Sur un problème aux limites qui intervient dans un projet d’une chaudière à vapeur

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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On a boundary problem that occurs in a steam boiler project

Auteur(s)

C. Kalik
Institutul de Calcul

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Pour citer ce travail

C. Kalik, Sur un problème aux limites qui intervient dans un projet d’une chaudière à vapeur. (French) Mathematica (Cluj) 1 (24) 1959 27–34.

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Mathematica Cluj

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1959-Kalik-Sur-un-probleme-aux-limites

SUR UN PROBLÈME AUX LIMITES QUI INTERVIENT DANS UN PROJET D'UNE CHAUDIÉRE À VAPEUR

par

C. KALIK

à Cluj
  1. Dans son travail [1] L. NÉMETI s'occupe d'un problème qui se pose lorsqu'on veut établir le projet d'une chaudière tubulaire à vapeur ayant un passage forcé. L'auteur propose une méthode de calcul de la tension thermique dans les murs du tube. Cependant, pour calculer la tension thermique il est nécessaire de connaître la température, ce qui exige la résolution d'un problème aux limites. Le but du présent travail est de donner la résolution de ce problème aux limites.
D'abord, nous introduisons les signes ci-dessous utilisés et formulons le problème aux limites. Soit r , φ , z r , φ , z r,varphi,zr,φ,z des coordonnées cylindriques dans l'espace à trois dimensions. Le tube de la chaudière est déterminé par les inégalités suivantes:
r 0 ⩽ r ⩽ r 0 + s ; 0 ⩽ φ ⩽ 2 π ; − L ⩽ x ⩽ + L r 0 ⩽ r ⩽ r 0 + s ; 0 ⩽ φ ⩽ 2 π ; − L ⩽ x ⩽ + L r_(0) <= r <= r_(0)+s;quad0 <= varphi <= 2pi;quad-L <= x <= +Lr0⩽r⩽r0+s;0⩽φ⩽2π;−L⩽x⩽+L
où r 0 r 0 r_(0)r0 est le rayon intérieur, s s ss l'épaisseur et 2 L 2 L 2L2L la longueur du tube. Le champ thermique peut être considéré comme étant le même dans chaque section du tube avec le plan φ = φ = varphi=φ= constante. Le phénomène devient statique à un moment donné, donc la fonction u u uu qui nous donne les valeurs de la température doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles suivante :
(1.1) A ( u ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 (1.1) A ( u ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 {:(1.1)A(u)=(1)/(r)(del)/(del r)(r(del u)/(del r))+(del^(2)u)/(delz^(2))=0:}(1.1)A(u)=1r∂∂r(r∂u∂r)+∂2u∂z2=0
à chaque point du mur du tube.
Les conditions aux limites sont déterminées par les données suivantes : à l'extérieur du tube on maintient un régime constant de telle manière que le flux de chaleur soit la constante Q Q QQ Supposons que la chaleur ne passe pas par les extrémités z = ± L z = ± L z=+-Lz=±L du tube, ce qui signifie qu'ici le
flux est égal à zéro. L'eau dans le tube parvient jusq'au niveau z = 0 z = 0 z=0z=0, tandis qu'au-dessus de ce niveau il y a de la vapeur. Supposons aussi qu'à la surface intérieure du tube le flux de chaleur est proportionnel à la température. En vertu de ces données on obtient les conditions aux limites suivantes : ∂ u ∂ v = Q k ∂ u ∂ v = Q k (del u)/(del v)=(Q)/(k)∂u∂v=Qk à la surface extérieure du tube, ∂ u ∂ v = 0 ∂ u ∂ v = 0 (del u)/(del v)=0∂u∂v=0 aux extrémités du tube, et ∂ u ∂ v = h k u ∂ u ∂ v = h k u (del u)/(del v)=(h)/(k)u∂u∂v=hku à la surface intérieure du tube. Ici v v vv est la normale extérieure de la surface du tube, k k kk est le coefficient de conductibilité thermique et h h hh est le coefficient de transfert thermique. Il est à noter que h h hh est égal à la constante h 1 h 1 h_(1)h1 pour l'eau et à la constante h 2 h 2 h_(2)h2 pour la vapeur. Nous allons écrire les conditions aux limites que nous venons de formuler plus haut en une seule formule :
(1.2) ∂ u ∂ v − γ u = ψ (1.2) ∂ u ∂ v − γ u = ψ {:(1.2)(del u)/(del v)-gamma u=psi:}(1.2)∂u∂v−γu=ψ
où γ ⩾ 0 γ ⩾ 0 gamma >= 0γ⩾0, tandis que la mesure des points pour lesquels γ γ gammaγ est strictement positive est plus g: a ade que zéro. Par suite de la symétrie du champ thermique par rapport à φ φ varphiφ, le problème aux limites (1.1)-(1.2) n'est en fait qu'un problème du plan. Ci-dessous nous désignons par Ω Ω OmegaΩ le domaine plan donné par les inégalités:
r 0 < r < r 0 + s ; − L < z < + L r 0 < r < r 0 + s ; − L < z < + L r_(0) < r < r_(0)+s;quad-L < z < +Lr0<r<r0+s;−L<z<+L
et par I I II la frontière du domaine Ω Ω OmegaΩ.
Il faut remarquer que le problème aux limites (1.1)-(1.2) a été étudié dans plusieurs articles [2], [3], [4]. On y cherche la solution du problème aux limites en poursuivant deux voies, à savoir : en appliquant la méthode de Fourier et en utilisant la théorie des fonctions à variable complexe. Les résultats obtenus n'ont pas toutefois satisfait les exigences de la technique. C'est qu'à l'aide de la première méthode on est parvenu à un système infini d'équations linéaires qui est encore à étudier. Quant à la seconde méthode, elle ne donne la solution que dans le cas où l'épaisseur du tube est très petite, ce qui ne correspond point aux conditions techniques.
2. Maintenant nous passons à l'étude du problème aux limites (1.1)--(1.2) en utilisant la méthode variationnelle.
Introduisons l'espace de Hilbert W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω), défini de la manière suivante : une fonction quelconque v ( r , z ) v ( r , z ) v(r,z)v(r,z) appartient à l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) si elle a toutes les dérivées partielles du premier ordre généralisées et sommables en carré (voir [5] ou [6]). Définissons la norme dans cet espace à l'aide de l'égalité
(2.1) ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 = ∬ 0 [ ( ∂ v ∂ r ) 2 + ( ∂ v ∂ z ) ] r d Ω + ∫ Γ γ v 2 r d σ (2.1) ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 = ∬ 0   [ ( ∂ v ∂ r ) 2 + ( ∂ v ∂ z ) ] r d Ω + ∫ Γ   γ v 2 r d σ {:(2.1)||v||_(W_(2)^((1)))^(2)=∬_(0)[((del v)/(del r))^(2)+((del v)/(del z))]rd Omega+int_(Gamma)gammav^(2)rd sigma:}(2.1)‖v‖W2(1)2=∬0[(∂v∂r)2+(∂v∂z)]rdΩ+∫Γγv2rdσ
où d Ω d Ω d OmegadΩ est l'élément de la surface et d σ d σ d sigmadσ est l'élément de l'arc. L'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) est complet et séparable [5]. Nous allons étudier la fonctionnelle
(2.2) F ( v ) = ∬ Ω [ ( ∂ v ∂ r ) 2 + ( ∂ v ∂ z ) 2 ] r d Ω + ∫ Γ γ v 2 r d σ − 2 ∫ Γ ψ ⋅ v ⋅ r d σ (2.2) F ( v ) = ∬ Ω   [ ( ∂ v ∂ r ) 2 + ( ∂ v ∂ z ) 2 ] r d Ω + ∫ Γ   γ v 2 r d σ − 2 ∫ Γ   ψ ⋅ v ⋅ r d σ {:(2.2)F(v)=∬_(Omega)[((del v)/(del r))^(2)+((del v)/(del z))^(2)]rd Omega+int_(Gamma)gammav^(2)rd sigma-2int_(Gamma)psi*v*rd sigma:}(2.2)F(v)=∬Ω[(∂v∂r)2+(∂v∂z)2]rdΩ+∫Γγv2rdσ−2∫Γψ⋅v⋅rdσ
définie sur les éléments de l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω). L'existence des intégrales curvilignes est garantie par les théorèmes d'immersion de S. L. Sobolev
Lemme (2.1). La fonctionelle (2.2) est bornée à l'intérieur sur l'ensemble W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω).
En effet, d'après les inégalités de Cauchy-Buniakovski et les théorèmes d'immersion de S. L. Sobolev on peut écrire
∫ Γ ψ ⋅ v ⋅ r d σ ⩽ ‖ ψ ‖ L 2 ( Γ ) ⋅ ‖ v ‖ L 2 ( Γ ) ⩽ ‖ ψ ‖ L 2 ( Γ ) ⋅ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) K 1 = K ⋅ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) ∫ Γ   ψ ⋅ v ⋅ r d σ ⩽ ‖ ψ ‖ L 2 ( Γ ) ⋅ ‖ v ‖ L 2 ( Γ ) ⩽ ‖ ψ ‖ L 2 ( Γ ) ⋅ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) K 1 = K ⋅ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) int_(Gamma)psi*v*rd sigma <= ||psi||_(L_(2)(Gamma))*||v||_(L_(2)(Gamma)) <= ||psi||_(L_(2)(Gamma))*||v||_(W_(2)^((1)))K_(1)=K*||v||_(W_(2)^((1)))∫Γψ⋅v⋅rdσ⩽‖ψ‖L2(Γ)⋅‖v‖L2(Γ)⩽‖ψ‖L2(Γ)⋅‖v‖W2(1)K1=K⋅‖v‖W2(1)
pour chaque v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v inW_(2)^((1))(Omega)v∈W2(1)(Ω). La constante K > 0 K > 0 K > 0K>0 ne dépend pas de la fonction v ( r , z ) v ( r , z ) v(r,z)v(r,z) et les normes de l'espace L 2 ( Γ ) L 2 ( Γ ) L_(2)(Gamma)L2(Γ) sont calculées à l'aide de la fonction pondérante r r rr. En utilisant cette inégálité on obtient
F ( v ) = ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 − 2 ∫ Γ ψ ⋅ v ⋅ r d σ ⩾ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 − 2 K ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) = = ( ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) − K ) 2 − K 2 ⩾ − K 2 F ( v ) = ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 − 2 ∫ Γ   ψ ⋅ v ⋅ r d σ ⩾ ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 − 2 K ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) = = ( ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) − K ) 2 − K 2 ⩾ − K 2 {:[F(v)=||v||_(W_(2)^((1)))^(2)-2int_(Gamma)psi*v*rd sigma >= ||v||_(W_(2)^((1)))^(2)-2K||v||_(W_(2)^((1)))=],[=(||v||_(W_(2)^((1)))-K)^(2)-K^(2) >= -K^(2)]:}F(v)=‖v‖W2(1)2−2∫Γψ⋅v⋅rdσ⩾‖v‖W2(1)2−2K‖v‖W2(1)==(‖v‖W2(1)−K)2−K2⩾−K2
ce qui signifie que le lemme (2.1) est démontré.
Désignons inf F ( v ) = − d F ( v ) = − d F(v)=-dF(v)=−d. En appliquant les idées qu'utilise s. l. sobolev ν ∈ W 2 ′ 1 ( Ω ) ν ∈ W 2 ′ 1 ( Ω ) nu inW_(2)^('1)(Omega)ν∈W2′1(Ω)
pour la solution du problème de Neumann [5], je vais démontrer le lemme suivant:
Lemme (2.2). Dans l'espace de Hilbert W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) il existe une fonction u ( r , z ) u ( r , z ) u(r,z)u(r,z) pour laquelle
inf v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) F ( v ) = F ( u ) = − d inf v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω )   F ( v ) = F ( u ) = − d i n f_(v inW_(2)^((1))(Omega))F(v)=F(u)=-dinfv∈W2(1)(Ω)F(v)=F(u)=−d
et pour laquelle nous avons
(2.3) ∬ Ω [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω + ∫ Γ γ u v r d σ − ∫ Γ ψ v r d σ = 0 (2.3) ∬ Ω   [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω + ∫ Γ   γ u v r d σ − ∫ Γ   ψ v r d σ = 0 {:(2.3)∬_(Omega)[(del u)/(del r)(del v)/(del r)+(del u)/(del z)(del v)/(del z)]rd Omega+int_(Gamma)gamma uvrd sigma-int_(Gamma)psi vrd sigma=0:}(2.3)∬Ω[∂u∂r∂v∂r+∂u∂z∂v∂z]rdΩ+∫Γγuvrdσ−∫Γψvrdσ=0
quel que soit v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v inW_(2)^((1))(Omega)v∈W2(1)(Ω).
Démontrons le lemme (2.2). Soit { u n } { u n } {u_(n)}{un} une suite de fonctions de l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) pour laquelle
(2.4) lim n → ∞ F ( u n ) = − d (2.4) lim n → ∞   F ( u n ) = − d {:(2.4)lim_(n rarr oo)F{:(u_(n)):}=-d:}(2.4)limn→∞F(un)=−d
On peut immédiatement vérifier qụe
1 2 F ( u n ) + 1 2 F ( u m ) − F ˙ ( u n + u m 2 ) = 1 2 ‖ u n ‖ W 2 ( 1 ) 2 + 1 2 ‖ u m ‖ W 2 ( 1 ) 2 − − ‖ u ˙ n + u m 2 ‖ W 2 ( 1 ) 2 = ‖ u ˙ n − u m 2 ‖ W 2 ( 1 ) 2 1 2 F ( u n ) + 1 2 F ( u m ) − F ˙ ( u n + u m 2 ) = 1 2 ‖ u n ‖ W 2 ( 1 ) 2 + 1 2 ‖ u m ‖ W 2 ( 1 ) 2 − − ‖ u ˙ n + u m 2 ‖ W 2 ( 1 ) 2 = ‖ u ˙ n − u m 2 ‖ W 2 ( 1 ) 2 {:[(1)/(2)F{:(u_(n)):}+(1)/(2)F{:(u_(m)):}-F^(˙)((u_(n)+u_(m))/(2))=(1)/(2)||u_(n)||_(W_(2)^((1)))^(2)+(1)/(2)||u_(m)||_(W_(2)^((1)))^(2)-],[-||(u^(˙)_(n)+u_(m))/(2)||_(W_(2)^((1)))^(2)=||(u^(˙)_(n)-u_(m))/(2)||_(W_(2)^((1)))^(2)]:}12F(un)+12F(um)−F˙(un+um2)=12‖un‖W2(1)2+12‖um‖W2(1)2−−‖u˙n+um2‖W2(1)2=‖u˙n−um2‖W2(1)2
Donc, il résulte de (2.4) que ‖ u n − u m ‖ W 2 ( 1 ) → 0 ‖ u n − u m ‖ W 2 ( 1 ) → 0 ||u_(n)-u_(m)||_(W_(2)^((1)))rarr0‖un−um‖W2(1)→0. Mais l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) étant complet, il s'ensuit que la suite { u n } { u n } {u_(n)}{un} tend vers une fonction de l'espace. Désignons cette fonction par u ( r , z ) u ( r , z ) u(r,z)u(r,z). Compte tenu de ce qui précède, il est évident que
inf v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) F ( v ) = F ( u ) = − d inf v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω )   F ( v ) = F ( u ) = − d i n f_(v inW_(2)^((1))(Omega))F(v)=F(u)=-dinfv∈W2(1)(Ω)F(v)=F(u)=−d
Revenons sur l'égalité (2.3). On a
F ( u + λ v ) = F ( u ) + 2 λ { ∬ 0 [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω + ∫ Γ γ u v r d σ − ∫ Γ ψ v r d σ } + + λ 2 ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 F ( u + λ v ) = F ( u ) + 2 λ { ∬ 0   [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω + ∫ Γ   γ u v r d σ − ∫ Γ   ψ v r d σ } + + λ 2 ‖ v ‖ W 2 ( 1 ) 2 {:[F(u+lambda v)=F(u)+2lambda{:{∬_(0)[(del u)/(del r)(del v)/(del r)+(del u)/(del z)(del v)/(del z)]rd Omega+int_(Gamma)gamma uvrd sigma-int_(Gamma)psi vrd sigma}:}+],[+lambda^(2)||v||_(W_(2)^((1)))^(2)]:}F(u+λv)=F(u)+2λ{∬0[∂u∂r∂v∂r+∂u∂z∂v∂z]rdΩ+∫Γγuvrdσ−∫Γψvrdσ}++λ2‖v‖W2(1)2
pour toute valeur réelle du paramètre λ λ lambdaλ et pour toute fonction v v vv de l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω). En vertu du fait que cette expression doit atteindre son minimum pour λ = 0 λ = 0 lambda=0λ=0 on obtient la relation nécessaire.
théoreme (2.1) La fonction u ( r , z ) u ( r , z ) u(r,z)u(r,z) qui réalise le minimum de la fonctionnelle (2.2) admet les dérivées partielles de tout ordre presque dans chaque point intérieur du domaine Ω Ω OmegaΩ. En même temps elle satisfait à l'équation (1.1) presque partout en Ω Ω OmegaΩ.
Démonstration. Soit Ω ′ Ω ′ Omega^(')Ω′ un domaine arbitraire, intérieur au domaine Ω , δ Ω , δ Omega,deltaΩ,δ la distance entre Ω ′ Ω ′ Omega^(')Ω′ et Γ , Q Γ , Q Gamma,QΓ,Q un point quelconque de Ω ′ Ω ′ Omega^(')Ω′. Choisissons une fonction g ( ρ ) g ( ρ ) g(rho)g(ρ) qui satisfait aux conditions suivantes
g ( ρ ) = { 1 pour ρ ⩽ 1 2 0 pour ρ ⩾ 1 g ( ρ ) = { 1 pour ρ ⩽ 1 2 0 pour ρ ⩾ 1 g(rho)={{:[1"pour"rho <= (1)/(2)],[0"pour"rho >= 1]:}g(ρ)={1pourρ⩽120pourρ⩾1
et qui est indéfiniment dérivable. ρ ρ rhoρ désigne la distance entre les points P P PP et Q , P Q , P Q,PQ,P étant un point arbitraire du plan r , z r , z r,zr,z. Nous désignons par L ( P , Q ) L ( P , Q ) L(P,Q)L(P,Q) la solution fondamentale (dans le sens de E. E. Levi [8]) de l'équation (1.1).
Introduisons la fonction ξ ( p ) ξ ( p ) xi(p)ξ(p), déterminée de la manière suivante
(2.5) ξ ( p ) = [ g ( ϱ h 1 ) − g ( ϱ h 2 ) ] L ( P , Q ) (2.5) ξ ( p ) = [ g ( ϱ h 1 ) − g ( ϱ h 2 ) ] L ( P , Q ) {:(2.5)xi(p)=[g((ϱ)/(h_(1)))-g((ϱ)/(h_(2)))]L(P","Q):}(2.5)ξ(p)=[g(ϱh1)−g(ϱh2)]L(P,Q)
où h 1 h 1 h_(1)h1 et h 2 h 2 h_(2)h2 sont deux constantes qui satisfont à la condition 0 < h 1 < h 2 < δ 0 < h 1 < h 2 < δ 0 < h_(1) < h_(2) < delta0<h1<h2<δ. Nous allons démontrer que l'ensemble de fonctions { ω h ( ρ ) } { ω h ( ρ ) } {omega_(h)(rho)}{ωh(ρ)} où
(2.6) ω h ( ρ ) = h 2 A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] (2.6) ω h ( ρ ) = h 2 A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] {:(2.6)omega_(h)(rho)=h^(2)A[g((ϱ)/(h))L(P","Q)]:}(2.6)ωh(ρ)=h2A[g(ϱh)L(P,Q)]
h h hh variant entre δ δ deltaδ et 0 , forme un ensemble de noyaux réguliers selon s. l. sobolev [7]. C'est à dire qu'il faut démontrer que { ω h ( ρ ) } { ω h ( ρ ) } {omega_(h)(rho)}{ωh(ρ)} satisfait aux conditions suivantes :
  1. { ω h ( ρ ) } { ω h ( ρ ) } {omega_(h)(rho)}{ωh(ρ)} sont uniformément limitées par rapport à h h hh et à Q ∈ Ω ′ Q ∈ Ω ′ Q inOmega^(')Q∈Ω′,
  2. chaque fonction ω h ( ρ ) ω h ( ρ ) omega_(h)(rho)ωh(ρ) est sommable par rapport à chaque coordonnée des points P P PP et Q Q QQ,
  3. il y a des nombres positifs γ γ gammaγ et ε ε epsiε tels que pour chaque point Q ∈ Ω ′ Q ∈ Ω ′ Q inOmega^(')Q∈Ω′ nous ayons
∬ ϱ < h ω h ( ρ ) d Ω p > γ h 2 ∬ ϱ < h   ω h ( ρ ) d Ω p > γ h 2 ∬_(ϱ < h)omega_(h)(rho)dOmega_(p) > gammah^(2)∬ϱ<hωh(ρ)dΩp>γh2
si h < ε h < ε h < epsih<ε et
4. à l'extérieur du cercle ayant le centre Q Q QQ et le rayon h h hh la fonction ω h ( ρ ) ω h ( ρ ) omega_(h)(rho)ωh(ρ) est considérée identiquement nulle.
Vérifions la condition 1. Pour ρ ⩽ h 2 ρ ⩽ h 2 rho <= (h)/(2)ρ⩽h2 nous avons ω h ( ρ ) = 0 ω h ( ρ ) = 0 omega_(h)(rho)=0ωh(ρ)=0 en vertu de la définition de la solution fondamentale L ( P , Q ) L ( P , Q ) L(P,Q)L(P,Q). Donc il faut vérifier la condition 1 pour ρ > h 2 ρ > h 2 rho > (h)/(2)ρ>h2. Il est facile de remarquer que pour ρ > h 2 ρ > h 2 rho > (h)/(2)ρ>h2 les valeurs absolues des dérivées partielles du premier ordre de la fonction g ( ϱ h ) g ( ϱ h ) g((ϱ)/(h))g(ϱh) sont bornées au-dessus par C 1 h C 1 h (C_(1))/(h)C1h, tandis que les valeurs absolues des dérivées partielles du deuxième ordre sont bornées par C 2 h C 2 h (C_(2))/(h)C2h. C 1 C 1 C_(1)C1 et C 2 C 2 C_(2)C2 étant des constantes positives. La fonction L ( P , Q ) L ( P , Q ) L(P,Q)L(P,Q) peut être écrite sous la forme L ( P , Q ) = 1 2 π ln ⁡ 1 ϱ + W ( P , Q ) L ( P , Q ) = 1 2 π ln ⁡ 1 ϱ + W ( P , Q ) L(P,Q)=(1)/(2pi)ln((1)/(ϱ))+W(P,Q)L(P,Q)=12πln⁡1ϱ+W(P,Q) où W ( P , Q ) W ( P , Q ) W(P,Q)W(P,Q) et toutes ses dérivées partielles possèdent une singularité plus petite que la fonction 1 2 π ln ⁡ 1 ϱ 1 2 π ln ⁡ 1 ϱ (1)/(2pi)ln((1)/(ϱ))12πln⁡1ϱ et ses dérivées, quand ρ → 0 ρ → 0 rho rarr0ρ→0. Il en résulte que les valeurs absolues des dérivées partielles du premier ordre aussi bien que celles du deuxième ordre sont limitées au-dessus par C 3 h C 3 h (C_(3))/(h)C3h respectivement par C 4 h C 4 h (C_(4))/(h)C4h, lorsque ρ > h 2 . C 3 ρ > h 2 . C 3 rho > (h)/(2).C_(3)ρ>h2.C3 et C 4 C 4 C_(4)C4 sont aussi des constantes positives. Ayant en vuela forme de l'équation (1.1) il résulte de ce qui précède
| ω h ( ρ ) | < C | ω h ( ρ ) | < C |omega_(h)(rho)| < C|ωh(ρ)|<C
quels que soient h h hh et Q Q QQ. C C CC est une constante positive. Les conditions 2 et 4 sont faciles à verifier étant donné que la fonction L ( P , Q ) L ( P , Q ) L(P,Q)L(P,Q) est indéfiniment dérivable par rapport aux coordonnées des points P P PP et Q Q QQ; et la fonction g ( ϱ h ) = 0 g ( ϱ h ) = 0 g((ϱ)/(h))=0g(ϱh)=0 quand ρ ⩾ h ρ ⩾ h rho >= hρ⩾h. Calculons l'intégrale de la condition 3 .
Mais
∬ ϱ < h ω h ( ρ ) d Ω P p = h 2 ∬ ϱ < h A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P ∬ ϱ < h A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P = ∬ h 2 < ϱ < h A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P = ∫ C h 2 [ ∂ L ∂ v + + L r cos ⁡ ( v , r ) ] d σ P = − ∫ C h 2 ( ∂ L ∂ ϱ + L r ) d σ P → 1 ∬ ϱ < h   ω h ( ρ ) d Ω P p = h 2 ∬ ϱ < h   A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P ∬ ϱ < h   A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P = ∬ h 2 < ϱ < h   A [ g ( ϱ h ) L ( P , Q ) ] d Ω P = ∫ C h 2   [ ∂ L ∂ v + + L r cos ⁡ ( v , r ) ] d σ P = − ∫ C h 2   ( ∂ L ∂ ϱ + L r ) d σ P → 1 {:[∬_(ϱ < h)omega_(h)(rho)dOmega_(P)p=h^(2)∬_(ϱ < h)A[g((ϱ)/(h))L(P","Q)]dOmega_(P)],[∬_(ϱ < h)A[g((ϱ)/(h))L(P","Q)]dOmega_(P)=∬_((h)/(2) < ϱ < h)A[g((ϱ)/(h))L(P","Q)]dOmega_(P)=int_(C_((h)/(2)))[(del L)/(del v)+],[+(L)/(r)cos(v","r)]dsigma_(P)=-int_(C_((h)/(2)))((del L)/(delϱ)+(L)/(r))dsigma_(P)rarr1]:}∬ϱ<hωh(ρ)dΩPp=h2∬ϱ<hA[g(ϱh)L(P,Q)]dΩP∬ϱ<hA[g(ϱh)L(P,Q)]dΩP=∬h2<ϱ<hA[g(ϱh)L(P,Q)]dΩP=∫Ch2[∂L∂v++Lrcos⁡(v,r)]dσP=−∫Ch2(∂L∂ϱ+Lr)dσP→1
quand le rayon du cercle C h 2 C h 2 C_((h)/(2))Ch2 ayant le centre en Q Q QQ tend vers zéro uniformément pour chaque Q ∈ Ω ′ Q ∈ Ω ′ Q inOmega^(')Q∈Ω′. Soit γ γ gammaγ un nombre arbitraire dans l'intervalle ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1). On déduit de ce qui précède plus haut qu'on peut déterminer un nombre ε > 0 ε > 0 epsi > 0ε>0 de sorte qu'on ait
∬ ϱ < h ω h ( ρ ) d Ω P > γ h 2 ∬ ϱ < h   ω h ( ρ ) d Ω P > γ h 2 ∬_(ϱ < h)omega_(h)(rho)dOmega_(P) > gammah^(2)∬ϱ<hωh(ρ)dΩP>γh2
si h < ε h < ε h < epsih<ε.
L'ensemble { ω h ( ρ ) } { ω h ( ρ ) } {omega_(h)(rho)}{ωh(ρ)} étant un ensemble régulier de noyaux, ce qui a été prouvé ci-dessus, il s'ensuit que les fonctions
(2.7) u h ( Q ) = ∬ o < h ω h ( ρ ) u ( P ) d Ω P ∬ o < h ω h ( ρ ) d Ω P (2.7) u h ( Q ) = ∬ o < h   ω h ( ρ ) u ( P ) d Ω P ∬ o < h   ω h ( ρ ) d Ω P {:(2.7)u_(h)(Q)=(∬_(o < h)omega_(h)(rho)u(P)dOmega_(P))/(∬_(o < h)omega_(h)(rho)dOmega_(P)):}(2.7)uh(Q)=∬o<hωh(ρ)u(P)dΩP∬o<hωh(ρ)dΩP
presque en chaque Q ∈ Ω ′ Q ∈ Ω ′ Q inOmega^(')Q∈Ω′ tendent vers u ( Q ) u ( Q ) u(Q)u(Q) quand h → 0 h → 0 h rarr0h→0.
Maintenant on peut passer à la démonstration du théorème (2.1). Il est évident que la fonction ξ ( P ) ξ ( P ) xi(P)ξ(P) appartient à l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω). Il est aussi facile de voir que la même fonction ξ ( P ) ξ ( P ) xi(P)ξ(P) est nulle dans une bande voisine avec la frontière Γ Γ GammaΓ. Donc, de (2.3) on déduit
(2.8) ∫ Ω ∫ [ ∂ u ∂ r ∂ ξ ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ ξ ∂ z ] r d Ω = 0 (2.8) ∫ Ω   ∫ [ ∂ u ∂ r ∂ ξ ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ ξ ∂ z ] r d Ω = 0 {:(2.8)int_(Omega)int[(del u)/(del r)(del xi)/(del r)+(del u)/(del z)(del xi)/(del z)]rd Omega=0:}(2.8)∫Ω∫[∂u∂r∂ξ∂r+∂u∂z∂ξ∂z]rdΩ=0
où par r r rr et z z zz sont désignées les coordonnées du point P P PP. En appliquant la formule de Green à (2.8), on obtient
(2.9) ∬ Ω u A [ ξ ( P ) ] r d Ω = 0 (2.9) ∬ Ω   u A [ ξ ( P ) ] r d Ω = 0 {:(2.9)∬_(Omega)uA[xi(P)]rd Omega=0:}(2.9)∬ΩuA[ξ(P)]rdΩ=0
d'où d'après (2.6) il résulte
(2.10) 1 h 1 2 ∬ ω h 1 ( ρ ) u ( P ) r d Ω P = 1 h 2 2 ∬ ω h 2 ( ρ ) u ( P ) r d Ω P (2.10) 1 h 1 2 ∬ ω h 1 ( ρ ) u ( P ) r d Ω P = 1 h 2 2 ∬ ω h 2 ( ρ ) u ( P ) r d Ω P {:(2.10)(1)/(h_(1)^(2))∬omega_(h_(1))(rho)u(P)rdOmega_(P)=(1)/(h_(2)^(2))∬omega_(h_(2))(rho)u(P)rdOmega_(P):}(2.10)1h12∬ωh1(ρ)u(P)rdΩP=1h22∬ωh2(ρ)u(P)rdΩP
On voit immédiatement que les deux membres de la derniére égalité convergent dans chaque point Q ∈ Ω ′ Q ∈ Ω ′ Q inOmega^(')Q∈Ω′ où converge aussi la fonction (2.7). Mais d'après l'égalité (2.10) on écrit
u ( Q ) = 1 h 2 ∬ Q ω h ( ρ ) u ( P ) r d Ω P u ( Q ) = 1 h 2 ∬ Q   ω h ( ρ ) u ( P ) r d Ω P u(Q)=(1)/(h^(2))∬_(Q)omega_(h)(rho)u(P)rdOmega_(P)u(Q)=1h2∬Qωh(ρ)u(P)rdΩP
ce qui montre que la fonction u ( Q ) u ( Q ) u(Q)u(Q) est indéfiniment dérivable, le second membre de la dernière égalité étant lui aussi indéfiniment dérivable.
Nous allons démontrer que la fonction u u uu satisfait l'équation (1.1) presque partout en Ω Ω OmegaΩ. Soit v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v inW_(2)^((1))(Omega)v∈W2(1)(Ω) une fonction arbitraire égale à zéro dans une bande voisine de la frontière Γ Γ GammaΓ. On déduit de (2.3)
∫ Ω ∫ [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = 0 ∫ Ω   ∫ [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = 0 int_(Omega)int[(del u)/(del r)(del v)/(del r)+(del u)/(del z)(del v)/(del z)]rd Omega=0∫Ω∫[∂u∂r∂v∂r+∂u∂z∂v∂z]rdΩ=0
En appliquant la formule de Green, on obtient
∬ Q v A ( u ) r d Ω = 0 ∬ Q   v A ( u ) r d Ω = 0 ∬_(Q)vA(u)rd Omega=0∬QvA(u)rdΩ=0
Il s'ensuit que A ( u ) = 0 A ( u ) = 0 A(u)=0A(u)=0 est satisfaite presque partout en Ω Ω OmegaΩ. Donc le théorème (2.1) est démontré.
Nous avons à considérer maintenant dans quel sens est satisfaite la condition aux limites (1.2) et à examiner si la solution du problème aux limites (1.1)-(1.2) est unique.
Comme il fallait le prévoir, la condition (1.2) est satisfaite dans un sens faible. Nous allons désigner par { Ω m } { Ω m } {Omega_(m)}{Ωm} une suite de domaines qui tend vers Ω Ω OmegaΩ, quand m → ∞ m → ∞ m rarr oom→∞. Supposons que la suite { Ω m } { Ω m } {Omega_(m)}{Ωm} est monotone, c'est à dire Ω m ⊆ Ω m + 1 ⊂ Ω Ω m ⊆ Ω m + 1 ⊂ Ω Omega_(m)subeOmega_(m+1)sub OmegaΩm⊆Ωm+1⊂Ω. Soit Γ m Γ m Gamma_(m)Γm la frontière de Ω m Ω m Omega_(m)Ωm, que nous supposons continue sur le segment. Pour un v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v ∈ W 2 ( 1 ) ( Ω ) v inW_(2)^((1))(Omega)v∈W2(1)(Ω) arbitraire nous avons évidemment
∬ Q [ ∂ u ∂ r i v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = lim m → ∞ ∫ Q m ∫ m [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = lim m → ∞ ∫ Γ m v ∂ u ∂ v r d σ ∬ Q   [ ∂ u ∂ r i v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = lim m → ∞   ∫ Q m   ∫ m   [ ∂ u ∂ r ∂ v ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ] r d Ω = lim m → ∞   ∫ Γ m   v ∂ u ∂ v r d σ ∬_(Q)[(del u)/(del r)(iv)/(del r)+(del u)/(del z)(del v)/(del z)]rd Omega=lim_(m rarr oo)int_(Q_(m))int_(m)[(del u)/(del r)(del v)/(del r)+(del u)/(del z)(del v)/(del z)]rd Omega=lim_(m rarr oo)int_(Gamma_(m))v(del u)/(del v)rd sigma∬Q[∂u∂riv∂r+∂u∂z∂v∂z]rdΩ=limm→∞∫Qm∫m[∂u∂r∂v∂r+∂u∂z∂v∂z]rdΩ=limm→∞∫Γmv∂u∂vrdσ
D'après (2.3) on obtient la formule suivante qui fait voir dans quel sens la condition (1.2) est satisfaite. A savoir :
(2.11) lim m → ∞ ∫ Γ m v ∂ n ∂ v r d σ = − ∫ Γ γ u v r d σ + ∫ Γ ψ v r d σ (2.11) lim m → ∞   ∫ Γ m   v ∂ n ∂ v r d σ = − ∫ Γ   γ u v r d σ + ∫ Γ   ψ v r d σ {:(2.11)lim_(m rarr oo)int_(Gamma_(m))v(del n)/(del v)rd sigma=-int_(Gamma)gamma uvrd sigma+int_(Gamma)psi vrd sigma:}(2.11)limm→∞∫Γmv∂n∂vrdσ=−∫Γγuvrdσ+∫Γψvrdσ
Quant à l'unicité de la solution du problème aux limites on peut la prouver de la manière suivante. Supposons qu'il y ait deux solutions u 1 u 1 u_(1)u1 et u 2 u 2 u_(2)u2 du problème aux limites qui font partie de l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω). La fonction u = u 1 − u 2 u = u 1 − u 2 u=u_(1)-u_(2)u=u1−u2 satisfait la condition
lim m → ∞ ∫ Γ m v ∂ u ∂ v r d σ = − ∫ Γ γ u v r d σ lim m → ∞   ∫ Γ m   v ∂ u ∂ v r d σ = − ∫ Γ   γ u v r d σ lim_(m rarr oo)int_(Gamma_(m))v(del u)/(del v)rd sigma=-int_(Gamma)gamma uvrd sigmalimm→∞∫Γmv∂u∂vrdσ=−∫Γγuvrdσ
En remplaçant v v vv par u u uu on a
lim m → ∞ ∫ Γ m ∫ m [ ( ∂ u ∂ r ) 2 + ( ∂ u ∂ z ) 2 ] r d Ω + ∫ Γ γ u 2 r d σ = 0 lim m → ∞   ∫ Γ m   ∫ m   [ ( ∂ u ∂ r ) 2 + ( ∂ u ∂ z ) 2 ] r d Ω + ∫ Γ   γ u 2 r d σ = 0 lim_(m rarr oo)int_(Gamma m)int_(m)[((del u)/(del r))^(2)+((del u)/(del z))^(2)]rd Omega+int_(Gamma)gammau^(2)rd sigma=0limm→∞∫Γm∫m[(∂u∂r)2+(∂u∂z)2]rdΩ+∫Γγu2rdσ=0
Mais ayant en vue la condition imposée à γ γ gammaγ dans le p. 1, il résulte de l'égalité précédente que u ≡ 0 u ≡ 0 u-=0u≡0 en Ω Ω OmegaΩ.
3. Pour le calcul approximatif de la solution du problème aux limites (1.1)-(1.2) nous allons jouir de la méthode généralisée de Ritz. Nous allons chercher l'approximation de l'ordre n n nn de la solution u ( r , z ) u ( r , z ) u(r,z)u(r,z) sous la forme suivante :
(3.1) u n ( r , z ) = ∑ p , q = 0 n a p q r p z q (3.1) u n ( r , z ) = ∑ p , q = 0 n   a p q r p z q {:(3.1)u_(n)(r","z)=sum_(p,q=0)^(n)a_(pq)r^(p)z^(q):}(3.1)un(r,z)=∑p,q=0napqrpzq
Déterminons les coefficients a p q a p q a_(pq)apq de sorte que la fonction F ( u n ) = F ( a p q ) ( p , q = 0 , … , n ) F ( u n ) = F ( a p q ) ( p , q = 0 , … , n ) F(u_(n))=F(a_(pq))(p,q=0,dots,n)F(un)=F(apq)(p,q=0,…,n) prenne le minimum. On obtient donc les approximations u n ( r , z ) u n ( r , z ) u_(n)(r,z)un(r,z) en résolvant le systéme linéaire d'équations
(3.2) ∂ F ∂ a p q = 0 ( p , q = 0 , … , n ) (3.2) ∂ F ∂ a p q = 0 ( p , q = 0 , … , n ) {:(3.2)(del F)/(dela_(pq))=0quad(p","q=0","dots","n):}(3.2)∂F∂apq=0(p,q=0,…,n)
Ils est évident que les solutions approximatives u n u n u_(n)un tendent vers la solution exacte du problème aux limites dans le métrique de l'espace W 2 ( 1 ) ( Ω ) W 2 ( 1 ) ( Ω ) W_(2)^((1))(Omega)W2(1)(Ω) et d'apres les théorèmes d'immersion de S. L. Sobolev on peut affirmer que les fonctions u n u n u_(n)un tendent vers u u uu aussi dans le moyen carré.

BIBLIOGRAFIE

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    Reçu le 5 mars 1958

SUR LA SIMPLIFICATION DES PROGRAMMES EXACTS POUR LES MECANISMES AUTOMATIQUES DISCRETS

Abstract

par

Gr. C. MOISIL.

à Bucarest

I

Un programme exact est un ensemble formé par trois tableaux :
(III) F ( K 0 , Z 0 ) = Z 0 Φ ( K 0 , Z 0 ) = W 0 F ( K 1 , Z 0 ) = Z 1 Φ ( K 1 , Z 0 ) = W 1 F ( K 2 , Z 1 ) = Z 2 Φ ( K 2 , Z 1 ) = W 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋯ ⋯ F ( K i , Z i − 1 ) = Z i (II) ⋯ Φ ( K i , Z i − 1 ) = W i F ( K n , Z n − 1 ) = Z n ⋯ F ( K 0 , Z n ) = Z 0 Φ ( K n , Z n − 1 ) = W n Z h = Z j ⋯ (III) F ( K 0 , Z 0 ) = Z 0 Φ ( K 0 , Z 0 ) = W 0 F ( K 1 , Z 0 ) = Z 1 Φ ( K 1 , Z 0 ) = W 1 F ( K 2 , Z 1 ) = Z 2 Φ ( K 2 , Z 1 ) = W 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋯ ⋯ F ( K i , Z i − 1 ) = Z i (II) ⋯ Φ ( K i , Z i − 1 ) = W i F ( K n , Z n − 1 ) = Z n ⋯ F ( K 0 , Z n ) = Z 0 Φ ( K n , Z n − 1 ) = W n Z h = Z j ⋯ {:(III){:[F{:(K_(0)","Z_(0)):}=Z_(0),Phi{:(K_(0)","Z_(0)):}=W_(0)],[F{:(K_(1)","Z_(0)):}=Z_(1),Phi{:(K_(1)","Z_(0)):}=W_(1)],[F{:(K_(2)","Z_(1)):}=Z_(2),Phi{:(K_(2)","Z_(1)):}=W_(2)],[cdots cdots cdots,cdots*cdots cdots],[F{:(K_(i)","Z_(i-1)):}=Z_(i),(II)],[cdots,Phi{:(K_(i)","Z_(i-1)):}=W_(i)],[F{:(K_(n)","Z_(n-1)):}=Z_(n),cdots],[F{:(K_(0)","Z_(n)):}=Z_(0),Phi{:(K_(n)","Z_(n-1)):}=W_(n)],[,],[,],[,],[,],[,],[,],[,Z_(h)=Z_(j)],[,cdots],[,],[,]:}:}(III)F(K0,Z0)=Z0Φ(K0,Z0)=W0F(K1,Z0)=Z1Φ(K1,Z0)=W1F(K2,Z1)=Z2Φ(K2,Z1)=W2⋯⋯⋯⋯⋅⋯⋯F(Ki,Zi−1)=Zi(II)⋯Φ(Ki,Zi−1)=WiF(Kn,Zn−1)=Zn⋯F(K0,Zn)=Z0Φ(Kn,Zn−1)=WnZh=Zj⋯
K 0 , … , K n , W 0 , … , W n + 1 K 0 , … , K n , W 0 , … , W n + 1 K_(0),dots,K_(n),W_(0),dots,W_(n+1)K0,…,Kn,W0,…,Wn+1 sont des éléments donnés ; Z 0 , … , Z n Z 0 , … , Z n Z_(0),dots,Z_(n)Z0,…,Zn sont des variables dans un domaine inconnu D ; F ( K , Z ) D ; F ( K , Z ) D;F(K,Z)D;F(K,Z) et Φ ( K , Z ) Φ ( K , Z ) Phi(K,Z)Φ(K,Z) sont des fonctions inconnues ayant les arguments K ∈ ( K 0 , … , K n ) , Z ∈ D , F ( K , Z ) ∈ D K ∈ ( K 0 , … , K n ) , Z ∈ D , F ( K , Z ) ∈ D K in(K_(0),dots,K_(n)),Z in D,F(K,Z)in DK∈(K0,…,Kn),Z∈D,F(K,Z)∈D, Φ ( K , Z ) ∈ ( W 0 , … , W n + 1 ) Φ ( K , Z ) ∈ ( W 0 , … , W n + 1 ) Phi(K,Z)in(W_(0),dots,W_(n+1))Φ(K,Z)∈(W0,…,Wn+1).
Comme exemple nous considérerons le programme exact suivant D 1 D 1 D_(1)D1, qu'on rencontre lorsqu'on veut construire un dispositif de signalement à un passage à niveau
1959

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