Sur certaines polynômes minimisants

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(Note présentée à l'Académie Roumaine par Mr. G. Țițeica, M. A. R.
I. Définition de la fonction $F(z_1,z_2,\dots z_n)$$F\left(z_1,z_2,\dots z_n\right)$F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right)$F(z_1,z_2,\dots z_n)$. La fonction réelle $F(z_1,z_2,\dots z_n)$$F\left(z_1,z_2,\dots z_n\right)$F(z_(1),z_(2),dotsz_(n))F\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right)$F(z_1,z_2,\dots z_n)$ de $n$$n$nn$n$ variables réelles $z_1,z_2,\dots z_n$$z_1,z_2,\dots z_n$z_(1),z_(2),dotsz_(n)z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}$z_1,z_2,\dots z_n$ est déterminée de la façon suivante:
I. Elle est définie dans le domaine

et est positive dans $(D)$$(D)$(D)(D)$(D)$.
2. Elle est nulle à l'origine:

Cette hypothèse n'est nullement essentielle mais elle est commode et ne restreint aucunement la géneralité du problème.
3. Elles est convexe dans $(D)$$(D)$(D)(D)$(D)$.
4. Elle est croissante dans $(D{)}^1$$(D{)}^1$(D)^(1)(D)^{1}$(D{)}^1$ ).

Il résulte que la fonction est continue dans $(D)$$(D)$(D)(D)$(D)$ et que si une variable $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$ tend vers l'infini $F$$F$FF$F$ tend également vers l'infini.
2. Définition et unicité du polynome minimisant. Nous considérons maintenant $n$$n$nn$n$ points distincts de l'axe réel:

et tous les polynomes de degré $k<n$$k<n$k < nk<n$k<n$ dont le coefficient de la plus haute puissance de $x$$x$xx$x$ est égal à $I$$I$II$I$ :

la fonction est non-concave respectivement non-décroissante.

Soit 1'expression:

nous avons alors la propriété suivante.
Il y a un et un seul polynome de degré $k<n$$k<n$k < nk<n$k<n$ pour lequel l'expression $F(P(x))$$F(P(x))$F(P(x))F(P(x))$F(P(x))$ atteint son minimum. C'est le polynome $P_k(x)$$P_k(x)$P_(k)(x)P_{k}(x)$P_k(x)$.

Le minimum trouvé est nul si $k=n$$k=n$k=nk=n$k=n$, mais non nul et par conséquent positif si $k<n$$k<n$k < nk<n$k<n$.

Les racines de l'équation:

jouissent de propriétés intéressantes. Nous trouvons $ϵ\mathrm{n}$$ϵ\mathrm{n}$epsilonn\epsilon \mathrm{n}$ϵ\mathrm{n}$ effet que:
I. Toutes les racines de l'équation (I) sont réelles et comprises dans l'intervalle fermé ( $x_1,x_n$$x_1,x_n$x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n}$x_1,x_n$ ).
2. Dans un intervalle ouvert ( $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$alpha,beta\alpha, \beta$\alpha ,\beta$ ) intérieur à ( $x_1,x_n$$x_1,x_n$x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n}$x_1,x_n$ ) et qui contient $i$$i$ii$i$ points $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ il y a au plus $i+I$$i+I$i+Ii+I$i+I$ racines.
3. Toute racine qui ne coïncide pas avec un point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ est simple.
4. Les points $x_1,x_n$$x_1,x_n$x_(1),x_(n)x_{1}, x_{n}$x_1,x_n$ peuvent éventuellement être racines, mais seulement simples, les points $x_2,x_2,\dots x_{n-}{}^{\prime }{}_1$$x_2,x_2,\dots x_{n-}{}^{\prime }{}_1$x_(2),x_(2),dotsx_(n-)^(')_(1)x_{2}, x_{2}, \ldots x_{n-}{ }^{\prime}{ }_{1}$x_2,x_2,\dots x_{n-}{}^{\prime }{}_1$ peuvent être des racines multiples mais l'ordre de multiplicité ne peut pas dépasser 2.

Si la fonction $F$$F$FF$F$ admet une dérivée partielle continue par rapport à $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$ et qui s'annule pour $z=0$$z=0$z=0z=0$z=0$ le point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ ne peut être une racine si $i=I,n$$i=I,n$i=I,ni=I, n$i=I,n$, et ne peut être qu'une racine simple si $i=2,3,\dots n-I$$i=2,3,\dots n-I$i=2,3,dots n-Ii=2,3, \ldots n-I$i=2,3,\dots n-I$.
3. Un cas particulier important. Supposons que 1a fonction $F$$F$FF$F$ admette des dérivées partielles secondes continues dans tout le domaine ( $D$$D$DD$D$ ). I1 résulte que les dérivées partielles du premier ordre sont toutes positives ou nulles, mais elles ne peuvent pas s'annuler toutes à Ta fois que à l'origine. Pour les dérivées secondes il résulte que la forme quadratique:

est définie et positive. On démontre maintenant la propriété suivante: Le polynome minimisant $P_k(x)$$P_k(x)$P_(k)(x)P_{k}(x)$P_k(x)$ satisfait aux équations.
(2) $\sum _{i=1}^n{x}_i^s\frac{\left|P_k\left(x_i\right)\right|}{P_k(xi)}\cdot \frac{\delta F}{\delta z_i}=0s=0,I,2,\dots k-I$$\sum _{i=1}^n x_i^s\frac{\left|P_k\left(x_i\right)\right|}{P_k(xi)}\cdot \frac{\delta F}{\delta z_i}=0s=0,I,2,\dots k-I$quadsum_(i=1)^(n)x_(i)^(s)(|P_(k)(x_(i))|)/(P_(k)(xi))*(delta F)/(deltaz_(i))=0quad s=0,I,2,dots k-I\quad \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{s} \frac{\left|P_{k}\left(x_{i}\right)\right|}{P_{k}(x i)} \cdot \frac{\delta F}{\delta z_{i}}=0 \quad s=0, I, 2, \ldots k-I$\sum _{i=1}^n{x}_i^s\frac{\left|P_k\left(x_i\right)\right|}{P_k(xi)}\cdot \frac{\delta F}{\delta z_i}=0s=0,I,2,\dots k-I$
les dérivées partielles étant prises au point

Il résulte que $Q_{k-1}(x)$$Q_{k-1}(x)$Q_(k-1)(x)Q_{k-1}(x)$Q_{k-1}(x)$ étant un polynome arbitraire de degré $k-I$$k-I$k-Ik-I$k-I$, on a:

qui est une sorte de propriété d'orthogonalité.
Le polynome $P_k(x)$$P_k(x)$P_(k)(x)P_{k}(x)$P_k(x)$ est le seul polynome de degré $k$$k$kk$k$ vérifiant les équations (2).
4. Propriétés analogues à la quadrature mécanique. Soit un polynome $\mathrm{G}(x)$$\mathrm{G}(x)$G(x)\mathrm{G}(x)$\mathrm{G}(x)$ de degré $2k-I$$2k-I$2k-I2 k-I$2k-I$ au plus. Soient ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_k$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_k$alpha_(1),alpha_(2),dotsalpha_(k)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k}${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_k$ les racines de l'équation (I). Nous avons la formule:

où:

Cette formule est vraie si:
I. Le polynome $P_k$$P_k$P_(k)P_{k}$P_k$ ne s'annule en aucun point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$;
2. En tout point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ où $P_k$$P_k$P_(k)P_{k}$P_k$ s'annule on a

En effet dans ce cas ces points sont exclus de la formule (3).
3. En tout point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ où $P_k$$P_k$P_(k)P_{k}$P_k$ s'annule on a en dehors de (4).

Dans ce cas la formule garde un sens précis.
Les nombres $A_j$$A_j$A_(j)A_{j}$A_j$ sont positifs indépendants de $G(x)$$G(x)$G(x)G(x)$G(x)$; on peut écrire:

Dans le cas où les conditions précédentes ne sont pas vérifiées, la formule (3) ou bien n'est plus vraie pour $\mathrm{G}(x)$$\mathrm{G}(x)$G(x)\mathrm{G}(x)$\mathrm{G}(x)$ arbitraire, ou bien perd sa simplicité, les dérivées de $G(x)$$G(x)$G(x)G(x)$G(x)$ s'introduisant. $◻$$◻$◻\square$◻$
5. Polynomes de Tchebyscheff-Jackson sur $n$$n$nn$n$ points. On démontre facilement qu'il y a un et un seul polynome de degré $k$$k$kk$k$

tel que
$\mathrm{Max}({\lambda }_1\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right)\right|,{\lambda }_2\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)\right|,\dots {\lambda }_n\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\right|{}^1)$$\mathrm{Max}\left({\lambda }_1\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right)\right|,{\lambda }_2\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)\right|,\dots {\lambda }_n\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\right|{}^1\right)$Max(lambda_(1)|Pi_(k)(x_(1))|,lambda_(2)|Pi_(k)(x_(2))|,dotslambda_(n)|Pi_(k)(x_(n))|^(1))\operatorname{Max}\left(\lambda_{1}\left|\Pi_{k}\left(x_{1}\right)\right|, \lambda_{2}\left|\Pi_{k}\left(x_{2}\right)\right|, \ldots \lambda_{n}\left|\Pi_{k}\left(x_{n}\right)\right|{ }^{1}\right)$\mathrm{Max}({\lambda }_1\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right)\right|,{\lambda }_2\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)\right|,\dots {\lambda }_n\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\right|{}^1)$ soit le plus petit possible.

Prenons:

Soit $P_{k,m}$$P_{k,m}$P_(k,m)P_{k, m}$P_{k,m}$ le polynome minimisant de cette expression.
On démontre facilement que:
Le polynome $P_k,m$$P_k,m$P_(k),mP_{k}, m$P_k,m$ tend uniformément vers ${\mathrm{\Pi }}_k$${\mathrm{\Pi }}_k$Pi_(k)\Pi_{k}${\mathrm{\Pi }}_k$ pour $m\to \mathrm{\infty }$$m\to \mathrm{\infty }$m rarr oom \rightarrow \infty$m\to \mathrm{\infty }$
Il résulte encore que:

où: ${\varrho }_k=\mathrm{Max}({\lambda }_1,|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right),{\lambda }_2|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)|\dots {\lambda }_n|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\mid )$${\varrho }_k=\mathrm{Max}\left({\lambda }_1,\left|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right),{\lambda }_2\right|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)\left|\dots {\lambda }_n\right|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\mid \right)$quadϱ_(k)=Max(lambda_(1),|Pi_(k)(x_(1)),lambda_(2)|Pi_(k)(x_(2))|dotslambda_(n)|Pi_(k)(x_(n))∣)\quad \varrho_{k}=\operatorname{Max}\left(\lambda_{1},\left|\Pi_{k}\left(x_{1}\right), \lambda_{2}\right| \Pi_{k}\left(x_{2}\right)\left|\ldots \lambda_{n}\right| \Pi_{k}\left(x_{n}\right) \mid\right)${\varrho }_k=\mathrm{Max}({\lambda }_1,|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_1\right),{\lambda }_2|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_2\right)|\dots {\lambda }_n|{\mathrm{\Pi }}_k\left(x_n\right)\mid )$
Paris, le 20 Juin 1929.