Sur certaines équations fonctionnelles definissant des polynômes

1. 1.
   • —

     Soit $f(x)$ une fonction définie dans l’intervalle fermé ( $a,b$ ), $a<b$, et vérifiant l’équation fonctionnelle linéaire

     Report issue for preceding element

pour tout $x$ et pour tout $h>0$ tels que $a\leq x,x+nh\leq b$, les $a_{i}$ étant des constantes.

A l’équation fonctionnelle (1) nous attachons l’équation caractéristique

Nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, que le polynome $F(z)$ ne soit pas rationnel par rapport à une puissance entière et positive de $z$.

Nous pouvons supposer $a_{0}\neq 0,a_{n}\neq 0$. On peut exprimer ces conditions en disant que l’équation (1) est de degré n. On voit facilement, en ajoutant convenablement des relations de la forme (1), que si une fonction $f(x)$ vérifie une équation fonctionnelle de degré $n$, elle vérifie également une équation de degré $n+m$, quel que soit l’entier positif $m$.

Nous dirons aussi que l’équation (1) est d’ordre $k$ lorsque 1 est une racine d’ordre $k$ de multiplicité de l’équation caractéristique.

Si $f(x)$ vérifie une équation de degré $n$ ot d’ordre $k$ elle vérifie "également une équation de degré $n+m$ et d’ordre au moins égal à $k$, quel que soit l’entier positif $m$.
2. - Pour que l’équation (1) soit d’ordre $k$ il faut et il suffit que

La fonction $x^{m}$ est une solution de l’équation (1) si $m=0,1,\ldots k-1$, mais $n$ en est pas une pour $m\geq k$ puisque

donc
L’équation fonctionnelle (1) est vérifiée par un polynome quelconque - de degré k-1, mais n’en est pas par un polynome dont le degré effectif dépasse $k-1$.

3 - Considérons le polynome $G_{p}(z)$ qui s’obtient par la formule

où $\alpha$ est une racine primitive d’ordre $p$ de l’unité.
Supposons que le polynome $F(z)$ vérifie l’identité

On a alors $F(z)=a_{0}(1-z)^{k}\prod_{i=1}^{n-k}\left(1-\rho_{1}z\right)$, où $\rho_{i}$ sont des racines, différentes de 1 , de l’unité. Si $p_{1}$ est racine d’ordre $p$ de l’unité on voit immédiatement que $\mathrm{G}_{\rho}(z)$ ne peut être identique à $a_{0}^{p-1}.\mathrm{F}(z)$.

Il en résulte qu’on peut toujours déterminer un nombre $p$ de manière qu’on ait
(3)
$\mathrm{G}.(z)\equiv\equiv a_{0}^{p-1}.\mathrm{F}(z)$
sauf dans le cas où $\mathrm{F}(z)=a_{0}(1-z)^{n}$.
La forme générale des polynomes $\mathrm{F}(z)$ vérifiant (2), ou la relation plus générale $\mathrm{G}_{p}(z)=a_{0}^{p-1}.\mathrm{F}(z)$, peut s’obtenir facilement, mais nous u’en avons pas besoin dans la suite.
4. - Revenons à l’équation (1) et supposons que l’ordre $k$ soit plus petit que n. La fonction $f(x)$ vérifie aussi l’équation fonctionnelle edont l’équation caractéristique est $\mathrm{G}_{p}(z)=0$, le nombre $p$ étant déterminé
de manière qu’on ait la relation (3). La fonction vérifié égalemenť l’équation fonctionnelle dont l’équation caractéristique est $\mathrm{G}_{p}(z)+\lambda\mathrm{F}(z)=0$, $\lambda$ étant une constante.

On peut déterminer la constante $\lambda\left[G_{\rho}^{(k)}(1)+\lambda F^{(k)}(1)=0\right]$ de mani-ère que cette dernière équation fonctionnelle soit d’ordre au moins égal à $k+1$. Nous en déduisons donc que

Si la fonction $f(x)$ vérifie l’équation (11), de degré $n$ et d’ordre $k$ : elle vérifie également une équation de degré $n$ ot d’ordre au moins égal. $\grave{a}k+1$.

La propriété relative au degré résulte de la remarque faite à la fin du Nr. 1.
5. - Il en résulte que si la fonction $f(x)$ vérifie l’équation (1) elle vérifie également une équation fonctionnelle d’ordre $n$ et de degré $n$.

Une équation (1) de degré et d’ordre $n$ est de la forme

et nous savons que, si $f(x)$ est supposée continue, la solution générale de cette équation est un polynome arbitraire de degré $n-1(1)$.

Nous en déduisons donc la propriété finale suivante :
La solution continue générale de l’équation (1) d’ordre k. est un, polynome arbitraire de degré $k-1$.

1. 6.
   • —

     Considérons maintenant une fonction $f(x,y)$ de deux variables $x$ et $y$, définie dans le rectangle $a\leq x\leq b,c\leq y\leq d$ et vérifiant l’équation fonctionnelle linéaire

     Report issue for preceding element

pour tout $x,y$ et pour tout $h>0,h^{\prime}>0$ tels que $a\leq x,x+nh\leq b_{\text{\penalty 10000\thinspace; }}$. $c\leq y,y+mh^{\prime}\leq d$, les $a_{i,j,}$ étant des constantes.
⁽¹⁾ On peut soumettre la fonction à des conditions plus genérales que : la continuité. Voir dans ma Thèse (Mathematica t. VIII sp. p. 57.) la généralisation d’un théorème de M. W. Sierrinski.

A cette équation nous attachons l’équation caractéristique

Définissons "d’abord le degré et l’ordre de l’équation fonctionnelle (4). Nous dinons que l’équation (4) est de degré $(n,m)$ si l’on a

Nous dirons que l’équation (4) est d’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) si l’équation $\mathrm{li}\mathrm{F}(z,t)=0$ admet la racine $z=1$ d’ordre $k$ de multiplicité, identiquement en $t$ et la racine $t=1$ d’ordre $k^{\prime}$ de multiplicité, identiquement en $z$. Le nombre $tk$ est donc tel qu’on ait

identiquement en $t$ et

pour au moins une valeur de $t$. En d’autres termes $k$ est le nombre de fois que les polynomes $F_{f}(z)$ contiennent en commun le facteur ( $1-z$ ).

Si $f(x,y)$ vérifie l’équation (4) de degré ( $n,m$ ) et d’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) elle vérifie aussi une équation de degré $\left(n+n_{1},m+m_{1}\right)$ et d’ordre au moins - égal à $\left(k,k^{\prime}\right)\left({}^{2}\right)$, quels que soient les entiers positifs ou nuls $n_{1}$ et $m_{1}$.
7. - Si la fonction $f(x,y)$ vérifie l’équation (4) d’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) elle vérifie aussi l’équation fonctionnelle dont l’équation caractéristique est $\mathrm{G}_{p}(z,t)=0$ où

« $\alpha$ étant encore une racine primitive d’ordre $p$ de l’unité.
La fonction vérifiera également l’équation fonctionnelle dont l’équation caractéristique est $\mathrm{G}_{p}(z,t)+\mathrm{H}(t)\mathrm{F}(z,t)=0,\mathrm{H}(t)$ étant un polynome en $t$.

On peut ohoisir le nombre $p$ de manière que

(2) L’ordre ( $k_{1},k_{1}^{\prime}$ ) est au moins égal à l’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) si $k_{1}\geq k,k_{1}\geq k^{\prime}$.
et alors on peut déterminer le polynome $\mathrm{H}(t)$ tel que la nouvelle équation fonctionnelle obtenue soit d’ordre au moins égal à ( $k+1,k^{\prime}$ )a. Le degré de cette équation est de la forme $\left(n^{\prime},m^{\prime}\right)$ où $n^{\prime}\leq n$.

Nous en déduisons donc la propriété suivante :
Si la fonction $f(x,y)$ vérifie l’équation (4) de degré ( $n,\dot{m}$ ) et : d’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) elle vérifie également une équation de degré ( $n,m^{\prime}$ ) et : d’ordre au moins égal à ( $k+1,k^{\prime}$ ).
8. - Nous en déduisons que $f(x,y)$ vérifie une équation de degré ( $n,m^{\prime}$ ) et d’ordre au moins égal à ( $n,k^{\prime}$ ).

nous arrivons à la propriété :
Si la fonction $f(x,y)$ vérifie l’équation (4) de degré ( $n,m$ ) elle : vérifie aussi une équation de degré ( $n,m^{\prime}$ ) et d’ordre ( $n,m^{\prime}$ ).

On montre exactement de la même manière que $f(x,y)$ vérifie. une équation de degré ( $n$ ’, $m$ ) et d’ordre ( $n$ ’, $m$ ).

Nous n’avons d’allzurs pas besoin de préciser les nombres : $n^{\prime}$ et $m^{\prime}$.
9. - Une équation (4) de degré $(n,m)$ et d’ordre $(n,m)$ est de : la forme

et nous savons que la solution continue générale de cette équation estu un pseudo-polynome d’ordre ( $n-1,m-1$ ), c’est-à-dire une fonction dela formo

les $A_{i}(y)$ étant des fonctions continues de $y\in t$ les $B_{i}(x)$ des fonctionscontinues de $x$ seul.

Il en résulte que la solution continuc générale de l’équation fonctionnelle (4) est un pseudo-polynome.
⁽³⁾ Voir : A. Marchaud „Sur les dérivées et les différences des fonctions de variables réelles". Voir aussi ma Thèse (Mathematica t. VIII) p. 65.
10. - Pour que $x^{r}y^{s}$ soit une solution de l’équation (4) il faut. que

Si ( $k,k^{\prime}$ ) est l’ordre de l’équation on voit immédiatement que : $x^{k}y^{m}$ et $x^{n}y^{k}$ ne peuvent être des solutions.

Si on cherche la condition pour que $x^{r}\mathrm{\penalty 10000\ A}(y)$ soit une solution on trouve que la fonction $\Lambda(y)$ doit vérifier les équations

Si $r\geq k\mathrm{\penalty 10000\ A}(y)$ est nécessairement un polynome de degré au plus égal à $m-1$ (ou bien elle est identiquement nulle) et si $r\geq n\mathrm{\penalty 10000\ A}(y)$ est un polynome de degré au plus égal à $k^{\prime}-1$. Lorsque $r=0,1,2,\ldots k-1$ la fonction $\mathrm{A}(y)$ peut être arbitraire. Les solutions de la forme $y^{s}\mathrm{\penalty 10000\ B}(x)$ jouissent des propriétés analogues. Donc,

La solution continue générale de l’équation fonctionnelle(4) d’ordre ( $k,k^{\prime}$ ) est la somme d’un pseudo-polynome d’ordre ( $k-1,k^{\prime}-1$ ) et d’un certain polynome de degré au plus égal à ( $n-1,m-1$ ) ( ⁴ ).

Il en résulte facilement de ce qui précède que la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (4) n’admette comme solutions continues que des polynomes est que cette équation soit d’ordre ( 0,0 ).
11. - Déterminons en particulier les équations de degré $(n,m)$ dont la solution générale continue est un polynome arbitraire de degré $(n-1,m-1)$.

On trouve immédiatement que ces équations ont pour équation caractéristique

où $F(z)$ est un polynome de degré $n$ en $z$ et $G(t)$ un polynome do degré $m$ en $t$. Ces deux polynomes doivent vérifier les inégalités $\mathrm{F}^{(i)}(1)\neq 0,\quad i=0,1,2,\ldots,n-1,\mathrm{G}^{(j)}(1)\neq 0,j=0,1,2,\ldots,m-1(-1)^{m}m!\mathrm{F}^{(n)}(1)+(-1)^{n}n!\mathrm{G}^{(m)}(1)\neq 0$.
( ⁴ ) Nous disons qu’un polynome est de degré ( $n,m$ ) s’il est de degré $n$ en $x$ et de degré $m$ en $y$. Un polynome est de degré au plus égal à ( $n,m$ ) s’il est de degré $\leq n$ en $x$ et de degré $\leq m$ en $y$.

Les inégalités $\mathrm{F}(1)\neq 0,\mathrm{G}(1)\neq 0$ expriment justement que l’équation est d’ordre ( 0,0 ).

La plus simples de ces équations est celle qui a l’équation caractéristique

Il en résulte donc que la solution continue générale de l’éguation fonctionnelle

est un polynome quelconque de degré ( $n-1,m-1$ ).
En particulier, la solution générale de l’équation

$a,b,c,d$ étant des constantes.
On voit aussi que la solution continue générale de l’équation

est un polynome arbitraire de degré $n-1$ par rapport à $x$ seul. Ce résultat peut d’ailleurs s’obtenir très simplement aussi d’une manière directe.

11 bis. - Nous pouvons trouver en général les équations (4) dont la solution continue est une fonction de $x$ seul. On voit qu’une telle équation doit être d’ordre $(1,0)$ au plus et ne pas admettre des solutions de Ja forme $x^{r}y$.
12. Cherchons encore les équations (4) dont la solution générale est un polynome de degré $n-1$ en $x$ et $y$. Il n’y a interêt à chercher que des équations symétriques c’est-à-dire des équations dont l’équation caractéristique présente une certaine symétrie par rapport à $z$ et $t$. On vérifie facilement que lé plus petit degré admissible est ( $n,n$ ). L’é-
quation caractéristique est alors de la forme

où $Q_{i}(z)$ est un polynome de degré $i$ en $z$. Ces polynomes doivent vérifier les inégalités

et les conditions de symétrie. $Q_{n}(1)\neq 0$ exprime justement que l’équation (4) est d’ordre ( 0,0 ).

En particularisant, on obtient diverses équations de la forme (4) dont la solution continue générale est un polynome arbitraire de degré n-1. Ainsi par exemple

qui correspondent aux cas

Pour $n=2$ on trouve que la solution continue générale des équations

ost $a+bx+cy$ où $a,b,c$ sont des constantes.
Parmi toutes ces équations il parrait que celle qui est la plus
simple correspond au cas $F(z,t)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}(1-t)^{i}(1-z)^{n-i}$. Pour $n==2,3$ on obtient ainsi les équations

1. 13.
   • —

     M. D. Pompéru s’est proposé de trouver les fonctions continues $f(x)$ définies dans ( $a,b$ ) et vérifiant l’égalité ( ⁵ ).

     Report issue for preceding element

pour tout $x$, et $y$ compris dans $(a,b)$. La solution en est un polynome du premier degré.

Nous nous proposons de généraliser ce problème.
Considérons une suite croissante de nombres donnés $\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots$ a $\lambda_{n}$ compris entre 0 et 1 et formons le polynome de Lagrange

en prenant $t_{i}=x+\lambda_{i}(y-x)$.
Ecrivons l’égalité entre les valeurs moyennes

ou bien, après une transformation simples,

⁽⁵⁾ D. Pompéto : „Sur une équation fonctionnelle qui s’introduit dans un problème de moyenne" G. R. t. 190 p. 1107.
où

Considérons maintenant l’équation fonctionelle (5). Par construcion, cette équation est vérifiée par un polynome de degré $n$.

Nous allons supposer maintenant que les nombres $\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda$ divisent rationnelement l’intervalle $(0,1)$.

On voit immédiatement que la fonction $f(x)$ doit vérifier l’équation fonctionnelle
$\sum_{i=0}^{n}\mu_{i}\left\{f\left(x+\lambda_{i}\frac{y-x}{2}\right)-2f\left[x+\lambda_{i}(y-x)\right]+f\left[\frac{x+y}{2}+\lambda_{i}\frac{y-x}{2}\right]\right\}=0_{\mathrm{a}}.$.
On en déduit que la solution continue générale de l’équation (5). est un polynome.
14. - La solution de l’équation (5) est en général un polynome. de degré $n$, mais il peut arriver qu’elle soit un polynome de degré plus grand. Par exemple si $n=0$ on peut déterminer la constante $\lambda_{0}$. de manière que la solution soit un polynome de degré un. On tombe ainsi sur l’équation de M. D. Pompéru. Si $n=1$ l’équation (5) peut avoir comme solution un polynome de degré 2 , mais alors ou bien elle ne se présente pas sous forme symétrique ou bien, la symétrie étant respectée, les constantes $\lambda_{0},\lambda_{1}$ ne sont pas rationnelles. Au contrairesi $n=2$ nous avons l’èquation très simple

qui a pour solution un polynome arbitraire de degré 3.
En général, dans le cas $\lambda_{l}=\frac{i}{n},i=0,1,2,\ldots,n$ l’équation (5) admet comme solution continue un polynome de degré $n$ si $n$ est impair et un polynome de degré $n+1$ si $n$ est pair.

A l’aide des formules qui donnent les coefficients $\mu_{i}$ on peut facilement trouver les conditions pour que l’équation (5) ait comme solution continue générale un polynome de degré $n+s$. Si nous posons

ces conditions s’écrivent

1. 15.
   • —

     L’équation de M. D. Pompéiu admet la généralisation suivante

     Report issue for preceding element

pour une fonction $f(x,y)$ de deux variables $x$ et $y$. définie et continue dans le rectangle $a\leq x\leq b,c\leq y\leq d$. On vérifie immédiatement que $f(x,y)$ satisfait à l’équation fonctionnelle

De ce que nous avons démontré au Nr. 11 il résulte que la solution générale de l’équation (6) est un polynome de degré (1,1).

Considérons le polynome d’interpolation

où

$\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n};\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m}$ étant deux suites croissantes de nombres compris entre 0 et 1.

L’égalité entre les valeurs moyennes
$\frac{1}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{t}}^{y_{2}}f(t,u)dtdu=\frac{1}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\mathrm{P}(t,u)dtdu$
nous donne l’équation fonctionnelle
(7) $\frac{1}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)}\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}f(t,u)dtdu=$

où

L’équation (7) est vérifiée par un polynome de degré $(n,m)$. Nous supposons encore que les nombres $\lambda_{i},\lambda_{j}^{\prime}$ sont rationnels. La fonction $f(x,y)$ doit satisfaire à l’équation fonctionnelle

Cette équation est de la forme (4). Elle est d’ordre (0,0). En général cette dernière propriété résulte du fait que toutes les quantités .

et toutes les quantités

me peuvent etre nulles. Il peut arriver que, pour certaines distribuitons particulière des nombres $\lambda_{i},\lambda_{f}^{\prime}$ la condition s’exprime d’une autre manière. On peut démontrer que dans tous les cas ces conditions reviennent aux précédentes ( ⁶ ).

On peut donc dire que la solution continue générale de l’équation (7) est un polynome.
16. - La solution de l’équation (7) est en général de degré ( $n,m$ ) mais elle peut être d’un degré plus grand. Tel est par exemple l’équation (6). En général, pour que la solution soit de degré ( $n+s,m+s^{\prime}$ ) al faut et il suffit que.

Ainsi dans le cas $\lambda_{I}=\frac{i}{n},\lambda_{/}^{\prime}=\frac{j}{m}$ la solution générale est de degré $\left(2\left\lceil\frac{n}{2}\right\rfloor+1,2\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+1\right)$.

Par exemple, la solution générale de l’équation