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Traduction en anglais du titre
On a theorem of Laguerre
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T. Popoviciu, Sur un théorème de Laguerre, Mathematica, 10 (1935), pp. 128-131 (in French)
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Mathematica
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Ce travail est une republication de: T. Popoviciu, Sur un théorème de Laguerre, Buletinul Soc. de Ştiinţe din Cluj, 8 (1934), pp. 1-4 (in French).
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SUR UN THEORÉME DE LAGUERRE
par
Tiberiu Popoviciu
Ancien élève de l'École Normale Superieure
Reçue le 31 janvier 1934.
-
- Considérons un polynome f(x)f(x) dont le degré est au moins: égal à n-1n-1.
Soit U(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x))\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right) le déterminant dont la ligne générale est
1x_(i)x_(i)^(2)dotsx_(i)^(n-2)f(x_(i))1 x_{i} x_{i}^{2} \ldots x_{i}^{n-2} f\left(x_{i}\right)
et posons V(x_(1),x_(2),dots,x_(n))=U(x_(1),x_(2),dots,x_(n);x^(n-1))\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; x^{n-1}\right) qui ost le déterminant de Van der Monde des quantités x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}.
Nous avons l'identité
(1) U(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x))=sum_(i=1)^(i=n)(-1)^(n-i)V(x_(1),x_(2),dots,x_(i-1),x_(i+1),dots,x_(n))f(x_(i))\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right)=\sum_{i=1}^{i=n}(-1)^{n-i} V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right) f\left(x_{i}\right) dont nous aurons besoin plus loin.
(1) U(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x))=sum_(i=1)^(i=n)(-1)^(n-i)V(x_(1),x_(2),dots,x_(i-1),x_(i+1),dots,x_(n))f(x_(i))\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right)=\sum_{i=1}^{i=n}(-1)^{n-i} V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right) f\left(x_{i}\right) dont nous aurons besoin plus loin.
Considérons le quotient
[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x)]=(U)/((x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x))).\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right]=\frac{\mathrm{U}}{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right)} .
Rappelons-nous maintenant qu'on dit que le polynome f(x)f(x) est convexe d'ordre ( n-2n-2 ) ( ^(1){ }^{1} ) dans l'intervalle ( a,ba, b ) si pour tout groupe de: nn points distincts x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} de cet intervalle on a l'inégalité
{:(2)[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f(x)] > 0:}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f(x)\right]>0 \tag{2}
\end{equation*}
Pour que le polynome f(x)f(x) soit convexe d'ordre ( n-2n-2 ) dans ( a,ba, b ) il faut et il suffit que f^((n-1))(x) >= 0f^{(n-1)}(x) \geq 0 dans cet intervalle. L'inégalité (2). aura lieu pour tout système de nn point non tous confondus.
2. - Soit maintenant P(x)=(1-x_(1)x)(1-x_(2)x)dots,(1-x_(n)x)\mathrm{P}(x)=\left(1-x_{1} x\right)\left(1-x_{2} x\right) \ldots,\left(1-x_{n} x\right) un polynome ayant tous ses zéros réels et considérons le développement
(3)
(3)
On sait que
(1)/(P(x))=S_(0)+S_(1)x+S_(2)x^(2)+cdots\frac{1}{\mathrm{P}(x)}=\mathrm{S}_{0}+\mathrm{S}_{1} x+\mathrm{S}_{2} x^{2}+\cdots
S_(m)=sumx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))dotsx_(n)^(i_(n))\mathrm{S}_{m}=\sum x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \ldots x_{n}^{i_{n}}
où la sommation est étendue pour toutes les valeurs entières nonnégatives de i_(1),i_(2),dots,i_(n)i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n} telles que i_(1)+i_(2)+cdots+i_(n)=mi_{1}+i_{2}+\cdots+i_{n}=m.
En particulier si x_(1)=x_(2)=dots=x_(n)=1x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}=1 on a
S_(m)=((n+n-1)/(m))=((m+n-1)/(n-1))\mathrm{S}_{m}=\binom{n+n-1}{m}=\binom{m+n-1}{n-1}
Décomposant en fractions simples le premier membre de (3) on a
(1)/(P(x))=-sum_(i=1)^(i=n)((-1)^(n-i)(V)(x_(1),x_(2),dots,x_(i-1),x_(i+1),dots,x_(n))x_(i)^(n-1))/((V)(x_(1),x_(2),dots,x_(n))(1-x_(i)x))\frac{1}{\mathrm{P}(x)}=-\sum_{i=1}^{i=n} \frac{(-1)^{n-i} \mathrm{~V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right) x_{i}^{n-1}}{\mathrm{~V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\left(1-x_{i} x\right)}
et tenant compte de (1) nous trouvons
(4)
(4)
S_(m)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n);x^(m+n-1)]\mathrm{S}_{m}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; x^{m+n-1}\right]
-
- Considérons l'équation de degré 2p2 p
F(z)-=a_(0)S_(k)+a_(1)S_(k+1)z dotsa_(2p)S_(2p+k)z^(2p)=0,quada_(2p) > 0\mathrm{F}(z) \equiv a_{0} \mathrm{~S}_{k}+a_{1} \mathrm{~S}_{k+1} z \ldots a_{2 p} \mathrm{~S}_{2 p+k} z^{2 p}=0, \quad a_{2 p}>0
Si nous posons
varphi(x)=x^(n+k-1)(a_(0)+a_(1)xz+a_(2)(xz)^(2)+cdots+a_(2p)(xz)^(2p))\varphi(x)=x^{n+k-1}\left(a_{0}+a_{1} x z+a_{2}(x z)^{2}+\cdots+a_{2 p}(x z)^{2 p}\right)
nous avons d'après (4)
F(z)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n);varphi(x)]\mathrm{F}(z)=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \varphi(x)\right]
Si nous remarquons que
varphi^((n-1))(x)=(n-1)!x^(k)[((k+n-1)/(n-1))a_(0)+((k+n)/(n-1))a_(1)xz+cdots+((k+n+2p-1)/(n-1))a_(2p)(xz)^(2p)]\varphi^{(n-1)}(x)=(n-1)!x^{k}\left[\binom{k+n-1}{n-1} a_{0}+\binom{k+n}{n-1} a_{1} x z+\cdots+\binom{k+n+2 p-1}{n-1} a_{2 p}(x z)^{2 p}\right]
nous pouvons énoncer les propriétés suivantes:
Si kk est pair et si le polynome
varphi^((n-1))(x)=(n-1)!x^(k)[((k+n-1)/(n-1))a_(0)+((k+n)/(n-1))a_(1)xz+cdots+((k+n+2p-1)/(n-1))a_(2p)(xz)^(2p)]\varphi^{(n-1)}(x)=(n-1)!x^{k}\left[\binom{k+n-1}{n-1} a_{0}+\binom{k+n}{n-1} a_{1} x z+\cdots+\binom{k+n+2 p-1}{n-1} a_{2 p}(x z)^{2 p}\right]
nous pouvons énoncer les propriétés suivantes:
Si kk est pair et si le polynome
{:(5)sum_(i=0)^(i=2p)((k+n+i-1)/(n-1))a_(i)z^(i):}\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{i=2 p}\binom{k+n+i-1}{n-1} a_{i} z^{i} \tag{5}
\end{equation*}
est non-négatif, le polynome
{:(6)sum_(i=0)^(i=2p)a_(i)S_(k+i)z^(i):}\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{i=2 p} a_{i} \mathrm{~S}_{k+i} z^{i} \tag{6}
\end{equation*}
est positif tant que les racines x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ne sont pas toutes égales.
Si kk est impair et si le polynome (5) est non-négatif le polynome (6) est positif tant que les racines x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont non-négatives et non toutes égales.
4. - Laguerre a démontré la proposition suivante:
4. - Laguerre a démontré la proposition suivante:
Si l'équation P(x)=0\mathrm{P}(x)=0 a toutes ses racines réelles le polynome
sum_(i=0)^(2p)S_(i)z^(i)\sum_{i=0}^{2 p} \mathrm{~S}_{i} z^{i}
est positif.
Supposons toujours que le théorème de Laguerre soit vrai quand tous les zéros du polynome P(x)\mathrm{P}(x) sont égaux. En d'autres termes le polynome
Supposons toujours que le théorème de Laguerre soit vrai quand tous les zéros du polynome P(x)\mathrm{P}(x) sont égaux. En d'autres termes le polynome
Q_(a,0)=sum_(i=1)^(2p)((alpha+i)/(alpha))z^(i)Q_{a, 0}=\sum_{i=1}^{2 p}\binom{\alpha+i}{\alpha} z^{i}
est positif pour alpha\alpha entier > 0>0.
Considérons le polynome plus général
Considérons le polynome plus général
Q_(a,beta)=sum_(i=0)^(2p)((alpha+3+i)/(alpha))z^(i),quad alpha,beta" entiers " >= 0.Q_{a, \beta}=\sum_{i=0}^{2 p}\binom{\alpha+3+i}{\alpha} z^{i}, \quad \alpha, \beta \text { entiers } \geq 0 .
La rélation de récurrence
Q_(a,beta)=Q_(a,beta-1)+Q_(a-1,beta)Q_{a, \beta}=Q_{a, \beta-1}+Q_{a-1, \beta}
et le fait que Q_(0,beta)Q_{0, \beta} est indépendant de beta(Q_(0,beta)=1+z+z^(2)+cdots+z^(2p))\beta\left(Q_{0, \beta}=1+z+z^{2}+\cdots+z^{2 p}\right) nous montrent que le polynome Q_(alpha,beta)Q_{\alpha, \beta} est positif.
Faisant donc a_(1)=a_(2)=cdots=a_(2p)=1a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{2 p}=1 dans (5) nous déduisons les propriétés suivantes:
Si kk est pair le polynome
(7)
(7)
sum_(i=0)^(2p)S_(k+i)z^(i)\sum_{i=0}^{2 p} \mathrm{~S}_{k+i} z^{i}
est certainement positif, tant que les racines x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ne sont pas toutes égales.
Si kk est impair, le polynome (7) est certainement positif tant que les racines x_(i)x_{i} sont non-négatives et non toutes égales.
5. - Posons
5. - Posons
sigma_(m)=(S^(m))/(((m+n-1)/(n-1))),quadM_(m)=root(m)(sigma_(m))\sigma_{m}=\frac{\mathrm{S}^{m}}{\binom{m+n-1}{n-1}}, \quad \mathrm{M}_{m}=\sqrt[m]{\sigma_{m}}
(1) Voir Lagumrre „Oeuvres" t. J. pag. 111.
M_(m)\mathrm{M}_{m} est donc une valeur moyenne.
Si
M_(m)\mathrm{M}_{m} est donc une valeur moyenne.
Si
p=1,quada_(i)=(((2)/(i)))/(((k+n+i-1)/(n-1))),quad1=0,1,2p=1, \quad a_{i}=\frac{\binom{2}{i}}{\binom{k+n+i-1}{n-1}}, \quad 1=0,1,2
Me polynome (5) est non-négatif, donc en supposant les x_(l)x_{l} non-négatifs mous avons aussi
sigma_(k)+2sigma_(k+1)x+sigma_(k+2)x^(2) >= 0\sigma_{k}+2 \sigma_{k+1} x+\sigma_{k+2} x^{2} \geq 0
"quel que soit kk et l'égalité n'étant possible que si tous les x_(i)x_{i} sont identiques.
Nous avens donc
{:[sigma_(k+1)^(2) <= sigma_(k)","sigma_(k+2)],[sigma_(0)=1","k=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sigma_{k+1}^{2} \leq \sigma_{k}, \sigma_{k+2} \\
\sigma_{0}=1, k=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
aet on peut alors énoncer la propriété suivante:
Si les x_(l)x_{l} sont non-négatifs on a la suite d'inégalités
Si les x_(l)x_{l} sont non-négatifs on a la suite d'inégalités
M_(1) <= M_(2) <= dots <= M_(m) <= dotsM_{1} \leq M_{2} \leq \ldots \leq M_{m} \leq \ldots
d’égalité entre deux termes consécutifs ne pouvant avoir lieu que si les x_(1)x_{1} sont tous identiques.
- ^((1)){ }^{(1)} Voir: T. Popoviciu „Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de: deux variables réelles" Thèse Paris 1933.