L’application de la méthode des approximations successives à l’intégration numérique des équations différentielles

6 months ago

D.V. Ionescu

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Abstrait

Traduction en anglais du titre

Application of the method of successive approximations to the numerical integration of differential equations

Auteur(s)

D.V. Ionescu
Institutul de Calcul

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https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/10/1959-D.V.-Ionescu-Lapplication-de-la-methode-des-approximations-successives-in-Bull.mathem.de-la-Soc.des-Sc.mathem.et-phys.de-t.359nr.41959pp.423-431.pdf

Pour citer ce travail

D.V. Ionescu, L’application de la méthode des approximations successives à l’intégration numérique des équations différentielles. (French) Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumaine (N.S.) 3 (51) 1959 423–431.

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Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumaine

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Cet travail a ete republie en Roumain dans:

D.V. Ionescu, Application of the method of successive approximations to the numerical integration of differential equations, Acad. R. P. Romîne Fil. Cluj Stud. Cerc. Mat., 11 1960, 273–286.
[Aplicarea metodei aproximărilor succesive la integrarea numerică a ecuațiilor diferențiale]

??

HTML forme du travail (preprint)

1959-D.V.-Ionescu-Lapplication-de-la-methode-des-approximations-successives-in-Bull.mathem.de-la-Soc

BULL. MATH. de la Soc. Sci. Math. Phys. de la R.P.R.
Tome 3 (53)

n^{\circ}

4, 1959

L'APPLICATION DE LA MÉTHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES A L'INTÉGRATION NUMERIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

PAR

D. V. IONESCU (Cluj)

Considérons l'équation différentielle

y^{'} = f (x, y)

où la fonction

f (x, y)

est définie et a des dérivées partielles du premier et du second ordre continues dans le rectangle

D

défini par les inégalites

x_{0} ⩽ x ⩽ x_{0} + a, | y | ⩽ b .

Désignons par y (x) l'intégrale de cette équation qui vérifie la condition

y (x_{0}) = 0

et soit

ε

un nombre positif donné.

Dans ce travail, nous allons montrer, en appliquant la méthode des approximations succesives, qu'on peut déterminer sur l'intervalle

[x_{0}, x_{0} + a)

un réseau

Γ

de nœuds

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}

et un algorithme de calcul pour le calcul des nombres

y_{i}^{(z)}

où

s = 0, 1, 2, \dots

, v de manière à avoir

| y (x_{i}) - y^{(y)} | < 2 ε

sur tous les nœuds du réseau

Γ

.
Pour fixer le nombre v nous tenons compte de la méthode des approximations successives et pour le choix du nombre des nœuds n et de l'algorithme de calcul pour les nombres

\sum_{i}^{(s)}, s = 0, 1, \dots

, v nous nous servirons de la formule de quadrature du trapèze.

Ce théorème a été communiqué au Colloque de Mécanique [1] tenu à Bucarest (25-29 octobre 1959) et une extension aux équations aux dérivées partielles du second ordre de type hyperbolique a été communiqué au Colloque sur la théorie des équations aux dérivées partielles [2] tenu à Bucarest (21-26 septembre 1959)

§ 1. Équations dillérentielles

Considérons l'équation différentielle
(1)

y^{'} = f (x, y)

où la fonction /

(x, y)

eal continue dane Ie metangle

D

défini par frog infegiltes
(2)

x_{b} ⩽ x ⩽ x_{b} + a . | y | ⩽ b

et sutisfait à la condition de LIPSCHITZ
(3)

| / (x, F) f (x, y) | \dots A | F y |

où

A

est une constante.
Dans ces conditions, on eait que l'équation differentielle (1) a une intégrale unique nulle pour

x

-

x_{0}

- kile cat definie wor l'intervalle

[x_{0} x_{0} + h_{1}]

où
(4)

h_{1} = min (a, \frac{b}{M})

le nombre

M

tiant une borne sapérieore de

| / (x, y) |

dans lo rectangie

D

.
l'intégrale

y (x)

pent étre obtenue par la méthode des approximations successives. On construit la mite des fonctions

{y^{(n)} (x)}

, où
(b)

\begin{aligned} y^{(m)} (x) - \int_{- 4}^{3} f [ξ, 0] d ξ \\ (6) & y^{(n)} (x) - \int_{α_{4}}^{π} f [ξ y^{(0 - 1)} (ξ)] d ξ . \end{aligned}

On sait que la mérie

y^{(1)} (x) + \sum_{i = 1}^{\infty} [y^{(1)} (x) - y^{(0 - 1)} (x)]

est abooluement et aniformement convergente sur l'intervalle

[x_{0}, x_{0} + h_{1}]

et que la somme de cette nérie reprémunte l'intégrale de l'équation différentiollo (1) qui satidait à la condition

y (x_{0}) - 0

. On pent 6erire l'integrale

y (x)

sous la forme

y (x) = y^{(n)} (x) + \sum_{n = 1}^{\infty} [y^{(n)} (x) - y^{(n - 1)} (x)]

et on démontre l'inégalite

| y (x) - y^{(1)} (x) | < \frac{M}{A} e^{μ_{1}} \frac{{(A μ_{1})}^{γ + 3}}{(ν + 2)!} .

Cela étant soit e un notmbre positif donné. On peut alore choinir le plus petit nombre naturol v de manidre à aroir

\begin{matrix} (7) & \frac{M}{A} < \frac{{(A h_{1})}^{r + 1}}{(v + 2) T} < ϵ \end{matrix}

et nous aurons
(8)

| y (x) - y^{(y)} (x) | < c .

le nombre naturel y une fois choisi, resters fix et jouern un rôle important dans l'intégration numérique de l'equation différentielle (1).

____

9. Pour l'integration nomerique de l'equation differentielle (I) arer la condition

y (x_{0}) = 0

, nous ferona dex nouvelles hypotheses mi la lonction / (x, y), qui sont liter au procedé d'intépration numerique que nows alions donner dans ee travail.

Nous supposerons que la fonction

f (z, g)

sit des derives partielles par npport &

x

ot a y du premier et du wrond ordre, continues dans Ie relangle D. Dans ces conditions le nombre A de l'inégalité de Lipachitz (3) eat ane borne supericure de

| \frac{\partial f}{\partial y} |

dans le rectangle

D

.

On demontre que les fonctions gos (

x

) donsers par les formales (6) et (6) cat des dérivées du premier et du second ordre continues ar l'intervalle

[x_{0}, x_{0} + h_{1}]

On peut calculer des bornes ruperiesurs de

| \frac{d y^{(n)} (x)}{d x} | \cdot | \frac{d^{n} (x)}{d x^{2}} |, (x = 0, 1.2 \dots . v)

sur l'intérvalle

[x_{0}, x_{0} + h_{1}]

en utilizant wolement les hornes mpérieures de

| / (x, y) | . | \frac{\partial f}{i x} | \cdot | \frac{\partial f}{\partial y} |

dans to rectangle

D

.
Il résulte que les fonctions

p^{2 n} (x) = / | x, y^{0 - 1} (x) |

une borne supérienre de

| \frac{P^{*} (x)}{P^{3}} |

pour

s = 0, 1, \dots, v_{0}

sur l'intervalle

[x_{0}, x_{0} + h_{1}]

le nombre N jouera un role important dans le calcat approximatif des integrales ( 0 ) et ( 6 ) pour

s = 0, 1, \dots, v

.

Nous désignerons par h un nombre positif d'6́fini par
(9)

A = min (a \frac{b - δ}{M})

où & est un nombre positif domá, awes petit. I eat tvident que nons avous

h < h_{1}

.

Aveo ces hypotheves tous pouvoas passer à l'intégration anmérique de l'équation

uur l'intervalle

[x_{6}, x_{6} +

h

]

, en progrwaion arithmotique et un algorithme pour lo calcul des nombres go pour s

= 0, 1, \dots

, v de manière a avoir sur les norus du réseau I

\begin{matrix} (10) & | y^{(1)} (x_{1}) - y^{p} | < c . \end{matrix}

de ta formale de quadrature du trapize

\begin{matrix} (11) & \int_{0}^{0} f (x) d x = \frac{β - α}{2} U (α) + / (β)) + R_{1} . \end{matrix}

on
(12)

R = \int_{0}^{0} \frac{(x - α) (x - β)}{2} f^{'} (x) d x .

Si N, ext une borne rupérieure de

| /^{\circ} (x) |

car l'intervalle

[α, β]

. nous aurons
(13)

| R | ⩽ \frac{(β - α)^{3}}{12} N_{1} .

4 Divisons l'interculle [

x_{0}, x + b

] ca parties egales par les points

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1}

. Ias nords

x_{3}, x_{1} \dots \dots x_{1}

où

x_{1} = x_{6} + h

forment un rewas

Γ

. Now allons calculer les valeuse des fonctions

g^{(4)} (x)

, pour

s \sim 0, 1, \dots

ver les meads do réwer Γ.

Nom avons d'abord

5^{\infty} (x_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{1}} / ∣ ξ, 0] d ξ .

È appliquant is formule de quadrature (II) à chaquo iytervalle [

x_{a}

.

x_{1}

]

[x_{2}, x_{2}] \dots, [x_{i - 1}

.

x_{i}]

et en ajoutant, nons avons la formule

\begin{matrix} (HA) & y^{(n)} (x_{i}) = y_{i}^{(n)} + R_{i}^{(n)} . \end{matrix}

ભ્યે
(Ib)
et

n^{p} = \frac{h}{2 n} [f (x_{0}, 0) + f (x_{i}, 0) + 2 \sum_{i = 1}^{i - 1} f (x_{i}, 0)]

| R^{p} | < \frac{H^{3}}{12 π^{3}} i N < \frac{n^{3}}{12 π^{3}} N

pareque

\frac{i}{n} < I

.
Soit e un nombre positif que nous determinerons plus loin. Nous choisirons le nombre n, le plus petit nombre naturel, tel que

\begin{matrix} (16) & \frac{h^{3}}{12 n^{3}} N < c_{1} \end{matrix}

Le nombre n étant choini de cette manière il restera fixe dans la suite, et nous surons dans to formule (14)
(17)

| R^{(n)} | < c

i. Pour In fonction y(1) (x). nons nome

y^{11} (x_{1}) - \int_{x_{0}}^{J_{1}} ∣ ξ y_{1} (E_{1}) E_{0}

ei pur lea neuidn

x_{1}

noue avons

y^{(1)} (x_{1}) - \int_{x_{0}}^{x_{4}} f [ξ y_{5} (ξ)] ε_{6} .

Nous procédons comme au nr. 4. et en appliquast la formule de quadrature du irapeze anx intervalles

[x_{0}, x_{1}]

.

[x_{1}, x_{1}] \dots, [x_{1}, \dots, x_{1}]

none nurons
(18)
où
(10)

g^{(1)} (x_{1}) - [g^{(1)}] + η^{(1)}

(II)

| r_{1}^{(n)} | < c_{1}

et où
(20)

[y^{(1)}] - \frac{h}{2 n} | f [x_{0}, y^{(n)} (x_{0})] + f [x_{1}, y^{(n)} (x_{1})] + 2 \sum_{i = 1}^{L - 1} | [x_{1}, y^{n} (x_{1})] |

Introduisone lea nombres yp

^{(1)}

par la formule
(21)

y^{(1)} - \frac{h}{2 n} {f (x_{0}, 0) + f (x_{1}, y_{1}^{(n)}) + 2 \sum_{i = 1}^{i - 1} f (x_{1}, y_{i}^{(n)})}

.

Nous aurons
(22)

[y^{(1)}] - y^{(1)} + p^{(1)}

où

p^{(1)} - \frac{h}{2 n} {f (x_{1}, y (x_{1}^{(n)})) - f (x_{1}, y_{1}^{(n)}) + 2 \sum_{- 1}^{4} U (x_{1}, y^{(n)} (x_{1})) - l (x_{1}, y^{n})}

Fin tenant compte de l'inégalité de Lipsciirz (3) et des integlités (17), nous avons

| p_{i}^{(1)} | < \frac{1}{2 n} (2 i - 1) d c_{1}

c'eut A dire
(29)

| p^{(1)} | < Δ h c_{1}

En revenant i la formulo (18) nous pouvons berire
(24)

y^{(1)} (x_{1}) = y^{v} + B^{v}

où, d'apres les integalites (19) ot (23) nous avons
c'est à diro
(26)

\begin{aligned} | R^{(1)} | ⩽ ε_{1} + d A ε_{1} \\ | R^{(1)} | ⩽ (1 + R) ε_{1} \end{aligned}

od nons avons note
(26)

K - A h

Passons au cas géaéral. Supposone que nons avone demontre que
(27)

| g^{(t - 1)} (x_{j}) - y_{j}^{f - 4)} | < (1 + K + \dots + K^{- 1}) ε_{1}

pour j-I. 2.... n, od̀

y^{f - 1)} - \frac{1}{2 n} | f (x_{0}, 0) + f (x_{1}, y_{1}^{f - m}) + 2 \sum_{m = 1}^{i - 1} | (x_{1}, y_{0}^{f - m_{1}}) |

et démontrons qu'es introduizant le nombre yso par la formule
(28)

y^{(1)} - \frac{h}{2 n} {f (x_{0}, 0) + f (x_{0}, x^{(0 - 1)}) + 2 \sum_{j = 1}^{j - 1} f (x_{1}, y_{j}^{(0 - 1)})}

ones avons aresi
(29)

| y^{(1)} (x_{1}) - y^{(2)} | ⩽ (1 + K + \dots + K^{+}) r_{1},

ED effet, mons avons

y^{(1)} (x_{1}) = \int_{x_{0}}^{\infty} \int [ξ y^{(0 - 1)} (ξ)] d ξ .

En procedant comme au nr. O. nons avons

\begin{matrix} (30) & y^{(0)} (x_{i}) = [y^{(0)}] + η^{(0)} \end{matrix}

où
(31)

| γ^{(0)} | < r_{1}

et
(32)

[y^{(i)}] = \frac{h}{2 π} {[x_{0}, y^{(k - 1)} (x_{0})] + / [x_{1}, y^{(0 - 1)} (x_{1})] + 2 \sum_{j = 1}^{j - 1} / [x_{1}, y^{(0 - 1)} (x_{j})]}

Ins formules (28) et (32) montreat que

\begin{matrix} [y^{(i)}] = y^{(i)} + p^{(0)} \\ {\hat{p}}^{(i)} = \frac{1}{2 n} {/ [x_{i}, y^{(o - 1)} (x_{i})] - / [x_{i}, y_{i}^{(o - 1)}] + 2 \sum_{j = 1}^{i = 1} U (x_{i}, y^{(o - 1)} (x_{i})) - / (x_{i}, y_{i}^{(o - 1)})]} . \end{matrix}

Tenant compte de l'inégalité de lapschitz et des inégalités (27), nous avons

| p (p) | < \frac{h}{2 n} (2 i - 1) A (1 + K + \dots + K^{2 - 1}) r_{1}

"
13)

| {\hat{p}}^{(i)} | ⩽ K + K^{2} + \dots + K^{0}) c_{1} .

II rAulte Alon que nons pouvons Ariur

y^{(n)} (x_{1}) - y_{0}^{n} + k_{1}^{n} .

où

R^{(n)} - r^{n} + {\hat{p}}^{n} .

Tonant complo des integaliten (31) et (33). il réwulte que nous avons

| R^{(n)} | ⩽ {(1 + K + \dots + K^{'})}_{n_{1}}

ec qui prouve que l'inégalité (29) est démontrés.
7. Nous avons trouvé done un algorithme pour le calcat des nombres siso par les formules (16) et (28). Il nons reste maintenant de prider le nombre ci. Nons prendrons d'abord le nombre

ϵ_{1}

de maniere que le meond membre de Pinégalité (20) pour s - y soit plus petit que c. Nons preudrons done

c_{1} ⩽ \frac{ε}{1 + K + \dots + K} .

Mnis il y a encore une condition pour le nombre a. Pour que la formule (28) ait un sens pour s - v. il faut que le point de coordonnees (

x_{i}

.

{\hat{y}}^{- 1}

) se troave dans lo rectangic D. De l'identité

y^{(n - 1)} - - [y^{(n - 1)} (x_{k}) - y^{(- 1)}] + y^{(n - 1)} (x_{l})

et de la définition du nombre h, nons deduisomes que

| ℜ^{(- 1)} | ⩽ | R^{(- 1)} | + b - δ < (1 + K + \dots + K^{-}} c_{1} + b - δ

ou encore
郎

| m^{(p - 1)} | < (1 + K + \dots + K) c_{1} + b - c

Pour avoir

| y^{(p - 1)} | ⩽ b

, il faut que

c_{1}

vérifie la condition

c_{1} ⩽ \frac{3}{1 + K + \dots + K}

Donc, on choisi le nombre ca par la formule

\begin{matrix} (34) & ε_{1} - min (\frac{ε}{1 + K + \dots + K}, \frac{λ}{1 + K + \dots + K}) \end{matrix}

lo nombro

c_{1}

btant ainai prevish, le point de coordonnes

(x_{1}, y^{(n)})

où

3 = 0, 1, \dots, v - 1

so trouve dans lo rectanglo la

D

. En effet, en procedant comme plus haut, nous avons

| y^{(j)} | < | k^{(k)} | + b - δ < (1 + K + \dots + K^{'}) c_{1} + b - b

ou enooro

| y^{(0)} | < (1 + K + \dots + K^{'}) ε_{1} + b - δ < b .

Tranat compte des inćgalite et de l'indentité

! g (x) - y^{(n)} (x) \leq e . y^{(n)} (x_{1}) - y^{(n)} ∣< 0

(38)

η (x_{1}) - ξ^{''}! < 2 ε .

pine priser pue ic.
9. Dansua auter uravil [3] nons avons montró que si la fonction

f (x, y)

a des deviver partiedes par rapport ì

x

et à g. d'ordre plue grand que deux, continues dans le retangle D. ca prat choinir le reseau I d'une autre manière, eo employant d'antros formulive de quadratare. Nons arom traité en détail de l'intégration and'antros farmation différentielle (I), ma moyen de la méthode des approximution metique de lequation formule de quadrature de K. Petr. [4,6]. mexentes et de ha formule de quadrature de K. PETR. [4,6].

Buntim eax didvies partiales du secend exdre de type hyperbelique

IR. Now aroa fait une exteasion de la méthode précédente d'intégration numérique des equations différentielles (1), aux équations aux dérivees partielles da evond ordre de type hrperbolique [2]. Ce travail paraitra prochainement dans Marbrastica Toure ? (5). Nons avous d'abord établi par une oxtension de la méthode de J. Radon [6]. ta formule de cubature
(36)

\iint_{D} f (x, y) d z d y = \frac{(x_{1} - x_{1}) (y_{1} - y_{1})}{2} U (x_{1}, y_{1}) + f (y_{2}, y_{0})] + R

,
od

D

ent le rextangle défini par les integalités

x_{1} ⩽ x ⩽ x_{2}, y_{1} ⩽ y ⩽ y_{2}

et où le revte

R

est doasót par la formule

\begin{matrix} (37) & R - \iint_{D} (ρ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + ψ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + θ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}) d x d y \end{matrix}

arec

\begin{aligned} φ (x, y) - \frac{1}{2} (x - x_{1}) (x - x_{1}), \\ \dot{ψ} (x, y) - - \frac{1}{2} [(x - x_{1}) (y - y_{2}) + (x - x_{2}) (y - y_{1}) + (x_{3} - x_{1}) (y_{2} - y_{1})), \\ 0 (x, y) - \frac{1}{2} (y - y_{1}) (y - y_{1}) . \end{aligned}

Noux avone applique eneuite in methode dea approximationa muccoxiver et la formule de cubature (3si) è l'intépration numérique de l'equation anx derivéw parlinles

\frac{\partial^{a} s}{\partial x \partial y} - f (x, y, z, p, q) .

où

p - \frac{\partial z}{\partial z} \cdot q \dots \frac{\partial z}{\partial y}

, aver les conditions

z (x, 0) - 0, z (0, y) - 0

, dans le rectangle

Δ

formó par tes droites

x - 0, x - x, y - 0, y - μ

Nour avons montré qu'on peut determines us rewan T tormé par les droites

x - x_{1}, y - y_{2}

où les points

x_{1}

et

y_{2}

partagent les intervalles (

0, λ

) et (

0, μ

) en not m partice égales et chercher un algorithme de calcal poar les nombres : Sy, P&. (') de facon que c étant un nombre positif doan6, les valears sboolues des differencet