Sur l’Approximation des Solutions des Equations à l’aide des suites à éléments dans un espace de Banach

par
Ion Păvăloiu
(Cluj-Napoca)

Soit $X$ un espace de Banach et $Y$ un sepace linéaire normé.

On considère l’équation:

(1)

P\left(x\right)=\theta,

où $P:X\rightarrow Y$ et $\theta$ est l’élément nul de l’espace $Y$ .

Nous désignons par $\Sigma=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ , une suite à éléments dans l’espace $X$ et par $k$ un nombre naturel arbitraire.

Définition 1.

On dit que la suite $\Sigma$ a l’ordre $k$ par raport à l’application $P$ , s’il existe une constante non-négative $\rho$ qui ne dépend pas de $n$ , et telle que pour chaque $n=0,1,\ldots$ soient satisfaites les inégalités suivantes:

\left\|P\left(x_{n+1}\right)\right\|\leq\rho\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|% ^{k}

Définition 2.

On dit que la suite $\Sigma$ a l’ordre de convergence $k$ par rapport à l’application $P$ , si les conditions suivantes sont remplies:

a)

la suite $\Sigma$ a l’ordre $k$ par rapport à l’application $P$ ;
b)

la suite $\Sigma$ este convergente.

Si $S\in X$ est un ensemble à éléments dans l’espace $X$ , nous désignerons par $S^{\ast}=\int(S)$ , l’intérieur de cet ensemble.

Soit $s\geq 2$ un nombre naturel donné et $P$ l’approximation qui détermine l’équation (1).

Dans cette note nous chercherons des conditions imposées à l’application $P$ et à la suite $\Sigma$ , pour que la suite $\Sigma$ ait l’ordre de convergence $s$ par

rapport à l’application $P$ et de plus, si nous désignons par $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}$ , pour que nous ayons alor $P\left(\bar{x}\right)=\theta$ .

Par rapport au problème ci-dessus posé, on peut énoncer le résultat suivant.

Théorème 1.

Si la suite $\Sigma$ , l’application $P$ et le nombre réel et positif $\delta$ sont tels que pour chaque point $x\in Int\left(S\right)$ , où $S=\{x\in X:\left\|x-x_{0}\right\|\leq\delta\}$ , les conditions suivantes sont remplies:

i)

l’application $P$ admet des dérivées du type Fréchet, jusqu’a l’ordre $s$ $\left(s\geq 2\right)$ inclusivement, sur chaque point de l’ensenble $Int\left(S\right)$ et

$\sup_{x\in Int\left(S\right)}\big{\|}P^{\left(s\right)}\left(x\right)\big{\|}% \leq M<+\infty;$
ii)

Il existe une constante réelle et non-négative $\alpha,$ que ne dépend pas de $n$ , telle que les inégalités suivantes sont remplies

$\Big{\|}\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left(i\right)}\left(x_{n}\right)\left% (x_{n+1}-x_{n}\right)^{i}\Big{\|}\leq\alpha\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|^% {s},$

où $x_{n}\in\Sigma\cap S^{\ast},\ n=0,1,\ldots;$
iii)

Il existe une constante réelle et non-négative $\beta$ qui ne dépend pas de $n$ et telle que les inégalités suivantes sont remplies

$\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|\leq\beta\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|,$

où

$x_{n}\in\Sigma\cap S^{\ast},\qquad n=0,1,\ldots;$
iv)

les constantes $\alpha,\beta$ et les nombres réels $M$ et $\delta$ satisfont aux inégalités suivantes:

$\displaystyle\rho_{0}$ $\displaystyle=v\cdot\left\|P\left(x_{0}\right)\right\|<1\ \text{et\ }\tfrac{% \beta\rho_{0}}{\left(1-\rho_{0}\right)\cdot v}\leq\delta\ \text{o\`{u}}$

$\displaystyle v$ $\displaystyle=\big{(}\alpha+\tfrac{M\beta^{s}}{s!}\big{)}^{\frac{1}{s-1}},$

alors relativement à l’équation (1) et à la suite $\Sigma$ ont lieu des propriétés suivantes:

j)

la suite $\Sigma$ a l’ordre de convergence $s$ et si $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}$ , alors $P\left(\bar{x}\right)=\theta.$
jj)

$\bar{x}\in S$
jjj)

$\left\|\bar{x}_{n+1}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{\beta\rho_{0}^{s^{n}}}{v}$
jv)

$\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{\beta\rho_{0}^{s^{n}}}{v\left(1-\rho_{0% }^{s^{n}}\right)}$
v)

$\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|\leq\tfrac{\rho_{0}^{s^{n}}}{v}$

Démonstration.

Nous démontrerons en premier lieu que les éléments de la suite $\Sigma$ sont contenus en $S^{\ast},$ si les conditions du théorème énoncé sont remplies.

Pour $x_{1}\$ on a:

(2)

\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\leq\beta\left\|P\left(x_{0}\right)\right\|\leq% \tfrac{\beta v\left\|P\left(x_{0}\right)\right\|}{v}\leq\tfrac{\beta\rho_{0}}{% v}<\tfrac{\beta\rho_{0}}{v\left(1-\rho_{0}\right)}\leq\delta,

d’où il résulte que $x_{1}\in S^{\ast}$ . En effet, en utilisant la formule de Taylor généralisée on déduit

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{1}\right)\right\\|\leq$	$\displaystyle\Big{\\|}P\left(x_{1}\right)-\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left% (i\right)}\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)^{i}\Big{\\|}$
		$\displaystyle+\Big{\\|}\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left(i\right)}\left(x_{% 0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)^{i}\Big{\\|}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\tfrac{M}{s!}\left\\|x_{1}-x_{0}\right\\|^{s}+\alpha\left\\|P\left(x% _{0}\right)\right\\|^{s}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\big{(}\tfrac{M\beta^{s}}{s!}+\alpha\big{)}\cdot\left\\|P\left(x_{% 0}\right)\right\\|^{s},$

d’où on déduit:

(3)

\left\|P\left(x_{1}\right)\right\|\leq v^{s-1}\cdot\left\|P\left(x_{0}\right)% \right\|^{s}.

Nous supposons que les proprietés suivantes sont remplies:

1)

$x_{i}\in S^{\ast},\quad i=0,1,\ldots,n;$
2)

$\left\|x_{i}-x_{i-1}\right\|\leq\frac{\beta}{v}\cdot\rho_{0}^{s^{i-1}},\quad i% =1,2,\ldots,n;$
3)

$\left\|P\left(x_{i}\right)\right\|\leq v^{s-1}\|P\left(x_{i-1}\right)\|^{s},% \quad i=1,2,\ldots,n,$

et dans ces hypothèses nous démontrerons que:

x_{n+1}\in S^{\ast},\quad\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{\beta}{v}\rho_% {0}^{s^{n}}\quad\text{et\ }\left\|P\left(x_{n+1}\right)\right\|\leq v^{s-1}% \cdot\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|^{s}.

D’après ce que nous avons démonstré ci-dessus, il résulte que les propriétés 1)–3) sont vérifiées pour $i=1$ .

En multipliant par $v$ l’inégalité 3) et en désignent par $\rho_{i}=v\left\|P\left(x_{i}\right)\right\|,\ i=1,2,\ldots,n,$ nous déduisons facilement les inégalités:

(4)

\rho_{i}\leq\rho_{0}^{s^{i}},\qquad i=1,2,\ldots,n.

Des inégalités (4) et de iii) on déduit

(5)

\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|\leq\beta\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|=\tfrac% {\beta v\left\|p\left(x_{n}\right)\right\|}{v}\leq\tfrac{\beta\rho_{0}^{s^{n}}% }{v}.

De (5) on déduit:

\left\|x_{n+1}-x_{0}\right\|\leq\sum_{i=0}^{n}\left\|x_{i+1}-x_{i}\right\|\leq% \tfrac{\beta}{v}\sum_{i=0}^{n}\rho_{0}^{s^{i}}<\tfrac{\beta\rho_{0}}{v\left(1-% \rho_{0}\right)}\leq\delta

d’où il résulte $x_{n+1}\in S^{\ast}$ .

L’inégalité 2) pour $i=n+1$ résulte de (5).

Pour la dernière inégalité on a:

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{n+1}\right)\right\\|\leq$	$\displaystyle\Big{\\|}P\left(x_{n+1}\right)-\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{% \left(i\right)}(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})^{i}\Big{\\|}$
		$\displaystyle+\Big{\\|}\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left(i\right)}\left(x_{% n}\right)\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{i}\Big{\\|}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\big{(}\alpha+\tfrac{M\beta^{s}}{s!}\big{)}\cdot\left\\|P\left(x_{% n}\right)\right\\|=v^{s-1}\left\\|P\left(x_{n}\right)\right\\|^{s}.$

Par conséquent les propriétés 1)–3) sont remplies pour chaque $n=1,2,\ldots$

La propriété 3) montre que la suite $\Sigma$ a l’ordre $s$ .

Nous démontrerons dans ce qui suit que la suite $\Sigma$ est convergente. Pour ce faire nous démontrerons d’abord que la suite $\Sigma$ est fondamentale.

Soient $n$ et $p$ deux nombres naturels.

On a:

(6)

\left\|x_{n+p}-x_{n}\right\|\leq\sum_{i=n}^{n+p-1}\left\|x_{i+1}-x_{n}\right\|% \leq\tfrac{\beta}{v}\sum_{i=n}^{n+p-1}\rho_{0}^{s^{i}}\leq\tfrac{\beta\rho_{0}% ^{s^{n}}}{v\left(1-\rho_{0}^{s^{n}}\right)}.

De l’inégalité (6) il résulte que $\Sigma$ este convergente.

Soit $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n},$ alors de (6) il résulte l’inégalité:

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{\rho_{0}^{s^{n}}}{v\left(1-\rho_{0}^{s^% {n}}\right)},\qquad n=0,1,\ldots

Il en résulte que $\bar{x}\in S$ et nous avons aussi obtenu l’inégalité jv). L’inégalité jjj) résulte de (6) pour $p=1$ .

Il reste à démontrer que $\bar{x}$ est la solution de l’équation (1).

Nous avons prouvé que l’inégalité (4) est vraie pour chaque $n=0,1,\ldots$ . Alors on obtient:

\lim_{n\rightarrow\infty}\rho_{n}=0

mais $\rho_{n}=v\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|$ et donc $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\left(x_{n}\right)=P\left(\bar{x}\right)=\theta$ .

Ceci achève la démonstration du théorème. ∎

Bibliographie

[1] Ghinea, M., Sur la résolution des équations operationnelles dans les espaces de Banach, Revue Francaise de traitement de l’information, 8, 3–22, (1965).
[2] Păvăloiu, I., ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ Sur les procédés iteratifs a un ordre élevé de convergence, Mathematica, 12 (35), 2, 309–324, (1970).
[3] Traub, J. F., Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs N. J. (1964).

Recu le 30.VI. 1976

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{1}\right)\right\\|\leq$	$\displaystyle\Big{\\|}P\left(x_{1}\right)-\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left% (i\right)}\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)^{i}\Big{\\|}$
		$\displaystyle+\Big{\\|}\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left(i\right)}\left(x_{% 0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)^{i}\Big{\\|}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\tfrac{M}{s!}\left\\|x_{1}-x_{0}\right\\|^{s}+\alpha\left\\|P\left(x% _{0}\right)\right\\|^{s}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\big{(}\tfrac{M\beta^{s}}{s!}+\alpha\big{)}\cdot\left\\|P\left(x_{% 0}\right)\right\\|^{s},$

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{n+1}\right)\right\\|\leq$	$\displaystyle\Big{\\|}P\left(x_{n+1}\right)-\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{% \left(i\right)}(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})^{i}\Big{\\|}$
		$\displaystyle+\Big{\\|}\sum_{i=0}^{s-1}\tfrac{1}{i!}P^{\left(i\right)}\left(x_{% n}\right)\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{i}\Big{\\|}$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\big{(}\alpha+\tfrac{M\beta^{s}}{s!}\big{)}\cdot\left\\|P\left(x_{% n}\right)\right\\|=v^{s-1}\left\\|P\left(x_{n}\right)\right\\|^{s}.$

On the approximation of the solutions of equations in Banach spaces by sequences

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