Remarques sur le reste de certaines formules d’approximation d’une différence divisée par des dérivées

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

Remarks on the Remainder in Certain Formulas Approximating a Divided Difference by Derivatives

Auteur(s)

Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul

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1967 b -Popoviciu- Bul. Inst. Politehn. Iasi – Remarques sur le reste de certaines formules d’approximation d’une difference divisee par des derivees

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Remarques sur le reste de certaines formules d’approximation d’une différence divisée par des dérivées, Bul. Inst. Politehn. Iaşi (N.S.), 13(17) (1967) fasc. 3-4, pp. 103-109 (in French).

Sur ce travail

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Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi

Publié par

“Gheorghe Asachi” Technical University of Iaşi

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[MR0228859, Zbl 0189.35301]

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1967 b -Popoviciu- Bul. Inst. Politehn. Iasi - Remarques sur le reste de certaines formules d_approx

REMARQUES SUR LE RESTE DE CERTAINES FORMULES D'APPROXIMATION D'UNE DIFFÉRENCE DIVISÉE PAR DES DÉRIVÉES

PARTIBERIU POPOVICIUmembre de l'Académie de la République Socialiste de Roumanie

  1. Considérons une fonction f f fff définie et ayant une dérivée n n nnn-ième continue sur l'intervalle fini et fermé [ a , b ] , ( a < b ) [ a , b ] , ( a < b ) [a,b],(a < b)[a, b],(a<b)[a,b],(a<b).
Soient a = x 1 ≦ x 2 ≦ … ≦ x n ≦ x n − 1 = b , n + 1 a = x 1 ≦ x 2 ≦ … ≦ x n ≦ x n − 1 = b , n + 1 a=x_(1) <= x_(2) <= dots <= x_(n) <= x_(n-1)=b,n+1a=x_{1} \leqq x_{2} \leqq \ldots \leqq x_{n} \leqq x_{n-1}=b, n+1a=x1≦x2≦…≦xn≦xn−1=b,n+1 points distincts ou non, appartenant à l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] tel que les extrémités a a aaa, b b bbb soient parmi ces points. Il en résulte que n ( > 0 ) n ( > 0 ) n( > 0)n(>0)n(>0) est un nombre naturel. Désignons par a = x 1 = x 1 ′ < x 2 ′ < … < x p ′ = x n + 1 = b a = x 1 = x 1 ′ < x 2 ′ < … < x p ′ = x n + 1 = b a=x_(1)=x_(1)^(') < x_(2)^(') < dots < x_(p)^(')=x_(n+1)=ba=x_{1}=x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{p}^{\prime}=x_{n+1}=ba=x1=x1′<x2′<…<xp′=xn+1=b les points distincts parmi les points x α x α x_(alpha)x_{\alpha}xα et soient k 1 , k 2 , … , k p k 1 , k 2 , … , k p k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}k1,k2,…,kp leur ordre de multiplicité respectifs. Nous avons donc 2 ≦ p ≦ n + 1 , k 1 , k 2 , … , k p 2 ≦ p ≦ n + 1 , k 1 , k 2 , … , k p 2 <= p <= n+1,k_(1),k_(2),dots,k_(p)2 \leqq p \leqq n+1, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}2≦p≦n+1,k1,k2,…,kp sont des nombres naturels, k 1 + k 2 + … + + k p = n + 1 k 1 + k 2 + … + + k p = n + 1 k_(1)+k_(2)+dots++k_(p)=n+1k_{1}+k_{2}+\ldots+ +k_{p}=n+1k1+k2+…++kp=n+1 et max ( k 1 , k 2 , … , k p ) ≦ n max k 1 , k 2 , … , k p ≦ n max(k_(1),k_(2),dots,k_(p)) <= n\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right) \leqq nmax(k1,k2,…,kp)≦n.
Conformément à la notation des points x α , x α ′ x α , x α ′ x_(alpha),x_(alpha)^(')x_{\alpha}, x_{\alpha}^{\prime}xα,xα′, nous avons
x k 1 + k 2 + … + k α − 1 + β = x α ′ , ( β = 1 , 2 , … , k α ; α = 1 , 2 , … , p ) , x k 1 + k 2 + … + k α − 1 + β = x α ′ , β = 1 , 2 , … , k α ; α = 1 , 2 , … , p , x_(k_(1)+k_(2)+dots+k_(alpha-1)+beta)=x_(alpha)^('),(beta=1,2,dots,k_(alpha);alpha=1,2,dots,p),x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{\alpha-1}+\beta}=x_{\alpha}^{\prime},\left(\beta=1,2, \ldots, k_{\alpha} ; \alpha=1,2, \ldots, p\right),xk1+k2+…+kα−1+β=xα′,(β=1,2,…,kα;α=1,2,…,p),
( k 1 + k 2 + ⋯ + k α − 1 k 1 + k 2 + ⋯ + k α − 1 k_(1)+k_(2)+cdots+k_(alpha-1)k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{\alpha-1}k1+k2+⋯+kα−1 est remplacé par 0 si α = 1 α = 1 alpha=1\alpha=1α=1 ).
Il existe une fonction continue G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x), complètement déterminée, telle que l'on ait
(1) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = ∫ a b G ( x ) f ( n ) ( x ) d x , (1) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = ∫ a b   G ( x ) f ( n ) ( x ) d x , {:(1)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=int_(a)^(b)G(x)f^((n))(x)dx",":}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\int_{a}^{b} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x, \tag{1} \end{equation*}(1)[x1,x2,…,xn+1;f]=∫abG(x)f(n)(x)dx,
où nous avons désigné par [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right][x1,x2,…,xn+1;f] la différence divisée de la fonction f f fff sur les noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1)xα,(α=1,2,…,n+1).
La formule (1) est un cas particulier d'une formule de R. v. Mises [4]. Lorsque n = max ( k 1 , k 2 , … , k p ) n = max k 1 , k 2 , … , k p n=max(k_(1),k_(2),dots,k_(p))n=\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right)n=max(k1,k2,…,kp), ce qui a lieu si et seulement si p = 2 p = 2 p=2p=2p=2 et k 1 = 1 k 1 = 1 k_(1)=1k_{1}=1k1=1 ou k 2 = 1 k 2 = 1 k_(2)=1k_{2}=1k2=1, la propriété résulte de la formule ( 1 ≦ k ≦ n 1 ≦ k ≦ n 1 <= k <= n1 \leqq k \leqq n1≦k≦n )
[ a , a , … , a , b , b , … , b ; f ] = [ a , a , … , a , b , b , … , b ; f ] = [a,a,dots,a,b,b,dots,b;f]=[a, a, \ldots, a, b, b, \ldots, b ; f]=[a,a,…,a,b,b,…,b;f]=
(2) = 1 ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! ( b − a ) n ∫ a b ( x − a ) n − k ( b − x ) k − 1 f ( n ) ( x ) d x (2) = 1 ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! ( b − a ) n ∫ a b   ( x − a ) n − k ( b − x ) k − 1 f ( n ) ( x ) d x {:(2)=(1)/((k-1)!(n-k)!(b-a)^(n))int_(a)^(b)(x-a)^(n-k)(b-x)^(k-1)f^((n))(x)dx:}\begin{equation*} =\frac{1}{(k-1)!(n-k)!(b-a)^{n}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n-k}(b-x)^{k-1} f^{(n)}(x) \mathrm{d} x \tag{2} \end{equation*}(2)=1(k−1)!(n−k)!(b−a)n∫ab(x−a)n−k(b−x)k−1f(n)(x)dx
qu'il est facile d'obtenir, en calculant l'intégrale du second membre par des intégrations par parties répétées.
2. La formule (1) peut aussi être déduite d'une autre de G. Kowalewski [3] relative au reste de la formule d'interpolation de Lagrange (de Lagranze-Her nite en général).
Pour simplifier, supposons que les noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1)xα,(α=1,2,…,n+1), soient distincts, donc que a = x 1 < x 2 < … < x n < x n + 1 = b a = x 1 < x 2 < … < x n < x n + 1 = b a=x_(1) < x_(2) < dots < x_(n) < x_(n+1)=ba=x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}<x_{n+1}=ba=x1<x2<…<xn<xn+1=b. Posons l ( x ) == ∏ α = 1 [ ( x − x α ) l ( x ) == ∏ α = 1 [   x − x α l(x)==prod_(alpha=1)^([)(x-x_(alpha))l(x)= =\prod_{\alpha=1}^{[ }\left(x-x_{\alpha}\right)l(x)==∏α=1[(x−xα) et considérons les polynômes fondamentaux d'interpolation l α ( x ) = l ( x ) ( x − x α ) l ′ ( x α ) , ( α = 1 , 2 , … , n ) l α ( x ) = l ( x ) x − x α l ′ x α , ( α = 1 , 2 , … , n ) l_(alpha)(x)=(l(x))/((x-x_(alpha))l^(')(x_(alpha))),(alpha=1,2,dots,n)l_{\alpha}(x)=\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right) l^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)},(\alpha=1,2, \ldots, n)lα(x)=l(x)(x−xα)l′(xα),(α=1,2,…,n), relatifs aux noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n)xα,(α=1,2,…,n). Désignons enfin par L ( x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x ) L x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x L(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)L(x1,x2,…,xn;f∣x) le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f f fff sur ces noeuds. G. Kowalewski obtient [3] le reste f ( x ) − L ( x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x ) = l ( x ) [ x 1 , x 2 , … , x n , x ; f ] f ( x ) − L x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x = l ( x ) x 1 , x 2 , … , x n , x ; f f(x)-L(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)=l(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n),x;f]f(x)-L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)=l(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x ; f\right]f(x)−L(x1,x2,…,xn;f∣x)=l(x)[x1,x2,…,xn,x;f] de la formule d'interpolation de Lagrange sous la forme suivante
(3) l ( x ) [ x 1 , x 2 , … , x n , x ; f ] = ∑ α = 1 n l α ( x ) ∫ x α x ( x α − u ) n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n ) ( u ) d u (3) l ( x ) x 1 , x 2 , … , x n , x ; f = ∑ α = 1 n   l α ( x ) ∫ x α x   x α − u n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n ) ( u ) d u {:(3)l(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n),x;f]=sum_(alpha=1)^(n)l_(alpha)(x)int_(x_(alpha))^(x)((x_(alpha)-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du:}\begin{equation*} l(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x ; f\right]=\sum_{\alpha=1}^{n} l_{\alpha}(x) \int_{x_{\alpha}}^{x} \frac{\left(x_{\alpha}-u\right)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(u) \mathrm{d} u \tag{3} \end{equation*}(3)l(x)[x1,x2,…,xn,x;f]=∑α=1nlα(x)∫xαx(xα−u)n−1(n−1)!f(n)(u)du
Si nous posons maintenat L ( x ) = l ( x ) ( x − x n + 1 ) L ( x ) = l ( x ) x − x n + 1 L(x)=l(x)(x-x_(n+1))L(x)=l(x)\left(x-x_{n+1}\right)L(x)=l(x)(x−xn+1), nous obtenons
l ( x n + 1 ) = L ′ ( x n + 1 ) , l α ( x n + 1 ) = − L ′ ( x n + 1 ) L ′ ( x α ) , ( 0 = 1 , 2 , … , n ) . l x n + 1 = L ′ x n + 1 , l α x n + 1 = − L ′ x n + 1 L ′ x α , ( 0 = 1 , 2 , … , n ) . l(x_(n+1))=L^(')(x_(n+1)),quadl_(alpha)(x_(n+1))=-(L^(')(x_(n+1)))/(L^(')(x_(alpha))),quad(0=1,2,dots,n).l\left(x_{n+1}\right)=L^{\prime}\left(x_{n+1}\right), \quad l_{\alpha}\left(x_{n+1}\right)=-\frac{L^{\prime}\left(x_{n+1}\right)}{L^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)}, \quad(0=1,2, \ldots, n) .l(xn+1)=L′(xn+1),lα(xn+1)=−L′(xn+1)L′(xα),(0=1,2,…,n).
En posant x = x n − 1 − 1 = b x = x n − 1 − 1 = b x=x_(n-1-1)=bx=x_{n-1-1}=bx=xn−1−1=b, dans (3), nous déduisons
(4) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = − ∑ α = 1 n 1 L ′ ( x α ) ∫ x α b ( x α − u ) n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n ) ( u ) d u . (4) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = − ∑ α = 1 n   1 L ′ x α ∫ x α b   x α − u n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n ) ( u ) d u . {:(4)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=-sum_(alpha=1)^(n)(1)/(L^(')(x_(alpha)))int_(x_(alpha))^(b)((x_(alpha)-u)^(n-1))/((n-1)!)f^((n))(u)du.:}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=-\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{1}{L^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)} \int_{x_{\alpha}}^{b} \frac{\left(x_{\alpha}-u\right)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(u) \mathrm{d} u . \tag{4} \end{equation*}(4)[x1,x2,…,xn+1;f]=−∑α=1n1L′(xα)∫xαb(xα−u)n−1(n−1)!f(n)(u)du.
  1. La formule (4) nous montre que si les noeuds sont distincts la fonction G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) de la formule (1) este continue et même, si n > 2 n > 2 n > 2n>2n>2, a une dérivée continue d'ordre n − 2 n − 2 n-2n-2n−2 sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] et se réduit à un polynôme de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 sur chacun des intervalles partiels [ x α , x α + 1 ] , ( α = 1 , 2 , … , n ) x α , x α + 1 , ( α = 1 , 2 , … , n ) [x_(alpha),x_(alpha+1)],(alpha=1,2,dots,n)\left[x_{\alpha}, x_{\alpha+1}\right],(\alpha=1,2, \ldots, n)[xα,xα+1],(α=1,2,…,n). Nous avons appellé autrefois une telle fonction une fonction élémentaire
    d'ordre n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 et nous avons montré quelle est son importance dans la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur [6]. On les appelle aujourd hui aussi des „spline" fonctions de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1. I. J. Schoenberg les a employé [9], [10] dans d'intéressantes recherches sur la quadrature approchée.
Lorsque les noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1)xα,(α=1,2,…,n+1), ne sont pas distincts mais sont groupés dans les noeuds distincts x α ′ x α ′ x_(alpha)^(')x_{\alpha}^{\prime}xα′ d'ordre k α k α k_(alpha)k_{\alpha}kα de multiplicité respectifs, les propriétés précédentes ne sont que partiellement vérifiées. Prolongeons la fonction G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) par la valeur 0 à l'extérieur de l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. La fonction G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) ainsi prolongée este définie sur ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ), est continue sur l'intervalle ouvert ( a , b a , b a,ba, ba,b ) et se réduit à un polynôme de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 sur chacun des intervalles ( − ∞ , x 1 ′ ) , ( x p ′ , + ∞ ) , ( x α ′ , x α + 1 ′ ) , ( α = 1 − ∞ , x 1 ′ , x p ′ , + ∞ , x α ′ , x α + 1 ′ , ( α = 1 (-oo,x_(1)^(')),(x_(p)^('),+oo),(x_(alpha)^('),x_(alpha+1)^(')),(alpha=1\left(-\infty, x_{1}^{\prime}\right),\left(x_{p}^{\prime},+\infty\right),\left(x_{\alpha}^{\prime}, x_{\alpha+1}^{\prime}\right),(\alpha=1(−∞,x1′),(xp′,+∞),(xα′,xα+1′),(α=1, 2 , … , p − 1 ) 2 , … , p − 1 ) 2,dots,p-1)2, \ldots, p-1)2,…,p−1). Sur le noeud x α ′ , ( α = 1 , 2 , … , p ) x α ′ , ( α = 1 , 2 , … , p ) x_(alpha)^('),(alpha=1,2,dots,p)x_{\alpha}^{\prime},(\alpha=1,2, \ldots, p)xα′,(α=1,2,…,p), la fonction prolongée G ˙ ( x ) G ˙ ( x ) G^(˙)(x)\dot{G}(x)G˙(x) est continue si n ≧ 1 + k α n ≧ 1 + k α n >= 1+k_(alpha)n \geqq 1+k_{\alpha}n≧1+kα et a une dérivée continue d'ordre n − 1 − k k n − 1 − k k n-1-k_(k)n-1-k_{k}n−1−kk si n > 1 + k α n > 1 + k α n > 1+k_(alpha)n>1+k_{\alpha}n>1+kα.
4. La fonction G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) de la formule (1) est non-négative et a une intégrale positive sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. En effet, si nous posons f = x n f = x n f=x^(n)f=x^{n}f=xn nous déduisons
∫ a b G ( x ) d x = 1 n ! ∫ a b   G ( x ) d x = 1 n ! int_(a)^(b)G(x)dx=(1)/(n!)\int_{a}^{b} G(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n!}∫abG(x)dx=1n!
La non-négativité de G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] résulte de la formule de la moyenne de Cauchy
(5) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = − 1 n ! f ( n ) ( ξ ) , ξ ∈ ( a , b ) . (5) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = − 1 n ! f ( n ) ( ξ ) , ξ ∈ ( a , b ) . {:(5)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=-(1)/(n!)f^((n))(xi)","quad xi in(a","b).:}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=-\frac{1}{n!} f^{(n)}(\xi), \quad \xi \in(a, b) . \tag{5} \end{equation*}(5)[x1,x2,…,xn+1;f]=−1n!f(n)(ξ),ξ∈(a,b).
En effet, si la fonction continue G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) n'est pas non-négative il existe un sous-intervalle [ α , β ] [ α , β ] [alpha,beta][\alpha, \beta][α,β] de longueur non nulle de [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] sur lequel G ( x ) < 0 G ( x ) < 0 G(x) < 0G(x)<0G(x)<0. Soit alors f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) une fonction (continue), définie sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] dont la dérivée n n nnn-ième est donnée par
(6) f ( n ) ( x ) = { 0 pour x ∈ [ a , α ] ∪ [ β , b ] , ( x − α ) ( β − x ) ≠ 0 pour x ∈ ( α , β ) . (6) f ( n ) ( x ) = 0  pour  x ∈ [ a , α ] ∪ [ β , b ] , ( x − α ) ( β − x ) ≠ 0  pour  x ∈ ( α , β ) . {:(6)f^((n))(x)={[0," pour "x in[a","alpha]uu[beta","b]","],[(x-alpha)(beta-x)!=0," pour "x in(alpha","beta).]:}:}f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text { pour } x \in[a, \alpha] \cup[\beta, b], \tag{6}\\ (x-\alpha)(\beta-x) \neq 0 & \text { pour } x \in(\alpha, \beta) . \end{array}\right.(6)f(n)(x)={0 pour x∈[a,α]∪[β,b],(x−α)(β−x)≠0 pour x∈(α,β).
D'une part, de (5) il résulte que [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] ⩾ 0 x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ⩾ 0 [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f] >= 0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \geqslant 0[x1,x2,…,xn+1;f]⩾0 (la fonction f f fff est non-concave d'ordre n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 ). D'autre part, de (6) il résulte que
∫ a b G ( x ) f ( n ) ( x ) d x = ∫ a β G ( x ) f ( n ) ( x ) d x < 0 ∫ a b   G ( x ) f ( n ) ( x ) d x = ∫ a β   G ( x ) f ( n ) ( x ) d x < 0 int_(a)^(b)G(x)f^((n))(x)dx=int_(a)^(beta)G(x)f^((n))(x)dx < 0\int_{a}^{b} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{\beta} G(x) f^{(n)}(x) \mathrm{d} x<0∫abG(x)f(n)(x)dx=∫aβG(x)f(n)(x)dx<0
Les propriétés de la fonction G ( x ) G ( x ) G(x)G(x)G(x) de la formule (1) ont aussi été étudiées par D. V. Ionescu [2].
5. La formule (59) de Cauchy nous suggère la formule d'approximation
(7) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] ≈ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) , (7) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ≈ 1 n ! f ( n ) x 0 , {:(7)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]~~(1)/(n!)f^((n))(x_(0))",":}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \approx \frac{1}{n!} f^{(n)}\left(x_{0}\right), \tag{7} \end{equation*}(7)[x1,x2,…,xn+1;f]≈1n!f(n)(x0),
où x 0 x 0 x_(0)x_{0}x0 est un point donné. Le degré d'exactitude de cette formule est ≧ n ≧ n >= n\geqq n≧n et ce degré d'exactitude est > n > n > n>n>n si et seulement si dans (7) nous prenons x 0 = 1 n + 1 ∑ α = 1 n + 1 x α x 0 = 1 n + 1 ∑ α = 1 n + 1   x α x_(0)=(1)/(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)x_{0}=\frac{1}{n+1} \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}x0=1n+1∑α=1n+1xα. Alors le degré d'exactitude est n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 et nous avons la formule d'approximation
(8) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = 1 n ! f ( n ) ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n − 1 ) + R (8) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = 1 n ! f ( n ) x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n − 1 + R {:(8)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=(1)/(n!)f^((n))((x_(1)+x_(2)+cdots+x_(n+1))/(n-1))+R:}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n+1}}{n-1}\right)+R \tag{8} \end{equation*}(8)[x1,x2,…,xn+1;f]=1n!f(n)(x1+x2+⋯+xn+1n−1)+R
Cette formule est une formule du type Gauss [7] et a donc le reste de la forme simple [8]. Un calcul simple nous donne le reste R R RRR sous la forme
R = 1 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! [ ( n + 1 ) ∑ α = 1 n + 1 x α 2 − ( ∑ α = 1 n + 1 x α ) 2 ] ⋅ [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( n ) ] R = 1 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! ( n + 1 ) ∑ α = 1 n + 1   x α 2 − ∑ α = 1 n + 1   x α 2 ⋅ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( n ) R=(1)/((n+1)*(n+2)!)[(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)^(2)-(sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha))^(2)]*[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((n))]R=\frac{1}{(n+1) \cdot(n+2)!}\left[(n+1) \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}^{2}-\left(\sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}\right)^{2}\right] \cdot\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(n)}\right]R=1(n+1)⋅(n+2)![(n+1)∑α=1n+1xα2−(∑α=1n+1xα)2]⋅[ξ1,ξ2,ξ3;f(n)]
où ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}ξ1,ξ2,ξ3 sont trois points distincts de l'intervalle ( a , b a , b a,ba, ba,b ) (dépendant, en général, de la fonction f f fff ).
Si la fonction f f fff a une dérivée d'ordre n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 sur ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b), on a aussi
(9) R = 1 2 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! [ ( n + 1 ) ∑ α = 1 n + 1 x α 2 − ( ∑ α = 1 n + 1 x α ) 2 ] f ( n + 2 ) ( ξ ) , ξ ξ ( a , b ) R = 1 2 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! ( n + 1 ) ∑ α = 1 n + 1   x α 2 − ∑ α = 1 n + 1   x α 2 f ( n + 2 ) ( ξ ) , ξ ξ ( a , b ) quad R=(1)/(2(n+1)*(n+2)!)[(n+1)sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha)^(2)-(sum_(alpha=1)^(n+1)x_(alpha))^(2)]f^((n+2))(xi),quad xi xi(a,b)\quad R=\frac{1}{2(n+1) \cdot(n+2)!}\left[(n+1) \sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}^{2}-\left(\sum_{\alpha=1}^{n+1} x_{\alpha}\right)^{2}\right] f^{(n+2)}(\xi), \quad \xi \xi(a, b)R=12(n+1)⋅(n+2)![(n+1)∑α=1n+1xα2−(∑α=1n+1xα)2]f(n+2)(ξ),ξξ(a,b).
La formule (8) a été examinée dans le cas particulier p = 2 p = 2 p=2p=2p=2 et k 1 = 1 k 1 = 1 k_(1)=1k_{1}=1k1=1 ou k 2 = 1 k 2 = 1 k_(2)=1k_{2}=1k2=1, par Laura Gotusso [1] qui a obtenu, dans ce cas, le reste avec un peu d'imprécision. La formule correcte de Laura Gotusso s'obtient en posant x 1 = x 2 = ⋯ = x n = x , x n + 1 = x + h x 1 = x 2 = ⋯ = x n = x , x n + 1 = x + h x_(1)=x_(2)=cdots=x_(n)=x,x_(n+1)=x+hx_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=x, x_{n+1}=x+hx1=x2=⋯=xn=x,xn+1=x+h ou x 1 = x + h , x 2 = x 3 = ⋯ == x n + 1 = x x 1 = x + h , x 2 = x 3 = ⋯ == x n + 1 = x x_(1)=x+h,x_(2)=x_(3)=cdots==x_(n+1)=xx_{1}=x+h, x_{2}=x_{3}=\cdots= =x_{n+1}=xx1=x+h,x2=x3=⋯==xn+1=x dans (8) et (9). On obtient ainsi la formule d'approximation (avec reste)
f ( x + h ) = ∑ α = 0 n − 1 h α α ! f ( α ) ( x ) + h n n ! f ( n ) ( x + h n + 1 ) + n h n + 2 2 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! f ( n + 2 ) ( ξ ) f ( x + h ) = ∑ α = 0 n − 1   h α α ! f ( α ) ( x ) + h n n ! f ( n ) x + h n + 1 + n h n + 2 2 ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ! f ( n + 2 ) ( ξ ) f(x+h)=sum_(alpha=0)^(n-1)(h^(alpha))/(alpha!)f^((alpha))(x)+(h^(n))/(n!)f^((n))(x+(h)/(n+1))+(nh^(n+2))/(2(n+1)*(n+2)!)f^((n+2))(xi)f(x+h)=\sum_{\alpha=0}^{n-1} \frac{h^{\alpha}}{\alpha!} f^{(\alpha)}(x)+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}\left(x+\frac{h}{n+1}\right)+\frac{n h^{n+2}}{2(n+1) \cdot(n+2)!} f^{(n+2)}(\xi)f(x+h)=∑α=0n−1hαα!f(α)(x)+hnn!f(n)(x+hn+1)+nhn+22(n+1)⋅(n+2)!f(n+2)(ξ), où ξ ξ xi\xiξ est à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points x , x + h x , x + h x,x+hx, x+hx,x+h.
6. On peut obtenir les résultats précédents sans passer par la formule (1). En effet, nous avons démontré [5] que si la fonction f f fff est convexe d'ordre n − 1 n − 1 n-1n-1n−1, nous avons l'inégalité
[ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] > 1 n ! f ( n ) ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n + 1 ) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f > 1 n ! f ( n ) x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n + 1 [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f] > (1)/(n!)f^((n))((x_(1)+x_(2)+cdots+x_(n+1))/(n+1))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]>\frac{1}{n!} f^{(n)}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n+1}}{n+1}\right)[x1,x2,…,xn+1;f]>1n!f(n)(x1+x2+⋯+xn+1n+1)
(où x α x α x_(alpha)x_{\alpha}xα ne sont pas tous confondus). La simplicité du reste de la formule (8) en résulte alors [8].
7. On peut obtenir d'autres formules d'approximation de la différence divisée (1), en appliquant à l'intégrale du second membre une formule quelconque de quadrature, Je me contenterai d'examiner encore un cas particulier.
Faisons d'abord quelques calculs préliminaires. Les moments
c n = ∫ a b G ( x ) x n d x , ( n = 0 , 1 , … ) c n = ∫ a b   G ( x ) x n d x , ( n = 0 , 1 , … ) c_(n)=int_(a)^(b)G(x)x^(n)dx,quad(n=0,1,dots)c_{n}=\int_{a}^{b} G(x) x^{n} \mathrm{~d} x, \quad(n=0,1, \ldots)cn=∫abG(x)xn dx,(n=0,1,…)
peuvent être calculés à l'aide des fonctions symétriques bien connues w r = ∑ α 1 + α 2 + … + α n + 1 = r x 1 α 1 x 2 α 2 … x n + 1 α n + 1 , ( r = 0 , 1 , … ; w 0 = 1 ) w r = ∑ α 1 + α 2 + … + α n + 1 = r   x 1 α 1 x 2 α 2 … x n + 1 α n + 1 , r = 0 , 1 , … ; w 0 = 1 w_(r)=sum_(alpha_(1)+alpha_(2)+dots+alpha_(n+1)=r)x_(1)^(alpha_(1))x_(2)^(alpha_(2))dotsx_(n+1)^(alpha_(n+1)),(r=0,1,dots;w_(0)=1)w_{r}=\sum_{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n+1}=r} x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n+1}^{\alpha_{n+1}},\left(r=0,1, \ldots ; w_{0}=1\right)wr=∑α1+α2+…+αn+1=rx1α1x2α2…xn+1αn+1,(r=0,1,…;w0=1), la sommation étant étendue aux solutions entiers nonnégatives de l'équation diophantienne a 1 + α 2 + ⋯ + α n + 1 = r a 1 + α 2 + ⋯ + α n + 1 = r a_(1)+alpha_(2)+cdots+alpha_(n+1)=ra_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n+1}=ra1+α2+⋯+αn+1=r. On peut calculer les w r w r w_(r)w_{r}wr à l'aide de la formule de récurrence
(10) w r − p 1 w r − 1 + p 2 w r − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 p n + 1 w r − n − 1 = 0 , ( r = 1 , 2 , … ) , (10) w r − p 1 w r − 1 + p 2 w r − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 p n + 1 w r − n − 1 = 0 , ( r = 1 , 2 , … ) , {:(10)w_(r)-p_(1)w_(r-1)+p_(2)w_(r-2)-cdots+(-1)^(n+1)p_(n+1)w_(r-n-1)=0","(r=1","2","dots)",":}\begin{equation*} w_{r}-p_{1} w_{r-1}+p_{2} w_{r-2}-\cdots+(-1)^{n+1} p_{n+1} w_{r-n-1}=0,(r=1,2, \ldots), \tag{10} \end{equation*}(10)wr−p1wr−1+p2wr−2−⋯+(−1)n+1pn+1wr−n−1=0,(r=1,2,…),
en posant w 0 = 1 , w − 1 = w − 2 = ⋯ = w − n = 0 , p 1 , p 2 , … , p n + 1 w 0 = 1 , w − 1 = w − 2 = ⋯ = w − n = 0 , p 1 , p 2 , … , p n + 1 w_(0)=1,w_(-1)=w_(-2)=cdots=w_(-n)=0,p_(1),p_(2),dots,p_(n+1)w_{0}=1, w_{-1}=w_{-2}=\cdots=w_{-n}=0, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n+1}w0=1,w−1=w−2=⋯=w−n=0,p1,p2,…,pn+1 étant les fonctions symétriques fondamentales des x 1 , x 2 , … , x n + 1 x 1 , x 2 , … , x n + 1 x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}x1,x2,…,xn+1.
Si nous posons f = x n + r f = x n + r f=x^(n+r)f=x^{n+r}f=xn+r dans (1), nous obtenons
d'où
w r = [ x 1 , x 2 , … , x n + r ; x n − r ] = ( n + r ) ! r ! ∫ a b G ( x ) x r d x c r = r ! ( n + r ) ! w r , ( r = 0 , 1 , … ; 0 ! = 1 ) w r = x 1 , x 2 , … , x n + r ; x n − r = ( n + r ) ! r ! ∫ a b   G ( x ) x r d x c r = r ! ( n + r ) ! w r , ( r = 0 , 1 , … ; 0 ! = 1 ) {:[w_(r)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+r);x^(n-r)]=((n+r)!)/(r!)int_(a)^(b)G(x)x^(r)dx],[c_(r)=(r!)/((n+r)!)w_(r)","(r=0","1","dots;0!=1)]:}\begin{gathered} w_{r}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+r} ; x^{n-r}\right]=\frac{(n+r)!}{r!} \int_{a}^{b} G(x) x^{r} \mathrm{~d} x \\ c_{r}=\frac{r!}{(n+r)!} w_{r},(r=0,1, \ldots ; 0!=1) \end{gathered}wr=[x1,x2,…,xn+r;xn−r]=(n+r)!r!∫abG(x)xr dxcr=r!(n+r)!wr,(r=0,1,…;0!=1)
  1. Supposons que les noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1)xα,(α=1,2,…,n+1), soient symétriquement distribués par rapport à l'origine, donc que a = − b , x α + x n + 2 − α = 0 a = − b , x α + x n + 2 − α = 0 a=-b,x_(alpha)+x_(n+2-alpha)=0a=-b, x_{\alpha}+x_{n+2-\alpha}=0a=−b,xα+xn+2−α=0, ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) (alpha=1,2,dots,n+1)(\alpha=1,2, \ldots, n+1)(α=1,2,…,n+1). Dans ce cas on a p α = 0 p α = 0 p_(alpha)=0p_{\alpha}=0pα=0 pour α α alpha\alphaα impair et de (10) il résulte que w r = 0 w r = 0 w_(r)=0w_{r}=0wr=0, donc aussi c r = 0 c r = 0 c_(r)=0c_{r}=0cr=0, pour r r rrr impair quelconque.
Nous avons la formule d'approximation ( m ≧ 1 m ≧ 1 m >= 1m \geqq 1m≧1 )
(11) ∫ − b b G ( x ) f ( x ) d x ≈ ∫ − b b G ( x ) [ ∑ α = 0 2 m − 1 x α α ! f ( α ) ( 0 ) ] d x = ∑ α = 0 m − 1 c 2 α ( 2 α ) ! f ( 2 α ) ( 0 ) (11) ∫ − b b   G ( x ) f ( x ) d x ≈ ∫ − b b   G ( x ) ∑ α = 0 2 m − 1   x α α ! f ( α ) ( 0 ) d x = ∑ α = 0 m − 1   c 2 α ( 2 α ) ! f ( 2 α ) ( 0 ) {:(11)int_(-b)^(b)G(x)f(x)dx~~int_(-b)^(b)G(x)[sum_(alpha=0)^(2m-1)(x^(alpha))/(alpha!)f^((alpha))(0)]dx=sum_(alpha=0)^(m-1)(c_(2alpha))/((2alpha)!)f^((2alpha))(0):}\begin{equation*} \int_{-b}^{b} G(x) f(x) \mathrm{d} x \approx \int_{-b}^{b} G(x)\left[\sum_{\alpha=0}^{2 m-1} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} f^{(\alpha)}(0)\right] \mathrm{d} x=\sum_{\alpha=0}^{m-1} \frac{c_{2 \alpha}}{(2 \alpha)!} f^{(2 \alpha)}(0) \tag{11} \end{equation*}(11)∫−bbG(x)f(x)dx≈∫−bbG(x)[∑α=02m−1xαα!f(α)(0)]dx=∑α=0m−1c2α(2α)!f(2α)(0)
dont le reste
(12) ∫ − b b G ( x ) x 2 m [ x , 0 , 0 , … , 0 ⏟ 2 m ; f ] d x (12) ∫ − b b   G ( x ) x 2 m [ x , 0 , 0 , … , 0 ⏟ 2 m ; f ] d x {:(12)int_(-b)^(b)G(x)x^(2m)[x","ubrace(0,0,dots,0ubrace)_(2m);f]dx:}\begin{equation*} \int_{-b}^{b} G(x) x^{2 m}[x, \underbrace{0,0, \ldots, 0}_{2 m} ; f] \mathrm{d} x \tag{12} \end{equation*}(12)∫−bbG(x)x2m[x,0,0,…,0⏟2m;f]dx
est de degré d'exactitude 2 m − 1 2 m − 1 2m-12 m-12m−1 et est bien de la forme simple, donc de la forme
(13) c 2 m [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ 2 m + 1 ; f ] , (13) c 2 m ξ 1 , ξ 2 , … , ξ 2 m + 1 ; f , {:(13)c_(2m)[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(2m+1);f]",":}\begin{equation*} c_{2 m}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{2 m+1} ; f\right], \tag{13} \end{equation*}(13)c2m[ξ1,ξ2,…,ξ2m+1;f],
les ξ α ξ α xi_(alpha)\xi_{\alpha}ξα étant 2 m + 1 2 m + 1 2m+12 m+12m+1 points distincts de l'intervalle ( − b , b − b , b -b,b-b, b−b,b ). Dans (12) on suppose que la fonction f f fff ait une dérivée continue d'ordre 2 m − 1 2 m − 1 2m-12 m-12m−1, mais le reste est de la forme (13) même si f f fff a une dérivée continue d’ordre 2 m − 2 2 m − 2 2m-22 m-22m−2 seulement. Le reste peut donc se mettre sous la forme
2 c 2 m ( 2 m ) ! [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( 2 m − 2 ) ] 2 c 2 m ( 2 m ) ! ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( 2 m − 2 ) (2c_(2m))/((2m)!)[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((2m-2))]\frac{2 c_{2 m}}{(2 m)!}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(2 m-2)}\right]2c2m(2m)![ξ1,ξ2,ξ3;f(2m−2)]
ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}ξ1,ξ2,ξ3 étant trois points distincts de l'intervalle ( − b , b − b , b -b,b-b, b−b,b ).
Nous déduisons que si les noeuds x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x α , ( α = 1 , 2 , … , n + 1 ) x_(alpha),(alpha=1,2,dots,n+1)x_{\alpha},(\alpha=1,2, \ldots, n+1)xα,(α=1,2,…,n+1), sont symétriquement distribués par rapport à l'origine et si x n + 1 = − x 1 = b ( > 0 ) x n + 1 = − x 1 = b ( > 0 ) x_(n+1)=-x_(1)=b( > 0)x_{n+1}=-x_{1}=b(>0)xn+1=−x1=b(>0) nous avons la formule d'approximation
[ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = ∑ α = 0 m − 1 w 2 α ( n + 2 α ) ! f ( n + 2 α ) ( 0 ) + + 2 w 2 m ( n + 2 m ) ! [ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( n + 2 m − 2 ) ] x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = ∑ α = 0 m − 1   w 2 α ( n + 2 α ) ! f ( n + 2 α ) ( 0 ) + + 2 w 2 m ( n + 2 m ) ! ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; f ( n + 2 m − 2 ) {:[[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sum_(alpha=0)^(m-1)(w_(2alpha))/((n+2alpha)!)f^((n+2alpha))(0)+],[quad+(2w_(2m))/((n+2m)!)[xi_(1),xi_(2),xi_(3);f^((n+2m-2))]]:}\begin{aligned} & {\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\sum_{\alpha=0}^{m-1} \frac{w_{2 \alpha}}{(n+2 \alpha)!} f^{(n+2 \alpha)}(0)+} \\ & \quad+\frac{2 w_{2 m}}{(n+2 m)!}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} ; f^{(n+2 m-2)}\right] \end{aligned}[x1,x2,…,xn+1;f]=∑α=0m−1w2α(n+2α)!f(n+2α)(0)++2w2m(n+2m)![ξ1,ξ2,ξ3;f(n+2m−2)]

où f f fff a une dérivée continue d'ordre n + 2 m − 2 sur ( − b , b ) n + 2 m − 2 sur ( − b , b ) n+2m-2sur(-b,b)n+2 m-2 \operatorname{sur}(-b, b)n+2m−2sur(−b,b) et ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 xi_(1),xi_(2),xi_(3)\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}ξ1,ξ2,ξ3 sont trois points distincts de cet intervalle.
La formule (11) est encore du type Gauss, d'après la définition des formules de ce type [7].
Regue le 13 II 1967
Université „Babeş-Bolyai"

BIBLIOGRAPHIE

  1. Gotusso L., Una valutasione approssimata del termine complementare della formula di Taylor. Atti del Seminario Mat. e Fizico dell'Univ. di Modena, 1964, XIII, pp. 221-229. 2. Ionescu D. V., Cuadraturi Numerice. Ed. Tehn. Buc., 1957.
  2. Kowalewski G., Interpolation und genäherte Quadratur. Leipzig u. Berlin, 1932.
  3. v. Mises s R., Über allgemeine Quadraturformeln. J. f. reine u. angew. Math., 1936, 174, S. 56-67.
1967

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