Note présentée par Mr. S. Stoilow, Mc. A. R. das la seance du 9 janvier 1912

Théorème 1. Toute fonction d'ordre n par segments et de caractéristique $h$$h$hh$h$ est au plus d'ordre ( $n\mid (h-1)(n+2)$$n\mid (h-1)(n+2)$n∣(h-1)(n+2)n \mid(h-1)(n+2)$n\mid (h-1)(n+2)$ ).

Soit $e=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$$e=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_m\right\}$e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}$e=\{x_1,x_2,\dots ,x_m\}$ une suite finie (et ordonnée) de l'ensemble E de définition de la fonction. On peut supposer que parmi ces points au plus $2(n+1)$$2(n+1)$2(n+1)2(n+1)$2(n+1)$ appartiennent à chacun des sous-ensembles $E_i^{\ast }$$E_i^{\ast }$E_(i)^(**)E_{i}^{*}$E_i^{\ast }$ de la décomposition canonique. Autrement, en effet, $e$$e$ee$e$ est certainement réductible.

Si nous avons $s>1,x_{j-1}\cdot \mathcal{E}{E}_i^{\ast },x_j,x_{j+1},\dots ,x_{j+n+s}\in E^{\ast }$$s>1,x_{j-1}\cdot \mathcal{E}{E}_i^{\ast },x_j,x_{j+1},\dots ,x_{j+n+s}\in E^{\ast }$s > 1,x_(j-1)*EE_(i)^(**),x_(j),x_(j+1),dots,x_(j+n+s)inE^(**)s>1, x_{j-1} \cdot \mathcal{E} E_{i}^{*}, x_{j}, x_{j+1}, \ldots, x_{j+n+s} \in E^{*}$s>1,x_{j-1}\cdot \mathcal{E}{E}_i^{\ast },x_j,x_{j+1},\dots ,x_{j+n+s}\in E^{\ast }$, $x_{j+n+s+1}\in L_{i+1}^{\ast }$$x_{j+n+s+1}\in L_{i+1}^{\ast }$x_(j+n+s+1)inL_(i+1)^(**)x_{j+n+s+1} \in L_{i+1}^{*}$x_{j+n+s+1}\in L_{i+1}^{\ast }$, la suite

ne présente pas de variations. Ceci nous montre que le cas le moins avantageux est si $m=h(n+2),x_{(i-1)(n+2)+j}\equiv E_{\mathbf{i}}^{\ast },j=1,2,\dots$$m=h(n+2),x_{(i-1)(n+2)+j}\equiv E_{\mathbf{i}}^{\ast },j=1,2,\dots$m=h(n+2),x_((i-1)(n+2)+j)-=E_(i)^(**),j=1,2,dotsm=h(n+2), x_{(i-1)(n+2)+j} \equiv E_{\mathbf{i}}^{*}, j=1,2, \ldots$m=h(n+2),x_{(i-1)(n+2)+j}\equiv E_{\mathbf{i}}^{\ast },j=1,2,\dots$, $n+2,i=1,2,\dots ,h$$n+2,i=1,2,\dots ,h$n+2,i=1,2,dots,hn+2, i=1,2, \ldots, h$n+2,i=1,2,\dots ,h$ et si la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de $e$$e$ee$e$ présente le nombre

maximum de variations possibles. En effet, si on ajoute encore des points à un tel e on n'élève pas le nombre des variations de la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$. La suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de $e$$e$ee$e$ a alors $h(n-2)-n-1$$h(n-2)-n-1$h(n-2)-n-1h(n-2)-n-1$h(n-2)-n-1$ termes et présente done au plus ( $h--1$$h--1$h--1h--1$h--1$ ) ( $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ ) variations.

Démontrons maintenant le
Théorème 9. Toute fonction dordre $n$$n$nn$n$ par segments et de caraetéristique $h$$h$hh$h$ est an moins dordre ( $n\mid h-1$$n\mid h-1$n∣h-1n \mid h-1$n\mid h-1$ ).

Nous faisons la démonstration par induction sur le nombre $h$$h$hh$h$. Pour $h=1$$h=1$h=1h=1$h=1$ la propriété est évidente car la fonction est alors d'ordre $n$$n$nn$n$ sur $E$$E$EE$E$. Pour $h=2$$h=2$h=2h=2$h=2$, la Fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ on pent done trouver denx differences divisées $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};i]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};i\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);i]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; i\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};i]$. $[.x^{\prime }{}_1,x^{\prime }{}_2,\dots ,x^{\prime }{}_{n+2};f]$$\left[.x^{\prime }{}_1,x^{\prime }{}_2,\dots ,x^{\prime }{}_{n+2};f\right]$[.x^(')_(1),x^(')_(2),dots,x^(')_(n+2);f]\left[. x^{\prime}{ }_{1}, x^{\prime}{ }_{2}, \ldots, x^{\prime}{ }_{n+2} ; f\right]$[.x^{\prime }{}_1,x^{\prime }{}_2,\dots ,x^{\prime }{}_{n+2};f]$ non mulles et de signes contraires. De la formule de la moyenne des différences divisées il résulte immédiatement que la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de la réunion des points $x_i,x_i^{\prime }$$x_i,x_i^{\prime }$x_(i),x_(i)^(')x_{i}, x_{i}^{\prime}$x_i,x_i^{\prime }$ présente au moins une variation.

Examinons le eas $h>2$$h>2$h > 2h>2$h>2$. Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à $h-1$$h-1$h-1h-1$h-1$ et démontrons - la pour $h$$h$hh$h$. La lonetion étant de caractéristique $h-1$$h-1$h-1h-1$h-1$ sur $E-E_h^{\ast }$$E-E_h^{\ast }$E-E_(h)^(**)E-E_{h}^{*}$E-E_h^{\ast }$ on peut trouver, par hypothèse, la suite $\{x_1,x_2,\dots ,x_r,x_{r+1},\dots ,x_{r+r^{\prime }}\},x_i\in E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast },i=1$$\left\{x_1,x_2,\dots ,x_r,x_{r+1},\dots ,x_{r+r^{\prime }}\right\},x_i\in E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast },i=1${x_(1),x_(2),dots,x_(r),x_(r+1),dots,x_(r+r^('))},x_(i)in E-E_(h)^(**)-E_(h-1)^(**),i=1\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r}, x_{r+1}, \ldots, x_{r+r^{\prime}}\right\}, x_{i} \in E-E_{h}^{*}-E_{h-1}^{*}, i=1$\{x_1,x_2,\dots ,x_r,x_{r+1},\dots ,x_{r+r^{\prime }}\},x_i\in E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast },i=1$, $2,\dots ,r,x_{r+i}\epsilon E_{h-1},i=1,2,\dots ,r^{\prime }$$2,\dots ,r,x_{r+i}\epsilon E_{h-1},i=1,2,\dots ,r^{\prime }$2,dots,r,x_(r+i)epsiE_(h-1),i=1,2,dots,r^(')2, \ldots, r, x_{r+i} \varepsilon E_{h-1}, i=1,2, \ldots, r^{\prime}$2,\dots ,r,x_{r+i}\epsilon E_{h-1},i=1,2,\dots ,r^{\prime }$ telle que la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ correspondante présente au moins $h-2$$h-2$h-2h-2$h-2$ variations. Il se peut, bien' entendu, que $r^{\prime }=0$$r^{\prime }=0$r^(')=0r^{\prime}=0$r^{\prime }=0$, alors tous les $x_i\epsilon E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast }$$x_i\epsilon E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast }$x_(i)epsi E-E_(h)^(**)-E_(h-1)^(**)x_{i} \varepsilon E-E_{h}^{*}-E_{h-1}^{*}$x_i\epsilon E-E_h^{\ast }-E_{h-1}^{\ast }$. La fonetions étant de caractéristique 2 sur $E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$$E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$E_(h-1)^(**)+E_(h)^(**)E_{h-1}^{*}+E_{h}^{*}$E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$, on peut trouver la suite $\{x_1,x_2,\dots ,x_s^{\prime },x_{s+1}^{\prime },\dots ,x_{s+s^{\prime }}^{\prime }\}$$\left\{x_1,x_2,\dots ,x_s^{\prime },x_{s+1}^{\prime },\dots ,x_{s+s^{\prime }}^{\prime }\right\}${x_(1),x_(2),dots,x_(s)^('),x_(s+1)^('),dots,x_(s+s^('))^(')}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}^{\prime}, x_{s+1}^{\prime}, \ldots, x_{s+s^{\prime}}^{\prime}\right\}$\{x_1,x_2,\dots ,x_s^{\prime },x_{s+1}^{\prime },\dots ,x_{s+s^{\prime }}^{\prime }\}$ telle que $x_i^{\prime }\epsilon E_{h-1}^{\ast },i=1,2,\dots ,s$$x_i^{\prime }\epsilon E_{h-1}^{\ast },i=1,2,\dots ,s$x_(i)^(')epsiE_(h-1)^(**),i=1,2,dots,sx_{i}^{\prime} \varepsilon E_{h-1}^{*}, i=1,2, \ldots, s$x_i^{\prime }\epsilon E_{h-1}^{\ast },i=1,2,\dots ,s$, $x_{s+i}^{\prime }\epsilon E_h^{\ast },i=1,2,\dots ,s^{\prime }$$x_{s+i}^{\prime }\epsilon E_h^{\ast },i=1,2,\dots ,s^{\prime }$x_(s+i)^(')epsiE_(h)^(**),i=1,2,dots,s^(')x_{s+i}^{\prime} \varepsilon E_{h}^{*}, i=1,2, \ldots, s^{\prime}$x_{s+i}^{\prime }\epsilon E_h^{\ast },i=1,2,\dots ,s^{\prime }$ et la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ correspondante présente au moins une variation. Ici $s\ge 1,s^{\prime }\ge 1,s+s^{\prime }\ge n+3$$s\ge 1,s^{\prime }\ge 1,s+s^{\prime }\ge n+3$s >= 1,s^(') >= 1,s+s^(') >= n+3s \geq 1, s^{\prime} \geq 1, s+s^{\prime} \geq n+3$s\ge 1,s^{\prime }\ge 1,s+s^{\prime }\ge n+3$ d'après la proprété qui caraée $\ge 0$$\ge 0$>= 0\geq 0$\ge 0$, d apres la propriete qui caracterise une decomposition propre. Parmi les points $x_i,x_i$$x_i,x_i$x_(i),x_(i)x_{i}, x_{i}$x_i,x_i$ appartenant à $E_{h-1}^{\ast }$$E_{h-1}^{\ast }$E_(h-1)^(**)E_{h-1}^{*}$E_{h-1}^{\ast }$ il y a $s^{\prime \prime }$$s^{\prime \prime }$s^('')s^{\prime \prime}$s^{\prime \prime }$ distincts, $r^{\prime }+s\geqq s^{\prime \prime }\geqq max(r^{\prime },s)$$r^{\prime }+s\geqq s^{\prime \prime }\geqq max\left(r^{\prime },s\right)$r^(')+s >= s^('') >= max(r^('),s)r^{\prime}+s \geqq s^{\prime \prime} \geqq \max \left(r^{\prime}, s\right)$r^{\prime }+s\geqq s^{\prime \prime }\geqq max(r^{\prime },s)$. Désignons par $e$$e$ee$e$ l'ensemble des $x_i,x_i$$x_i,x_i$x_(i),x_(i)x_{i}, x_{i}$x_i,x_i$ distincts appartenant à $E-E_h^{\ast }$$E-E_h^{\ast }$E-E_(h)^(**)E-E_{h}^{*}$E-E_h^{\ast }$ et par $e^{\prime }$$e^{\prime }$e^(')e^{\prime}$e^{\prime }$ l'ensemble des $x_i,x_i$$x_i,x_i$x_(i),x_(i)x_{i}, x_{i}$x_i,x_i$ distincts appartenant à $E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$$E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$E_(h-1)^(**)+E_(h)^(**)E_{h-1}^{*}+E_{h}^{*}$E_{h-1}^{\ast }+E_h^{\ast }$. La suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de la rémion de $e$$e$ee$e$ et $e^{\prime }$$e^{\prime }$e^(')e^{\prime}$e^{\prime }$ est
(1) ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f)\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+{\epsilon }^{\prime \prime }+s^{\prime }-n-1}(f)$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f)\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+{\epsilon }^{\prime \prime }+s^{\prime }-n-1}(f)$quadDelta_(n+1)^(1)(f),Delta_(n+1)^(2)(f)dots,Delta_(n+1)^(r+epsi^('')+s^(')-n-1)(f)\quad \Delta_{n+1}^{1}(f), \Delta_{n+1}^{2}(f) \ldots, \Delta_{n+1}^{r+\varepsilon^{\prime \prime}+s^{\prime}-n-1}(f)${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f)\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+{\epsilon }^{\prime \prime }+s^{\prime }-n-1}(f)$
et alors les suites $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de $e$$e$ee$e$ et de $e^{\prime }$$e^{\prime }$e^(')e^{\prime}$e^{\prime }$ sont
(2) ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+s^{\prime \prime }-n-1}(f)$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+s^{\prime \prime }-n-1}(f)$quadDelta_(n+1)^(1)(f),Delta_(n+1)^(2)(f),dots,Delta_(n+1)^(r+s^('')-n-1)(f)\quad \Delta_{n+1}^{1}(f), \Delta_{n+1}^{2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{r+s^{\prime \prime}-n-1}(f)${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^2(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+s^{\prime \prime }-n-1}(f)$,
(3) ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+3s^{\prime \prime }+3\prime -n-1}(f)$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+3s^{\prime \prime }+3\prime -n-1}(f)$quadDelta_(n+1)^(r+1)(f),Delta_(n+1)^(r+2)(f),dots,Delta_(n+1)^(r+3s^('')+3'-n-1)quad(f)\quad \Delta_{n+1}^{r+1}(f), \Delta_{n+1}^{r+2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{r+3 s^{\prime \prime}+3 \prime-n-1} \quad(f)${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+3s^{\prime \prime }+3\prime -n-1}(f)$
respectivement, La suite (2) présente an moins $h-2$$h-2$h-2h-2$h-2$ variations et la suite (3) au moins une variation. Si les suites (2), (3) n'ont pas de termes communs, la suite (1) présente au moins $h-1$$h-1$h-1h-1$h-1$ variations. Si $r^{\prime \prime }=s^{\prime \prime }-n-1\ge 1$$r^{\prime \prime }=s^{\prime \prime }-n-1\ge 1$r^('')=s^('')-n-1 >= 1r^{\prime \prime}=s^{\prime \prime}-n-1 \geq 1$r^{\prime \prime }=s^{\prime \prime }-n-1\ge 1$, les suites (2), (3) ont les termes communs ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+r^n}(j)$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+r^n}(j)$Delta_(n+1)^(r+1)(f),Delta_(n+1)^(r+2)(f),dots,Delta_(n+1)^(r+r^(n))(j)\Delta_{n+1}^{r+1}(f), \Delta_{n+1}^{r+2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{r+r^{n}}(j)${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+1}(f),{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+2}(f),\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{n+1}^{r+r^n}(j)$ et cette suite ne présente pas de

variations puisqu'elle est la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ d'une suite de points appartenant à $E_{h-1}^{\ast }$$E_{h-1}^{\ast }$E_(h-1)^(**)E_{h-1}^{*}$E_{h-1}^{\ast }$. Il en résalte encore que (1) présente an moins $h-1$$h-1$h-1h-1$h-1$ variations. Le théorème 2 est done démontsé.
3. Il reste à montrer que toute fonction d'ordre ( $n\mid k$$n\mid k$n∣kn \mid k$n\mid k$ ) est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments. Il suffira de démontrer que si la fonetion r'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments, elle n'est pas d'un ordre ( $n\mid$$n\mid$n∣n \mid$n\mid$ k) déterminé.

Démontrons d'abord le
Lemme 1. Si la fonction f n'est pas dordre n par segments sur $E$$E$EE$E$, on peut décomposer cet ensemble en dene sous-ensembles conséculijs $E^{(1)},E^{(2)}$$E^{(1)},E^{(2)}$E^((1)),E^((2))E^{(1)}, E^{(2)}$E^{(1)},E^{(2)}$ de manicre que:
$1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)1^{\circ}$1^{\circ }$ Sur l'un an moins des ensembles $E^{(1)},E^{(2)}$$E^{(1)},E^{(2)}$E^((1)),E^((2))E^{(1)}, E^{(2)}$E^{(1)},E^{(2)}$ la fonction $n^{\prime }$$n^{\prime }$n^(')n^{\prime}$n^{\prime }$ est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments.
$2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)2^{\circ}$2^{\circ }$ La fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ sur les ensembles $E^{(1)},E^{(2)}$$E^{(1)},E^{(2)}$E^((1)),E^((2))E^{(1)}, E^{(2)}$E^{(1)},E^{(2)}$.
II est chair que $E$$E$EE$E$ ne peul ètre un ensemble fini et que chacun des ensembles $E^{(1)},E^{(2)}$$E^{(1)},E^{(2)}$E^((1)),E^((2))E^{(1)}, E^{(2)}$E^{(1)},E^{(2)}$ doit avoir an moins $n+3$$n+3$n+3n+3$n+3$ points. La première partie est évidemment vraie pour toute décomposition en deux sous-ensembles consécutifs. Démontrons done la seconde partie. Soit $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ une décomposition de $E$$E$EE$E$ en deux sous-ensembles consécutifs, chacun des sous-ensembles ayant au moins $n+3$$n+3$n+3n+3$n+3$ points. Si la fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ sur $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ et sur $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ Ia propriété est démontrée et on peut prendre $E^{(1)}=E_1,E^{(2)}=E_2$$E^{(1)}=E_1,E^{(2)}=E_2$E^((1))=E_(1),E^((2))=E_(2)E^{(1)}=E_{1}, E^{(2)}=E_{2}$E^{(1)}=E_1,E^{(2)}=E_2$. Supposons le contraire, donc que sur l'un des ensembles $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ la fonction soit d'ordre $n$$n$nn$n$. Soit, pour fixer les idées, $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ cet ensemble. Alors $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ contient me infinité de points et la fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur cet ensemble. Soit $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ l'extrémité droite de l'ensemble des $x\in E$$x\in E$x in Ex \in E$x\in E$ tels que sur l'intersection de $E$$E$EE$E$ avec l'intervalle ( $a,c$$a,c$a,ca, c$a,c$ ) la fonction soit d'ordre $n$$n$nn$n$, a étant l'extrémité gauche de $E(\alpha =minE)$$E(\alpha =minE)$E(alpha=min E)E(\alpha=\min E)$E(\alpha =minE)$. L'ensemble des $x$$x$xx$x$ tels que $x_0>x\in E$$x_0>x\in E$x_(0) > x in Ex_{0}>x \in E$x_0>x\in E$ est alors inlini. II est clair qu'il existe un $x_1>x_0,x_1\epsilon E$$x_1>x_0,x_1\epsilon E$x_(1) > x_(0),x_(1)epsi Ex_{1}>x_{0}, x_{1} \varepsilon E$x_1>x_0,x_1\epsilon E$ tel que la fonetion ne soit pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur l'intersection de $E$$E$EE$E$ avec l'intervalle ( $x_1,b$$x_1,b$x_(1),bx_{1}, b$x_1,b$ ), $b$$b$bb$b$ étant l'extrémité droite de $E(b=maxE)$$E(b=maxE)$E(b=max E)E(b=\max E)$E(b=maxE)$. En prenant comme $E^{(2)}$$E^{(2)}$E^((2))E^{(2)}$E^{(2)}$ ce dernier ensemble et $E^{(1)}=E-E^{(2)}$$E^{(1)}=E-E^{(2)}$E^((1))=E-E^((2))E^{(1)}=E-E^{(2)}$E^{(1)}=E-E^{(2)}$ ]e lemme 1 est complètement démontré.

Nous pouvons maintenant démontrer le
Théorème 3. Si une fondion n'est pas d'ordre n par segments sur $E$$E$EE$E$ et si $k$$k$kk$k$ est un nombre naturel, on peut trouver une suite finie de $E$$E$EE$E$ dont la suile $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ présente au moins $k$$k$kk$k$ pariations.

Cette propriété démontre, évidemment, qu'une fonction qui n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments ne peut ètre d'un ordre ( $n\mid k$$n\mid k$n∣kn \mid k$n\mid k$ ) déterminé.

Passons à la démonstration du théorème. Soit $E^{(1)},E^{(2)}$$E^{(1)},E^{(2)}$E^((1)),E^((2))E^{(1)}, E^{(2)}$E^{(1)},E^{(2)}$ une décomposition de $E$$E$EE$E$ satisfaisant au lemme 1 . Désignons par $U^{(1)}$$U^{(1)}$U^((1))U^{(1)}$U^{(1)}$ l'un de ces sous-ensembles sur lequel la fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments et soit. $U_1$$U_1$U_(1)U_{1}$U_1$ l'autre sous-ensemble. Sur $U_1$$U_1$U_(1)U_{1}$U_1$ la fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$. Nous procédons de la mème manière avee $U(1)$$U(1)$U(1)U(1)$U(1)$. et nous en déduisons un $U_2\subset U^{(1)}$$U_2\subset U^{(1)}$U_(2)subU^((1))U_{2} \subset U^{(1)}$U_2\subset U^{(1)}$ sur lequel la fonction n'est pas.
d'ordre $n$$n$nn$n$, tel que sur $U^{(1)}-U_2=U^{(2)}$$U^{(1)}-U_2=U^{(2)}$U^((1))-U_(2)=U^((2))U^{(1)}-U_{2}=U^{(2)}$U^{(1)}-U_2=U^{(2)}$ elle ne soit pas d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments. De $U^{(2)}$$U^{(2)}$U^((2))U^{(2)}$U^{(2)}$ nous déduisons, de la même manière $U_3,U^{(3)}$$U_3,U^{(3)}$U_(3),U^((3))U_{3}, U^{(3)}$U_3,U^{(3)}$ et ainsi de suite. Si nous faisons $k$$k$kk$k$ fois cette opération, nous déduisons les sous-ensembles (sections de $E$$E$EE$E$ )
(4)

de $E$$E$EE$E$, qui sont disjoints et la fonction n'est d'ordre $n$$n$nn$n$ sur aucun de ces ensembles. Les ensembles (4), rangés dans un certain ordre

donnent une décomposition en sous-ensembles consécutifs de leur somme $U_1+U_2+\dots +U_k$$U_1+U_2+\dots +U_k$U_(1)+U_(2)+dots+U_(k)U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{k}$U_1+U_2+\dots +U_k$.

La fonction n'étant pas d'ordre $n$$n$nn$n$ sur les $U_i^{\ast }$$U_i^{\ast }$U_(i)^(**)U_{i}^{*}$U_i^{\ast }$, on peut trouver une suite finie $e_i\leqq U_i^{\ast }$$e_i\leqq U_i^{\ast }$e_(i) <= U_(i)^(**)e_{i} \leqq U_{i}^{*}$e_i\leqq U_i^{\ast }$ dont la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ présente au moins une variation $i=1,2,\dots ,k$$i=1,2,\dots ,k$i=1,2,dots,ki=1,2, \ldots, k$i=1,2,\dots ,k$. Il en résulte que la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ de $e=e_1+e_2+\dots +e_k$$e=e_1+e_2+\dots +e_k$e=e_(1)+e_(2)+dots+e_(k)e=e_{1}+e_{2}+\ldots+e_{k}$e=e_1+e_2+\dots +e_k$ présente au moins $k$$k$kk$k$ variations.

Le théorème 3 est donc démontré.
Il est clair qu'on peut obtenir une suite partielle de $e$$e$ee$e$ dont la suite $d_{n+1}$$d_{n+1}$d_(n+1)d_{n+1}$d_{n+1}$ présente exactement $k$$k$kk$k$ variations.

Remarque. Dans le cas particulier $n=-1$$n=-1$n=-1n=-1$n=-1$, il est clair que toute fonction de caractéristique $h$$h$hh$h$ est d'ordre ( $-1\mid h-1$$-1\mid h-1$-1∣h-1-1 \mid h-1$-1\mid h-1$ ) et réciproquement.
4. En nous rapportant aux résultats des notes précédentes, remarquons que si $n=-1$$n=-1$n=-1n=-1$n=-1$, toute suite maximisante et irréductible a $h$$h$hh$h$ termes, dont un appartient à chacun des $E_i^{\ast }$$E_i^{\ast }$E_(i)^(**)E_{i}^{*}$E_i^{\ast }$ de la décomposition canonique. Ce cas ne présente donc pas beaucoup de particularités. Au contraire pour $n\ge 0$$n\ge 0$n >= 0n \geq 0$n\ge 0$ nous pouvons faire d'intéressantes remarques sur les fonctions d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments. Nous allons d'abord examiner le cas $n=0$$n=0$n=0n=0$n=0$, donc le cas des fonctions monotones par segments.

Considérons une décomposition de $E$$E$EE$E$

pour une fonction $f$$f$ff$f$, monotone par segments et soient $a_i,b_i$$a_i,b_i$a_(i),b_(i)a_{i}, b_{i}$a_i,b_i$ les extrémités (gauche et droite) de $E_i,i=1,2,\dots ,m$$E_i,i=1,2,\dots ,m$E_(i),i=1,2,dots,mE_{i}, i=1,2, \ldots, m$E_i,i=1,2,\dots ,m$.

Nous allons considérer maintenant certaines suites finies $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$ de $E$$E$EE$E$ définies de la manière suivante:
$1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)1^{\circ}$1^{\circ }$ Si $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ a un seul point ce point appartient à $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$.
$2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)2^{\circ}$2^{\circ }$ Si $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ a au moins deux points, il a en commun avec $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$ exactement deux points $x_i,y_i$$x_i,y_i$x_(i),y_(i)x_{i}, y_{i}$x_i,y_i$. Si $a_i\epsilon E_i$$a_i\epsilon E_i$a_(i)epsiE_(i)a_{i} \varepsilon E_{i}$a_i\epsilon E_i$ on a $x_i=a_i$$x_i=a_i$x_(i)=a_(i)x_{i}=a_{i}$x_i=a_i$ et si $a_i$$a_i$a_(i)a_{i}$a_i$ n'appartient pas à $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ on a $x_i^{\prime }-a_i<\epsilon$$x_i^{\prime }-a_i<\epsilon$x_(i)^(')-a_(i) < epsix_{i}^{\prime}-a_{i}<\varepsilon$x_i^{\prime }-a_i<\epsilon$. Si $b_i\epsilon ,E_i$$b_i\epsilon ,E_i$b_(i)epsi,E_(i)b_{i} \varepsilon, E_{i}$b_i\epsilon ,E_i$ on a $y_i^{\prime }=b_i$$y_i^{\prime }=b_i$y_(i)^(')=b_(i)y_{i}^{\prime}=b_{i}$y_i^{\prime }=b_i$ et si $b_i$$b_i$b_(i)b_{i}$b_i$ n'appartient pas à $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ on prend $b_i-y_i<\epsilon$$b_i-y_i<\epsilon$b_(i)-y_(i) < epsib_{i}-y_{i}<\varepsilon$b_i-y_i<\epsilon$.
$3^{\circ }$$3^{\circ }$3^(@)3^{\circ}$3^{\circ }$. Le nombre positif $\epsilon$$\epsilon$epsi\varepsilon$\epsilon$ est assez petit pour que l'on ait $x_i^{\prime }<y_i^{\prime }$$x_i^{\prime }<y_i^{\prime }$x_(i)^(') < y_(i)^(')x_{i}^{\prime}<y_{i}^{\prime}$x_i^{\prime }<y_i^{\prime }$ et de phus $f\left(x_i^{\prime }\right)\ne f\left(y_i^{\prime }\right)$$f\left(x_i^{\prime }\right)\ne f\left(y_i^{\prime }\right)$f(x_(i)^('))!=f(y_(i)^('))f\left(x_{i}^{\prime}\right) \neq f\left(y_{i}^{\prime}\right)$f\left(x_i^{\prime }\right)\ne f\left(y_i^{\prime }\right)$ si la fonction ne se réduit pas à une constante sur $E_i(i=1,2,\dots ,m)$$E_i(i=1,2,\dots ,m)$E_(i)(i=1,2,dots,m)E_{i}(i=1,2, \ldots, m)$E_i(i=1,2,\dots ,m)$.

Si $E$$E$EE$E$ n'est pas borné à gauche ( $a_1=-\mathrm{\infty }$$a_1=-\mathrm{\infty }$a_(1)=-ooa_{1}=-\infty$a_1=-\mathrm{\infty }$ ), la condition $x_1-a_1<\epsilon$$x_1-a_1<\epsilon$x_(1)-a_(1) < epsix_{1}-a_{1}<\varepsilon$x_1-a_1<\epsilon$ doit ètre remplaçée par ${\dot{x}}_1<-\frac{1}{\epsilon }$${\dot{x}}_1<-\frac{1}{\epsilon }$x^(˙)_(1) < -(1)/(epsi)\dot{x}_{1}<-\frac{1}{\varepsilon}${\dot{x}}_1<-\frac{1}{\epsilon }$ et si $E$$E$EE$E$ n'est pas borné à droite ( $b_m=+\mathrm{\infty }$$b_m=+\mathrm{\infty }$b_(m)=+oob_{m}=+\infty$b_m=+\mathrm{\infty }$ ), la condition $b_m-y_m^{\prime }<\epsilon$$b_m-y_m^{\prime }<\epsilon$b_(m)-y_(m)^(') < epsib_{m}-y_{m}^{\prime}<\varepsilon$b_m-y_m^{\prime }<\epsilon$ doit être remplaçée par $y_m^{\prime }>\frac{1}{\epsilon }$$y_m^{\prime }>\frac{1}{\epsilon }$y_(m)^(') > (1)/(epsi)y_{m}^{\prime}>\frac{1}{\varepsilon}$y_m^{\prime }>\frac{1}{\epsilon }$. Il peut, bien entendu, arriver qu'il n'y ait qu'un seul $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$. Ceciarrive si $d_i,b_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$$d_i,b_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$d_(i),b_(i)inE_(i),i=1,2,dots,md_{i}, b_{i} \in E_{i}, i=1,2, \ldots, m$d_i,b_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$ et, en particulier, si $E$$E$EE$E$ est fini.

On voit done que $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$ contient deux sortes de points. Les points fixes, qui coincident avec une extrémité $a_i,b_i$$a_i,b_i$a_(i),b_(i)a_{i}, b_{i}$a_i,b_i$ et les points variables qui sont à une distance moindre que $\epsilon$$\epsilon$epsi\varepsilon$\epsilon$ de l'une des extrémités $a_{\mathit{i}},b_{\mathit{i}}$$a_{\mathit{i}},b_{\mathit{i}}$a_(i),b_(i)a_{\boldsymbol{i}}, b_{\boldsymbol{i}}$a_{\mathit{i}},b_{\mathit{i}}$.

Démontrons maintenant le
Lemme 2. Si les points pariables de es s'approchent des extrémités $a_i,b_i$$a_i,b_i$a_(i),b_(i)a_{i}, b_{i}$a_i,b_i$ correspondantes, le nombre des variations de la suite $d_1$$d_1$d_(1)d_{1}$d_1$ de $e_{\epsilon }$$e_{\epsilon }$e_(epsi)e_{\varepsilon}$e_{\epsilon }$ ne peut pas diminuer.