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Traduction en anglais du titre
On some minimizing polynomials
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T. Popoviciu, Sur certaines polynômes minimisants, Bull. de la Sect. Sci. de L’Acad. Roumaine, 12 (1929) no. 6, pp. 133-136 (in French).
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Bull. de la Sect. Sci. de L’Acad. Roumaine
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ACADÉMIE ROUMAINE
BULLETIN
XII-Ème ANNÉE
\section*{DE LA SECTION SCIENTIFIQUE}
XII-Ème ANNÉE
1929
No. 6
SUR CERTAINS POLYNOMES MINIMISANTS
PAR
TIBERIU POPOVICIU
(Note présentée à l'Académie Roumaine par Mr. G. Țițeica, M. A. R.
I. Définition de la fonction F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right). La fonction réelle F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right) de nn variables réelles z_(1),z_(2),dotsz_(n)z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n} est déterminée de la façon suivante:
I. Elle est définie dans le domaine
I. Définition de la fonction F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right). La fonction réelle F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right) de nn variables réelles z_(1),z_(2),dotsz_(n)z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n} est déterminée de la façon suivante:
I. Elle est définie dans le domaine
(D)quadz_(1) >= ,o,z_(2) >= ,0,dotsz_(n) >= 0(D) \quad z_{1} \geqslant, o, z_{2} \geqslant, 0, \ldots z_{n} \geqslant 0
et est positive dans (D)(D).
2. Elle est nulle à l'origine:
2. Elle est nulle à l'origine:
F(0,dots0)=0F(0, \ldots 0)=0
Cette hypothèse n'est nullement essentielle mais elle est commode et ne restreint aucunement la géneralité du problème.
3. Elles est convexe dans (D)(D).
4. Elle est croissante dans (D)^(1)(D)^{1} ).
3. Elles est convexe dans (D)(D).
4. Elle est croissante dans (D)^(1)(D)^{1} ).
Il résulte que la fonction est continue dans (D)(D) et que si une variable z_(i)z_{i} tend vers l'infini FF tend également vers l'infini.
2. Définition et unicité du polynome minimisant. Nous considérons maintenant nn points distincts de l'axe réel:
2. Définition et unicité du polynome minimisant. Nous considérons maintenant nn points distincts de l'axe réel:
x < x_(2) < dots < x_(n)x<x_{2}<\ldots<x_{n}
et tous les polynomes de degré k < nk<n dont le coefficient de la plus haute puissance de xx est égal à II :
P(x)=x_(k)+dotsP(x)=x_{k}+\ldots
la fonction est non-concave respectivement non-décroissante.
Soit 1'expression:
F(P(x))=F(|P(x_(1))|,|P(x_(2))|,dots|P(x_(n))|)F(P(x))=F\left(\left|P\left(x_{1}\right)\right|,\left|P\left(x_{2}\right)\right|, \ldots\left|P\left(x_{n}\right)\right|\right)
nous avons alors la propriété suivante.
Il y a un et un seul polynome de degré k < nk<n pour lequel l'expression F(P(x))F(P(x)) atteint son minimum. C'est le polynome P_(k)(x)P_{k}(x).
Il y a un et un seul polynome de degré k < nk<n pour lequel l'expression F(P(x))F(P(x)) atteint son minimum. C'est le polynome P_(k)(x)P_{k}(x).
Le minimum trouvé est nul si k=nk=n, mais non nul et par conséquent positif si k < nk<n.
Les racines de l'équation:
{:(I)P_(k)(x)=0:}\begin{equation*}
P_{k}(x)=0 \tag{I}
\end{equation*}
jouissent de propriétés intéressantes. Nous trouvons epsilonn\epsilon \mathrm{n} effet que:
I. Toutes les racines de l'équation (I) sont réelles et comprises dans l'intervalle fermé ( x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} ).
2. Dans un intervalle ouvert ( alpha,beta\alpha, \beta ) intérieur à ( x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} ) et qui contient ii points x_(i)x_{i} il y a au plus i+Ii+I racines.
3. Toute racine qui ne coïncide pas avec un point x_(i)x_{i} est simple.
4. Les points x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} peuvent éventuellement être racines, mais seulement simples, les points x_(2),x_(2),dotsx_(n-)^(')_(1)x_{2}, x_{2}, \ldots x_{n-}{ }^{\prime}{ }_{1} peuvent être des racines multiples mais l'ordre de multiplicité ne peut pas dépasser 2.
I. Toutes les racines de l'équation (I) sont réelles et comprises dans l'intervalle fermé ( x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} ).
2. Dans un intervalle ouvert ( alpha,beta\alpha, \beta ) intérieur à ( x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} ) et qui contient ii points x_(i)x_{i} il y a au plus i+Ii+I racines.
3. Toute racine qui ne coïncide pas avec un point x_(i)x_{i} est simple.
4. Les points x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n} peuvent éventuellement être racines, mais seulement simples, les points x_(2),x_(2),dotsx_(n-)^(')_(1)x_{2}, x_{2}, \ldots x_{n-}{ }^{\prime}{ }_{1} peuvent être des racines multiples mais l'ordre de multiplicité ne peut pas dépasser 2.
Si la fonction FF admet une dérivée partielle continue par rapport à z_(i)z_{i} et qui s'annule pour z=0z=0 le point x_(i)x_{i} ne peut être une racine si i=I,ni=I, n, et ne peut être qu'une racine simple si i=2,3,dots n-Ii=2,3, \ldots n-I.
3. Un cas particulier important. Supposons que 1a fonction FF admette des dérivées partielles secondes continues dans tout le domaine ( DD ). I1 résulte que les dérivées partielles du premier ordre sont toutes positives ou nulles, mais elles ne peuvent pas s'annuler toutes à Ta fois que à l'origine. Pour les dérivées secondes il résulte que la forme quadratique:
3. Un cas particulier important. Supposons que 1a fonction FF admette des dérivées partielles secondes continues dans tout le domaine ( DD ). I1 résulte que les dérivées partielles du premier ordre sont toutes positives ou nulles, mais elles ne peuvent pas s'annuler toutes à Ta fois que à l'origine. Pour les dérivées secondes il résulte que la forme quadratique:
sum_(i,j=1)^(n)xi_(i)xi_(j)(delta F)/(deltaz_(i)deltaz_(i))\sum_{i, j=1}^{n} \xi_{i} \xi_{j} \frac{\delta F}{\delta z_{i} \delta z_{i}}
est définie et positive. On démontre maintenant la propriété suivante: Le polynome minimisant P_(k)(x)P_{k}(x) satisfait aux équations.
(2) quadsum_(i=1)^(n)x_(i)^(s)(|P_(k)(x_(i))|)/(P_(k)(xi))*(delta F)/(deltaz_(i))=0quad s=0,I,2,dots k-I\quad \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{s} \frac{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|}{P_{k}(x i)} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=0 \quad s=0, I, 2, \ldots k-I
les dérivées partielles étant prises au point
(2) quadsum_(i=1)^(n)x_(i)^(s)(|P_(k)(x_(i))|)/(P_(k)(xi))*(delta F)/(deltaz_(i))=0quad s=0,I,2,dots k-I\quad \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{s} \frac{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|}{P_{k}(x i)} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=0 \quad s=0, I, 2, \ldots k-I
les dérivées partielles étant prises au point
|P_(k)(x_(1))|,|P_(k)(x_(2))|,dots|P_(k)(x_(n))|.\left|P_{k}\left(x_{1}\right)\right|,\left|P_{k}\left(x_{2}\right)\right|, \ldots\left|P_{k}\left(x_{n}\right)\right| .
Il résulte que Q_(k-1)(x)Q_{k-1}(x) étant un polynome arbitraire de degré k-Ik-I, on a:
sum_(i=I)^(n)Q_(k-1)(x_(i))quad(|P_(k)(x-i)|)/(P_(k)(x_(i)))(delta F)/(deltaz_(i))=0\sum_{i=I}^{n} Q_{k-1}\left(x_{i}\right) \quad \frac{\left|P_{k}(x-i)\right|}{P_{k}\left(x_{i}\right)} \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=0
qui est une sorte de propriété d'orthogonalité.
Le polynome P_(k)(x)P_{k}(x) est le seul polynome de degré kk vérifiant les équations (2).
4. Propriétés analogues à la quadrature mécanique. Soit un polynome G(x)\mathrm{G}(x) de degré 2k-I2 k-I au plus. Soient alpha_(1),alpha_(2),dotsalpha_(k)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k} les racines de l'équation (I). Nous avons la formule:
Le polynome P_(k)(x)P_{k}(x) est le seul polynome de degré kk vérifiant les équations (2).
4. Propriétés analogues à la quadrature mécanique. Soit un polynome G(x)\mathrm{G}(x) de degré 2k-I2 k-I au plus. Soient alpha_(1),alpha_(2),dotsalpha_(k)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k} les racines de l'équation (I). Nous avons la formule:
{:(3)sum_(i=1)^(n)(G(x_(i)))/(|P_(k)(x_(i))|)(delta F)/(deltaz_(i))=sum_(j=1)^(k)A_(j)G(alpha_(j)):}\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} \frac{G\left(x_{i}\right)}{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|} \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=\sum_{j=1}^{k} A_{j} G\left(\alpha_{j}\right) \tag{3}
\end{equation*}
où:
A_(i)=sum_(i=1)^(n)(1)/((x_(i)-a_(j)))P_(k)^(')(a_(i))(|P_(k)(x_(i))|)/(P_(k)(x_(i)))*(delta F)/(deltaz_(i))A_{i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\left(x_{i}-a_{j}\right)} P_{k}^{\prime}\left(a_{i}\right) \frac{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|}{P_{k}\left(x_{i}\right)} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}
Cette formule est vraie si:
I. Le polynome P_(k)P_{k} ne s'annule en aucun point x_(i)x_{i};
2. En tout point x_(i)x_{i} où P_(k)P_{k} s'annule on a
I. Le polynome P_(k)P_{k} ne s'annule en aucun point x_(i)x_{i};
2. En tout point x_(i)x_{i} où P_(k)P_{k} s'annule on a
{:(4)(del F)/(delz_(i))=o" pour "z_(i)=o:}\begin{equation*}
\frac{\partial F}{\partial z_{i}}=o \text { pour } z_{i}=o \tag{4}
\end{equation*}
En effet dans ce cas ces points sont exclus de la formule (3).
3. En tout point x_(i)x_{i} où P_(k)P_{k} s'annule on a en dehors de (4).
3. En tout point x_(i)x_{i} où P_(k)P_{k} s'annule on a en dehors de (4).
lim_(z_(i)rarr0)(I)/(z_(i))*(delta F)/(deltaz_(i))=A=" bonné "quad(" nécessairement " >= 0)\lim _{z_{i} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{I}}{z_{i}} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=A=\text { bonné } \quad(\text { nécessairement } \geqslant 0)éé
Dans ce cas la formule garde un sens précis.
Les nombres A_(j)A_{j} sont positifs indépendants de G(x)G(x); on peut écrire:
Les nombres A_(j)A_{j} sont positifs indépendants de G(x)G(x); on peut écrire:
A_(j)=(I)/([(P_(k)^(')(alpha_(j))]^(2))sum_(i=I)^(n)(|P_(k)(x_(i))|)/((x_(i)-alpha_(j)^(2))*(delta F)/(deltaz_(i))A_{j}=\frac{I}{\left[\left(P_{k}^{\prime}\left(\alpha_{j}\right)\right]^{2}\right.} \sum_{i=I}^{n} \frac{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|}{\left(x_{i}-\alpha_{j}^{2}\right.} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}
Dans le cas où les conditions précédentes ne sont pas vérifiées, la formule (3) ou bien n'est plus vraie pour G(x)\mathrm{G}(x) arbitraire, ou bien perd sa simplicité, les dérivées de G(x)G(x) s'introduisant. ◻\square
5. Polynomes de Tchebyscheff-Jackson sur nn points. On démontre facilement qu'il y a un et un seul polynome de degré kk
5. Polynomes de Tchebyscheff-Jackson sur nn points. On démontre facilement qu'il y a un et un seul polynome de degré kk
Pi_(k)(x)=x^(k)+dots\Pi_{k}(x)=x^{k}+\ldots
tel que
Max(lambda_(1)|Pi_(k)(x_(1))|,lambda_(2)|Pi_(k)(x_(2))|,dotslambda_(n)|Pi_(k)(x_(n))|^(1))\operatorname{Max}\left(\lambda_{1}\left|\Pi_{k}\left(x_{1}\right)\right|, \lambda_{2}\left|\Pi_{k}\left(x_{2}\right)\right|, \ldots \lambda_{n}\left|\Pi_{k}\left(x_{n}\right)\right|{ }^{1}\right) soit le plus petit possible.
Max(lambda_(1)|Pi_(k)(x_(1))|,lambda_(2)|Pi_(k)(x_(2))|,dotslambda_(n)|Pi_(k)(x_(n))|^(1))\operatorname{Max}\left(\lambda_{1}\left|\Pi_{k}\left(x_{1}\right)\right|, \lambda_{2}\left|\Pi_{k}\left(x_{2}\right)\right|, \ldots \lambda_{n}\left|\Pi_{k}\left(x_{n}\right)\right|{ }^{1}\right) soit le plus petit possible.
Prenons:
{:F(P(x,m);m)=sum_(i=1)^(n)(lambda_(i)^(m)|P(x_(i))|m)/(n)quad|m > 1,lambda_(i) < 0\left.F(P(x, m) ; m)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{i}^{m}\left|P\left(x_{i}\right)\right| m}{n} \quad \right\rvert\, m>1, \lambda_{i}<0
Soit P_(k,m)P_{k, m} le polynome minimisant de cette expression.
On démontre facilement que:
Le polynome P_(k),mP_{k}, m tend uniformément vers Pi_(k)\Pi_{k} pour m rarr oom \rightarrow \infty
Il résulte encore que:
On démontre facilement que:
Le polynome P_(k),mP_{k}, m tend uniformément vers Pi_(k)\Pi_{k} pour m rarr oom \rightarrow \infty
Il résulte encore que:
limroot(m)(F(P_(k),m;m))=ϱ_(k)\lim \sqrt[m]{F\left(P_{k}, m ; m\right)}=\varrho_{k}
où: quadϱ_(k)=Max(lambda_(1),|Pi_(k)(x_(1)),lambda_(2)|Pi_(k)(x_(2))|dotslambda_(n)|Pi_(k)(x_(n))∣)\quad \varrho_{k}=\operatorname{Max}\left(\lambda_{1},\left|\Pi_{k}\left(x_{1}\right), \lambda_{2}\right| \Pi_{k}\left(x_{2}\right)\left|\ldots \lambda_{n}\right| \Pi_{k}\left(x_{n}\right) \mid\right)
Paris, le 20 Juin 1929.
Paris, le 20 Juin 1929.
- Max ( a^(2),a^(2),dotsa_(n)a^{2}, a^{2}, \ldots a_{n} ) signifie la plus grande quantité ai.
- ^(1){ }^{1} ) C'est-à-dire que (z^(')_(1),dots,z^(')_(n)),(z^('')_(1),z^('')_(2),dotsz^('')_(n))\left(z^{\prime}{ }_{1}, \ldots, z^{\prime}{ }_{n}\right),\left(z^{\prime \prime}{ }_{1}, z^{\prime \prime}{ }_{2}, \ldots z^{\prime \prime}{ }_{n}\right) étant deux points du domaine (D)(D) nous avons:{:[F((z_(1)^(')+z_(1)^(''))/(2),(z_(2)^(')+z_(2)^(''))/(2),dots(z_(n)^(')+z_(n)^(''))/(2)) <= (1)/(2)(F(z_(1)^('),z_(2)^('),dotsz_(n)^('))+F(z_(1)^(''),z_(2)^(''),dotsz_(n)^('')))],[" et "quad F(z_(1)^('),z_(2)^('),dotsz_(n)^(')) <= F(z_(1)^(''),z_(2)^(''),dotsz_(n)^(''))" si "z_(i)^(') <= z_(i)^('')quad i=1","2","dots n]:}\begin{gathered} F\left(\frac{z_{1}^{\prime}+z_{1}^{\prime \prime}}{2}, \frac{z_{2}^{\prime}+z_{2}^{\prime \prime}}{2}, \ldots \frac{z_{n}^{\prime}+z_{n}^{\prime \prime}}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}\left(F\left(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots z_{n}^{\prime}\right)+F\left(z_{1}^{\prime \prime}, z_{2}^{\prime \prime}, \ldots z_{n}^{\prime \prime}\right)\right) \\ \text { et } \quad F\left(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots z_{n}^{\prime}\right) \leqslant F\left(z_{1}^{\prime \prime}, z_{2}^{\prime \prime}, \ldots z_{n}^{\prime \prime}\right) \text { si } z_{i}^{\prime} \leqslant z_{i}^{\prime \prime} \quad i=1,2, \ldots n \end{gathered}1'égalité n'etant possible que si z^(')_(i)=z^('')_(i)quad i=1,2,dots nz^{\prime}{ }_{i}=z^{\prime \prime}{ }_{i} \quad i=1,2, \ldots n. Dans le cas contraire