T. Popoviciu, Sur une formule de quadrature de S. Golab et C. Olech, Collection of articles dedicated to Stanislaw Golab on his 70th birthday, II. Demonstratio Math., 6 (1973), pp. 771-789 (1974) (in French).
1973 a -Popoviciu- Demonstratio Math. - Sur une formule de quadrature de S. Golab et C. Olech (1).pd
Tiberiu Popoviciu
SUR UNE FORMULE DE QUADRATURE DE S. GOŁAB ET C. OLECH
Dédié à M. S. Gołąb à l'occasion de son 70^("ième ")70^{\text {ième }} anniversaire
S. Gołąb et C. Olech ont démontré [1] qu'il existe un nombre ( 0 et un seul, compris strictement entre 0 et 1 (0 < (4 < 1)(0<(4<1), de manière que la formule de quadrature
(1) int_(0)^(1)f(x)dx*=lambda_(0)f(0)+lambda_(1)f(0)+lambda_(2)f(1)+R(f)\int_{0}^{1} f(x) d x \cdot=\lambda_{0} f(0)+\lambda_{1} f(0)+\lambda_{2} f(1)+R(f)
soit exacte pour les fonctions ( x^(0)=x^{0}= ) 1,x^(p),x^(q),x^(r)1, x^{p}, x^{q}, x^{r}, où p,qp, q, rr sont des nombres positifs quelconques tels que p < q < rp<q<r. Le fait que la formule (1) est exacte pour les fonctions 1, x^(p)x^{p}, x^(q),x^(r)x^{q}, x^{r} signifie que
(2) quad R(1)=R(x^(p))=R(x^(q))=R(x^(r))=0\quad R(1)=R\left(x^{p}\right)=R\left(x^{q}\right)=R\left(x^{r}\right)=0.
Les coefficients lambda_(0),lambda_(1),lambda_(2)\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2} sont indépendants de la fonction ff et peuvent être calculés facilement à 1 aide des égalités (2). Nous obtenons ainsi lambda_(0)+lambda_(1)+lambda_(2)=1\lambda_{0}+\lambda_{1}+\lambda_{2}=1 et
(3a) quadlambda_(1)=(q-p)/((p+1)(q+1)(omega^(p)-theta^(q)))\quad \lambda_{1}=\frac{q-p}{(p+1)(q+1)\left(\omega^{p}-\theta^{q}\right)};
(3b)
Toute puissance réelle d'un nombre positif est un nombre positif bien déterminé. Les autres déterminations d'une telle puissance n'interviendront pas dans ce travail. On a 0^(sigma)=00^{\sigma}=0 si 6 est positif. La fonction x^(6)x^{6} est donc définie, uniforme, continue et indéfiniment dérivable sur l'axe réel positif, pour tout exposant réel sigma^(')\sigma^{\prime}. Pour sigma=0\sigma=0 cette fonction se réduit à la constante 1. Si sigma > 0\sigma>0 la fonction xx est définie et continue pour x >= 0x \geqslant 0.
qui, comme l'ont montré S. Goląb et C. Olech [1], a exactement une racine et une seule dans 1 'intervalle ouvert ]0,1[] 0,1[. Dans le travail cité de SS. Gołąb et C. Olech on suppose que les exposants p,q,rp, q, r sont des entiers (positifs). In suivant leur démonstration on pout voir facilement que cette restriction n'est pas nécessaire. Nous supposerons donc seulement que 0 < p < q < r0<p<q<r.
La formule (1) constitue une intéressante généralisation de la formule de Simpsonon obtient cette dernière en prenant p=1;q=2,r=3p=1 ; q=2, r=3.
Dans ce travail nous nous proposons d'étudier le reste R(1)R(1) de la formule (1), sous des hypothêses bien déterminées faites sur la fonction ff 。
Auparavant nous allons établir quelques résultats qui présentant de l'intérêt par eux-mêmes peuvent être utilisés dans l'étude d'autres problèmes, analogues à celui traité dans ce travail.
1 e déterminant d'ordre nn des valeurs des fonctions g_(t),t==1,2,dots,ng_{t}, t= =1,2, \ldots, n sur les points x_(i),i=1,2,dots,nx_{i}, i=1,2, \ldots, n. Dans ce déterminant g_(t)(x_(i))g_{t}\left(x_{i}\right) est l'élément qui se trouve dans la imième ligne et la twieme colonne.
Ie déterminant (5) est évidemment nul si le points x_( hat(1))x_{\hat{1}} ou si les fonctions g_(t)g_{t} ne sont pas distincts.
Si les points x_(i)x_{i} ne sont pas distincts, la notation (5) sera employée pour un détermjnant convenablement modifié. Cette modification consiste dans le remplacement des lignes correspondantes à chaque groupe de points x_(i)x_{i} confondus par des lignes formées par les valeurs des fonctions g_(t)g_{t} et de leurs dérivées successives sur ces points. Ceci implique, bien entendu, l’oxistence des dérivées considérées. Plus exactement, soient z_(1),z_(2),dots,z_(m)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{m} les points distincts avec lesquels coincident respectivement k_(1),k_(2),dots,k_(1n)quad(k_(1),k_(2,):}dots,k_(m) >= 1k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{1 n} \quad\left(k_{1}, k_{2,}\right. \ldots, k_{m} \geqslant 1 ) des points x_(i)x_{i}. Alors pour tout i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, m, il y a exactement k_(i)k_{i} lignes constituées par les valeurs des fonctions g_(t)g_{t} et de leurs k_(i)-1k_{i}-1 premières dérivées sur le point z_(j)z_{j}.
le déterminant ainsi modifié. Mais il est important de préclser alors la succession des lignes du déterminant ainsi défini et qui est bien d'ordre k_(1)+k_(2)+dots+k_(m)=nk_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m}=n.
Nous désignerons par (6) le déterminant d ordre n dont les (k_(1)+k_(2)+dots+k_(i-1)+j)^(i" emes ")\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+j\right)^{i \text { emes }} lignes _(beta){ }_{\beta} pour les valeurs consécutives 1, 2, ..., k_(i)k_{i} de jj, prises dans cet ordre, sont les suivantes
(7) quad{[g_(1)(z_(i)),g_(2)(z_(i)),cdots,g_(n)(z_(i))],[g_(1)^(')(z_(i)),g_(2)^(')(z_(i)),cdots,g_(n)^(')(z_(i))],[*,cdots,*,cdots],[(k_(i)-1),(z_(i)),g_(2)(k_(i)-1),(z_(i))]cdots*g_(n)^((k_(i)-1))(z_(i)):}\quad\left\{\begin{array}{llll}g_{1}\left(z_{i}\right) & g_{2}\left(z_{i}\right) & \cdots & g_{n}\left(z_{i}\right) \\ g_{1}^{\prime}\left(z_{i}\right) & g_{2}^{\prime}\left(z_{i}\right) & \cdots & g_{n}^{\prime}\left(z_{i}\right) \\ \cdot & \cdots & \cdot & \cdots \\ \left(k_{i}-1\right) & \left(z_{i}\right) & g_{2}\left(k_{i}-1\right) & \left(z_{i}\right)\end{array} \cdots \cdot g_{n}^{\left(k_{i}-1\right)}\left(z_{i}\right)\right..
La somme k_(1)+k_(2)+dots+k_(i-1)k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1} est remplacée par 0 pour i=1i=1 et les accents désignent des dérivations successives.
Les lignes (7) sont des lignes consécutives dans le déterminant (6). Avec cette convention la succession des colonaes et des lignes est biea précisée dans le déterminant (6).
Bien entendu, le déterminant modifié (6) est bien défini même si les points z_(1),z_(2),dots,z_(m)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{m} ne sont pas distincts, mais alors il est éviderment égal à 0 .
Tout revient, on somme, à poser
(8) x_(k_(1)+k_(2)+dots+k_(i-1)+j)=z_(i),j=1,2,dots,k_(i),i=1,2,dots,mx_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+j}=z_{i}, j=1,2, \ldots, k_{i}, i=1,2, \ldots, m.
Il est important de remarquer qu'alors on ne peut pas soumettre, en général, les lignes du déterminant à une permutation quelconque, puisque l'ordre de ces lignes à été fixé d'avance. Nous voulons dire par cela que, pour prendre un exemple, tandis que le déterminant V([E_(1)",",E_(2)",",E_(3)],[z_(1)",",z_(1)",",z_(2)])V\left(\begin{array}{lll}E_{1}, & E_{2}, & E_{3} \\ z_{1}, & z_{1}, & z_{2}\end{array}\right) est toujours défini, le symbole V([g_(1)",",g_(2)",",g_(3)],[z_(1)",",z_(2)",",z_(1)])V\left(\begin{array}{lll}g_{1}, & g_{2}, & g_{3} \\ z_{1}, & z_{2}, & z_{1}\end{array}\right) ne signifie rien si z_(1)!=z_(2)z_{1} \neq z_{2}.
Au contraire, nous pouvons soumettre les lignes du déterminant à une permutation par groupe de points confondus; ce qui revient, en some, à une pemutation des points z_(i)z_{i}. Plus exactement, soit v_(1),v_(2),dots,v_(n)v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} une permutation des indices 1,2,dots,n1,2, \ldots, n. Posons alors, pour simplifier les notations. x_(i)^(')=x_(v_(i)),i=1,2,dots,nx_{i}^{\prime}=x_{v_{i}}, i=1,2, \ldots, n. Le déterminant (6), avec les lignes correspondantes permutées, est alors
1a succession des lignes pour un groupe de points x_(i)^(')x_{i}^{\prime} égaux avec un z_(i)z_{i} étant respectée conformément à la règle décrite par le tableau (7). Ceci signifie que nous considérons seulement les permutations v_(1),v_(2),dots,v_(n)v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} pour lesquelles nous avons
(10)
x_(k_(1)^(')+k_(2)^(')+dots+k_(i-1)^(')+j)^(')=z_(i)^('),j=1,2,dots,k_(i)^('),i=1,2,dots,mx_{k_{1}^{\prime}+k_{2}^{\prime}+\ldots+k_{i-1}^{\prime}+j}^{\prime}=z_{i}^{\prime}, j=1,2, \ldots, k_{i}^{\prime}, i=1,2, \ldots, m
la suite z_(1)^('),z_(2)^('),dots,z_(m)^(')z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots, z_{m}^{\prime} étant une permutation de la suite z_(1),z_(2),dots,z_(m)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{m}.La valeur du déterminant (9) diffère de celle de (6) au plus par le signe, d'après la formule (17) qui sera établie plus loin.
Signalons dès maintenant les cas particuliers suivants: 1^(@)1^{\circ}. Pour les fonctions g_(t)=x^(t-1),t=1,2,dots,ng_{t}=x^{t-1}, t=1,2, \ldots, n, le dée terminant (5) se réduit au déterminant de Vandermonde V(x_(1),x_(2),dots,x_(n))V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) des nombres x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}. Nous avons donc
2^(0)2^{0}. Dans le cas où tous les points x_(i)x_{i} coincident (avec x) le déterminant modifié (6) se réduit au wronskien W(g_(1),g_(2),dots,g_(n))(x)W\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)(x) des fonctions g_(t)^(**))g_{t}{ }^{*)}. On peut donc écrire
*) C'est la raison pour laquelle nous appelons quelquefois le déterminant (5) le préwronskien des fonctions E_(t)\mathrm{E}_{t}.
On peut ágalement obtenir le dêterminant modifié (6) par un passage à la limite convenable. Pour ne pas compliquer les chosesginous supposerons que toutes les dérivées qui interviennent existent et sont continues, tout au moins dans certains voisinages des points z_(1)z_{1}.
Soient alors nn points distincts x_(j)^((i)),j=1,2,dots,k_(j)x_{j}^{(i)}, j=1,2, \ldots, k_{j}, i=1,2,dots,m_(", et considérons le déterminant "D)d^(')i=1,2, \ldots, m_{\text {, et considérons le déterminant } D} d^{\prime} ordre nn ( =k_(1)+k_(2)+dots+k_(m)=k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m} ) dont l'élement de lå ( k_(1)+k_(2)+dots++cdots+k_(i-1)+j)^(ieme)k_{1}+k_{2}+\ldots+ \left.+\cdots+k_{i-1}+j\right)^{i e m e} ligne et la t^(ieme)t^{i e m e} colonne est la différence divisée habituelle [x_(1)^((i)),x_(2)^((i)),dots,x_(j)^((i));g_(t)]\left[x_{1}^{(i)}, x_{2}^{(i)}, \ldots, x_{j}^{(i)} ; g_{t}\right] de la fonction g_(t)g_{t} sur les noeuds x_(1)^((i)),x_(2)^((i)),dots,x_(j)^((i))x_{1}^{(i)}, x_{2}^{(i)}, \ldots, x_{j}^{(i)} et où j==1,2,dots,k_(i),t=1,2,dots,nj= =1,2, \ldots, k_{i}, t=1,2, \ldots, n. Si nous remarquons que cette différence divisée tend vers (1)/((j-1)!)g_(t)^((j cdots1))(z_(1))\frac{1}{(j-1)!} g_{t}^{(j \cdots 1)}\left(z_{1}\right) lorsque les points x_(v)^((i)),v=1,2,dots,jx_{v}^{(i)}, v=1,2, \ldots, j, tendent vers z_(i)z_{i}, nous voyons que le déterminant DD tend vers le déterminant modifié (6) divisé par le nombre prod_(i=1)^(m)(k_(i)-1)\prod_{i=1}^{m}\left(k_{i}-1\right) !! lorsque x_(V)^((i))rarrz_(i),v=1,2,dots,k_(j),i=1,2,dots,m_(0)x_{V}^{(i)} \rightarrow z_{i}, v=1,2, \ldots, k_{j}, i=1,2, \ldots, m_{0}
Nous employons la notation abrégée alpha!!=1!2!dots alpha\alpha!!=1!2!\ldots \alpha ! ( 0!!=10!!=1 ).
Enfin,si nous multiplions le déterminant DD par le produit
et si nous faisons quelques opérations élémentaires sur les lignes, nous obtenons le déterminant
(14) V(x_(1)^((1)),x_(2)^((1)),dots,x_(k_(1))^((1)),x_(1)^((2)),x_(2)^((2)),dots,x_(k_(2))^((2)),dots,x_(1)^((m)),x_(2)^((m)),dots,x_(k_(m))^((m)))V\left(x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, \ldots, x_{k_{1}}^{(1)}, x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k_{2}}^{(2)}, \ldots, x_{1}^{(m)}, x_{2}^{(m)}, \ldots, x_{k_{m}}^{(m)}\right)
Il en résulte que le déterminant (6) sobtient en multipliant (14) pax prod_(i=1)^(m)(k_(i)-1)11\prod_{i=1}^{m}\left(k_{i}-1\right) 11, en le divisant par (13) et en faisant ensuite tendre les points x_(j)^((i))x_{j}^{(i)} vers z_(i)z_{i}, pour j==1,2,dots,k_(i),i=1,2,dots,mj= =1,2, \ldots, k_{i}, i=1,2, \ldots, m,
La notion de différence divisée est bien connue. Nous l^("" ")l^{\text {" }} employerons sous sa forme générale exposée dans le mémoire cité plus loin à propos de l'êtude du resté de la formule (1) [5]. Les différences divisées habituelles sont celles par rapport aux puissances entières nonnégatives successsives 1,x,x^(2),dots1, x, x^{2}, \ldots. de la variable.
4. Comme une première application, nous trouverons la formule donnant la valeur du déterminant de Vandermonde généralisé
x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n)^(')x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime} étant une permutation admissible de la suite x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, en supposant que x_(1) <= x_(2) <= dots <= x_(n)x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{n} et où nous employons la fonction
sg x={[1","," pour "],[0",",x > 0],[-1","," pour "]quad x=0:}\operatorname{sg} x=\left\{\begin{array}{rl}
1, & \text { pour } \\
0, & x>0 \\
-1, & \text { pour }
\end{array} \quad x=0\right.
qui satisfait à l'équation fonctionnęlle sg(xy)=sgx*sgys g(x y)=s g x \cdot s g y pour xx et yy réels quelconques.
En tenant compte de (15) et (16) nous obtenons aussi
en employant les notations (10) et en supposant que z_(1) < z_(2)<<dots < z_(m)z_{1}<z_{2}< <\ldots<z_{m}.
Remarquons en passant, que si parmi les nombres k_(1,8)k_(2)k_{1,8} k_{2}, ..., k_(m)k_{m} il yy a au plus un qui est impaix, le déterminant (9) ne dépend pas de la permutation admissible x_(1)^(')x_{1}^{\prime}, x_(2)^('),dots,x_(n)^(')dex_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime} d e la suite x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}.
5. Nous allons établix maintenant une formule qui permet de réduire le calcul d un déterminant de la forme (6) d"ordre n au calcul d'un déterminant de la même forme mais d'ordre n -1 。
Modifions les lignes du déterminant (6) de la maniòre suivante: Reprenons le tableau (7). La formule de Leibniz
nous montre que, sans modifier la valeur du déterminant (6),
les k_(i)-1k_{i}-1 dernières lignes du tableau (7) peuvent être remplacées respectivement par
où h_(t)=g_(t)//g_(1),t=1,2,dots,nh_{t}=g_{t} / g_{1}, t=1,2, \ldots, n, les fonctions et les dérivées de divers ordres étant calculées au point z_(i)z_{i}. Si k_(i)==1k_{i}= =1 on ne fait aucune modification de cette sorte sur le tableau (7). Remarquons que les éléments de la première colonne du tableau (18) sont tous nuls.
Ces résultats ont été obtenus en nous basant sur le fait qu'un déterminant ne change pas de valeur lorsque'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire quelconque d'autres lignes. Après ces opérations les lignes restées inaltérées forment le tableau
Ces lignes gardent leurs places dans le déterminant (6). Toujours sans changer la valeur du déterminant (6), on peut retrancher la (i-1) ^(ième){ }^{i e ̀ m e} ligne multipliée par (g_(1)(z_(i)))/(g_(1)(z_(i-1)))\frac{g_{1}\left(z_{i}\right)}{g_{1}\left(z_{i-1}\right)} de la i^(i)i^{i} ème ligne et ceci pour i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, m. Les éléments du tableau (19) ainsi transformé s'obtiennent par l'application de la formule (Newton-Leibniz)
g_(t)(z_(i))-g_(t)(z_(i-1))(g_(1)(z_(i)))/(g_(1)(z_(i-1)))=g_(1)(z_(i))int_(z_(i-1))^(z_(i))((g_(t)(y))/(g_(1)(y)))^(')dy.g_{t}\left(z_{i}\right)-g_{t}\left(z_{i-1}\right) \frac{g_{1}\left(z_{i}\right)}{g_{1}\left(z_{i-1}\right)}=g_{1}\left(z_{i}\right) \int_{z_{i-1}}^{z_{i}}\left(\frac{g_{t}(y)}{g_{1}(y)}\right)^{\prime} d y .
Lorsque m=1m=1 le tableau (19) a une seule ligne quon laisse inchangée.
Après toutes ces transformations les éléments de la prem mière colonne du déterminant (6) deviennent tous nuls, sauf le premier qui est égal à g_(1)(z_(1))g_{1}\left(z_{1}\right). Enfin, en sortant le lactour prod_(i=1)^(m)(g_(1)(z_(i)))^(k_(i))=prod_(i=1)^(n)g_(1)(x_(i))\prod_{i=1}^{m}\left(g_{1}\left(z_{i}\right)\right)^{k_{i}}=\prod_{i=1}^{n} g_{1}\left(x_{i}\right) et en développant le déterminant d'après la première colonne, on obtient la formule
=(prod_(i=1)^(m)g_(1)(x_(i)))int_(z_(1))^(z_(2))int_(z_(2))^(z_(3))cdotsint_(z_(m-1))^(z_(m))psi(y_(1),y_(2),dots,y_(m-1))dy_(1)dy_(2)dots dy_(m-1)=\left(\prod_{i=1}^{m} g_{1}\left(x_{i}\right)\right) \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{z_{2}}^{z_{3}} \cdots \int_{z_{m-1}}^{z_{m}} \psi\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m-1}\right) d y_{1} d y_{2} \ldots d y_{m-1}
où
=v(ubrace((g_(2)//g_(1))^(@),(g_(3)//g_(1))^(@),dots,(g_(n)//g_(1))^(@)ubrace)_(k_(1)-1)(ubrace(z_(1),z_(1),dots,z_(1)ubrace)_(k_(2)-1),y_(1),z_(2),z_(2),dots,z_(2),y_(2),dots,y_(m-1),ubrace(z_(m)z_(m),dots,z_(m)ubrace)_(k_(m)-1))=v(\underbrace{\left(g_{2} / g_{1}\right)^{\circ},\left(g_{3} / g_{1}\right)^{\circ}, \ldots,\left(g_{n} / g_{1}\right)^{\circ}}_{k_{1}-1}(\underbrace{z_{1}, z_{1}, \ldots, z_{1}}_{k_{2}-1}, y_{1}, z_{2}, z_{2}, \ldots, z_{2}, y_{2}, \ldots, y_{m-1}, \underbrace{z_{m} z_{m}, \ldots, z_{m}}_{k_{m}-1}).
C'est la formule que nous voulions établir. Nous avond encore employé les notations (8)
Nous supposons, bien entendu, que toutes les fonctions, dérivées et intégrales qui interviennent ont un sens. En particulier, par exemple, que la fonction g_(1)g_{1} ne s'annule pas, que la fonction psi(y_(1),y_(2),dots,y_(m-1))\psi\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m-1}\right) est continue, etc.
Si k_(1)=1k_{1}=1 le point z_(i)z_{i} ne figure pas au second membre de (21). Enfin, si m=1m=1 la formule (20) n'a pas de sens. Dans ce cas elle est remplacée par la formule bien connue [2]:
(22) w(g_(1),g_(2),dots,g_(n))=g_(1)^(n)w(((g_(2))/(g_(1)))^('),((g_(3))/(g_(1)))^('),dots,((g_(n))/(g_(1)))^('))w\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)=g_{1}^{n} w\left(\left(\frac{g_{2}}{g_{1}}\right)^{\prime},\left(\frac{g_{3}}{g_{1}}\right)^{\prime}, \ldots,\left(\frac{g_{n}}{g_{1}}\right)^{\prime}\right).
Ia formule (20) doit donc être regardée comme la généralisation de cette dernière formule (22).
6. Toutes les hypothèses concernant la continuité, la dé-rivabilité, l'intêgrabilité, etc., des fonctions qui interviennent sont vérifiées si nous appliqueons les résultats précédents aux fonctions g_(t)(x)=x^(sigma_(t)),t=1,2,dots,ng_{t}(x)=x^{\sigma_{t}}, t=1,2, \ldots, n, définies pour x > 0x>0, les sigma_(t)\sigma_{t} étant des nombres réels donnés quelconques. Si nous remarquons que, dans ce cas,
((g_(t)(x))/(g_(1)(x)))^(')=(sigma_(t)-sigma_(1))x^(sigma_(t)-sigma_(1)-1),t=1,2,dots,n,\left(\frac{g_{t}(x)}{g_{1}(x)}\right)^{\prime}=\left(\sigma_{t}-\sigma_{1}\right) x^{\sigma_{t}-\sigma_{1}-1}, t=1,2, \ldots, n,
De cette formule nous déduisaons le
Théorème 1. Avec les notations précédentes, si 0 < z_(1) < z_(2) < dots < z_(m)0<z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{m} et sigma_(1) < sigma_(2) < dots < sigma_(n)\sigma_{1}<\sigma_{2}<\ldots<\sigma_{n}, le déterminant
Ja dêmonstration ne présent pas de difficultés et est prinoipalement basée sur la formule (23). On peut procéder par induction complète Remaxquons d'abord que lo propriété est viaje pour n=1n=1 car alors le détexminant (24) se réduit & x_(1)^(6)x_{1}^{6} qui est bien un nombre positif. Remaxquons aussi que pour n=1n=1 ( nn quelconque) la propriété egt vraie guisqu alons on a
Supposons maintenant que la propriêté soit vraie pour le déterminant d'ordre n-1(n-1)n-1(n-1) et démontronsola pour le déterminant dordre nn. On peut supposer m > uarr>\uparrow. La propriêté resulte alors de la formule (23) dams laquelle on a
et la fonction à intégrer est continue sur tout son domaine de définition [z_(1),z_(2)]xx[z_(2),z_(3)]xx dots x[z_(m-1),z_(m)]\left[z_{1}, z_{2}\right] \times\left[z_{2}, z_{3}\right] \times \ldots x\left[z_{m-1}, z_{m}\right] et est (par hypothèse) positive sur tout point intérieur de ce domaine.
Si maintenant nous tenons compte de la formule générale (16), nous dẻduisons le
Corollaire 1. Si les nombres x_(i),i=1,2,dots,nx_{i}, i=1,2, \ldots, n sont positifs, nous avons
les z_(i)z_{i} et les k_(i)k_{i} étant toujours déterminés par les formules (8).
Dans le second membre V(x_(1),x_(2),dots,x_(n))V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) est le déterminant de Vandermonde généralisé (15), mais V^(2)(sigma_(1),sigma_(2),dots,sigma_(n))V^{2}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}\right) est Le déterminant de Vandermonde habituel des nombres sigma_(1),sigma_(2),dots,sigma_(n)\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}, différents ou non, donné par la formule (11). La formule (26) est vraie aussi dans le cas où les sigma_(t)\sigma_{t} ne sont pas tous distincts, puisqu'alors les deux membres sont égaux à 0 .
Le cas particulier m=nm=n, donc le cas oú les points x_(i)x_{i}. i=1,2,dots,ni=1,2, \ldots, n, sont distincts, a été traité par nous aussi dans un travail plus ancien [3].
7. Nous pouvons maintenant revenir à l'étude du reste de la formule de quadrature (1). Nous allons pour cela utiliser nos résultats concernant les fonctions convexes gẻnéralisées et la notion de fonctionnelle linéaire de la forme simple, exposé dans̀ notre travail cité [5]. Le lecteur est prié de se reporter à ce travail pour la justification de toutes les affirmations qui vont suivre.
La formule (1) peut être obtenue en remplacant la fonction f par le polynome (généralisé) du type Lagrange-Hermite
dont les coefficients c_(0),c_(1),c_(2),c_(3)c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3} sont bien déterminés par les conditions interpolatoires
(27) L(0)=f(0),L^(')(L(0)=f(0), L^{\prime}( 四 )=f(:})=f\left(\right. 四), L^(')(0)=f^(')(o+),L(1)=f(1)L^{\prime}(0)=f^{\prime}(\oplus), L(1)=f(1).
Les nombres p,q,rp, q, r et (ii) ont les significations données au rr. 1.
Il en résulte que le reste R(f)R(f) est donné par la formule
{:(28)R(f)=int_(0)^(1)(f(x)-I(x))dx:}\begin{equation*}
R(f)=\int_{0}^{1}(f(x)-I(x)) d x \tag{28}
\end{equation*}
Mais, il est facil de mettre la différence f(x)=L(x)f(x)=L(x)
sous une forme remarquable à II aide de la différence divisée généralisée
(29)
où ss est un nombre positif > r quad( > q > p)>r \quad(>q>p).
On voit que, en vertu du corollaire 1, cette différence divisée existe quels que soient les points x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, non-négatifs, mais dont au plus un est égal à OO. Les deux déterminants du second membre de (29) sont pris dans le sens généralisé (9) (avec les z_(j)z_{j} distincts). Remarquons que si x_(1)=0x_{1}=0 et les points x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} sont positifs, nous avons #)
en supposant que xx soit positif et différent de Theta\Theta et de 1 . Dans nôtre exemple xx seul est toujours un groupe de points z_(i)z_{i}. De cette manière le déterminant quad V((1,x^(p),x^(q),x^(x),x^(s))/(0,Theta,Theta,1,x))\quad V\binom{1, x^{p}, x^{q}, x^{x}, x^{s}}{0, \Theta, \Theta, 1, x}
est nul si xx coincide avec 0 , ou 1 et alors la différence divisée [0,(4,0,1,x_(9)f]n:}\left[0,\left(4,0,1, x_{9} f\right] n\right. 'est pas définie. On peut facilement rémédier à cette difficulté, mais il est inutile de la faire dans ce travail. Pour x=0,Thetax=0, \Theta ou 1 le second membre de (30) n'a pas de sens, mais alors les valeurs de polynome II sont données par (27).
8. Le coeficient de la différence divisée du second membre de (30) est, en vertu du corollaixe 3, négative sur tout point de [0,1][0,1], en dehors de 0 , (1) et 1 .
Rappelons maintenant que la fonction ff est dite convexe par rapport à la suite des fonctions 1, x^(p),x^(q),x^(r),x^(s)x^{p}, x^{q}, x^{r}, x^{s} sur l'intervalle [ 0,1 ] si la différence divisée (29) est > 0>0 pour tout groupe de 5 points distincts x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, Dans ce cas la différence divisée (29) est encore positive si les points x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} ne sont pas tous confondus, au moins au cas où cette différence diviséa existe. Au cas (le seul qui nous interesse ici.) où la fonction ff est convexe nous avons [0,(1),(1),1,x:f] > 0[0,(1),(1), 1, x: f]>0 pour xx différent de 0,(4)0,(4) et 1. Si t in C[0,1]t \in C[0,1], donc si la fonction ff est continue sur [0,1][0,1], il résulte des formules (28) et (30) que si de plus la fonction est convexe par rapport à la suite 1,x^(p),x^(q),x^(1),x^(5)1, x^{p}, x^{q}, x^{1}, x^{5} nous avons R(f)!=0quad(plusR(f) \neq 0 \quad(p l u s exactement R(f) < 0)R(f)<0).
Mais R(f)R(f) est une fonctionnelle linéairo (additive et homogène) définie sur C[0,1]C[0,1]. Il en résulte alors de I'étude que nous avons faite sur les fonctionnelles linéaires de la forme simple (voir toujours le travail [5]) le
Théorème 2. Si f in C[0,1]f \in C[0,1], le reste R(f)R(f) de la formule de quadrature (1) est de la forme
oú xi_(1),xi_(2),xi_(3),xi_(4),xi_(5)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \xi_{4}, \xi_{5} sont 5 points distincts de l'intervalle ouvert [0,1][0,1] (dépendant en général de la fonction ff ) et aù la différence divisée du second membre est définie par la formule (29).
Ie coeeficient
R(x^(s))=int_(0)^(1)x^(s)dx-lambda_(1)(1)^(s)-lambda_(2)R\left(x^{s}\right)=\int_{0}^{1} x^{s} d x-\lambda_{1}(1)^{s}-\lambda_{2}
de la formule (31) peut se calculer à aide des valeurs (3a) et (3b) des coefficients lambda_(1),lambda_(2)\lambda_{1}, \lambda_{2} de la formula (1). Nous obtenons
où (10) Є ]0,1[:}] 0,1\left[\right. satisfait & 1^(@)1^{\circ} équation (4).
En apparence, dans la démonstration du thêorème 2 , en dehors de la continuité de la fonction f intervient aussi. sa dérivabilité, tout au moins sur le point (ii) . Mais ce thêorême reste vrai sans cette derntere restriction. Ceci résulte, d une part, du fait que dans la formule (1) la dérivée de la fonction I ne figure pas et, d'autre part, du fait qu'une fonction convexe par rapport à la suite 1,x^(p)1, x^{p}, x^(q),x^(r),x^(s)x^{q}, x^{r}, x^{s} sur 1^("intervalle ")[0,1]1^{\text {intervalle }}[0,1] eat nécessairement (continue et) dérivable sur ]0,1[] 0,1[. Nous avons établi cette dexniêre propriété autrefois [4].
9. La formule (31) est peu commode pour la délinitation du reste R(I)R(\mathcal{I}). Mais, il résulte encore de nôrre travail citó [5], que si la fonction ii a une déxivée 4^("ieme ")4^{\text {ieme }} sur 1^(@)1^{\circ} interm valle ouvert ] 0,1 [ on peut dans (31) prondre les points xi_(1)xi_(2,0)xi_(3,)xi_(4,0)xi_(5)\xi_{1} \xi_{2,0} \xi_{3,} \xi_{4,0} \xi_{5} e̊gaux à un môme point {: xi in]0_(0)1[\left.\xi \in\right] 0_{0} 1[ 。
V((1,x^(p),x^(q),x^(r),x^(s))/(xi,xi,xi,xi,xi))=xi^(p+q+x+s-10)pqrsV(p,q,r,s)V\binom{1, x^{p}, x^{q}, x^{r}, x^{s}}{\xi, \xi, \xi, \xi, \xi}=\xi^{p+q+x+s-10} p q r s V(p, q, r, s)
en supposant xi in]0,1[\xi \in] 0,1[.
En faisant les calculs, nous trouverons
et nous déduisons donc la
Théorème 3. Si la fonction f in C[0,1]f \in C[0,1] a une dérivée quatrième sur ]0,1[] 0,1[, le reste R(f)R(f) de la formule (1) est donné par
où epsi^(˙)\dot{\varepsilon} est un point de l'intervalle ouvert ] 0,1[ (dépendant en général de la fonction .f).
10. Nous finirons par deux exemples. ExE x emple 1. Daps la formule de Simpson (p=1,q=2(p=1, q=2, r=3r=3 ), le reste est donné par la formule
Si nous prenons s=4s=4 nous retrouvons le reste bien connu -(1)/(2880)f^("IV ")(xi)-\frac{1}{2880} \mathrm{f}^{\text {IV }}(\xi). En prenant s=(7)/(2)s=\frac{7}{2} respectivement s=5s=5 nous trouvons le reste respectivement sous la forme
Exemple 2. Prenons p=(1)/(2),q=1,r=(3)/(2)p=\frac{1}{2}, q=1, r=\frac{3}{2}. LL équation donne alors Theta=(9)/(25)\Theta=\frac{9}{25} et la formule (32) nous montre que le reste de la formule de quadrature
int_(0)^(1)f(x)dx=(1)/(36)[2f(0)+25 f((9)/(25))+9f(1)]+R(f)\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{36}\left[2 f(0)+25 f\left(\frac{9}{25}\right)+9 f(1)\right]+R(f)
BIBLIOGRAPHIE
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INSTITUTUL DE CALCUL, Str. Republicii nr. 37, CLUJ, ROUMANIE
Lorsque au noins deux des points x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} sont égaux à 0 , la différence divisée ( 29 , (au moins pour p <= 1p \leqslant 1, n'est pas définie.
