DIFFERENCES DIVISEES ET DERIVEES

pate
Tiberiu Popoviciu

1.
- •
  
  Soit $A[f]=A[f(x)]$ und fonctionnelle linéaire, donc additive et bonogène, definie sur un espace vectoriel $S$ de fonctions $f=f(x)$ , réelles, de la variable réelle $x$ , définies et continues sur un intervalle $I$ . Nous désignerons par a l’extrémité gatche et par $b$ l’extrémité droite de l’intervalle I. Dans la suite nous supposerons toujours que les éléments de $S$ vérifiennent toutes les propriétés de dérivabilité nécessaires pour que les fonctionnelles linéaires considérées aient un sens. Nous supposerons toujours que $S$ contienne tons les polynomes. On suppose toujonts que $a<b$ .

Toute fonctionnelle lineaire $A[f]$ a un degré $d$ exactiode bien déterminé. Ce degré d’exactitude est le nombre entier $n\geq-1$ , ou le nombre impropre $n=\infty$ , caractérisé par la propriété :
$1^{\circ}.n=-1$ . si $A[1]\neq 0$ .
2. $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots,n,A\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ si $A[1]=0$ et si l’un au moins des nombres $A\left[x^{i}\right],t=0,1,\ldots$ est différent de zero.
$3^{\circ}.n=\infty$ si $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots$
Dans les cas $1^{\circ}$ et $2^{\circ}$ le degré d’exactitude est fini. Ce cas a lieu si et seniement si $A[f]$ est différent de zéro sur un polynome au moins. Dans le cas $3^{\circ}$ , le degré d’exactitude est infini et alors $A[f]$ est nul sur tout polynome.

Pour qu’une fonetionaelle linéaire $A[f]$ soit nuile sur tout polynome de degré $n$ , il faut et il suffit que son degré d’exactitude soit égal à $n$ au moins (on suppose tonjours que $n<\infty$ ). Un polynome de degré $n$ est de la forme $\alpha_{0}x^{n}+\alpha_{1}x^{n-1}-\mid\ldots+\alpha_{n}$ , les coefficients $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ étant: des nombres réelles quelconques. Si le plus haut coefficient $\alpha_{0}$ est $\neq 0$ , le polynome est dit de đegré effectif $n$ .
9. - Nous allons nous occuper, en particulier, des fonctionnelles linéaires $A[f]$ qui sont égales à une combinaison linéaire des valeurs, sur un nombre fini de points, de la fonction $f$ et d’un nombre fini de ses dérivées de divers ordres. Une telle fonetionnelle linéaire est de la forme
(1)

A[f]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{i=0}^{k_{i-1}}a_{i,l}f^{(l)}\left(z_{i}\right)

où, $p,k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ sont des nombres naturels donnés, $z_{i},i=1,2,\ldots,p$ , $p$ points distincts de l’intervalle $I$ et $a_{i,j},j=0,1,\ldots,k_{i}-1,i=1,2,\ldots$ , $p$ , des nombres indépendants de la fonction $f$ . Les points $z_{t}$ sont les noeuds et les nombres $a_{i,j}$ sont les coefficients de la fonctionnelle linéaire (1).

Dans l’expression (1) et relativement au noeud $z_{i}$ figurent les valeurs de la fonction et de ses $k_{i}-1$ premières dérivées, donc de ses premières $k_{i}$ dérivées si nous convenons que la fonction elle même soit sa propre dérivée d’ordre 0 , sur ce point. Pour ce motif nous convenons qu’en $z_{i}$ soient confondus $k_{i}$ noeuds. Alors $k_{i}$ est l’ordre de multiplicité du noeud $z_{i}$ (c’est un noeud simple si $k_{i}=1$ , double si $k_{i}=2$ , etc.). Nous pouvons dire aussi que $z_{j}$ est un noeud d’ordre $k_{i}$ de multiplicité. De cette façon le nombre total des noeuds distincts ou non (donc chaque noeud compté avec son ordre de multiplicité) est égal à $m=k_{1}+k_{2}+\ldots+k$ . Le nombre $m$ est $\geqq p$ et est égal à $p$ si et seulement si tous les noeuds sont simples.

Les $m$ noeuds, simples ou non, peuvent être désignés par $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ . Parmi ces points, exactement $k_{i}$ coincident avec $z_{i}$ pour $i=1,2,\ldots,p$ . De cette manière nous avons numéroté une certaine permutation des noeuds. En principe la permutation, donc le numérotage des noeuds, est arbitraire. Ils existent cependant certains numérotages privilégiés, que nous appelerons des numérotages normaux. Dans un numérotage normal, pour tout $i$ , les $k_{i}$ noeuds $x_{j}$ qui coincident avec $z_{i}$ sont numérotés avec $k_{i}$ indices consécutifs. Un numérotage normal est, par ex., $x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+v}==z_{i},v=1,2,\ldots,k_{j},i=1,2,\ldots,p\left(k_{0}=0\right)$ . En particulier, si la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ est monotone (non-décroissante ou non-croissante), le numérotage est normal.
3. - La fonctionnelle (identiquement) nulle sur $S$ est de la forme (1), où tous les coefficients $a_{i,j}$ sont égaux à 0 . Cette fonctionnelle linéaire a le degré d’exactitude égal à $\infty$

Une fonctionnelle linéaire de la forme (1) ne détermine pas complètement le système des noeuds $z_{1}$ avec leurs ordres de multiplicités respectifs. En effet, nous pouvons ajouter un nombre fini quelconque de noeuds quelconques sans que la fonctionnelle linéaire considérée soit modifiée. Il suffit de démontrer cette propriété pour un seul noeud $x_{0}$ ajouté aux précédents. Alors nous pouvons ajouter à $A[f]$ , sans modifier ses valeurs, le terme $0.f\left(x_{0}\right)$ si $x_{0}$ ne coincide avec auctur de noeuds $z_{i}$ et le terme 0. $f^{\left(k_{i}\right)}\left(z_{i}\right)$ si $x_{0}=z_{i}$ .

Considérons alors une fonctionnelle linéaire (1) qui n’a pas tous ses coefficients nuls. Nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, que
(2)

a_{i},k_{i-1}\neq 0,i=1,2,\ldots,p.

Dans ce cas les noeuds sont réduits à leur plus petit nombre puisque, d’une part, si les conditions (2) sont vérifiées nous pouvons supprimer un certain nombre de noetds sans modifier la fonctionnelle $A[f]$ , et,
d’autre part, on ne peut pas faire de telles suppressions de noeuds si les conditions (2) ne sont pas toutes vérifiées. Il est facile de voir comment on peut obtenir le nombre minimum des noeuds.

Considérons le polynome de degré $m$
(3)

l(x)=\prod_{v=1}^{m}\left(x-x_{v}\right).

Alors*)

\begin{gathered}A\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]=a_{i,k_{i}-1}\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]_{x-x_{i}}^{\left(k_{i}-1\right)}=a_{i,k_{i}-1}\left(k_{i}-1\right)!\prod_{v=1}^{p}\left(z_{i}-z_{v}\right)^{k_{v}}\\ i=1,2,\ldots,p\end{gathered}

qui, d’après l’hypothèse (2) sont tous différents de zéro. Nous avons donc le
Lemme 1. - La fonctionnelle linéaire (1), où les coefficients $a_{i,j}$ ne sont pas tous nuls, a un degré d’exactitude (fini et) au plus égal à $m-2$ .

Il en résulte que si la fonctionnelle linéaire (1) a un degré d’exactitude plus grand que $m-2$ elle est nulle identiquement.
4. - Si la fonctionnelle linéaire (1) a un degré d’exactitude égal à $m-2$ , elle se réduit, en dehors d’un facteur non nul et indépendant de la fonction $f$ , à la différence divisée d’ordre $m-1$ sur les $m$ noeuds $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ de la fonction $f$ . Cette différence divisée sera désignée par
(4)

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]

out par

La différence divisée est une fonctionnelle linéaire de la forme (1) déterminée complètement par les conditions de s’annuler sur tout polynome de degré $m-2$ et de se réduire à 1 sur le polynome $x^{n-1}$ .

Les différences divisées jouissent de diverses propriétés et vérifient des formules bien connues. Nous allons rappeler les principales formules qui seront utilisées plus loin.

La différence divisée est symétrique par rapport aux noeuds sur lesquels elle est définie. Il en résulte que dans la notation (4) le numérotage des noeuds est indifférent.

Nous avons la relation de récurrence
(5)

\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q+1};f\right]=\frac{\left[t_{2},t_{1}+\ldots,t_{Q+1};f\right]-\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]}{t_{Q+1}-t_{1}}

⁰⁰footnotetext: *)

\sum_{v=1}^{p}i,\frac{p}{|i|}

signifieut que dans la somme resp. le produit la valent i de l’indice est exclae.

qui est mue relation entre les différences divisées d’ordre o et les différences divisées dordre $a-1$ . La formule (5) est valable sous la seule conditions que les noeuds $t_{1},t_{0+1}$ , soient distincts, en supposant, bien entendu, que les différences divisées qu’y figurent aient un sens.

Si tous les noends d’une différence divisée d’ordre a coincident avec le même point $l$ , cette différence divisée est egale à $\frac{1}{\rho^{!}}f^{(\phi)}(\phi)$ . Nous avons donc la formule
(b)

[\underbrace{t}_{\ell+1}t_{1}\ldots,t;f]=\frac{1}{e!}f^{(p)}(t).

Nous avous aussi la formule do décomposilion
(7) $\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]=\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};\frac{f(x)}{\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)}\right]+$

-\left[i_{1},i_{2},\ldots,i_{0^{\prime}};\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)\ldots\left(x-i_{0}\right)}\right]

qui est valable à condition qu’aucun des noeuds $t_{1},t_{2},\ldots,t_{6}$ ne coincident avec l’un des noeuds $i_{1},i_{2},\ldots,i_{Q^{\prime}}$ .

Nous avons aussi la formule de raduction
(8)

\begin{gathered}{\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f(x)\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)\right]=}\\ =\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{0};f\right]\end{gathered}

Les formules précédentes permettent de trouver les coefficients $c_{i,j}$ de la différence divisée (1),

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=0}^{i_{t}-1}c_{i,j}f^{(h)}\left(z_{i}\right)

(9)

Si nous posons

h_{i}(x)=\frac{u(x)}{\left(x-z_{i}\right)^{k_{i}}}=\frac{l_{i}}{\mid v=1}\left(x-z_{v}\right)^{k_{v}},i=1,2,\ldots,p

où $l(x)$ est le polynome (3), on appliquant convenablement et plusieurs fois s’il est nécessaire, les formules (6), (7), 11011 en déduisons

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\left[\underline{z}_{i,}z_{i},\ldots,z_{i};\frac{l}{h_{i}}\right]=}\\ =\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{(h-1)!}-\left[\frac{f(x)}{h_{i}(x)}\right]_{x-z_{i}}^{(h,-1)}\end{gathered}

Nons avons done

\begin{gathered}c_{i,j}=\frac{1}{\left(h_{i}-1\right)!}\cdot\left(k_{i}-1\right)\left[\frac{1}{l_{i}(n)}\right]_{z=s_{l}}^{\left(k_{i}-1-j\right)}\\ j=0,1,\ldots,h_{i}-1,i=1,2,\ldots,p.\end{gathered}

Nots avons, en particulier.

c_{t_{t},k-1}=\frac{1}{\left(h_{t}-1\right)1}\cdot\frac{1}{\frac{p}{|i|}\left(z-z_{v}\right)^{h_{v}}},\quad i=1,2,\ldots,p

On voit que, dans le cas de la différence divisée (4), les conditions (2) sont vérifiées. Il en résulte que dans le cas de la différence divisée, la notation (4) met en évidence précisément le système de noends au nombre minimum.
5. - Désignons par $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ , le polynome de LagrangeTermite relatif à la fonction $f$ et sur les noeuds $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ . C’est le polynome (unique) $L(x)$ de degré $m-1$ qui vérifie les egalités

L^{(j)}\left(z_{i}\right)=f^{(j)}\left(z_{i}\right),\quad j=0,1,\ldots k_{i}\ldots 1,i=1,2,\ldots,p.

(10)

Nous avons*)
(11)

=\sum_{v=0}^{m-1}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{v}\right)\cdot\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right].

De (10) il resulte que
(12)

A[f]=A\left[L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\mid x\right)\right]

ct, compte tenaut de 1a formule (11),

A[f]=\sum_{v=0}^{m-1}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v-1-1};f\right]

(13)

où

\text{ (14) }\quad a_{v}=A\left[\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right),\ldots\left(x-x_{v}\right)\right],\quad v=0,1,\ldots,m-1.

Si la fonctionnelle jinéare considérée a un degré d’exactitude an moins égal à $n$ ( $0\leq n\leq m-2$ ) rous avons $a_{v}=0,v=0,1,\ldots,n$ et réciproquement. Si elle a un degré d’exactitude égal à $n(-1\leqq n\leqq m-2)$ nous avons, de plus, $a_{n-1}=A\left[x^{\prime\prime+1}\right]\neq 0$ et réciproquentent. Cette propriété peut être énoncée sous la forme du

Le m m e 2. - Pour que la fonchonnelle linéave (1) ait le degré d’cractitude au moins egal à $n$ , il fawt et il suffit que dans son expression sous la forme (13) Zon ait $a_{0}=a_{1}=\ldots=a_{n}=0$ . Pour que le degré d’exac-

⁰⁰footnotetext: 4. Si

v=0

, le produit

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots(x-1v)

est reuplace par 1. De tellen conwentions s’appliquent anssi plus doins a lans fles formules analogues

titude soit égal exactement à $n$ il est nécessaire et suffisante que, de plus, l’on ait $a_{n+1}\neq 0$ .
6. - Le résultat précédent est vrai pour un numérotage quelconque des noeuds.

Supposons maintenant que la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ (donc le numérotage respectif) des noeuds jousse de la propriété que si $i,j$ sont denx quelconques des indices $1,2,\ldots,m$ ,

j-i\geqq n+2\Rightarrow x_{i}\neq x_{j}.

(15)

En appliquant la formule (6) aux différences divisées $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{4};f\right]$ , $v=n+2,n+3,\ldots,m-1$ (si $m\geq n-3$ ), lorsqu’il est nécessaire, même plusieurs fois (si $m>n-3$ ), nous déduisons la formule ( $m\geq n+3$ ),

	$\displaystyle A[f]=\sum_{v=0}^{m}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right]+$		(16)
	$\displaystyle\quad+\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]$

où les coefficients $a_{y}$ , donnés par (14), et les coefficients $\mu_{i},i=1,2,\ldots m-n-1$ sont indépendants de la fonction $f$ .

Nous pouvons énoncer alors le
Lemme 3. - Pour que la fonctionnelle linéaire (1) ait le degré d’exactilade au moins égal à $n\geq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ (done pour qu’elle soit nulle sur tont polytome de degré $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ ) $il$ faul et il suffil quelle soil de la forme

A[f]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]

(17)

oì les $\mu_{i},i=1,2,\ldots,m-n-1$ sond des coofficients indépendants de la fonclion $f$ .

Pour que, sous les mêmes conditions, le degré d’exachilude soit égal à $n$ , il est, de plus, nécessaive et suffisante que l’on ait $\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\neq 0$ .

La condition est nécessaire. En effet, d’une part, sous les hypothèses du lemme, nous pouvons trouver un numérotage des noeuds tel que les conditions (15) soient vérifiées. Un tel numérotage est, par ex., tout numérotage normal*). D’autre part, alors de la formule (16) il résulte la formule (17).

⁰⁰footnotetext: *). Ils peuvent exister des numérotages, différents d’un numérotage normal, pour lesquels les conditions (15) soient verifiees. Si, par ex., nous avons

p=3,k_{1}=3,h_{2}=h_{3}=2

(donc

m=7

n=3

, les permutations (

P

z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{1},z_{3},z_{3},\left(P^{\prime}\right):z_{1},z_{2},z_{1},z_{1},z_{2},z_{3},z_{3}

donnent des numérotage qui védfient les conditions (15). Ces deux numérotages difterent en ce qute la formule (17) correspondante à

(P)

conduit aur memes différences divisees que la permato

(P*):z_{1},z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{3},z_{3},qui

correspond à un numerotage nomai, taudis que la formule (17) correspondant à (

P

) conduit à des différences divisées qui né sont pas les memes (datts lent ettsentile). Il en résulte que le numérotage correspondant à la permutation (i) certane façon, védacibbe à un numérotage normal, tandis qu’il n’en est pas an claire.

$I_{1}a$ condition est suffisante. En effet, toute différence divisée d’ordre $n+1$ est de degré d’exactitude $n$ , donc s’annule sur tout polynome de degré $n$ . Il est donc de même pour toute combinaison linéaire de telles différences divisées.

Ia suffisance de la deruière condition du lemme résulte de la formule $A\left[x^{n-1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ .
$\mathrm{I}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$ condition $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ du lemme est essentielle. Si cette condition n’est pas vérifíe il peut ne pas exister une relation de la forme (17). Ceci résulte facilement du fait que si les noetuds d’une fonetionnelle linéaire de la forme (17) sont réduits à leur nombre minimum, parmi ces noeuds il n’existe aucun qui ait un ordre de multiplicité $>n+2$ . D’ailleurs, si $n<\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ , il n’existe aucun numérotage vérifiant la propriété (15).

II.

7.
- •
  
  Nous allons rappeler la notion de fonctionnelle linéaire de la forme simple. Ira fonctionnelle linéaire $A[f]$ , définie sur l’espace $S$ est dite de la forme simple s’il existe un nombre entier $n\geqq-1$ tel que, pour tont $f_{\epsilon}S$ , l’on ait

A[f]=K.\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(18)

où $K$ est un coefficient différent de 0 et indépendant de la fonction $f$ et les $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$ sont $n+2$ points distincts de l’intervalle $I$ , si $n\geqq 0$ même de l’intérieur de l’intervalle $I$ et qui, en général, peuvent dépendre de la fonction $f$ . Le fait que, pour $n\geq 0$ , les points $\xi_{i}$ peuvent être choisis à l’intérieur de l’intervalle $I$ résulte des propriétés de moyenne des différences divisées [6]. Dans ce cas le degré d’exactitude de $A[f]$ est nécessairement égal à $n$ . Il en résulte que si une fonctionnelle linéaire est de la forme simple, elle est de cette forme pour une seule valeur de $n$ . Il existe une importante propriété qui caractérise les fonctionnelles de la forme simple [4] et qui peut être énoncée sous la forme du:

Lemme 4. - Pour que la fonctionnelle linéaire $A[f]$ soit de la forme simple, il faut et il suffit qu’il existe un nombre entier $n\geqq-1$ tel que l’on ait $A[f]\neq 0$ pour tout $f_{\in}S$ , convexe d’ordre $n$ .

La propriété d’être de la forme simple est donc très intimément liée à la notion de fonction convexe d’ordre supérieur.

Une fonction définie sur $I$ est dite convexe d’ordre $n$ si toutes ses différences divisées d’ordre $n+1$ , sur $n+2$ noeuds distincts (appartenant à $I$ ) sont positives. La fonction est dite non-concave d’ordre $n$ (sur $I$ ) si toutes ses différences divisées d’ordré $n+1$ sur des points distincts (ou non) sont non-négatives. Une fonction convexe d’ordre $n$ est une fonction non-concave d’ordre $n$ particulière.

Le nombre $n$ du lemme 4 est celui qui figure dans la formule (18) correspondante. Le coefficient $K$ de cette formule est égal à $A\left[x^{13+1}\right]$ ou
à $A[f]$ où $f$ est un polynome quelconque de degré $n+1$ avec le plus haut coefficient égal à 1 .

Si la fonctionnelle linéaire $A[f]$ est de la forme simple et si la fonction $f$ a une dérivée d’ordre $n+1$ (pour $n\geqq 0$ ) sur l’intérieut de l’intervalle $I$ , nons avons

A[f]=\frac{K}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),

(19)

où $K$ est un coefficient indépendant de la fonction $f$ (d’ailleurs égal à celui qui figure dans la formule (18)) et $\xi$ un point de $I$ , si $n\geq 0$ , même de l’intérieur de $I$ , et qui dépend, en général, de la fonction $f$ .

Nous retrouvons un cas classique bien connu si $A[f]$ est le reste dans la formule de Taylor. La formule (19) est alors la forme classique du reste donnée par Lagrange.
B. - Nous allons rappeler quelques propriétés des fonctions convexes d’ordre supérieur. Tonte fonction convexe d’ordre $n>0$ sur $I$ est continue sur l’intérieur de $I$ et si $n>1$ elle a une dérivée continute d’ordre $n-1$ sur l’intérieur de $I$ . Si la dérivée $f^{(n+1)}(x)$ , d’ordre $n+1$ , existe, la condition $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ est nécessaire et suffisante pour que la fonction soit non-concave d’ordre $n$ sur $I$ . Cette condition est seulement nécessaire et la condition $f^{(n+1)}(x)>0$ sur $I$ est seulement suffisante pour que la fonction $f$ soit convexe d’ordre $n$ sur $I$ . Si $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ et s’il n’existe aucun sons-intervalle non-nul de $I$ sur lequel $f^{(n+1)}(x)$ soit nol, $f$ est convexe d’ordre $n$ sur I. En particulier nous avons le

Lemme 5. - Pour qu’un polynome $f$ de degré effectif $>n$ soil convexe d’ordre $n$ sur $I$ , il faut et il suffit que lon ail $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ .

La condition est suffisante puisque la dérivée d’ordre $n+1$ d’un polynome de degré effectif $>n$ n’est pas identiquement nulle, donc ne peut s’annuler que sur un nombre fini ( $\geq 0$ ) de points. Cette dérivée ne peut donc s’annuler identiquement sur aucun sous-intervalle de longueur positive. Un polynome de degré effectif $n$ est un polynome de degré $n$ qui ne se réduit pas (sur un intervalle de longueur positive) à un polynome de degré $n-1$ .

La convexité d’ordre -1 est équivalente à la positivité et la nonconcavité d’ordre - 1 à la non-négativité de la fonction. La convexité d’ordre 0 est équivalente à la croissance et la non-concavité d’ordre 0 à la non-décroissance de la fonction.
9. - Une fonction convexe d’ordre $n$ jouit de la propriété que toute différence divisée d’ordre $n-1$ de cette fonction sur $n-1-2$ noeuds qui ne sont pas tous confondus, est positive, à condition, bien entendu, que cette différence divisée existe*)

Considérons une fonctionnelle linéare de la forme (17). Compte tenant du lemme 4, il résulte que si tous les coefficients $\mu_{i},i=1,2,\ldots$ , $m-n-1$ sont $\geq 0$ , ou bien tous sont $\leq 0$ et s’il existe au moins un

⁰⁰footnotetext: *)

\mathrm{J}_{4}

existence an sem du nr ₁, donc an sens que la Fonction adnette effectivement less dérivées qui marvientent. dans l’expression (1) de la différence divisée congidéré.

coefficient $\mu_{i}$ différent de zéro pour lequel les noeuds $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ de la différence divisée correspondante ne sont pas tous confondus,alors la fonctionnelle linéaire (17) est du degré d’exactitude $n$ et est de la forme simple.

La condition que les coefficients $\mu_{i}$ soient du même signe n’est pas, en général, nécessaire pour que la fonctionnelle linéaire (17) ait lé degré d’exactitude $n$ et soit de la forme simple.

Supposons maintenant que $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ et que les ordres de multiplicité des noeuds distincts soient $\leqq n$ -t 2 . D’après certains résultates obtenus déjà [5], il résulte que si $n=-1,0$ ou 1 , la condition que tous Ies coefficients $\mu_{i}$ de la fonctionnelle linéaire soient du même signe et qu’il existe au moins un $i$ pour lequel $\mu_{i}\neq 0$ et les noeuds $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ ne soient pas tous confondus, est nécessaive et suffisante pour que la fonctionnelle linéaire considérée soit du degré d’exactitude $n$ et de la forme simple. Bien, entendu, pour $n=-1$ , la dernière condition, donc que les $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ ne soient pas confondus, ne se pose pas. Nous allons reprendre ici la démonstration que nous avons, d’ailleurs, donné, avec certaines modifications non essentielles, dans notre travail cité [ $\tilde{b}$ ].

D’après ce qui précède, il suffit de montrer que si la fonctionnelle linéaire (17) est du degré d’exacitude $n$ (pour $n=-1,0$ ou 1 ) et est de la forme simple, aucun des coefficients $\mu_{i}$ ne peut être différent de zéro et de signe contraire avec le nombre $A\left[x^{n+1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ (qui est nécessairement $\neq 0$ ). En supposant $\sum_{i=1}^{m-i}\mu_{i}\neq 0$ , la propriété est donc équivalente au fait que les inégalités $\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i=1,2,\ldots,n-n-1$ sont vérifiées. Pour la démonstration nous tenons compte du fait que si $f$ est une fonction non-concave d’ordre $n$ , il faut que $A[f]$ ne change pas de signe (qu’il soit constamment $\geq 0$ ou constamment $\leqq 0$ ). Plus exactement que, sous 1’hypothèse $\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\neq 0$ , 1’on ait $\left(\sum_{\nu=1}^{m-1}\mu_{\nu}\right)A[f]\geq 0$ , pour toute fonction $f$ non-concave d’ordre $n$ .
10. – Pour la démonstration nous alions distinguer trois cas, stivant les valeurs $-1,0,1$ de $n$ .

Cas 1. $n=-1$ . Nous pouvons supposer $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ et la fonctionnelle linéaire (17) se réduite à $A[f]=\sum_{i=1}^{nt}\mu_{t}f\left(x_{i}\right)$ . Si $0<\varepsilon<<\min_{1=1,2,\ldots,m-1}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$ , la fonction continue

f_{i}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\left(\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|+\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|-2\left|x-x_{i}\right|\right)

est mon-négative, se réduit à 1 sur $x_{1}$ et à 0 sur les autres noeuds. Nous avons done $A\left[f_{i}\right]=\mu_{i},i=1,2,\ldots,m$ . Il en resulte que $\left(\sum_{v=1}^{m}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i==1,2,\ldots,m$ , ce qui démontre la propriété.

Cas 2. $n=0$ . Nous pouvons stpposer, sans restreindre la généralité, que tous les mouds soient doubles. Supposons donc que $m$ soit pair et $x_{2i-1}=x_{2t},i=1,2,\ldots,\frac{1}{2},x_{1}<x_{9}<\ldots<x_{ij-1}$ . La fonctionnelle lineaire (17) se réduit à $A[f]=\sum_{f=1}^{n-1}\mu_{f}\left[x_{i},x_{i+1};f\right]$ . Ire cas on quelques wins on tous les noeuds sont simples est compris dans le précédent comme un cas particulier. Si, par ex., an liew du noeud double $x_{2i-1}=x_{2i}$ , nous avons un noend simple qui coincide avec ce point, il suffit de prendre $\mu_{2-1}=0$ dans a formule précédente. Alors la dérivée de la fonction $f$ sur ce point disparait dans l’expression de $A[f]$ .

Il faut maintenant distinguer denx cas, suivant la parité de l’indice $i$ du coefficient $\mu_{1}$ .
$1^{\circ}$ . Soit $i$ pair. Alors les noends $x_{i},x_{i+1}$ sont distincts $\left(x_{i}<x_{i+1}\right)$ et la fonction continue

f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}+\left|3x-2x_{i}-x_{i+1}\right|-\left|3x-x_{i}-2x_{i+1}\right|\right)

i=2,4,\ldots,m-2

est non-décroissante et nous donne $A\left[f_{l}\right]=\mu_{l}$ . Nous avons done

	$\displaystyle\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geqq 0$		(20)
	$\displaystyle\text{ pour }i=2,4,\ldots,m-2.$

$2^{\circ}$ . Soit $i$ impair. Alors $x_{i-1}<x_{i}=x_{i+1}<x_{i+2}$ Si $0<\varepsilon<<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+2}-x_{i+1}\right)$ , la fonction continue

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(2\varepsilon+\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right)\\ i=1,3,\ldots,m-1\end{gathered}

est non-décroissante et nous avons $A\left[f_{i}\right]=\varepsilon\left(\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+2}-x_{i+1}}\right)+\mu_{i}$ . Si $\mu_{i}\neq 0$ , pour $\varepsilon$ suffisamment petit, $A\left[f_{i}\right]$ est aussi $\neq 0$ et du même signe avec $\mu_{i}$ . On en déduit que l’inégalité (20) est vraie aussi pour $i=1$ . $3,\ldots,m-1$ .

L’inégalité (20) est donc vraie pour $i=1,2,\ldots,m-1$ et la propriété est démontrée.

Cas 3. $n=1$ . Nons potvons supposer, sans restreindre la généralité, que tous les noeuds soient triples. Soit donc $m$ un multiple de 3 et soient $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i},i=1,2,\ldots,\frac{m}{3},x_{1}<x_{4}<x_{7}<\ldots<x_{m-2}$ . La fonctionnelle linéaire (17) se réduit à $A[f]=\sum_{i=1}^{m-2}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},x_{i+2};f\right]$ . I.e cas où quelques uns ou tous les noeuds sont doubles ou simples est compris dans le précédent comme un cas particulier. Si par ex., au lieu du noeud triple $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i}$ nous avons un noeud double coincidant avec ce point, il suffit de prendre $\mu_{3i-2}=0$ dans la formule précédente. Alors la
dérivée seconde de la fonction $f$ sur ce point disparait dans l’expression de $A\lceil f$ . Si au lieu d’un noend double, nous avons un noeud simple en ce point, il suffit de prendre $\mu_{3i-2}=0$ et $\mu_{3i-1},\mu_{3i-3}$ de manière que 1 on ait $\left(x_{3i+1}-x_{3}\right)\mu_{3i-3}=\left(x_{3i-2}-x_{3i-3}\right)\mu_{3i-1}$ , pour que dans l’expression de $A[f]$ disparesse anssi la première dérivée de $f$ sur ce point.

Nous allons ici encore distinguer deux cas, suivant les valeurs de l’indice $i$ de $\mu_{i}$ par rapport au diviseur 3.
$1^{\circ}$ . Considérons le pair de cocfficients $\mu_{i},\mu_{i+1}$ où $i+1$ est un multiple de 3. Nons avons $x_{i+1}<x_{i+2}$ et la fonction continute

\begin{gathered}f_{i}(x)=\left(x_{i+2}-x_{i+1}\right)\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\\ i=2,5,8,\ldots,m-4\end{gathered}

où $x_{i+1}<\lambda<x_{i+2}$ est non-concave d’ordre 1 et nous avons

A\left[f_{i}\right]=\frac{\mu_{i}\left(x_{i+2}-\lambda\right)+\mu_{i+1}\left(\lambda-x_{i+1}\right)}{x_{i+2}-x_{i+1}}

On voit que si $\mu_{i}\neq 0$ et $\lambda$ est sulfisamment proche de $x_{i+1},A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et a le mêne signe que $\mu_{1}$ et si $\mu_{i+1}\neq 0$ et $\lambda$ est suffisamment proché de $x_{i+2},A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et a le même signe que $\mu_{i+1}$ . Il en résulte que

\left(\sum_{v=1}^{m-2}\mu_{v}\right)\mu_{v}\geqq 0

(21)

pour $i=2,3,5,6,8,9,\ldots,m-4,m-3$ .
$2^{\circ}$ . Supposons maintenant que $i$ soit congru à 1 modulo 3. Alors $x_{i}==x_{i+1}=x_{i+2}$ . Si $0<\varepsilon<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+3}-x_{i+2}\right)$ , la fonction continue

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left[4\varepsilon\left(x-x_{i}\right)+\left(x-x_{i}+\varepsilon\right)\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\right.\\ \left.-\left(x-x_{i}-\varepsilon\right)\cdot\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right]\\ i=1,1,7,\ldots,m-2\end{gathered}

est non concave d’ordre 1 et nous avons

A\left[f_{i}\right]=\varepsilon^{2}\left[\frac{\mu_{i-2}-\mu_{i-1}}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}}+\frac{\mu_{i+2}-\mu_{i+1}}{\left(x_{i+3}-x_{i+2}\right)^{2}}\right]+2\varepsilon\left[\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i+2}}\right]+\mu_{i}.

Si $\mu_{i}\neq 0$ , pour suffisamment petit, $A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et est de même signe avec $\mu_{i}$ . Il en résulte que l’inégalité (21.) est vraie aussi pour $i=1,4,7$ , $\ldots,m-2$ . I’inégalité (21) est donc vraie pour $i=1,2,\ldots,m-2$ et la propriété est démontrée.
11. - La propriété mise en évidence pour $n=-1,0$ et 1 n’est plus vraie pour $n>1$ . Pour dénoutrer cette propriété il suffit de montrer que si $n>1,x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+4}$ et si $\mu^{\prime},\mu^{\prime\prime}$ sont deux nombres positifs suffisamment grands ( $\mu^{\prime}+\mu^{\prime\prime}>1$ ), la fonctionnelle linéaire
(22) $\mu^{\prime}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]+\mu^{\prime\prime}\left[x_{3},x_{1},\ldots,x_{n+4};f\right]$
est (de degré d’exactitude $n$ et) de la forme simple. En effet, introduisons entre les noends $x_{i}$ encore $n+3$ noends, en formant ainsi la suite de noeuds $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{2n+7},x_{2i-1}=x_{i},i=1,2,\ldots,n+4$ . Des formules de moyenne des différences divisées [3] il résulte que

		$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}\left[x_{i},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1};f\right]}$
		$\displaystyle{\left[x_{2},x_{2},\ldots,x_{n+3};f\right]=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]}$

\left[x_{3},x_{4},\ldots,x_{n+4};f\right]=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

où $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ sont des coefficients positifs, indépendants de la fonction $f$ (et $\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}=1$ ). La fonctionnelle linéaire (22) peut donc s’écrire sous la forme

\sum_{i=1}^{n+6}\left(\mu^{\prime}\alpha_{i}+\mu^{\prime\prime}\gamma_{i}-\beta_{i}\right)\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

ou $\alpha_{n+3}=\alpha_{n+4}=\alpha_{n+5}=\alpha_{n+6}=\beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{n+5}=\beta_{n+6}=\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}==\gamma_{4}=0$ . La propriété résulte du fait qu’il n’existe aucun indice $i$ pour lequel les coefficients $\alpha_{i},\gamma_{i}$ soient nuls à la fois (on voit facilement que ceci n’est plus vrai pour $n=0$ où $=1$ ).

Enfin rappelons que pour qu’une fonctionnelle linéaire de la forme (1) ait un degré d’exactitude $n$ et pour qu’elle soit de la forme simple, il faut que les ordres de multiplicité $k_{1},k_{2},\ldots,k_{0}$ des noeuds, supposés réduits à leur nombre minimum, soient tous $\leqq n+2[5]$ .

III.

12.
- •
  
  Nous allons nous occuper du reste de certaines formules drapproximation pour la fonctionnelle linéaire $A[f]$ . Ces formules peuvent être considérées conme des généralisations de la formule d’interpolation de Lagrange, qui a comme cas particulier la formule de Taylor.

Soit $A[f]$ une fonctionnelle linéaire définie sur l’espace $S$ (voir ur. 1). Nous considérons une suite finie ou infinie de points
(23)

y_{0},y_{1},\ldots

distincts on non. Nous considérons une section
(24)

y_{0},y_{1},\ldots,y_{s}

de cette suite et le polynome de Lagrange-Hermite $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ sur ces points et relativement à la fonction $f$ . Pour tout $x\in I$ ce polynome est une fonctionnelle linéaire de la forme (1). Plus exactement, ce polynome pent être mis sous la forme (1), où les $a_{i,j}$ sont des polynomes indépendants de la fonction $f$ , le nombre total des noeuds, distincts ou non, étant égal à $s+1^{*}$ ).

Nous avons alors la formule d’approximation

A[f]=A\left[L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)\right]+R_{s}[f]

(25)

où $R_{s}[f]$ est le reste de cette formule.
La formule (11) nous donne
*) Il existe des valeurs de $x$ (en nombre fini), pour lesquels le nowbre minimum des noeuds est plus petit que $s+1$ .
où

	$\displaystyle A[f]$	$\displaystyle=\sum_{v=0}^{s}c_{v}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]$		(26)
	$\displaystyle c_{v}$	$\displaystyle=A\left[\prod_{i=0}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right],v=0,1,\ldots,s$		(27)

La formule (25) est completement caractérisée par le fait qu’elle est de la forme (26), avec un reste $R_{s}[f]$ fonctionnelle linéaire de degré d’exactitude au moins égal à s. En effet, pour tout polynome $f$ de degré $s$ , le polynome $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ se réduit à $f$ , donc $R_{s}[f]$ est nul. Alors les coefficients $c_{v}$ , donnés par la formule (26) sont bien déterminés et, pour $v$ donné, $c_{v}$ est indépendant de $s$ .

Nous supposons, bien entendu, que les conditions d’existence, données au ur. 1, soient vérifiées pour la fonctionnelle linéaire $R_{s}[f]$ . Ainsi, les points (24), ou bien les points (23) sils interviennent tous, appartiennent à l’intervalle $I$ . Les différences divisées $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right],v=0$ , $1,\ldots,s$ , existent au sens expliqué au nr. 4, etc.

Il est clair que si le reste $R_{s}[f]$ est définie, tous les restes précédents $R_{0}[f],R_{1}[f],\ldots,R_{s-1}[f]$ sont également des fonctionnelles linéaires définies sur $S$ .

Dans ce qui suit nous allons étudier quelques cas où le reste $R_{s}[f]$ de la formule d’approximation (25) est de la forme simple.
13. - Considérons une fonctionnelle linéaire $A[f]$ de la forme (1). Sauf avis contraire, nous nous occuperons exclusivement de fonctionnelles linéaires de cette forme. Le reste $R_{s}[f]$ de la formule (25) est alors de la même forme. Les ordres de multiplicité des noeuds peuvent être pris tous $\leqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p},s+1\right)$ , donc si $s+2\Longrightarrow\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ on peut appliquer le lemme 3 et la fonctionnelle linéaire $R_{s}[f]$ est une combinaison linéaire de différences divisées d’ordre $s+1$ . Pour mettre $R_{s}[f]$ effectivement sous a forme (17), il suffit d’abord de réaliser un numétotage convenable des noeuds de manière que la condition (15) correspondante soit vérifiée.

Pour aller plus loin nous allons distingter les cas où la suite (24) et la suite des noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ de la fonctionnelle linéaire $A[f]$ ont on nondes termes commons. Dans a suite nous examinerons senlement les cas où la coincidence a lietu aup plus avec un seuldes nocuds $z_{i}$ . Soit $z_{1}$ ce noeud, dont l’ordre de multiplicité est $k_{1}$ et supposons que $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ soit un numérotage normal des noeuds de $A[f]$ , où $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{h_{1}}=z_{1}$ . Alors (si $p>1$ ) aucun terme de la suite (24) ne coincide pas avec l’un des points $x_{k_{1}+1},x_{k_{1}+2},\ldots,x_{in}$ .

Soit $k\left(0\leqq k\leqq k_{1}\right)$ le plus petit entre le nombre $k_{1}$ et le nombre des termes de la suite (24) égaux à $z_{1}$ . L’égalité $k=0$ signifie qu’aucun des termes de la suite (24) ne coincide avec un noeud $z_{i}$ . Si $k>0$ , parmi les points (24) il y en a au moins $k$ qui coincident avec $z_{1}$ . Désignons par $s^{r}$ le plus petit indice tel que la suite $y_{0},y_{1},\ldots,y_{s^{\prime}-1}$ (ayant $s^{\prime}$ termes) contient au moins $k$ termes égaux à $z_{1}$ . Nous avons $s^{\prime}\equiv k$ et si $k=0$ nous pouvons prendre $s^{\prime}=0$ .

Les noeuds de la fonctionalle linéare $R_{s}[f]$ peuvent être écrits dans 1a suite*) $y_{s},y_{s-1},\ldots,y_{0},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{m}$ . Leur nombre est égal à $s+1+m-k$ et le numérotage correspondant à cette suite vérific la condition (15) (avec $n=s$ ) si $s\geq s^{\prime}+m-k-1(\geq m-1)$ . Il en résulte que si $m\leqq k$ la fonctionelle linéaire $R_{s}[f]$ est nulle identiquenent**). Mais l’inégalité $m\leq k$ a lieu si et seulement si tous les noeuds $x_{i}$ sont confondus avec le meme point $z_{1}$ et la sutte (24) contient aut moins $m$ termes égaux à $z_{1}$ .

Dans le cas contraire, doic si out bien $p>1$ ou bien $p=1,k<k_{1}$ (dans les deux cas on a $m>k$ ), nous avons la formule

R_{s}[f]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(s)}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]

(28)

où les coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ sont indépendants de la fonction $f$ .
Nous pouvons calculer le coefficient $\mu_{\mu}^{(s)}$ de la manière suivante. Soit $x_{m}=z_{\mu}$ . Alors, compte tenant de la formule (1), le coefficient de $f^{\left(k_{\mu}-1\right)}\left(z_{\mu}\right)$ dans le premier membre de (28) est égal à $a_{\mu,k_{\mu}-1}$ et le même coefficient dans le second membre est ègal à $\mu_{n}^{(s)}$ multiplié par

\begin{gathered}\frac{1}{\left(k_{\mu}-1\right)!}\cdot\frac{1}{P^{\prime}\left(z_{\mu}\right)\prod_{v=k+1}^{m-k_{\mu}}\left(z_{\mu}-x_{v}\right)}\text{, si }p>1(\text{ alors }\mu\neq 1)\\ \frac{1}{\left(k_{1}-1\right)!}\cdot\frac{k!}{P^{(k)\left(z_{1}\right)}},\text{ si }p=1,k<k_{1},\end{gathered}

out $P(x)=\prod_{v=0}^{3+1+k-m}\left(x-y_{v}\right)$ .
Il en résulte que

\mu_{n}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{l}\left(k_{\mu}-1\right)!P\left(z_{\mu}\right)_{v=k+1}^{m-k}\prod_{\mu}\left(z_{\mu}-x_{\nu}\right)a_{\mu,k_{\mu}-1}\text{ si }p>1.\\ \frac{\left(h_{1}-1\right)!}{k!}P^{(k)}\left(z_{1}\right)a_{1,k_{1}-1}\text{ si }p=1,k<k_{1}.\end{array}\right.

En supposani donc que la condition (2) soit verifiée, nous avons $\mu_{n}^{(s)}\neq 0$ .
Il en résulte que si les hypothèses précédentes sont vérifiées et si les coefficients $\mu_{i}^{(s)},i=k+1,k+2,\ldots,m$ sont tous du meme signe, le reste $R_{s}[f]$ est de degré d’exactitude s et est de la forme simple. Le coefficient $K$ de la formule (18) correspondante est égal à $R_{s}\left[x^{s+1}\right]=A\left[\prod_{v=0}^{s}\left(x-y_{v}\right)\right]$ .

⁰⁰footnotetext: *) Ce ne sont pas tuéccesairement les noeuds réduits à leur monubre minimum.
*) Ira propriété pent ne pas subsister si

s<s^{\prime}+m-k-1

Dans la suite nous supposerous toujours, sauf avis contraire, que pour la fonctionnelle lineare $A[f]$ la condition (2) soit vérifiée.
14. - On obtient un interessant cas particulier en prenant pour $A[f]$ la différence divisée (4). Pour énoncer la propriété respective, nous allons poser $a^{\prime}=\min\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right),b^{\prime}=\max\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right)$ . Donc $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]\subseteq I$ est le plus petit intervalle fermé qui contient les noends de la fonctionnelle $A[f]$ . Nous avons alors le

THSORHME 1. - Si soms les hypothèses et les notations prédédentes: $1^{\circ}$ les points (24) sond on bien lows $\leq a^{\prime}$ , ou bien lows $\geq b^{\prime},2^{\circ}$ . nows avons $p>1$ ou bten $p=1$ of $k<k_{1},3^{\circ}$ . s $=k,s\geq m-1$ , le reste $R_{s}[f]$ de la formule d’approximation
(29)

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=}\\ =\sum_{y=1}^{s}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};\prod_{i=1}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right]\cdot\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]\end{gathered}

a le degré d’exactilude s ob ost de la forme simple.
Pour la démonstration il suffira de verifier que les coefficients $\left[t_{i}^{(*)}\right.$ de la formule (28) correspondante sont tous du méme signe. Nous allons calculer ces coefficients.

Nons allons calculer, en général, les coefficients $\mu_{4}^{(s)}$ de la formule (28) pour $A[f]$ de la forme (1), en supposant que les conditions $2^{\circ}$ et $3^{\circ}$ du théorème 1 soient vérifićes. Pour faire le calcul remarquons que nous avons*)

A\left[/(x)\left(x-z_{1}\right)^{k}\right]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(5)}\left[x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};\frac{f(x)}{s+1+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]

(30)

Si $k<k_{1}$ cette formule résulte, en appliquant les formules (7), (8), par l’identification des parties des expressions de $R_{5}[f]$ tirées de (26) et de (28) et qui contiennent seulement les termes correspondants aux noeuds ${z_{i}}$ . Si $h=k_{j}$ la formule résulte de la même manière, en identifiant les termes qui proviennent des noends $z_{z},z_{a},\ldots,z_{p}$ .

Frenons naintenant comme fonction $f$ le polynome
$\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ , où $\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ pour $i=\ldots+k$ et $\prod_{v=k}^{s+k-m}\left(x-y_{r}\right)$ pours $=m-1$ sont remplacés par 1. Alors le second membre de (30) se réduit à $\mu_{i}^{[s]}$ et nous obtenons

	$\displaystyle k^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)A\left[\prod_{v=1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]$		(31)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

*) Si $h=0,A\left[f(x)\left(x-z_{1}\right)^{h}\right]$ se reduit à $d[f]$ .

En revenant au théorème 1, nous avons dans ce cas $A[f]==\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ et en tenant compte de la formule (8),

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\cdot\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{m};\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right],$		(32)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

Mais le polynome $\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)$ a une dérivée d’ordre $m--i$ négative sur l’intervalle $\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)$ si les points (24) sont à droite de $b^{\prime}$ et $s-n+1$ est impair. Dans les autres cas, compatibles avec les hypothèses du thèorème 1 , cette dérivée est positive sur ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ). Il en résulte que les coefficients $\mu^{(s)}$ sont positifs si les points (24) sont ou bien à gauche de $a^{\prime}$ ou bien à droite de $b^{\prime}$ et $s-m+1$ est impair et ils sont négatifs si les points ( 24 ) sont à droite de $b^{\prime}$ et $s-m+1$ est pair. On a supposé $a^{\prime}<b^{\prime}$ . Lorsqué $a^{\prime}=b^{\prime}$ nous sommes dans le cas $p=1,k<k_{1}$ et on voit facilement que la propriété est encore vraie.

Le theoreme 1 est donc démontré.
Dans le cas du théorème 1, dans les formules (27) nous avons $c_{0}=c_{1}==\ldots=c_{m-2}=0$ , done si $s<m-1$ , on a $R_{s}[f]=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ .

Le théorème 1 généralise certaines propriétés de H . D. Kloostermann [1]. On obtiennent ces propriétés pour

		$\displaystyle x_{i}=x+(i-1)h,i=1,2,\ldots,m(h\neq 0),y_{i}=x,i=0,1,\ldots,s$
		$\displaystyle x_{i}=x,i=1,2,\ldots,m,y_{i}=x+ih,i=0,1,\ldots,s(h\neq 0)$

respectivement et si, de plus, nous supposons que la fonction $f$ admete une dérivée continue d’ordre $s+1$ à l’intérieur du plus petit intervalle contenant les points $x_{i},y_{i}$ .
15. - Reprenons la formule (28) et tenons compte des conditions sous lesquelles cette formule a été établie. Nous pouvons alors trouver une relation simple entre les coefficients $\mu_{i}^{(s)},\mu_{i}^{(s+1)}$ . Nous avons

\begin{gathered}R_{s}[f]-c_{s+1}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1};f\right]=R_{s+1}[f]=\\ =\prod_{i=k+1}^{m}\frac{\mu_{i}^{(s+1)}}{x_{i}-y_{s+2+k-i}}\left\{\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]-\right.\\ \left.-\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+2+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i-1};f\right]\right\}\end{gathered}

où la seconde différence divisée se réduit à $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+t};f\right]$ pour $i=k+1$ . La formule a un sens, puisque sous les hypothèses signalées, $x_{i}\neq y_{s+2+k-i},i=k+1,k+2,\ldots,m$ .

En comparant avec la formule (28), nous déduisons,

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{s+2+k-i}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\cdots+\mu_{m}^{(s)}\right)$		(33)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

Ces formules permettent d’énoncer le

THÉOREME 2. - Sous les hypothèses sous lesquelles on a établi la formule (28) el si: $1^{\circ}$ lons les points (24) sont $\leqq a^{\prime}$ ow bien tous sont $\geq b^{\prime}2^{\circ}$ il existe une valew $s_{0}$ de s pow laquelle tous les coefficients $\mu_{-}^{(s)}$ sont du mène signe.
le reste $R_{s}[f]$ de la formule d’approximation (25) est du degré d’exactitude $s$ et est de la forme simple pour $s\geq s_{0}$ .

En effet, sous les conditions du théorène, on voit que si les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ sont tous du même signe, les coefficients $\mu_{i}^{(s+1)}$ sont également tous du mème signe.
16. - On peut se demander s’ils existent toujours, pour une fonctionnelle linéaire $A[f]$ , de la forme (1) par ex., des valeurs de $s$ pour lesquelles le reste $R_{s}[f]$ soit de la forme simple, on bien si ce reste soit de la forme simple pour un s assez grand? Nous donnerons un exemple pour montrer que la réponse est négative.

Soit $A[f]=f(0)+f^{\prime}(0)$ et prenons les points $y_{v}=(v+1)(v+2)$ , $v=0,1,\ldots$ Dans ce cas nous avons ( $s\geq 0$ ),

\begin{gathered}R_{s}[f]=(-1)^{s}s!(s+1)!\left\{\left[0,0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s-1};f\right]-\right.\\ \left.-(s+2)\left[0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\right]\right\}\end{gathered}

Compte tenant des résultats antérieurs, $R_{s}[f]$ , qui est du degré d’exactitude $s$ , n’est pas de la forme simple pour aucune valeur de $s\geq 3$ .
17. - L’exemple précédent fait que la propriété suivante présente un certain interêt,

THÉOREME 3. - Sous les hypothèses sous lesquelles a dée dabli la formule (28) et si tous les points (23) sont confondus en un même point n’appartenant pas à lintervalle owver ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ),
le restc $R_{s}[f]$ est du degré d’exactitude s et est de la forme simple pour $s$ suffisamment grand.

Dans ce cas nous avons $k=0$ (si les points (24) sont à l’extérieur de $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]$ ) ou $h=h_{1}$ (si les points (24) coincident tous avec $a^{\prime}$ ou bien tous avec $b^{\prime}$ ). Il suffira de donner la démonstration dans le cas $k=0$ .

Soit donc $k=0$ . Les formules (33) deviennent ( $s\geq m-1$ )

\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{0}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\ldots+\mu_{m}^{(s)}\right),i=1,2,\ldots,n

(31)

Nous allons maintenant choisir les notations de manière que la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n2}$ soit non-décroissante resp. non-croissante suivant que $y_{0}<a^{\prime}$ resp. $y_{0}>b^{\prime}$ . Alors les nombres $x_{i}-y_{0}$ sont différents de zéro, du même signe et la suite $\left|x_{1}-y_{0}\right|,\left|x_{2}-y_{0}\right|\ldots\ldots\left|x_{m}-y_{0}\right|$ , de leurs valeurs absolutes est non-décroissante.

De (34) nous déduisons

\mu_{i}^{(s)}=\sum_{i=i}^{mt}M_{i,j}^{(\xi)}\mu_{j}^{(m-1)},i=1,2,\ldots,m.

(35)

où la matrice triangulaire $\left(M_{i,j}^{(s)}\right)$ est la $(s-n-1)^{\text{ème }}$ puissance de la matrice triangulaire
u) $\left(\begin{array}[]{ccc}x_{1}-y_{0}&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots\end{array}\right.$

Désignons par $W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)$ la fonction symétrique $\sum z_{1}^{a_{1}}z_{2}^{a_{2}}\ldots z_{t^{\prime}}^{a_{r}}$ , la somme étant étendue aux solutions en entiets non-négatifs de l’équation en $\alpha_{i},\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{r}=i\quad\left(W_{0}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=1\right)$ , Nous avons

	$\displaystyle\Delta I_{i,j}^{(o)}-\left(x_{i}-y_{0}\right)W_{s-m}\left(x_{i}-y_{0},x_{i+1}-y_{0},\ldots,x_{j}-y_{0}\right),$		(36)
	$\displaystyle j=i,i+1,\ldots,mi=1,2,\ldots,m.$

18.
- •
  
  Avant d’aller plus loin nous allons établir un lemme qui présente un intérêt, indépendamment de l’application que nons lui donnons ici,

Lemme 6. – Si tes nombres non-néganifs $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}(r>1)$ sond compris dans l’iniervalle $\left[0,z_{r}\right]$ , nons awons l’inégalite

\frac{F_{1}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{r}\right)}{(r-1+i)}\geq\frac{W_{i}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,z_{r-1}\right)}{(r-2+i)}

(37)

l’gählé dani waie si el senlement si ou bien $i=0$ , ou bien $i>0$ dows les wombres $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}$ sone éganex.

La propriété est innádiate pour $i=0$ et pour $i>0$ et $z_{1}=z_{2}==\ldots=r_{r-1}=0$ .

Supposons que $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}$ ne soient pas tous nuls. Alors on a nécessairement $z_{r}>0$ . Nous avous

\begin{gathered}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-1+i}\right]\\ W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1};x^{r-2+i}\right]=\\ =\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left(t-z_{r}\right)\right]\end{gathered}

d’oil
$(r-1+i)\left[\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r}\right)}{\left(r-\frac{1}{1}+i\right)}-\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r-1}\right)}{\left(r-\frac{2}{i}+i\right)}\right]=W_{i}\left(r_{1},\hat{w}_{2},\ldots,r_{r}\right)-$
$-\frac{y-1+i}{y-1}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1-1}\right)-\frac{1}{y-1}\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left((r-1-1)z_{r}\cdots i,1\right)\right]$ .
Mais la derivée $(r-1)^{\text{bine }}$ du polynome $x^{r-2+i}\left[(r-\cdots 1-\mid-i)z_{r}-ix\right]$ est egale $\frac{(v-1-1)!}{(i-1)!}x^{-1}\left(z_{r}-x\right)$ , qui cst positive sur lindervalle $\left(0,z_{r}\right)$ . Il en résulte que le poíynome considéré est convexe d’ordre $\psi-2$ . I’inégalité (37) en résulte immédiatement.

Le cas de l’égalité est facile à étudier.
$\mathrm{J}_{\mathrm{e}}$ e lenume a est donc démontré.
Je nombre ( $r-1+i$ ) est précisément le nombre des termes de la fonction symetrique $\left.W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)^{1}\right)$

Si $0<z_{1}\leqq z_{2}\leqq\ldots\leqq z_{r}$ qui est le cas qui nous interesse tout particuliérement dans la démonstration du théoreme 3, nous powvons déduiré concore une inégalité remarquable. Dans ce cas nots avons
$(v-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)-(v-1-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}-1\right)\geq 0,v-2,3,,,v_{.}$ .
Si nous ajoutons membre à membre ces inégalités, nous déduisons $(r>1)$ ,

\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{i}\right)}{\sum_{v=1}^{T}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)}\geq\frac{i-1}{r-1}

(38)

19.
- •
  
  Revenons à la dénonstration du théorème 3. Compte tenant de (36) et de (38), nous déduisons

\frac{M_{i,m}^{(s)}}{\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}}\geq\frac{s-m-1}{m-i}\geq\frac{s-m+1}{m-1},i=1,2,\ldots,m-1

(39)

et de 1a formule (36) nous obtenous

\begin{gathered}\mu_{i}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{c}M_{i,m}^{(s)}\\ \sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}-1,-1,-\frac{\sum_{j=i}^{n-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}}{\sum_{j=1}^{n-1}M_{i,j}^{(s)}}\end{array}\right\}\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}\\ i=1,2,\ldots,mi-1.\end{gathered}

Nous remarquons maintenant que : $1^{\circ}$ les sommes $\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(j)},i=1,2,\ldots$ …. $m$ - 1 sont différentes de zéro et du même signe, $2^{\circ}$ le quotient $\sum_{j=1}^{m-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}/\sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}$ est nne moyenne arithmétique pondérée des nombres $\mu_{i}^{(m-1)},\mu_{i+1}^{(m-1)},\ldots,\mu_{n-1}^{(m-1)}$ . Ces nombres restent compris entre deux nombres fixes, indépendants de $s\left(\right.$ entre ${}_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}$ et $\left.\max_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}\right)$ ,
*) L’inégalité (07) peut aussi s’éctire sons la forme d’une fnégalité entre deux valeurs noyemes.

\sqrt[i]{\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)}{(r-1+i)}}\geq\sqrt[i]{\frac{F_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1}-1\right)}{(r-2+i)}}

$3^{\circ}\mu_{m}^{(m-1)}$ est différent de zéro, sous les hypothèses du théorème 3 (voir nr. 13). De (39) il résulte donc que, pour

s>(m-1)\left(1+\max_{i-1,2\ldots\ldots m-1}\left|\frac{\mu_{i}^{(m-1)}}{\mu_{m}^{(m-1)}}\right|\right),

tous les nombres $\mu^{(s)},i=1,2,\ldots,m$ sont différents de zéro et du même signe (leur signe est celui de $\left[\operatorname{sg}\left(x_{\mathrm{i}}-y_{0}\right)\right]^{s-m}\cdot\operatorname{sg}\mu_{m}^{(m-1)}$ ).

Le théorème 3 est ainsi démontré pour $k=0$ . Pour $k=k_{1}$ (dans ce cas $p>1$ ), la démonstration se fait d’une façon tout à fait anaiogue, en nous basant sur les formules ( 33 ) pour $k=k_{1}$ .

Le théorème 3 est donc démontré.
20. - Pont domer nut exemple prenous la fonctionnelle linéaire

		$\displaystyle A[f]=f(0)-f(0)-0,8\left[f^{\prime}(0)-\mid f^{\prime}(0)\right]$
		$\displaystyle\quad-1,2\left[f^{\prime}(1)-\mid-f^{\prime}(5)\right]-2,2\times f^{\prime}(3)$

qui est le reste de la formule de quadrature de Hardy [2]

\int_{0}^{6}f(x)dx=0,28[f(0)+f(6)]+1,62[f(1)+f(5)]+2,2\times f(3)+R^{*}[f]

appliquée à la fonction $f^{\prime}(x)\left(R^{*}\left[f^{\prime}\right]=A[f]\right)$ .
$A[f]$ est du degré d’exactitude 6 , mais n’est pas de la forme simple [7]. Si nous considérons le développement taylorien

A[f]=\sum_{v=1}^{s}A\left[x^{v}\right]\frac{f^{(v)}(0)}{v\mid}+R_{s}[f]

en vertu du théorème 3 , le reste $R_{s}[f]$ est clu degré d’exactitude s et est de la forme simple pour s assez grand.

Nous avons dans ce cas $p=5,k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{1}=k_{0}=2,m=10$ , $h=s^{\prime}=2,x_{1}=x_{2}=0,x_{3}=x_{4}=1,x_{5}=x_{6}=3,x_{7}=x_{8}=5,x_{9}=x_{10}==6,y_{0}=y_{1}=\ldots=0$ . Nous pouvons appliquer les formules (31) et nous trouvons

\begin{array}[]{ll}\mu_{3}^{(s)}=A\left[x^{s}\right],&\mu_{7}^{(s)}=5A\left[x^{s-4}(x-1)^{2}(x-3)^{2}\right]\\ \mu_{4}^{(s)}=A\left[x^{s)}(x-1)\right],&\mu_{8}^{(s)}=5A\left[x^{s-5}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)\right]\\ \mu_{5}^{(s)}=3A\left[x^{s-2}(x-1)^{2}\right],&\mu_{9}^{(s)}=6A\left[x^{s-6}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}\right]\\ \mu_{6}^{(s)}=3A\left[x^{s-3}(x-1)^{2}(x-3)\right],&\mu_{10}^{(s)}=6A\left[x^{s-7}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}(x-6)\right]\end{array}

A l’aide de ces formules on peut calculer les coefficients $\mu_{i}^{(9)}$ , en faisant $s=9$ , en tenant compte du fait que $A[f]$ a le degré d’exactitude 6 et en calculant les nombres

A\left[x^{7}\right]=64,8\quad A\left[x^{8}\right]=1555,2\quad A\left[x^{9}\right]=19828,8

Pour calculer les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ pour $s>9$ , on applique les formules de réccurence (33) qui deviennent ici

		$\displaystyle\mu_{3}^{(s+1)}=\mu_{3}^{(s)}+\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{4}^{(s+1)}=\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{5}^{(s+1)}=3\left(\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{6}^{(s)}=3\left(\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{7}^{(s+1)}=5\left(\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{8}^{(s+1)}=5\left(\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{9}^{(s+1)}=6\left(\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right),\quad\mu_{10}^{(s+1)}=6\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\quad s=9,0,\ldots$

Il suffit de faire les calculs jusqu’à la valeur 13 de $s$ et nous trouvons les valeurs des coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ comprises dans le tableau

$i\backslash 8$	9	10	11	12	13
3	19828.8	174960	1108792.8	3888777.6	-19594484.2
4	18273.6	155131.2	933832.8	2779984.8	-23483260.8
5	50349.6	4111572.8	2336104.8	5538456	-78789736.8
6	37519.2	259524	1104386.4	-1469858.4	-95405104.8
7	44064	244944	543024	-7971696	-151659216
8	18144	24624	-681696	-10686816	-111800736
9	988.8	-79315.2	-965770.2	-8734003.2	-70439987.2
10	-13608	-81648	-489888	-2939328	-17635988

On voit que le reste est de la forme simple pour $s\geq 13$ .

BIBIIOGRAPHIE:

[1] Kloostermann, H. D. Derivatives and finile differences. Duke Math, Journat, 17, 109-186 (1950).
[3] Popovieiu, T., Introduction à la théorie des différences divisées, Bull. Math, de la Soc. Roumaine des sc., 42, 65-78 (1940).
[4] - Asupra formed restului in ande formule de aprotimare ale analizer. Lacr. Ses. Gen, ştiittifice, Acad. R.P.R., 183-185, 1950.
[5] - Asupra restudui an whele forwale de deriouse numerica. Studii si Cerc. Mat., III, 53-122 (1952).
[6] - Folylonos figguényes hözépérpékléletéröl. Magy. Tud. Akad., II oszt. közlem., IV, 353-356 (1954).
[7] - Sw le reste dans cerlaines formales lindaires d’approximation de l’anadyse. Mathematica, 1 (24), 95-142 (1959).
Reçu 1e 28. XI. 1959.

Différences divisées et dérivés

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DIFFERENCES DIVISEES ET DERIVEES

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