Sur quelques équations fonctionnelles avec plusieures fonctions à deux variables

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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On some functional equations with several functions of two variables

Auteur(s)

F. Radó
Institutul de Calcul

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Pour citer ce travail

F. Radó, Sur quelques équations fonctionnelles avec plusieures fonctions à deux variables. (French) Mathematica (Cluj) 1 (24) 1959 321–339.

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Mathematica Cluj

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1959-Rado-Sur-quelque-equationes

SUR QUELQUES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES AVEC PLUSIEURES FONCTIONS A DEUX VARIABLES*)

parF. RADÓà Cluj

Les fonctions représentables par des nomogrammes à points alignés de genre 0 ont la forme
(1)
z = H − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] , z = H − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] , z=H^(-1)[F(x)+G(y)],z=H−1[F(x)+G(y)],
où F , G , H F , G , H F,G,HF,G,H sont des fonctions continues et monotones au sens restreint. Chacune des conditions suivantes est nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x,y), continue et strictement monotone (par rapport à chaque variable), soit de la forme (1):
Condition T : f ( x 1 , y 2 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 3 , y 1 ) T : f ( x 1 , y 2 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 3 , y 1 ) T:f(x_(1),y_(2))=f(x_(2),y_(1)),f(x_(1),y_(3))=f(x_(3),y_(1))T:f(x1,y2)=f(x2,y1),f(x1,y3)=f(x3,y1)
→ f ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 . y 2 ) → f ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 . y 2 ) rarr f(x_(2),y_(3))=f(x_(3).y_(2))→f(x2,y3)=f(x3.y2)
Condition B : f ( x 1 , y 2 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 2 , y 2 ) = B : f ( x 1 , y 2 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 2 , y 2 ) = B:f(x_(1),y_(2))=f(x_(2),y_(1)),f(x_(1),y_(3))=f(x_(2),y_(2))=B:f(x1,y2)=f(x2,y1),f(x1,y3)=f(x2,y2)=
= f ( x 3 , y 1 ) → f ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 , y 2 ) = f ( x 3 , y 1 ) → f ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 , y 2 ) =f(x_(3),y_(1))rarr f(x_(2),y_(3))=f(x_(3),y_(2))=f(x3,y1)→f(x2,y3)=f(x3,y2)
Condition R : f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 4 ) = f ( x 2 , y 2 ) , f ( x 3 , y 3 ) = R : f ( x 1 , y 3 ) = f ( x 2 , y 1 ) , f ( x 1 , y 4 ) = f ( x 2 , y 2 ) , f ( x 3 , y 3 ) = R:f(x_(1),y_(3))=f(x_(2),y_(1)),f(x_(1),y_(4))=f(x_(2),y_(2)),f(x_(3),y_(3))=R:f(x1,y3)=f(x2,y1),f(x1,y4)=f(x2,y2),f(x3,y3)=
= f ( x 4 , y 1 ) → f ( x 3 , y 4 ) = f ( x 4 , y 2 ) = f ( x 4 , y 1 ) → f ( x 3 , y 4 ) = f ( x 4 , y 2 ) =f(x_(4),y_(1))rarr f(x_(3),y_(4))=f(x_(4),y_(2))=f(x4,y1)→f(x3,y4)=f(x4,y2)
En utilisant ces conditions j'ai résolu dans [12] l'équation fonctionnelle de l'associativité
(2) f [ f ( x , y ) , z ] = f [ x , f ( y , z ) ] (2) f [ f ( x , y ) , z ] = f [ x , f ( y , z ) ] {:(2)f[f(x","y)","z]=f[x","f(y","z)]:}(2)f[f(x,y),z]=f[x,f(y,z)]
et de la bisymétrie
(3)
f [ f ( u , x ) , f ( y , v ) ] = f [ f ( u , y ) , f ( x , v ) ] f [ f ( u , x ) , f ( y , v ) ] = f [ f ( u , y ) , f ( x , v ) ] f[f(u,x),f(y,v)]=f[f(u,y),f(x,v)]f[f(u,x),f(y,v)]=f[f(u,y),f(x,v)]
pour la classe des fonctions continues et strictement monotones. Pour la même classe des fonctions les équations (2) et (3) ont été résolues pour la première fois par J. ACZÉL, [1], [2], [3].
Dans cette note j'utiliserai la condition B B BB pour résoudre la généralisation de l'équation de l'associativité pour 4 fonctions inconnues d'où j'obtiendrai aussi les solutions de la généralisation de l'équation fonctionnelle de la bisymétrie et de la transitivité.
Ces équations sont étroitement liées au problème de la décomposition d'une fonction à trois variables par superposition de fonctions de deux variables. Cette décomposition permet la construction des nomogrammes composés.
  1. Conditions pour qu'une fonction à trois variabjes soit de la forme F [ φ ( x , y ) , z ] F [ φ ( x , y ) , z ] F[varphi(x,y),z]F[φ(x,y),z]. Si les fonctions F F FF et φ φ varphiφ ne sont pas soumise à aucune restriction, toute fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) peut être écrite sous la forme
(1) f ( x , y , z ) = F [ φ ( x , y ) , z ] . (1) f ( x , y , z ) = F [ φ ( x , y ) , z ] . {:(1)f(x","y","z)=F[varphi(x","y)","z].:}(1)f(x,y,z)=F[φ(x,y),z].
Par contre, si on demande que F F FF et φ φ varphiφ soient différentiables, alors la condition suivante est nécessaire et suffisante pour que f f ff soit de la forme (1)
f x z ′ ′ f y ′ − f y z ′ ′ f x ′ = 0 f x z ′ ′ f y ′ − f y z ′ ′ f x ′ = 0 f_(xz)^('')f_(y)^(')-f_(yz)^('')f_(x)^(')=0fxz′′fy′−fyz′′fx′=0
(condition de GOURSAT [7]).
On voit aisément :
THÉOREME 1. La condition nécessaire et suffisante pour que la fontion continue f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) soit de la forme (1), avec F F FF et φ φ varphiφ continues et strictement monotones, est l'implication
(2) f ( x 1 , y 1 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) → f ( x 1 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 2 ) (2) f ( x 1 , y 1 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) → f ( x 1 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 2 ) {:(2)f{:(x_(1)","y_(1)","z_(1)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(1)):}rarr f{:(x_(1)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(2)):}:}(2)f(x1,y1,z1)=f(x2,y2,z1)→f(x1,y1,z2)=f(x2,y2,z2)
  1. L'équation de l'associativité généralisée. L'équation fonctionnelle
(3) g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] (3) g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] {:(3)g[varphi(x","y)","z]=h[x","psi(y","z)]:}(3)g[φ(x,y),z]=h[x,ψ(y,z)]
avec 4 fonctions inconnues, généralise l'équation de l'associativité et ses diverses modifications, par exemple:
(4) h [ x , h ( y , z ) ] = h [ z , h ( y , x ) ] (4) h [ x , h ( y , z ) ] = h [ z , h ( y , x ) ] {:(4)h[x","h(y","z)]=h[z","h(y","x)]:}(4)h[x,h(y,z)]=h[z,h(y,x)]
(l'associativité de Grassmann),
(l'associativité de tarki),
(5) g [ g ( x , y ) , z ] = g [ x , g ( z , y ) ] (5) g [ g ( x , y ) , z ] = g [ x , g ( z , y ) ] {:(5)g[g(x","y)","z]=g[x","g(z","y)]:}(5)g[g(x,y),z]=g[x,g(z,y)]
(6) g [ g ( x , y ) , z ] = g [ y , g ( z , x ) ] (6) g [ g ( x , y ) , z ] = g [ y , g ( z , x ) ] {:(6)g[g(x","y)","z]=g[y","g(z","x)]:}(6)g[g(x,y),z]=g[y,g(z,x)]
(l'associativité cyclique), l'équation de la demi-symétrie [12], etc. M. HOSSZÚ a résolu les équations (4), (5), (6) dans l'hypothèse que les solutions sont des fonctios continues et strictement monotones, et l'équation (4) dans les hypothèses plus restrictives que les solutions admettent des dérivées partielles de premier ordre et sont strictement monotones [9].
Nous donnerons la solution de l'équation (3) également dans la condition de la continuité et de la monotonie stricte. Nous supposerons de plus que les fonctions φ ( x , y ) , ψ ( x , y ) , g ( x , y ) , h ( x , y ) φ ( x , y ) , ψ ( x , y ) , g ( x , y ) , h ( x , y ) varphi(x,y),psi(x,y),g(x,y),h(x,y)φ(x,y),ψ(x,y),g(x,y),h(x,y) soient définies pouls x ∈ ⟨ a , b ⟩ , y ∈ ⟨ a , b ⟩ x ∈ ⟨ a , b ⟩ , y ∈ ⟨ a , b ⟩ x in(:a,b:),y in(:a,b:)x∈⟨a,b⟩,y∈⟨a,b⟩, elles prennent leurs valeurs dans le même
intervalle (fermé, ouvert on demi-ouvert), l'équation φ ( x , y 0 ) = z 0 φ ( x , y 0 ) = z 0 varphi(x,y_(0))=z_(0)φ(x,y0)=z0 a une (seule) solution x x xx pour y 0 , z 0 ∈< a , b > y 0 , z 0 ∈< a , b > y_(0),z_(0)∈<a,b >y0,z0∈<a,b> et cette condition est satisfaite par les trois autres fonctions (l'intervalle ⟨ a , b ⟩ ⟨ a , b ⟩ (:a,b:)⟨a,b⟩ forme avec chacune des operations φ , ψ , g , h φ , ψ , g , h varphi,psi,g,hφ,ψ,g,h un quasigroupe).
théorème 2. Dans ces hypothèses la solution générale de l'équation fonctionnelle (3) est le système suivant des fonctions ;
ρ ( x , y ) = H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] (7) g ( x , y ) = H 2 − 1 [ G 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] g ( x , y ) = H 3 − 1 [ H 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + H 2 ( y ) ] , ρ ( x , y ) = H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] (7) g ( x , y ) = H 2 − 1 [ G 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] g ( x , y ) = H 3 − 1 [ H 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + H 2 ( y ) ] , {:[rho(x","y)=H_(1)^(-1){:[F_(1)(x)+G_(1)(y)]:}],[(7)g(x","y)=H_(2)^(-1){:[G_(1)(x)+G_(2)(y)]:}],[g(x","y)=H_(3)^(-1){:[H_(1)(x)+G_(2)(y)]:}],[h(x","y)=H_(3)^(-1){:[F_(1)(x)+H_(2)(y)]:}","]:}ρ(x,y)=H1−1[F1(x)+G1(y)](7)g(x,y)=H2−1[G1(x)+G2(y)]g(x,y)=H3−1[H1(x)+G2(y)]h(x,y)=H3−1[F1(x)+H2(y)],
oit F 1 , G 1 , G 2 , H 1 , H 2 , H 3 F 1 , G 1 , G 2 , H 1 , H 2 , H 3 F_(1),G_(1),G_(2),H_(1),H_(2),H_(3)F1,G1,G2,H1,H2,H3 sont des fonctions continues et strictement monotones. En substituant (7) dans (3), on a
H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] , H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] , H_(3)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)+G_(2)(z)]=H_(3)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)+G_(2)(z)],H3−1[F1(x)+G1(y)+G2(z)]=H3−1[F1(x)+G1(y)+G2(z)],
donc les fonctions (7) satisfont à l'équation (3).
Supposons maintenant que les fonctions continues et strictement monotones φ , ψ , g , h φ , ψ , g , h varphi,psi,g,hφ,ψ,g,h satisfont (3) et notons les deux membres de l'équation (3) par f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z)
(8) f ( x , y , z ) = g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] . (8) f ( x , y , z ) = g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] . {:(8)f(x","y","z)=g[varphi(x","y)","z]=h[x","psi(y","z)].:}(8)f(x,y,z)=g[φ(x,y),z]=h[x,ψ(y,z)].
En appliquant le théorème 1
(9) { f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) → f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) . (9) { f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) → f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) . {:(9){{:[f{:(x_(2)","y_(1)","z_(1)):}=f{:(x_(1)","y_(2)","z_(1)):}=f{:(x_(1)","y_(1)","z_(2)):}rarr],[f{:(x_(1)","y_(2)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(1)):}.]:}:}(9){f(x2,y1,z1)=f(x1,y2,z1)=f(x1,y1,z2)→f(x1,y2,z2)=f(x2,y1,z2)=f(x2,y2,z1).
Démontrons que la fonction à deux variables f ( x , y , z 1 ) f ( x , y , z 1 ) f(x,y,z_(1))f(x,y,z1) vérifie la condition B B BB. Soit
(10) { f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 1 ) f ( x 1 , y 3 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 1 ) (10) { f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 1 ) f ( x 1 , y 3 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 1 ) {:(10){{:[f{:(x_(1)","y_(2)","z_(1)):}=f{:(x_(2)","y_(1)","z_(1)):}],[f{:(x_(1)","y_(3)","z_(1)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(1)):}=f{:(x_(2)","y_(1)","z_(1)):}]:}:}(10){f(x1,y2,z1)=f(x2,y1,z1)f(x1,y3,z1)=f(x2,y2,z1)=f(x2,y1,z1)
et notons par z 2 z 2 z_(2)z2 la valeur z z zz pour laquelle
nous avons
f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) f(x_(2),y_(1),z_(1))=f(x_(1),y_(1),z_(2))f(x2,y1,z1)=f(x1,y1,z2)
f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) f(x_(2),y_(1),z_(1))=f(x_(1),y_(2),z_(1))=f(x_(1),y_(1),z_(2))f(x2,y1,z1)=f(x1,y2,z1)=f(x1,y1,z2)
et en utilisant (9)
(11)
f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) f(x_(1),y_(2),z_(2))=f(x_(2),y_(1),z_(2))=f(x_(2),y_(2),z_(1))f(x1,y2,z2)=f(x2,y1,z2)=f(x2,y2,z1)
On déduit de (10) et (11)
f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 3 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 2 ) f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 3 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 2 ) f(x_(2),y_(2),z_(1))=f(x_(1),y_(3),z_(1))=f(x_(1),y_(2),z_(2))f(x2,y2,z1)=f(x1,y3,z1)=f(x1,y2,z2)
et en appliquant (9)
(12) f ( x 1 , y 3 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 3 , z 1 ) (12) f ( x 1 , y 3 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 3 , z 1 ) {:(12)f{:(x_(1)","y_(3)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(3)","z_(1)):}:}(12)f(x1,y3,z2)=f(x2,y2,z2)=f(x2,y3,z1)
En tenant compte de nouveau de (10) et (11)
f ( x 3 , y 1 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) , f ( x 3 , y 1 , z 1 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) , f(x_(3),y_(1),z_(1))=f(x_(2),y_(2),z_(1))=f(x_(2),y_(1),z_(2)),f(x3,y1,z1)=f(x2,y2,z1)=f(x2,y1,z2),
et en appliquant (9) on a
(13) f ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x 3 , y 1 , z 2 ) = f ( x 3 , y 2 , z 1 ) . (13) f ( x 2 , y 2 , z 2 ) = f ( x 3 , y 1 , z 2 ) = f ( x 3 , y 2 , z 1 ) . {:(13)f{:(x_(2)","y_(2)","z_(2)):}=f{:(x_(3)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(3)","y_(2)","z_(1)):}.:}(13)f(x2,y2,z2)=f(x3,y1,z2)=f(x3,y2,z1).
Les relations (12) et (13) donnent
(14) f ( x 2 , y 3 , z 1 ) = f ( x 3 , y 2 , z 1 ) (14) f ( x 2 , y 3 , z 1 ) = f ( x 3 , y 2 , z 1 ) {:(14)f{:(x_(2)","y_(3)","z_(1)):}=f{:(x_(3)","y_(2)","z_(1)):}:}(14)f(x2,y3,z1)=f(x3,y2,z1)
donc ( 10 ) → ( 14 ) ( 10 ) → ( 14 ) (10)rarr(14)(10)→(14), ce qui montre que la fonction f ( x , y , z 1 ) f ( x , y , z 1 ) f(x,y,z_(1))f(x,y,z1) vérific la condition B B BB. Il s'ensuit que
φ ( x , y ) = Φ [ f ( x , y , z 1 ) ] φ ( x , y ) = Φ [ f ( x , y , z 1 ) ] varphi(x,y)=Phi[f(x,y,z_(1))]φ(x,y)=Φ[f(x,y,z1)]
vérifie de même la condition B B BB, et par conséquent
(15) φ ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] . (15) φ ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] . {:(15)varphi(x","y)=H^(-1){:[F_(1)(x)+G_(1)(y)]:}.:}(15)φ(x,y)=H−1[F1(x)+G1(y)].
Nous substituons cette expression dans (3) et posons y = y ′ , z = z 0 y = y ′ , z = z 0 y=y^('),z=z_(0)y=y′,z=z0 :
h [ x , ψ ( y ′ , z 0 ) ] = g { H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ′ ) ] , z 0 } . h [ x , ψ ( y ′ , z 0 ) ] = g { H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ′ ) ] , z 0 } . h[x,psi(y^('),z_(0))]=g{H_(1)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y^('))],z_(0)}.h[x,ψ(y′,z0)]=g{H1−1[F1(x)+G1(y′)],z0}.
En notant ψ ( y ′ , z 0 ) = y ψ ( y ′ , z 0 ) = y psi(y^('),z_(0))=yψ(y′,z0)=y, on a
(16) h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + H 2 ( y ) ] (16) h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + H 2 ( y ) ] {:(16)h(x","y)=H_(3)^(-1){:[F_(1)(x)+H_(2)(y)]:}:}(16)h(x,y)=H3−1[F1(x)+H2(y)]
Par une nouvelle substitution dans (3) on trouve
(17) g { H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] , z } = H 3 − 1 { F 1 ( x ) + H 2 [ ψ ( y , z ) ] } (17) g { H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] , z } = H 3 − 1 { F 1 ( x ) + H 2 [ ψ ( y , z ) ] } {:(17)g{H_(1)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)]","z}=H_(3)^(-1){:{F_(1)(x)+H_(2)[psi(y","z)]}:}:}(17)g{H1−1[F1(x)+G1(y)],z}=H3−1{F1(x)+H2[ψ(y,z)]}
En posant y = y 0 y = y 0 y=y_(0)y=y0
(18)
g ( x , y ) − H 3 − 1 [ Φ ( x ) + X ( y ) ] g ( x , y ) − H 3 − 1 [ Φ ( x ) + X ( y ) ] g(x,y)-H_(3)^(-1)[Phi(x)+X(y)]g(x,y)−H3−1[Φ(x)+X(y)]
et (17) devient
(19) Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + X ( z ) = F 1 ( x ) + H 2 [ ψ ( y , z ) ] . (19) Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + X ( z ) = F 1 ( x ) + H 2 [ ψ ( y , z ) ] . {:(19)PhiH_(1)^(-1){:[F_(1)(x)+G_(1)(y)]:}+X(z)=F_(1)(x)+H_(2)[psi(y","z)].:}(19)ΦH1−1[F1(x)+G1(y)]+X(z)=F1(x)+H2[ψ(y,z)].
En mettant ici x = x 0 x = x 0 x=x_(0)x=x0
(20) ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ Ψ ( x ) + X ( y ) ] . (20) ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ Ψ ( x ) + X ( y ) ] . {:(20)psi(x","y)=H_(2)^(-1)[Psi(x)+X(y)].:}(20)ψ(x,y)=H2−1[Ψ(x)+X(y)].
Nous remplaçons (20) dans l'équation (19) :
ou
Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + X ( z ) = F 1 ( x ) + Ψ ( y ) + X ( z ) Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + X ( z ) = F 1 ( x ) + Ψ ( y ) + X ( z ) PhiH_(1)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)]+X(z)=F_(1)(x)+Psi(y)+X(z)ΦH1−1[F1(x)+G1(y)]+X(z)=F1(x)+Ψ(y)+X(z)
Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] = [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + [ Ψ ( y ) − G 1 ( y ) ] . Φ H 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] = [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] + [ Ψ ( y ) − G 1 ( y ) ] . PhiH_(1)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)]=[F_(1)(x)+G_(1)(y)]+[Psi(y)-G_(1)(y)].ΦH1−1[F1(x)+G1(y)]=[F1(x)+G1(y)]+[Ψ(y)−G1(y)].
En faisant y = y = y=y= const, on voit que
Φ H 1 − 1 ( ξ ) = ξ + a , Φ H 1 − 1 ( ξ ) = ξ + a , PhiH_(1)^(-1)(xi)=xi+a,ΦH1−1(ξ)=ξ+a,
donc
Φ ( x ) = H 1 ( x ) + a Ψ ( x ) = G 1 ( x ) + a . Φ ( x ) = H 1 ( x ) + a Ψ ( x ) = G 1 ( x ) + a . {:[Phi(x)=H_(1)(x)+a],[Psi(x)=G_(1)(x)+a.]:}Φ(x)=H1(x)+aΨ(x)=G1(x)+a.
En notant X ( x ) + a = G 2 ( x ) X ( x ) + a = G 2 ( x ) X(x)+a=G_(2)(x)X(x)+a=G2(x), nous avons enfin
g ( x , y ) = H 3 − 1 [ H 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ G 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] . g ( x , y ) = H 3 − 1 [ H 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ G 1 ( x ) + G 2 ( y ) ] . {:[g(x","y)=H_(3)^(-1){:[H_(1)(x)+G_(2)(y)]:}],[psi(x","y)=H_(2)^(-1){:[G_(1)(x)+G_(2)(y)]:}.]:}g(x,y)=H3−1[H1(x)+G2(y)]ψ(x,y)=H2−1[G1(x)+G2(y)].
En rapprochant les formules (15) et (16) à ces deux dernières, nous avons la solution (7) de l'équation fonctionnelle (3).
3. Cas particuliers. Nous pouvons maintenant obtenir facilement les solutions des différents cas particuliers de l'équation (3).
a) L'équation de l'associativité. Nous avons
g ( x , y ) = φ ( x , y ) = h ( x , y ) = ψ ( x , y ) . g ( x , y ) = φ ( x , y ) = h ( x , y ) = ψ ( x , y ) . g(x,y)=varphi(x,y)=h(x,y)=psi(x,y).g(x,y)=φ(x,y)=h(x,y)=ψ(x,y).
Dans ce cas les formules (7) représentent la même fonction. Dans [12] nous avons démontré que des relations
f ( x , y ) = H − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] f ( x , y ) = H ∗ − 1 [ F ∗ ( x ) + G ∗ ( y ) ] f ( x , y ) = H − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] f ( x , y ) = H ∗ − 1 [ F ∗ ( x ) + G ∗ ( y ) ] {:[f(x","y)=H^(-1)[F(x)+G(y)]],[f(x","y)=H^(**-1)[F^(**)(x)+G^(**)(y)]]:}f(x,y)=H−1[F(x)+G(y)]f(x,y)=H∗−1[F∗(x)+G∗(y)]
il résulte
F ∗ ( x ) = a F ( x ) + b , G ∗ ( x ) = a G ( x ) + c , H ∗ ( x ) = a H ( x ) + b + c , F ∗ ( x ) = a F ( x ) + b , G ∗ ( x ) = a G ( x ) + c , H ∗ ( x ) = a H ( x ) + b + c , F^(**)(x)=aF(x)+b,G^(**)(x)=aG(x)+c,H^(**)(x)=aH(x)+b+c,F∗(x)=aF(x)+b,G∗(x)=aG(x)+c,H∗(x)=aH(x)+b+c,
où a , b , c a , b , c a,b,ca,b,c sont des constantes. Donc la première et la quatrième formule (7) entraînent
H 2 = G 1 + a , H 3 = H 1 + a , H 2 = G 1 + a , H 3 = H 1 + a , H_(2)=G_(1)+a,quadH_(3)=H_(1)+a,H2=G1+a,H3=H1+a,
la deuxième et la troisième
H 1 = G 1 + b , H 3 = H 2 + b H 1 = G 1 + b , H 3 = H 2 + b H_(1)=G_(1)+b,quadH_(3)=H_(2)+bH1=G1+b,H3=H2+b
et la troisième et la quatrième
H 1 = F 1 + c , H 2 = G 2 + c . H 1 = F 1 + c , H 2 = G 2 + c . H_(1)=F_(1)+c,quadH_(2)=G_(2)+c.H1=F1+c,H2=G2+c.
Par conséquent
G 1 = F 1 + c − b , G 2 = F 1 + a − b H 1 = F 1 + c , H 2 = F 1 + a − b + c , H 3 = F 1 + a + c G 1 = F 1 + c − b , G 2 = F 1 + a − b H 1 = F 1 + c , H 2 = F 1 + a − b + c , H 3 = F 1 + a + c {:[G_(1)=F_(1)+c-b","quadG_(2)=F_(1)+a-b],[H_(1)=F_(1)+c","quadH_(2)=F_(1)+a-b+c","quadH_(3)=F_(1)+a+c]:}G1=F1+c−b,G2=F1+a−bH1=F1+c,H2=F1+a−b+c,H3=F1+a+c
il résulte
F 1 [ φ ( x , y ) ] + c = F 1 ( x ) + F 1 ( y ) + c 1 − b F 1 [ φ ( x , y ) ] + c = F 1 ( x ) + F 1 ( y ) + c 1 − b F_(1)[varphi(x,y)]+c=F_(1)(x)+F_(1)(y)+c_(1)-bF1[φ(x,y)]+c=F1(x)+F1(y)+c1−b
En notant H ( x ) = F 1 ( x ) − b H ( x ) = F 1 ( x ) − b H(x)=F_(1)(x)-bH(x)=F1(x)−b, nous avons
φ ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] φ ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] varphi(x,y)=H^(-1)[H(x)+H(y)]φ(x,y)=H−1[H(x)+H(y)]
b) L'équation de Grassmann. Par la notation h ( x , y ) = − h ′ ( y , x ) h ( x , y ) = − h ′ ( y , x ) h(x,y)=-h^(')(y,x)h(x,y)=−h′(y,x), l'équation (4) devient
h ′ [ h ′ ( x , y ) , z ] = h [ x , h ( y , z ) ] h ′ [ h ′ ( x , y ) , z ] = h [ x , h ( y , z ) ] h^(')[h^(')(x,y),z]=h[x,h(y,z)]h′[h′(x,y),z]=h[x,h(y,z)]
donc on obtient (4) en posant dans (3)
h = ψ = g ′ = φ ′ . h = ψ = g ′ = φ ′ . h=psi=g^(')=varphi^(').h=ψ=g′=φ′.
On arrive comme plus haut aux relations
H 1 = H 2 + a , F 1 = G 2 + a , F 1 = b H 1 + c , G 1 = b G 2 + d , H 1 = b H 3 + c 1 + d , H 1 = H 2 + a , F 1 = G 2 + a , F 1 = b H 1 + c , G 1 = b G 2 + d , H 1 = b H 3 + c 1 + d , {:[H_(1)=H_(2)+a","F_(1)=G_(2)+a","quadF_(1)=bH_(1)+c","quadG_(1)=bG_(2)+d","],[H_(1)=bH_(3)+c_(1)+d","]:}H1=H2+a,F1=G2+a,F1=bH1+c,G1=bG2+d,H1=bH3+c1+d,
d'où
G 1 = b 2 H 2 + a b 2 + b c − a b + d , G 2 = b H 2 + a b + c − a , G 1 = b 2 H 2 + a b 2 + b c − a b + d , G 2 = b H 2 + a b + c − a , G_(1)=b^(2)H_(2)+ab^(2)+bc-ab+d,quadG_(2)=bH_(2)+ab+c-a,G1=b2H2+ab2+bc−ab+d,G2=bH2+ab+c−a,
donc
(21) h ( x , y ) = ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ b 2 H 2 ( x ) + b H 2 ( y ) + α ] , (21) h ( x , y ) = ψ ( x , y ) = H 2 − 1 [ b 2 H 2 ( x ) + b H 2 ( y ) + α ] , {:(21)h(x","y)=psi(x","y)=H_(2)^(-1){:[b^(2)H_(2)(x)+bH_(2)(y)+alpha]:}",":}(21)h(x,y)=ψ(x,y)=H2−1[b2H2(x)+bH2(y)+α],
ce qui coïncide avec le résultat de m. hosszú
Si b 2 + b − 1 ≠ 0 b 2 + b − 1 ≠ 0 b^(2)+b-1!=0b2+b−1≠0, en notant H ( x ) = H 2 ( x ) + α b 2 + b − 1 H ( x ) = H 2 ( x ) + α b 2 + b − 1 H(x)=H_(2)(x)+(alpha)/(b^(2)+b-1)H(x)=H2(x)+αb2+b−1, on a
(22) h ( x , y ) = H 2 − 1 [ b 2 H ( x ) + b H ( x ) ] ; (22) h ( x , y ) = H 2 − 1 [ b 2 H ( x ) + b H ( x ) ] ; {:(22)h(x","y)=H_(2)^(-1)[b^(2)H(x)+bH(x)];:}(22)h(x,y)=H2−1[b2H(x)+bH(x)];
si b 2 + b − 1 = 0 b 2 + b − 1 = 0 b^(2)+b-1=0b2+b−1=0, en notant H = H 2 ( x ) H = H 2 ( x ) H=H_(2)(x)H=H2(x)
(22)
h ( x , y ) = H − 1 [ 1 − ε 5 2 H ( x ) + 1 + ε 5 2 H ( y ) + α ] , ε = ± 1 h ( x , y ) = H − 1 [ 1 − ε 5 2 H ( x ) + 1 + ε 5 2 H ( y ) + α ] , ε = ± 1 h(x,y)=H^(-1)[(1-epsisqrt5)/(2)H(x)+(1+epsisqrt5)/(2)H(y)+alpha],epsi=+-1h(x,y)=H−1[1−ε52H(x)+1+ε52H(y)+α],ε=±1
On constate par vérification directe que les fonctions (22) et (22') satisfont à l'équation (4), donc toutes les solutions continues et strictement monotones de cette équation sont données par les formules (22) et ( 22 ′ ) ( 22 ′ ) (22^('))(22′), où H ( x ) H ( x ) H(x)H(x) est continue et strictement monotone.
c) L'équation de Tarki. L'équation fonctionnelle (3) devient l'équation (5) de tarki par la particularisation
g = φ = h = ψ ′ g = φ = h = ψ ′ g=varphi=h=psi^(')g=φ=h=ψ′
en utilisant les formules (7) on obtient comme plut haut
g ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] . g ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] . g(x,y)=H^(-1)[H(x)+H(y)].g(x,y)=H−1[H(x)+H(y)].
Par conséquent l'équation (5) est équivalente à l'équation de l'associativité.
(6) devient
d) L'équation de l'associativité cyclique. En permutant x x xx et y y yy, l'équation donc en posant dans (3).
g [ g ( y , x ) , z ] = g [ x , g ( z , y ) ] g [ g ( y , x ) , z ] = g [ x , g ( z , y ) ] g[g(y,x),z]=g[x,g(z,y)]g[g(y,x),z]=g[x,g(z,y)]
g = h = φ ′ = ψ ′ g = h = φ ′ = ψ ′ g=h=varphi^(')=psi^(')g=h=φ′=ψ′
on obtient l'équation (6). On trouve que cette équation est aussi équivalente à l'équation de l'associativité.
e) L'équation de la demi-symétrie.
f [ j ( y , x ) , z ] = ∫ [ / ( y , z ) , x ] f [ j ( y , x ) , z ] = ∫ [ / ( y , z ) , x ] f[j(y,x),z]=int[//(y,z),x]f[j(y,x),z]=∫[/(y,z),x]
est le cas particulier de (3) pour
g = ψ = h ′ = φ ′ . g = ψ = h ′ = φ ′ . g=psi=h^(')=varphi^(').g=ψ=h′=φ′.
On trouve
f ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + G ( y ) ] . f ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + G ( y ) ] . f(x,y)=H^(-1)[H(x)+G(y)].f(x,y)=H−1[H(x)+G(y)].
Considérons encore deux cas particuliers de l'équation (3), dans lesquelles figurent la fonction inconnue g ( x , y ) g ( x , y ) g(x,y)g(x,y) et ses inverses. L'équation z = g ( x , y ) z = g ( x , y ) z=g(x,y)z=g(x,y) résolue par rapport à x x xx s'écrit x = g ( y , z ) x = g ( y , z ) x=g(y,z)x=g(y,z), et résolue par rapport à y y yy s'écrit y = g ( z , x ) y = g ( z , x ) y=g(z,x)y=g(z,x).
f) L'équation fonctionnelle
(23)
g [ g ¯ ( x , y ) , z ] = g [ x , g ~ ( y , z ) ] . g [ g ¯ ( x , y ) , z ] = g [ x , g ~ ( y , z ) ] . g[ bar(g)(x,y),z]=g[x, tilde(g)(y,z)].g[g¯(x,y),z]=g[x,g~(y,z)].
Le théorème ≥ ≥ >=≥ domme
g ¯ ( x , y ) = H 1 − 1 [ − G 2 ( x ) + H 3 ( y ) ] g ~ ( x , y ) = G 2 − 1 [ H 3 ( x ) − H 1 ( y ) ] h = g , φ = g ¯ , ψ = g ~ H 1 = F 1 + a , H 2 = G 2 + a , − G 2 = F 1 + b , H 3 = G 1 − b , H 2 = c G 1 + d , − H 1 = c G 2 + e , G 2 = c H 2 + d + e . g ¯ ( x , y ) = H 1 − 1 [ − G 2 ( x ) + H 3 ( y ) ] g ~ ( x , y ) = G 2 − 1 [ H 3 ( x ) − H 1 ( y ) ] h = g , φ = g ¯ , ψ = g ~ H 1 = F 1 + a , H 2 = G 2 + a , − G 2 = F 1 + b , H 3 = G 1 − b , H 2 = c G 1 + d , − H 1 = c G 2 + e , G 2 = c H 2 + d + e . {:[ bar(g)(x","y)=H_(1)^(-1){:[-G_(2)(x)+H_(3)(y)]:}],[ tilde(g)(x","y)=G_(2)^(-1){:[H_(3)(x)-H_(1)(y)]:}],[h=g","quad varphi= bar(g)","quad psi= tilde(g)],[H_(1)=F_(1)+a","quadH_(2)=G_(2)+a","-G_(2)=F_(1)+b","quadH_(3)=G_(1)-b","],[H_(2)=cG_(1)+d","-H_(1)=cG_(2)+e","quadG_(2)=cH_(2)+d+e.]:}g¯(x,y)=H1−1[−G2(x)+H3(y)]g~(x,y)=G2−1[H3(x)−H1(y)]h=g,φ=g¯,ψ=g~H1=F1+a,H2=G2+a,−G2=F1+b,H3=G1−b,H2=cG1+d,−H1=cG2+e,G2=cH2+d+e.
Il résulte que c = 1 , d = − b , c = b − a c = 1 , d = − b , c = b − a c=1,d=-b,c=b-ac=1,d=−b,c=b−a et
(24) g ( x , y ) = H − 1 [ G ( x ) − G ( y ) ] . (24) g ( x , y ) = H − 1 [ G ( x ) − G ( y ) ] . {:(24)g(x","y)=H^(-1)[G(x)-G(y)].:}(24)g(x,y)=H−1[G(x)−G(y)].
D'autre part la fonction (24) vérifie l'équation (23).
g) L'équation fonctionnelle
(25) g [ g ~ ( x , y ) , z ] = g [ x , g ¯ ( y , z ) ] (25) g [ g ~ ( x , y ) , z ] = g [ x , g ¯ ( y , z ) ] {:(25)g[ tilde(g)(x","y)","z]=g[x"," bar(g)(y","z)]:}(25)g[g~(x,y),z]=g[x,g¯(y,z)]
a la solution générale
g ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] g ( x , y ) = H − 1 [ H ( x ) + H ( y ) ] g(x,y)=H^(-1)[H(x)+H(y)]g(x,y)=H−1[H(x)+H(y)]
done l'équation (25) est équivalente à l'équation de l'associativité.
4. L'équation de la bisymétrie généralisée. L'équation fonctionnelle
(26) f [ g ( u , x ) , h ( y , v ) ] = φ [ ψ ( u , y ) , χ ( x , v ) ] (26) f [ g ( u , x ) , h ( y , v ) ] = φ [ ψ ( u , y ) , χ ( x , v ) ] {:(26)f[g(u","x)","h(y","v)]=varphi[psi(u","y)","chi(x","v)]:}(26)f[g(u,x),h(y,v)]=φ[ψ(u,y),χ(x,v)]
avec 6 fonctions inconnues a été résolue par m. Hosszú dans les hypothèses de la dérivabilité et de la monotonie stricte [8]. Reprenons cette équation et cherchons ses solutions continues et strictement monotones.
théoreme 3. Les solutions continues, strictement monotones et inversables par rapport à x x xx el y y yy (propriété de quasigroupe) de l'équation (26) sont
(27) { f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] φ ( x , y ) = H − 1 [ F 4 ( x ) + G 4 ( y ) ] g ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + G 2 ( y ) ] ψ ( x , y ) = F 4 − 1 [ F 2 ( x ) + F 3 ( y ) ] h ( x , y ) = G 1 − 1 [ F 3 ( x ) + G 3 ( y ) ] χ 1 ( x , y ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] (27) { f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] φ ( x , y ) = H − 1 [ F 4 ( x ) + G 4 ( y ) ] g ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + G 2 ( y ) ] ψ ( x , y ) = F 4 − 1 [ F 2 ( x ) + F 3 ( y ) ] h ( x , y ) = G 1 − 1 [ F 3 ( x ) + G 3 ( y ) ] χ 1 ( x , y ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] {:(27){{:[f(x","y)=H^(-1){:[F_(1)(x)+G_(1)(y)]:},varphi(x","y)=H^(-1){:[F_(4)(x)+G_(4)(y)]:}],[g(x","y)=F_(1)^(-1){:[F_(2)(x)+G_(2)(y)]:},psi(x","y)=F_(4)^(-1){:[F_(2)(x)+F_(3)(y)]:}],[h(x","y)=G_(1)^(-1){:[F_(3)(x)+G_(3)(y)]:},chi_(1)(x","y)=G_(4)^(-1){:[G_(2)(x)+G_(3)(y)]:}]:}:}(27){f(x,y)=H−1[F1(x)+G1(y)]φ(x,y)=H−1[F4(x)+G4(y)]g(x,y)=F1−1[F2(x)+G2(y)]ψ(x,y)=F4−1[F2(x)+F3(y)]h(x,y)=G1−1[F3(x)+G3(y)]χ1(x,y)=G4−1[G2(x)+G3(y)]
où les neuf fonctions à une variable sont continues el strictement monotones.
Pour la démonstration notons
g ( ξ , η ) = g ′ ( η , ξ ) et φ ( ξ , η ) = φ ′ ( η , ξ ) g ( ξ , η ) = g ′ ( η , ξ ) et φ ( ξ , η ) = φ ′ ( η , ξ ) g(xi,eta)=g^(')(eta,xi)"et"varphi(xi,eta)=varphi^(')(eta,xi)g(ξ,η)=g′(η,ξ)etφ(ξ,η)=φ′(η,ξ)
et posons dans ( 26 ) v = v 0 ( 26 ) v = v 0 (26)v=v_(0)(26)v=v0
f [ g ′ ( x , u ) , h ( y , v 0 ) ] = φ ′ [ χ ( x , v 0 ) , ψ ( u , y ′ ) ] . f [ g ′ ( x , u ) , h ( y , v 0 ) ] = φ ′ [ χ ( x , v 0 ) , ψ ( u , y ′ ) ] . f[g^(')(x,u),h(y,v_(0))]=varphi^(')[chi(x,v_(0)),psi(u,y^('))].f[g′(x,u),h(y,v0)]=φ′[χ(x,v0),ψ(u,y′)].
Par le changement des notations
k ( ξ , η ) = f [ ξ , h ( η , v 0 ) ] (28) l ( ξ , η ) = φ ′ [ χ ( ξ , v 0 ) , η ] k ( ξ , η ) = f [ ξ , h ( η , v 0 ) ] (28) l ( ξ , η ) = φ ′ [ χ ( ξ , v 0 ) , η ] {:[k(xi","eta)=f[xi","h(eta,v_(0))]],[(28)l(xi","eta)=varphi^(')[chi(xi,v_(0))","eta]]:}k(ξ,η)=f[ξ,h(η,v0)](28)l(ξ,η)=φ′[χ(ξ,v0),η]
l'équation (26) devient
k [ g ′ ( x , u ) , y ] = l [ x , ψ ( u , y ) ] k [ g ′ ( x , u ) , y ] = l [ x , ψ ( u , y ) ] k[g^(')(x,u),y]=l[x,psi(u,y)]k[g′(x,u),y]=l[x,ψ(u,y)]
qui est de la forme (3). Le théorème 2 donne
g ( x , y ) = g ′ ( y , x ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] ψ ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + F 3 ( y ) ] k ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + F 3 ( y ) ] l ( x , y ) = H − 1 [ G 2 ( x ) + F 4 ( y ) ] . g ( x , y ) = g ′ ( y , x ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] ψ ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) + F 3 ( y ) ] k ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + F 3 ( y ) ] l ( x , y ) = H − 1 [ G 2 ( x ) + F 4 ( y ) ] . {:[g(x","y)=g^(')(y","x)=F_(1)^(-1){:[F_(2)(x)+G_(3)(y)]:}],[psi(x","y)=F_(1)^(-1){:[F_(2)(x)+F_(3)(y)]:}],[k(x","y)=H^(-1){:[F_(1)(x)+F_(3)(y)]:}],[l(x","y)=H^(-1){:[G_(2)(x)+F_(4)(y)]:}.]:}g(x,y)=g′(y,x)=F1−1[F2(x)+G3(y)]ψ(x,y)=F1−1[F2(x)+F3(y)]k(x,y)=H−1[F1(x)+F3(y)]l(x,y)=H−1[G2(x)+F4(y)].
Remplaçons dans la première formule (28) l'expression trouvée pour k ( ξ , η ) k ( ξ , η ) k(xi,eta)k(ξ,η) et posons ξ = x , h ( η , v 0 ) = y ξ = x , h ( η , v 0 ) = y xi=x,h(eta,v_(0))=yξ=x,h(η,v0)=y; en notant G 1 ( y ) = F 3 [ h ¯ ( v 0 , y ) ] G 1 ( y ) = F 3 [ h ¯ ( v 0 , y ) ] G_(1)(y)=F_(3)[ bar(h)(v_(0),y)]G1(y)=F3[h¯(v0,y)], on obtient
f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) ] f(x,y)=H^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)]f(x,y)=H−1[F1(x)+G1(y)]
Remplaçons dans la deuxième formule (28) l'expression de l ( ξ , η ) l ( ξ , η ) l(xi,eta)l(ξ,η), posons x = ψ ( ξ , v 0 ) , y = τ 1 x = ψ ( ξ , v 0 ) , y = τ 1 x=psi(xi,v_(0)),y=tau_(1)x=ψ(ξ,v0),y=τ1 et notons G 4 ( x ) = G 2 [ χ ¯ ( v 0 , x ) ] G 4 ( x ) = G 2 [ χ ¯ ( v 0 , x ) ] G_(4)(x)=G_(2)[ bar(chi)(v_(0),x)]G4(x)=G2[χ¯(v0,x)]; on obtient
ou
φ ′ ( x , y ) = H − 1 [ G 4 ( x ) + F 4 ( y ) ] φ ( x , y ) = H − 1 [ F 4 ( x ) + G 4 ( y ) ] φ ′ ( x , y ) = H − 1 [ G 4 ( x ) + F 4 ( y ) ] φ ( x , y ) = H − 1 [ F 4 ( x ) + G 4 ( y ) ] {:[varphi^(')(x","y)=H^(-1){:[G_(4)(x)+F_(4)(y)]:}],[varphi(x","y)=H^(-1){:[F_(4)(x)+G_(4)(y)]:}]:}φ′(x,y)=H−1[G4(x)+F4(y)]φ(x,y)=H−1[F4(x)+G4(y)]
Substituons dans l'équation (26) les expressions trouvées pour g ( x , y ) g ( x , y ) g(x,y)g(x,y), ψ ( x , y ) , f ( x , y ) ψ ( x , y ) , f ( x , y ) psi(x,y),f(x,y)ψ(x,y),f(x,y) et φ ( x , y ) φ ( x , y ) varphi(x,y)φ(x,y) :
F 2 ( u ) + G 2 ( x ) + G 1 [ h ( y , v ) ] = F 2 ( u ) + F 3 ( y ) + G 2 [ χ ( x , v ) ] . F 2 ( u ) + G 2 ( x ) + G 1 [ h ( y , v ) ] = F 2 ( u ) + F 3 ( y ) + G 2 [ χ ( x , v ) ] . F_(2)(u)+G_(2)(x)+G_(1)[h(y,v)]=F_(2)(u)+F_(3)(y)+G_(2)[chi(x,v)].F2(u)+G2(x)+G1[h(y,v)]=F2(u)+F3(y)+G2[χ(x,v)].
En groupant les termes
G 1 [ h ( y , v ) ] − F 3 ( y ) = G 4 [ χ ( x , v ) ] − G 2 ( x ) G 1 [ h ( y , v ) ] − F 3 ( y ) = G 4 [ χ ( x , v ) ] − G 2 ( x ) G_(1)[h(y,v)]-F_(3)(y)=G_(4)[chi(x,v)]-G_(2)(x)G1[h(y,v)]−F3(y)=G4[χ(x,v)]−G2(x)
le premier membre ne dépend pas de x x xx, le deuxième ne dépend pas de y y yy. donc les deux membres sont des fonctions de v v vv seulement, soit G ( v ) G ( v ) G(v)G(v); alors
h ( y , v ) = G 1 − 1 [ F 3 ( y ) + G 3 ( v ) ] , χ ( x , v ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( v ) ] h ( y , v ) = G 1 − 1 [ F 3 ( y ) + G 3 ( v ) ] , χ ( x , v ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( v ) ] h(y,v)=G_(1)^(-1)[F_(3)(y)+G_(3)(v)],quad chi(x,v)=G_(4)^(-1)[G_(2)(x)+G_(3)(v)]h(y,v)=G1−1[F3(y)+G3(v)],χ(x,v)=G4−1[G2(x)+G3(v)]
ou
h ( x , y ) = G 1 − 1 [ F 3 ( x ) + G 3 ( y ) ] (29) x ( x , y ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] . h ( x , y ) = G 1 − 1 [ F 3 ( x ) + G 3 ( y ) ] (29) x ( x , y ) = G 4 − 1 [ G 2 ( x ) + G 3 ( y ) ] . {:[h(x","y)=G_(1)^(-1){:[F_(3)(x)+G_(3)(y)]:}],[(29)x(x","y)=G_(4)^(-1){:[G_(2)(x)+G_(3)(y)]:}.]:}h(x,y)=G1−1[F3(x)+G3(y)](29)x(x,y)=G4−1[G2(x)+G3(y)].
Nous venons d'obtenir toutes les formules (27).
D'autre part les fonctions (27) forment un système de solutions pour l'équation (26), ce qu'on voit par la verification directe.
5. Application géométrique. L'équation (26) conduit à la généralisation suivante du théorème de thomsen [6]:
théoreme, 1. Soit F 1 , F 2 , F 3 F 1 , F 2 , F 3 F_(1),F_(2),F_(3)F1,F2,F3 trois familles de courbes dans le plan xy qui jouissent de la propriété suivante: si les points M , S M , S M,SM,S de la figure 1 sont sur la méme courbe de la famille F 2 F 2 F_(2)F2, et les points N , R N , R N,RN,R sur la même courbe de f 3 f 3 f_(3)f3, alors les points P , Q P , Q P,QP,Q se trouvent sur la même courbe de F 1 F 1 F_(1)F1. Dans ces hypothèses les trois familles coincident et leurs équation est
F ( x ) + G ( y ) = const F ( x ) + G ( y ) = const F(x)+G(y)="const"F(x)+G(y)=const
Soient les équations des familles de courbes
f 1 ) f ( x , y ) = f 1 ) f ( x , y ) = f_(1))f(x,y)=f1)f(x,y)= const
( f 2 ) g ( x , y ) = ( f 2 ) g ( x , y ) = (f_(2))g(x,y)=(f2)g(x,y)= const
f 3 ) h ( x , y ) = f 3 ) h ( x , y ) = f_(3))h(x,y)=f3)h(x,y)= const.
Nous avons
(30) g ( x 1 , y 2 ) = g ( x 2 , y 1 ) , h ( x 1 , y 3 ) = h ( x 3 , y 1 ) → h ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 , y 2 ) (30) g ( x 1 , y 2 ) = g ( x 2 , y 1 ) , h ( x 1 , y 3 ) = h ( x 3 , y 1 ) → h ( x 2 , y 3 ) = f ( x 3 , y 2 ) {:(30)g{:(x_(1)","y_(2)):}=g{:(x_(2)","y_(1)):}","h{:(x_(1)","y_(3)):}=h{:(x_(3)","y_(1)):}rarr h{:(x_(2)","y_(3)):}=f{:(x_(3)","y_(2)):}:}(30)g(x1,y2)=g(x2,y1),h(x1,y3)=h(x3,y1)→h(x2,y3)=f(x3,y2)
Notons
s = g ( x 1 , y 2 ) = g ( x 2 , y 1 ) , s = g ( x 1 , y 2 ) = g ( x 2 , y 1 ) , s=g(x_(1),y_(2))=g(x_(2),y_(1)),s=g(x1,y2)=g(x2,y1),
on peut écrire avec les notations des fonctions inverses déjà employées
x 2 = g ¯ ( y 1 , s ) y 2 = g ~ ( s , x 1 ) x 3 = h ¯ ( y 1 , t ) y 3 = h ~ ( t , x 1 ) x 2 = g ¯ ( y 1 , s ) y 2 = g ~ ( s , x 1 ) x 3 = h ¯ ( y 1 , t ) y 3 = h ~ ( t , x 1 ) {:[x_(2)= bar(g){:(y_(1)","s):},y_(2)= tilde(g){:(s","x_(1)):}],[x_(3)= bar(h){:(y_(1)","t):},y_(3)= tilde(h){:(t","x_(1)):}]:}x2=g¯(y1,s)y2=g~(s,x1)x3=h¯(y1,t)y3=h~(t,x1)
La condition (30) devient l'équation fonctionnelle
(31) f [ g ¯ ( y 1 , s ) , h ~ ( t , x 1 ) ] = f [ h ¯ ( y 1 , t ) , g ~ ( s , x 1 ) ] (31) f [ g ¯ ( y 1 , s ) , h ~ ( t , x 1 ) ] = f [ h ¯ ( y 1 , t ) , g ~ ( s , x 1 ) ] {:(31)f[ bar(g)(y_(1),s)"," tilde(h)(t,x_(1))]=f[ bar(h)(y_(1),t)"," tilde(g)(s,x_(1))]:}(31)f[g¯(y1,s),h~(t,x1)]=f[h¯(y1,t),g~(s,x1)]
ce qui est un cas particulier de l'équation (26). En appliquant le théorème 3 et en tenant compte de χ = g , h = ψ ¯ χ = g , h = ψ ¯ chi=g,h= bar(psi)χ=g,h=ψ¯, on obtient par un calcul simple
f ( x , y ) = H 1 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] g ( x , y ) = H 2 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] f ( x , y ) = H 1 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] g ( x , y ) = H 2 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] h ( x , y ) = H 3 − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] {:[f(x","y)=H_(1)^(-1)[F(x)+G(y)]],[g(x","y)=H_(2)^(-1)[F(x)+G(y)]],[h(x","y)=H_(3)^(-1)[F(x)+G(y)]]:}f(x,y)=H1−1[F(x)+G(y)]g(x,y)=H2−1[F(x)+G(y)]h(x,y)=H3−1[F(x)+G(y)]
  1. L'équation de la transitivité généralisée. L'équation de la transitivité
(32) f [ f ( x , t ) , f ( y , t ) ] = f ( x , y ) (32) f [ f ( x , t ) , f ( y , t ) ] = f ( x , y ) {:(32)f[f(x","t)","f(y","t)]=f(x","y):}(32)f[f(x,t),f(y,t)]=f(x,y)
a été étudiée par A. R. SCHWEITZER par la transformation en une équation à dérivée partielles [13], [14]. Dans les hypothèses de la continuité et de la monotonie stricte elle était résolu par m. HOSSZÚ [10]. Dans la même note se trouve aussi la résolution de l'équation plus générale
(33) f [ φ ( x , t ) , ψ ( y , t ) ] = g ( x , y ) (33) f [ φ ( x , t ) , ψ ( y , t ) ] = g ( x , y ) {:(33)f[varphi(x","t)","psi(y","t)]=g(x","y):}(33)f[φ(x,t),ψ(y,t)]=g(x,y)
mais seulement pour les fonctions monotones, qui admettent des derivées partielles de premier ordre. Nous donnons sa solution continue et strictement monotone, de nouveau par réduction à l'équation de l'associativité généralisée.
théoreme: 5. Les solutions de l'équation (33), qui soni continues, strictement monotones et inversables par rapport à x x xx et y y yy, soul données par les formules
(34) { f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) − G 1 ( y ) ] g ( x , y ) = H − 1 [ F 2 ( x ) − G 2 ( y ) ] φ ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) − G 3 ( y ) ] ψ ( x , y ) = G 1 − 1 [ G 2 ( x ) − G 3 ( y ) ] (34) { f ( x , y ) = H − 1 [ F 1 ( x ) − G 1 ( y ) ] g ( x , y ) = H − 1 [ F 2 ( x ) − G 2 ( y ) ] φ ( x , y ) = F 1 − 1 [ F 2 ( x ) − G 3 ( y ) ] ψ ( x , y ) = G 1 − 1 [ G 2 ( x ) − G 3 ( y ) ] {:(34){{:[f(x","y)=H^(-1){:[F_(1)(x)-G_(1)(y)]:}],[g(x","y)=H^(-1){:[F_(2)(x)-G_(2)(y)]:}],[varphi(x","y)=F_(1)^(-1){:[F_(2)(x)-G_(3)(y)]:}],[psi(x","y)=G_(1)^(-1){:[G_(2)(x)-G_(3)(y)]:}]:}:}(34){f(x,y)=H−1[F1(x)−G1(y)]g(x,y)=H−1[F2(x)−G2(y)]φ(x,y)=F1−1[F2(x)−G3(y)]ψ(x,y)=G1−1[G2(x)−G3(y)]
où F 1 , F 2 , G 1 , G 2 , G 3 , H F 1 , F 2 , G 1 , G 2 , G 3 , H F_(1),F_(2),G_(1),G_(2),G_(3),HF1,F2,G1,G2,G3,H sont des fonctions continues et strictement monotones.
En posant
ψ ( y , t ) = z , ψ ( y , t ) = z , psi(y,t)=z,ψ(y,t)=z,
d'où y = Ψ ¯ ( t , z ) y = Ψ ¯ ( t , z ) y= bar(Psi)(t,z)y=Ψ¯(t,z), l'équation (33) devient
(35) f [ φ ( x , t ) , z ] = g [ x , ψ ¯ ( l , z ) ] (35) f [ φ ( x , t ) , z ] = g [ x , ψ ¯ ( l , z ) ] {:(35)f[varphi(x","t)","z]=g[x"," bar(psi)(l","z)]:}(35)f[φ(x,t),z]=g[x,ψ¯(l,z)]
il suffit d'appliquer le théorème 2 et faire un calcul simple.
La solution de l'équation (32) s'obtient des formules (34) en posant f = g = φ = ψ f = g = φ = ψ f=g=varphi=psif=g=φ=ψ
(36) f ( x , y ) = F − 1 [ F ( x ) − F ( y ) ] (36) f ( x , y ) = F − 1 [ F ( x ) − F ( y ) ] {:(36)f(x","y)=F^(-1)[F(x)-F(y)]:}(36)f(x,y)=F−1[F(x)−F(y)]
  1. Pseudo-sommes à trois termes. Nous avons vu au no. 2, que si la fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) admet les deux décompositions de la forme (8)
    ou
    alors les fonctions φ , ψ , g φ , ψ , g varphi,psi,gφ,ψ,g et h h hh s'expriment par les formules (7), donc
(8) f ( x , y , z ) = g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] (8) f ( x , y , z ) = g [ φ ( x , y ) , z ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] {:(8)f(x","y","z)=g[varphi(x","y)","z]=h[x","psi(y","z)]:}(8)f(x,y,z)=g[φ(x,y),z]=h[x,ψ(y,z)]
f ( x , y , z ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] f ( x , y , z ) = H 3 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( y ) + G 2 ( z ) ] f(x,y,z)=H_(3)^(-1)[F_(1)(x)+G_(1)(y)+G_(2)(z)]f(x,y,z)=H3−1[F1(x)+G1(y)+G2(z)]
(37) f ( x , y , z ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) ] (37) f ( x , y , z ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) ] {:(37)f(x","y","z)=K^(-1)[F(x)+G(y)+H(z)]:}(37)f(x,y,z)=K−1[F(x)+G(y)+H(z)]
Réciproquement, étant donnée (37), si nous posons φ ( x , y ) = F ( x ) + G ( y ) φ ( x , y ) = F ( x ) + G ( y ) varphi(x,y)=F(x)+G(y)φ(x,y)=F(x)+G(y), g ( x , y ) = K − 1 [ x + H ( y ) ] , ψ ( x , y ) = G ( x ) + H ( y ) , h ( x , y ) = K − 1 [ F ( x ) + y ] g ( x , y ) = K − 1 [ x + H ( y ) ] , ψ ( x , y ) = G ( x ) + H ( y ) , h ( x , y ) = K − 1 [ F ( x ) + y ] g(x,y)=K^(-1)[x+H(y)],psi(x,y)=G(x)+H(y),h(x,y)=K^(-1)[F(x)+y]g(x,y)=K−1[x+H(y)],ψ(x,y)=G(x)+H(y),h(x,y)=K−1[F(x)+y], alors f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) admet les décompositions (8). Nous dirons que la fonction
(37) est une pscudo-somme à trois termes, si les fonctions F , G , H , K F , G , H , K F,G,H,KF,G,H,K sout continues et strictement monotones. Il résulte de ce que nous venons de dire:
théoreme: 6. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonclion continue et striclement monotone f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) soit une pseudo-somme à trois termes est l'existence des décompoisitions (8).
Conséquence. Il résulte des deux décompositiones (8) une troisième
f ( x , y , z ) = l [ k ( x , z ) , y ] f ( x , y , z ) = l [ k ( x , z ) , y ] f(x,y,z)=l[k(x,z),y]f(x,y,z)=l[k(x,z),y]
Les décompositions (8) sont équivalentes aux deux implications
(38)
{ f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) → f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 1 , y 2 , z 2 ) f ( x 1 , y 1 , z 2 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) → f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) { f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) → f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 1 , y 2 , z 2 ) f ( x 1 , y 1 , z 2 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) → f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) {{:[f{:(x_(2)","y_(1)","z_(1)):}=f{:(x_(1)","y_(2)","z_(1)):}rarr f{:(x_(2)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(1)","y_(2)","z_(2)):}],[f{:(x_(1)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(1)","y_(2)","z_(1)):}rarr f{:(x_(2)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(1)):}]:}{f(x2,y1,z1)=f(x1,y2,z1)→f(x2,y1,z2)=f(x1,y2,z2)f(x1,y1,z2)=f(x1,y2,z1)→f(x2,y1,z2)=f(x2,y2,z1)
Les implications (38) entrainent
(39) { f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) → f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) . (39) { f ( x 2 , y 1 , z 1 ) = f ( x 1 , y 2 , z 1 ) = f ( x 1 , y 1 , z 2 ) → f ( x 1 , y 2 , z 2 ) = f ( x 2 , y 1 , z 2 ) = f ( x 2 , y 2 , z 1 ) . {:(39){{:[f{:(x_(2)","y_(1)","z_(1)):}=f{:(x_(1)","y_(2)","z_(1)):}=f{:(x_(1)","y_(1)","z_(2)):}rarr],[f{:(x_(1)","y_(2)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(1)","z_(2)):}=f{:(x_(2)","y_(2)","z_(1)):}.]:}:}(39){f(x2,y1,z1)=f(x1,y2,z1)=f(x1,y1,z2)→f(x1,y2,z2)=f(x2,y1,z2)=f(x2,y2,z1).
Nous démontrerons que, réciproquement, (39) entraîne (38), c'est à dire il a lieu le
théoreme 7. L'implication (39) est nécessaire et suffisante pour que la fonction continue et strictement monotone f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) soit une pseudo-somme à trois termes.
L'implication (39) est identique à (9), recontré à l'occasion de la résolution de l'équation fonctionnelle de l'associativité généralisée. Nous avons vu que (39) entraîne que f ( x , y , z 0 ) f ( x , y , z 0 ) f(x,y,z_(0))f(x,y,z0) est de la forme (1), En tenant compte de la forme symétrique de (39) par rapport à x , y , z x , y , z x,y,zx,y,z, on a que f ( x , y 0 , z ) f ( x , y 0 , z ) f(x,y_(0),z)f(x,y0,z) et f ( x 0 , y , z ) f ( x 0 , y , z ) f(x_(0),y,z)f(x0,y,z) ont des expressions analogues.
Pour y 1 y 1 y_(1)y1 et z 1 z 1 z_(1)z1 fixes, on peut noter
f ( x , y , z 1 ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] (40) f ( x , y 1 , z ) = Ψ − 1 [ Φ ( x ) + H ( z ) ] f ( x , y , z 1 ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) ] (40) f ( x , y 1 , z ) = Ψ − 1 [ Φ ( x ) + H ( z ) ] {:[f{:(x","y","z_(1)):}=K^(-1)[F(x)+G(y)]],[(40)f{:(x","y_(1)","z):}=Psi^(-1)[Phi(x)+H(z)]]:}f(x,y,z1)=K−1[F(x)+G(y)](40)f(x,y1,z)=Ψ−1[Φ(x)+H(z)]
Nous substituons les expressions (40) en (39)
(41) F ( x 2 ) + G ( y 1 ) = F ( x 1 ) + G ( y 2 ) , Φ ( x 2 ) + H ( z 1 ) = Φ ( x 1 ) + H ( z 2 ) → Ψ − 1 [ Φ ( x 2 ) + H ( z 2 ) ] = K − 1 [ F ( x 2 ) + G ( y 2 ) ] . (41) F ( x 2 ) + G ( y 1 ) = F ( x 1 ) + G ( y 2 ) , Φ ( x 2 ) + H ( z 1 ) = Φ ( x 1 ) + H ( z 2 ) → Ψ − 1 [ Φ ( x 2 ) + H ( z 2 ) ] = K − 1 [ F ( x 2 ) + G ( y 2 ) ] . {:[(41)F{:(x_(2)):}+G{:(y_(1)):}=F{:(x_(1)):}+G{:(y_(2)):}","quad Phi{:(x_(2)):}+H{:(z_(1)):}=Phi{:(x_(1)):}+H{:(z_(2)):}rarr],[Psi^(-1)[Phi(x_(2))+H(z_(2))]=K^(-1)[F(x_(2))+G(y_(2))].]:}(41)F(x2)+G(y1)=F(x1)+G(y2),Φ(x2)+H(z1)=Φ(x1)+H(z2)→Ψ−1[Φ(x2)+H(z2)]=K−1[F(x2)+G(y2)].
Nous regardons x 1 x 1 x_(1)x1 et x 2 x 2 x_(2)x2 comme des variables indépendantes, les hypothèses de l'implication (41) permettent d'exprimer G ( y 2 ) G ( y 2 ) G(y_(2))G(y2) et H ( z 2 ) H ( z 2 ) H(z_(2))H(z2) en fonction de x 1 x 1 x_(1)x1 et x 2 x 2 x_(2)x2 ( y 1 y 1 y_(1)y1 et z 1 z 1 z_(1)z1 sont fixes); nous les substituons dans la conclusion de la même implication et obtenons l'équation fonctionnelle
Ψ − 1 [ 2 Φ ( x 2 ) − Φ ( x 1 ) + H ( z 1 ) ] = K − 1 [ 2 F ( x 2 ) − F ( x 1 ) + G ( y 1 ) ] . Ψ − 1 [ 2 Φ ( x 2 ) − Φ ( x 1 ) + H ( z 1 ) ] = K − 1 [ 2 F ( x 2 ) − F ( x 1 ) + G ( y 1 ) ] . Psi^(-1)[2Phi(x_(2))-Phi(x_(1))+H(z_(1))]=K^(-1)[2F(x_(2))-F(x_(1))+G(y_(1))].Ψ−1[2Φ(x2)−Φ(x1)+H(z1)]=K−1[2F(x2)−F(x1)+G(y1)].
Notons
Φ ( x 2 ) = x , Φ ( x 1 ) = y Φ ( x 2 ) = x , Φ ( x 1 ) = y Phi(x_(2))=x,quad Phi(x_(1))=yΦ(x2)=x,Φ(x1)=y
et
(42) K Ψ − 1 [ x + H ( z 1 ) ] − G ( y 1 ) = φ ( x ) , F Φ − 1 ( x ) = ψ ( x ) ; (42) K Ψ − 1 [ x + H ( z 1 ) ] − G ( y 1 ) = φ ( x ) , F Φ − 1 ( x ) = ψ ( x ) ; {:(42)KPsi^(-1)[x+H(z_(1))]-G{:(y_(1)):}=varphi(x)","FPhi^(-1)(x)=psi(x);:}(42)KΨ−1[x+H(z1)]−G(y1)=φ(x),FΦ−1(x)=ψ(x);
on a
φ ( 2 x − y ) = 2 ψ ( x ) − ψ ( y ) , φ ( 2 x − y ) = 2 ψ ( x ) − ψ ( y ) , varphi(2x-y)=2psi(x)-psi(y),φ(2x−y)=2ψ(x)−ψ(y),
ce qui devient, par le changement de fonction
(43) 2 ψ ( x 2 ) = χ ( x ) , (43) 2 ψ ( x 2 ) = χ ( x ) , {:(43)2psi((x)/(2))=chi(x)",":}(43)2ψ(x2)=χ(x),
l'équation fonctionnelle
χ ( x + y ) = φ ( x ) + ψ ( y ) . χ ( x + y ) = φ ( x ) + ψ ( y ) . chi(x+y)=varphi(x)+psi(y).χ(x+y)=φ(x)+ψ(y).
Cette équation a la solution [12]
φ ( x ) = a x + b , ψ ( x ) = a x + c , χ ( x ) = a x + b + c ; φ ( x ) = a x + b , ψ ( x ) = a x + c , χ ( x ) = a x + b + c ; varphi(x)=ax+b,quad psi(x)=ax+c,quad chi(x)=ax+b+c;φ(x)=ax+b,ψ(x)=ax+c,χ(x)=ax+b+c;
en tenant compte de (43), 2 c = b + c 2 c = b + c 2c=b+c2c=b+c, donc c = b c = b c=bc=b. Revenons à (42)
(44) F ( ξ ) = a Φ ( ξ ) + b K ( ξ ) = a Ψ ( ξ ) + b ′ (44) F ( ξ ) = a Φ ( ξ ) + b K ( ξ ) = a Ψ ( ξ ) + b ′ {:[(44)F(xi)=a Phi(xi)+b],[K(xi)=a Psi(xi)+b^(')]:}(44)F(ξ)=aΦ(ξ)+bK(ξ)=aΨ(ξ)+b′
où b ′ = b + G ( y 1 ) − a H ( z 1 ) b ′ = b + G ( y 1 ) − a H ( z 1 ) b^(')=b+G(y_(1))-aH(z_(1))b′=b+G(y1)−aH(z1).
La deuxième formule (40) devient
a Ψ [ f ( x , y 1 , z ) ] + b ′ = a Φ ( x ) + b + a H ( z ) + b ′ − b , a Ψ [ f ( x , y 1 , z ) ] + b ′ = a Φ ( x ) + b + a H ( z ) + b ′ − b , a Psi[f(x,y_(1),z)]+b^(')=a Phi(x)+b+aH(z)+b^(')-b,aΨ[f(x,y1,z)]+b′=aΦ(x)+b+aH(z)+b′−b,
ou en tenant compte de (44)
K [ f ( x , y 1 , z ) ] = F ( x ) + a H ( z ) + b ′ − b , K [ f ( x , y 1 , z ) ] = F ( x ) + a H ( z ) + b ′ − b , K[f(x,y_(1),z)]=F(x)+aH(z)+b^(')-b,K[f(x,y1,z)]=F(x)+aH(z)+b′−b,
en écrivant H 1 ( z ) H 1 ( z ) H_(1)(z)H1(z) pour a H ( z ) + b ′ − b a H ( z ) + b ′ − b aH(z)+b^(')-baH(z)+b′−b
f ( x , y 1 , z ) = K − 1 [ F ( x ) + H 1 ( z ) ] . f ( x , y 1 , z ) = K − 1 [ F ( x ) + H 1 ( z ) ] . f(x,y_(1),z)=K^(-1)[F(x)+H_(1)(z)].f(x,y1,z)=K−1[F(x)+H1(z)].
Nous faisons maintenant varier y 1 y 1 y_(1)y1, en tenant z 1 z 1 z_(1)z1 fixe. Dans la dernière formule seulement la fonction H 1 H 1 H_(1)H1 varie avec y 1 y 1 y_(1)y1, donc
f ( x , y , z ) = K − 1 [ F ( x ) + ψ ( y , z ) ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] . f ( x , y , z ) = K − 1 [ F ( x ) + ψ ( y , z ) ] = h [ x , ψ ( y , z ) ] . f(x,y,z)=K^(-1)[F(x)+psi(y,z)]=h[x,psi(y,z)].f(x,y,z)=K−1[F(x)+ψ(y,z)]=h[x,ψ(y,z)].
D'une façon analogue, f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) admet deux décompositions similaires : une fois avec x , y x , y x,yx,y groupés et deuxième fois avec x , z x , z x,zx,z groupés. Le théorème 7 résulte du théorème 6 .
Observations. 1) Si f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) est une pseudo-somme à deux termes pour des valeurs fixes arbitraires d'un variable quelconque, il ne résulte pas que f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) est une pseudo-somme à trois termes, comme nous montre l'exemple
f ( x , y , z ) = F ( x ) G ( y ) + H ( z ) . f ( x , y , z ) = F ( x ) G ( y ) + H ( z ) . f(x,y,z)=F(x)G(y)+H(z).f(x,y,z)=F(x)G(y)+H(z).
  1. Si la fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) est pseudo-somme par rapport à x , z x , z x,zx,z pour y y yy, fixé arbitrairement et en même temps par rapport à y , z y , z y,zy,z pour x x xx fixé arbitrairement, il ne résulte point qu'elle est pseudo-somme par rapport à x , y x , y x,yx,y pour z z zz fixe, comme on voit de l'exemple
f ( x , y , z ) = [ F ( x ) + G ( y ) ] M ( x ) H ( z ) . f ( x , y , z ) = [ F ( x ) + G ( y ) ] M ( x ) H ( z ) . f(x,y,z)=[F(x)+G(y)]M(x)H(z).f(x,y,z)=[F(x)+G(y)]M(x)H(z).
  1. L'interprétation géométrique du théorème 7. Nous considérons les points A ( x 2 , y 1 , z 1 ) , B ( x 1 , y 2 , z 1 ) , C ( x 1 , y 1 , z 2 ) , A ′ ( x 1 , y 2 , z 2 ) , B ′ ( x 2 , y 1 , z 2 ) A ( x 2 , y 1 , z 1 ) , B ( x 1 , y 2 , z 1 ) , C ( x 1 , y 1 , z 2 ) , A ′ ( x 1 , y 2 , z 2 ) , B ′ ( x 2 , y 1 , z 2 ) A(x_(2),y_(1),z_(1)),B(x_(1),y_(2),z_(1)),C(x_(1),y_(1),z_(2)),A^(')(x_(1),y_(2),z_(2)),B^(')(x_(2),y_(1),z_(2))A(x2,y1,z1),B(x1,y2,z1),C(x1,y1,z2),A′(x1,y2,z2),B′(x2,y1,z2), C ′ ( x 2 , y 2 , z 1 ) C ′ ( x 2 , y 2 , z 1 ) C^(')(x_(2),y_(2),z_(1))C′(x2,y2,z1) (fig. 2). L'implication (39) exprime que si les points A , B , C A , B , C A,B,CA,B,C sont sur la même surface de niveau de la fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z), alors les points A ′ , B ′ , C ′ A ′ , B ′ , C ′ A^('),B^('),C^(')A′,B′,C′ sont aussi sur une même surface de niveau. En autre termes : si nous essayons de construire des octaèdres avec deux faces parallèles au plan de coordonnée x y x y xyxy, deux faces parallèles au plan y z y z yzyz, deux parallèles à z x z x zxzx et avec deux faces courbes formées par des surfaces de niveau de la fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z), alors ces octaèdres peuvent être construits, il se ferment. Les plans parallèles aux plans de coordonnées et les surfaces de niveau de la fonction f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f(x,y,z)f(x,y,z) forment un tissu spatial, les octaèdres considérés plut haut sont les octaèdres de tissu. La condition (39) exprime que les octaèdres de tissu se ferment.
D'autre coté, si les surfaces courbes du
Fig. 2.
tissu ont les équations
K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) ] = const , K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) ] = const , K^(-1)[F(x)+G(y)+H(z)]="const",K−1[F(x)+G(y)+H(z)]=const,
alors le tissu est topologiquement équivalent à un tissu formé par quatre famille de plans parallèles, qui s'appele un tissu régulier. Voici maintenant l'interprétation du téorème 7: La condition nécessaire et suffisante pour qu'un tissu spatial soit topologiquement équivalent à un tissu régulier est que tous les octaèdres de tissu se ferment. Nous avons retrouvé un résultat bien connu de la géométrie des tissus [6].
9. Séparation des variables. Pour représenter nomographiquement la fonction
(45) y = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) (45) y = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {:(45)y=f{:(x_(1)","x_(2)","dots","x_(n)):}:}(45)y=f(x1,x2,…,xn)
on cherche la séparation des variables sous la forme
f ( x 1 , … , x n ) = F [ φ 1 ( x 1 , … , x p 1 ) , φ 2 ( x p 1 + 1 , … , x p 2 ) (46) … , φ r ( x p r − 1 + 1 , … , x p ) , x p r + 1 , … , x n ] f ( x 1 , … , x n ) = F [ φ 1 ( x 1 , … , x p 1 ) , φ 2 ( x p 1 + 1 , … , x p 2 ) (46) … , φ r ( x p r − 1 + 1 , … , x p ) , x p r + 1 , … , x n ] {:[f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=F{:[varphi_(1)(x_(1),dots,x_(p_(1)))","varphi_(2)(x_(p_(1))+1,dots,x_(p_(2))):}],[(46){: dots","varphi_(r)(x_(p_(r-1)+1),dots,x_(p))","x_(p_(r)+1)","dots","x_(n)]:}]:}f(x1,…,xn)=F[φ1(x1,…,xp1),φ2(xp1+1,…,xp2)(46)…,φr(xpr−1+1,…,xp),xpr+1,…,xn]
Si chacune des équations
(-47) { ξ 1 = φ 1 ( x 1 , … , x p 1 ) ξ 2 = φ 2 ( x p 1 + 1 , … , x p 2 ) ξ r = φ r ( x p r − 1 , … , x p r ) y = F ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ r , x p r + 1 , … , x n ) (-47) { ξ 1 = φ 1 ( x 1 , … , x p 1 ) ξ 2 = φ 2 ( x p 1 + 1 , … , x p 2 ) ξ r = φ r ( x p r − 1 , … , x p r ) y = F ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ r , x p r + 1 , … , x n ) {:(-47){{:[xi_(1)=varphi_(1){:(x_(1)","dots","x_(p_(1))):}],[xi_(2)=varphi_(2){:(x_(p_(1)+1)","dots","x_(p_(2))):}],[xi_(r)=varphi_(r){:(x_(p_(r-1))","dots","x_(p_(r))):}],[y=F{:(xi_(1)","xi_(2)","dots","xi_(r)","x_(p_(r)+1)","dots","x_(n)):}]:}:}(-47){ξ1=φ1(x1,…,xp1)ξ2=φ2(xp1+1,…,xp2)ξr=φr(xpr−1,…,xpr)y=F(ξ1,ξ2,…,ξr,xpr+1,…,xn)
est représentable nomographiquement, alors on peut contruire un nomogramme composé pour l'équation (45).
L. BAL et moi nous avons établi les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de la décomposition (46), dans le cas des fonctions F F FF et φ i φ i varphi_(i)φi différentiables [4], [5], sous la forme
∂ ∂ x j ( j x i ′ j x i + 1 ′ ) = 0 (48) ( k = 1 , 2 , … , r ) ( i = p k − 1 + 1 , … , p k − 1 ) ( p 0 = 0 ) ( j = 1 , … , p k − 1 , p k + 1 , … , n ) ∂ ∂ x j ( j x i ′ j x i + 1 ′ ) = 0 (48) ( k = 1 , 2 , … , r ) ( i = p k − 1 + 1 , … , p k − 1 ) ( p 0 = 0 ) ( j = 1 , … , p k − 1 , p k + 1 , … , n ) (del)/(delx_(j))((j_(x_(i))^('))/(j_(x_(i+1))^(')))=0quad{:[(48)(k=1","2","dots","r)],[{:(i=p_(k-1)+1","dots","p_(k)-1):}{:(p_(0)=0):}],[{:(j=1","dots","p_(k-1)","p_(k)+1","dots","n):}]:}∂∂xj(jxi′jxi+1′)=0(48)(k=1,2,…,r)(i=pk−1+1,…,pk−1)(p0=0)(j=1,…,pk−1,pk+1,…,n)
Dans la démonstration nous avons fait usage du
Lemme 1. Si la fonction f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) admet les décompositions
(49) f ( x 1 , … , x n ) = F k [ x 1 , … , x p l − 1 , φ k ( x p k − 1 + 1 , … , x p k ) , x p k + 1 , … , x n ] (49) f ( x 1 , … , x n ) = F k [ x 1 , … , x p l − 1 , φ k ( x p k − 1 + 1 , … , x p k ) , x p k + 1 , … , x n ] {:(49)f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=F_(k){:[x_(1)","dots","x_(p_(l-1))","varphi_(k)(x_(p_(k-1)+1),dots,x_(p_(k)))","x_(p_(k)+1)","dots","x_(n)]:}:}(49)f(x1,…,xn)=Fk[x1,…,xpl−1,φk(xpk−1+1,…,xpk),xpk+1,…,xn]
( k = 1 , 2 , … , r ) ( p 0 = 0 ) ( k = 1 , 2 , … , r ) ( p 0 = 0 ) (k=1,2,dots,r)(p_(0)=0)(k=1,2,…,r)(p0=0), alors la décomposition (46) est valable. Ici les fonctions F k , φ k F k , φ k F_(k),varphi_(k)Fk,φk ne sont pas soumises à aucune condition restrictive.
Pour établir les conditions dans lesquelles la fonction ( 45 ) admet la décomposition (46) dans le cas des fonctions F F FF et φ j φ j varphi_(j)φj continues et strictement monotones, nous énonçons le lemme suivant, dont la démonstration ne présent pas de difficulté.
Lemme2. Pour que la fonction f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn), continue et strictement monotone par rapport à chaque variable, soit de la forme
(50) f ( x 1 , … , x n ) = F [ φ ( x 1 , … , x p ) , x p + i , … , x n ] (50) f ( x 1 , … , x n ) = F [ φ ( x 1 , … , x p ) , x p + i , … , x n ] {:(50)f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=F{:[varphi(x_(1),dots,x_(p))","x_(p+i)","dots","x_(n)]:}:}(50)f(x1,…,xn)=F[φ(x1,…,xp),xp+i,…,xn]
il faut et il suffit l'implication
(51) { f ( x 1 , x 2 , … x p . x p + 1 , … , x n ) = f ( y 1 , y 2 , … , y p , x p + 1 , … , x n ) → f ( x 1 , x 2 , … , x p , y p + 1 , … , y n ) = f ( y 1 , y 2 , … , y p , y p + 1 , … , y n ) (51) { f ( x 1 , x 2 , … x p . x p + 1 , … , x n ) = f ( y 1 , y 2 , … , y p , x p + 1 , … , x n ) → f ( x 1 , x 2 , … , x p , y p + 1 , … , y n ) = f ( y 1 , y 2 , … , y p , y p + 1 , … , y n ) {:(51){{:[f{:(x_(1)","x_(2)","dotsx_(p).x_(p+1)","dots","x_(n)):}=f{:(y_(1)","y_(2)","dots","y_(p)","x_(p+1)","dots","x_(n)):}rarr],[f{:(x_(1)","x_(2)","dots","x_(p)","y_(p+1)","dots","y_(n)):}=f{:(y_(1)","y_(2)","dots","y_(p)","y_(p+1)","dots","y_(n)):}]:}:}(51){f(x1,x2,…xp.xp+1,…,xn)=f(y1,y2,…,yp,xp+1,…,xn)→f(x1,x2,…,xp,yp+1,…,yn)=f(y1,y2,…,yp,yp+1,…,yn)
La 2 généralise le théorème 1 .
Des lemmes 1 et 2 il résulte immediatement :
THÉOREME 8. Pour que la fonction continue et strictement monotone f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) soit de la forme (46) avec F F FF et φ i φ i varphi_(i)φi continues et strictement monotones il faut et il suffit que les relations
( i k = 0 , 1 ; j k = 0 , 1 i k = 0 , 1 ; j k = 0 , 1 i_(k)=0,1;j_(k)=0,1ik=0,1;jk=0,1 ) valables pour
i s = 0 , j s = 1 , i σ = j σ = 0 , ( s = p k − 1 + 1 , … , p k ) ( σ = 1 , … , p k − 1 , p k + 1 , … , n ) ( k = 1 , 2 , … , r ) , ( p 0 = 0 ) i s = 0 , j s = 1 , i σ = j σ = 0 , ( s = p k − 1 + 1 , … , p k ) ( σ = 1 , … , p k − 1 , p k + 1 , … , n ) ( k = 1 , 2 , … , r ) , ( p 0 = 0 ) {:[i_(s)=0","j_(s)=1","i_(sigma)=j_(sigma)=0",",{:(s=p_(k-1)+1","dots","p_(k)):}],[,{:(sigma=1","dots","p_(k-1)","p_(k)+1","dots","n):}],[,(k=1","2","dots","r)","{:(p_(0)=0):}]:}is=0,js=1,iσ=jσ=0,(s=pk−1+1,…,pk)(σ=1,…,pk−1,pk+1,…,n)(k=1,2,…,r),(p0=0)
i s = 0 , j s = 1 , i σ = j σ = 1 i s = 0 , j s = 1 , i σ = j σ = 1 i_(s)=0,quadj_(s)=1,quadi_(sigma)=j_(sigma)=1is=0,js=1,iσ=jσ=1
s s ss et σ σ sigmaσ ayant les mêmes significations que plus haut.
10. Généralisation des pseudo-sommes. Dans les décompositions (49) es r r rr fonctions φ k φ k varphi_(k)φk ne contiennent pas des variables communes. Si nous sup-
posons que la fonction f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) admette des décompositions, dans lesquelles une variable figure sous plusieures fonctions intérieures, alors nous verrons qu'il résultera une forme plus particulière pour f f ff.
Considérons premièrement l'exemple
(53) f ( x , y , z , u ) = g [ φ ( x , y , z ) , u ] = h [ x , ψ ( y , z , u ) ] (53) f ( x , y , z , u ) = g [ φ ( x , y , z ) , u ] = h [ x , ψ ( y , z , u ) ] {:(53)f(x","y","z","u)=g[varphi(x","y","z)","u]=h[x","psi(y","z","u)]:}(53)f(x,y,z,u)=g[φ(x,y,z),u]=h[x,ψ(y,z,u)]
où les fonctions φ , ψ , g , h φ , ψ , g , h varphi,psi,g,hφ,ψ,g,h sont continues et monotones.
Le théorème 6 nous montre que les fonctions f ( x , y , z 0 , u ) f ( x , y , z 0 , u ) f(x,y,z_(0),u)f(x,y,z0,u) et f ( x , y 0 , z , u ) f ( x , y 0 , z , u ) f(x,y_(0),z,u)f(x,y0,z,u) sont des pseudo-sommes à trois termes
(54) { f ( x , y , z 0 , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( u ) ] f ( x , y 0 , z , u ) = K 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( z ) + H 1 ( u ) ] . (54) { f ( x , y , z 0 , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( u ) ] f ( x , y 0 , z , u ) = K 1 − 1 [ F 1 ( x ) + G 1 ( z ) + H 1 ( u ) ] . {:(54){{:[f{:(x","y","z_(0)","u):}=K^(-1)[F(x)+G(y)+H(u)]],[f{:(x","y_(0)","z","u):}=K_(1)^(-1){:[F_(1)(x)+G_(1)(z)+H_(1)(u)]:}.]:}:}(54){f(x,y,z0,u)=K−1[F(x)+G(y)+H(u)]f(x,y0,z,u)=K1−1[F1(x)+G1(z)+H1(u)].
En posant dans la première égalité (54) y = y 0 y = y 0 y=y_(0)y=y0 et dans la deuxième z = z 0 z = z 0 z=z_(0)z=z0, on obtient deux représentations pour la même pseudo-somme à deux termes. On a [12]
F 1 ( x ) = a F ( x ) + b H 1 ( x ) = a H ( x ) + a G ( y 0 ) − G 1 ( z 0 ) + c K 1 ( x ) = a K ( x ) + b + c F 1 ( x ) = a F ( x ) + b H 1 ( x ) = a H ( x ) + a G ( y 0 ) − G 1 ( z 0 ) + c K 1 ( x ) = a K ( x ) + b + c {:[F_(1)(x)=aF(x)+b],[H_(1)(x)=aH(x)+aG{:(y_(0)):}-G_(1){:(z_(0)):}+c],[K_(1)(x)=aK(x)+b+c]:}F1(x)=aF(x)+bH1(x)=aH(x)+aG(y0)−G1(z0)+cK1(x)=aK(x)+b+c
donc la deuxième égalitè (54) s'écrit
f ( x , y 0 , z , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G 1 ( z ) + G ( y 0 ) − 1 a G 1 ( z 0 ) + H ( u ) ] f ( x , y 0 , z , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G 1 ( z ) + G ( y 0 ) − 1 a G 1 ( z 0 ) + H ( u ) ] f(x,y_(0),z,u)=K^(-1)[F(x)+G_(1)(z)+G(y_(0))-(1)/(a)G_(1)(z_(0))+H(u)]f(x,y0,z,u)=K−1[F(x)+G1(z)+G(y0)−1aG1(z0)+H(u)]
Nous faisons varier y 0 y 0 y_(0)y0, en laissant z 0 z 0 z_(0)z0 fixe ; alors F , H , G F , H , G F,H,GF,H,G et K K KK ne se change pas, et
G 1 ( z ) + G ( y 0 ) − 1 a G 1 ( z 0 ) = G ( y 0 , z ) G 1 ( z ) + G ( y 0 ) − 1 a G 1 ( z 0 ) = G ( y 0 , z ) G_(1)(z)+G(y_(0))-(1)/(a)G_(1)(z_(0))=G(y_(0),z)G1(z)+G(y0)−1aG1(z0)=G(y0,z)
donc
(55) f ( x , y ′ , z , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y , z ) + H ( u ) ] (55) f ( x , y ′ , z , u ) = K − 1 [ F ( x ) + G ( y , z ) + H ( u ) ] {:(55)f(x","y^(')","z","u)=K^(-1)[F(x)+G(y","z)+H(u)]:}(55)f(x,y′,z,u)=K−1[F(x)+G(y,z)+H(u)]
Par conséquent, (53) entraîne (55) et évidemment (55) entraîne (53). Ce résultat peut être généralisé :
theoreme 9. Les décompositions
(56) f ( x 1 , … , x n ) = g [ φ ( x 1 , … , x q ) , x q + 1 , … , x n ] = = h [ x 1 , … , x p , Ψ ( x p + 1 , … , x n ) ] (56) f ( x 1 , … , x n ) = g [ φ ( x 1 , … , x q ) , x q + 1 , … , x n ] = = h [ x 1 , … , x p , Ψ ( x p + 1 , … , x n ) ] {:[(56)f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=g{:[varphi(x_(1),dots,x_(q))","x_(q+1)","dots","x_(n)]:}=],[=h{:[x_(1)","dots","x_(p)","Psi(x_(p+1),dots,x_(n))]:}]:}(56)f(x1,…,xn)=g[φ(x1,…,xq),xq+1,…,xn]==h[x1,…,xp,Ψ(xp+1,…,xn)]
( p < q ) ( p < q ) (p < q)(p<q), où φ , ψ , g , h φ , ψ , g , h varphi,psi,g,hφ,ψ,g,h sont des fonctions continues et strictement monotones, sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) soit de la forme
(57) f ( x 1 , … , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H ( x q + 1 , … , x n ) ] (57) f ( x 1 , … , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H ( x q + 1 , … , x n ) ] {:[(57)f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=K^(-1)[F(x_(1),dots,x_(p))+G(x_(p+1),dots,x_(q))+],[+H(x_(q+1),dots,x_(n))]]:}(57)f(x1,…,xn)=K−1[F(x1,…,xp)+G(xp+1,…,xq)++H(xq+1,…,xn)]
F , G , H , K F , G , H , K F,G,H,KF,G,H,K étant continues et strictement monotones.
La formule (57) peut être mise sous la forme (56), il reste donc à établir
( 56 ) → ( 57 ) ( 56 ) → ( 57 ) (56)rarr(57)(56)→(57). Nous avons vu que cette implication est valable pour n = 4 n = 4 n=4n=4.
Nous la supposons valable pour n − 1 ≧ 4 n − 1 ≧ 4 n-1 >= 4n−1≧4 et nous la démontrerons pour n n nn. Parceque n ≧ 5 n ≧ 5 n >= 5n≧5, il y a deux éléments au moins dans un des groupes de variables x 1 , … , x p ; x p + 1 , … , x q ; x q + 1 , … , x n x 1 , … , x p ; x p + 1 , … , x q ; x q + 1 , … , x n x_(1),dots,x_(p);x_(p+1),dots,x_(q);x_(q+1),dots,x_(n)x1,…,xp;xp+1,…,xq;xq+1,…,xn; supposons pour fixer les idées que c'est la troisième. Il résulte de l'hypothèse d'induction
(58) { f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 , x n 0 ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + + G ( x p + 1 , … , x q ) + H ′ ( x q + 1 , … , x n − 1 , x n − 2 ) ] f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 0 , x n ) = K 1 − 1 [ F 1 ( x 1 , … , x p ) + + G 1 ( x p + 1 , … , x q ) + H 1 ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n ) ] (58) { f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 , x n 0 ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + + G ( x p + 1 , … , x q ) + H ′ ( x q + 1 , … , x n − 1 , x n − 2 ) ] f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 0 , x n ) = K 1 − 1 [ F 1 ( x 1 , … , x p ) + + G 1 ( x p + 1 , … , x q ) + H 1 ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n ) ] {:(58){{:[f{:(x_(1)","dots","x_(n-2)","x_(n-1)","x_(n)^(0)):}=K^(-1)[F(x_(1),dots,x_(p))+],[+G(x_(p+1),dots,x_(q))+H^(')(x_(q+1),dots,x_(n-1),x_(n-2))]],[f{:(x_(1)","dots","x_(n-2)","x_(n-1)^(0)","x_(n)):}=K_(1)^(-1){:[F_(1)(x_(1),dots,x_(p))+:}],[{:+G_(1)(x_(p+1),dots,x_(q))+H_(1)(x_(q+1),dots,x_(n-2),x_(n))]:}]:}:}(58){f(x1,…,xn−2,xn−1,xn0)=K−1[F(x1,…,xp)++G(xp+1,…,xq)+H′(xq+1,…,xn−1,xn−2)]f(x1,…,xn−2,xn−10,xn)=K1−1[F1(x1,…,xp)++G1(xp+1,…,xq)+H1(xq+1,…,xn−2,xn)]
On a
K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + (59) + H ′ ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n − 1 0 ) ] = K 1 − 1 [ F 1 ( x 1 , … , x p ) + + G 1 ( x p + 1 , … , x q ) + H 1 ( x q − 1 , … , x n − 2 , x n 0 ) ] K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + (59) + H ′ ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n − 1 0 ) ] = K 1 − 1 [ F 1 ( x 1 , … , x p ) + + G 1 ( x p + 1 , … , x q ) + H 1 ( x q − 1 , … , x n − 2 , x n 0 ) ] {:[K^(-1)[F(x_(1),dots,x_(p))+G(x_(p+1),dots,x_(q))+],[(59)+H^(')(x_(q+1),dots,x_(n-2),x_(n-1)^(0))]=K_(1)^(-1){:[F_(1)(x_(1),dots,x_(p))+:}],[{:+G_(1)(x_(p+1),dots,x_(q))+H_(1)(x_(q-1),dots,x_(n-2),x_(n)^(0))]:}]:}K−1[F(x1,…,xp)+G(xp+1,…,xq)+(59)+H′(xq+1,…,xn−2,xn−10)]=K1−1[F1(x1,…,xp)++G1(xp+1,…,xq)+H1(xq−1,…,xn−2,xn0)]
En fixant toutes les variables sauf x 1 x 1 x_(1)x1 et x p + 1 x p + 1 x_(p+1)xp+1, on obtient deux représentations de la même pseudo-somme à deux termes, donc K 1 = a K + a ′ [ 12 ] K 1 = a K + a ′ [ 12 ] K_(1)=aK+a^(')[12]K1=aK+a′[12]. En substituant cette expression de K 1 K 1 K_(1)K1 dans la deuxième équation (58) et en écrivant pour 1 a F 1 , 1 a G 1 , 1 a H 1 − a ′ 1 a F 1 , 1 a G 1 , 1 a H 1 − a ′ (1)/(a)F_(1),(1)/(a)G_(1),(1)/(a)H_(1)-a^(')1aF1,1aG1,1aH1−a′ simplement F 1 , G 1 , H 1 F 1 , G 1 , H 1 F_(1),G_(1),H_(1)F1,G1,H1, on obtient a même forme pour la deuxième équation (58) avec la seule modification qu'au lieu de K 1 K 1 K_(1)K1 on aura K K KK. Dans (59) les arguments de la fonction K − 1 K − 1 K^(-1)K−1 doivent être égales, donc
F 1 ( x 1 , … , x p ) = F ( x 1 , … , x p ) , G 1 ( x p + 1 , … , x q ) = G ( x p + 1 , … , x q ) F 1 ( x 1 , … , x p ) = F ( x 1 , … , x p ) , G 1 ( x p + 1 , … , x q ) = G ( x p + 1 , … , x q ) F_(1)(x_(1),dots,x_(p))=F(x_(1),dots,x_(p)),G_(1)(x_(p+1),dots,x_(q))=G(x_(p+1),dots,x_(q))F1(x1,…,xp)=F(x1,…,xp),G1(xp+1,…,xq)=G(xp+1,…,xq)
La deuxième équation (58) s'écrit
f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 o , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H 1 ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n ) ] f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 o , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H 1 ( x q + 1 , … , x n − 2 , x n ) ] {:[f{:(x_(1)","dots","x_(n-2)","x_(n-1)^(o)","x_(n)):}=K^(-1)[F(x_(1),dots,x_(p))+G(x_(p+1),dots,x_(q))+],[{:+H_(1)(x_(q+1),dots,x_(n-2),x_(n))]:}]:}f(x1,…,xn−2,xn−1o,xn)=K−1[F(x1,…,xp)+G(xp+1,…,xq)++H1(xq+1,…,xn−2,xn)]
Nous faisons varier x n − 1 o x n − 1 o x_(n-1)^(o)xn−1o, en laissant x n o x n o x_(n)^(o)xno fixe ; alors les fonctions F , G , K − 1 F , G , K − 1 F,G,K^(-1)F,G,K−1 ne changent pas et nous obtenons
f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H ( x q + 1 , … , x n − 1 , x n ) ] f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = K − 1 [ F ( x 1 , … , x p ) + G ( x p + 1 , … , x q ) + + H ( x q + 1 , … , x n − 1 , x n ) ] {:[f{:(x_(1)","x_(2)","dots","x_(n)):}=K^(-1)[F(x_(1),dots,x_(p))+G(x_(p+1),dots,x_(q))+],[+H(x_(q+1),dots,x_(n-1),x_(n))]]:}f(x1,x2,…,xn)=K−1[F(x1,…,xp)+G(xp+1,…,xq)++H(xq+1,…,xn−1,xn)]
Le théorème 9 est démontré.
Supposons maintenant que f ( x , y , z , u ) f ( x , y , z , u ) f(x,y,z,u)f(x,y,z,u) admette les décompositions suivantes :
Il résulte de ce que nous venons de montrer
f ( x , y , z , u ) = L − 1 [ F ( x , y ) + H ( z ) + K ( u ) ] = = L 1 − 1 [ F 1 ( x , y ) + G 1 ( y ) + K 1 ( u ) ] f ( x , y , z , u ) = L − 1 [ F ( x , y ) + H ( z ) + K ( u ) ] = = L 1 − 1 [ F 1 ( x , y ) + G 1 ( y ) + K 1 ( u ) ] {:[f(x","y","z","u)=L^(-1)[F(x","y)+H(z)+K(u)]=],[=L_(1)^(-1){:[F_(1)(x","y)+G_(1)(y)+K_(1)(u)]:}]:}f(x,y,z,u)=L−1[F(x,y)+H(z)+K(u)]==L1−1[F1(x,y)+G1(y)+K1(u)]
En donnant des valeurs constantes à y y yy et z z zz, on voit comme plus haut qu'on peut supposer L 1 = L L 1 = L L_(1)=LL1=L. Puis nous posons z = z = z=z= const, et nous trouvons F ( x , y ) = F 1 ( x , z 0 ) + G 1 ( y ) = F ( x ) + G ( y ) F ( x , y ) = F 1 ( x , z 0 ) + G 1 ( y ) = F ( x ) + G ( y ) F(x,y)=F_(1)(x,z_(0))+G_(1)(y)=F(x)+G(y)F(x,y)=F1(x,z0)+G1(y)=F(x)+G(y), donc
(61) f ( x , y , z , u ) = L − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) + K ( u ) ] (61) f ( x , y , z , u ) = L − 1 [ F ( x ) + G ( y ) + H ( z ) + K ( u ) ] {:(61)f(x","y","z","u)=L^(-1)[F(x)+G(y)+H(z)+K(u)]:}(61)f(x,y,z,u)=L−1[F(x)+G(y)+H(z)+K(u)]
Par conséquent, les trois décompositions (60) sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction f ( x , y , z , u ) f ( x , y , z , u ) f(x,y,z,u)f(x,y,z,u) soit une pseudo-somme à quatre termes.
On trouve par induction complète :
theorme 10. Les décompositions
(62)
f ( x 1 , … , x n ) = g i [ φ i ( x 1 , … , x i − 1 , x i + 1 , … , x n ) , x i ] f ( x 1 , … , x n ) = g i [ φ i ( x 1 , … , x i − 1 , x i + 1 , … , x n ) , x i ] f(x_(1),dots,x_(n))=g_(i)[varphi_(i)(x_(1),dots,x_(i-1),x_(i+1),dots,x_(n)),x_(i)]f(x1,…,xn)=gi[φi(x1,…,xi−1,xi+1,…,xn),xi]
( i = 2 , … , n ) ( i = 2 , … , n ) (i=2,dots,n)(i=2,…,n), où φ i φ i varphi_(i)φi et g i g i g_(i)gi sont des fonctions continues el strictement monotones, sont nécessaire et suffisantes pour que la fonction f f ff soit une pseudosomme à n n nn termes
(63) f ( x 1 , … , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + F 2 ( x 2 ) + … + F n ( x n ) ] (63) f ( x 1 , … , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + F 2 ( x 2 ) + … + F n ( x n ) ] {:(63)f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=F^(-1){:[F_(1)(x_(1))+F_(2)(x_(2))+dots+F_(n)(x_(n))]:}:}(63)f(x1,…,xn)=F−1[F1(x1)+F2(x2)+…+Fn(xn)]
F i F i F_(i)Fi et F F FF étant des fonctions continues et strictement monolones.
Le théorème 10 généralise le théorème 6. Le théorème 7 se généralise comme il suit:
thé oreme 11. La condition nécessaire et suffisanle pour que la fonction continues et strictement monotone f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) soit une pseudo-somme à n ⩾ 3 n ⩾ 3 n >= 3n⩾3 termes est que les relations
(64) f ( x 1 ( i 1 ) , x 2 ( i 2 ) , … , x n ( i n ) ) = f ( x 1 ( j 1 ) , x 2 ( j 2 ) , … , x n ( j n ) ) (64) f ( x 1 ( i 1 ) , x 2 ( i 2 ) , … , x n ( i n ) ) = f ( x 1 ( j 1 ) , x 2 ( j 2 ) , … , x n ( j n ) ) {:(64)f(x_(1)^((i_(1)))","x_(2)^((i_(2)))","dots","x_(n)^((i_(n))))=f(x_(1)^((j_(1)))","x_(2)^((j_(2)))","dots","x_(n)^((j_(n)))):}(64)f(x1(i1),x2(i2),…,xn(in))=f(x1(j1),x2(j2),…,xn(jn))
valables pour les indices i k = 0 , 1 , j k = 0 , 1 i k = 0 , 1 , j k = 0 , 1 i_(k)=0,1,j_(k)=0,1ik=0,1,jk=0,1 qui vérifient ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 1 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 1 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=1∑k=1nik=∑k=1njk=1, entraînent les mêmes relations (64) pour ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 2 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 2 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=2∑k=1nik=∑k=1njk=2.
Pour n = 3 n = 3 n=3n=3 ce théorème coïncide avec le théorème 7. Nous démontrerons la suffisance de la condition par induction, en la supposant pour n − 1 n − 1 n-1n−1. Nous admettons que les relations (64) avec ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 1 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 1 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=1∑k=1nik=∑k=1njk=1 entraînent les mêmes relations avec ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 2 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 2 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=2∑k=1nik=∑k=1njk=2, et démontrons que f f ff est une pseudo-somme.
Considérons la fonction
φ ( x 1 , … , x n − 1 ) = f ( x 1 , … , x n − 1 , x n ( 0 ) ) φ ( x 1 , … , x n − 1 ) = f ( x 1 , … , x n − 1 , x n ( 0 ) ) varphi(x_(1),dots,x_(n-1))=f(x_(1),dots,x_(n-1),x_(n)^((0)))φ(x1,…,xn−1)=f(x1,…,xn−1,xn(0))
et supposons que
(65) φ ( x 1 ( i 1 ) , … , x n − 1 ( i n − 1 ) ) = ( x 1 ( i 1 ) , … , x n − 1 ( i n − 1 ) ) , (65) φ ( x 1 ( i 1 ) , … , x n − 1 ( i n − 1 ) ) = ( x 1 ( i 1 ) , … , x n − 1 ( i n − 1 ) ) , {:(65)varphi(x_(1)^((i_(1)))","dots","x_(n-1)^((i_(n-1))))=(x_(1)^((i_(1)))","dots","x_(n-1)^((i_(n-1))))",":}(65)φ(x1(i1),…,xn−1(in−1))=(x1(i1),…,xn−1(in−1)),
si i k = 0 , 1 , j k = 0 , 1 , ∑ k = 1 n − 1 i k = ∑ k = 1 n − 1 j k = 1 i k = 0 , 1 , j k = 0 , 1 , ∑ k = 1 n − 1   i k = ∑ k = 1 n − 1   j k = 1 i_(k)=0,1,j_(k)=0,1,sum_(k=1)^(n-1)i_(k)=sum_(k=1)^(n-1)j_(k)=1ik=0,1,jk=0,1,∑k=1n−1ik=∑k=1n−1jk=1. Déterminons x n ( 1 ) x n ( 1 ) x_(n)^((1))xn(1) de la mantère
suivante :
φ ( x 1 ( 1 ) , x 2 ( 0 ) , … , x n − 1 ( 0 ) ) = f ( x 1 ( 0 ) , … , x n − 1 ( 0 ) , x n ( 1 ) ) . φ ( x 1 ( 1 ) , x 2 ( 0 ) , … , x n − 1 ( 0 ) ) = f ( x 1 ( 0 ) , … , x n − 1 ( 0 ) , x n ( 1 ) ) . varphi(x_(1)^((1)),x_(2)^((0)),dots,x_(n-1)^((0)))=f(x_(1)^((0)),dots,x_(n-1)^((0)),x_(n)^((1))).φ(x1(1),x2(0),…,xn−1(0))=f(x1(0),…,xn−1(0),xn(1)).
Alors la fonction f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) verifie (64) pour ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 1 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 1 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=1∑k=1nik=∑k=1njk=1, donc aussi pour ∑ k = 1 n i k = ∑ k = 1 n j k = 2 ∑ k = 1 n   i k = ∑ k = 1 n   j k = 2 sum_(k=1)^(n)i_(k)=sum_(k=1)^(n)j_(k)=2∑k=1nik=∑k=1njk=2. En tenant compte de la définition de la fonction φ ( x 1 , … , x n − 1 ) φ ( x 1 , … , x n − 1 ) varphi(x_(1),dots,x_(n-1))φ(x1,…,xn−1) on voit que les conditions (65) sont satisfaites pour ∑ k = 1 n − 1 i k = ∑ k = 1 n − 1 j k = 2 ∑ k = 1 n − 1   i k = ∑ k = 1 n − 1   j k = 2 sum_(k=1)^(n-1)i_(k)=sum_(k=1)^(n-1)j_(k)=2∑k=1n−1ik=∑k=1n−1jk=2. Par conséquent les relations (65) pour ∑ k = 1 n − 1 i k = ∑ k = 1 n − 1 j k == 1 ∑ k = 1 n − 1   i k = ∑ k = 1 n − 1   j k == 1 sum_(k=1)^(n-1)i_(k)=sum_(k=1)^(n-1)j_(k)==1∑k=1n−1ik=∑k=1n−1jk==1 entrainent les relations (65) pour
∑ k = 1 n − 1 i k = ∑ k = 1 n − 1 j k = 2 , ∑ k = 1 n − 1   i k = ∑ k = 1 n − 1   j k = 2 , sum_(k=1)^(n-1)i_(k)=sum_(k=1)^(n-1)j_(k)=2,∑k=1n−1ik=∑k=1n−1jk=2,
done nous obtenons par l'application de l'hypothèse d'induction
Done
φ ( x 1 , … , x n − 1 ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 1 ( x n − 1 ) ] . φ ( x 1 , … , x n − 1 ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 1 ( x n − 1 ) ] . varphi(x_(1),dots,x_(n-1))=F^(-1)[F_(1)(x_(1))+dots+F_(n-1)(x_(n-1))].φ(x1,…,xn−1)=F−1[F1(x1)+…+Fn−1(xn−1)].
f ( x 1 , … , x n − 1 , x n ( 0 ) ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 1 ( x n − 1 ) ] f ( x 1 , … , x n − 1 , x n ( 0 ) ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 1 ( x n − 1 ) ] f(x_(1),dots,x_(n-1),x_(n)^((0)))=F^(-1)[F_(1)(x_(1))+dots+F_(n-1)(x_(n-1))]f(x1,…,xn−1,xn(0))=F−1[F1(x1)+…+Fn−1(xn−1)]
et aussi
f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 ( 0 ) , x n ) = Φ − 1 [ Φ 1 ( x 1 ) + … + Φ n − 2 ( x n − 2 ) + Φ n ( x n ) ] . f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 ( 0 ) , x n ) = Φ − 1 [ Φ 1 ( x 1 ) + … + Φ n − 2 ( x n − 2 ) + Φ n ( x n ) ] . f(x_(1),dots,x_(n-2),x_(n-1)^((0)),x_(n))=Phi^(-1)[Phi_(1)(x_(1))+dots+Phi_(n-2)(x_(n-2))+Phi_(n)(x_(n))].f(x1,…,xn−2,xn−1(0),xn)=Φ−1[Φ1(x1)+…+Φn−2(xn−2)+Φn(xn)].
En posant dans les deux dernières relations x 3 = x 3 ( 0 ) , … , x n = x n ( 0 ) x 3 = x 3 ( 0 ) , … , x n = x n ( 0 ) x_(3)=x_(3)^((0)),dots,x_(n)=x_(n)^((0))x3=x3(0),…,xn=xn(0), nous avons deux formes d'écriture pour f ( x 1 , x 2 , x 3 ( 0 ) , … , x n ( 0 ) ) f ( x 1 , x 2 , x 3 ( 0 ) , … , x n ( 0 ) ) f(x_(1),x_(2),x_(3)^((0)),dots,x_(n)^((0)))f(x1,x2,x3(0),…,xn(0)) d'où on obtient que Φ Φ PhiΦ peut être choisi égale à F F FF. On a immédiatement
F i = Φ i ( i = 1 , 2 , … , n − 2 ) F i = Φ i ( i = 1 , 2 , … , n − 2 ) F_(i)=Phi_(i)quad(i=1,2,dots,n-2)Fi=Φi(i=1,2,…,n−2)
donc
f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 ( 0 ) , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 2 ( x n − 2 ) + Φ n ( x n ) ] f ( x 1 , … , x n − 2 , x n − 1 ( 0 ) , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 2 ( x n − 2 ) + Φ n ( x n ) ] f(x_(1),dots,x_(n-2),x_(n-1)^((0)),x_(n))=F^(-1)[F_(1)(x_(1))+dots+F_(n-2)(x_(n-2))+Phi_(n)(x_(n))]f(x1,…,xn−2,xn−1(0),xn)=F−1[F1(x1)+…+Fn−2(xn−2)+Φn(xn)]
Nous faisons varier x n − 1 ( 0 ) x n − 1 ( 0 ) x_(n-1)^((0))xn−1(0) en laissant x n ( 0 ) x n ( 0 ) x_(n)^((0))xn(0) fixe
De même
f ( x 1 , … , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 2 ( x n − 2 ) + Φ ( x n − 1 , x n ) ] f ( x 1 , … , x n ) = F − 1 [ F 1 ( x 1 ) + … + F n − 2 ( x n − 2 ) + Φ ( x n − 1 , x n ) ] f(x_(1),dots,x_(n))=F^(-1)[F_(1)(x_(1))+dots+F_(n-2)(x_(n-2))+Phi(x_(n-1),x_(n))]f(x1,…,xn)=F−1[F1(x1)+…+Fn−2(xn−2)+Φ(xn−1,xn)]
f ( x 1 , … , x n ) = G − 1 [ G 1 ( x ) + … + G n − 4 ( x n − 4 ) + ψ ( x n − 3 , x n − 2 ) + + G n − 1 ( x n − 1 ) + G n ( x n ) ] f ( x 1 , … , x n ) = G − 1 [ G 1 ( x ) + … + G n − 4 ( x n − 4 ) + ψ ( x n − 3 , x n − 2 ) + + G n − 1 ( x n − 1 ) + G n ( x n ) ] {:[f{:(x_(1)","dots","x_(n)):}=G^(-1){:[G_(1)(x)+dots+G_(n-4)(x_(n-4))+psi(x_(n-3),x_(n-2))+:}],[{:+G_(n-1)(x_(n-1))+G_(n)(x_(n))]:}]:}f(x1,…,xn)=G−1[G1(x)+…+Gn−4(xn−4)+ψ(xn−3,xn−2)++Gn−1(xn−1)+Gn(xn)]
On obtient par comparaison des deux dernières relations que f ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n ) f(x_(1),dots,x_(n))f(x1,…,xn) est une pseudo-somme à n n nn termes.
Ainsi nous avons démontré la suffisance de la condition énoncée. On voit par une vérification directe qu'elle est aussi nécessaire. Le théo-

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Reçu le 28. Xl. 1950.
  1. *) La présente note fait partie du travail [11], publié en langue roumaine
1959

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