Abstrait
Traduction en anglais du titre
Remarks on the Remainder in Certain Formulas Approximating a Divided Difference by Derivatives
Auteur(s)
Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Remarques sur le reste de certaines formules d’approximation d’une différence divisée par des dérivées, Bul. Inst. Politehn. Iaşi (N.S.), 13(17) (1967) fasc. 3-4, pp. 103-109 (in French).
Sur ce travail
Journal
Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi
Publié par
“Gheorghe Asachi” Technical University of Iaşi
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REMARQUES SUR LE RESTE DE CERTAINES FORMULES D'APPROXIMATION D'UNE DIFFÉRENCE DIVISÉE PAR DES DÉRIVÉES
- Considérons une fonction ff définie et ayant une dérivée nn-ième continue sur l'intervalle fini et fermé [a,b],(a < b)[a, b],(a<b).
Soient a=x_(1) <= x_(2) <= dots <= x_(n) <= x_(n-1)=b,n+1a=x_{1} \leqq x_{2} \leqq \ldots \leqq x_{n} \leqq x_{n-1}=b, n+1 points distincts ou non, appartenant à l'intervalle [a,b][a, b] tel que les extrémités aa, bb soient parmi ces points. Il en résulte que n( > 0)n(>0) est un nombre naturel. Désignons par a=x_(1)=x_(1)^(') < x_(2)^(') < dots < x_(p)^(')=x_(n+1)=ba=x_{1}=x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{p}^{\prime}=x_{n+1}=b les points distincts parmi les points x_(alpha)x_{\alpha} et soient k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p} leur ordre de multiplicité respectifs. Nous avons donc 2 <= p <= n+1,k_(1),k_(2),dots,k_(p)2 \leqq p \leqq n+1, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p} sont des nombres naturels, k_(1)+k_(2)+dots++k_(p)=n+1k_{1}+k_{2}+\ldots+ +k_{p}=n+1 et max(k_(1),k_(2),dots,k_(p)) <= n\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right) \leqq n.
Conformément à la notation des points x_(alpha),x_(alpha)^(')x_{\alpha}, x_{\alpha}^{\prime}, nous avons
x_(k_(1)+k_(2)+dots+k_(alpha-1)+beta)=x_(alpha)^('),(beta=1,2,dots,k_(alpha);alpha=1,2,dots,p),x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{\alpha-1}+\beta}=x_{\alpha}^{\prime},\left(\beta=1,2, \ldots, k_{\alpha} ; \alpha=1,2, \ldots, p\right),
( k_(1)+k_(2)+cdots+k_(alpha-1)k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{\alpha-1} est remplacé par 0 si alpha=1\alpha=1 ).
Il existe une fonction continue G(x)G(x), complètement déterminée, telle que l'on ait
Il existe une fonction continue G(x)G(x), complètement déterminée, telle que l'on ait
{:(1)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=int_(a)^(b)G(x)f^((n))(x)dx",":}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\int_{a}^{b} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x, \tag{1}
\end{equation*}
où nous avons désigné par [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] la différence divisée de la fonction ff sur les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1).
La formule (1) est un cas particulier d'une formule de R. v. Mises [4]. Lorsque n=max(k_(1),k_(2),dots,k_(p))n=\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right), ce qui a lieu si et seulement si p=2p=2 et k_(1)=1k_{1}=1 ou k_(2)=1k_{2}=1, la propriété résulte de la formule ( 1 <= k <= n1 \leqq k \leqq n )
[a,a,dots,a,b,b,dots,b;f]=[a, a, \ldots, a, b, b, \ldots, b ; f]=
{:(2)=(1)/((k-1)!(n-k)!(b-a)^(n))int_(a)^(b)(x-a)^(n-k)(b-x)^(k-1)f^((n))(x)dx:}\begin{equation*}
=\frac{1}{(k-1)!(n-k)!(b-a)^{n}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n-k}(b-x)^{k-1} f^{(n)}(x) \mathrm{d} x \tag{2}
\end{equation*}
qu'il est facile d'obtenir, en calculant l'intégrale du second membre par des intégrations par parties répétées.
2. La formule (1) peut aussi être déduite d'une autre de G. Kowalewski [3] relative au reste de la formule d'interpolation de Lagrange (de Lagranze-Her nite en général).
2. La formule (1) peut aussi être déduite d'une autre de G. Kowalewski [3] relative au reste de la formule d'interpolation de Lagrange (de Lagranze-Her nite en général).
Pour simplifier, supposons que les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1), soient distincts, donc que a=x_(1) < x_(2) < dots < x_(n) < x_(n+1)=ba=x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<x_{n+1}=b. Posons l(x)==prod_(alpha=1)^([)(x-x_(alpha))l(x)= =\prod_{\alpha=1}^{[ }\left(x-x_{\alpha}\right) et considérons les polynômes fondamentaux d'interpolation l_(alpha)(x)=(l(x))/((x-x_(alpha))l^(')(x_(alpha))),(alpha=1,2,dots,n)l_{\alpha}(x)=\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right) l^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)},(\alpha=1,2, \ldots, n), relatifs aux noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n). Désignons enfin par L(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right) le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction ff sur ces noeuds. G. Kowalewski obtient [3] le reste f(x)-L(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)=l(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n),x;f]f(x)-L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)=l(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x ; f\right] de la formule d'interpolation de Lagrange sous la forme suivante
{:(3)l(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n),x;f]=sum_(alpha=1)^(n)l_(alpha)(x)int_(x_(alpha))^(x)((x_(alpha)-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du:}\begin{equation*}
l(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x ; f\right]=\sum_{\alpha=1}^{n} l_{\alpha}(x) \int_{x_{\alpha}}^{x} \frac{\left(x_{\alpha}-u\right)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(u) \mathrm{d} u \tag{3}
\end{equation*}
Si nous posons maintenat L(x)=l(x)(x-x_(n+1))L(x)=l(x)\left(x-x_{n+1}\right), nous obtenons
l(x_(n+1))=L^(')(x_(n+1)),quadl_(alpha)(x_(n+1))=-(L^(')(x_(n+1)))/(L^(')(x_(alpha))),quad(0=1,2,dots,n).l\left(x_{n+1}\right)=L^{\prime}\left(x_{n+1}\right), \quad l_{\alpha}\left(x_{n+1}\right)=-\frac{L^{\prime}\left(x_{n+1}\right)}{L^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)}, \quad(0=1,2, \ldots, n) .
En posant x=x_(n-1-1)=bx=x_{n-1-1}=b, dans (3), nous déduisons
{:(4)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=-sum_(alpha=1)^(n)(1)/(L^(')(x_(alpha)))int_(x_(alpha))^(b)((x_(alpha)-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du.:}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{1}{L^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)} \int_{x_{\alpha}}^{b} \frac{\left(x_{\alpha}-u\right)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(u) \mathrm{d} u . \tag{4}
\end{equation*}
- La formule (4) nous montre que si les noeuds sont distincts la fonction G(x)G(x) de la formule (1) este continue et même, si n > 2n>2, a une dérivée continue d'ordre n-2n-2 sur [a,b][a, b] et se réduit à un polynôme de degré n-1n-1 sur chacun des intervalles partiels [x_(alpha),x_(alpha+1)],(alpha=1,2,dots,n)\left[x_{\alpha}, x_{\alpha+1}\right],(\alpha=1,2, \ldots, n). Nous avons appellé autrefois une telle fonction une fonction élémentaire
d'ordre n-1n-1 et nous avons montré quelle est son importance dans la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur [6]. On les appelle aujourd hui aussi des „spline" fonctions de degré n-1n-1. I. J. Schoenberg les a employé [9], [10] dans d'intéressantes recherches sur la quadrature approchée.
Lorsque les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1), ne sont pas distincts mais sont groupés dans les noeuds distincts x_(alpha)^(')x_{\alpha}^{\prime} d'ordre k_(alpha)k_{\alpha} de multiplicité respectifs, les propriétés précédentes ne sont que partiellement vérifiées. Prolongeons la fonction G(x)G(x) par la valeur 0 à l'extérieur de l'intervalle [a,b][a, b]. La fonction G(x)G(x) ainsi prolongée este définie sur ( -oo,+oo-\infty,+\infty ), est continue sur l'intervalle ouvert ( a,ba, b ) et se réduit à un polynôme de degré n-1n-1 sur chacun des intervalles (-oo,x_(1)^(')),(x_(p)^('),+oo),(x_(alpha)^('),x_(alpha+1)^(')),(alpha=1\left(-\infty, x_{1}^{\prime}\right),\left(x_{p}^{\prime},+\infty\right),\left(x_{\alpha}^{\prime}, x_{\alpha+1}^{\prime}\right),(\alpha=1, 2,dots,p-1)2, \ldots, p-1). Sur le noeud x_(alpha)^('),(alpha=1,2,dots,p)x_{\alpha}^{\prime},(\alpha=1,2, \ldots, p), la fonction prolongée G^(˙)(x)\dot{G}(x) est continue si n >= 1+k_(alpha)n \geqq 1+k_{\alpha} et a une dérivée continue d'ordre n-1-k_(k)n-1-k_{k} si n > 1+k_(alpha)n>1+k_{\alpha}.
4. La fonction G(x)G(x) de la formule (1) est non-négative et a une intégrale positive sur [a,b][a, b]. En effet, si nous posons f=x^(n)f=x^{n} nous déduisons
4. La fonction G(x)G(x) de la formule (1) est non-négative et a une intégrale positive sur [a,b][a, b]. En effet, si nous posons f=x^(n)f=x^{n} nous déduisons
int_(a)^(b)G(x)dx=(1)/(n!)\int_{a}^{b} G(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n!}
La non-négativité de G(x)G(x) sur [a,b][a, b] résulte de la formule de la moyenne de Cauchy
{:(5)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=-(1)/(n!)f^((n))(xi)","quad xi in(a","b).:}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=-\frac{1}{n!} f^{(n)}(\xi), \quad \xi \in(a, b) . \tag{5}
\end{equation*}
En effet, si la fonction continue G(x)G(x) n'est pas non-négative il existe un sous-intervalle [alpha,beta][\alpha, \beta] de longueur non nulle de [a,b][a, b] sur lequel G(x) < 0G(x)<0. Soit alors f(x)f(x) une fonction (continue), définie sur [a,b][a, b] dont la dérivée nn-ième est donnée par
{:(6)f^((n))(x)={[0," pour "x in[a","alpha]uu[beta","b]","],[(x-alpha)(beta-x)!=0," pour "x in(alpha","beta).]:}:}f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { pour } x \in[a, \alpha] \cup[\beta, b], \tag{6}\\
(x-\alpha)(\beta-x) \neq 0 & \text { pour } x \in(\alpha, \beta) .
\end{array}\right.
D'une part, de (5) il résulte que [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f] >= 0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \geqslant 0 (la fonction ff est non-concave d'ordre n-1n-1 ). D'autre part, de (6) il résulte que
int_(a)^(b)G(x)f^((n))(x)dx=int_(a)^(beta)G(x)f^((n))(x)dx < 0\int_{a}^{b} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{\beta} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x<0
Les propriétés de la fonction G(x)G(x) de la formule (1) ont aussi été étudiées par D. V. Ionescu [2].
5. La formule (59) de Cauchy nous suggère la formule d'approximation
5. La formule (59) de Cauchy nous suggère la formule d'approximation
{:(7)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]~~(1)/(n!)f^((n))(x_(0))",":}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \approx \frac{1}{n!} f^{(n)}\left(x_{0}\right), \tag{7}
\end{equation*}
où x_(0)x_{0} est un point donné. Le degré d'exactitude de cette formule est >= n\geqq n et ce degré d'exactitude est > n>n si et seulement si dans (7) nous prenons x_(0)=(1)/(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)x_{0}=\frac{1}{n+1} \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}. Alors le degré d'exactitude est n+1n+1 et nous avons la formule d'approximation
{:(8)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=(1)/(n!)f^((n))((x_(1)+x_(2)+cdots+x_(n+1))/(n-1))+R:}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n+1}}{n-1}\right)+R \tag{8}
\end{equation*}
Cette formule est une formule du type Gauss [7] et a donc le reste de la forme simple [8]. Un calcul simple nous donne le reste RR sous la forme
R=(1)/((n+1)*(n+2)!)[(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)^(2)-(sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha))^(2)]*[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((n))]R=\frac{1}{(n+1) \cdot(n+2)!}\left[(n+1) \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}^{2}-\left(\sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}\right)^{2}\right] \cdot\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(n)}\right]
où xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} sont trois points distincts de l'intervalle ( a,ba, b ) (dépendant, en général, de la fonction ff ).
Si la fonction ff a une dérivée d'ordre n+2n+2 sur (a,b)(a, b), on a aussi
(9) quad R=(1)/(2(n+1)*(n+2)!)[(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)^(2)-(sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha))^(2)]f^((n+2))(xi),quad xi xi(a,b)\quad R=\frac{1}{2(n+1) \cdot(n+2)!}\left[(n+1) \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}^{2}-\left(\sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}\right)^{2}\right] f^{(n+2)}(\xi), \quad \xi \xi(a, b).
(9) quad R=(1)/(2(n+1)*(n+2)!)[(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)^(2)-(sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha))^(2)]f^((n+2))(xi),quad xi xi(a,b)\quad R=\frac{1}{2(n+1) \cdot(n+2)!}\left[(n+1) \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}^{2}-\left(\sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}\right)^{2}\right] f^{(n+2)}(\xi), \quad \xi \xi(a, b).
La formule (8) a été examinée dans le cas particulier p=2p=2 et k_(1)=1k_{1}=1 ou k_(2)=1k_{2}=1, par Laura Gotusso [1] qui a obtenu, dans ce cas, le reste avec un peu d'imprécision. La formule correcte de Laura Gotusso s'obtient en posant x_(1)=x_(2)=cdots=x_(n)=x,x_(n+1)=x+hx_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=x, x_{n+1}=x+h ou x_(1)=x+h,x_(2)=x_(3)=cdots==x_(n+1)=xx_{1}=x+h, x_{2}=x_{3}=\cdots= =x_{n+1}=x dans (8) et (9). On obtient ainsi la formule d'approximation (avec reste)
f(x+h)=sum_(alpha=0)^(n-1)(h^(alpha))/(alpha!)f^((alpha))(x)+(h^(n))/(n!)f^((n))(x+(h)/(n+1))+(nh^(n+2))/(2(n+1)*(n+2)!)f^((n+2))(xi)f(x+h)=\sum_{\alpha=0}^{n-1} \frac{h^{\alpha}}{\alpha!} f^{(\alpha)}(x)+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}\left(x+\frac{h}{n+1}\right)+\frac{n h^{n+2}}{2(n+1) \cdot(n+2)!} f^{(n+2)}(\xi), où xi\xi est à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points x,x+hx, x+h.
6. On peut obtenir les résultats précédents sans passer par la formule (1). En effet, nous avons démontré [5] que si la fonction ff est convexe d'ordre n-1n-1, nous avons l'inégalité
f(x+h)=sum_(alpha=0)^(n-1)(h^(alpha))/(alpha!)f^((alpha))(x)+(h^(n))/(n!)f^((n))(x+(h)/(n+1))+(nh^(n+2))/(2(n+1)*(n+2)!)f^((n+2))(xi)f(x+h)=\sum_{\alpha=0}^{n-1} \frac{h^{\alpha}}{\alpha!} f^{(\alpha)}(x)+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}\left(x+\frac{h}{n+1}\right)+\frac{n h^{n+2}}{2(n+1) \cdot(n+2)!} f^{(n+2)}(\xi), où xi\xi est à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points x,x+hx, x+h.
6. On peut obtenir les résultats précédents sans passer par la formule (1). En effet, nous avons démontré [5] que si la fonction ff est convexe d'ordre n-1n-1, nous avons l'inégalité
[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f] > (1)/(n!)f^((n))((x_(1)+x_(2)+cdots+x_(n+1))/(n+1))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]>\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n+1}}{n+1}\right)
(où x_(alpha)x_{\alpha} ne sont pas tous confondus). La simplicité du reste de la formule (8) en résulte alors [8].
7. On peut obtenir d'autres formules d'approximation de la différence divisée (1), en appliquant à l'intégrale du second membre une formule quelconque de quadrature, Je me contenterai d'examiner encore un cas particulier.
7. On peut obtenir d'autres formules d'approximation de la différence divisée (1), en appliquant à l'intégrale du second membre une formule quelconque de quadrature, Je me contenterai d'examiner encore un cas particulier.
Faisons d'abord quelques calculs préliminaires. Les moments
c_(n)=int_(a)^(b)G(x)x^(n)dx,quad(n=0,1,dots)c_{n}=\int_{a}^{b} G(x) x^{n} \mathrm{~d} x, \quad(n=0,1, \ldots)
peuvent être calculés à l'aide des fonctions symétriques bien connues w_(r)=sum_(alpha_(1)+alpha_(2)+dots+alpha_(n+1)=r)x_(1)^(alpha_(1))x_(2)^(alpha_(2))dotsx_(n+1)^(alpha_(n+1)),(r=0,1,dots;w_(0)=1)w_{r}=\sum_{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n+1}=r} x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n+1}^{\alpha_{n+1}},\left(r=0,1, \ldots ; w_{0}=1\right), la sommation étant étendue aux solutions entiers nonnégatives de l'équation diophantienne a_(1)+alpha_(2)+cdots+alpha_(n+1)=ra_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n+1}=r. On peut calculer les w_(r)w_{r} à l'aide de la formule de récurrence
{:(10)w_(r)-p_(1)w_(r-1)+p_(2)w_(r-2)-cdots+(-1)^(n+1)p_(n+1)w_(r-n-1)=0","(r=1","2","dots)",":}\begin{equation*}
w_{r}-p_{1} w_{r-1}+p_{2} w_{r-2}-\cdots+(-1)^{n+1} p_{n+1} w_{r-n-1}=0,(r=1,2, \ldots), \tag{10}
\end{equation*}
en posant w_(0)=1,w_(-1)=w_(-2)=cdots=w_(-n)=0,p_(1),p_(2),dots,p_(n+1)w_{0}=1, w_{-1}=w_{-2}=\cdots=w_{-n}=0, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n+1} étant les fonctions symétriques fondamentales des x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}.
Si nous posons f=x^(n+r)f=x^{n+r} dans (1), nous obtenons
d'où
d'où
{:[w_(r)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+r);x^(n-r)]=((n+r)!)/(r!)int_(a)^(b)G(x)x^(r)dx],[c_(r)=(r!)/((n+r)!)w_(r)","(r=0","1","dots;0!=1)]:}\begin{gathered}
w_{r}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+r} ; x^{n-r}\right]=\frac{(n+r)!}{r!} \int_{a}^{b} G(x) x^{r} \mathrm{~d} x \\
c_{r}=\frac{r!}{(n+r)!} w_{r},(r=0,1, \ldots ; 0!=1)
\end{gathered}
- Supposons que les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1), soient symétriquement distribués par rapport à l'origine, donc que a=-b,x_(alpha)+x_(n+2-alpha)=0a=-b, x_{\alpha}+x_{n+2-\alpha}=0, (alpha=1,2,dots,n+1)(\alpha=1,2, \ldots, n+1). Dans ce cas on a p_(alpha)=0p_{\alpha}=0 pour alpha\alpha impair et de (10) il résulte que w_(r)=0w_{r}=0, donc aussi c_(r)=0c_{r}=0, pour rr impair quelconque.
Nous avons la formule d'approximation ( m >= 1m \geqq 1 )
{:(11)int_(-b)^(b)G(x)f(x)dx~~int_(-b)^(b)G(x)[sum_(alpha=0)^(2m-1)(x^(alpha))/(alpha!)f^((alpha))(0)]dx=sum_(alpha=0)^(m-1)(c_(2alpha))/((2alpha)!)f^((2alpha))(0):}\begin{equation*}
\int_{-b}^{b} G(x) f(x) \mathrm{d} x \approx \int_{-b}^{b} G(x)\left[\sum_{\alpha=0}^{2 m-1} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} f^{(\alpha)}(0)\right] \mathrm{d} x=\sum_{\alpha=0}^{m-1} \frac{c_{2 \alpha}}{(2 \alpha)!} f^{(2 \alpha)}(0) \tag{11}
\end{equation*}
dont le reste
{:(12)int_(-b)^(b)G(x)x^(2m)[x","ubrace(0,0,dots,0ubrace)_(2m);f]dx:}\begin{equation*}
\int_{-b}^{b} G(x) x^{2 m}[x, \underbrace{0,0, \ldots, 0}_{2 m} ; f] \mathrm{d} x \tag{12}
\end{equation*}
est de degré d'exactitude 2m-12 m-1 et est bien de la forme simple, donc de la forme
{:(13)c_(2m)[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(2m+1);f]",":}\begin{equation*}
c_{2 m}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{2 m+1} ; f\right], \tag{13}
\end{equation*}
les xi_(alpha)\xi_{\alpha} étant 2m+12 m+1 points distincts de l'intervalle ( -b,b-b, b ). Dans (12) on suppose que la fonction ff ait une dérivée continue d'ordre 2m-12 m-1, mais le reste est de la forme (13) même si ff a une dérivée continue d’ordre 2m-22 m-2 seulement. Le reste peut donc se mettre sous la forme
(2c_(2m))/((2m)!)[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((2m-2))]\frac{2 c_{2 m}}{(2 m)!}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(2 m-2)}\right]
xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} étant trois points distincts de l'intervalle ( -b,b-b, b ).
Nous déduisons que si les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1), sont symétriquement distribués par rapport à l'origine et si x_(n+1)=-x_(1)=b( > 0)x_{n+1}=-x_{1}=b(>0) nous avons la formule d'approximation
Nous déduisons que si les noeuds x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1), sont symétriquement distribués par rapport à l'origine et si x_(n+1)=-x_(1)=b( > 0)x_{n+1}=-x_{1}=b(>0) nous avons la formule d'approximation
{:[[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sum_(alpha=0)^(m-1)(w_(2alpha))/((n+2alpha)!)f^((n+2alpha))(0)+],[quad+(2w_(2m))/((n+2m)!)[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((n+2m-2))]]:}\begin{aligned}
& {\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\sum_{\alpha=0}^{m-1} \frac{w_{2 \alpha}}{(n+2 \alpha)!} f^{(n+2 \alpha)}(0)+} \\
& \quad+\frac{2 w_{2 m}}{(n+2 m)!}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(n+2 m-2)}\right]
\end{aligned}
où ff a une dérivée continue d'ordre n+2m-2sur(-b,b)n+2 m-2 \operatorname{sur}(-b, b) et xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} sont trois points distincts de cet intervalle.
La formule (11) est encore du type Gauss, d'après la définition des formules de ce type [7].
Regue le 13 II 1967
Université „Babeş-Bolyai"
Université „Babeş-Bolyai"
BIBLIOGRAPHIE
- Gotusso L., Una valutasione approssimata del termine complementare della formula di Taylor. Atti del Seminario Mat. e Fizico dell'Univ. di Modena, 1964, XIII, pp. 221-229. 2. Ionescu D. V., Cuadraturi Numerice. Ed. Tehn. Buc., 1957.
- Kowalewski G., Interpolation und genäherte Quadratur. Leipzig u. Berlin, 1932.
- v. Mises s R., Über allgemeine Quadraturformeln. J. f. reine u. angew. Math., 1936, 174, S. 56-67.