Note présentée par Mr S. Stoilov, M. c. A. R., dans la séance du I4 juillet 1939.
SUR LA DÉFINITON LOCALE DES FONCTIONS D'ORDRE $n$$n$nn$n$
I. Soit E 1 to 1; quelconque $=min\mathrm{E},a\leqq b=$$=min\mathrm{E},a\leqq b=$=minE,a <= b==\min \mathrm{E}, a \leqq b=$=min\mathrm{E},a\leqq b=$ max E les c: $$$$quad\quad$$ e) de E. Si, t fermé il est nécessairem in in soli turoot ${ϵ}_i\Rightarrow$${ϵ}_i\Rightarrow$epsilon_(i)=>\epsilon_{i} \Rightarrow${ϵ}_i\Rightarrow$ presque-ferm are $\dot{E}$$\dot{E}$E^(˙)\dot{E}$\dot{E}$ de $\mathbf{E}$$\mathbf{E}$E\mathbf{E}$\mathbf{E}$ est l'ensemble ... ... son dérivé ${\mathrm{E}}^{\prime }$${\mathrm{E}}^{\prime }$E^(')\mathrm{E}^{\prime}${\mathrm{E}}^{\prime }$ sauf les extrémités $a$$a$aa$a$, $b$$b$bb$b$ qui n'uppartiennent p.s ì E. Si E = E, nous dirons que l'ensemble E, est presque-fermé. Nons direns qu'un sous-ensemble ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ de E est une secticn de ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ si ou bien il est formé par un seul poitrt ou bien avec $x_1\in {\mathrm{E}}_1$$x_1\in {\mathrm{E}}_1$x_(1)inE_(1)x_{1} \in \mathrm{E}_{1}$x_1\in {\mathrm{E}}_1$, $x_2\in E_1$$x_2\in E_1$x_(2)inE_(1)x_{2} \in E_{1}$x_2\in E_1$ tous les points de $\mathbb{E}$$\mathbb{E}$E\mathbb{E}$\mathbb{E}$ appartenant à l'intervalle ( $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ) appartiennent à ${\mathrm{E}}_1{}^1$${\mathrm{E}}_1{}^1$E_(1)^(1)\mathrm{E}_{1}{ }^{1}${\mathrm{E}}_1{}^1$ ). Si deux sections de E ont au moins un point commun leur réunion et leur intersection sont encore des sections de E . Si deux sections de En'ont pas de points communs tout point de l'une est à gauche de tous les points de l'autre. Dans ce cas elles sont ou bien séparées par E , donc leur réunion n'est pas une section, ou bien sont deux sections consécutives, donc leur réunion est encore une section de E .

Le voisinage ${\mathrm{V}}_x^k$${\mathrm{V}}_x^k$V_(x)^(k)\mathrm{V}_{x}^{k}${\mathrm{V}}_x^k$ d'un point $x$$x$xx$x$ est une section de E ayant au moins $k$$k$kk$k$ points à gauche et au moins $k$$k$kk$k$ points à droite de $x$$x$xx$x$. S'il y a setulement $r<k(r>0)$$r<k(r>0)$r < k(r > 0)r<k(r>0)$r<k(r>0)$ points de E à gauche (a droite) de $x,{\mathrm{V}}_x^k$$x,{\mathrm{V}}_x^k$x,V_(x)^(k)x, \mathrm{~V}_{x}^{k}$x,{\mathrm{V}}_x^k$ doit contenir tous ces points et au moins $2k-r$$2k-r$2k-r2 k-r$2k-r$ points à droite (à gauche) de $x$$x$xx$x$. De plus les voisinages $V_a^k$$V_a^k$V_(a)^(k)V_{a}^{k}$V_a^k$ doivent contenir avec $x_1\in V_a^k$$x_1\in V_a^k$x_(1)inV_(a)^(k)x_{1} \in V_{a}^{k}$x_1\in V_a^k$ tous les points de $F_1$$F_1$F_(1)F_{1}$F_1$ appartenants à l'intervalle fermé ( $a{x}_1$$a{x}_1$ax_(1)a x_{1}$a{x}_1$ ). Il en est de même pour les avoisinages ${\mathrm{V}}_b^k$${\mathrm{V}}_b^k$V_(b)^(k)\mathrm{V}_{b}^{k}${\mathrm{V}}_b^k$. Dans cette définition $k$$k$kk$k$ est un nombre naturel, donc si $x\in E$$x\in E$x in Ex \in E$x\in E$ on a $x\in {\mathrm{V}}_x^k$$x\in {\mathrm{V}}_x^k$x inV_(x)^(k)x \in \mathrm{~V}_{x}^{k}$x\in {\mathrm{V}}_x^k$. Dans la suite nous ne considérons d'ailleurs que des voisinages ${\mathrm{V}}_x^k$${\mathrm{V}}_x^k$V_(x)^(k)\mathrm{V}_{x}^{k}${\mathrm{V}}_x^k$ où $x\in \dot{E}$$x\in \dot{E}$x inE^(˙)x \in \dot{E}$x\in \dot{E}$. I,orsqu'on considère plusieurs voisinages ${\mathrm{V}}_x^k$${\mathrm{V}}_x^k$V_(x)^(k)\mathrm{V}_{x}^{k}${\mathrm{V}}_x^k$ ils sont pris tous pour la même valeur de $k$$k$kk$k$. Il est alors inutile de considérer des ensembles $E$$E$EE$E$ ayant moins de $2k+2$$2k+2$2k+22 k+2$2k+2$ points.

2. Deux voisinages $V_x^k$$V_x^k$V_(x)^(k)V_{x}^{k}$V_x^k$ correspondants à un même point $x$$x$xx$x$ ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs ${}^{\mathbf{1}}$${}^{\mathbf{1}}$^(1){ }^{\mathbf{1}}${}^{\mathbf{1}}$ ). Considérons maintenant un voisinage $V_{x_0}^k$$V_{x_0}^k$V_(x_(0))^(k)V_{x_{0}}^{k}$V_{x_0}^k$ et soit $x_1\in {\mathrm{V}}_{x_0}^k$$x_1\in {\mathrm{V}}_{x_0}^k$x_(1)inV_(x_(0))^(k)x_{1} \in \mathrm{~V}_{x_{0}}^{k}$x_1\in {\mathrm{V}}_{x_0}^k$ un point à droite de $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$. Supposons de plus que ${\mathrm{V}}_{x_0}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k$V_(x_(0))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k$ a encore au moins $s\ge 0$$s\ge 0$s >= 0s \geq 0$s\ge 0$ points à droite de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Considérons un voisinage ${\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_1}^k$ de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ et voyons combien de points peut-il avoir en commun avec ${\mathrm{V}}_{x_0}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k$V_(x_(0))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k$. On voit immédiatement que $V_{x_0}^k\cdot V_{x_1}^k$$V_{x_0}^k\cdot V_{x_1}^k$V_(x_(0))^(k)*V_(x_(1))^(k)V_{x_{0}}^{k} \cdot V_{x_{1}}^{k}$V_{x_0}^k\cdot V_{x_1}^k$ ont au moins min $(s,k)$$(s,k)$(s,k)(s, k)$(s,k)$ points en commun à droite de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. S'il y a au moins $k$$k$kk$k$ points de E à gauche de $x_1,{\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$$x_1,{\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$x_(1),V_(x_(0))^(k),V_(x_(1))^(k)x_{1}, \mathrm{~V}_{x_{0}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}$x_1,{\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ont au moins $k$$k$kk$k$ points communs à gauche de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Il reste à voir ce qui se passe s'il y a seulement $r<k$$r<k$r < kr<k$r<k$ points de E à gauche de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Dans ce cas $s>2k⟶r$$s>2k⟶r$s > 2k longrightarrow rs>2 k \longrightarrow r$s>2k⟶r$ et ${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(0))^(k),V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ont au moins $2k-r$$2k-r$2k-r2 k-r$2k-r$ points communs à droite de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ et ont en commun tous les points de E à gauche de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Dans tous les cas on peut affirmer que ${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(0))^(k),V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ont au moins min $(s,k)+k+\mathrm{I}$$(s,k)+k+\mathrm{I}$(s,k)+k+I(s, k)+k+\mathrm{I}$(s,k)+k+\mathrm{I}$ points communs. Une propriété analogue subsiste si $x_1<x_0$$x_1<x_0$x_(1) < x_(0)x_{1}<x_{0}$x_1<x_0$, donc

Lemme I. Si ${\mathrm{V}}_{x_0}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k$V_(x_(0))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k$ est un voisinage d'un point $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ de $\dot{\mathrm{E}}$$\dot{\mathrm{E}}$E^(˙)\dot{\mathrm{E}}$\dot{\mathrm{E}}$ et ${\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_1}^k$ un voisinage d'un point $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ de ${\mathrm{V}}_{x_0}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k$V_(x_(0))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k$, les ensembles ${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(0))^(k),V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ont au moins $min(s,k)+k+\mathrm{I}$$min(s,k)+k+\mathrm{I}$min(s,k)+k+I\min (s, k)+k+\mathrm{I}$min(s,k)+k+\mathrm{I}$ points communs, en supposant que ${\mathrm{V}}_{z_0}^k$${\mathrm{V}}_{z_0}^k$V_(z_(0))^(k)\mathrm{V}_{z_{0}}^{k}${\mathrm{V}}_{z_0}^k$ a au moins $s(\ge 0)$$s(\ge 0)$s( >= 0)s(\geq 0)$s(\ge 0)$ points à droite de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ si $x_0<x_1$$x_0<x_1$x_(0) < x_(1)x_{0}<x_{1}$x_0<x_1$ ou à gauche de $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ si $x_1<x_0$$x_1<x_0$x_(1) < x_(0)x_{1}<x_{0}$x_1<x_0$.

Corollaire I. Si E $n$$n$nn$n$ 'a aucun point compris entre $x_0,x_1$$x_0,x_1$x_(0),x_(1)x_{0}, x_{1}$x_0,x_1$, deux voisinages ${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(x_(0))^(k),quadV_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}, \quad \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_0}^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs.
3. Considérons maintenant deux voisinages ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p\le q$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p\le q$V_(p)^(k),V_(q)^(k),p <= q\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}, p \leq q${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p\le q$, qui ne sont pas séparées par E . Nous distinguons les quatre cas suivants:
${\mathrm{I}}^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{I}}^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$I^(0)V_(p)^(k),V_(q)^(k)\mathrm{I}^{0} \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}${\mathrm{I}}^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs,
$2^0{V}_p^h,V_q^h$$2^0{V}_p^h,V_q^h$2^(0)V_(p)^(h),V_(q)^(h)2^{0} V_{p}^{h}, V_{q}^{h}$2^0{V}_p^h,V_q^h$ ont $r,k\le r<2k$$r,k\le r<2k$r,k <= r < 2kr, k \leq r<2 k$r,k\le r<2k$, points communs,
$3^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$$3^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$3^(0)V_(p)^(k),V_(q)^(k)3^{0} \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}$3^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ ont $r,\mathrm{I}\leqq r<k$$r,\mathrm{I}\leqq r<k$r,I <= r < kr, \mathrm{I} \leqq r<k$r,\mathrm{I}\leqq r<k$, points communs,
$4^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$$4^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$4^(0)V_(p)^(k),V_(q)^(k)4^{0} \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}$4^0{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ n'ont pas de points communs.
Lorsque $p=q$$p=q$p=qp=q$p=q$ nous sommes dans le cas $1^0$$1^0$1^(0)1^{0}$1^0$. Pour les cas $2^0,3^0,4^0$$2^0,3^0,4^0$2^(0),3^(0),4^(0)2^{0}, 3^{0}, 4^{0}$2^0,3^0,4^0$ il faut done que $p<q$$p<q$p < qp<q$p<q$. Dans le cas $2^0$$2^0$2^(0)2^{0}$2^0$ soient $x_1<x_2<\dots <x_1$$x_1<x_2<\dots <x_1$x_(1) < x_(2) < dots < x_(1)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{1}$x_1<x_2<\dots <x_1$ les points communs de ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$V_(p)^(k),V_(q)^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$. Considérons les voisinages quelconques ${\mathrm{V}}_{x_1}^k,{\mathrm{V}}_{x_2}^k\dots$${\mathrm{V}}_{x_1}^k,{\mathrm{V}}_{x_2}^k\dots$V_(x_(1))^(k),V_(x_(2))^(k)dots\mathrm{V}_{x_{1}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{2}}^{k} \ldots${\mathrm{V}}_{x_1}^k,{\mathrm{V}}_{x_2}^k\dots$, ${\mathrm{V}}_{x_j}^k$${\mathrm{V}}_{x_j}^k$V_(x_(j))^(k)\mathrm{V}_{x_{j}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_j}^k$. Dans la suite

deux termes consecutifs ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs, en vertu du corollaire I. Si $p$$p$pp$p$ coincide avec un point $x_i,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_i}^k$$x_i,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_i}^k$x_(i),V_(p)^(k),V_(x_(i))^(k)x_{i}, \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{i}}^{k}$x_i,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_i}^k$ ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs. Dans le cas contraire on a $p<x_1$$p<x_1$p < x_(1)p<x_{1}$p<x_1$ ou $x_p<p$$x_p<p$x_(p) < px_{p}<p$x_p<p$ et les ensembles ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(p)^(k),V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ou ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$V_(p)^(k),V_(x_(p))^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{p}}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$ onit au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs. Il en est de même pour ${\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{V}}_q^k$V_(q)^(k)\mathrm{V}_{q}^{k}${\mathrm{V}}_q^k$. Si $p<q\le x_1$$p<q\le x_1$p < q <= x_(1)p<q \leq x_{1}$p<q\le x_1$ ou $x_{\gamma }\le p<q{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$$x_{\gamma }\le p<q{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$x_(gamma) <= p < qV_(p)^(k),V_(q)^(k)x_{\gamma} \leq p<q \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}$x_{\gamma }\le p<q{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs et nous sommes en réalité dans le cas $1^0$$1^0$1^(0)1^{0}$1^0$. Examinons le cas $3^0$$3^0$3^(0)3^{0}$3^0$.

Soient encore $x_1<x_2<\dots <x_r$$x_1<x_2<\dots <x_r$x_(1) < x_(2) < dots < x_(r)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{r}$x_1<x_2<\dots <x_r$ les points communs de ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$V_(p)^(k),V_(q)^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ et soient (I) des voisinages quelconques. Les mêmes considérations s'appliquent qu'auparavant sauf que nous pouvons affirmer seulement que ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$V_(p)^(k),V_(x_(1))^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{1}}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_1}^k$ ou ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$V_(p)^(k),V_(x_(p))^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{p}}^{k}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{x_p}^k$ ont au moins $k+r$$k+r$k+rk+r$k+r$ points communs, ces couples de voisinages sont donc dans le cas $1^0$$1^0$1^(0)1^{0}$1^0$ ou $2^0$$2^0$2^(0)2^{0}$2^0$. Il en est de même pour ${\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{V}}_q^k$V_(q)^(k)\mathrm{V}_{q}^{k}${\mathrm{V}}_q^k$. Si $p<q\le x_1$$p<q\le x_1$p < q <= x_(1)p<q \leq x_{1}$p<q\le x_1$ ou $x\le p<q,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$$x\le p<q,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$x <= p < q,V_(p)^(k),V_(q)^(k)x \leq p<q, \mathrm{~V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}$x\le p<q,{\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k$ ont au moins $k+r$$k+r$k+rk+r$k+r$ points communs et nous sommes en réalité dans le cas $1^0$$1^0$1^(0)1^{0}$1^0$ ou $2^0$$2^0$2^(0)2^{0}$2^0$. Il nous reste le cas $4^0$$4^0$4^(0)4^{0}$4^0$. Dans ce cas soit $d$$d$dd$d$ l'extrémité droite de ${\mathrm{V}}_p^k$${\mathrm{V}}_p^k$V_(p)^(k)\mathrm{V}_{p}^{k}${\mathrm{V}}_p^k$ et ${\mathrm{V}}_d^k$${\mathrm{V}}_d^k$V_(d)^(k)\mathrm{V}_{d}^{k}${\mathrm{V}}_d^k$ un voisinage quelconque de $d$$d$dd$d$. On voit immédiatement que les deux voisinages ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{kd}$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{kd}$V_(p)^(k),V_(kd)\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{k d}${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_{kd}$ et les deux voisinages ${\mathrm{V}}_d^k,{\mathrm{V}}_q^k$${\mathrm{V}}_d^k,{\mathrm{V}}_q^k$V_(d)^(k),V_(q)^(k)\mathrm{V}_{d}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}${\mathrm{V}}_d^k,{\mathrm{V}}_q^k$ sont dans le cas $1^0,2^0$$1^0,2^0$1^(0),2^(0)1^{0}, 2^{0}$1^0,2^0$ ou $3^0$$3^0$3^(0)3^{0}$3^0$ :

L'analyse précédente nous montre qu'on peut énoncer le
Lemme II. Si ${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p<q$${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p<q$V_(p)^(k),V_(q)^(k),p < q\mathrm{V}_{p}^{k}, \mathrm{~V}_{q}^{k}, p<q${\mathrm{V}}_p^k,{\mathrm{V}}_q^k,p<q$ sont deux voisinages qui ne sont pas séparées par E , ou bien ils ont au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs, ou bien on peut trouver un nombre fini de points $x_1,x_2\dots ,x_m$$x_1,x_2\dots ,x_m$x_(1),x_(2)dots,x_(m)x_{1}, x_{2} \ldots, x_{m}$x_1,x_2\dots ,x_m$ de E tels que, si ${\mathrm{V}}_{x_i}^k$${\mathrm{V}}_{x_i}^k$V_(x_(i))^(k)\mathrm{V}_{x_{i}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_i}^k$ sont des voisinages quelconques, dans la suite

deux termes consécutifs aient au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs.
4. Attachons à chaque $x\in \dot{E}$$x\in \dot{E}$x inE^(˙)x \in \dot{E}$x\in \dot{E}$ un voisinage $V_x^k$$V_x^k$V_(x)^(k)V_{x}^{k}$V_x^k$ et soit $\mathcal{Q}$$\mathcal{Q}$Q\mathscr{Q}$\mathcal{Q}$ l'ensemble de ces voisinages. Si $a,b\in E$$a,b\in E$a,b in Ea, b \in E$a,b\in E$ la presque-fermeture $\dot{E}$$\dot{E}$E^(˙)\dot{E}$\dot{E}$ cöncide avec la fermeture $\bar{\mathrm{E}}$$\overline{\mathrm{E}}$bar(E)\overline{\mathrm{E}}$\bar{\mathrm{E}}$ de E , donc est un ensemble fermé. On peut dans ce cas appliquer le théorème de Bore1-Lebesgue et choisir dans Q un nombre fini de termes recouvrant entièrement l'ensemble E, donc à fortiori l'ensemble E. Ces termes peuvent évidemment être rangés dans une suite de manière que deux consécutifs ne soient pas séparés par E . Compte tenant du lemme II nous en déduisons le

Lemme III. Si $a,b\in E$$a,b\in E$a,b in Ea, b \in E$a,b\in E$ et si $V$$V$VV$V$ est un ensemble de voisinages $V_{\ast }^k$$V_{\ast }^k$V_(**)^(k)V_{*}^{k}$V_{\ast }^k$ correspondants à tous les points $x$$x$xx$x$ de $\dot{\mathrm{E}}=\bar{\mathrm{E}}$$\dot{\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}}$E^(˙)= bar(E)\dot{\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}}$\dot{\mathrm{E}}=\bar{\mathrm{E}}$, on peut choisir un nombre fini de termes dans Q),

recouvrant entièrement l'ensemble E et deux consécutifs ${\mathrm{V}}_{x_i}^k,{\mathrm{V}}_{x_{i+1}}^k$${\mathrm{V}}_{x_i}^k,{\mathrm{V}}_{x_{i+1}}^k$V_(x_(i))^(k),V_(x_(i+1))^(k)\mathrm{V}_{x_{i}}^{k}, \mathrm{~V}_{x_{i+1}}^{k}${\mathrm{V}}_{x_i}^k,{\mathrm{V}}_{x_{i+1}}^k$ ayant au moins $2k$$2k$2k2 k$2k$ points communs.
5. Une fonction $f=f(x)$$f=f(x)$f=f(x)f=f(x)$f=f(x)$, uniforme et définie sur un ensemble linéaire quelconque E est dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe ou concave d'ordre $n$$n$nn$n$ sur E si l'inégalité
(2)

est satisfaite quels que soient $x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}\in \mathrm{E}$$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}\in \mathrm{E}$x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)inEx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} \in \mathrm{E}$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}\in \mathrm{E}$.
Toutes ces fonctions sont des fonctions d'ordre $n\left({}^{\mathbf{1}}\right)$$n\left({}^{\mathbf{1}}\right)$n(^(1))n\left({ }^{\mathbf{1}}\right)$n\left({}^{\mathbf{1}}\right)$.

Toute fonction convexe, non-concave,... etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur E est encore convexe, non-concave,... etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur tout sous-ensemble de E.

Nous rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour que $f$$f$ff$f$, définie sur un ensemble fini

soit convexe, non-concave,... etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ est que l'on ait

Cette propriété résulte du fait que toute différence divisée sur $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points de (3) est une moyenne arithmétique des différences divisées spécifiées par l'inégalité (4), donc

Si ${\mathrm{i}}_1<i_2<\dots <i_{n+2}$${\mathrm{i}}_1<i_2<\dots <i_{n+2}$i_(1) < i_(2) < dots < i_(n+2)\mathrm{i}_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n+2}${\mathrm{i}}_1<i_2<\dots <i_{n+2}$ on a d'ailleurs surement ${\mathrm{A}}_{i_1}>0,{\mathrm{A}}_{i_{n+2}-n-1}>0$${\mathrm{A}}_{i_1}>0,{\mathrm{A}}_{i_{n+2}-n-1}>0$A_(i_(1)) > 0,A_(i_(n+2)-n-1) > 0\mathrm{A}_{i_{1}}>0, \mathrm{~A}_{i_{n+2}-n-1}>0${\mathrm{A}}_{i_1}>0,{\mathrm{A}}_{i_{n+2}-n-1}>0$. Les $A_i$$A_i$A_(i)A_{i}$A_i$ sont indépendants de la fonction $/̸$$/̸$/̸\not /$/̸$.

De cette propriété nous déduisons, en particulier, que:
Lemme IV. Si une fonction $f$$f$ff$f$ est convexe, non-concave, . . . etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur deux sections ${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$E_(1),E_(2)\mathrm{E}_{1}, \mathrm{E}_{2}${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$ de ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ ayant au moins $n+\mathrm{I}$$n+\mathrm{I}$n+In+\mathrm{I}$n+\mathrm{I}$ points communs elle est convexe, non-concave,... etc. d'ordre n sur la réunion des ensembles ${\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2$${\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2$F_(1),F_(2)\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}${\mathrm{F}}_1,{\mathrm{F}}_2$.

Ceci résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que si ${\alpha }_1,{\alpha }_2$${\alpha }_1,{\alpha }_2$alpha_(1),alpha_(2)\alpha_{1}, \alpha_{2}${\alpha }_1,{\alpha }_2$, $\dots ,{\alpha }_{n+2}$$\dots ,{\alpha }_{n+2}$dots,alpha_(n+2)\ldots, \alpha_{n+2}$\dots ,{\alpha }_{n+2}$ sont $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points de la réunion de ${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$E_(1),E_(2)\mathrm{E}_{1}, \mathrm{E}_{2}${\mathrm{E}}_1,{\mathrm{E}}_2$ et ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n+1}$${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n+1}$beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n+1)\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n+1}${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n+1}$, $n+$$n+$n+n+$n+$ I points communs à ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ et ${\mathrm{E}}_2$${\mathrm{E}}_2$E_(2)\mathrm{E}_{2}${\mathrm{E}}_2$, les points ${\alpha }_i$${\alpha }_i$alpha_(i)\alpha_{i}${\alpha }_i$, ${\beta }_i$${\beta }_i$beta_(i)\beta_{i}${\beta }_i$ rangés dans 1'ordre croissant jouissent de la propriété que $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points consécutifs quelconques appartiennent tous à ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ ou à ${\mathrm{F}}_2$${\mathrm{F}}_2$F_(2)\mathrm{F}_{2}${\mathrm{F}}_2$.
6. Introduisons maintenant la définition suivante:

Définition I. La fonction $f$$f$ff$f$ est dite localement convexe, non-concave, ... etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur E si à tout $x\in \dot{\mathrm{E}}$$x\in \dot{\mathrm{E}}$x inE^(˙)x \in \dot{\mathrm{E}}$x\in \dot{\mathrm{E}}$ correspond un voisinage ${\mathrm{V}}_x^k$${\mathrm{V}}_x^k$V_(x)^(k)\mathrm{V}_{x}^{k}${\mathrm{V}}_x^k$ ờ la fonction est convexe, non-concave, ... etc. d'ordre $n$$n$nn$n$.

Nous supposons toujours $n\ge$$n\ge$n >=n \geq$n\ge$ I. Pour que la définition précédente ait un sens précis il faut que. $E$$E$EE$E$ ait au moins $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points et que l'on ait $2k\ge n+I$$2k\ge n+I$2k >= n+I2 k \geq n+I$2k\ge n+I$. La plus petite valeur de $k$$k$kk$k$ qu'on peut ainsi admettre est donc $\left[\frac{n+2}{2}\right]$$\left[\frac{n+2}{2}\right]$[(n+2)/(2)]\left[\frac{n+2}{2}\right]$\left[\frac{n+2}{2}\right]$, en désignant, comme d'habitude, par $[\alpha ]$$[\alpha ]$[alpha][\alpha]$[\alpha ]$ le plus grand entier compris dans $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$.

Nous avons maintenant la propriété suivante:
Théorème I. Toute fonction localement convexe, non-concave..., etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur E , avec $k=\left[\frac{3+2}{2}\right]$$k=\left[\frac{3+2}{2}\right]$k=[(3+2)/(2)]k=\left[\frac{3+2}{2}\right]$k=\left[\frac{3+2}{2}\right]$, est convexe, non-concave, . . etc. d'ordre $n$$n$nn$n$ sur E .