Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (VI)

1.

Nous allons considérer des fonctions $f=f(x)$ , uniformes et définies sur == ensemble linéaire borné et fermé E . Cet ensemble peut être fini ou infini, mais lursqu’il s’agit d’une fonction d’ordre $n$ il a au moins $n+2$ points. Nous désignerons par $\mathrm{a}=\min\mathrm{E},\mathrm{a}<\mathrm{b}=\max\mathrm{E}$ les extrémités de E . Nous dirons qu’une fonction est continue resp. semi-continue sur E s’il en est ainsi sur le dérivé E ’ de E . Nous Airons qu’un sous-ensemble de E est une section de E s’il est formé par tous les points de E appartenant à un intervalle fermé ( $\mathrm{c},\mathrm{d}$ ), $\mathrm{c}\leqslant\mathrm{d}$ . Nous désignerons un tel sous-ensemble par (cEd). Nous dirons que les sections (cFd), ( $\mathrm{c}_{1}\mathrm{Ea}_{1}$ ) sont séparées par E si $\mathrm{d}<\mathrm{c}_{1}$ et si l’intervalle ouvert $\left(\mathrm{d},\mathrm{c}_{1}\right)$ contient au moins un point de E . Plusieurs sections de E sont séparées par E si elles sont deux à deux séparées par F. On dira aussi que ce sont des sections séparées de E. Pour toutes les autres notations et les propriétés des fonctions d’ordre n le lecteur est prié de se rapporter à nos travaux antérieurs.

Une fonction non-concave d’ordre impair sur E est semi-continue supérieurement et atteint donc toujours son maximum. Mais une telle fonction peut ne pas atteindre son minimum. Une fonction d’ordre pair $>0$ peut n’atteindre ni son maximum ni son minimum. Telle est, par exemple, la fonction

\mathrm{f}(0)=\mathrm{f}(1)=0,\quad\mathrm{f}(\mathrm{x})=1-2\mathrm{x},\quad 0<\mathrm{x}<1

Si le maximum ou le minimum d’une fonction d’ordre $n$ est atteint en $n+2$ points il est atteint en tous les points de la plus petite section qui contient ces points.
2. Pour simplifier posons $k=\frac{n}{2}$ ou $\frac{n+1}{2}$ suivant que $n$ est pair ou impair. Nous avons alors la propriété suivante

Si la fonction continue f est non-concave d’ordre in sur E , l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ où $\mathrm{M}=\max\mathrm{f}$ est atteint est formé par au plus $\mathrm{k}+1$ sections séparées de E .

Pour simplifier nous écrivons max, min au lieu de max, min.
( $\varepsilon$ ) ( $\equiv$ )
La démonstration est simple. En effet, si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ avait une autre structure on pourrait trouver $2\mathrm{k}+2$ points $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{1}^{\prime}<\ldots<\mathrm{x}_{\mathrm{k}+1}<\mathrm{x}_{\mathrm{k}+1}^{\prime}$ de E de manière que

		$\displaystyle\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)=\ldots=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}+\mathrm{i}}\right)=\mathrm{M}$
		$\displaystyle\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)<\mathrm{M},\quad\mathrm{i}=2,\ldots,\mathrm{k}+1$

et on aurait alors

\begin{array}[]{ll}{\left[x_{1},x_{1}^{\prime},x_{2},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{k+1},x_{k+1}^{\prime};f\right]<0}&\text{ si }n\text{ est pair, }\\ {\left[x_{1}^{\prime},x_{2},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{k+1},x_{k+1}^{\prime};f\right]<0}&\text{ si }n\text{ est impair, }\end{array}

ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de la non-concavité d’ordre $n$ de f.
On peut préciser la structure de l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ .
Si n est impair et si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ contient au moins n points il contient l’une au moins des extrémités a, b. Si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ contient au moins $\mathrm{n}+1$ points ils contient les deux extrémités a, b. Donc pour une fonction non-concave d’ordre impair $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ ne peut contenir plus de $n+1$ points sans que la fonction ne se réduise pas à une constante sur E .

Si $n$ est pair et $E(M)$ contient plus de $n$ points il contient l’extrémité b.
En général, si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ n’est pas formé par une seule section de E il contient au plus $\mathrm{n}+1$ points.

Si $n$ est impair et si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ est formé par k sections séparées de E il contient a ou b et s’il est formé par $\mathrm{k}+1$ sections séparées de E il contient a et b.

Si n est pair et si $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ est formś par $\mathrm{k}+1$ sections séparées de E il contient l’extrémité b.

Retenons, en particulier, la propriété suivante :
Si la fonction continue f est non-concave d’ordre n sur E, l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ vérifie la propriété suivante :
A. $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ ne peut étre formé par au moins $\mathrm{n}-\mathrm{k}+1$ sections séparées de E , sans contenir l’une des extrémités $\mathrm{a},\mathrm{b}$ pour n impair et l’extrémité b pour n pair.

Si E se réduit à un intervalle $(a,b)$ et si n est impair, $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ contient au plus $k+1$ points à moins que $f$ ne soit pas une constante dans $(a,b)$ . Si $n$ est pair $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ contient ou bien au plus $\mathrm{k}+\mathrm{l}$ points ou bien est formé par un intervalle $(\mathrm{c},\mathrm{b}),\mathrm{a}\leq\mathrm{c}$ .

Il est inutile de préciser ici davantage la structure de $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ .
3. On peut trouver des résultats analogues pour le minimum.

Si la fonction continue f est non-concave d’ordre n sur E, l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ où $\mathrm{m}=\min\mathrm{f}$ est atteint est formé par au plus $\mathrm{n}-\mathrm{k}+1$ sections séparées de E .

La structure de $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ peut être précisée facilement. Par exemple, dès que $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ ne se réduit pas à une section il contient au plus $\mathrm{n}+1$ points. Pour les fonctions d’ordre pair la structure de $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ se déduit d’ailleurs de la structure de $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ , en remarquant que la fonction $-\mathrm{f}(-\mathrm{x})$ est aussi non-concave d’ordre n .

En particulier donc
B. Si n est pair, l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ ne peut étre formé par au moins $\mathrm{k}+1$ sections séparées de E sans contenir l’extrémité a.

Pour les fonctions non-concaves d’ordre impair retenons la propriété suivante
C. Si n est impair, l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ est formé par au plus k sections séparées de E .

Si E se réduit à un intervalle $(\mathrm{a},\mathrm{b}),\mathrm{F}(\mathrm{m})$ contient ou bien au plus $\mathrm{n}-\mathrm{k}+1$ points ou bien se réduit à un intervalle qui contient l’extrémité a pour n pair.
4. Si la fonction $f$ est non-concave d’ordre $n$ il en est de même de la fonction $\mathrm{f}-\mathrm{P},\mathrm{P}$ étant un polynome de degré $\mathrm{n}\left({}^{1}\right)$ . Si f n’est pas polynomiale d’ordre n on peut toujours déterminer le polynome $P$ de manière que les ensemble $E(M)$ , $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ correspondants à $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ soient formés par le nombre maximum de sections
(1) Un polynome de degré n pour nous est un polynome de degré eifectif $\leq\mathbf{n}$ .

Lies de E , donc que $\mathrm{E}(\mathrm{M})+\mathrm{E}(\mathrm{m})$ soit formé par $\mathrm{n}+2$ sections séparées de È. en effet, $T_{i}$ le polynome de meilleure approximation de Tchebycheff de déme de la fonction $f$ sur $E$ . $T_{i}$ est donc le polynome (unique) pour lequel

\min\max|\mathrm{f}-\mathrm{P}|\text{, }

atteint lorque P est un polynome de degré i. Nous a ons alors la propriété -irante ( ¹ )

Si $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ est le polynome de Tchebychefi de degré n d $\geq$ la fonction $f$ conâuse et non-concave d’ordre n , ne se réduisant pas à un polynome de degré n , == peut trouver $\mathrm{n}+2$ et seulement $\mathrm{n}+2$ points consécutifs où la différence $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ atteint la valeur max $\left|\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\right|$ avec des signes alternés.

Cette propriété est équivalente à la suivante
Si f est une fonction continue et d’ordre n, ne se réduisant pas à un polymume de degré n , les polynomes $\mathrm{T}_{\mathrm{n}},\mathrm{T}_{\mathrm{n}+1}$ sont distincts, donc $\mathrm{T}_{\mathrm{n}+1}$ est effectivement de degré $\mathrm{n}+1$ .

Si f est non-concave d’ordre n , la fonction $\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ jouit donc de la propriété que $\mathrm{E}(\mathrm{M})$ est formé par $\mathrm{k}+1$ et $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ par $\mathrm{n}-\mathrm{k}+1$ sections séparées de E , à moins, bien entendu, que f ne soit pas polynomiale.

Remarquons aussi la propriété suivante
Si $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ est le polynome de Tchebycheff de degré n de la fonction f continue et d’ordre 11, la valeur max $\left|\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\right|$ est nécessairement atteint aux, extrémités a et b. On a d’ailleurs $\left[\mathrm{f}(\mathrm{a})-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}(\mathrm{a})\right]\left[\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}(\mathrm{b})\right]\geq$ ou $\leq 0$ suivant que n est impair ou pair.
5. Nous allons maintenant établir, et c’est le but principal de ce travail, les réciproques des propriétés précédentes et d’abord celles des propriétés $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ . Avant d’arriver à ces propriétés nous allons traiter un problème auxiliaire.

Soient $\mathrm{x}_{1}>\mathrm{x}_{2}>\ldots>\mathrm{x}_{\mathrm{r}},\mathrm{r}$ points de E tels que chaque intervalle ouvert $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}},\mathrm{x}_{\mathrm{i}+1}\right),\mathrm{i}=1,2,\ldots,r-1$ contient au moins un point de E . Les points $\mathrm{x}_{\mathrm{r}},\mathrm{x}_{1}$ peuvent ou non coïncider avec les extrémités $\mathrm{a},\mathrm{b}$ . Posons

\text{ et }\begin{array}[]{ll}F_{0}=\left(x_{1}Eb\right)&\text{ si }x_{1}<b\\ F_{r}=\left(aEx_{r}\right)&\text{ si }a<x_{r}\end{array}

Nous avons donc, suivant les cas, $r-1,r$ ou $r+1$ ensembles $F_{i}$ . Nous allons d’ailleurs supposer que si $r=1,a<x_{1}<b$ et si $r=2$ nous n’avons pas en même temps $\mathrm{a}=\mathrm{x}_{2},\mathrm{x}_{1}=\mathrm{b}$ . Ainsi le nombre $\mathrm{s}+2$ des ensembles $\mathrm{F}_{\mathrm{i}}$ est toujours $\geq 2$ , donc $s\geq 0$ .

Considérons maintenant une fonction continue $f$ qui s’annule aux points $x_{i}$ et telle que chaque $F_{i}$ contient au moins un point $x_{i}$ où elle prend une valeur positive

Posons

R=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{r}\right)

et soit

\mu=\min\max_{(\mathrm{E})}(\mathrm{f}-\mathrm{RQ}),

lorsque $Q$ parcourt l’ensemble des polynomes de degré s.
Nous avons $\mu>0$ .
On a évidemment $\mu\geqslant 0$ . Soit

\delta=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{r},x_{o}^{\prime},x_{1}^{\prime},\ldots,x_{r}^{\prime};f\right],

avee la condition de supprimer le point $\mathrm{x}^{\prime}{}_{,}$ si $\mathrm{x}_{1}=\mathrm{b}$ et le point $\mathrm{x}^{\prime}{}_{\mathrm{r}}$ si $\mathrm{x}_{\mathrm{r}}=\mathrm{a}.\delta$ est donc une différence divisée d’ordre $\mathrm{r}+\mathrm{s}+1$ . D’autre part
(1)

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{r},x_{o}^{\prime},x_{1}^{\prime},\ldots x_{r}^{\prime};f-RQ\right]=\delta,

quel que soit le polynome $Q$ de degré $s$ .
Si l’on avait $\mu=0$ on pourrait trouver, quel que soit $\frac{|\delta|}{2}>\varepsilon>0$ , un polynome $Q$ tel que

\left[\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{r}},\mathrm{x}_{0}^{\prime},\mathrm{x}_{1}^{\prime},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{r}}^{\prime};\mathrm{f}-\mathrm{R}Q\right]>-\varepsilon>\frac{\delta}{2}\text{ ou }<\varepsilon<\frac{\delta}{2}

suivant que $x_{1}=b$ ou $x_{1}<b$ , ce qui est en contradiction avec (1).
6. Démontrons maintenant le

Lemme I. Si le polynome $Q=c_{0}\mathrm{x}^{s}+c_{1}\mathrm{x}^{s-1}+\ldots+c_{s}$ , ou $-Q$ vérifie l’inéqalité

\mathrm{R}(\mathrm{x})Q(\mathrm{x})<\mathrm{A},\quad\mathrm{x}\subset\mathrm{E},\quad(\mathrm{\penalty 10000\ A}>0),

(2)

on peut trouver un nombre positif B , dépendant de A mais non du polynome Q, tel que l’on ait

\left|c_{i}\right|<B,i=0,1,\ldots,s

Ce lemme résulte du suivant
Lemme II. Si le polynome $Q=c_{0}x^{s}+c_{1}x^{s-1}+\ldots+c_{s}$ , ou $-Q$ vérifie l’inéqalité
(3)

(-1)^{\mathrm{i}}\mathrm{Q}\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)<\mathrm{A}^{*},\quad\mathrm{i}=1,2,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ s}+2,\quad\left(\mathrm{\penalty 10000\ A}^{*}>0\right),

on peut trouver un nombre positif $\mathrm{B}^{*}$ , dépendant de $\mathrm{A}^{*}$ mais non du polynome Q, tel que l’on ait

\left|c_{i}\right|<B^{*},\quad i=0,1,\ldots,s.

Démontrons d’abord la propriété pour le premier coefficient $\mathrm{c}_{0}$ . Si nous posons $\mathrm{W}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}_{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}_{2}\right)\ldots\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}_{\mathrm{s}+2}\right)$ , la formule d’interpolation de Lagrange nous donne

c_{0}=\sum_{i=1}^{s+1}\frac{\left(y_{i}-y_{s+2}\right)Q\left(y_{i}\right)}{W^{\prime}\left(y_{i}\right)}=\sum_{i=2}^{s+2}\frac{\left(y_{i}-y_{1}\right)Q\left(y_{i}\right)}{W^{\prime}\left(y_{i}\right)}

Mais

(-1)^{\mathrm{i}}\mathrm{\penalty 10000\ W}^{\prime}\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)>0,\quad\mathrm{i}=1,2,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ s}+2

et nous en déduisons

-A^{*}\cdot\sum_{i=2}^{s+2}\frac{y_{1}-y_{i}}{(-1)^{i}W^{\prime}\left(y_{i}\right)}<c_{0}<A^{*}\cdot\sum_{i=1}^{s+1}\frac{y_{i}-y_{s+2}}{(-1)^{i}W^{\prime}\left(y_{i}\right)}.

()

Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour les coefficients $\mathrm{c}_{0}$ , $\mathrm{c}_{1},\ldots,\mathrm{c}_{\mathrm{j}-1}$ et démontrons-la pour le coefficient $\mathrm{c}_{\mathrm{j}}$ . Nous avons

\left|c_{i}\right|<B_{1}^{*},\quad i=0,1,\ldots,j-1,

(1) On en déduit une limitation analogue si - ? vérifie l’inégalité (3).

Bit étant une constante dépendant de $A^{*}$ mais non de $Q$ . Si nous posons $Q_{1}=c_{j}x^{s}i+-c_{j+},x^{s-j-1}+\ldots+c_{s}$ , nous avons
$(-1)^{i}Q_{1}\left(y_{i}\right)=(-1)^{i}Q\left(y_{i}\right)-(-1)^{i}\left(c_{0}x^{s}+c_{1}x^{s-1}+\ldots+c_{j-1}x^{sj+1}\right)$ , Bonc

\begin{gathered}(-1)^{i}Q\left(y_{i}\right)<A_{1}^{*}=A^{*}+B_{1}^{*}\max_{t=1,2,\ldots,s+2}\left(y_{t}{}^{s}+\left|y_{t}\right|^{s-1}+\ldots+y_{t}{}^{s-j+1}\right)\\ i=1,2,\ldots,s+2-j\end{gathered}

et $\mathrm{A}_{1}^{*}$ dépend de $\mathrm{A}^{*}$ seulement. La limitation de $\mathrm{c}_{\mathrm{j}}$ revient ainsi à la limitation dun premier coefficient.

Le lemme II est donc démontré. Remarquons qu’on peut prendre pour B* an nombre de la forme $\mathrm{K}.\mathrm{A}^{*},\mathrm{\penalty 10000\ K}$ étant indépendant de $\mathrm{A}^{*}$ et du polynome Q .

Le lemme $I$ en résulte facilement. Il suffit de prendre pour $y_{i}$ les points $x_{i}$ et de remarquer que de (2) résulte une inégalité de la forme (3) pour $Q$ ou $-Q$ , avec la valeur

\mathrm{A}^{*}=\frac{\mathrm{A}}{\min_{(\mathrm{i})}\left|\mathrm{R}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{\prime}\right)\right|}

Nous dirons, pour simplifier le langage, qu’un polynome $Q$ de degré s pour lequel le minimum est atteint, est un polynome de meilleure majoration de f sur Tensemble E. Du lemme I, nous déduisons, par un raisonnement classique, que

Il existe au moins un polynome de meilleure majoration.
La démostration consiste en à remarquer d’abord que max ( $\mathrm{f}-\mathrm{RQ}$ ) est une fonction continue des coefficients de $Q$ . On voit ensuite qu’il suffit de considérer les polynomes $Q$ pour lesquels

f\left(x^{\prime},-R(x)Q(x)\leqslant\max f,\quad x\in E\right.

donc les polynomes $Q$ pour lesquels

-R(x)Q(x)\leqslant\max f-\min f,\quad x\subset E.

7.

Nous allons démontrer maintenant que

Si $Q$ est un polynome de meilleure majoration, la fonction $\mathrm{f}-\mathrm{RQ}$ atteint la valeur $\mu$ sur chacun des ensembles $\mathrm{F}_{\mathrm{i}}$ .

Supposons le contraire et soient.

\text{ (t) }\quad\mathrm{F}_{\mathrm{i}_{1}},\mathrm{\penalty 10000\ F}_{\mathrm{i}_{2}},\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ F}_{\mathrm{i}_{\mathrm{t}}},\mathrm{i}_{1}<\mathrm{i}_{2}<\ldots<\mathrm{i}_{\mathrm{t}},\mathrm{t}\leqslant\mathrm{\penalty 10000\ s}+1

ceux des ensembles $F_{i}$ sur lesquels la valeur $\mu$ est atteint. On a donc

		$\displaystyle\max_{\left(F_{ij}\right)}(f-RQ)=\mu,\quad j=2,\ldots,t$
		$\displaystyle\max_{\left(\tau_{i}\right)}(f-RQ)<\mu\quad i\neq i_{j},j=2,\ldots,t$

On peut alors trouver un $\mu_{1}<\mu$ tel que

f-RQ\leq\mu_{1},x\subset F_{i},i\neq i,\quad j=1,2,\ldots,t

Construisons le polynome $\mathrm{U}=\Pi\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{\mathrm{j}}\right)$ où j prend seulement les valeurs is +1 pour lesquelles $\mathrm{i}_{\mathrm{j}+\mathrm{i}}-\mathrm{i}_{\mathrm{i}}$ est impair, $1\leqslant\mathrm{j}\leqslant\mathrm{t}-1$ . Si $\mathrm{t}=1,\mathrm{U}=1$ . Il en est encore ainsi si toutes les différences $i_{j+1}-i_{j}$ sont paires.

On voit que U est de degré s et que RU est de méme signe en tout point des ensembles (1). Soit $\lambda$ une constante de ce même signe ; $\lambda$ RU est donc positif sur les ensembles (4) sauf sur leurs extrémités où ce polynome s’annule.

Ceci étant, on voit facilement qu’on peut prendre $|\lambda|$ suffisamment petit pour que l’on ait

		$\displaystyle f-R(Q+\lambda U)<\mu,x\subset F_{i_{j}},j=2,\ldots,t$
		$\displaystyle f-R(Q+\lambda U)\leq\frac{\mu+\mu_{1}}{2}<\mu,x\subset F_{i},i\neq i_{j},j=2,\ldots,t$

et $Q$ ne serait pas un polynome de meilleure majoration. La propriété est donc démontrée.

On peut encore remarquer que
Si Q est un polynome de meilleure majoration, l’ensemble sur lequel $\mathrm{f}-\mathrm{RQ}$ atteint la valeur $\mu$ ne peut contenir aucun des points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ et ne peut être formé par moins de $\mathrm{s}+2$ sections séparées de E .

Dans la suite l’existence d’un polynome de meilleure majoration sera suffisante mais nous pouvons démontrer la propriété suivante

11 existe un seul polynome de meilleure majoration.
Supposons le contraire et soient $Q,Q_{1}$ deux polynomes distincts de meilleure majoration. Si $Q_{2}=\frac{Q+Q_{1}}{2}$ , nous avons

	$\displaystyle\mathrm{f}-\mathrm{RQ}_{2}=\frac{1}{2}$	$\displaystyle{\left[(\mathrm{f}-\mathrm{RQ})+\left(\mathrm{f}-\mathrm{R}Q_{1}\right)\right]\leqslant\mu,\quad\mathrm{x}\subset\mathrm{E}}$		(5)
		$\displaystyle\max\left(\mathrm{f}-\mathrm{RQ}_{2}\right)\geqslant\mu$

donc $Q_{2}$ est encore un polynome de meilleure majoration. On en déduit immédiatement qu’il existe au moins $s+2$ points, différents des points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ , où $\mathrm{f}-\mathrm{RQ}=\mu$ et, d’après ( $\overline{\mathbf{5}}$ ), au moins $\mathrm{s}+2$ de tels points où

\mathrm{f}-\mathrm{RQ}=\mathrm{f}-\mathrm{RQ}_{1}\text{, ou }\mathrm{Q}=\mathrm{Q}_{1}

donc $Q\equiv Q_{1}$ . L’unicité résulte d’ailleurs du seul fait que la valeur $\mu$ est atteint en au moins $\mathrm{s}+1$ points.
8. Revenons maintenant aux fonctions d’ordre n. Démontrons que

Théorème I. Si f est une fonction continue définie sur È et si, quels que soient le polynome P de degré n et la section $\mathrm{E}_{1}$ de E , l’ensemble $\mathrm{E}_{1}(\mathrm{M})$ correspondant à $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ vérifie la propriété A , la fonction f est non-concave d’ordre n sur $\mathrm{E}\left({}^{1}\right)$ .

Il suffit de démontrer que si f n’est pas non-concave d’ordre non peut trouver un $E_{1}$ et un polynome $P$ tels que $E_{1}(M)$ ne vérifie pas la propriété $A$ .

Si f n’est pas aon-concave d’ordre non peut trouver n +2 points $x_{1}>x_{2}>\ldots>x_{n+2}$ tels que l’on ait
(v)

\left[\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots;\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2};\mathrm{f}\right]<0.

On peut alors trouver un polynome $S$ de degré n tel que la fonction $f_{1}=f-S$ vérifie les égalités

\begin{gathered}f_{1}\left(x_{1}\right)=f_{1}\left(x_{3}\right)=\ldots=f_{1}\left(x_{2k+1}\right)=0\\ f_{1}\left(x_{2}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right)=\ldots=f_{1}\left(x_{2n-2k+2}\right)=2\rho>\rho\end{gathered}

Il suffit de prendre $S=G-\rho$ , où $G$ est le polynome de meilleure approximation de degré $n$ de $f$ sur les points $x_{1}$ et $\rho>0$ cette meilleure approximation.

Soit alors $Q$ le polynome de meilleure majoration de $f_{1}$ sur l’ensemble

$E=\left(x_{n};{}_{2}Ex_{1}\right)$ , en prenant comme points $x_{i}$ les points $x_{1},x_{3},\ldots,x_{2k+1}$ . On voit imédiatement que pour $\mathrm{P}=\mathrm{G}-\rho+\mathrm{RQ}$ la propriété A n’est pas vérifiée pour E-P sur $\mathrm{E}_{1}$ .

Nous en déduisons immédiatement le
Théorème II. Si f est une fonction continue définie sur E et si, quels que soient le polynome P de degré pair n et la section $\mathrm{E}_{1}$ de F , l’ensemble $\mathrm{E}_{2}(\mathrm{\penalty 10000\ m})$ correspondant à $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ vérifie la propriété B , la ionction f est non concarve d’ordre pair n sur E .

Pour les fonctions non-concaves d’ordre impair nous avons la propriété suivante
Théorème III. Si i est une fonction continue définie sur È et si, quel que soit le polynome P de degré impair n, l’ensemble $\mathrm{E}(\mathrm{m})$ correspondant à $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ vérifie la propriété C , la fonction est non-concave d’ordre impair n sur E .

La démonstration se fait comme pour le théorème I. Si f n’est pas non concave d’ordre n on peut trouver $\mathrm{n}+2$ points $\mathrm{x}_{1}>\mathrm{x}_{2}>\ldots,>\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}$ tels que l’on ait Tinégalité (’). On peut alors trouver, comme plus haut, un polynome $S$ de degré in tels que si $f_{1}=f-S$ on ait

		$\displaystyle f_{1}\left(x_{2}\right)=f_{1}\left(x_{4}\right)=\ldots=f_{1}\left(x_{2k}\right)=0$
		$\displaystyle f_{1}\left(x_{1}\right)=f_{1}\left(x_{3}\right)=\ldots=f_{1}\left(x_{n+2}\right)<0$

Soit alors $Q$ le polynome de meilleure majoration de $-f_{1}$ sur l’ensemble $E$ , en prenant comme points $x_{i}$ les points $x_{2},x_{4},\ldots,x_{2k}$ . On voit immédiatement que pour $\mathrm{P}=\mathrm{S}-\mathrm{RQ}$ la propriété C n’est pas vérifiée par $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ sur E .
9. Faisons quelques remarques sur les théorèmes précédents. On peut toujours ne considérer que les polynomes $P$ qui s’annulent tous en un même point, par exemple on peut ne considérer que les polynomes divisibles par $\mathrm{x}[\mathrm{P}()=0]$ .

Dans la démonstration des théorèmes I, II l’hypothèse $n>1$ intervient implicitement. Mais ces théorèmes restent vrais pour $\mathrm{n}=0,1$ . Pour $\mathrm{n}=0$ nous avons la propriété suivante, à peu près évidente

Si f est définie sur E et si, quel que soit la section $\mathrm{E}_{1}=(\mathrm{cEd})$ de $\mathrm{E},\mathrm{c},\mathrm{d}<\mathrm{E}$ , on $a\mathrm{f}(\mathrm{d})=\max\mathrm{f}$ , la fonction f est non-décroissante sur E .
( is ₁ )
Pour $\mathrm{n}=1$ nous avons le théorème suivant, du à M. S. Saks $\left({}^{1}\right)$ .
Si f est une fonction définie sur E et si, quels que soient la section E, de E et la constante $\alpha$ , la fonction $\mathrm{f}+\alpha\mathrm{x}$ atteint son maximum en.l’une au moins des extrémités de $\mathrm{E}_{1}$ la fonction f est non-concave d’ordre 1 sur E .

Nous avons déjì donné le théorème III pour $\mathrm{n}=1$ dans un travail précédent. $\left({}^{2}\right)$ .
L’hypothèse de la continuité de f ne peut être supprimée en général, mais elle peut être remplacée par des hypothèses moins restrictives. Par exemple, par la semi-continuité supérieure pour le maximum et inférieure pour le minimum. Comme nous le montre l’exemple des fonctions d’ordre 0 ou 1 on peut se passer complètement de telles hypothèses sous certaines conditions. On peut aussi imposer à $\mathrm{f}-\mathrm{P}$ des conditions moins restrictives et caractériser ainsi les fonctions d’ordre 11. Ainsi, par exemple, nous avons la propriété, à peu près évidente.
(1) S. Saks "O funkjach wypuklych i podharmonicznych" Mathesis Polska, 6, 43-55 (1931).
(2) Tiberiu Popoviciu tDeux remarques sur les fonctions convexes" Bulletin de l’Acad. Rounaine, 20, 45-19 (1939).

Si f est définie sur E et si, quel que soit la section $\mathrm{E}_{1}=(\mathrm{cE}\mathrm{d})$ de E , on $\boldsymbol{a}\mathrm{f}(\mathrm{c})=\min_{\left(1_{1}\right)}\mathrm{f}$ ou $\mathrm{f}(\mathrm{d})=\max_{\left(\equiv_{1}\right)}\mathrm{f}$ , la fonction f est non-décroissante sur E .
10. Les propriétés des ensembles $\mathrm{E}(\mathrm{M},\mathrm{E}(\mathrm{m})$ précisent beaucoup-les polynomes $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}^{\prime},\mathrm{T}_{\mathrm{n}+1}$ de meilleure approximation d’une fonction continue d’ordre n .

Nous allons supposer maintenant que E , soit un intervalle fermé $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ et la fonction $f$ continue dans $(a,b)$ .

Posons ( ¹ )

	$\displaystyle\tau=\tau\left(\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2};\mathrm{f}\right)=$	$\displaystyle\frac{\mathrm{U}\left(\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2};\mathrm{f}\right)}{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}+2}\left\|\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{i}-1},\mathrm{x}_{\mathrm{i}+1},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}\right)\right\|}$
	$\displaystyle\mathrm{x}_{1}$	$\displaystyle>\mathrm{x}_{2}>\ldots>\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}.$

Nous supposons que le lecteur connaisse les propriétés des polynomes de meilleure approximation établies par MM. E. Borel ( ² ) et $\mathbf{Ch}$ . de la Vallée Poussin ( ³ ). En particulier, rappelons que la meilleure approximation d’ordre n de la fonction $f$ dans un intervalle est égale au maximum de $|\tau|$ lorsque les $x_{i}$ restent dans cet intervalle. Si $x_{1},>x_{2},>\ldots>x_{n}\vdash_{2}$ sont des points pour lesquels ce maximum est atteint, $f-T_{n}$ prend alternativement les valeurs $\pm|\tau|$ sur ces points. Le polynome $T_{n}$ est caractérisé complètement par le fait que $f-T_{n}$ atteint la valeur max $\left|\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\right|$ en au moins $\mathrm{n}+2$ points consécutifs avec des signes alternés.
M. Ch. de la Vallée Poussin remarque que $|\tau|$ est une fonction continue des $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ . Mais si nous tenons compte du fait qu’il y a correspondance continue entre les fonctions continues et leurs polynomes $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ on voit facilement que
$\tau$ est une fonction continue lorsque les $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ restent dans un intervalle.
On peut aussi démontrer directement cette propriété.
Il est d’ailleurs à remarquer que le maximum ou le minimum, supposé non nul, de $\tau$ ne peut être atteint que pour des valeurs distinctes des $x_{i}$ .
11. Démontrons maintenant le lemme suivant :

Lemme III. Si $\tau$ ne reste pas constamment non-positif et si $\tau^{\prime}==\tau\left(\mathrm{x}_{1}^{\prime},\mathrm{x}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{x}_{n+2}^{\prime}\right.$ ; f) $\mathrm{x}_{1}^{\prime}>\mathrm{x}_{2}^{\prime}>\ldots>\mathrm{x}_{n+2}^{\prime}$ est le maximum $(>0)$ de $\tau$ dans l’intervalle ( $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ), $\tau^{\prime}$ est la meilleure approximation d’ordre n de f dans l’intervalle ( $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}^{\prime},\mathrm{x}^{\prime}{}_{1}$ ).

Soit P le polynome de meilleure approximation de degré n sur les points $\mathrm{x}^{\prime}{}_{1},\mathrm{x}^{\prime}{}_{2},\ldots,\mathrm{x}^{\prime}{}_{\mathrm{n}+{}_{2}}$ . Nous allons montrer que P est le polynome de meilleure approximation de degré $n$ de $f$ dans l’intervalle $\left(x_{n+_{2}}^{\prime},x_{1}^{\prime}\right)$ . Pour cela il faut et il suffit de démontrer que la fonction $f_{1}=f-P$ reste comprise entre $-\tau^{\prime}$ et $\tau^{\prime}$ dans $\left(x_{n+2}^{\prime},x_{1}^{\prime}\right)$ . Prenons le point $\mathrm{x}_{\mathrm{j}-1}^{\prime}>\mathrm{x}>\mathrm{x}_{\mathrm{j}+1}^{\prime},\mathrm{j}=1,2,\ldots,\mathrm{n}+2,\mathrm{x}_{0}^{\prime}=\mathrm{x}_{1}^{\prime},\mathrm{x}_{\mathrm{n}+3}^{\prime}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}^{\prime}$ . Nous avons

\tau\left(\mathrm{x}_{1}^{\prime},\mathrm{x}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{j}-1}^{\prime},\mathrm{x},\mathrm{x}_{\mathrm{j}+1}^{\prime},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}^{\prime};\mathrm{f}_{1}\right)\leqslant\tau^{\prime}

Mais

=\tau^{\prime}+\frac{(-1)^{n\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{j-1}^{\prime},x,x_{j+1}^{\prime},\ldots,x_{n+1}^{\prime},f_{1}\right)=}}{\sum_{i=1}^{n+2}\mid V\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{j-1}^{\prime},x_{j+1}^{\prime},\ldots,x_{n+2}^{\prime}\right)\left[f_{1}(x)-(-1)^{j-1}\tau^{\prime}\right]}

it dans la somme du dénominateur en remplace $\mathrm{x}_{\mathrm{j}}^{\prime}$ par x .
Nous avons donc

(-1)^{j-1}\left[f_{1}(x)-(-1)^{j-1}\tau^{\prime}\right]\leqslant 0,\quad x\subset\left(x_{j+1}^{\prime},x_{j-1}^{\prime}\right),

=qui démontre la propriété.
On démontre exactement de la même manière que
Lemme IV. Si $\tau$ ne reste pas constamment non-négatif et si $\tau^{\prime\prime}==\tau\left(\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{1},\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{\mathrm{n}+2};\mathrm{f}\right),\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{1}>\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{2}>\ldots>\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{\mathrm{n}+2}$ est le minimum ( $\langle 0$ ) de $\tau$ dans Fintervalle $(\mathrm{a},\mathrm{b}),-\tau^{\prime\prime}$ est la meilleure approximation d’ordre n de f dans l’interralle $\left(\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{\mathrm{n}+2},\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{1}\right)$ .

Remarquons que dans les deux lemmes les points $\mathrm{x}^{\prime}{}_{1},\mathrm{x}^{\prime}{}_{2},\ldots,\mathrm{x}^{\prime}{}_{\mathrm{n}+2}$ resp- $\mathrm{x}^{-}\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{\mathrm{n}+2}$ sont des points où $\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ atteint avec des signes alternés, la meleur max $\left|\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\right|,\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ et le maximum étant pris dans l’intervalle ( $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+{}_{2}},\mathrm{x}_{1}^{\prime}$ ) esp. $\left(x^{\prime\prime}{}_{n+2},x^{\prime\prime}{}_{1}\right)$ .

Lemme V. Si la fonction continue f n’est pas d’ordre n dans l’interwalle $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ , on peut trouver un sous-intervalle $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ de $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ tel que si $\tau_{1}(>0)$ , $\tau_{2}(<0)$ sont le maximum et le minimum de $\tau$ dans $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ on ait $\tau_{1}=-\tau_{2}$ .

Soient toujours

0<\tau^{\prime}=\max_{(\mathrm{a},\mathrm{\penalty 10000\ b})}\tau,0>\tau^{\prime\prime}=\min_{(\mathrm{a},\mathrm{\penalty 10000\ b})}\tau

Si nous avons $\tau^{\prime}=-\tau^{\prime\prime}$ la propriété est démontrée $(c,d)=(a,b)$ . Supposons que $\tau^{\prime}>-\tau^{\prime\prime}$ . Nous pouvons trouver, d’après le lemme IV un intervalle $\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)$ où

\min_{\left(a^{a^{\prime}},b^{\prime}\right)}\tau=\tau^{\prime\prime},\max_{\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)}=\tau_{1}^{\prime}\leqslant-\tau^{\prime\prime}

Si $\tau_{1}^{\prime}=-\tau^{\prime\prime}$ la propriété est démontrée, $(\mathrm{c},\mathrm{d})=\left(\mathrm{a}^{\prime},\mathrm{b}^{\prime}\right)$ . Supposons que $\tau_{1}^{\prime}<\cdots\tau^{\prime\prime}$ et soit

\begin{gathered}\max_{\left(a_{1},b_{1}\right)}\tau=\tau_{1}^{*},\min_{\left(a_{1}b_{1}\right)}\tau=\tau_{2}^{*}\\ a_{1}=\frac{a+\lambda a^{\prime}}{1+\lambda},b_{1}=\frac{b+\lambda b^{\prime}}{1+\lambda},\quad\lambda\subset(0,+\infty)\end{gathered}

Mais, $\boldsymbol{\tau}_{1}^{*}+\boldsymbol{\tau}_{2}^{*}$ est évidemment une fonction continue de $\lambda$ et

\begin{array}[]{ll}\boldsymbol{\tau}_{1}^{*}+\boldsymbol{\tau}_{2}^{*}=\boldsymbol{\tau}^{\prime}+\boldsymbol{\tau}^{\prime\prime}>0,&\text{ pour }\lambda=0,\\ \boldsymbol{\tau}_{1}^{*}+\boldsymbol{\tau}_{2}^{*}\rightarrow\boldsymbol{\tau}_{1}^{\prime}+\boldsymbol{\tau}^{\prime\prime}<0,&\text{ pour }\lambda\rightarrow+\infty.\end{array}

Il existe donc une valeur positive de $\lambda$ pour laquelle $\tau_{1}^{*}=-\tau^{*}{}_{2}$ , ce qui démontre la propriété.

On fait la démonstration de la même manière si $\tau^{\prime}<-\tau^{\prime\prime}$ en se basant sur le lemme III.
12. Soit toujours $f$ une fonction continue et supposons qu’elle ne soit pas Zordre n dans $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ . Considérons le sous-intervalle $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ défini par le lemme V .

Soit $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ le polynome de meilleure approximation de degré n de f dans ( c , d ). On peut alors trouver $\mathrm{n}+2$ points $\mathrm{x}_{1}^{\prime}>\mathrm{x}_{2}^{\prime}>\ldots>\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}^{\prime}$ où

\tau\left(\mathrm{x}_{1}^{\prime},\mathrm{x}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{x}_{\mathrm{n}+2}^{\prime};\mathrm{f}\right)=\tau_{1}

(7)

et où $\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ prend, avec des signes alternés, la valeur max $\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ . On peut aussi trouver $\mathrm{n}+2$ points $\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{1},>\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{2}>\ldots>\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{n+2}$ où

\tau\left(\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{1},\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{2},\ldots,\mathrm{x}^{\prime\prime}{}_{\mathrm{n}+2};\mathrm{f}\right)=\tau_{2}

(8)

et où $f-T_{n}$ prend, avec des signes alternés, les valeurs max $f-T_{n}!$ .
Les relations (7), (8) et $\tau_{1}=-\tau_{2}>0$ nous montrent qu’on peut toujours choisir parmi les points $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{\prime},\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{\prime\prime}$ une suite d’au moins $\mathrm{n}+3$ points consécutifs où $\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ prend, avec des signes alternés la valeur max $\mid\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ . Il en résulte que $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ est aussi le polynome de meilleure approximation de degré $\mathrm{n}+1$ de f dans (c, d) donc

Lemme VI. Si la fonction continue f n’est pas d’ordre n dans l’intervalle ( $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ), on peut trouver un sous-intervalle de ( $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ) où les polynomes de meilleure approximation $\mathrm{T}_{\mathrm{n}},\mathrm{T}_{\mathrm{n}+1}$ de degrés $\mathrm{n},\mathrm{n}+1$ coincident, donc où le polynome de meilleure approximation de degré $\mathrm{n}+1$ est de degré effectif $\leq\mathrm{n}$ .

Si nous remarquons que $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\equiv\mathrm{T}_{\mathrm{n}+\mathrm{a}}$ a lieu aussi dans tout intervalle où f se réduit à un polynome de degré n, nous en déduisons le

Théorème IV. Si f est une fonction continue dans l’intervalle fermé $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ et si, quel que soit le sous-intervalle fermé $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ de $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ , le polynome de Tchebycheff $\mathrm{T}_{\mathrm{n}+1}$ de degré $\mathrm{n}+1$ de f dans ( $\mathrm{c},\mathrm{d}$ ) est effectivement de degré $\mathrm{n}+1$ , la fonction f est convexe ou concave d’ordre n dans $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ .

Remarquons que si $f$ n’est pas d’ordre $n$ dans l’intervalle ( $a,b$ ), dans l’intervalle $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ du lemme V la fonction n’est certainement pas polynomiale d’ordre n. Il est facile d’en déduire le résultat suivant

Théorème V. Si f est une fonction continue dans l’intervalle fermé ( $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ) et si, quel que soit le sous intervalle fermé $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ de $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ , le polynome de Tchebycheff $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ de degré 11 de f dans ( $\mathrm{c},\mathrm{d}$ ) vérifie les égalités $\left|\mathrm{f}(\mathrm{c})-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}(\mathrm{c})\right|==\left|\mathrm{f}(\mathrm{d})-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}(\mathrm{d})\right|=\max_{(\mathrm{c},\mathrm{d})}\left|\mathrm{f}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}\right|$ , la fonction f est d’ordre n dans $(\mathrm{a},\mathrm{b})$ .

En effet, pour une fonction qui n’est pas d’ordre n il suffit de raccourcir un peu l’intervalle $(\mathrm{c},\mathrm{d})$ du lemme V pour trouver un intervalle où la propriété n’est pas satisfaite.

Cernăuti, le 11 Avril 1939

Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (VI)

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