La simplicité du reste dans certaines formules de quadrature

par
TIBERIU POPOVICIU
à Cluj
§ 1.

1. 1.

   Considérons la formule de quadrature

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où $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ sont $p(\geqq 1)$ points distincts de l’axe réel, ces sont les noeuds de la formule, $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ sont $p$ nombres naturels et $c_{i,j}$ des coefficients indépendants de la fonction $f$.

La fonction $f$ est définie, continue et admet une dérivée continue d’ordre égal à $\max\left(k_{1}-1,k_{2}-1,\ldots,k_{p}-1\right)$ sur un intervalle $E$ contenant les points $-1,1$ et les noeuds $z_{i},i=1,2,\ldots,p$. La dérivée d’ordre 0 est la fonction elle-même.

Nous désignerons par $\mathscr{F}$ l’ensemble de ces fonctions. $\mathscr{F}$ est un ensemble linéaire et contient, en particulier, tous les polynomes.

Les accents dans le second membre de (1) désignent des dérivations successives.

Dans la suite, sauf si on ne dit pas expressément le contraire, nous supposerons que $E$ se réduise au plus petit intervalle fermé contenant les noeuds et les points $-1,1$.

L’intégrale du premier membre de (1) pourrait être prise entre deux limites finies quelconques, mais on ne restreint pas la généralité en prenant ces limites égales à -1 et 1 respectivement. Le passage de l’intervalle $[-1,1]$ à l’intervalle fini quelconque d’intégration $[A,B]$ se fait par la
formule de transformation linéaire $x=\frac{2y-A-B}{B-A}$. Une telle transformation conserve la continuité, la dérivabilité de tout ordre et aussi tout caractère de convexité des fonctions.
2. Le deuxième terme $R[f]$ du second membre de la formule (1) est le reste de cette formule. Il est une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur l’ensemble $\mathscr{F}$.

La formule (1) et le reste $R[f]$ correspondant ont un degré d’exactitude. C’est le nombre entier $n\geqq-1$ complètement déterminé par la condition que $R[f]$ soit nul sur tout polynome de degré $n$ et que $R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$. On dit aussi que la formule (1) ou le reste $R[f]$ de cette formule est de degré d’exactitude $n$. Dans la suite on peut toujours supposer $n\geqq 0$, le cas $n==-1$, n’intervenant pas. La condition $n\geqq 0$ est, d’ailleurs, équivalente à $2=\sum_{i=1}^{p}c_{i,0}$.

Le reste $R[f]$ est dit de la forme simple s’il existe un entier $n(\geqq 0)$ indépendant de la fonction $f$, tel que l’on ait

où $M$ est $\neq 0$ et indépendant de la fonction $f\in\mathscr{F}$, les points $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$ étant distincts, à l’intérieur de l’intervalle $E$ et dépendants, en général, de la fonction $f$. Dans ce cas le nombre $n$ est complètement déterminé (est unique) et est précisément le degré d’exactitude de $R[f]$.

La notation $\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]$ désigne la différence divisée (d’ordre $n+1)$ de la fonction $f$ sur les points, ou les noeuds, $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$. Nous supposons connues la définition et les principales propriétés des différences divisées sur des noeuds distincts ou non.

On voit facilement que, sous les hypothèses précédentes, le nombre $M$ est égal à $R\left[x^{n+1}\right]=R\left[x^{n+1}+P\right]$, où $P$ est un polynome quelconque de degré $n$.

Si nous convenons de désigner par $D_{k}[f]$ une différence divisée d’ordre $k$ de la fonction $f$ sur $k+1$ noeuds distincts, d’ailleurs non spécifiés, de l’intérieur de l’intervalle $E$, la formule (2) peut s’écrire

Nous avons introduit la notion de simplicité d’une fonctionnelle linéaire, de la nature de reste $R[f]$ (d’abord sous un autre nom) dans d’autres travaux [5, 6]. Nous avons complété et précisé ces recherches dans un mémoire plus détaillé [9]. Nous prions le lecteur de se reporter à ce mémoire pour nos résultats antérieurs et qui seront souvent tacitement utilisés dans la suite.

Ce travail est consacré à l’étude de la simplicité du reste dans certaines formules de quadrature de la forme (1) (§§ 1-3). Ces sont, en somme, des applicationş de nos résultats antérieurs. Dans le dernier § (§ 4) nous ferons quelques remarques sur la simplicité du reste dans certaines formules de quadrature relative à des intégrales étendues à un intervalle infini.
3. Les nombres $k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ sont les ordres de multiplicité des noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ respectifs. Nous posons $k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{p}=m$ et nous avons alors $m\geqq p\geqq 1$. Nous pouvons supposer que $k_{i}$ noeuds soient confondus dans le point $z_{i}$, donc que $z_{i}$ est un noeud d’ordre $k_{i}$ de multiplicité (simple si $k_{i}=1$, double si $k_{i}=2$, etc.). Le nombre total des noeuds, distincts ou non, est donc égal à $m$ et nous pouvons désigner ces noeuds par $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$, en choisissant les notations, par exemple, de manière que l’on ait $x_{k_{1}+k_{2}+\ldots k_{i-1}+j}=z_{i},j=1,2,\ldots,k_{i},i=1,2,\ldots,p$ (la somme $k_{1}+k_{2}+,\ldots+k_{i-1}$ étant remplacée par 0 pour $i=1$ ).
4. Dans la suite nous supposerons toujours que le degré d’exactitude de la formule (1) soit au moins égal à $m-1$. Avec les données précédentes, cette condition détermine complètement la formule (1) dont le second membre s’obtient alors en approximant la fonction $f$ par son polynome de Lagrange-Hermite sur les noeuds $x_{i},i=1,2,\ldots,m$ [7]. Si donc nous désignons par $n$ le degré d’exactitude de la formule (1) et si $n\geqq m-1$, les coefficients $c_{i,j}$ sont complètement déterminés. Quels que soient les noeuds donnés $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$, il existe donc toujours une formule (1) et une seule ayant un degré d’exactitude $\geqq m-1$.

D’ailleurs pour des noeuds donnés ayant des ordres de multiplicité donnés, le calcul des coefficients $c_{i,j}$ est, en général, assez compliqué. La formule (11) qui sera donnée plus loin (no. 7), nous donne

où
$l(x)$ est le polynome (6) de plus loin.
Pour $p=1$ cette formule devient

Le calcul des autres coefficients $c_{i,j}$ est plus compliqué. Nous ne le donnerons ici que dans certains cas très particuliers.
5. On peut facilement délimiter supérieurement le degré d’exactitude $n$ de la formule (1) (de degré d’exactitude $n\geqq m-1$ ). Posons $n=m++q-1$, alors l’hypothèse $n\geqq m-1$ revient à $q\geqq 0$. Considérons le polynome
(6)

Le polynome $Q(x)=l(x)\prod_{i=1}^{p}\left(x-z_{i}\right)^{\frac{1-(-1)^{k_{i}}}{2}}$ est de degré $m+p$, est nonnégatif (sur $E)$ et on a $R[Q]=\int_{-1}^{1}Q(x)dx>0$. Nous avons donc nécessairement $q\leqq p$.

On peut raffiner cette délimitation en tenant compte, en une certaine mesure, de la distribution des noeuds. Si nous désignons par $p_{1}$ le nombre $(\leqq p)$ des noeuds $z_{i}$ appartenant à l’intervalle ouvert $(-1,1)$, on a $q\leqq p_{1}$. On démontre de la même manière cette propriété en prenant, au lieu de $Q(x)$, le polynome $l(x)\prod_{z_{i}\in(-1,1)}\left(x-z_{i}\right)^{\frac{1-(-1)^{k_{i}}}{2}}$ où le produit est étendu seulement à ces noeuds.

THÉORÈME 1. Pour que la formule (1) (de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ) soit de degré d’exactitude égal à $n=m+q-1$, il faut et il suffit que le polynome $l(x)$ soit orthogonal à tout polynome de degré $q-1$ sur l’intervalle $[-1,1]$ et que l’on ait

où $Q(x)=x^{q}+P(x),P(x)$ étant un polynome quelconque de degré $q-1$.
La condition est nécessaire. Cette propriété résulte de la formule

si $Q(x)$ est un polynome quelconque.

La condition est suffisante. Cette propriété résulte du fait que si $Q,S$ sont respectivement le quotient et le reste de la division du polynome quelconque $P$ par le polynome (6), nous avons $R[P]=R\left[Q_{l}\right]+R[S]==R[Ql]$.

Nous pouvons mettre la propriété exprimée par le théorème 1 sous une autre forme. Posons

Nous avons alors

et

et on voit facilement que la propriété exprimée par le théorème 1 peut s’énoncer sous la forme équivalente suivante :

THÉORÈME 2. Pour que la formule (1) (de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ) soit de degré d’exactitude égal à $n=m+q-1$, il faut et il suffit que :

1. 1.

   $P_{1}(1)\neq 0$ pour $q=0$.

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2. 2.

   $P_{1}(1)=P_{2}(1)=\ldots=P_{q}(1)=0,\quad P_{q+1}(1)\neq 0$, pour $q>0$.

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Le nombre $R\left[x^{n+1}\right]$ est alors aussi donné par la formule

1. 7.

   Le reste de la formule (1) (de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ) est donné par

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Si nous posons

et si nous utilisons la formule d’intégration par parties, nous déduisons ( $q>0$ )

Nous en déduisous alors le
THÉORÈME 3. S’il existe un nombre entier non-négatif $q$ tel que :

1. 1.

   $P_{0}(x)=l(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$, pour $q=0$

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2. 2.

   $P_{i}(1)=0,i=1,2,\ldots,q$ et $P_{q}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$, pow $q>0$,
   alors le reste $R[f]$ de la formule (1) (supposée de degré d’exactitude $\geqq m-1)$ est de degré d’exactitude égal à $n=m+q-1$ et est de la forme simple.

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Compte tenant de la formule bien connue

le théorème résulte, de la formule

qui est vérifiée sous les hypothèses, admises, et du fait que $R[f]$ est de la forme simple si (et seulement si) $R[f]\neq 0$ pour toute fonction $f\in\mathscr{F}$. convexe d’ordre $n$ sur $E$.

Une fonction est dite convexe d’ordre $n$ sur $E$ si toutes ses différences divisées (d’ordre $n+1$ ) sur $n+2$ points, non tous confondus, de $E$ sont positives. La propriété exprimée par le théorème 3 est ce que nous pouvons appeler le critère de simplicité de Steffensen, en vertue de l’important théorème de J. E. STEFFENSEN [12] relatif au reste de la formule de quadrature de Cotes. J. Is. STEFFENSEN suppose que la fonction $f$ ait une dérivée d’ordre $n+1$ continue, mais nous verrons que le reste dans la formule de Cotes est de la forme simple sous la setule hypothèse de la continuité de la fonction $f$.
8. Il faut préciser les conditions sous lesquelles le critère de Steffensen est applicable. Nous démontrerons dans ce travail que le critère de Steffensen s’applique sous la seule hypothèse que $f\in\mathbb{F}$. Cette propriété est exprimée par le théorème 5 de plus loin.

Remarquons, en passant, que le nombre $q$ du théorème 3 peut ne pas exister. Par exemple, 1e reste de la formule de quadrature

peut s’écrie

Dans ce cas $R\left[x^{4}\right]=\frac{1}{15}\neq 0$. Le nombre $q$ du théorème 3 n’existe pas, puisque dans le cas contraire il devrait être égal à 0 . Mais le polynome $l(x)=P_{0}(x)=x^{2}\left(x^{2}-\frac{1}{2}\right)$ change de signe sur l’intervalle $[-1,1]$. Nous verrons plus loin (no. 15) que le reste de la formule (16) est de la forme simple. On obtient ce résultat en interprétant la formule (16) avec la valeur 3 de $m$ au lieu de la valeur 4 .
9. Si nous nous rapportons à la façon dont nous avons obtenu la formule (15), on voit que pour que le critère de Steffensen soit applicable, il suffit que la fonction (14) soit continue sur l’intervalle $[-1,1]$. Si $q=0$, cette hypothèse supplémentaire est même inutile puisque le produit $l(x)$ ’ $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},x;f\right]$ est égal à la différence entre la fonction $f$ et son polynome de Lagrange-Hermite sur les noeuds $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$. Il en résulte le

THÉORÈME 4. Si nous avons $l(x)\geqq 0$ sur l’intervalle $[-1,1]$, le reste de la formule (1) (supposé de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ) est de degré d’exactitude $m-1$ et est de la forme simple.

I1 en est ainsi, en particulier, si les noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ sont tous à l’extérieur de l’intervalle ouvert ( $-1,1$ ), ou bien si tous les noeuds qui appartiennent à $(-1,1)$, sont d’un ordre pair de multiplicité.
10. Posons

Pour 1a continuité sur $[-1,1]$ de la fonction (14) i1 suffit que la fonction $f(\epsilon\mathscr{F})$ ait une dérivée, continue d’ordre $q+\max\left(k_{1}^{\prime},k_{2}^{\prime},\ldots,k_{p}^{\prime}\right)$ sur $E$. Ceci a évidemment lieu si

d’après la définition de l’ensemble $\mathscr{F}$. Dans ce cas le critère de Steffensen est donc applicable. Mais nous démontrerons que ce critère est toujours applicable, indépendemment de la condition (19).

Considérons les fonctions $\varphi_{n+1,\lambda}(x)=\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)^{n}(n\geqq 1)$ qui, pour toute valeur réelle du paramètre $\lambda$, admettent une dérivée continue d’ordre $n-1$ sur l’axe réel.

En vertu du théorème 15 de notre travail cité [9], le critère de Steffensen est certainement applicable si

Ia première condition est toujours vérifiée pour $p\geqq 2$ et, puisque $m-p+1\geqq\max\left(k_{1}^{\prime},k_{2}^{\prime},\ldots,k_{p}^{\prime}\right)$, la seconde condition est aussi toujours vérifiée pour $p\geqq 3$. Si $p=2$, cette seconde condition (20) est vérifiée, sauf si l’un des noeuds $z_{1},z_{2}$ est simple et l’autre (simple ou non) appartient à l’intervalle fermé $[-1,1]$.

Nous pouvons maintenant énoncer le
THÉORÈME 5. Le critère de simplicité de Steffensen (théorème 3) est toujours applicable à la formule (1) (supposée de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ).

D’aprés ce qui précède le théorème est démontré, sauf dans les cas d’exceptions signalés, donc sauf si les inégalités (20) ne sont pas simultanément vérifées et si , en vertu du théorème 4 , on a de plus $q>0$.
11. On pourrait éliminer les cas d’exceptions signalés en utilisant, au lieu du théorème 15 du notre travail cité [9], un critère de simplicité plus puissant, mais nous ne nous occuperons pas de cette question ici. Nous continuerons par l’analyse des cas d’exceptions signalés. De cette manière nous aurons l’occasion d’établir l’existence et l’unicité de certaines formules du type (1). La démonstration du théorème 5 dans ces cas d’exceptions sera indirecte et consistera à montrer que si les hypothèses du théorème 3 sont vérifiées cu theoreme 3 sont verinees, le reste est bien de la forme simple.

Compte tenant de la symétrie du problème par rapport à l’intervalle $[-1,1]$ il suffit d’examiner les deux cas d’exceptions suivants :

Cas 1. $p=1,-1\leqq z_{1}<1$
Cas 2. $p=2,k_{2}=1,-1\leqq z_{1}\leqq 1,z_{1}<z_{2}$

Il suffit aussi d’éliminer d’ici l’examen direct des cas où $q=0$.
12. Cas $1(p=1)$. Pour simplifier un peu les notations, posons

et nous pouvons supposer $-1\leqq\alpha<1$.

Nous avons

Le polynome $P_{0}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$ si, ou bien $\alpha=-1$, ou bien $k$ est pair. Si $k$ est impair et $-1<\alpha<1$, le polynome $P_{0}(x)$ change de signe sur $[-1,1]$ et la condition $P_{1}(1)=0$, nous donne $\alpha=0$. Nous avons alors $P_{1}(x)=\frac{x^{k+1}-1}{k+1}\leqq 0$ sur $[-1,1]$.

Il suffit done de démontrer la simplicité du reste de la formule du type (1) :

Nous donnerons au § suivant la forme explicite de cette formule (formule (40)) et, en général, des formules (1) pour lesquelles $p=1$.
13. Cas $2\left(p=2,k_{2}=1\right)$. Pour simplifier les notations nous posons dans ce cas

Nous avons

et le polynome $P_{0}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$ dans les cas $\alpha=-1,\beta\geqq 1;k=$ pair, $-1<\alpha<1\leqq\beta$ et $\alpha=1<\beta$.

I1 reste à démontrer la simplicité du reste dans les formules suivantes du type (1) :
( $\mathrm{F}_{2}$ ) $\quad p=2,-1=\alpha<\beta<1,P_{1}(1)=0,q=1,n=k+1$
( $\mathrm{F}_{3}$ ) $\quad p=2,k=$ pair, $-1<\alpha<\beta<1,P_{1}(1)=0,q=1,n=k+1$
( $\mathrm{F}_{4}$ ) $\quad p=2,k=$ impair, $-1<\alpha<\beta=1,P_{1}(1)=0,q=1,n=k+1$
( $\mathrm{F}_{5}$ ) $\quad p=2,k=$ impair, $-1<\alpha<1<\beta,P_{1}(1)=0,q=1,n=k+1$
( $\mathrm{F}_{6}$ ) $\quad p=2,k=$ impair, $-1<\alpha<\beta<1,P_{1}(1)=P_{2}(1)=0,q=2,n==k+2$

Dans les formules $\left(\mathrm{F}_{2}\right)-\left(\mathrm{F}_{5}\right)$ la fonction $P_{1}(x)$ change de sens de monotonie sur $[-1,1]$ une seule fois (au point $\beta$ pour $\left(\mathrm{F}_{2}\right)$, $\left(\mathrm{F}_{3}\right)$ et au point $\alpha$ pour $\left(\mathrm{F}_{4}\right),\left(\mathrm{F}_{5}\right)$ ). De $P_{1}(1)=0$ il résulte donc que $P_{1}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$.

L’égalité $P_{1}(1)=0$, dans le cas de la formule $\left(\mathrm{F}_{2}\right)$, nous donne $\beta=\frac{k}{k+2}$ qui est bien compris dans $(-1,1)$. Ceci démontre l’existence d’une unique telle formule.

Pour la formule $\left(\mathrm{F}_{3}\right)$ 1’équation $P_{1}(1)=0$ devient
(23)

d’où on déduit
(24)

De (23) il résulte, en tenant compte de $-1<\alpha<1$, que nous avons $\beta-\alpha>0$ respectivement $\beta-\alpha<0$ suivant que $\alpha<0$ respectivement $\alpha>0$. De (23) il résulte que $1-\beta>0$. Il en résulte qu’il existe une formule unique $\left(F_{3}\right)$ pour tout $\alpha\in(-1,0)$.

Dans le cas des formules $\left(\mathrm{F}_{4}\right),\left(\mathrm{F}_{5}\right)$, l’égalité $P_{1}(1)=0$ devient
(25)

qui détermine $\beta$ en fonction de $\alpha$. La formule (25) nous montre que pour avoir $\alpha<\beta(-1<\alpha<1)$ il faut et il suffit que $\alpha$ soit négatif. La dérivée de $\beta$ par rapport à $\alpha$,

nous montre que $\beta$ est une fonction croissante de $\alpha$ sur $[-1,0)$. On voit facilement que si $\alpha$ varie de -1 à $0(-1\leqq\alpha<0),\beta$ croît de $\frac{h}{h+2}$ à $+\infty$ Il existe donc une formule et une setule de la forme ( $\mathrm{F}_{4}$ ) et pour cette formule $\alpha$ est égal à un nombre $a$ compris entre -1 et $0(-1<a<0)$, bien déterminé. Pour tout $\alpha\in(a,0)$ il existe une formule et une seunt forme ( $\mathrm{F}_{5}$ ).

Il reste à démontrer qu’il existe une formule de la forme ( $\mathrm{F}_{6}$ ). En supposant $P_{1}(1)=0$, le polynome $P_{1}(x)$ change de signe sur l’intervalle $[-1,1]$, dans ce cas, une seule fois. Si donc nous avons $P_{2}(1)=0$, le polynome $P_{2}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$. Compte tenant de (25), $P_{2}(1)$ est donné par la formule

et est une fonction de $\alpha$. I a dérivée de cette fonction est donnée par la formule

La fonction $P_{2}(1)$ de $\alpha$ est donc croissante sur l’intervalle $[-1,0)$. Elle a la valeur négative $-\frac{2^{k+3}}{(k+2)^{2}(k+3)}$ pour $\alpha=-1$ et est certainement positive pour $a\leq\alpha<0$ (puisqu’alors $P_{1}(x)$ ne change pas de signe sur $[-1,1]$ ). Il en résulte qu’il existe un point et un seul $\alpha=a^{*}$ dans l’intervalle $(-1,a)$ pour lequel $P_{2}(1)=0$. Si $b^{*}$ est la valeur de $\beta$ tirée de (25) pour $\alpha=a^{*}$, l’unique formule de la forme ( $F_{0}$ ) s’obtient pour $\alpha=a^{*},\beta=b^{*}$.

Nous avons donc démontré l’existence des formules $\left(\mathrm{F}_{2}\right)-\left(\mathrm{F}_{6}\right)$ et même l’unicité des formules $\left(F_{2}\right),\left(F_{4}\right),\left(F_{6}\right).I^{\prime}$ ’existence de la formule $\left(F_{6}\right)$ résulte aussi, autrement d’un autre de nos travaux [8].

Nous donnerons au § stuivant la forme explicite de certaines de ces formules (formule (45) ) et, en général des formules pour lesquelles $p==2,k_{2}=1$ (formule (40)).

Pour les formules $\left(F_{1}\right)-\left(F_{6}\right)$ (nos. 12, 13) nous avons indiqué aussi 1a valeur correspondante de $q$ et leur degré d’exactitude $n$.

La démonstration de la simplicité des restes des formules $\left(F_{1}\right)-\left(F_{6}\right)$ sera donnée dans le § suivant. De cette façon le théorème 5 sera démontré.

Pour terminer ce § nous allons faire quelques applications.
14. Première application. Les formules de Cotes sont des formules de quadrature de la forme (1) avec tous les noeuds simples et équidistants (et de degré d’exactitude $\geqq m-1$ ).

Plus généralement considérons avec J. E. STEFFENSEN, la formule du type (1)

où $m=s-2r+1$, s étant un nombre naturel, $r$ un entier $\leqq\frac{1}{2}s$ et les noeuds (simples) étant donnés par les formules

Les coefficients $c_{i},i=1,2,\ldots,m$ sont complètement déterminés par la condition que la formule (26) ait son degré d’exactitude $\geqq m-1$.

THÉORÈME 6. Le reste de la formule de Cotes (26) est de degré d’exaclitude $2\left[\frac{m-1}{2}\right]+1$ et est de la forme simple.

Pour démontrer ce théorème il suffit de modifier très peu la démonstration de J. E. STEFFENSEN [12] donnée par lui, en supposant que 1a fonction $f$ ait une dérivée continue d’ordre $2\left[\frac{m-1}{2}\right]+1$

Pour 1a démonstration on distingue deux cas suivant la parité du nombre $m$ (ou de $s$ )

1. 1.

   Si $m$ est impair, donc $s$ est pair, on a $\int_{a}^{b}l(x)dx=0$ et

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C’est justement cette inégalité qui a été démontrée d’une façon très élégante par J. E. STEFFENSEN.

Le critere de Steffensen est applicable (on considère l’intervalle $[a,b]$ au lieu de $[-1,1]$ ). Le reste $R[f]$ de la formule (26) est de degré d’exactitude $m$ et est de la forme simple.

Remarquons, de plus, que, dans ce cas, nous avons
(29)

pour toute fonction (continue) $f$ convexe d’ordre $m$.
2. Si $m$ est pair, donc $s$ est impair, toujours d’après J. E. STEFFENSEN nous décomposons le reste

en la somme

correspondante à la décomposition $\left[a,b-\frac{b-a}{s}\right]\cup\left[b-\frac{b-a}{s},b\mid\right.$ de l’intervalle d’intégration $[a,b]$ du second membre de (30). Nous avons [12],

qui est le reste d’une formule de la forme (26) correspondante à $m-1$, donc à un nombre impair de noeuds, mais avec la même valeur de $r$. Il en résulte que nous avons

pour toute fonction (continue) $f$ convexe d’ordre $m-1$.
Nous avons aussi

Ici nous avons $(-1)^{\min(r-1,0)}l(x)\geqq 0$ sur l’intervalle $\left[b-\frac{b-a}{s},b\right]$ et, en vertu du théorème $3,R_{2}[f]$ est de degré d’exactitude $m-1$ et de la forme simple. De plus nous avons

pour toute fonction (continue) $f$, convexe d’ordre $m-1$.
De (31) - (33) il résulte que l’inégalité (29) est encore vérifiée pour toute fonction (continue) $f$, convexe d’ordre $m-1$.

On voit que ce résultat est valable même si $s=1$. On a alors $R[f]=R_{2}[f]$.

Le théorème 6 est donc démontré. On voit aussi que dans la formule (2) our (3), dans ce cas, nous avons $\mathrm{sg}M=\mathrm{sg}R\left[x^{n+1}\right]=\mathrm{sg}(-1)^{\mathrm{min}(r-1,0)}$. $L_{e}$ signe du coefficient numérique $M$ dépend uniquement du nombre $r$.
15. Seconde application. Une formule du type (1), avec des noeuds simples, des coefficients $c_{i,0},i=1,2,\ldots,p(=m)$ tous égaux et de degré d’exactitude $\geq m$, s’appelle une formule de quadrature de Tchebycheff. Une telle formule est donc de la forme

où les noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}$ sont déterminés (en dehors d’une permutation) par la condition que la formule considérée ait le degré d’exactitude $\geqq m$.

On sait qu’une telle formule existe seulement pour les valeurs 1,2 , $3,4,5,6,7,9$ de $m$. Les noeuds sont alors à l’intérieur de l’intervalle $[-1,1]$ et on peut prendre $E=[-1,1]$.

Nous avons 1 e
théorème 7. Le reste de la formule de Tchebycheff (34) (pour les valeurs possibles de $m$ ) est de degré d’exactilude égal à $2\left[\frac{m}{2}\right]+1$ et est de la forme simple.

La propriété résulte en appliquant le théorème 3.
Le polynome $l(x)=P_{0}(x)$ se trouve être calculé, par exemple, dans le livre de V. I. Krilov [2]. Ce polynome est donné par le tableau