)

D.V. Ionescu
Institutul de Calcul

Mots-clés

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https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/11/1959-DVIonescu-Sur-un-equation.pdf

Pour citer ce travail

D.V. Ionescu, Sur une équation fonctionnelle. (French) Mathematica (Cluj) 1 (24) 1959 11–26.

Sur ce travail

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Mathematica Cluj

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Publié par la Maison d’édition de l’Académie roumaine

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1959-DVIonescu-Sur-un-equation
Le rédacteur responsable
TIBERIU POPOVICIU

SUR UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE

par

D. V. IONESCU
à Cluj

En analysant un mémoire de H. LÖwner [1] sur les fonctions de matrices. T. popoviciu a attiré l'attention sur l'équation fonctionnelle
(1) Δ n , h | f ( x ) | = | f ( x ) f ( x + h ) ⋅ f ( x + n h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋱ ⋅ ⋅ ⋅ f ( x + n h ) f ( x + ( n + 1 ) h ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2 n h ) (1) Δ n , h | f ( x ) | = | f ( x ) f ( x + h ) ⋅ f ( x + n h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋱ ⋅ ⋅ ⋅ f ( x + n h ) f ( x + ( n + 1 ) h ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2 n h ) {:(1)Delta_(n,h)|f(x)|=|{:[f(x),f(x+h),,*,f(x+nh)],[f(x+h),f(x+2h),,*,*],[*,*,*,*,*],[*,ddots,*,*,*],[f(x+nh),f(x+(n+1)h),*,*,*]:}(x+2nh):}(1)Δn,h|f(x)|=|f(x)f(x+h)⋅f(x+nh)f(x+h)f(x+2h)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋱⋅⋅⋅f(x+nh)f(x+(n+1)h)⋅⋅⋅(x+2nh)
pour laquelle on cherche des solutions f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) réelles et continues quel que soit x x xx, et telles que l'équation fonctionnelle soit vérifiée quels que soient x x xx et h h hh, réels.
L'intégration de l'équation fonctionnelle (1) présente des difficultés assez grandes pour n n nn quelconque. Nous avons pu surmonter ces difficultés dans le cas n = 2 n = 2 n=2n=2 et dans ce travail nous donnons la solution de ce cas particulier.

§ 1. Le cas n = 1 n = 1 n=1n=1

  1. Il est évident que la fonction identiquement nulle est une solution de l'équation fonctionnelle (1). Écartant cette solution banale, nous allons considérer l'équation (1), correspondant à n = 1 n = 1 n=1n=1
(2) Δ 1 , h [ f ( x ) ] = | f ( x ) f ( x + h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) | = 0 (2) Δ 1 , h [ f ( x ) ] = | f ( x ) f ( x + h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) | = 0 {:(2)Delta_(1,h)[f(x)]=|{:[f(x),f(x+h)],[f(x+h),f(x+2h)]:}|=0:}(2)Δ1,h[f(x)]=|f(x)f(x+h)f(x+h)f(x+2h)|=0
Remarquons que si la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) de l'équation fonctionnelle (2) a un zéro x 0 x 0 x_(0)x0 elle se réduit à la solution banale.
En effet, l'équation fonctionnelle (2) donne pour x = x 0 x = x 0 x=x_(0)x=x0
f ( x 0 + h ) = 0 f ( x 0 + h ) = 0 f(x_(0)+h)=0f(x0+h)=0
quel que soit h h hh, et par suite f ( x ) ≐ 0 f ( x ) ≐ 0 f(x)≐0f(x)≐0.
Il résulte alors qu'une solution de l'équation fonctionnelle (2) qui n'est pas banale ne s'annule pas et garde son signe quel que soit x x xx.
En posant
x = p h , f ( p h ) = t p x = p h , f ( p h ) = t p x=ph,quad f(ph)=t_(p)x=ph,f(ph)=tp
où h h hh est un nombre fixe, et p p pp un entier quelconque, l'équation fonctionnelle devient
ou
(3')
(3) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | = 0 f p f p + 2 = f p + 1 2 (3) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | = 0 f p f p + 2 = f p + 1 2 {:[(3)|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|=0],[f_(p)f_(p+2)=f_(p+1)^(2)]:}(3)|fpfp+1fp+1fp+2|=0fpfp+2=fp+12
Il résulte alors que
g p = log ⁡ | f p | g p = log ⁡ | f p | g_(p)=log |f_(p)|gp=log⁡|fp|
vérifie l'équation de récurrence
dont la solution est
g p + 2 − 2 g p + 1 + g p = 0 g p + 2 − 2 g p + 1 + g p = 0 g_(p+2)-2g_(p+1)+g_(p)=0gp+2−2gp+1+gp=0
g p = g 0 + ( g 1 − g 0 ) p g p = g 0 + ( g 1 − g 0 ) p g_(p)=g_(0)+(g_(1)-g_(0))pgp=g0+(g1−g0)p
L'équation (3) a donc pour solution
(4)
log ⁡ | f p | = log ⁡ | f 0 | + p log ⁡ | f 1 f 0 | log ⁡ | f p | = log ⁡ | f 0 | + p log ⁡ | f 1 f 0 | log |f_(p)|=log |f_(0)|+p log |(f_(1))/(f_(0))|log⁡|fp|=log⁡|f0|+plog⁡|f1f0|
Déterminons cette solution telle que
(5)
f ( 0 ) = f 0 , f ( h ) = f 1 f ( 0 ) = f 0 , f ( h ) = f 1 f(0)=f_(0),f(h)=f_(1)f(0)=f0,f(h)=f1
où f 0 f 0 f_(0)f0 et f 1 f 1 f_(1)f1 sont des nombres donnés.
En posant
(6)
nous avons
C 1 = f 0 C 1 = f 0 C_(1)=f_(0)C1=f0
C 1 e a 1 h = f 1 C 1 e a 1 h = f 1 C_(1)e^(a_(1)h)=f_(1)C1ea1h=f1
et l'équation (4) nous donne
α 1 h = log ⁡ f 1 f 0 α 1 h = log ⁡ f 1 f 0 alpha_(1)h=log((f_(1))/(f_(0)))α1h=log⁡f1f0
(7)
f ( p h ) = C 1 e a 1 p h f ( p h ) = C 1 e a 1 p h f(ph)=C_(1)e^(a_(1)ph)f(ph)=C1ea1ph
Cette formule est valable quel que soit l'entier p p pp. Elle este vraie aussi lorsqu'on remplace p p pp par un nombre rationnel r r rr quelconque.
Reprenons en effet les considérations qui nous ont conduit à la formule (7), en partant de h 1 = h s h 1 = h s h_(1)=(h)/(s)h1=hs, où s s ss est un nombre naturel quelconque. Nous aurons
(8) f ( p h 1 ) = C 1 ′ e a 1 ′ p h 1 (8) f ( p h 1 ) = C 1 ′ e a 1 ′ p h 1 {:(8)f{:(ph_(1)):}=C_(1)^(')e^(a_(1)^(')ph_(1)):}(8)f(ph1)=C1′ea1′ph1
quel que soit l'entier p p pp.
On peut déterminer les constantes C 1 ′ C 1 ′ C_(1)^(')C1′ et α 1 ′ α 1 ′ alpha_(1)^(')α1′ par les conditions
f ( 0 ) = f h , f ( s h 1 ) = f ( h ) = f 1 f ( 0 ) = f h , f ( s h 1 ) = f ( h ) = f 1 f(0)=f_(h),f(sh_(1))=f(h)=f_(1)f(0)=fh,f(sh1)=f(h)=f1
Nous aurons les équations
C 1 ′ = f 0 C 1 ′ e a 1 ′ h = f 1 C 1 ′ = f 0 C 1 ′ e a 1 ′ h = f 1 {:[C_(1)^(')=f_(0)],[C_(1)^(')e^(a_(1)^(')h)=f_(1)]:}C1′=f0C1′ea1′h=f1
qui coïncident avec les équations (6), d'où il résulte que
C 1 ′ = C 1 , α 1 ′ = α 1 . C 1 ′ = C 1 , α 1 ′ = α 1 . C_(1)^(')=C_(1),alpha_(1)^(')=alpha_(1).C1′=C1,α1′=α1.
et par suite la formule (8) devient
ou
f ( p s h ) = C 1 e a 1 p s h (9) f ( r h ) = C 1 e a r r h f ( p s h ) = C 1 e a 1 p s h (9) f ( r h ) = C 1 e a r r h {:[f((p)/(s)h)=C_(1)e^(a_(1)(p)/(s)h)],[(9)f(rh)=C_(1)e^(a_(r)rh)]:}f(psh)=C1ea1psh(9)f(rh)=C1earrh
r r rr étant un nombre rationnel quelconque.
La fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) étant continue quel que soit x x xx, de l'équation (9) on déduit que la solution de l'équation fonctionnelle (2) non identiquement nulle, est
(10) f ( x ) = C 1 e α 1 x (10) f ( x ) = C 1 e α 1 x {:(10)f(x)=C_(1)e^(alpha_(1)x):}(10)f(x)=C1eα1x
où C 1 C 1 C_(1)C1 et α 1 α 1 alpha_(1)α1 sont des constantes qu'on peut déterminer par les conditions (5).

§ 2. Le cas n = 2 n = 2 n=2n=2. Considérations sur les zéros d'une solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x).

  1. En écartant la solution banale, nous remarquons que toute solution de l'équation fonctionnelle Δ 1 , h [ f ( x ) ] = 0 Δ 1 , h [ f ( x ) ] = 0 Delta_(1,h)[f(x)]=0Δ1,h[f(x)]=0, est aussi une solution de l'équation fonctionnelle Δ 2 , h [ f ( x ) ] = 0 Δ 2 , h [ f ( x ) ] = 0 Delta_(2,h)[f(x)]=0Δ2,h[f(x)]=0. Il suffit de vérifier que
Δ 2 , h [ C 1 e a 1 x ] = 0 Δ 2 , h [ C 1 e a 1 x ] = 0 Delta_(2,h)[C_(1)e^(a_(1)x)]=0Δ2,h[C1ea1x]=0
En écartant aussi ces solutions, nous chercherons des solutions de l'équation fonctionnelle
(11) Δ 2 , h [ f ( x ) ] = | f ( x ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 4 h ) | = 0 (11) Δ 2 , h [ f ( x ) ] = | f ( x ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 4 h ) | = 0 {:(11)Delta_(2,h)[f(x)]=|{:[f(x),f(x+h),f(x+2h)],[f(x+h),f(x+2h),f(x+3h)],[f(x+2h),f(x+3h),f(x+4h)]:}|=0:}(11)Δ2,h[f(x)]=|f(x)f(x+h)f(x+2h)f(x+h)f(x+2h)f(x+3h)f(x+2h)f(x+3h)f(x+4h)|=0
qui ne sont pas des solutions de l'équation fonctionnelle Δ 1 , h [ f ( x ) ] = 0 Δ 1 , h [ f ( x ) ] = 0 Delta_(1,h)[f(x)]=0Δ1,h[f(x)]=0.
Il est indispensable pour l'intégration de l'équation fonctionnelle (11) de faire une analyse des zéros d'une solution continue de cette équation qui n'est pas identiquement nulle.
Soit x 0 x 0 x_(0)x0 un point où f ( x 0 ) ≠ 0 f ( x 0 ) ≠ 0 f(x_(0))!=0f(x0)≠0. On peut alors entourer x 0 x 0 x_(0)x0 d'un intervalle ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(α,β) où f ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)!=0f(x)≠0. Il peut se présenter plusieurs cas :
1 ∘ 1 ∘ 1^(@)1∘ L'intervalle ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(α,β) est l'intervalle ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(−∞,+∞). Alors nous avons f ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)!=0f(x)≠0, quel que soit x x xx.
2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2∘ L'intervalle ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(α,β) est l'intervalle ( α , + ∞ ) ( α , + ∞ ) (alpha,+oo)(α,+∞) et f ( α ) = 0 f ( α ) = 0 f(alpha)=0f(α)=0. Dans ce cas, la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) ne peut pas avoir d'autres zéros α 0 < α α 0 < α alpha_(0) < alphaα0<α.
Supposons le contraire, c'est à dire f ( α 0 ) = 0 f ( α 0 ) = 0 f(alpha_(0))=0f(α0)=0, avec α 0 < α α 0 < α alpha_(0) < alphaα0<α. En choisissant dans l'équation fonctionnelle (11), x = α 0 x = α 0 x=alpha_(0)x=α0 et h = α − α 0 h = α − α 0 h=alpha-alpha_(0)h=α−α0 nous avons
| 0 0 f ( 2 α − α 0 ) 0 f ( 2 α − α 0 ) f ( 3 α − 2 α 0 ) f ( 2 α − α 0 ) f ( 3 α − 2 α 0 ) f ( 4 α − 3 α 0 ) | = 0 | 0 0 f ( 2 α − α 0 ) 0 f ( 2 α − α 0 ) f ( 3 α − 2 α 0 ) f ( 2 α − α 0 ) f ( 3 α − 2 α 0 ) f ( 4 α − 3 α 0 ) | = 0 |{:[0,0,f{:(2alpha-alpha_(0)):}],[0,f{:(2alpha-alpha_(0)):},f{:(3alpha-2alpha_(0)):}],[f{:(2alpha-alpha_(0)):},f{:(3alpha-2alpha_(0)):},f{:(4alpha-3alpha_(0)):}]:}|=0|00f(2α−α0)0f(2α−α0)f(3α−2α0)f(2α−α0)f(3α−2α0)f(4α−3α0)|=0
d'où il résulte que f ( α − α 0 ) = 0 ; f ( x ) f ( α − α 0 ) = 0 ; f ( x ) f(alpha-alpha_(0))=0;f(x)f(α−α0)=0;f(x) a donc un zéro 2 α − α 0 > α 2 α − α 0 > α 2alpha-alpha_(0) > alpha2α−α0>α, ce qui est impossible puisque dans l'intervalle ( α , + ∞ α , + ∞ alpha,+ooα,+∞ ) nous avons f ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)!=0f(x)≠0.
La solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a donc dans ce cas un seul zéro α α alphaα et nous avons f ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)!=0f(x)≠0, pour x ≠ α x ≠ α x!=alphax≠α.
3 ∘ 3 ∘ 3^(@)3∘ L'intervalle ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(α,β) est fini α α alphaα et β β betaβ sont deux zéros de la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) que nous appellerons zéros consécutifs. Dans ce cas la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a une infinité de zéros x p = α + p h x p = α + p h x_(p)=alpha+phxp=α+ph., où h = β − α h = β − α h=beta-alphah=β−α, et p p pp est un entier quelconque.
En effet faisons x = α + p h x = α + p h x=alpha+phx=α+ph dans l'équation fonctionnelle (11), où h = β − α h = β − α h=beta-alphah=β−α et posons
Nous aurons
f ( α + p h ) = f p f ( α + p h ) = f p f(alpha+ph)=f_(p)f(α+ph)=fp
En faisant p = 0 p = 0 p=0p=0, nous avons f 0 = 0 , f 1 = 0 f 0 = 0 , f 1 = 0 f_(0)=0,f_(1)=0f0=0,f1=0, et par suite f 2 = 0 f 2 = 0 f_(2)=0f2=0; ensuite en faisant p = 1 p = 1 p=1p=1, nous aurons f 3 = 0 , … f 3 = 0 , … f_(3)=0,dotsf3=0,…, et ainsi de suite.
De même en faisant p = − 3 p = − 3 p=-3p=−3, nous avons f 0 = 0 , f 1 = 0 f 0 = 0 , f 1 = 0 f_(0)=0,f_(1)=0f0=0,f1=0. et par suite j − 1 = 0 j − 1 = 0 j_(-1)=0j−1=0; ensuite en faisant p = − 4 p = − 4 p=-4p=−4, nous avons f − 2 = 0 , … f − 2 = 0 , … f_(-2)=0,dotsf−2=0,… et ainsi de suite.
Il résulte donc que la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a une infinité de zéros x p = α + p h x p = α + p h x_(p)=alpha+phxp=α+ph. Ce sont les seuls zéros de f ( x ) f ( x ) f(x)f(x).
Pour l'intégration de l'équation fonctionnelle (11) nous avons besoin de quelques théorèmes auxiliaires.
3. théorème A. Si f(x) est une solution de l'équation fonctionnelle (11) qui n'est pas solution de l'équation fonctionnelle (2), il existe un nombre h tel que f ( r h ) f ( r h ) f(rh)f(rh) et F ( h s ) F ( h s ) F((h)/(s))F(hs) soient différents de zéro pour tout nombre rationnel r r rr et pour tout nombre naturel s s ss, où
(13) F ( h ) = | f ( 0 ) f ( h ) f ( h ) f ( 2 h ) | (13) F ( h ) = | f ( 0 ) f ( h ) f ( h ) f ( 2 h ) | {:(13)F(h)=|{:[f(0),f(h)],[f(h),f(2h)]:}|:}(13)F(h)=|f(0)f(h)f(h)f(2h)|
Nous démontrerons ce théorème, en examinant successivement les cas où la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a une infinité de zéros, un seul zéro, ou n'a pas dezéro.
1 ∘ 1 ∘ 1^(@)1∘ La solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a une infinité de zéros. Les zéros étant x 0 + p h x 0 + p h x_(0)+phx0+ph, où p p pp est un entier quelconque, plaçons l'origine au point x 0 x 0 x_(0)x0.
I'ensemble M = { r h } M = { r h } M={rh}M={rh} où r r rr est un nombre rationnel quelconque, est dénombrable. L'ensemble complémentaire de l'ensemble M M MM ne contient aucun zéro de la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x). Si h ′ h ′ h^(')h′ est un élément de l'ensemble complémentaire et r ′ r ′ r^(')r′ est un nombre rationnel quelconque non nul, r ′ h ′ r ′ h ′ r^(')h^(')r′h′ est aussi un élément de l'ensemble complémentaire, car dans le cas contraire on aurait h ′ r ′ = r h h ′ r ′ = r h h^(')r^(')=rhh′r′=rh, ou h ′ = r ′ ′ h h ′ = r ′ ′ h h^(')=r^('')hh′=r′′h ce qui est impossible, h ′ h ′ h^(')h′ n'appartenant pas à l'ensemble M M MM.
Le nombre h ′ h ′ h^(')h′ étant ainsi choisi, nous avons f ( r ′ h ′ ) ≠ 0 f ( r ′ h ′ ) ≠ 0 f(r^(')h^('))!=0f(r′h′)≠0, quel que soit le nombre rationnel r ′ r ′ r^(')r′.
Nous pouvons ajouter que
F ( r ′ h ′ ) = | f ( 0 ) f ( r ′ h ′ ) f ( r ′ h ′ ) f ( 2 r ′ h ) ′ | = − f 2 ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F ( r ′ h ′ ) = | f ( 0 ) f ( r ′ h ′ ) f ( r ′ h ′ ) f ( 2 r ′ h ) ′ | = − f 2 ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F(r^(')h^('))=|{:[f(0),f(r^(')h^('))],[f(r^(')h^(')),f(2r^(')h)^(')]:}|=-f^(2)(r^(')h^('))!=0F(r′h′)=|f(0)f(r′h′)f(r′h′)f(2r′h)′|=−f2(r′h′)≠0
et par suite F ( h ′ s ) ≠ 0 F ( h ′ s ) ≠ 0 F((h^('))/(s))!=0F(h′s)≠0 quel que soit le nombre naturel s s ss.
Le théorème A est donc démontré dans ce cas.
2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2∘ La solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) a un seul zéro x 0 x 0 x_(0)x0. En plaçant 1'origine au point x 0 x 0 x_(0)x0, et h ′ h ′ h^(')h′ étant un nombre quelconque non nul, nous avons f ( r ′ h ′ ) ≠ 0 f ( r ′ h ′ ) ≠ 0 f(r^(')h^('))!=0f(r′h′)≠0 quel que soit le nombre rationnel r ′ r ′ r^(')r′.
Nous aurons comme plus haut F ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F(r^(')h^('))!=0F(r′h′)≠0, ou F ( h ′ s ) ≠ 0 F ( h ′ s ) ≠ 0 F((h^('))/(s))!=0F(h′s)≠0 quel que soit le nombre naturel s s ss.
Le théorème A est donc démontré dans ce cas.
3 ∘ 3 ∘ 3^(@)3∘ La solution f ( x ) n ′ f ( x ) n ′ f(x)n^(')f(x)n′ a pas de zéros. Nous avons f ( x ) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)!=0f(x)≠0 quel que soit x x xx. Il reste à choisir le nombre h ′ h ′ h^(')h′ tel que F ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F ( r ′ h ′ ) ≠ 0 F(r^(')h^('))!=0F(r′h′)≠0 pour tout nombre rationnel r ′ r ′ r^(')r′.
Faisons dans l'équation fonctionnelle (11) x = p h x = p h x=phx=ph et posons f p = f ( p h ) f p = f ( p h ) f_(p)=f(ph)fp=f(ph).
Nous aurons
(14) | f p f p + 1 f p + 2 f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 (14) | f p f p + 1 f p + 2 f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 {:(14)|{:[f_(p),f_(p+1),f_(p+2)],[f_(p+1),f_(p+2),f_(p+3)],[f_(p+2),f_(p+3),f_(p+4)]:}|=0:}(14)|fpfp+1fp+2fp+1fp+2fp+3fp+2fp+3fp+4|=0
On en déduit aisément les équations
(15) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | | f p f p + 1 f p + 2 f p + 3 | = 0 (15) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | | f p f p + 1 f p + 2 f p + 3 | = 0 {:(15)|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}||{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+2),f_(p+3)]:}|=0:}(15)|fpfp+1fp+1fp+2||fpfp+1fp+2fp+3|=0
et
(16) | f p + 2 f p + 3 f p + 3 f p + 4 | | f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 (16) | f p + 2 f p + 3 f p + 3 f p + 4 | | f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 {:(16)|{:[f_(p+2),f_(p+3)],[f_(p+3),f_(p+4)]:}||{:[f_(p+1),f_(p+2)],[f_(p+3),f_(p+4)]:}|=0:}(16)|fp+2fp+3fp+3fp+4||fp+1fp+2fp+3fp+4|=0
quel que soit le nombre entier p p pp.
Démontrons maintenant que si h 1 h 1 h_(1)h1 est un zéro non nul de F ( h ) F ( h ) F(h)F(h), la fonction F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) a une infinité de zéros h = p h 1 h = p h 1 h=ph_(1)h=ph1, où p p pp est un entier quelconque.
Posons
f ( p h 1 ) = f ¯ p f ( p h 1 ) = f ¯ p f(ph_(1))= bar(f)_(p)f(ph1)=f¯p
Ayant
(17) | f 0 ― f 1 ― f 1 ― f 2 ― | = 0 , (17) | f 0 ¯ f 1 ¯ f 1 ¯ f 2 ¯ | = 0 , {:(17)|{:[ bar(f_(0)), bar(f_(1))],[ bar(f_(1)), bar(f_(2))]:}|=0",":}(17)|f0―f1―f1―f2―|=0,
les équations (15) et (16) donnent pour p = 0 p = 0 p=0p=0 et p = − 2 p = − 2 p=-2p=−2
(18) | f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 2 f ¯ 3 | = 0 , | f ¯ − 1 f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 2 | = 0 (18) | f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 2 f ¯ 3 | = 0 , | f ¯ − 1 f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 2 | = 0 {:(18)|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(1)],[ bar(f)_(2), bar(f)_(3)]:}|=0","quad|{:[ bar(f)_(-1), bar(f)_(0)],[ bar(f)_(1), bar(f)_(2)]:}|=0:}(18)|f¯0f¯1f¯2f¯3|=0,|f¯−1f¯0f¯1f¯2|=0
On peut déterminer, le nombre λ ≠ 0 λ ≠ 0 lambda!=0λ≠0, par l'équation
f ¯ 1 = λ f ¯ 0 f ¯ 1 = λ f ¯ 0 bar(f)_(1)=lambda bar(f)_(0)f¯1=λf¯0
et alors les équations (17) et (18) nous donnent. -
f 2 ― = λ f ¯ 1 f ¯ 3 = λ f ¯ 2 f ¯ 0 = λ f ¯ − 1 f 2 ¯ = λ f ¯ 1 f ¯ 3 = λ f ¯ 2 f ¯ 0 = λ f ¯ − 1 {:[ bar(f_(2))=lambda bar(f)_(1)],[ bar(f)_(3)=lambda bar(f)_(2)],[ bar(f)_(0)=lambda bar(f)_(-1)]:}f2―=λf¯1f¯3=λf¯2f¯0=λf¯−1
De ces rélations on déduit que
| f ¯ 1 f ¯ 2 f ¯ 2 f ¯ 3 | = 0 , | f ¯ − 1 f ¯ 0 f ¯ 0 f ¯ 1 | = 0 . | f ¯ 1 f ¯ 2 f ¯ 2 f ¯ 3 | = 0 , | f ¯ − 1 f ¯ 0 f ¯ 0 f ¯ 1 | = 0 . |{:[ bar(f)_(1), bar(f)_(2)],[ bar(f)_(2), bar(f)_(3)]:}|=0,quad|{:[ bar(f)_(-1), bar(f)_(0)],[ bar(f)_(0), bar(f)_(1)]:}|=0.|f¯1f¯2f¯2f¯3|=0,|f¯−1f¯0f¯0f¯1|=0.
D'une manière analogue on démontre qu'en général on a
f ¯ p = λ f ¯ p − 1 f ¯ p = λ f ¯ p − 1 bar(f)_(p)=lambda bar(f)_(p-1)f¯p=λf¯p−1
quel que soit l'entier p p pp.
Il résulte alors les identités
(19) | f ¯ 0 f ¯ p + 1 f ¯ p + 1 f ¯ 2 p + 2 | = λ 2 | f ¯ 0 f ¯ p f ¯ p f ¯ 2 p | (20) | f ¯ 0 f ¯ − p − 1 f ¯ − p − 1 f ¯ − 2 p − 2 | = 1 λ 2 | f ¯ 0 f ¯ − p f ¯ − p f ¯ − 2 p | (19) | f ¯ 0 f ¯ p + 1 f ¯ p + 1 f ¯ 2 p + 2 | = λ 2 | f ¯ 0 f ¯ p f ¯ p f ¯ 2 p | (20) | f ¯ 0 f ¯ − p − 1 f ¯ − p − 1 f ¯ − 2 p − 2 | = 1 λ 2 | f ¯ 0 f ¯ − p f ¯ − p f ¯ − 2 p | {:[(19)|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(p+1)],[ bar(f)_(p+1), bar(f)_(2p+2)]:}|=lambda^(2)|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(p)],[ bar(f)_(p), bar(f)_(2p)]:}|],[(20)|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(-p-1)],[ bar(f)_(-p-1), bar(f)_(-2p-2)]:}|=(1)/(lambda^(2))|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(-p)],[ bar(f)_(-p), bar(f)_(-2p)]:}|]:}(19)|f¯0f¯p+1f¯p+1f¯2p+2|=λ2|f¯0f¯pf¯pf¯2p|(20)|f¯0f¯−p−1f¯−p−1f¯−2p−2|=1λ2|f¯0f¯−pf¯−pf¯−2p|
pour p ≠ 0 p ≠ 0 p!=0p≠0.
Pous p = 1 p = 1 p=1p=1, le second membre de la formule (19) est nul, h 1 h 1 h_(1)h1 étant un zéro de F ( h ) F ( h ) F(h)F(h). Il résulte alors que 2 h 1 2 h 1 2h_(1)2h1 est aussi un zéro de F ( h ) , … F ( h ) , … F(h),dotsF(h),… et, ainsi de suite, on démontre que les p h 1 p h 1 ph_(1)ph1 sont des zéros de F ( h ) , p F ( h ) , p F(h),pF(h),p étant un nombre naturel quelconque.
Nous avons aussi l'identité
| f ¯ 0 f ¯ − 1 f ¯ − 1 f ¯ − 2 | = 1 λ 4 | f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 1 f ¯ 2 | | f ¯ 0 f ¯ − 1 f ¯ − 1 f ¯ − 2 | = 1 λ 4 | f ¯ 0 f ¯ 1 f ¯ 1 f ¯ 2 | |{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(-1)],[ bar(f)_(-1), bar(f)_(-2)]:}|=(1)/(lambda^(4))|{:[ bar(f)_(0), bar(f)_(1)],[ bar(f)_(1), bar(f)_(2)]:}||f¯0f¯−1f¯−1f¯−2|=1λ4|f¯0f¯1f¯1f¯2|
qui montre que - h 1 h 1 h_(1)h1 est un zéro de F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) et si nous faisons dans l'identité (20) p = 1 , 2 , … p = 1 , 2 , … p=1,2,dotsp=1,2,… nous déduisons que les − p h 1 − p h 1 -ph_(1)−ph1 sont des zéros de F ( h ) F ( h ) F(h)F(h), p p pp étant un nombre naturel quelconque.
zéros.
Revenons à la fonction F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) et remarquons que h = 0 h = 0 h=0h=0 est un de ses
Il peut arriver que pour h > 0 h > 0 h > 0h>0, on ait F ( h ) ≠ 0 F ( h ) ≠ 0 F(h)!=0F(h)≠0. Dans ce cas nous prendrons un nombre quelconque h ′ > 0 h ′ > 0 h^(') > 0h′>0 et nous aurons F ( h ′ ) ≠ 0 F ( h ′ ) ≠ 0 F(h^('))!=0F(h′)≠0 et aussi F ( h ′ s ) ≠ 0 F ( h ′ s ) ≠ 0 F((h^('))/(s))!=0F(h′s)≠0, quel soit le nombre naturel s s ss. Le théorème A est démontré dans ce cas.
Il peut arriver aussi que F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) soit différent de zéro dans l'intervalle ( 0 , h 1 ) ( 0 , h 1 ) (0,h_(1))(0,h1) où h 1 h 1 h_(1)h1 est un nombre fini et F ( h 1 ) = 0 F ( h 1 ) = 0 F(h_(1))=0F(h1)=0. Nous prendrons alors un nombre h ′ h ′ h^(')h′ quelconque de l'intervalle ( 0 , h 1 0 , h 1 0,h_(1)0,h1 ) et nous aurons F ( h ′ ) ≠ 0 F ( h ′ ) ≠ 0 F(h^('))!=0F(h′)≠0, ainsi que F ( h ′ s ) ≠≠ 0 F ( h ′ s ) ≠≠ 0 F((h^('))/(s))≠≠0F(h′s)≠≠0, quel que soit le nombre rationnel s s ss. Le théorème A est démontré aussi dans ce cas.
Mais il peut se faire que l'origine soit un point d'accumulation de zéros de la fonction continue F ( h ) F ( h ) F(h)F(h). Nous allons démontrer que dans ce cas, la fonction
F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) est nulle quel que soit h et que f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) est une solution de l'équation fonctionnelle (2).
En effet, soit h h hh un point quelconque et ε ε epsiε un nombre positif quelconque. La fonction F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) étant continue au point h h hh, on peut déterminer le nombre positif η η etaη, tel que
(21)
| F ( h ¯ ) − F ( h ) | < ε | F ( h ¯ ) − F ( h ) | < ε |F( bar(h))-F(h)| < epsi|F(h¯)−F(h)|<ε
pour
( 21 ′ 21 ′ 21^(')21′ )
| h ¯ − h | < η . | h ¯ − h | < η . | bar(h)-h| < eta.|h¯−h|<η.
Le nombre η étant ainsi déterminé, soit h 1 , 0 < h 1 < η h 1 , 0 < h 1 < η h_(1),0 < h_(1) < etah1,0<h1<η, un zéro de F ( h ) F ( h ) F(h)F(h). Mais alors tous les nombres p h 1 p h 1 ph_(1)ph1 sont des zéros de F ( h ) , p F ( h ) , p F(h),pF(h),p étant un entier quelconque. Il peut arriver que h h hh soit de la forme h = p h 1 h = p h 1 h=ph_(1)h=ph1 et dans ce cas on a F ( h ) = 0 F ( h ) = 0 F(h)=0F(h)=0. Si non, le nombre h h hh appartiendra à un intervalle ( p h 1 , ( p + 1 ) h 1 ) ( p h 1 , ( p + 1 ) h 1 ) (ph_(1),(p+1)h_(1))(ph1,(p+1)h1) de longueur h 1 < η h 1 < η h_(1) < etah1<η. En prenant h ¯ = p h 1 h ¯ = p h 1 bar(h)=ph_(1)h¯=ph1 dans l'inégalité (21) nous déduisons que | F ( h ) | < ε | F ( h ) | < ε |F(h)| < epsi|F(h)|<ε, ce qui montre que la fonction F ( h ) F ( h ) F(h)F(h) est identiquement nulle.
Tenant compte de l'équation
| f 0 f 1 f 1 f 2 | = 0 | f 0 f 1 f 1 f 2 | = 0 |{:[f_(0),f_(1)],[f_(1),f_(2)]:}|=0|f0f1f1f2|=0
quel que soit h h hh, les équations (15) et (16) nous donnent
| f 0 f 1 f 2 f 3 | = 0 , | f − 1 f 0 f 1 f 2 | = 0 | f 0 f 1 f 2 f 3 | = 0 , | f − 1 f 0 f 1 f 2 | = 0 |{:[f_(0),f_(1)],[f_(2),f_(3)]:}|=0,quad|{:[f_(-1),f_(0)],[f_(1),f_(2)]:}|=0|f0f1f2f3|=0,|f−1f0f1f2|=0
et en procédant comme plus haut, on démontre que
| f 1 f 2 f 2 f 3 | = 0 , | f − 1 f 0 f 0 f 1 | = 0 | f 1 f 2 f 2 f 3 | = 0 , | f − 1 f 0 f 0 f 1 | = 0 |{:[f_(1),f_(2)],[f_(2),f_(3)]:}|=0,quad|{:[f_(-1),f_(0)],[f_(0),f_(1)]:}|=0|f1f2f2f3|=0,|f−1f0f0f1|=0
et en général
(21) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | = 0 (21) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | = 0 {:(21)|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|=0:}(21)|fpfp+1fp+1fp+2|=0
quel que soit l'entier p p pp.
Mais alors, cette équation est identique à l'équation (3) et par suite il résulte que
(22) f ( p h ) = C 1 e α 1 p h (22) f ( p h ) = C 1 e α 1 p h {:(22)f(ph)=C_(1)e^(alpha_(1)ph):}(22)f(ph)=C1eα1ph
L'équation (21) étant valable quel que soit h h hh, on peut remplacer dans la formule (22) h h hh par h s h s (h)/(s)hs, d'où il résulte qu'on a
f ( r h ) = C 1 e a 1 r h f ( r h ) = C 1 e a 1 r h f(rh)=C_(1)e^(a_(1)rh)f(rh)=C1ea1rh
r r rr étant un nombre rationnel quelconque.
La fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) étant continue, en tout point x x xx, on en déduit que
f ( x ) = C 1 e ε 1 x f ( x ) = C 1 e ε 1 x f(x)=C_(1)e^(epsi_(1)x)f(x)=C1eε1x
ce qui montre que la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) est aussi une solution de l'équation foncti-
onnelle (2). Ce cas a été exclu dès le début (nr. 2) et par conséquent le théorème A est complétement démontré.
4. théorème B. En supposant que le nombre h a été choisi selon les exigences du théorème A , tous les déterminants
(23) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | (23) | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | {:(23)|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|:}(23)|fpfp+1fp+1fp+2|
où f p = f ( p h ) f p = f ( p h ) f_(p)=f(ph)fp=f(ph), sont différents de zéro quel que soit le nombre entier p p pp.
Pour le démontrer, reprenons les équations (15) et (16) que nous écrivons sous la forme
( ′ ) | | f p − 2 f p − 1 f p − 1 f p | | f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | | f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | | f p − 2 f p f p f p + 2 | = 0 | = 0 ( ′ ) | | f p − 2 f p − 1 f p − 1 f p | | f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | | f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | | f p − 2 f p f p f p + 2 | = 0 | = 0 {:('")"|{:[|{:[f_(p-2),f_(p-1)],[f_(p-1),f_(p)]:}|,|{:[f_(p-2),f_(p-1)],[f_(p),f_(p+1)]:}|],[|{:[f_(p-2),f_(p-1)],[f_(p),f_(p+1)]:}|,|{:[f_(p-2),f_(p)],[f_(p),f_(p+2)]:}|=0]:}|=0:}(′)||fp−2fp−1fp−1fp||fp−2fp−1fpfp+1||fp−2fp−1fpfp+1||fp−2fpfpfp+2|=0|=0
et
| | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | | f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | | f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | | f p − 2 f p f p f p + 2 | = 0 | = 0 | | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | | f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | | f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | | f p − 2 f p f p f p + 2 | = 0 | = 0 |{:[|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|,|{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|],[|{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|,|{:[f_(p-2),f_(p)],[f_(p),f_(p+2)]:}|=0]:}|=0||fpfp+1fp+1fp+2||fp−1fpfp+1fp+2||fp−1fpfp+1fp+2||fp−2fpfpfp+2|=0|=0
et supposons que le déterminant
(24) | f p − 1 f p f p f p + 1 | (24) | f p − 1 f p f p f p + 1 | {:(24)|{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p),f_(p+1)]:}|:}(24)|fp−1fpfpfp+1|
soit différent de zéro, ce qui a lieu pour p = 1 p = 1 p=1p=1.
Supposons que le déterminant (23) soit nul. Alors l'équation (16') nous montre que
| f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 | f p − 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 |{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|=0|fp−1fpfp+1fp+2|=0
et, en développant le déterminant,
| f p − 2 f p − 1 f p f p − 1 f p f p + 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 | f p − 2 f p − 1 f p f p − 1 f p f p + 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 |{:[f_(p-2),f_(p-1),f_(p)],[f_(p-1),f_(p),f_(p+1)],[f_(p),f_(p+1),f_(p+2)]:}|=0|fp−2fp−1fpfp−1fpfp+1fpfp+1fp+2|=0
suivant les éléments de la première colonne, nous aurons
f p | f p − 1 f p f p f p + 1 | = 0 f p | f p − 1 f p f p f p + 1 | = 0 f_(p)|{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p),f_(p+1)]:}|=0fp|fp−1fpfpfp+1|=0
ce qui est impossible puisque les deux facteurs sont différents de zéro. Les déterminants (23) sont donc différents de zéro pour p = 1 , 2 , 3 , … p = 1 , 2 , 3 , … p=1,2,3,dotsp=1,2,3,…
En reprenant l'hypothèse que le déterminant (24) est différent de zéro, ce qui a lieu pour p = 1 p = 1 p=1p=1, démontrons que le déterminant
(25) | f p − 2 f p − 1 f p − 1 f p | (25) | f p − 2 f p − 1 f p − 1 f p | {:(25)|{:[f_(p-2),f_(p-1)],[f_(p-1),f_(p)]:}|:}(25)|fp−2fp−1fp−1fp|
est aussi différent de zéro.
Supposons au contraire que le déterminant (25) soit nul. I'équation (15') nous montre alors qu'on a aussi
| f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | = 0 | f p − 2 f p − 1 f p f p + 1 | = 0 |{:[f_(p-2),f_(p-1)],[f_(p),f_(p+1)]:}|=0|fp−2fp−1fpfp+1|=0
En développant le déterminant
| f p − 2 f p − 1 f p f p − 1 f p f p + 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 | f p − 2 f p − 1 f p f p − 1 f p f p + 1 f p f p + 1 f p + 2 | = 0 |{:[f_(p-2),f_(p-1),f_(p)],[f_(p-1),f_(p),f_(p+1)],[f_(p),f_(p+1),f_(p+2)]:}|=0|fp−2fp−1fpfp−1fpfp+1fpfp+1fp+2|=0
suivant les éléments de la dernière colonne on obtient
f p | f p − 1 f p f p f p + 1 | = 0 f p | f p − 1 f p f p f p + 1 | = 0 f_(p)|{:[f_(p-1),f_(p)],[f_(p),f_(p+1)]:}|=0fp|fp−1fpfpfp+1|=0
ce qui est impossible. Donc les déterminants (23) sont différents de z éro, pour p = 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … p = 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … p=0,-1,-2,-3,dotsp=0,−1,−2,−3,… et par suite le théorème B est complétement démontré.

§ 3. Intégration de l'équation fonctionnelle (11).

  1. Reprenons l'équation fonctionnelle (11) et remplaçons x x xx par ph, où h h hh est un nombre choisi selon les exigenees du théorème A. Nous aurons
(26) | f p f p + 1 f p + 2 f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 (26) | f p f p + 1 f p + 2 f p + 1 f p + 2 f p + 3 f p + 2 f p + 3 f p + 4 | = 0 {:(26)|{:[f_(p),f_(p+1),f_(p+2)],[f_(p+1),f_(p+2),f_(p+3)],[f_(p+2),f_(p+3),f_(p+4)]:}|=0:}(26)|fpfp+1fp+2fp+1fp+2fp+3fp+2fp+3fp+4|=0
quel que soit le nombre entier p p pp et d'après le théorème B , le déterminant
(27) Δ p = | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | (27) Δ p = | f p f p + 1 f p + 1 f p + 2 | {:(27)Delta_(p)=|{:[f_(p),f_(p+1)],[f_(p+1),f_(p+2)]:}|:}(27)Δp=|fpfp+1fp+1fp+2|
qui est différent de zéro, quel que soit le nombre entier p p pp.
On détermine les nombres λ 0 λ 0 lambda_(0)λ0 et λ 1 λ 1 lambda_(1)λ1 par les équations
(28) λ 0 f 0 + λ 1 f 1 = f 2 λ 0 f 1 + λ 1 f 2 = f 3 (28) λ 0 f 0 + λ 1 f 1 = f 2 λ 0 f 1 + λ 1 f 2 = f 3 {:[(28)lambda_(0)f_(0)+lambda_(1)f_(1)=f_(2)],[lambda_(0)f_(1)+lambda_(1)f_(2)=f_(3)]:}(28)λ0f0+λ1f1=f2λ0f1+λ1f2=f3
ce qui est possible puisque le déterminant du système est Δ 0 ≠ 0 Δ 0 ≠ 0 Delta_(0)!=0Δ0≠0.
En faisant p = 0 p = 0 p=0p=0 dans l'équation (26) et en tenant compte des équations (28), on déduit aussi
( ′ ) λ 0 f 2 + λ 1 f 3 = f 4 ( ′ ) λ 0 f 2 + λ 1 f 3 = f 4 {:('")"lambda_(0)f_(2)+lambda_(1)f_(3)=f_(4):}(′)λ0f2+λ1f3=f4
En faisant ensuite dans l'équation (26) p = 1 p = 1 p=1p=1, et en tenant compte des équations (28) et (28') et du fait que Δ 1 ≠ 0 Δ 1 ≠ 0 Delta_(1)!=0Δ1≠0, on en déduit
et....ainsi de suite.
λ 0 f 3 + λ 1 f 4 = f 5 λ 0 f 3 + λ 1 f 4 = f 5 lambda_(0)f_(3)+lambda_(1)f_(4)=f_(5)λ0f3+λ1f4=f5
En général on a l'équation de récurrence
(29) λ 0 f n + λ 1 f n + 1 = f n + 2 (29) λ 0 f n + λ 1 f n + 1 = f n + 2 {:(29)lambda_(0)f_(n)+lambda_(1)f_(n+1)=f_(n+2):}(29)λ0fn+λ1fn+1=fn+2
valable pour n = 0 , 1 , 2 , … n = 0 , 1 , 2 , … n=0,1,2,dotsn=0,1,2,…
Si nous considérons maintenant l'équation
| f − 1 f 0 f 1 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 | f − 1 f 0 f 1 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 |{:[f_(-1),f_(0),f_(1)],[f_(0),f_(1),f_(2)],[f_(1),f_(2),f_(3)]:}|=0|f−1f0f1f0f1f2f1f2f3|=0
et si nous tenons compte des équations (28), on en déduit
λ 0 f − 1 + λ 1 f 0 = f 1 λ 0 f − 1 + λ 1 f 0 = f 1 lambda_(0)f_(-1)+lambda_(1)f_(0)=f_(1)λ0f−1+λ1f0=f1
ce qui prouve que l'équation (29) est valable aussi pour n = − 1 n = − 1 n=-1n=−1. On démontre de proche en proche qu'elle est valable aussi pour n = − 2 , − 3 , … n = − 2 , − 3 , … n=-2,-3,dotsn=−2,−3,…, c'est à dire qu'elle est valable quel que soit le nombre entier n n nn.
L'équation caractéristique de l'équation de récurrence (29) est
(30) ρ 2 − λ 1 ρ − λ 0 = 0 (30) ρ 2 − λ 1 ρ − λ 0 = 0 {:(30)rho^(2)-lambda_(1)rho-lambda_(0)=0:}(30)ρ2−λ1ρ−λ0=0
En éliminant λ 0 λ 0 lambda_(0)λ0 et λ 1 λ 1 lambda_(1)λ1 entre les équations (28) et (30) on trouve que l'équation caractéristique est
( ′ ) | 1 ρ ρ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 ( ′ ) | 1 ρ ρ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 {:('")"|{:[1,rho,rho^(2)],[f_(0),f_(1),f_(2)],[f_(1),f_(2),f_(3)]:}|=0:}(′)|1ρρ2f0f1f2f1f2f3|=0
On rencontre aussi cette équation dans la détermination des nombres C 1 , C 2 , α 1 , α 2 C 1 , C 2 , α 1 , α 2 C_(1),C_(2),alpha_(1),alpha_(2)C1,C2,α1,α2 par les équations
C 1 + C 2 = f 0 (31) C 1 e a 1 h + C 2 e a 2 h = f 1 C 1 e 2 a 1 h + C 2 e 2 a 2 h = f 2 C 1 e 3 a 1 h + C 2 e 3 a 2 h = f 3 C 1 + C 2 = f 0 (31) C 1 e a 1 h + C 2 e a 2 h = f 1 C 1 e 2 a 1 h + C 2 e 2 a 2 h = f 2 C 1 e 3 a 1 h + C 2 e 3 a 2 h = f 3 {:[C_(1)+C_(2)=f_(0)],[(31)C_(1)e^(a_(1)h)+C_(2)e^(a_(2)h)=f_(1)],[C_(1)e^(2a_(1)h)+C_(2)e^(2a_(2)h)=f_(2)],[C_(1)e^(3a_(1)h)+C_(2)e^(3a_(2)h)=f_(3)]:}C1+C2=f0(31)C1ea1h+C2ea2h=f1C1e2a1h+C2e2a2h=f2C1e3a1h+C2e3a2h=f3
Supposons pour un moment que les nombres α 1 α 1 alpha_(1)α1 et α 2 α 2 alpha_(2)α2 soient différents et éliminons C 1 C 1 C_(1)C1 et C 2 C 2 C_(2)C2 entre ces équations. Nous aurons les équations
| 1 1 f 0 e a 1 h e a 2 h f 1 e 2 a 1 h e 2 a 3 h f 2 | = 0 , | 1 1 f 1 e a 1 h e a 2 h f 2 e 2 a 1 h e 2 a 3 h f 3 | = 0 | 1 1 f 0 e a 1 h e a 2 h f 1 e 2 a 1 h e 2 a 3 h f 2 | = 0 , | 1 1 f 1 e a 1 h e a 2 h f 2 e 2 a 1 h e 2 a 3 h f 3 | = 0 |{:[1,1,f_(0)],[e^(a_(1)h),e^(a_(2)h),f_(1)],[e^(2a_(1)h),e^(2a_(3)h)f_(2)]:}|=0,quad|{:[1,1,f_(1)],[e^(a_(1)h),e^(a_(2)h),f_(2)],[e^(2a_(1)h),e^(2a_(3)h)f_(3)]:}|=0|11f0ea1hea2hf1e2a1he2a3hf2|=0,|11f1ea1hea2hf2e2a1he2a3hf3|=0
ou
f 0 e ( α 1 + α 2 ) h − f 1 ( e a 5 h + e a 3 h ) + f 2 = 0 (32) f 1 e ( a 1 + a 5 ) h − f 2 ( e a 1 h + e a 3 h ) + f 3 = 0 f 0 e ( α 1 + α 2 ) h − f 1 ( e a 5 h + e a 3 h ) + f 2 = 0 (32) f 1 e ( a 1 + a 5 ) h − f 2 ( e a 1 h + e a 3 h ) + f 3 = 0 {:[f_(0)e^((alpha_(1)+alpha_(2))h)-f_(1)(e^(a_(5)h)+e^(a_(3)h))+f_(2)=0],[(32)f_(1)e^((a_(1)+a_(5))h)-f_(2)(e^(a_(1)h)+e^(a_(3)h))+f_(3)=0]:}f0e(α1+α2)h−f1(ea5h+ea3h)+f2=0(32)f1e(a1+a5)h−f2(ea1h+ea3h)+f3=0
En posant
(33)
μ 1 = e a 1 h , μ 2 = e a 2 h μ 1 = e a 1 h , μ 2 = e a 2 h mu_(1)=e^(a_(1)h),quadmu_(2)=e^(a_(2)h)μ1=ea1h,μ2=ea2h
nous voyons que μ 1 μ 1 mu_(1)μ1 et μ 2 μ 2 mu_(2)μ2 sont les racines de l'équation
(34) e ( a 1 + a 2 ) h − ( e a 1 h + e a 2 h ) μ + μ 2 = 0 (34) e ( a 1 + a 2 ) h − ( e a 1 h + e a 2 h ) μ + μ 2 = 0 {:(34)e^((a_(1)+a_(2))h)-(e^(a_(1)h)+e^(a_(2)h))mu+mu^(2)=0:}(34)e(a1+a2)h−(ea1h+ea2h)μ+μ2=0
En éliminant e ( a 1 + a 2 ) h , e a 1 h + e a 2 h e ( a 1 + a 2 ) h , e a 1 h + e a 2 h e^((a_(1)+a_(2))h),e^(a_(1)h)+e^(a_(2)h)e(a1+a2)h,ea1h+ea2h entre les équations (32) et (34) on obtient l'équation en μ μ muμ
(35) | 1 μ μ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 (35) | 1 μ μ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 {:(35)|{:[1,mu,mu^(2)],[f_(0),f_(1),f_(2)],[f_(1),f_(2),f_(3)]:}|=0:}(35)|1μμ2f0f1f2f1f2f3|=0
qui est identique à l'équation caractéristique ( 30 ′ 30 ′ 30^(')30′ ).
Il résulte que les racines de l'équation caractéristique ( 30 ′ ) ( 30 ′ ) (30^('))(30′) sont
ρ 1 = e a 1 h , ρ 2 = e a 2 h ρ 1 = e a 1 h , ρ 2 = e a 2 h rho_(1)=e^(a_(1)h),quadrho_(2)=e^(a_(2)h)ρ1=ea1h,ρ2=ea2h
dans l'hypothèse qu'elle a des racines distinctes.
La solution de l'équation de récurrence (29) est alors
ou
t n = A 1 ρ 1 n + A 2 ρ 2 n t n = A 1 ρ 1 n + A 2 ρ 2 n t_(n)=A_(1)rho_(1)^(n)+A_(2)rho_(2)^(n)tn=A1ρ1n+A2ρ2n
f n = A 1 e a 1 n h + A 2 e a 2 n h f n = A 1 e a 1 n h + A 2 e a 2 n h f_(n)=A_(1)e^(a_(1)nh)+A_(2)e^(a_(2)nh)fn=A1ea1nh+A2ea2nh
où les constantes A 1 A 1 A_(1)A1 et A 2 A 2 A_(2)A2 sont données par les équations
A 1 + A 2 = f 0 A 1 e a 1 h + A 2 e a 2 h = f 1 A 1 + A 2 = f 0 A 1 e a 1 h + A 2 e a 2 h = f 1 {:[A_(1)+A_(2)=f_(0)],[A_(1)e^(a_(1)h)+A_(2)e^(a_(2)h)=f_(1)]:}A1+A2=f0A1ea1h+A2ea2h=f1
En comparant ce système avec les deux premières équations (31), on en déduit que
de sorte que
A 1 = C 1 , A 2 = C 2 A 1 = C 1 , A 2 = C 2 A_(1)=C_(1),quadA_(2)=C_(2)A1=C1,A2=C2
(36) f ( n h ) = C 1 e a 1 n h + C 2 e a 2 n h (36) f ( n h ) = C 1 e a 1 n h + C 2 e a 2 n h {:(36)f(nh)=C_(1)e^(a_(1)nh)+C_(2)e^(a_(2)nh):}(36)f(nh)=C1ea1nh+C2ea2nh
quel que soit le nombre entier n n nn.
Si l'équation caractéristique (30') a des racines confondues, égales à ρ 1 ρ 1 rho_(1)ρ1, la solution de l'équation de récurrence (29) est
(37) f n = ρ 1 n ( A + B n ) (37) f n = ρ 1 n ( A + B n ) {:(37)f_(n)=rho_(1)^(n)(A+Bn):}(37)fn=ρ1n(A+Bn)
où A A AA et B B BB sont des constantes.
On rencontre l'équation caractéristique avec les racines confondues. aussi dans la détermination des nombres C 1 , C 2 , α 1 C 1 , C 2 , α 1 C_(1),C_(2),alpha_(1)C1,C2,α1 par les équations
(38) C 1 = f 0 e α 1 h ( C 1 + C 2 h ) = f 1 e 2 α 1 h ( C 1 + 2 C 2 h ) = f 2 e 3 α 1 h ( C 1 + 3 C 2 h ) = f 3 (38) C 1 = f 0 e α 1 h ( C 1 + C 2 h ) = f 1 e 2 α 1 h ( C 1 + 2 C 2 h ) = f 2 e 3 α 1 h ( C 1 + 3 C 2 h ) = f 3 {:(38){:[C_(1),=f_(0)],[e^(alpha_(1)h){:(C_(1)+C_(2)h):},=f_(1)],[e^(2alpha_(1)h){:(C_(1)+2C_(2)h):},=f_(2)],[e^(3alpha_(1)h){:(C_(1)+3C_(2)h):},=f_(3)]:}:}(38)C1=f0eα1h(C1+C2h)=f1e2α1h(C1+2C2h)=f2e3α1h(C1+3C2h)=f3
analogues aux équations (31).
En effet, en éliminant C 1 C 1 C_(1)C1 entre ces équations, on trouve les équations
e a 1 h C 2 h = f 1 − f 0 e a 1 h e 2 a 1 h C 2 h = f 2 − f 1 e a 1 h e 3 a 1 h C 2 h = f 3 − f 2 e a 1 h e a 1 h C 2 h = f 1 − f 0 e a 1 h e 2 a 1 h C 2 h = f 2 − f 1 e a 1 h e 3 a 1 h C 2 h = f 3 − f 2 e a 1 h {:[e^(a_(1)h)C_(2)h=f_(1)-f_(0)e^(a_(1)h)],[e^(2a_(1)h)C_(2)h=f_(2)-f_(1)e^(a_(1)h)],[e^(3a_(1)h)C_(2)h=f_(3)-f_(2)e^(a_(1)h)]:}ea1hC2h=f1−f0ea1he2a1hC2h=f2−f1ea1he3a1hC2h=f3−f2ea1h
En éliminant ensuite C 2 C 2 C_(2)C2, on trouve les équations
ou
f 2 − f 1 e a 1 h − e a 1 h ( f 1 − f 0 e a 1 h ) = 0 f 3 − f 2 e a 1 h − e a 1 h ( f 2 − f 1 e a 1 h ) = 0 f 2 − 2 e a 1 h f 1 + e 2 a 1 h f 0 = 0 f 3 − 2 e 2 a 1 h f 2 + e 2 a 1 h f 1 = 0 f 2 − f 1 e a 1 h − e a 1 h ( f 1 − f 0 e a 1 h ) = 0 f 3 − f 2 e a 1 h − e a 1 h ( f 2 − f 1 e a 1 h ) = 0 f 2 − 2 e a 1 h f 1 + e 2 a 1 h f 0 = 0 f 3 − 2 e 2 a 1 h f 2 + e 2 a 1 h f 1 = 0 {:[f_(2)-f_(1)e^(a_(1)h)-e^(a_(1)h){:(f_(1)-f_(0)e^(a_(1)h)):}=0],[f_(3)-f_(2)e^(a_(1)h)-e^(a_(1)h){:(f_(2)-f_(1)e^(a_(1)h)):}=0],[f_(2)-2e^(a_(1)h)f_(1)+e^(2a_(1)h)f_(0)=0],[f_(3)-2e^(2a_(1)h)f_(2)+e^(2a_(1)h)f_(1)=0]:}f2−f1ea1h−ea1h(f1−f0ea1h)=0f3−f2ea1h−ea1h(f2−f1ea1h)=0f2−2ea1hf1+e2a1hf0=0f3−2e2a1hf2+e2a1hf1=0
Ces deux équations montrent que e a 1 h e a 1 h e^(a_(1)h)ea1h est une racine double de l'équation caractéristique ( 30 ′ 30 ′ 30^(')30′ ) car les deux équations
| 1 ρ ρ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 , | 0 1 2 ρ f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 | 1 ρ ρ 2 f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 , | 0 1 2 ρ f 0 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 | = 0 |{:[1,rho,rho^(2)],[f_(0),f_(1),f_(2)],[f_(1),f_(2),f_(3)]:}|=0,|{:[0,1,2rho],[f_(0),f_(1),f_(2)],[f_(1),f_(2),f_(3)]:}|=0|1ρρ2f0f1f2f1f2f3|=0,|012ρf0f1f2f1f2f3|=0
sont vérifiées par ρ = e α 1 h ρ = e α 1 h rho=e^(alpha_(1)h)ρ=eα1h.
Nous pouvons donc remplacer dans l'équation (37) ρ 1 ρ 1 rho_(1)ρ1 par e a 2 h e a 2 h e^(a_(2)h)ea2h et nous aurons
f n = e n a 1 h ( A + B n ) . f n = e n a 1 h ( A + B n ) . f_(n)=e^(na_(1)h)(A+Bn).fn=ena1h(A+Bn).
Les constantes A A AA et B B BB sont déterminées par les équations
A = f 0 e α 3 h ( A + B ) = f 1 A = f 0 e α 3 h ( A + B ) = f 1 {:[A=f_(0)],[e^(alpha_(3)h)(A+B)=f_(1)]:}A=f0eα3h(A+B)=f1
En comparant ces équations avec les deux premières équations (38) on en déduit
A = C 1 , B = C 2 h . A = C 1 , B = C 2 h . A=C_(1),quad B=C_(2)h.A=C1,B=C2h.
et par suite la solution de l'équation de récurrence (29) est
(39) f ( n h ) = e a 1 n h ( C 1 + C 2 n h ) (39) f ( n h ) = e a 1 n h ( C 1 + C 2 n h ) {:(39)f(nh)=e^(a_(1)nh){:(C_(1)+C_(2)nh):}:}(39)f(nh)=ea1nh(C1+C2nh)
où α 1 , C 1 α 1 , C 1 alpha_(1),C_(1)α1,C1 et C 2 C 2 C_(2)C2 sont donnés par les équations (38).
6. Démontrons que les formules (36) et (39) sont valables aussi lorsqu'on remplace n n nn par un nombre rationnel r r rr quelconque.
En effet si nous remplaçons h h hh par h 1 = h s h 1 = h s h_(1)=(h)/(s)h1=hs, où s s ss est un nombre naturel quelconque, tous les calculs précédents sont valables. Nous aurons
(40) f ( p h 1 ) = C 1 ′ e α 1 ′ p h 1 + C 2 ′ e α 2 ′ p h 1 (40) f ( p h 1 ) = C 1 ′ e α 1 ′ p h 1 + C 2 ′ e α 2 ′ p h 1 {:(40)f{:(ph_(1)):}=C_(1)^(')e^(alpha_(1)^(')ph_(1))+C_(2)^(')e^(alpha_(2)^(')ph_(1)):}(40)f(ph1)=C1′eα1′ph1+C2′eα2′ph1
ou
(41) f ( p h 1 ) ′ = e α 1 ′ p h 1 ( C 1 ′ + C 2 ′ p h 1 ) (41) f ( p h 1 ) ′ = e α 1 ′ p h 1 ( C 1 ′ + C 2 ′ p h 1 ) {:(41)f(ph_(1))^(')=e^(alpha_(1)^(')ph_(1)){:(C_(1)^(')+C_(2)^(')ph_(1)):}:}(41)f(ph1)′=eα1′ph1(C1′+C2′ph1)
selon que l'équation caractéristique correspondante a des racines distinctes, ou confondues, et où. p p pp est un entier quelconque.
Pour déterminer les constantes C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ α 2 ′ C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ α 2 ′ C_(1)^('),C_(2)^('),alpha_(1)^(')quadalpha_(2)^(')C1′,C2′,α1′α2′ de la formule (40), ou C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ C_(1)^('),C_(2)^('),alpha_(1)^(')C1′,C2′,α1′ de la formule (41) on peut se servir des systèmes d'équations (31) ou (38) où l'on remplace h h hh par h 1 h 1 h_(1)h1. Mais comme il s'agit de la solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) de l'équation fonctionnelle (11) déterminée par les conditions
f ( 0 ) = f 0 , f ( h ) = f 1 , f ( 2 h ) = f 2 , f ( 3 h ) = f 3 f ( 0 ) = f 0 , f ( h ) = f 1 , f ( 2 h ) = f 2 , f ( 3 h ) = f 3 f(0)=f_(0),quad f(h)=f_(1),quad f(2h)=f_(2),quad f(3h)=f_(3)f(0)=f0,f(h)=f1,f(2h)=f2,f(3h)=f3
et comme les équations (40) et (41) sont valables quel que soit l'entier p p pp, on peut former quatre équations successives pour déterminer les constantes, en donnant à p p pp les valeurs 0 , s , 2 s , 3 s 0 , s , 2 s , 3 s 0,s,2s,3s0,s,2s,3s.
Puisque s h 1 = h s h 1 = h sh_(1)=hsh1=h, ces équations sont
et
C 1 ′ + C 2 ′ = f ( 0 ) = f 0 C 1 ′ e α 1 ′ h + C 2 ′ e α 2 ′ h = f ( h ) = f 1 C 1 ′ e 2 α 1 ′ h + C 2 ′ e 2 α 2 ′ h = f ( 2 h ) = f 2 C 1 ′ e 3 α 1 ′ h + C 2 ′ e 3 α 2 ′ h = f ( 3 h ) = f 3 C 1 ′ = f ( 0 ) = f 0 e 1 α 1 ′ h ( C 1 ′ + C 2 ′ h ) = f ( h ) = f 1 e 2 α 1 ′ h ( C 1 ′ + 2 C 2 ′ h ) = f ( 2 h ) = f 2 e 3 α 1 ′ h ( C 1 ′ + 3 C 2 ′ h ) = f ( 3 h ) = f 3 C 1 ′ + C 2 ′ = f ( 0 ) = f 0 C 1 ′ e α 1 ′ h + C 2 ′ e α 2 ′ h = f ( h ) = f 1 C 1 ′ e 2 α 1 ′ h + C 2 ′ e 2 α 2 ′ h = f ( 2 h ) = f 2 C 1 ′ e 3 α 1 ′ h + C 2 ′ e 3 α 2 ′ h = f ( 3 h ) = f 3 C 1 ′ = f ( 0 ) = f 0 e 1 α 1 ′ h ( C 1 ′ + C 2 ′ h ) = f ( h ) = f 1 e 2 α 1 ′ h ( C 1 ′ + 2 C 2 ′ h ) = f ( 2 h ) = f 2 e 3 α 1 ′ h ( C 1 ′ + 3 C 2 ′ h ) = f ( 3 h ) = f 3 {:[C_(1)^(')+C_(2)^(')=f(0)=f_(0)],[C_(1)^(')e^(alpha_(1)^(')h)+C_(2)^(')e^(alpha_(2)^(')h)=f(h)=f_(1)],[C_(1)^(')e^(2alpha_(1)^(')h)+C_(2)^(')e^(2alpha_(2)^(')h)=f(2h)=f_(2)],[C_(1)^(')e^(3alpha_(1)^(')h)+C_(2)^(')e^(3alpha_(2)^(')h)=f(3h)=f_(3)],[C_(1)^(')=f(0)=f_(0)],[e_(1)^(alpha_(1)^(')h)(C_(1)^(')+C_(2)^(')h)=f(h)=f_(1)],[e^(2alpha_(1)^(')h)(C_(1)^(')+2C_(2)^(')h)=f(2h)=f_(2)],[e^(3alpha_(1)^(')h)(C_(1)^(')+3C_(2)^(')h)=f(3h)=f_(3)]:}C1′+C2′=f(0)=f0C1′eα1′h+C2′eα2′h=f(h)=f1C1′e2α1′h+C2′e2α2′h=f(2h)=f2C1′e3α1′h+C2′e3α2′h=f(3h)=f3C1′=f(0)=f0e1α1′h(C1′+C2′h)=f(h)=f1e2α1′h(C1′+2C2′h)=f(2h)=f2e3α1′h(C1′+3C2′h)=f(3h)=f3
Ces systèmes d'équations sont identiques aux équations (31) et (38); on en déduit alors pour le premier système
C 1 ′ = C 1 , C 2 ′ = C 2 , α 1 ′ = α 1 , α 2 ′ = α 2 C 1 ′ = C 1 , C 2 ′ = C 2 , α 1 ′ = α 1 , α 2 ′ = α 2 C_(1)^(')=C_(1),C_(2)^(')=C_(2),quadalpha_(1)^(')=alpha_(1),quadalpha_(2)^(')=alpha_(2)C1′=C1,C2′=C2,α1′=α1,α2′=α2
et pour le second système
C 1 ′ = C 1 , C 2 ′ = C 2 , α 1 ′ = α 1 C 1 ′ = C 1 , C 2 ′ = C 2 , α 1 ′ = α 1 C_(1)^(')=C_(1),C_(2)^(')=C_(2),alpha_(1)^(')=alpha_(1)C1′=C1,C2′=C2,α1′=α1
Il résulte que dans les formules (40) et (41) on peut remplacer C 1 ′ , C 2 ′ C 1 ′ , C 2 ′ C_(1)^('),C_(2)^(')C1′,C2′, α 1 ′ , α 2 ′ par C 1 , C 2 , α 1 , α 2 α 1 ′ , α 2 ′ par C 1 , C 2 , α 1 , α 2 alpha_(1)^('),alpha_(2)^(')parC_(1),C_(2),alpha_(1),alpha_(2)α1′,α2′parC1,C2,α1,α2 et C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ par C 1 , C 2 , α C 1 ′ , C 2 ′ , α 1 ′ par C 1 , C 2 , α C_(1)^('),C_(2)^('),alpha_(1)^(')parC_(1),C_(2),alphaC1′,C2′,α1′parC1,C2,α. En remplaçant aussi h 1 h 1 h_(1)h1 par h s h s (h)/(s)hs, et ensuite p s p s (p)/(s)ps par r r rr, nous pouvons écrire les équations (40) et (41) sous la forme
(42) f ( r h ) = C 1 e a 1 r h + C 2 e a 2 r h (42) f ( r h ) = C 1 e a 1 r h + C 2 e a 2 r h {:(42)f(rh)=C_(1)e^(a_(1)rh)+C_(2)e^(a_(2)rh):}(42)f(rh)=C1ea1rh+C2ea2rh
ou
(43) f ( r h ) == e a 1 r h ( C 1 + C 2 r h ) . (43) f ( r h ) == e a 1 r h ( C 1 + C 2 r h ) . {:(43)f(rh)==e^(a_(1)rh){:(C_(1)+C_(2)rh):}.:}(43)f(rh)==ea1rh(C1+C2rh).
Les fonctions f ( x ) , e a 1 x , e a 2 x , x e a 1 x f ( x ) , e a 1 x , e a 2 x , x e a 1 x f(x),e^(a_(1)x),e^(a_(2)x),xe^(a_(1)x)f(x),ea1x,ea2x,xea1x étant continues quel que soit x x xx, nous déduisons que, pour x x xx quelconque, nous avons
(44) f ( x ) = C 1 e a 1 x + C 2 e a 2 x (44) f ( x ) = C 1 e a 1 x + C 2 e a 2 x {:(44)f(x)=C_(1)e^(a_(1)x)+C_(2)e^(a_(2)x):}(44)f(x)=C1ea1x+C2ea2x
ou
(45) f ( x ) = e a 1 x ( C 1 + C 2 x ) (45) f ( x ) = e a 1 x ( C 1 + C 2 x ) {:(45)f(x)=e^(a_(1)x){:(C_(1)+C_(2)x):}:}(45)f(x)=ea1x(C1+C2x)
Dans l'équation (44), e α 1 h e α 1 h e^(alpha_(1)h)eα1h et e α 2 h e α 2 h e^(alpha_(2)h)eα2h sont les racines de l'équation caractéristique ( 30 ′ 30 ′ 30^(')30′ ). Ces racines peuvent être réelles ou complexes conjuguées. Dans ce dernier cas les deux premières équations (31) donnent pour C 1 C 1 C_(1)C1 et C 2 C 2 C_(2)C2 des valeurs complexes conjuguées.
En posant
α 1 = β 1 + i β 2 , α 2 = β 1 − i β 2 C 1 = K 1 − i K 2 2 , C 2 = K 1 + i K 2 2 α 1 = β 1 + i β 2 , α 2 = β 1 − i β 2 C 1 = K 1 − i K 2 2 , C 2 = K 1 + i K 2 2 {:[alpha_(1)=beta_(1)+ibeta_(2)",",alpha_(2)=beta_(1)-ibeta_(2)],[C_(1)=(K_(1)-iK_(2))/(2)",",C_(2)=(K_(1)+iK_(2))/(2)]:}α1=β1+iβ2,α2=β1−iβ2C1=K1−iK22,C2=K1+iK22
la formule (44) devient
ou
f ( x ) = e β 1 x [ K 1 − i K 2 2 ( cos ⁡ β 2 x + i sin ⁡ β 2 x ) + K 1 + i K 2 2 ( cos ⁡ β 2 x − i sin ⁡ β 2 x ) ] ] f ( x ) = e β 1 x [ K 1 − i K 2 2 ( cos ⁡ β 2 x + i sin ⁡ β 2 x ) + K 1 + i K 2 2 ( cos ⁡ β 2 x − i sin ⁡ β 2 x ) ] ] f(x)=e^(beta_(1)x)[(K_(1)-iK_(2))/(2)(cos beta_(2)x+i sin beta_(2)x)+(K_(1)+iK_(2))/(2)(cos beta_(2)x-i sin beta_(2)x)]]f(x)=eβ1x[K1−iK22(cos⁡β2x+isin⁡β2x)+K1+iK22(cos⁡β2x−isin⁡β2x)]]
( ′ ) f ( x ) = e β 1 x [ K 1 cos ⁡ β 2 x + K 2 sin ⁡ β 2 x ] ( ′ ) f ( x ) = e β 1 x [ K 1 cos ⁡ β 2 x + K 2 sin ⁡ β 2 x ] {:('")"f(x)=e^(beta_(1)x){:[K_(1)cos beta_(2)x+K_(2)sin beta_(2)x]:}:}(′)f(x)=eβ1x[K1cos⁡β2x+K2sin⁡β2x]
En résumé, les solutions réelles, continues quel que soit x x xx, de l'équation fonctionnelle (11) sont de la forme
f ( x ) = C 1 e a 1 x + C 2 e a 2 x (46) f ( x ) = e β 1 x ( K 1 cos ⁡ β 2 x + K 2 sin ⁡ β 2 x ) f ( x ) = e a 1 x ( C 1 + C 2 x ) f ( x ) = C 1 e a 1 x + C 2 e a 2 x (46) f ( x ) = e β 1 x ( K 1 cos ⁡ β 2 x + K 2 sin ⁡ β 2 x ) f ( x ) = e a 1 x ( C 1 + C 2 x ) {:[f(x)=C_(1)e^(a_(1)x)+C_(2)e^(a_(2)x)],[(46)f(x)=e^(beta_(1)x){:(K_(1)cos beta_(2)x+K_(2)sin beta_(2)x):}],[f(x)=e^(a_(1)x){:(C_(1)+C_(2)x):}]:}f(x)=C1ea1x+C2ea2x(46)f(x)=eβ1x(K1cos⁡β2x+K2sin⁡β2x)f(x)=ea1x(C1+C2x)
Les résultats de ce travail ont été communiqués à l'Académie de la République Populaire Roumaine. [2].
  1. H. Löwner, Über monotone Matrixfunctionen Mat. Zeit. 38. 1934. p. 177-216 2. D. V. Ionescu, Integrarea ecuației funcționale
| f ( x ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 4 h ) | = 0 | f ( x ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 2 h ) f ( x + 3 h ) f ( x + 4 h ) | = 0 |{:[f(x),f(x+h),f(x+2h)],[f(x+h),f(x+2h),f(x+3h)],[f(x+2h),f(x+3h),f(x+4h)]:}|=0|f(x)f(x+h)f(x+2h)f(x+h)f(x+2h)f(x+3h)f(x+2h)f(x+3h)f(x+4h)|=0
Sesiunea științifică a Academiei R.P.R. Filiala Cluj
Reçu le 15 mars 1958.

SUR UN PROBLÈME AUX LIMITES QUI INTERVIENT DANS UN PROJET D'UNE CHAUDIÉRE À VAPEUR

par

C. KALIK

à Cluj
  1. Dans son travail [1] L. NÉMETI s'occupe d'un problème qui se pose lorsqu'on veut établir le projet d'une chaudière tubulaire à vapeur ayant un passage forcé. L'auteur propose une méthode de calcul de la tension thermique dans les murs du tube. Cependant, pour calculer la tension thermique il est nécessaire de connaître la température, ce qui exige la résolution d'un problème aux limites. Le but du présent travail est de donner la résolution de ce problème aux limites.
D'abord, nous introduisons les signes ci-dessous utilisés et formulons le problème aux limites. Soit r , φ , z r , φ , z r,varphi,zr,φ,z des coordonnées cylindriques dans l'espace à trois dimensions. Le tube de la chaudière est déterminé par les inégalités suivantes:
r 0 ⩽ r ⩽ r 0 + s ; 0 ⩽ φ ⩽ 2 π ; − L ⩽ x ⩽ + L r 0 ⩽ r ⩽ r 0 + s ; 0 ⩽ φ ⩽ 2 π ; − L ⩽ x ⩽ + L r_(0) <= r <= r_(0)+s;quad0 <= varphi <= 2pi;quad-L <= x <= +Lr0⩽r⩽r0+s;0⩽φ⩽2π;−L⩽x⩽+L
où r 0 r 0 r_(0)r0 est le rayon intérieur, s s ss l'épaisseur et 2 L 2 L 2L2L la longueur du tube. Le champ thermique peut être considéré comme étant le même dans chaque section du tube avec le plan φ = φ = varphi=φ= constante. Le phénomène devient statique à un moment donné, donc la fonction u u uu qui nous donne les valeurs de la température doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles suivante :
(1.1) A ( u ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 (1.1) A ( u ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 {:(1.1)A(u)=(1)/(r)(del)/(del r)(r(del u)/(del r))+(del^(2)u)/(delz^(2))=0:}(1.1)A(u)=1r∂∂r(r∂u∂r)+∂2u∂z2=0
à chaque point du mur du tube.
Les conditions aux limites sont déterminées par les données suivantes : à l'extérieur du tube on maintient un régime constant de telle manière que le flux de chaleur soit la constante Q Q QQ Supposons que la chaleur ne passe pas par les extrémités z = ± L z = ± L z=+-Lz=±L du tube, ce qui signifie qu'ici le
1959

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