We establish conditions under which, from the convergence, respectively from the divergence of the series (4), results that of the series (1). The sequences$\left(u_{n}\right)$,$\left(c_{n}\right)$are subject to certain restrictions of non-negativity or monotonicity.

1. 1.

   AL Cauchy demonstrated [2] that if the following $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$is non-negative and non-increasing, the series

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   	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}$		(1)
   	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}u_{2^{n}}$		(2)

   are always of the same nature (both convergent or both divergent). O. Schlömilch generalized [6] this property in the following way: if the sequence of integers$\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$checks the properties […]

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Or$M$is a positive number, the series (1) and
(3)

are of the same nature, whatever the sequence ($A}$) non-negative and non-increasing. JC Kluyver further clarified this result [3].

In the following, by completing these results, we propose to find sufficient and necessary conditions that the
non-negative sequence must verify.$\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$(the sequence of multipliers) such that, whatever the sequence$\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$non-negative and non-increasing, the series (1) and

are of the same nature.
We will examine a similar problem, by submitting the following$\left(u_{n}\right)$on a condition, in general, less restrictive than non-growth.
2. According to K. Knopp [4] we say that the sequence$\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$East$\alpha$-times monotonous
if we have

the series of the second member being convergent.
For$\alpha=0$We have$\Delta^{\mathrm{v}}u_{n}=u_{n}$and we obtain the nonnegative sequences and for$\alpha=1$We have$\Delta^{1}u_{n}=u_{n}-u_{n+1}$and we obtain the non-increasing sequences. Finally$\Delta^{-1}u_{n}(\alpha=-1)$is reduced to the series$\sum_{v=0}^{\infty}u_{n+v}$.

To tell the truth for$\alpha>0$K. Knopp's definition is a little more restrictive since he only considers sequences ($A}$) non-negative, a hypothesis that we will always admit in the following. If$\alpha>0$, a sequel$\left(u_{n}\right)$all of whose terms are equal to any number (positive, zero or negative) is$\alpha$-times monotonous since then$\Delta^{\alpha}u_{n}=0$,$n=0,1,\ldots$

Let us designate by

the partial sums of the series of the second member of (5).
The differences of order$\alpha(5)$, For$\alpha$any real number, were introduced by AF Andersen [1]. This same author considers the sums (6) (with a slightly different notation).
3. In the following we only consider the case$0\leqq\alpha\leqq 1$. We then have the

Lemma 1. If$0\leqq\alpha\leqq 1$, so that the continuation$\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$either$\alpha$-times monotonous, it is necessary and sufficient that

Note that (if$0\leqq\alpha\leqq 1$) We have$\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}\leqq 0,\quad\nu==1,2,\ldots$(equality is not possible if$0<\alpha<1$). We can move on to the proof of the lemma.

The condition is necessary. Indeed, if$m\geqslant 0$, the series$\sum_{m+1}^{\infty}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu}$is convergent and has non-positive terms.$\Delta^{\alpha}u_{n}\geqq 0$it therefore results

The condition is sufficient. From (7) it follows that

which shows us that the series$\sum_{v=1}^{\infty}\binom{v-\alpha-1}{v}u_{n+v}$, with non-positive terms, is convergent. The property results from this.

Lemma 1 is thus proven.
4. In the following we will make use of an important generalization of the famous Abel transformation formula. This general formula is also due to AF Andersen [1] and can be written in the symmetric form

Or$\alpha$is any number.
We write this formula in the following form

Note that$\sum_{v=0}^{n}\binom{\alpha+n-v-1}{n-v}:=\binom{\alpha+n}{n}$and let's ask

And

which have a meaning if$0\leqq\alpha\leqq 1$(even for other values ​​of$\alpha$, for example for$\alpha>-1$).

We have$C_{0,n}=C_{n},n=0,1,\ldots$
For$\alpha=0$, formulas (9), (10) return to$C_{n}=c_{n},C_{m,n}=c_{m+n}$. respectively.

We have the formula

1. 5.

   From formula (11) it follows that$\underline{\lim}C_{m,n},\varlimsup_{m,n}$are independent of$m$. In particular, therefore, we have

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for any value of the index$m$.
We deduce
Lemma 2.$1^{\circ}$. So that we have$\lim C_{n}>0$it is necessary and sufficient that there exists an index$m$such as$\inf C_{m,n}>\overline{0}$.
$2^{\circ}$. So that we have$\lim_{n}C_{n}<+\infty$it is necessary and sufficient that there exists an index$m$such as sup$C_{m,n}<+\infty$.

Let us prove the first part of the lemma. If$\lim C_{n}>0$, the sequel$\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$must contain an infinity of positive terms. If$m$is an index such that$c_{m}>0$, we have$C_{m,n}>0,n=0,1,\ldots$We then have inf$C_{m,n}>0$, because otherwise (if therefore$\inf_{n}C_{m,n}=0$) it would result$\underline{\lim^{n}}\cdot\mathscr{C}_{m,n}=0$, which contradicts the first formula (12). Conversely, from inf$C_{m,n}>0$it results$\underline{\lim}C_{m,n}>0$, SO$\underline{\lim}C_{n}>0$, according to the formula${}^{n}(12)$.

Let us move on to the (simpler) proof of the second part of Lemma 2.

This follows from the fact that a sequence is upper bounded if and only if its upper limit is$<+\infty$. Besides,$\varlimsup\mathrm{lim}C_{n}$And$\varlimsup_{n}C_{m,n}$, regardless of$m$, are at the same time finite or infinite.
6. Let us now denote by$s_{n},n=0,1,\ldots$, the partial sums of the series (1) and by$t_{n},n=0,1,\ldots$, the partial sums of the series (4).

By applying the transformation formula (8), we deduce ($t_{-1}=0$)
(13)

and, in particular (taking$c_{n}=1,n=0,1,\ldots$, And$s_{-1}=0$)

We will now prove
Theorem 1. If$0\leqq\alpha\leqq 1$and if the sequel$\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$is non-negative and$\alpha$-monotone times:
$1^{\circ}$. When the non-negative sequence$\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$checks the inequality$\underline{\lim}C_{n}>0$, from the divergence of series (1) results that of series (4).
$2^{\circ}$. When the non-negative sequence$\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$checks the inequality$\overline{1m}C_{n}<+\infty$, from the convergence of series (1) results that of series (4).

If the following$\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$has only a finite number of nonzero terms, series (1) and (4) are always both convergent and Theorem 1 follows.

Otherwise (if therefore an infinity of$u_{n}$are different from zero), suppose$\lim C_{n}>0$. By Lemma 2, there exists an index$m$such as inf$C_{m,n}>\overline{0}$. There is then a$N$such as$s_{m+n}-s_{m-1}>0$For.$n>N.\stackrel{{\scriptstyle n}}{{\text{ De (13) et (14) il résulte que }}}$

d’où résulte la première partie du théorème 1, en vertu des propriétés des séries à termes non-négatifs et de la première formule de la moyenne (relative aux moyennes arithmétiques pondérées).

La seconde partie du théorème résulte de la même manière de la formule

en supposant que sup $C_{m,n}<+\infty$, le nombre $N$ étant toujours déterminé tel que $s_{m+n}-s_{m-1}>0$ pour $n>N$.

Du théorème 1 résulte le
Corollatre 1. Si $0\leqq\alpha\leqq 1$ et si la suite $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités

où les $C_{n}$ sont donnés par les formules (9), les séries (1) et (4) sont de la même nature.

Remarques. La généralité plus ou moins grande des conditions du théorème 1 résulte, d’une part, du fait que d’après K. Knopp [4] si $0\leqq\beta\leqq\alpha\leqq 1$ toute suite $\alpha$-fois monotone (et tendant vers 0 ) est aussi $\beta$-fois monotone et, d’autre part, si pour mettre en évidence l’ordre $\alpha$, nous désignons par $C_{n}^{(\alpha)}$ les expressions (9), nous avons

On a

tous les termes de la somme du premier membre étant $\geq 0$. Remarquons aussi que, pour tout $v$ donné, on a
$\frac{\binom{\alpha-\beta+n-\nu-1}{n-\nu}\binom{\beta+\nu}{\nu}}{\binom{\alpha+n}{n}}=\frac{\binom{\beta+\nu}{\nu}\binom{n}{\nu}^{n-\nu-1}}{\binom{\alpha+n}{\nu}}\prod_{\gamma=0}^{n}\left(1-\frac{\beta+1}{\alpha+\gamma+1}\right)\rightarrow 0$
pour $n\rightarrow 0$. Il résulte alors de la théorie de la sommabilité par séries divergentes que

Pour le cas $\alpha=1$ nous allons donner un résultat plus complet.
7. Pour être complet nous allons examiner d’abord le cas $\alpha=0$, qui est d’ailleurs bien connu dans la théorie des séries. Nous avons le

Théorème 2. Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative :
$1^{\circ}$. Pour que de la divergence de la série (1) résulte celle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $\lim c_{n}>0$.
$2^{\circ}$. Pour que de la convergence $\overline{de}$ la série (1) résulte celle de la série
(4), il faut et il suffit que l’on ait $\overline{\lim}c_{n}<+\infty$.

On suppose, bien entendu, que la suite $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative.
La suffisance des conditions résulte du théorème 1. Il reste à démontrer que ces conditions sont aussi nécessaires.

Nous montrerons d’abord que si $\underline{\lim}c_{n}=0$, on peut trouver une série
(1) divergente telle que la série (4) soit convergente. En effet, dans ce cas, on peut trouver une suite partielle (infinie)
(15)

de $\left(c_{n}\right)$ telle que l’on ait

Il suffit alors de considérer la série (1), où

• —

  Montrons maintenant que si $\varlimsup c_{n}=+\infty$, on peut trouver une série (1) convergente telle que la série correspondante (4) soit divergente. Dans ce cas on peut trouver la suite partielle (15) de manière que

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et il suffit de prendre

Nous déduisons aussi le
Corollatre 2. Pour que les séries (1) et (4) soient de la même nature quelle que soit la suite non-négative $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$, il faut et il suffit que la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités $0<\underline{\lim}c_{n}\leqq\lim c_{n}<+\infty$.
8. Reprenons maintenant le cas $\alpha=1$. Nous avons alors le

Théorème 3. Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative et non-croissante :
$1^{\circ}$. Pour que de la divergence de la série (1) résulte calle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $l>0$.
$2^{\circ}$. Pour que de la convergence de la série (1) résulte celle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $L<+\infty$.

Conservant les notations précédentes, dans l’énoncé de ce théorème nous avons posé aussi

La suffisance des conditions résulte du théorème 1 . Nous avons donné cette propriété il y a déjà longtemps [5]. Il reste à démontrer que les conditions sont aussi nécessaires.

Supposons d’abord $l=0$. Nous allons construire une série (1) divergente telle que la série (4) soit convergente.

En vertu de la première formule (12), de toute suite $\left(C_{m,n}\right)_{n=0}^{\infty}$ on peut extraire une suite partielle tendant vers zéro. On peut, en particulier, trouver un $n_{1}$ tel que $C_{n_{1}}<1$. On peut ensuite trouver un $n_{2}$, aussi grand que l’on veut, en particulier un $n_{2}>n_{1}$ tel que $C_{n_{1}+1,n_{2}-n_{1}-1}<\frac{1}{2}$. On peut trouver ensuite un $n_{3}$ aussi grand que l’on veut, en particulier tel que $n_{3}-2n_{2}+n_{1}>0$ et tel que $C_{n_{2}+1,n_{3}-n_{2}-1}<\frac{1}{3}$. En général, pour tout $k=2,3,\ldots$ et les $n_{1},n_{2},\ldots,n_{k-1}$ étant déterminés, on peut trouver un $n_{k}$, aussi grand que l’on veut, en particulier un $n_{k}$ vérifiant l’inégalitó

et tel que

Définissons alors la série (1) telle que

Cette série est divergente puisque

mais la série (4) est convergente puisque dans ce cas de la formule (13) il résulte

d’où, en tenant compte de (18),

Pour que la démonstration soit complète il faut démontrer que dans cet exemple la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est bien non-croissante. Or ceci résulte de (17). En effet, on a d’abord $n_{k}-n_{k-1}>0$ et l’inégalité $u_{n_{k-1}}>u_{n_{k}}$ revient à
ou

ce qui est vrai.
Supposons maintenant que $L=+\infty$. Nous allons construire une série (1) convergente telle que la série correspondante (4) soit divergente.

Dans ce cas nous pouvons choisir les nombres $n_{1},n_{2},\ldots,n_{k},\ldots$ de manière que l’on ait encore (17) et

Définissons alors la série (1) telle que
$u_{n_{k-1}+1}=u_{n_{k-1}+2}=\ldots=u_{n_{k}}=\frac{1}{k^{2}\left(n_{k}-n_{k-1}\right)},\quad k=1,2,\ldots\left(n_{0}=-1\right)$.
Dans ce cas la série (1) est convergente puisque

mais la série (4) est divergente puisque

La suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est encore non-croissante puisque l’inégalité $u_{n_{k-2}}>u_{n_{k}}$ revient à

ou

Du théorème 3 nous déduisons le
Corollarre 3. Pour que les séries (1) et (4) soient de la même nature, quelle que soit la suite non-négative et non-décroissante $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$, il faut et il suffit que la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités $0<l\leqq L<+\infty$, où les nombres $l,L$ sont donnés par (16).

Dans le cas (3) de Schlömilch nous pouvons d’abord remarquer que $g_{n}\geqq g_{n-1}+1$, donc $g_{n}\geqq g_{0}+n$, pour $n=1,2,\ldots$ Le nombre $M$ est nécessairement $\geqq 1$. Fn. effet, rous avons $1\leqq g_{n+1}-g_{n}\leqq\leq M^{n}\left(y_{1}-g_{0}\right)$ qui, pour $0<M<1$ ne peut être vérifié pour $n$ assez grand. Si $g_{k}\leqq n<g_{k+1},\quad(k>0)$ nous avons