par

Soit $E$$E$E$E$ un ensemble de points sur l'axe réelle et $f_n$$f_n$f_(n)$f_n$ un ensemble de fonctions réelles et d'une variable réelle. Dans [3] nous avons donné la

Définition 1. L'ensemble ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ s'appelle interpolatoire d'ordre $n$$n$n$n$ sur $E$$E$E$E$ ou simplement ensemble du type $I_n\{E\}$$I_n\{E\}$I_(n){E}$I_n\{E\}$ si :
(A) Les éléments de ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ sont des fonctions continues sur $E$$E$E$E$.
(B) Quels que soient les $n$$n$n$n$ points distincts de $E$$E$E$E$
(1)

et quels que soient les $n$$n$n$n$ nombres
(2)

il existe une fonction et une seule $\phi (x)\in {\mathcal{F}}_n$$\phi (x)\in {\mathcal{F}}_n$varphi(x)inF_(n)$\phi (x)\in {\mathcal{F}}_n$, tel que l'ont ait

Pour mettre en évidence les conditions (3) et l'ensemble ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$, nous employons pour la fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$ qui vérifie les conditions (3) la notation
et aussi

lorsque $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ est une fonction qui prend les valeurs (2) aux points correspondants (1).

Considérons un système de $n+1$$n+1$n+1$n+1$ points distincts de l'ensemble $E$$E$E$E$

et une fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ définie sur ces points. Nous utiliserons la notation

Définition 2. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$, définie sur l'ensemble $E$$E$E$E$, esl dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe, ou concave par rapport à $f_n$$f_n$f_(n)$f_n$, sur l'ensemble $E$$E$E$E$, suivant que

pour tout système de $n+1$$n+1$n+1$n+1$ points $x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1)$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$ de l'ensemble $E$$E$E$E$.
C'est la définition de la convexité que nous avons donnée aussi dans [3].
Définition 3. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$, définic sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ est dite n-valente par rapport à l'ensemble ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ du lype $I_n\{[a,b]\}$$I_n\{[a,b]\}$I_(n){[a,b]}$I_n\{[a,b]\}$, si pour chaque fonction $g(x)\in {\mathcal{F}}_n$$g(x)\in {\mathcal{F}}_n$g(x)inF_(n)$g(x)\in {\mathcal{F}}_n$, la différence $f(x)-g(x)$$f(x)-g(x)$f(x)-g(x)$f(x)-g(x)$ s'annule sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ sur au plus n points.

Nous avons démontré dans [3] que la condition nécessaire et suffisant pour qu'une fonction continue sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ soit convexe ou concave sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ par rapport à l'ensemble ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ du type $I_n\{[a,b]\}$$I_n\{[a,b]\}$I_(n){[a,b]}$I_n\{[a,b]\}$, est qu'elle soit $n$$n$n$n$ valente sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ par rapport à l'ensemble ${\mathcal{f}}_n$${\mathcal{f}}_n$f_(n)${\mathcal{f}}_n$.

Dans le travail cité [3] nous avons donné plusieurs propriétés qui résultent des définitions que nous avons répété ici. Le but du présent travail est d'étudier pour des cas particuliers les conditions suffisantes pour qu'un ensemble de fonctions soit interpolatoir d'ordre donné sur un ensemble donné de points. Nous faisons ici seulement une introduction à cet étude.
2. Définition 4. L'ensemble $M_n$$M_n$M_(n)$M_n$ des fonctions continues sur l'intervalle $I$$I$I$I$, s'appelle du type $K_n\{I\}$$K_n\{I\}$K_(n){I}$K_n\{I\}$ si : $1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)$1^{\circ }$ pour chaque système (1) de $n$$n$n$n$ points distincts et pour chaque système (2) de n nombres il existe dans l'ensemble $M_n$$M_n$M_(n)$M_n$ au moins une fonction $\psi (x)$$\psi (x)$psi(x)$\psi (x)$, tel que l'on ait $\psi \left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n$$\psi \left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n$psi(x_(i))=y_(i),i=1,2,dots,n$\psi \left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n$; $2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)$2^{\circ }$ la différence de deux fonctions quelconques de l'ensemble $M_n$$M_n$M_(n)$M_n$ ne peut s'annuler sur aucun sous-intervalle de $I$$I$I$I$.

Il est clair qu'on peut construire des exemples d'ensembles du type $K_n\{I\}$$K_n\{I\}$K_(n){I}$K_n\{I\}$. Soit par exemple $n=1$$n=1$n=1$n=1$ et considérons l'ensemble $M_1$$M_1$M_(1)$M_1$ dont les éléments sont les polynomes de la forme $\alpha x,\alpha$$\alpha x,\alpha$alpha x,alpha$\alpha x,\alpha$ variable, et les fonctions constantes. Soit $I$$I$I$I$ un intervalle contenant l'origine. L'ensemble $M_1$$M_1$M_(1)$M_1$ est du type $K_1\{I\}$$K_1\{I\}$K_(1){I}$K_1\{I\}$ mais il n'est pas du type $I_1\{I\}$$I_1\{I\}$I_(1){I}$I_1\{I\}$.
3. Définition 5. Soit fo un ensemble de fonctions définies sur un intervalle I. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ définie sur I, s'appelle positive n-valente (négative n-valente) par rapport à l'ensemble $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$F$\mathcal{F}$, si : $1^{\circ }f(x)$$1^{\circ }f(x)$1^(@)f(x)$1^{\circ }f(x)$ est n-valente par rapport à $F$$F$F$F$ au sens de la définition $3;2^{\circ }\phi (x)$$3;2^{\circ }\phi (x)$3;2^(@)varphi(x)$3;2^{\circ }\phi (x)$ étant un élément quelconque de l'ensemble $\mathcal{f}$$\mathcal{f}$f$\mathcal{f}$, les relations $f\left(x_i\right)-\phi \left(x_i\right)=0i=1,2,\dots ,n$$f\left(x_i\right)-\phi \left(x_i\right)=0i=1,2,\dots ,n$f(x_(i))-varphi(x_(i))=0quad i=1,2,dots,n$f\left(x_i\right)-\phi \left(x_i\right)=0i=1,2,\dots ,n$ pour $x_1<x_2<\dots <x_n,x_n$$x_1<x_2<\dots <x_n,x_n$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n),x_(n)$x_1<x_2<\dots <x_n,x_n$ étant à l'intérieur de $I$$I$I$I$, ont comme conséquence l'inégalité $f(x)-\phi (x)>0(f(x)-\phi (x)<0)$$f(x)-\phi (x)>0(f(x)-\phi (x)<0)$f(x)-varphi(x) > 0(f(x)-varphi(x) < 0)$f(x)-\phi (x)>0(f(x)-\phi (x)<0)$ pour $x>x_n$$x>x_n$x > x_(n)$x>x_n$, $x$$x$x$x$ e $I$$I$I$I$.

On peut observer que dans le cas d'un ensemble of du type $I_n\{I\}$$I_n\{I\}$I_(n){I}$I_n\{I\}$, la positive $n$$n$n$n$-valence est équivalente avec la convexité et la négative $n$$n$n$n$-valence avec la concavité de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ par rapport à $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$F$\mathcal{F}$. Mais la notion de positive $n$$n$n$n$-valence (négative $n$$n$n$n$-valence) intervient même si l'ensemble F n'est pas du type $I_n\{I\}$$I_n\{I\}$I_(n){I}$I_n\{I\}$. Soit par exemple, $(f$$(f$(f$(f$ un ensemble dont les éléments sont des fonctions convexes sur $I$$I$I$I$ par rapport à un autre ensemble ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ du type $I_n\{I\}$$I_n\{I\}$I_(n){I}$I_n\{I\}$. Alors chaque fonction de ${\mathcal{F}}_n$${\mathcal{F}}_n$F_(n)${\mathcal{F}}_n$ est négative $n$$n$n$n$-valente sur 1 par rapport à $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$F$\mathcal{F}$. Soit par exemple of l'ensemble des polynomes de la forme $\alpha x^2+\beta x+\gamma$$\alpha x^2+\beta x+\gamma$alphax^(2)+beta x+gamma$\alpha x^2+\beta x+\gamma$ où $\alpha >0$$\alpha >0$alpha > 0$\alpha >0$. Chaque polynome du premier degré est négative $n$$n$n$n$-valente par rapport à cet ensemble $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$F$\mathcal{F}$.
4. THEOREME 1. Soil $L_2$$L_2$L_(2)$L_2$ un ensemble linéaire du type $K_2\{[a,b]\}$$K_2\{[a,b]\}$K_(2){[a,b]}$K_2\{[a,b]\}$. S'il existe une fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$, continue sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, négative bivalente par rapport à ${\mathcal{L}}_2$${\mathcal{L}}_2$L_(2)${\mathcal{L}}_2$ et $\phi (x)>0$$\phi (x)>0$varphi(x) > 0$\phi (x)>0$ pour $x\in (a,b)$$x\in (a,b)$x in(a,b)$x\in (a,b)$, alors l'ensemble ${\mathcal{L}}_2$${\mathcal{L}}_2$L_(2)${\mathcal{L}}_2$ est du type $I_2\{[a,b)\}$$I_2\{[a,b)\}$I_(2){[a,b)}$I_2\{[a,b)\}$.

Pour la démonstration, admettons les hypothèses de l'énoncé et supposons que l'ensemble ${\mathcal{L}}_2$${\mathcal{L}}_2$L_(2)${\mathcal{L}}_2$ ne soit pas du type $I_2\{[a,b)\}$$I_2\{[a,b)\}$I_(2){[a,b)}$I_2\{[a,b)\}$. Soit $M_1(x_1,y_1)$$M_1(x_1,y_1)$M_(1)(x_(1),y_(1))$M_1(x_1,y_1)$, $M_2(x_2,y_2)$$M_2(x_2,y_2)$M_(2)(x_(2),y_(2))$M_2(x_2,y_2)$ deux points tel que $x_1<x_2$$x_1<x_2$x_(1) < x_(2)$x_1<x_2$ et $x_1,x_2\in [a,b)$$x_1,x_2\in [a,b)$x_(1),x_(2)in[a,b)$x_1,x_2\in [a,b)$. Supposons qu'il existe deux fonctions distinctes $g_1(x),g_2(x)\in {\mathcal{L}}_2$$g_1(x),g_2(x)\in {\mathcal{L}}_2$g_(1)(x),g_(2)(x)inL_(2)$g_1(x),g_2(x)\in {\mathcal{L}}_2$ et $g_1\left(x_1\right)=g_2\left(x_1\right)=y_1$$g_1\left(x_1\right)=g_2\left(x_1\right)=y_1$g_(1)(x_(1))=g_(2)(x_(1))=y_(1)$g_1\left(x_1\right)=g_2\left(x_1\right)=y_1$, $g_1\left(x_2\right)=g_2\left(x_2\right)=y_2$$g_1\left(x_2\right)=g_2\left(x_2\right)=y_2$g_(1)(x_(2))=g_(2)(x_(2))=y_(2)$g_1\left(x_2\right)=g_2\left(x_2\right)=y_2$. La différence $g(x)=g_1(x)-g_2(x)$$g(x)=g_1(x)-g_2(x)$g(x)=g_(1)(x)-g_(2)(x)$g(x)=g_1(x)-g_2(x)$ est une fonction de l'ensemble $L_2$$L_2$L_(2)$L_2$ qui s'annule sur deux points $x_1<x_2$$x_1<x_2$x_(1) < x_(2)$x_1<x_2$. L'existence d'un intervalle $[\alpha ,\beta ]\subseteq [x_1,x_2]$$[\alpha ,\beta ]\subseteq [x_1,x_2]$[alpha,beta]sube[x_(1),x_(2)]$[\alpha ,\beta ]\subseteq [x_1,x_2]$ tel que $g(x)\ne 0$$g(x)\ne 0$g(x)!=0$g(x)\ne 0$ pour $x\in (\alpha ,\beta )$$x\in (\alpha ,\beta )$x in(alpha,beta)$x\in (\alpha ,\beta )$ et $g(\alpha )==g(\beta )=0$$g(\alpha )==g(\beta )=0$g(alpha)==g(beta)=0$g(\alpha )==g(\beta )=0$, est assurée*. On peut supposer, à cause de la linéarité de l'ensemble ${\mathcal{L}}_2$${\mathcal{L}}_2$L_(2)${\mathcal{L}}_2$, que $g(x)>0$$g(x)>0$g(x) > 0$g(x)>0$ pour $x\in (\alpha ,\beta )$$x\in (\alpha ,\beta )$x in(alpha,beta)$x\in (\alpha ,\beta )$. Le nombre $c$$c$c$c$ peut être choisi de manière que la différence $\phi (x)-cg(x)$$\phi (x)-cg(x)$varphi(x)-cg(x)$\phi (x)-cg(x)$ s'annule sur deux points $x_1^{\prime }<x_2^{\prime },x_2^{\prime }<\beta$$x_1^{\prime }<x_2^{\prime },x_2^{\prime }<\beta$x_(1)^(') < x_(2)^('),quadx_(2)^(') < beta$x_1^{\prime }<x_2^{\prime },x_2^{\prime }<\beta$ et $\phi (x)>cg(x)$$\phi (x)>cg(x)$varphi(x) > cg(x)$\phi (x)>cg(x)$ pour $x>x_2^{\prime }$$x>x_2^{\prime }$x > x_(2)^(')$x>x_2^{\prime }$. Mais c'est en contradiction avec l'hypothèse faite sur la fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$.
théoreme 2. Soit ${\mathcal{L}}_n$${\mathcal{L}}_n$L_(n)${\mathcal{L}}_n$ un ensemble linéaire du type $K_n\{[a,b]\}$$K_n\{[a,b]\}$K_(n){[a,b]}$K_n\{[a,b]\}$, $n>2$$n>2$n > 2$n>2$. S'il existe une fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$, continue sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, negative $n$$n$n$n$-valente par rapport à l'ensemble ${\mathcal{L}}_n$${\mathcal{L}}_n$L_(n)${\mathcal{L}}_n$ et $\phi (a)=0,\phi (x)>0$$\phi (a)=0,\phi (x)>0$varphi(a)=0,varphi(x) > 0$\phi (a)=0,\phi (x)>0$ pour $x\in (a,b)$$x\in (a,b)$x in(a,b)$x\in (a,b)$, alors l'ensemble ${\mathcal{L}}_n$${\mathcal{L}}_n$L_(n)${\mathcal{L}}_n$ est du type $I_n\{[a,b)\}$$I_n\{[a,b)\}$I_(n){[a,b)}$I_n\{[a,b)\}$.

Pour la démonstration, on suppose que les hypothèses de l'énoncé sont satisfaites et que la conclusion n'a pas lieu. Soit donc $g_1(x),g_2(x)$$g_1(x),g_2(x)$g_(1)(x),g_(2)(x)$g_1(x),g_2(x)$ deux fonctions de ${\mathcal{L}}_n$${\mathcal{L}}_n$L_(n)${\mathcal{L}}_n$ pour lesquelles $g_1\left(x_i\right)=g_2\left(x_i\right),i=1,2,\dots ,n$$g_1\left(x_i\right)=g_2\left(x_i\right),i=1,2,\dots ,n$g_(1)(x_(i))=g_(2)(x_(i)),i=1,2,dots,n$g_1\left(x_i\right)=g_2\left(x_i\right),i=1,2,\dots ,n$ et $a\leqq x_1<<x_2<\dots <x_n<b$$a\leqq x_1<<x_2<\dots <x_n<b$a <= x_(1)<<x_(2) < dots < x_(n) < b$a\leqq x_1<<x_2<\dots <x_n<b$. On démontre, comme nous l'avons fait dans [2], qu'on peut construire une fonction $g(x)=c(g_1(x)-g_2(x))$$g(x)=c(g_1(x)-g_2(x))$g(x)=c(g_(1)(x)-g_(2)(x))$g(x)=c(g_1(x)-g_2(x))$ qui coincide avec $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$ sur $n$$n$n$n$ points $x_1^{\prime }<x_2^{\prime }<\dots <x_n^{\prime }$$x_1^{\prime }<x_2^{\prime }<\dots <x_n^{\prime }$x_(1)^(') < x_(2)^(') < dots < x_(n)^(')$x_1^{\prime }<x_2^{\prime }<\dots <x_n^{\prime }$ de l'intervalle $[a,b)$$[a,b)$[a,b)$[a,b)$ et $\phi (x)>g(x)$$\phi (x)>g(x)$varphi(x) > g(x)$\phi (x)>g(x)$ pour $x>x_n^{\prime }$$x>x_n^{\prime }$x > x_(n)^(')$x>x_n^{\prime }$. C'est en contradiction avec la négative $n$$n$n$n$-valence de la fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$.
Le cas $n=1$$n=1$n=1$n=1$ n'est pas contenu dans les théorèmes 1 et 2 . Mais on peut énoncer le
théorème 3. Soil ${\mathcal{L}}_1$${\mathcal{L}}_1$L_(1)${\mathcal{L}}_1$ un ensemble linéaire du lype $K_1\{[a,b]\}$$K_1\{[a,b]\}$K_(1){[a,b]}$K_1\{[a,b]\}$. S'il existe une fonction $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)$\phi (x)$, continue sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, négative univalente sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, par rapport à l'ensemble ${\mathcal{L}}_1$${\mathcal{L}}_1$L_(1)${\mathcal{L}}_1$ et $\phi (x)>0$$\phi (x)>0$varphi(x) > 0$\phi (x)>0$ pour $x\in (a,b)$$x\in (a,b)$x in(a,b)$x\in (a,b)$, alors l'ensemble ${\mathcal{L}}_1$${\mathcal{L}}_1$L_(1)${\mathcal{L}}_1$ est du type $I_1\{(a,b)\}$$I_1\{(a,b)\}$I_(1){(a,b)}$I_1\{(a,b)\}$.

On voit aisément quel est le motif pour lequel dans la conclusion on a $I_1\{(a,b)\}$$I_1\{(a,b)\}$I_(1){(a,b)}$I_1\{(a,b)\}$ et non pas $I_1\{[a,b)\}$$I_1\{[a,b)\}$I_(1){[a,b)}$I_1\{[a,b)\}$ comme nous l'avons vu dans les énoncés précédents.
5. Dans les théorèmes que nous venons d'énoncer, on a supposé seulement la continuité des fonctions dont on a parlé. Si l'on suppose aussi la dérivabilité, alors on peut obtenir des applications qui sont intéressantes pour l'étude des équations différentielles. L'étude qualitatif des équations différentielles est étroitement lié avec les inégalités différentielles qui caractérisent les fonctions introduites par la définition 2 si l'on suppose leur dérivabilité.
6. Considérons l'équation différentielle

qui satisfait aux conditions :
$1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)$1^{\circ }$ la fonction $G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$$G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$G(x,y,y^('),dots,y^((n-1)))$G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$ est continue par rapport à l'ensemble de ses variables $x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$$x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$x,y,y^('),dots,y^((n-1))$x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$, sur le domain défini par les inégalités
(D) $a\leqq x\leqq b,-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y^{(i)}<+\mathrm{\infty },i=1,2,\dots ,n-1;$$a\leqq x\leqq b,-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y^{(i)}<+\mathrm{\infty },i=1,2,\dots ,n-1;$a <= x <= b,-oo < y < +oo,-oo < y^((i)) < +oo,i=1,2,dots,n-1;$a\leqq x\leqq b,-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y^{(i)}<+\mathrm{\infty },i=1,2,\dots ,n-1;$
$2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)$2^{\circ }$ pour chaque point $x_0\in [a,b]$$x_0\in [a,b]$x_(0)in[a,b]$x_0\in [a,b]$, l'équation (7) a une intégrale et une seule $y(x)$$y(x)$y(x)$y(x)$ tel que

les nombres $y_0,y_0{}^{(i)},i=1,2,\dots ,n-1$$y_0,y_0{}^{(i)},i=1,2,\dots ,n-1$y_(0),y_(0)^((i)),i=1,2,dots,n-1$y_0,y_0{}^{(i)},i=1,2,\dots ,n-1$ étant arbitraires.
Définition 6. L'équation (7) s'appelle du type ${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$Z_(n){[a,b]}${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$ si les hypothèses $1^{\circ }-2^{\circ }$$1^{\circ }-2^{\circ }$1^(@)-2^(@)$1^{\circ }-2^{\circ }$ ont licu et l'ensemble $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$ des intégrales est du lype $I_n\{[a,b]\}$$I_n\{[a,b]\}$I_(n){[a,b]}$I_n\{[a,b]\}$.

Dans notre travail [2] en langue roumaine, nous avons démontré le théorème suivant

THÉOREME 4. Soit $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ et avec la nième dérivée continue sur ( $a,b$$a,b$a,b$a,b$ ). Si l'équation (7) est du type ${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$Z_(n){[a,b]}${\mathcal{Z}}_n\{[a,b]\}$ et l'ensemble $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$ contient une intégrale qui prend les valeurs de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ sur $n+1$$n+1$n+1$n+1$ points $x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1)$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$ de $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, alors il existe un point $\xi \in (x_1,x_{n+1})$$\xi \in (x_1,x_{n+1})$xi in(x_(1),x_(n+1))$\xi \in (x_1,x_{n+1})$ tel que

La démonstration du théorème 14 résulte en appliquant à l'ensemble $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$ le théorème 7 donné dans [3]. Le théorème 4 est une généralisation d'un théorème de la moyenne donné par G. Pólya dans [6].
7. théoreme 5. Si la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ et avec la $n^{\text{ième}}$$n^{\text{ième}}$n^("ième")$n^{\text{ième}}$ dérivée continue sur $(a,b)$$(a,b)$(a,b)$(a,b)$ et si l'équation (7) est dil type ${\alpha }_n\{[a,b]\}$${\alpha }_n\{[a,b]\}$alpha_(n){[a,b]}${\alpha }_n\{[a,b]\}$, alors l'inégalité

est suffisante pour la convexité de $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ par rapport à l'ensemble $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$, sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$.
Un théorème analogue a lieu si au lieu de l'inégalité > nous posons < dans (9) et au lieu de la convexité on pose la concavité dans l'énoncé.

La démonstration du théorème 5 s'obtient, comme on peut l'observer facilement, en appliquant les théorèmes 8 et 13 de [3] et en utilisant la condition $2^{\circ }$$2^{\circ }$2^(@)$2^{\circ }$.
8. théorime 6. L'équation (7) étant du type ${\partial }_n\{[a,b]\}$${\partial }_n\{[a,b]\}$del_(n){[a,b]}${\partial }_n\{[a,b]\}$ et la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ continue sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$, avec la $n^{ième}$$n^{ième}$n^(ième)$n^{ième}$ dérivée continue sur $(a,b)$$(a,b)$(a,b)$(a,b)$ la condition nécéssaire et suffisante pour la $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$-non-concavité ou la $G_n$$G_n$G_(n)$G_n$-non-convexité de $f(x)$$f(x)$f(x)$f(x)$ sur $[a,b]$$[a,b]$[a,b]$[a,b]$ est l'inégalité