Sur la forme du reste de certaines formules de quadrature

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the Form of the Remainder in Certain Quadrature Formulas

Auteur(s)

Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul

Mots-clés

PDF

1972 c -Popoviciu- Proceedings – Sur la forme du reste de certaines formules de quadrature

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur la forme du reste de certaines formules de quadrature, Proceedings of the Conference on the Constructive Theory of Functions (Approximation Theory) (Budapest, 1969), pp. 365-370. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972 (in French) [MR0395178, Zbl 0239.65024]

Sur ce travail

Journal

Proceedings of the Conference on the Constructive Theory of Functions (Approximation Theory) (Budapest, 1969)

Publié par

Akadémiai Kiadó, Budapest

DOI

Non disponible.

Print ISSN

Non disponible.

Online ISSN

Non disponible.

[1] G. Kowalewski, Interpolation und genäherte Quadrature, 1932.
[2] R. Mises, Über allgemeine Quadraturformeln, J. f. die reine u. angew. Math. 174 (1936) 56-67.
[3] T. Popoviciu, Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (IX). Bull. Math. Soc. Roumaine des sciences, 43 (1942) 84-141.
[4] T. Popoviciu, Sur le reste dans certaines formules linéaires d’approximation de l’analyse, Mathematica 1 (24) (1959) 95-142.
[5] T. Popoviciu, La simplicité du reste dans certaines formules de quadrature, Mathematica, 6 (29) (1964) 157-184.
[6]E. Rémèz, Sur certaines classes de fonctionnelles linéaires dans les espaces  et sur les termes complémentaires des formules d’analyse approximative I, Rec. Trav. Inst. Math. Acad. Sci. URSS Ukraine 3 (1940) 21-62
[7] E. Rémèz, Sur certaines classes de fonctionnelles linéaires dans les espaces  et sur les termes complémentaires des formules d’analyse approximative II. ibid., 4. (1940) 47-82.
[9] ” : ibid., 12, 81-92 (1936)
[10] ” : Cucrarile Ses. Gen. Stuntifice a Acad. R. P.R., 1950, p.183-185.
[11] ” : Mathematica, 1 (24), 95-142 (1960)
[12] Radon, J.: Monatshefte f.Math.u.Phys., 42, 389~396 (1935)[13] Ramez, E. Ya.: Zbirnik Praci Institutu Matem. Akad. Nauk. URSR, 3, 21-62 (1939)
[14] Sard, A.: Duke Math. J. 15, 333-345 (1948)
[15] Wigert, S.: Arkiv f. Mat. Astr. och Fysik, Bd. 22B, n. 9, 1-4 (1932).

Paper (preprint) in HTML form

1972 c -Popoviciu- Proceedings - Sur la forme du reste de certaines formules de quadrature

SUR LA FORME DU RESTE DE CERTAINES FORMULES DE QUADRATURE

T. POPOVICIU (CLUJ)

  1. Dans beaucoup de formules d'approximation de l'analyse, le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur un ensemble linéaire S S SSS de fonctions f f fff réelles continues et définies sur un même intervalle I I III (de longueur non nulle) de l'axe réel.
Si l'ensemble S S SSS contient tous les polynômes et si les égalités
(1) R [ 1 ] = R [ x ] = … = R [ x m ] = 0 (1) R [ 1 ] = R [ x ] = … = R x m = 0 {:(1)R[1]=R[x]=dots=R[x^(m)]=0:}\begin{equation*} R[1]=R[x]=\ldots=R\left[x^{m}\right]=0 \tag{1} \end{equation*}(1)R[1]=R[x]=…=R[xm]=0
ainsi que l'inégalité
(2) R [ x m + 1 ] ≠ 0 (2) R x m + 1 ≠ 0 {:(2)R[x^(m+1)]!=0:}\begin{equation*} R\left[x^{m+1}\right] \neq 0 \tag{2} \end{equation*}(2)R[xm+1]≠0
sont vérifiées pour un certain entier m ≥ − 1 m ≥ − 1 m >= -1m \geq-1m≥−1, on dit que la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de degré d'exactitude m m mmm (ou que m m mmm est son degré d'exactitude). Ce nombre m m mmm, s'il existe, est d'ailleurs bien déterminé. Si m = − 1 m = − 1 m=-1m=-1m=−1 les relations (1), (2) doivent être remplacées par l'unique inégalité R [ 1 ] ≠ 0 R [ 1 ] ≠ 0 R[1]!=0R[1] \neq 0R[1]≠0.
Considérons, en particulier, la formule de quadrature
(3) ∫ a b f ( x ) d V ( x ) = ∑ ν = 0 n c ν f ( x ν ) + R [ f ] (3) ∫ a b   f ( x ) d V ( x ) = ∑ ν = 0 n   c ν f x ν + R [ f ] {:(3)int_(a)^(b)f(x)dV(x)=sum_(nu=0)^(n)c_(nu)f(x_(nu))+R[f]:}\begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x) d V(x)=\sum_{\nu=0}^{n} c_{\nu} f\left(x_{\nu}\right)+R[f] \tag{3} \end{equation*}(3)∫abf(x)dV(x)=∑ν=0ncνf(xν)+R[f]
où a , b ( a < b ) a , b ( a < b ) a,b(a < b)a, b(a<b)a,b(a<b) sont finis, V ( x ) V ( x ) V(x)V(x)V(x) est une fonction à variation bornée sur [ a , b ] , c ν , v = 0 , 1 , … , n [ a , b ] , c ν , v = 0 , 1 , … , n [a,b],c_(nu),v=0,1,dots,n[a, b], c_{\nu}, v=0,1, \ldots, n[a,b],cν,v=0,1,…,n des coefficients indépendants de la fonction f f fff et les noeuds x ν , ν = 0 , 1 , … , n x ν , ν = 0 , 1 , … , n x_(nu),nu=0,1,dots,nx_{\nu}, \nu=0,1, \ldots, nxν,ν=0,1,…,n sont distincts et compris dans l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
Le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] de la formule (3) est une fonctionnelle linéaire définie sur l'ensemble ( S = S = S=S=S= ) C [ a , b ] C [ a , b ] C[a,b]C[a, b]C[a,b] de toutes les fonctions f f fff continues sur l'intervalle ( I = ) [ a , b ] ( I = ) [ a , b ] (I=)[a,b](I=)[a, b](I=)[a,b]. Dans ce cas tous les polynômes appartiennent bien à S S SSS et le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] a, en général, un degré d'exactitude bien déterminé.
2. Le reste de la formule (3) peut être mis sous diverses formes qui permettent de le délimiter sous des hypothèses convenables faites sur la fonction f f fff.
Sans restreindre la généralité, on peut supposer V ( a ) = 0 V ( a ) = 0 V(a)=0V(a)=0V(a)=0 et ( x − 1 = x − 1 = x_(-1)=x_{-1}=x−1= ) a < x 0 < x 1 < … < x n < b ( = x n + 1 ) a < x 0 < x 1 < … < x n < b = x n + 1 a < x_(0) < x_(1) < dots < x_(n) < b(=x_(n+1))a<x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}<b\left(=x_{n+1}\right)a<x0<x1<…<xn<b(=xn+1).
Alors, en précisant certains résultats de G. Kowalewski [1] et quelques résultats obtenus par divers auteurs, R. v. Mises, dans son mémoire sur les formules de quadrature [2], a montré que, si m m mmm est un nombre naturel et le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de degré d'exactitude m m mmm, on peut écrire
(4) R [ f ] = ∫ a b φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x (4) R [ f ] = ∫ a b   φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x {:(4)R[f]=int_(a)^(b)varphi(x)f^((m+1))(x)dx:}\begin{equation*} R[f]=\int_{a}^{b} \varphi(x) f^{(m+1)}(x) d x \tag{4} \end{equation*}(4)R[f]=∫abφ(x)f(m+1)(x)dx
où φ φ varphi\varphiφ est une fonction continue sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] et en supposant que la fonction f f fff ait une dérivée continue d'ordre m + 1 m + 1 m+1m+1m+1 sur cet intervalle.
La fonction φ φ varphi\varphiφ est donnée par la formule
φ ( x ) = 1 m ! [ − ∫ a x ( t − x ) m d V ( t ) + ∑ μ = 0 v c μ ( x μ − x ) m ] φ ( x ) = 1 m ! − ∫ a x   ( t − x ) m d V ( t ) + ∑ μ = 0 v   c μ x μ − x m varphi(x)=(1)/(m!)[-int_(a)^(x)(t-x)^(m)dV(t)+sum_(mu=0)^(v)c_(mu)(x_(mu)-x)^(m)]\varphi(x)=\frac{1}{m!}\left[-\int_{a}^{x}(t-x)^{m} d V(t)+\sum_{\mu=0}^{v} c_{\mu}\left(x_{\mu}-x\right)^{m}\right]φ(x)=1m![−∫ax(t−x)mdV(t)+∑μ=0vcμ(xμ−x)m]
pour x ∈ [ x ν , x ν + 1 ] , ν = − 1 , 0 , … , n x ∈ x ν , x ν + 1 , ν = − 1 , 0 , … , n x in[x_(nu),x_(nu+1)],nu=-1,0,dots,nx \in\left[x_{\nu}, x_{\nu+1}\right], \nu=-1,0, \ldots, nx∈[xν,xν+1],ν=−1,0,…,n.
Cette fonction est polynomiale par segments. C'est ce que j'ai appelé autrefois une "fonction élémentaire》 (d'ordre m m mmm ) [3] et ce qu'on appelle aujourd'hui une fonction «spline».
Lorsque la fonction φ φ varphi\varphiφ ne change pas de signe, de (4) on déduit, en appliquant la première formule de la moyenne du calcul intégral
(5) R [ f ] = K ⋅ f ( m + 1 ) ( ξ ) ( m + 1 ) ! où a < ξ < b (5) R [ f ] = K ⋅ f ( m + 1 ) ( ξ ) ( m + 1 ) !  où  a < ξ < b {:(5)R[f]=K*(f^((m+1))(xi))/((m+1)!)quad" où "quad a < xi < b:}\begin{equation*} R[f]=K \cdot \frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!} \quad \text { où } \quad a<\xi<b \tag{5} \end{equation*}(5)R[f]=K⋅f(m+1)(ξ)(m+1)! où a<ξ<b
avec
K = R [ x m + 1 ] = ( m + 1 ) ! ∫ a b φ ( x ) d x ( ≠ 0 ) K = R x m + 1 = ( m + 1 ) ! ∫ a b   φ ( x ) d x ( ≠ 0 ) K=R[x^(m+1)]=(m+1)!int_(a)^(b)varphi(x)dx quad(!=0)K=R\left[x^{m+1}\right]=(m+1)!\int_{a}^{b} \varphi(x) d x \quad(\neq 0)K=R[xm+1]=(m+1)!∫abφ(x)dx(≠0)
  1. La même représentation (4) du reste est valable pour des formules: d'approximation plus générales que la formule de quadrature (3).Par exemple pour des formules de quadrature contenant au second membre aussi un certain nombre des valeurs sur les noeuds de quelques-unes des dérivées de la fonction f f fff. On peut trouver de telles formules, avec l'expression de la forme (4) du reste, dans le travail cité de R. v. Mises [2].
Rappelons aussi les recherches de E . Rémèz qui a étudié [6, 7] la représentation, sous la forme (4) ou sous une forme plus générale à l'aide d'une intégrale de Stieltjes, d'une fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] de degré d'exactitude m m mmm et vérifiant certaines conditions de continuité. Ces formules s'obtiennent par l'application du théorème bien connu de F. Riesz sur la représentation sous forme d'une intégrale d'une fonctionnelle linéaire.
Nous n'insisterons pas ici sur ces questions.
4. Une autre représentation de la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] s'obtient dans le cas de sa «simplicité».
La fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] définie sur l'ensemble S S SSS, dont la structure a été précisée au n ∘ 1 n ∘ 1 n^(@)1\mathrm{n}^{\circ} 1n∘1 et ayant un degré d'exactitude m m mmm, est dite de la forme simple si on peut trouver m + 2 m + 2 m+2m+2m+2 points distincts ξ ν , v = 1 , 2 … , m + 2 ξ ν , v = 1 , 2 … , m + 2 xi_(nu),v=1,2dots,m+2\xi_{\nu}, v=1,2 \ldots, m+2ξν,v=1,2…,m+2 de l'intervalle I I III de définition des éléments de S S SSS, dépendant en général de
la fonction f f fff et une constante K K KKK, indépendante de la fonction f f fff, tels que l'on ait
(6) R [ f ] = K [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ m + 2 ; f ] . (6) R [ f ] = K ξ 1 , ξ 2 , … , ξ m + 2 ; f . {:(6)R[f]=K[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(m+2);f].:}\begin{equation*} R[f]=K\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{m+2} ; f\right] . \tag{6} \end{equation*}(6)R[f]=K[ξ1,ξ2,…,ξm+2;f].
Ici [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ m + 2 ; f ] ξ 1 , ξ 2 , … , ξ m + 2 ; f [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(m+2);f]\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{m+2} ; f\right][ξ1,ξ2,…,ξm+2;f] désigne la différence divisée (d'ordre m + 1 m + 1 m+1m+1m+1 ) de la fonction f f fff sur les noeuds (distincts) ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2}ξ1,ξ2,…,ξn+2. D'ailleurs lorsque m ⩾ 0 m ⩾ 0 m >= 0m \geqslant 0m⩾0 on peut choisir les noeuds ξ ν ξ ν xi_(nu)\xi_{\nu}ξν à l'intérieur de l'intervalle I I III.
La constante K K KKK est égale à R [ x m + 1 ] R x m + 1 R[x^(m+1)]R\left[x^{m+1}\right]R[xm+1] et si, de plus, m ≥ 0 m ≥ 0 m >= 0m \geq 0m≥0 et la dérivée ( m + 1 ) ième f ( m + 1 ) ( x ) ( m + 1 ) ième  f ( m + 1 ) ( x ) (m+1)^("ième ")f^((m+1))(x)(m+1)^{\text {ième }} f^{(m+1)}(x)(m+1)ième f(m+1)(x) existe à l'intérieur de l'intervalle I I III, on a la formule (5).
Remarquons que si la dérivée ( m + 1 ) ième f ( m + 1 ) ( x ) ( m + 1 ) ième  f ( m + 1 ) ( x ) (m+1)^("ième ")f^((m+1))(x)(m+1)^{\text {ième }} f^{(m+1)}(x)(m+1)ième f(m+1)(x) est bornée, donc si
| f ( m + 1 ) ( x ) | ≦ ( m + 1 ) ! M f ( m + 1 ) ( x ) ≦ ( m + 1 ) ! M |f^((m+1))(x)| <= (m+1)!M\left|f^{(m+1)}(x)\right| \leqq(m+1)!M|f(m+1)(x)|≦(m+1)!M
où M M MMM est un nombre réel indépendant de x x xxx, on déduit de (5) la délimitation
| R [ f ] | ≦ | K | M . | R [ f ] | ≦ | K | M . |R[f]| <= |K|M.|R[f]| \leqq|K| M .|R[f]|≦|K|M.
Cette même délimitation est valable, si R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de la forme simple et M M MMM est le supremum de la valeur absolue de la différence divisée d'ordre m + 1 m + 1 m+1m+1m+1 de la fonction f f fff. Pour que M M MMM soit fini il n'est pas nécessaire que la dérivée ( m + 1 ) ième f ( m + 1 ) ( x ) ( m + 1 ) ième  f ( m + 1 ) ( x ) (m+1)^("ième ")f^((m+1))(x)(m+1)^{\text {ième }} f^{(m+1)}(x)(m+1)ième f(m+1)(x) existe. Il suffit que f f fff ait une dérivée m ième f ( m ) ( x ) m ième  f ( m ) ( x ) m^("ième ")f^((m))(x)m^{\text {ième }} f^{(m)}(x)mième f(m)(x) vérifiant une condition de Lipschitz ordinaire.
5. Il résulte de l'analyse précédente que si la formule de quadrature (3) a le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] de degré d'exactitude m ( ≥ 1 ) m ( ≥ 1 ) m( >= 1)m(\geq 1)m(≥1) et si la fonction f f fff a une dérivée d'ordre m + 1 m + 1 m+1m+1m+1 sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], la formule (5), avec K = R [ x m + 1 ] K = R x m + 1 K=R[x^(m+1)]K=R\left[x^{m+1}\right]K=R[xm+1], a lieu, ou bien si le «noyau» φ φ varphi\varphiφ dans (4) ne change pas de signe ou bien si le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de la forme simple. Pour montrer l'étroite liaison entre les deux propriétés qui assurent de cette manière l'existence de la formule (5) nous allons démontrer le
Théorème. Pour que la fonctionnelle linéaire (4) définie sur l'ensemble des fonctions continues ayant une dérivée ( m + 1 ) ième ( m + 1 ) ième  (m+1)^("ième ")(m+1)^{\text {ième }}(m+1)ième  continue sur l'intervalle borné [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], soit de degré d'exactitude m ≥ 1 m ≥ 1 m >= 1m \geq 1m≥1 et de la forme simple, il faut et il suffit que l'on ait
(7) ∫ a b φ ( x ) d x ≠ 0 (7) ∫ a b   φ ( x ) d x ≠ 0 {:(7)int_(a)^(b)varphi(x)dx!=0:}\begin{equation*} \int_{a}^{b} \varphi(x) d x \neq 0 \tag{7} \end{equation*}(7)∫abφ(x)dx≠0
et que la fonction φ φ varphi\varphiφ, supposée continue, ne change pas de signe sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
6. Avant de passer à la démonstration de notre théorème, il faut rappeler quelques propriétés préliminaires.
Nous supposons toujours que l'ensemble S S SSS contient tous les polynômes et est défini comme au n 0 1 n 0 1 n^(0)1\mathrm{n}^{0} 1n01.
Lemme 1. Pour que la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], définie sur S S SSS et de degré d'exactitude m m mmm soit de la forme simple, il faut et il suffit que l'on ait R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0 pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexe d'ordre m m mmm (sur l'intervalle I I III ).
Pour la notion et les propriétés des fonctions convexes (non-concaves, non-convexes, concaves) d'ordre m m mmm et pour la démonstration du Lemme 1, on peut consulter mes travaux antérieurs. La fonction est dite convexe (non-concave, non-convexe, concave) d'ordre m ( ≥ − 1 ) m ( ≥ − 1 ) m( >= -1)m(\geq-1)m(≥−1) si toutes ses diffé-
rences divisées d'ordre m + 1 m + 1 m+1m+1m+1, sur des noeuds distincts (de l'intervalle I I III ), sont positives (non-négatives, non-positives, négatives). Le lecteur peut sonsulter, en particulier, mes mémoires dans «Mathematica» [4, 5] où on peut trouver aussi divers critères de simplicité.
Remarquons que si R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0 pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexe d'ordre m m mmm le nombre R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] pour f f fff convexe d'ordre m m mmm est ou bien toujours positif m m mmm, le soment f 1 , f 2 f 1 , f 2 f_(1),f_(2)f_{1}, f_{2}f1,f2 ou bien toujours negati.. Supposons, en a deux fonctions convexes dordre m m mmm appartenans as tel quel on aid 1 1 > 1 1 > _(1)_(1) >{ }_{1}{ }_{1}>11>, R [ f 2 ] < 0 R f 2 < 0 R[f_(2)] < 0R\left[f_{2}\right]<0R[f2]<0. La fonction f ( x ) = f 1 ( x ) − R [ f 1 ] R [ f 2 ] f 2 ( x ) f ( x ) = f 1 ( x ) − R f 1 R f 2 f 2 ( x ) f(x)=f_(1)(x)-(R[f_(1)])/(R[f_(2)])f_(2)(x)f(x)=f_{1}(x)-\frac{R\left[f_{1}\right]}{R\left[f_{2}\right]} f_{2}(x)f(x)=f1(x)−R[f1]R[f2]f2(x) appartient à S S SSS, est convexe d'ordre m m mmm et vérifie l'égalité R [ f ] = 0 R [ f ] = 0 R[f]=0R[f]=0R[f]=0 ce qui est en contradiction avec l'hypothèse. Il en résulte le
Lemme 2. Si R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est une fonctionnelle linéaire définie sur S S SSS, de degré d'exactitude m m mmm et si on peut trouver deux fonctions f 1 , f 2 ∈ S f 1 , f 2 ∈ S f_(1),f_(2)in Sf_{1}, f_{2} \in Sf1,f2∈S convexes d'ordre m m mmm telles que l'on ait R [ f 1 ] R [ f 2 ] < 0 R f 1 R f 2 < 0 R[f_(1)]R[f_(2)] < 0R\left[f_{1}\right] R\left[f_{2}\right]<0R[f1]R[f2]<0, alors elle n'est pas de la forme simple. Démontrons aussi le
Lemme 3. R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] étant une fonctionnelle linéaire définie sur S S SSS, de degré d'exactitude m m mmm, si f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S est une fonction non-concave d'ordre m m mmm telle que R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0, alors on peut trouver une fonction f ∗ ∈ S f ∗ ∈ S f^(**)in Sf^{*} \in Sf∗∈S convexe d'ordre m m mmm telle que l'on ait R [ f ] R [ f ∗ ] > 0 R [ f ] R f ∗ > 0 R[f]R[f^(**)] > 0R[f] R\left[f^{*}\right]>0R[f]R[f∗]>0.
∼ ∼ ∼\sim∼.
Ln effet, si ε ε epsi\varepsilonε est une constante positive, la fonction f ∗ ( x ) = f ( x ) + ε x m + 1 f ∗ ( x ) = f ( x ) + ε x m + 1 f^(**)(x)=f(x)+epsix^(m+1)f^{*}(x)=f(x)+\varepsilon x^{m+1}f∗(x)=f(x)+εxm+1 est convexe d'ordre m m mmm et nous avons
R [ f ∗ ] = R [ f ] + ε R [ x m + 1 ] = R [ f ] { 1 + ε R [ x m + 1 ] R [ f ] } R f ∗ = R [ f ] + ε R x m + 1 = R [ f ] 1 + ε R x m + 1 R [ f ] R[f^(**)]=R[f]+epsi R[x^(m+1)]=R[f]{1+epsi(R[x^(m+1)])/(R[f])}R\left[f^{*}\right]=R[f]+\varepsilon R\left[x^{m+1}\right]=R[f]\left\{1+\varepsilon \frac{R\left[x^{m+1}\right]}{R[f]}\right\}R[f∗]=R[f]+εR[xm+1]=R[f]{1+εR[xm+1]R[f]}
Il suffit de prendre ε < | R [ f ] R [ x m + 1 ] | ε < R [ f ] R x m + 1 epsi < |(R[f])/(R[x^(m+1)])|\varepsilon<\left|\frac{R[f]}{R\left[x^{m+1}\right]}\right|ε<|R[f]R[xm+1]| pour déduire la propriété énoncée par
le Lemme 3. le Lemme 3.
Enfin nous avons le
Lemme 4. R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] étant une fonctionnelle linéaire définie sur S S SSS, de degré d'exactitude m m mmm, si on peut trouver les fonctions f 1 , f 2 ∈ S f 1 , f 2 ∈ S f_(1),f_(2)in Sf_{1}, f_{2} \in Sf1,f2∈S non-concaves d'ordre m m mmm tel que l'on ait R [ f 1 ] R [ f 2 ] < 0 R f 1 R f 2 < 0 R[f_(1)]R[f_(2)] < 0R\left[f_{1}\right] R\left[f_{2}\right]<0R[f1]R[f2]<0, alors elle n'est pas de la forme simple.
Soient, en effet, f 1 ∗ , f 2 ∗ ∈ S f 1 ∗ , f 2 ∗ ∈ S f_(1)^(**),f_(2)^(**)in Sf_{1}^{*}, f_{2}^{*} \in Sf1∗,f2∗∈S des fonctions convexes d'ordre m m mmm, tel que R [ f 1 ] R [ f 1 ∗ ] > 0 , R [ f 2 ] R [ f 2 ∗ ] > 0 R f 1 R f 1 ∗ > 0 , R f 2 R f 2 ∗ > 0 R[f_(1)]R[f_(1)^(**)] > 0,R[f_(2)]R[f_(2)^(**)] > 0R\left[f_{1}\right] R\left[f_{1}^{*}\right]>0, R\left[f_{2}\right] R\left[f_{2}^{*}\right]>0R[f1]R[f1∗]>0,R[f2]R[f2∗]>0, qui existent bien d'après le Lemme 3. Il en résulte alors R [ f ∗ ] R [ f 2 ∗ ] < 0 R f ∗ R f 2 ∗ < 0 R[f^(**)]R[f_(2)^(**)] < 0R\left[f^{*}\right] R\left[f_{2}^{*}\right]<0R[f∗]R[f2∗]<0 et en applique ensuite le Lemme 2.
7. Après cette digression nous pouvons passer à la démonstration de notre héorème énoncé au n ∘ 5 n ∘ 5 n^(@)5\mathrm{n}^{\circ} 5n∘5.
(7) résulte de
La condition est nécessaire la nécessite de la relation (1) result l'égalité
(8) R [ x m + 1 ] = ( m + 1 ) ! ∫ a b φ ( x ) d x . (8) R x m + 1 = ( m + 1 ) ! ∫ a b   φ ( x ) d x . {:(8)R[x^(m+1)]=(m+1)!int_(a)^(b)varphi(x)dx.:}\begin{equation*} R\left[x^{m+1}\right]=(m+1)!\int_{a}^{b} \varphi(x) d x . \tag{8} \end{equation*}(8)R[xm+1]=(m+1)!∫abφ(x)dx.
La fonction φ φ varphi\varphiφ n'est pas nulle identiquement sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. Soit donc x 0 ∈ [ a , b ] x 0 ∈ [ a , b ] x_(0)in[a,b]x_{0} \in[a, b]x0∈[a,b] tel que φ ( x 0 ) ≠ 0 φ x 0 ≠ 0 varphi(x_(0))!=0\varphi\left(x_{0}\right) \neq 0φ(x0)≠0. Par suite de la continuité de φ φ varphi\varphiφ il existe un sous-intervalle [ c , d ] [ c , d ] [c,d][c, d][c,d] de [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], de longueur non nulle (donc a ≦ c < d ≦ b a ≦ c < d ≦ b a <= c < d <= ba \leqq c<d \leqq ba≦c<d≦b ), tel que sg φ ( x ) = φ ( x ) = varphi(x)=\varphi(x)=φ(x)=
= sg φ ( x 0 ) = sg φ x 0 =sg varphi(x_(0))=\operatorname{sg} \varphi\left(x_{0}\right)=sgφ(x0) pour x ∈ [ c , d ] x ∈ [ c , d ] x in[c,d]x \in[c, d]x∈[c,d]. Considérons maintenant les fonctions
(9) φ k , λ = ( | x − λ | + x − λ 2 ) k − 1 (9) φ k , λ = | x − λ | + x − λ 2 k − 1 {:(9)varphi_(k,lambda)=((|x-lambda|+x-lambda)/(2))^(k-1):}\begin{equation*} \varphi_{k, \lambda}=\left(\frac{|x-\lambda|+x-\lambda}{2}\right)^{k-1} \tag{9} \end{equation*}(9)φk,λ=(|x−λ|+x−λ2)k−1
où k k kkk est un nombre entier > 1 > 1 > 1>1>1. Nous avons alors
φ k , λ ( i ) = ( k − 1 ) ! ( k − i − 1 ) ! φ k − i , λ , i = 0 , 1 , … , k − 2 . φ k , λ ( i ) = ( k − 1 ) ! ( k − i − 1 ) ! φ k − i , λ , i = 0 , 1 , … , k − 2 . varphi_(k,lambda)^((i))=((k-1)!)/((k-i-1)!)varphi_(k-i,lambda),quad i=0,1,dots,k-2.\varphi_{k, \lambda}^{(i)}=\frac{(k-1)!}{(k-i-1)!} \varphi_{k-i, \lambda}, \quad i=0,1, \ldots, k-2 .φk,λ(i)=(k−1)!(k−i−1)!φk−i,λ,i=0,1,…,k−2.
La fonction
(10) f = 2 ( m + 1 ) ! [ φ m + 3 , c − 2 φ m + 3 , c + d 2 + φ m + 3 , d ] (10) f = 2 ( m + 1 ) ! φ m + 3 , c − 2 φ m + 3 , c + d 2 + φ m + 3 , d {:(10)f=(2)/((m+1)!)[varphi_(m+3,c)-2varphi_(m+3,(c+d)/(2))+varphi_(m+3,d)]:}\begin{equation*} f=\frac{2}{(m+1)!}\left[\varphi_{m+3, c}-2 \varphi_{m+3, \frac{c+d}{2}}+\varphi_{m+3, d}\right] \tag{10} \end{equation*}(10)f=2(m+1)![φm+3,c−2φm+3,c+d2+φm+3,d]
est non-concave d'ordre m m mmm et a une dérivée ( m + 1 ) ième ( m + 1 ) ième  (m+1)^("ième ")(m+1)^{\text {ième }}(m+1)ième  continue qui est égale à | x − c | + | x − d | − 2 | x − c + d 2 | | x − c | + | x − d | − 2 x − c + d 2 |x-c|+|x-d|-2|x-(c+d)/(2)||x-c|+|x-d|-2\left|x-\frac{c+d}{2}\right||x−c|+|x−d|−2|x−c+d2|, donc positive sur l'intervalle ouvert ( c , d ) ( c , d ) (c,d)(c, d)(c,d) et nulle en dehors de cet intervalle. Pour la fonction (10) nous avons
R [ f ] = ∫ c d φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x R [ f ] = ∫ c d   φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x R[f]=int_(c)^(d)varphi(x)f^((m+1))(x)dxR[f]=\int_{c}^{d} \varphi(x) f^{(m+1)}(x) d xR[f]=∫cdφ(x)f(m+1)(x)dx
d'où il résulte que sg R [ f ] = sg φ ( x 0 ) sg R [ f ] = sg φ x 0 sg R[f]=sg varphi(x_(0))\operatorname{sg} R[f]=\operatorname{sg} \varphi\left(x_{0}\right)sgR[f]=sgφ(x0).
Fig. 1
Si la fonction φ φ varphi\varphiφ change de signe sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] on peut trouver deux points x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] x_(1),x_(2)in[a,b]x_{1}, x_{2} \in[a, b]x1,x2∈[a,b] tels que φ ( x 1 ) φ ( x 2 ) < 0 φ x 1 φ x 2 < 0 varphi(x_(1))varphi(x_(2)) < 0\varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right)<0φ(x1)φ(x2)<0, donc aussi deux fonctions f 1 , f 2 f 1 , f 2 f_(1),f_(2)f_{1}, f_{2}f1,f2 nonconcaves d'ordre m m mmm telles que sg R [ f 1 ] = sg φ ( x 1 ) sg R f 1 = sg φ x 1 sg R[f_(1)]=sg varphi(x_(1))\operatorname{sg} R\left[f_{1}\right]=\operatorname{sg} \varphi\left(x_{1}\right)sgR[f1]=sgφ(x1), sg R [ f 2 ] = sg φ ( x 2 ) sg R f 2 = sg φ x 2 sg R[f_(2)]=sg varphi(x_(2))\operatorname{sg} R\left[f_{2}\right]=\operatorname{sg} \varphi\left(x_{2}\right)sgR[f2]=sgφ(x2). Il en résulte que R [ f 1 ] R [ f 2 ] < 0 R f 1 R f 2 < 0 R[f_(1)]R[f_(2)] < 0\mathrm{R}\left[f_{1}\right] R\left[f_{2}\right]<0R[f1]R[f2]<0. Par suite du Lemme 4, la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] n'est donc pas de la forme simple.
Dans le théorème, l'invariance du signe de la fonction φ φ varphi\varphiφ est donc aussi nécessaire.
La condition est suffisante. La suffisance de la condition (7) résulte encore de la formule (8). Soit encore [ c , d c , d c,dc, dc,d ] un sous-intervalle de longueur non nulle de [ a , b ] ( a ≦ c < d ≦ b ) [ a , b ] ( a ≦ c < d ≦ b ) [a,b](a <= c < d <= b)[a, b](a \leqq c<d \leqq b)[a,b](a≦c<d≦b) sur lequel φ φ varphi\varphiφ est positif. Soit ensuite f f fff une fonction convexe d'ordre m m mmm ayant une dérivée ( m + 1 ) ième ( m + 1 ) ième  (m+1)^("ième ")(m+1)^{\text {ième }}(m+1)ième  continue sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. On a alors f ( m + 1 ) ( x ) ≧ 0 f ( m + 1 ) ( x ) ≧ 0 f^((m+1))(x) >= 0f^{(m+1)}(x) \geqq 0f(m+1)(x)≧0 pour x ∈ [ a , b ] x ∈ [ a , b ] x in[a,b]x \in[a, b]x∈[a,b]. Mais f ( m + 1 ) f ( m + 1 ) f^((m+1))f^{(m+1)}f(m+1) ne peut être nul identiquement sur aucun sous-intervalle de longueur non nulle de [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], car autrement f f fff serait seulement non-concave et non pas convexe d'ordre m m mmm sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. Il en résulte qu'il existe un [ c ′ , d ′ ] ⊆ [ c , d ] c ′ , d ′ ⊆ [ c , d ] [c^('),d^(')]sube[c,d]\left[c^{\prime}, d^{\prime}\right] \subseteq[c, d][c′,d′]⊆[c,d], de longueur non nulle
( c ≦ c ′ < d ′ ≦ d c ≦ c ′ < d ′ ≦ d c <= c^(') < d^(') <= dc \leqq c^{\prime}<d^{\prime} \leqq dc≦c′<d′≦d ), sur lequel f ( m + 1 ) ( x ) > 0 f ( m + 1 ) ( x ) > 0 f^((m+1))(x) > 0f^{(m+1)}(x)>0f(m+1)(x)>0. Nous avons alors
R [ f ] = ∫ a b φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x ≥ ∫ c ′ d ′ φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x > 0 R [ f ] = ∫ a b   φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x ≥ ∫ c ′ d ′   φ ( x ) f ( m + 1 ) ( x ) d x > 0 R[f]=int_(a)^(b)varphi(x)f^((m+1))(x)dx >= int_(c^('))^(d^('))varphi(x)f^((m+1))(x)dx > 0R[f]=\int_{a}^{b} \varphi(x) f^{(m+1)}(x) d x \geq \int_{c^{\prime}}^{d^{\prime}} \varphi(x) f^{(m+1)}(x) d x>0R[f]=∫abφ(x)f(m+1)(x)dx≥∫c′d′φ(x)f(m+1)(x)dx>0
donc R [ f ] > 0 R [ f ] > 0 R[f] > 0R[f]>0R[f]>0.
Lorsque la fonction f f fff est non-positive, on démontre, de la même manière que R [ f ] < 0 R [ f ] < 0 R[f] < 0R[f]<0R[f]<0, pour toute fonction convexe d'ordre m m mmm sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
La fonctionnelle linéaire (4) est bien de la forme simple.
Le théorème énoncé au n ∘ 5 n ∘ 5 n^(@)5\mathrm{n}^{\circ} 5n∘5 est ainsi démontré.
8. R. v. Mises a étudié [ 2 ] [ 2 ] [2][2][2] la représentation des restes R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] des formules de quadrature aussi sous la forme plus générale d'une intégrale de Stieltjes
R [ f ] = ∫ a b f ( m + 1 ) ( x ) d α ( x ) R [ f ] = ∫ a b   f ( m + 1 ) ( x ) d α ( x ) R[f]=int_(a)^(b)f^((m+1))(x)d alpha(x)R[f]=\int_{a}^{b} f^{(m+1)}(x) d \alpha(x)R[f]=∫abf(m+1)(x)dα(x)
où α ( x ) α ( x ) alpha(x)\alpha(x)α(x) est une fonction à variation bornée sur l'intervalle borné [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. On peut aussi étudier la simplicité d'une fonctionnelle linéaire de cette forme. Nous reviendrons sur cette question dans un autre travail.

Bibliographie

[1] G. Kowalewski, Interpolation und genäherte Quadrature, 1932.
[2] R. Mises, Über allgemeine Quadraturformeln, J. f. die reine u. angew. Math. 174 (1936) 56-67.
[3] T. Popoviciu, Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (IX). Bull. Math. Soc. Roumaine des sciences, 43 (1942) 84-141.
[4] T. Popoviciu, Sur le reste dans certaines formules linéaires d'approximation de l'analyse, Mathematica 1 (24) (1959) 95-142.
[5] T. Popoviciu, La simplicité du reste dans certaines formules de quadrature, Mathematica, 6 (29) (1964) 157-184.
[6]E. Rémèz, Sur certaines classes de fonctionnelles linéaires dans les espaces C P C P C_(P)\mathrm{C}_{\mathrm{P}}CP et sur les termes complémentaires des formules d'analyse approximative I, Rec. Trav. Inst. Math. Acad. Sci. URSS Ukraine 3 (1940) 21-62
[7] E. Rémèz, Sur certaines classes de fonctionnelles linéaires dans les espaces C R C R C_(R)\mathrm{C}_{\mathrm{R}}CR et sur les termes complémentaires des formules d'analyse approximative II. ibid., 4. (1940) 47-82.
1972

Related Posts