Soit

les équations des échelles du nomogramme de la fig. 1. On suppose que les fonctions $f,g$ et $h$ sont continues et monotones au sens restreint. Entre les cotes $x,y,z$ des points $P,Q,R$, situées sur une même droite, a lieu la relation

où $F(x)=\frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}f(x),G(y)=\frac{d_{2}}{d_{1}+d_{2}}g(y)$, $H(z)=h(z)$. La fonction $z=f(x,y)$ définie par (1) est continue et montone (par rapport à chacune des variables). Dans les considérations suivantes toutes les fonctions à une et à deux variables seront supposées continues et monotones. Les échelles des nomogrammes ne permettent pas d’hypothèses plus larges.

Il se pose le problème de caractériser les fonctions $z=f(x,y)$, qui peuvent être mises sous la forme (1).

Si on se borne aux fonctions $z=f(x,y)$ admettant des dériv ées partielles jusqu’au troisième ordre, alors la condition nécessaire et suffisante pour que $f(x,y)$ soit de la forme (1) s’exprime par la condition de SAINT-ROBERT [1] :

J. ACZÉL a caractérisé, dans les conditions précisées plus haut, le cas particulier de la classe des fonctions

par l’équation fonctionnelle
(3)

dite équation de la bisymétrie [2], [3], [4]. Cet auteur est arrivé à ce résultat en imposant d’abord à la solution de l’équation (3) deux conditions supplémentaires. Indépendamment de celui-ci il a démontré aussi [5] que l’équation dite de l’associativité

admet comme solution les fonctions (2), avec $a=b=1,c=0$.
J. ACZÉL a formulé le problème de la recherche d’une équation fonctionnelle qui caractérise les fonctions (1) en général [6]. M. hosszú en a trouvé le résultat suivant [7] : les solutions de l’équation fonctionnelle à trois fonctions inconnues
(5)

qui sont montones au sens restreint et admettent des dérivées partielles de premier ordre, sont les fonctions

Outre l’hypothèse de la dérivabilité, ce résultat a cet inconvenient que pour décider si une fonction donnée est ou non de la forme (1), à coté de cette fonction il y en a encore deux fonctions inconnues, ce qui fait l’application très difficile.

Dans ce travail nous donnerons diverses conditions nécessaires et suffisantes pour que la fonction $z=f(x,y)$ soit de la forme (1), La fonction $f$ étant continue et montone au sens restreint, l’équation $z=f(x,y)$ peut être résolue par rapport à $x$ et $y:x=\bar{f}(y,z),y=\tilde{f}(z,x)$. Une des conditions données peut être écrite de la façon suivante

qui est un cas particulier de l’équation (5). L’hypothèse de la dérivabilité n’y interviendrait pas.

Une interprétation géométrique de l’équation (6) est connue dans la théorie des tissus hexagonaux [8]. Une autre conduit au résultat suivant : les nomogrammes avec trois échelles sur une même cubique représentent une équation de la forme (1) et il n’y a pas de nomogrammes à points alignés d’autre nature pour l’équation (1). Les autres conditions qui seront données peuvent être elles aussi interprétées géométriquement de deux façons différentes.

Les équations fonctionnelles (3) et (4) et d’autres équations similaires peuvent être résolues facilement à l’aide de la condition (6). Ainsi est établie une méthode nouvelle pour étudier une certaine classe d’équations fonctionnelles.

L’étude du domaine des valeurs de la fonction $H(x)$ en (2), qui s’impose pour différentes valeurs de $a,b,c$, est faite également dans ce travail.

Si $z=/(x,y)$ vérifie (6) et peut donc être mis sous la forme (1), il reste le problème de déterminer les fonctions $F,G,H$, c’est-à-dire de déterminer les échelles, ce qui conduit à étudier l’équation fonctionnelle

à trois fonctions inconnues $\varphi=F^{-1},\psi=G^{-1},\chi=H^{-1}$ d’une seule variable. Elle a été considérée par J. ACZÉL pour $\varphi=\psi=\chi[4]$. Nous y réduirons le cas général.

Nous avons lié à l’équation de l’associativité (4) de nombreux faits, qui ont paru jusqu’ici sans rapport entre eux, notamment : l’équation de la bisymétrie, les propriétés des tisus hexagonaux, nomogrammes dont les échelles sont situées sur une même cubique, propriétés caractéristiques des cubiques.

Considérons la fonction de deux variables

oùles fonctions $F,G,H$ d’une seule variable sont continues et monotones au sens restreint. La fonction (1) satisfait à la
Condition $T$ : $f\left(x_{1},y_{2}\right)=f\left(x_{2},y_{1}\right),f\left(x_{1},y_{3}\right)=f\left(x_{3},y_{1}\right)\rightarrow f\left(x_{2},y_{3}\right)=f\left(x_{3},y_{2}\right)$.
En effet, en vertu de la monotonie de la fonction $H$ les relations

entraînent

d’où l’on obtient par soustraction

ou

La condition $T$ entraîne évidemment la

L’interpretation géométrique de cette condition est la suivante : les lignes de niveau de la fonction (1) et les parallèles aux axes forment un tissu. Soit $S\left(x_{2},y_{2}\right)$ un point quelconque du plan et $L\left(x_{2},y_{3}\right)$ un point appartenant à la droite $x=x$ : (fig. 2)  ; la droite parallèle à l’axe $Ox$ menée par $L$ rencontre la ligne de niveau par $S$ en $M$, la parallèle à l’axe $Oy$ par $M$ coupe la droite parallèle à $Ox\operatorname{par}S$ en $N$, la ligne de niveau par $N$ et la droite parallèle à $Oy$ par $S$ se coupent au point $P$, la parallèle à $Ox$ par $P$ et la ligne de niveau par $S$ se coupent en $Q$, enfin les droites parallèles aux axes par Q et $S$ respectivement se rencontrent en $R$ ; la condition $B$ exemprime la propriété des points $L$ et $R$ d’être situés sur la même ligne de niveau. Autrement dit : l’hexagone curviligne ayant pour côtés et diagonales des lignes de niveau et des droites parallèles aux axes de coordonnées, se ferme. Cet hexagone curviligne est dit la figure de Brianchon. Par conséquent la condition $B$ exprime le fait que toutes les figures Brianchon se ferment.

Inversement, dans la théorie des tissus hexagonaux on démontre que pour toutes les fonctions $f(x,y)$ continues et montones au sens restreint la fermeture des figures Brianchon a pour conséquence que $f(x,y)$ est de la forme (1) [6]. Nous présentons ici une démonstration plus directe de ce théorème.

Nous admettons que la fonction $z=f(x,y)$, définie dans un domaine $D$ est continue et monotone au sens restreint par rapport à chacune de ${}^{\text{ses }}$ variables et satisfait à la condition $B$ pour tous les points du domaine $D$. Nous pouvons admettre aussi, que le domaine $D$ contient à son intériet. l’origine des axes et que la fonction $f(x,y)$ est croissante, parce qu’en appli-
quant une transformation linéaire convenable aux variables indépendentes, on peut arriver à ce cas.

Considérons une ligne de niveau qui rencontre les axes de coordonnées dans les points $A_{1}$ et $B_{1}$, de façon que le domaine $OA_{1}B_{1}$ soit dans le premier cadran et à l’intérieur de $D$ (fig. 3). La ligne de niveau menée par le point

d’intersection $B_{2}$ des parallèles aux axes par $A_{1}$ et $B_{1}$ coupe les axes en $A_{2}$ et $C_{2}$ respectivement. En vertu de la condition $B$, les figures Brianchon se referment, donc les points d’intersection $B_{3}$ et $C_{3}$ des parallèles aux axes par $A_{2}$ et $B_{1},A_{1}$ et $C_{2}$ respectivement sont situés sur une même ligne de niveau, qui rencontre les axes aux points $A_{3}$ et $D_{3}$. Les points $B_{4},C_{4}$ et $D_{4}$, obtenus d’une manière analogue sont également sur la même ligne de niveau. On continue cette opération jusqu’à ce que tous les points d’intersection des parallèles déjà considerées se trouvent à l’exterieur de la partie située dans le premier cadran du domaine $D$. Évidemment on peut faire la même construction pour tous les cadrans ; soit $C_{1}$ par exemple le point d’intersection de la ligne de niveau par $B_{1}$ avec la droite parallèle à l’axe $Ox$ par $C_{2};B_{0}$ et $A_{-1}$ respectivement, l’intersection de la ligne parallèle à l’axe $Oy$ par $C_{1}$ avec la parallèle à $Ox$ par $B_{1}$ et $O$ respectivement ; les points $B_{0}$ et $O$ se trouveront sur la même ligne de niveau, etc. Nous désignerons par $x_{i,1}$ l’abscisse commune des points $A_{i},B_{i+1},C_{i+2},\ldots$, par $y_{1,1}$ l’ordonnée commune des points $B_{k}$, par $y_{2,1}$ celle des points $C_{k}$, etc., et par $z_{i,1}$ les valeurs communes de la fonction $z=f(x,y)$ aux points $A_{i},B_{i}$, $C_{l},\ldots$

Définissons les fonctions $F(x),G(y)$ et $H(z)$, pour le moment sur $\mathrm{l}_{\mathrm{tg}}$ points discrets $x_{i,1},y_{i,1}$ et $z_{i,1}$, ainsi :

Alors la fonction donnée $z=f(x,y)$ satisfait aux sommets du réseau construit à la relation

En vertu de la continuité et de la montonie au sens restreint de la fonction $f(x,y)$, le système d’équations $f(\alpha,\beta)=z_{1,1},f(\alpha,0)=f(0,\beta$ admet une solution unique $\alpha,\beta$ et $0<\alpha<x_{1},0<\beta<y_{1}$ ; c’est-à-dire qu’il existe sur la ligne de niveau $A_{1}B_{1}$ un point unique $B_{2}^{\prime}$ dont les projections aux axes $A_{1}^{\prime}$ et $B_{1}^{\prime}$ sont sur une même ligne de niveau. Construsons un rectangle aux côtés parallèles aux axes ayant comme sommets opposés $B_{2}$ et $B_{2}^{\prime}$ ; alors les deux autres sommets $B_{3}^{\prime}$ et $C_{3}^{\prime}$ doivent être situés sur la même ligne de niveau. De la même façon $B_{4}^{\prime}$ étant l’intersection de la parallèle à $Ox$ par $B_{3}^{\prime}$ avec la ligne de niveau par $B_{2}$, et $A_{3}^{\prime}$ la projection de $B_{4}^{\prime}$ sur l’axe $Ox$, les points $B_{3}^{\prime}$ et $A_{3}^{\prime}$ doivent être situés sur une même ligne de niveau. En continuant cette opération on arrive à un raffinement du réseau obtenu par le premier pas de la construction. En désignant les abscisses et les ordonnées des nouvelles parallèles par $x_{i,2}$ et $y_{i,2}$ respectivement, on a $x_{2k,2}=x_{k,1},y_{2k,2}=y_{k,1}$. Soient $z_{i,2}$ les valeurs de la fonction $f(x,y)$ sur les nouvelles lignes de niveau ; alors $z_{2k,2}=z_{k,1}$. En définissant

nous avons aux sommets du réseau original les valeurs définies ci-dessus, et nous pouvons observer que la relation (7) est vérifiée pour les sommets du réseau raffiné.

Nous continuons cette opération de raffinement du réseau indéfiniement. Au $n$-ième raffinement nous définissons les ensembles $\left\{x_{i,n}\right\},\left\{y_{i,n}\right\}$, $\left\{z_{i,n}\right\}$ et les valeurs des fonctions $F,G$ et $H$ dans ces points en posant

Cela ne change pas les valeurs de ces fonctions aux points du ( $n-1$ )-ième réseau et la relation (7) se vérifie de proche en proche.
sont positives et forment une suite décroissante, qui a donc une limite $x^{*}\geqslant 0$. On a

Il résulte de la seconde égalité, en vertu de la continuité et montonie all

• —

  la second

  Report issue for preceding element

sens restreint de $f(x,y)$ que $y_{1,n}$ a aussi une limite, soit $y^{*}$. Si dans la première égalité $n\rightarrow\infty$, on obtient $f\left(x^{*},y^{*}\right)=f\left(x^{*},0\right)$, c’est-à-dire $y^{*}=0$. La seconde égalité entraîne $f\left(x^{*},0\right)=f(0,0)$, donc $x^{*}=0$.

Considérons un domaine $OAB$, intérieur à $D$, limité par les axes de coordonnées et par la ligne de niveau $AB,A$ étant un somment de réseau. Alors l’ensemble $\left\{x_{i,n}\right\}$ est dense sur le segment $OA$, quand $i$ et $n$ varient. En effet, supposons qu’il existe un intervalle $(\gamma,\delta)\in OA$ qui ne contient pas de points $x_{i,n}$. Pour chaque $n$, nous déterminons le nombre $k=k(n)$ de sorte, que l’intervalle ( $\gamma,\delta$ ) soit compris entre $A_{k}^{(n)}$ et $A_{k+1}^{(n)}$. La ligne de niveau par $A_{k}^{(n)}$ coupe l’axe $Oy$ en $Q_{k}^{(n)}$, la parallèle à $Ox$ par ce point rencontre la ligne de niveau par $A_{k+1}^{(n)}$ en $Q_{k+1}^{(n)}$ (fig. 4). La projection du point $Q_{k+1}^{(n)}$ sur $Ox$ est justement le point $A_{1}^{(n)}$. En tenant compe du fait que pour $n\rightarrow\infty$, $\overline{Q_{k}^{(n)}Q_{k+1}^{(n)}}=\overline{OA_{1}^{(n)}}=x_{1,n}\rightarrow 0$, on a $\overline{A_{k}^{(n)}A_{k+1}^{(n)}}\rightarrow 0$, en contradiction avec notre hypothèse. Il s’ensuit que les points de réseau forment un ensemble dense sur le domaine $OAB$.

Considerons un domaine $OMM^{*}$, limité par les axes et par la ligne de niveau $MM^{*}$, qu’on suppose qu’elle ne passe plus maintenant par des points de réseau (fig. 5). Nous allons démontrer que les points de réseau forment un ensemble dense sur $OMM^{*}$. Il suffit de démontrer que $M$ est un point d’accumulation de l’ensemble $\mathcal{E}$, formé par les points $x_{i,n}$ situés sur le segment $OM$. Supposons le contraire, c’est-à-dire que $Q=\sup\mathcal{E}$ soit situé à gauche de $M$. Nous savons que $\mathcal{E}$ est dense sur $OQ$, donc on peut choisir les points $Q^{\prime}$ et $Q^{\prime\prime}$ appartenant à $\mathscr{E}$ de telle manière que le rectangle $Q^{\prime}Q^{\prime\prime}RS$ ait les sommets $S$ et $Q^{\prime\prime}$ sur la même ligne de niveau et que le sommet $R$ soit dans le domaine $QMM^{*}Q^{*}$. Il s’ensuit que $R$ et $R^{\prime}$ sont des points de réseau, c’est-à-dire que $R^{\prime}{}_{\epsilon}S$, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse $Q=\sup\mathcal{E}$.

Couvrons le domaine $D$ par des domaine $D_{j}$, dont chacun est limité par des parallèles aux axes et par une ligne de niveau. Il résulte de ce que nous venons de démontrer que, si $D_{j}$ contient un point de réseau, alors il en contient un ensemble dense sur $D_{j}$. Il s’ensuit immédiatement que les points de réseau forment un ensemble dense sur $D$.

Les fonctions $F,G,H$ définies sur les ensembles denses $\left\{x_{i,n}\right\},\left\{y_{i,n}\right\}$, $\left\{z_{i,n}\right\}$ respectivement, sont des fonctions continues et monotones au sens restreient sur ces ensembles, ainsi leur définitions peuvent être étendues par continuité pour toutes les valeurs $x,y,z$, qui se trouvent dans les intervalles déterminés par le rectangle circonscrit au domaine $D$, ayant les cotés parallèles aux axes, et par les lignes de niveau tangentes à ce domaine respectivement. Les fonctions $F$, $G,H$ ainsi définies sont continues, monotones au sens restreint et satisfont en plus àla

Condition $E$ : L’intervalle des valeurs de la fonction $H$ contient tous les nombres de la forme $F(x)+G(y)$, $(x,y)\in D$.

On peut voir que la relation (7) est vérifiée pour tous les $(x,y)\in D$, si l’on passeà la limite par des points du réseau. Ainsi nous avons démontré le
théoreme i. Soit $z=f(x,y)$ une fonction définie dans un domaine quelconque $D$. La condition $B$, la continuité et la montonie au sens restreint de la fonction $f(x,y)$ sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction $f(x,y)$ soit de la forme (1), où $F,G,H$ sont des fonctions continues et monotones all sens restreint et satisfont à la condition $E$.

Il résulte de la démonstration faite qu’on peut remplacer la condition $B$ par une autre plus faible, en exigeant sa vérification seulement dans tous les domaines intérieurs à $D$, ayant des diametres plus petits qu’un nombre positif. On voit par suite d’un raisonnement aisé, qu’il suffit aussi que tout point du $D$ ait un voisinage où la condition $B$ soit satisfaite. Donc on a le
théoreme ii. Soit $z=f(x,y)$ défini dans le domaine D. Si tout point du $D$ a un voisinage dans lequel la fonction $f(x,y)$ est de la forme (1) avec $F,G,H$ continues et monotones au sens restreint, alors $f(x,y)$ est de la forme (1) dans le domaine $D$ même (la propriété locale (1) entraîne la propriété globale (1)).

Dans les conditions de continuité et de monotonie énoncées : condition $T\rightarrow$ condition $B\rightarrow(1)$. On a donc le
théoreme iii. La condition $T$, la continuité et la monotonie au sens restreint de la fonction $f(x,y)$ sont nécessaires et suffisantes pour que $f(x,y)$ soit de la forme (1), où $F,G$ et $H$ sont des fonctions continues, monotones all sens restreint (et satisfont à la condition $E$ ).

L’interprétation des théorèmes III et IV est bien connue dans la théorie des tissus [8].

Observations. 1) Nous pouvons démontrer directement l’implication $T\rightarrow R$. Soit
$f\left(x_{1},y_{3}\right)=f\left(x_{2},y_{1}\right),f\left(\dot{x_{1}},y_{4}\right)==f\left(x_{2},y_{2}\right),f\left(x_{3},y_{3}\right)=f\left(x_{4},y_{1}\right)$
et définissons les nombres $\xi$ et $\eta$ par

En tenant compte de $Tf(\xi,\eta)=f\left(x_{3},y_{4}\right)$. D’autre part

L’interprétation géométrique de la condition $T$ est représentée sur la figure 6. La figure dite figure de Thomsen, doit se termer.

On peut remplacer la condition $B$ et la condition $T$ respectivement par une troisième :

Condition $R:\quad f\left(x_{1},y_{3}\right)==f\left(x_{2},y_{1}\right);f\left(x_{1},y_{4}\right)=f\left(x_{2},y_{2}\right)$ ;

En effet, on peut constater par une vérification directe, que la condition $R$ résulte de (1) et que celle-ci entraîne, en posant $x_{2}=x_{3}$ et $y_{2}=y_{3}$, la condition $B$, et donc (1). On a le
théoreme iv. La condition $R$, la continuité et la monotonie au sens restreint sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction $f(x,y)$ soit de la forme (1), où les fonctions $F,G,H$ sont continues et monotones au sens restreint (et satisfont à la condition $E$ ).

L’interprétation géométrique de la condition $R$ est que la figure de Reidemeister se terme (fig. 7), c’est-à-dire que si trois sommets d’un rectangle, dont les cotés sont parallèles aux axes de coordonnées, se déplacent sur des lignes de niveau, alors le quatrième se déplace également sur une ligne de niveau.

donc $f\left(x_{4},y_{2}\right)=f\left(x_{3},y_{4}\right)$.
2) Les conditions $T$ et $R$ peuvent être combinées et nous obtenons une quatrième condition équivalente

Les théorèmes établis peuvent être utilisés pour la résolution de plusieurs éqations fonctionnelles. Plus particulièrement les théorèmes I et III sont bien utilisables. Nous appliquerons ces théorèmes pour résoudre, par une voie nouvelle, quelques équations résolues par d’autres auteurs. Nous arriverons à un traitement unitaire des équations caracterisant des classes de fonctions représentables par le nomogramme de la fig. 1, particulairisé de plusieurs façons.

1. 1.

   L’équation de la bisymétrie. - Cherchons quelles sont les fonctions $z=f(x,y)$, définies pour $\alpha<x<\beta,\alpha<y<\beta$, satisfaisant aux conditions suivantes :
   a) $\alpha<f(x,y)<\beta$ (nous disons que $f$ est une opération)
   b) $f(x,y)$ est continue
   c) $f(x,y)$ est monotone au sens restreint
   d) elle satisfait à l’équation de la bisymétrie :
   (3)

   Report issue for preceding element

pour

Nous démontrerons d’abord que la fonction $z=f(x,y)$ satisfait à la condition $T$ dans le rectangle $R[\alpha<x<\beta,\alpha<y<\beta]$. Soient $x_{i},y_{i}\in(\alpha,\beta)(i=1,2,3)$ et $v\in(\alpha,\beta)$, et supposons que $f\left(x_{1},y_{2}\right)=f\left(x_{2},y_{1}\right),f\left(x_{1},y_{3}\right)==f\left(x_{3},y_{1}\right)$. On a successivement

On peut observer que dans le premier et le dernier membre le deuxième argument est identique, donc en utilisant la condition c) on obtient : $f\left(x_{2},y_{3}\right)==f\left(x_{3},y_{2}\right)$.

Il résulte du théorème III que $f(x,y)$ peut être écrit sous la forme

Substituant en (3), on obtient

En égalant les arguments de la fonction $H^{-1}$ des deux côtés de l’égalité et en changeant les notations

on obtient

ou

Le second membre ne contient pas $s$, done

La valeur de $d$ étant fixée, choisissons $\xi$ et $\eta$ tels que $\psi(\xi)-\psi(\eta)=d$ ; alors $K_{\xi,\eta}=\lambda(d)$, et

pour toutes les valeurs de $s_{1}$ et $s_{2}$ contenues dans le domaine de définition de la fonction $\varphi$. Par un changement de notation nous obtenons une équation fonctionnelle semblable à l’équation de Cauchy, mais contenant deux fonctions inconnues

En posant $x=x_{0},\lambda(y)=\varphi\left(y+x_{0}\right)-\varphi\left(x_{0}\right)$, l’équation (9) devient

Pour $\varphi\left(x+x_{0}\right)-\varphi\left(x_{0}\right)=\Phi(x)$ on obtient

ou, avec la notation $x-x_{0}=x^{\prime}$,

c’est-à-dire l’équation même de Cauchy ; par conséquent

et

De la même façon on obtient $\psi(x)=bx+c_{2}$.
De la formule (8) on a $F=\varphi H=aH+c_{1}$ et $G=\psi H=bH+c_{2}$. Par conséquent

$\left(c=c_{1}+c_{2}\right)$. Quant à la fonction $H(x)$ on sait qu’elle est continue, monotone au sens restreint et vérifie la condition $E$. La condition $E$ dans ce cas peut être énoncée ainsi : l’intervalle $(\gamma,\delta)$ des valeurs de la fonction $H(x)$ satisfait à la

Condition $E^{\prime}:h_{1},h_{2}\in(\gamma,\delta)\rightarrow ah_{1}+bh_{2}+c\in(\gamma,\delta)$.
On peut voir aisément que les formes suivantes de l’intervalle ( $\gamma,\delta$ ) sont équivalentes à la condition $E^{\prime}$, pour les valeurs différentes de $a,b,c$.

Si $a+b\neq 1$, on peut supposer $c=0$ (parce qu’en écrivant $H(x)==H_{1}(x)+c/(a+b-1)$ le terme constant disparaîtra). Dans les cas I. - V. nous avons supposé $c=0$.
I. $a>0,b>0,a+b<1:\quad\gamma<0<\delta$
II. $a>0,b>0,a+b>1:\quad\gamma\geqslant 0,\delta=\infty$ ou $\gamma=-\infty,\delta\leqslant 0$
III. $a<0,b<0,a+b\geqslant-1:\quad\gamma+\delta=0$
IV. $a<0,b<0,a+b<-1:\quad\gamma=-\infty,\delta=+\infty$
V. $ab<0$ :
VI. $a+b=1,0<a<1,c=0:\quad(\gamma,\delta)$ quelconque
VII. $a+b=1,0<a<1,c>0$ : $\quad\gamma$ quelconque, $\delta=+\infty$
VIII. $a+b=1,0<a<1,c<0:\quad\gamma=-\infty,\delta$ quelconque
IX. $a+b=1,a<0$ ou $a>1:\quad\gamma=-\infty,\delta=+\infty$

Dans tous les cas, les raisonnements s’appuient sur le fait que $p\geqslant 0,q\geqslant 0$, $p+q=1\rightarrow ph_{1}+qh_{2}\in\left[h_{1},h_{2}\right]$.

Nous avons démontré que (10) est la conséquence des conditions a)-d), où $H(x)$ est continue, monotone au sens restreint et où l’intervalle ( $\gamma,\delta$ ) de ses valeurs satisfait à la condition $E^{\prime}$ (ou I.-IX). Inversement, les fonctions (10) avec $H(x)$ ainsi précisé satisfont aux conditions a)-d), ce qu’on peut vérifier directement.

Observation. On obtient le même résultat si l’intervalle ( $\alpha,\beta$ ) est fermé ou demi-ouvert. Il suffit de considérer l’intervalle ouvert ( $\alpha,\beta$ ) ; de la condition c) il résulte que $f(x,y)=\alpha$ ou $\beta$ seulement si $x$ et $y$ sont les éxtrémités de l’intervalle ( $\alpha,\beta$ ), donc la condition a) reste valable pour l’intervalle ouvert ; les conditions b) - d) restent évidemment valables. On applique le théoreme IV. pour l’intervalle ouvert ( $\alpha,\beta$ ), on définit la fonction $H(x)$ pour a ou $\beta$ par continuité, ce qui est possible si $\gamma,\delta\neq\infty$ respectivement. La condition $E^{\prime}$ devient plus restrictive. Pour un intervalle fermé $[\alpha,\beta]$ ce ne sont que les cas I, III et VI qui restent tervalle demi-ouvert [ $\alpha,\beta$ ) on peut ajour l’inles cas II et VIII.
ajouter les cas II et VII et pour ( $\alpha,\beta$ ]
2. L’équation de la bisymétrie avec conditions a résolu l’équation de la bisymétrie d’ab supplémentaires. J. AczéL conditions supplémentaires suivantes : abord en imposant à la solution les
e) Reflexivité : $f(x,x)=x$,
f) Symétrie :

Plus tard il a supprimé la condition f) et enfin la condition e), [2]. Après avoir résolu l’équation de la bisymétrie en général au point 1 ., nous pouvons maintenant retrouver facilement aussi ces résultats intermédiares. Dans les considérations suivantes l’intervalle ( $\alpha,\beta$ ) peut être ouvert, fermé ou demi-ouvert.

Les conditions a)-e) sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction $f(x,y)$ soit de la forme

On peut vérifier tout de suite que (11) satisfait aux conditions a)-e).
Supposons maintenant que la fonction $f(x,y)$ satisfait aux conditions
a)-e). En utilisant le résultat du point 1 on peut écrire

alors la condition e) devient

pour $x\in(\alpha,\beta)$, possible seulement lorsque $c=0,a+b=1$.
Il résulte immédiatement :
La fonction $f(x,y)$ satisfait aux conditions a)-f) si et seulement si

Observations. 1) Les conditions a)—f) peuvent être remplacées par a), ${}^{\circ}\mathrm{b}$ ),
c) et

Distributivité en soi : $f[x,f(y,z)]=f[f(x,y),/(z,x)];$
ceci résulte d’une note de RYLL-NARDZEWSKI par l’intermédiaire de (12) [9], ou directement, comme KNASTER a montré [10].
2) Les conditions d) et f) peuvent être emplacées par l’équation modifiée de la bisymétrie

Car, en posant $u=v,f(u,x)=\xi,f(u,y)=\eta$, il en résulte que

ce qui conduit à l’équation (10). D’autre par l’équation (10) et la symétrie entraînent l’équation (13).
3. L’équation de l’associativité. Soit $f(x,y)$ une fonction définie pour $x,y\in(\alpha,\beta)(\alpha,\beta$ peuvent être infinies) jouissante des propriétés suivantes :
a) $f(x,y)\in(\alpha,\beta)$ (f opération)
b) continue et monotone au sens restreint
c) $f[f(x,y),t]=f[x,f(y,t)]$ (f associative).
J. ACZÉL a démontré [5] que ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour que $f(x,y)$ soit de la forme