Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (VII)

Note présentée par Mr S. Stoilov, Mc. A. R., dans la séance du 14 juillet 1939.

I. Une fonction $f=f(x)$, définie et uniforme sur un ensemble linéaire quelconque E est dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe, ou concave d’ordre $n$ suivant que l’inégalité

est satisfaite quels que soient $\left.x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\in E^{1}\right)$.
Toutes ces fonctions sont des fonctions d’ordre $n$.
Nous dirons que l’ensemble E est décomposé en $m$ sous-ensembles consécutifs

si $\mathrm{E}_{i}\subset\mathrm{E},i=1,2,\ldots,m$, si tout point de E appartient à un E et si tout point de $\mathrm{E}_{i}$ est à gauche de tout point de $\mathrm{E}_{i+1},i=1,2,\ldots,m-1$.

Dans notre Thèse ² ) nous avons démontré la propriété suivante :
Théorème I. Si $f$ est d’ordre $n$ sur E , on peut décomposer cet ensemble en au plus $k+1$ sous-ensembles consécutifs sur chacun la fonction étant d’ordre $n-k$.

La propriété est vraie pour $k=I,2,\ldots,n+I$.
Cette propriété résulte du
Théorème II. Si $f$ est d’ordre $n$ et si
(I)

est un sous-ensemble tini quelconque de E , la suite
(2)

présente au plus $k$ variations de signes. Ici nous avons posé
(3) $\Delta_{k}^{i}=\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+k};f\right],i=\mathrm{I},2,\ldots,m-k,k=0,\mathrm{I},\ldots,m-\mathrm{I}$

Dans cette note nous nous proposons de donner une réciproque du théorème II.
2. Avant d’aller plus loin faisons quelques remarques sur les fonctions d’ordre $n$. Usant de la notation (3), toute différence divisée d’ordre $n+I$ de $f$ sur $n+2$ points, choisis parmi les points (I), est une moyenne arithmétique des différences divisées $\Delta_{n+1}^{1},\Delta_{n+1}^{2},\ldots,\Delta_{n+1}^{m-n-1}$, donc

les $\mathrm{A}_{i}$ étant indépendants de la fonction $f$. On a d’ailleurs sûrement
$\mathrm{A}_{i}>0,\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i_{n+2}-n-\mathrm{I}}>0$ si $i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n+2}$.
On en déduit immédiatement le
Lemme I. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction $f$, définie sur l’ensemble fini (1), soit convexe, non-concave, polynomiale, nonconvexe ou concave d’ordre $n$ est que l’on ait

De ce lemme résulte immédiatement le théorème II.
Démontrons encore le
Lemme II. Pour que la fonction $f$ soit d’ordre $n$ sur E ayant au moins $n+3$ points il faut et il suffit que l’on ait

quels que soient les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$ de E .
La condition est évidemment nécessaire. Montrons qu’elle est aussi suffisante. Il suffit en effet de montrer que la propriété n’est pas vraie pour une fonction qui n’est pas d’ordre $n$, il suffit donc de démontrer le

Lemme III. Si la fonction f n’est pas d’ordre $n$ sur E on peut trouver $n+3$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$ de E tels que l’on ait

Le fait que $f$ n’est pas d’ordre $n$ signifie qu’on peut trouver $n+2$ points $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\sigma_{n+2}$ de E tels que $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n+2};f\right]>0$ et $n+2$ points $\beta_{1}\beta_{2},\ldots,\beta_{n+2}$ de E tels que $\left[\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n+2};f\right]<0$. Rangeons tous les points distincts $o_{i},\beta_{i}$ dans une suite croissante (I). On a alors $n+3\leq m\leq 2n+2$. La suite des différences divisées

présente au moins une variation de signe, donc contient au moins deux termes non nuls et de signes contraires. Soit $\Delta_{n+1}^{p}$ le premier terme non nul dans (4) et $\Delta_{n+1}^{s}$ le premier terme non nul et de signe contraire avec $\Delta_{n+1}^{p}$. Enfin soit $\Delta_{n+1}^{r}$ le dernier terme non nul dans la suite $\Delta_{n+1}^{1},\Delta_{n+1}^{2}$, , $\Delta_{n+1}^{s-1}$. On a alors $\Delta_{n+1}^{r}.\Delta_{n+1}^{s}<0$ et $r<s$. Si $s=r+1$ l’inégalité $\Delta_{n+1}^{r}\Delta_{n+1}^{r+1}<\mathrm{o}$ démontre le lemme III. Si $s>r+\mathrm{I}$ on a $\Delta_{n+1}^{r+1}=\Delta_{n+1}^{r+2}=\ldots=\Delta_{n+1}^{s-1}=0$ et l’inégalité
$\left[x_{r},x_{r+1},\ldots,x_{r+n},x_{s+n};f\right]\left[x_{r+1},x_{r+2},\ldots,x_{r+n},x_{s+n},x_{s+n+1};f\right]<0$ démontre le lemme III.
3. Etablissons maintenant la réciproque du théorème II. Pour cela remarquons que $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};\mathrm{P}\right]=\mathrm{o}$ identiquement si P est un polynome de degré $n^{1}$ ). De là résulte cette propriété importante que toute fonction $f-\mathrm{P}$, où P est un polynome de degré $n$, jouit de la même propiété que $f$ par rapport à tout caractère de convexité d’ordre $\geq n$. Nous avons alors le

Théorème III. Si, quels que soient le polynome P de degré $n$ et le sousensemble fini ( I ) de E , la suite (2) correspondante à ( I ) et à la fonction $f-\mathrm{P}$ présente au plus $k$ variations de signes, la fonction $f$ est d’ordre $n$ sur E .

Il suffit de démontrer que si la fonction n’est pas d’ordre $n$, on peut trouver une suite (I) de E et un polynome P tels que la suite (2) présente plus de $k$ variations. Prenons pour celà, comme suite (I), $n+3$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$ de E tels que $\Delta_{n+1}^{1}.\Delta_{n+1}^{2}<0$, ce qui est possible d’après le lemme III. Déterminons d’abord le polynome $\mathrm{P}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{k-1}\lambda^{n-k+1}$ de manière que pour la fonction $f_{1}=f-\mathrm{P}$ on ait

La suite (2) correspondante devient, à des facteurs positifs près,

Mais (5), regardé comme un système de $k$ équations linéaires dans les $k$ inconnues $a_{0},a_{1},\ldots,a_{k-1}$, a son déterminant différent de zéro ² ). On peut donc modifier ces coefficients de manière que la suite (6) ait tous ses termes non nuls et de signes alternés, donc qu’elle présente $k+I$ variations de signes. Le théorème III est donc démontré. On voit que dans l’énoncé on peut ne considérer que les sous-ensembles finis de E ayant $n+3$ points.

4. Nous avons dit que le théorème I résulte du théorème II. Le théorème I a également une réciproque que nous étudierons dans un autre travail. Faisons ici seulement une remarque sur le cas $n=I$. Nous avons démontré dans une note précédente ¹ ) que l’inégalité
(7) $\quad f\left(x_{2}\right)\leq\max\left[f\left(x_{1}\right),f\left(x_{3}\right)\right],x_{1}<x_{2}<x_{3},x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathrm{E}$
est nécessaire et suffisante pour qu’on puisse décomposer l’ensemble E en au plus deux sous-ensembles consécutifs tels que sur chacun la fonction $f$ ou - $f$ soit monotone, la monotonie étant de sens opposés sur le deux sous-ensembles. En particulier, les fonctions d’ordre I vérifient cette propriété donc sont telle que $f$ ou - $f$ vérifie l’inégalité (7). Nous avons ici encore une réciproque et ainsi on peut énoncer le

Théorème IV. Pour que la fonction $f$ soit d’ordre I sur E il faut et il suffit que, quel que soit le nombre a, on puisse décomposer l’ensemble E en au plus deux sous-ensembles consécutifs sur chacun la fonction $f-\alpha x$ étant monotone, la monotonie étant de sens opposés sur les deux sous-ensembles.

La condition est nécessaire puisque $f-\alpha x$ est d’ordre i si $f$ est d’ordre I. Montrons qu’elle est aussi suffisante. Il suffit pour cela de montrer que si $f$ n’est pas d’ordre $I$ on peut trouver un nombre $\alpha$ de manière que $f_{1}$ et $-f_{1}$, avec $f_{1}=f-\alpha x$, ne vérifient pas la propriété exprimée par l’inégalité (7). Si $f$ n’est pas d’ordre I on peut trouver 4 points $x_{1}$ of $<x_{3}<x_{4}$ de E de manière que

Déterminons le nombre $\alpha$ de manière que.
$\left[x_{2},x_{3};f\right]>a>\max\left(\left[x_{1},x_{2};f\right],\left[x_{3},x_{4};f\right]\right)$ si $\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]>0\left[x_{2},x_{3};f\right]<\alpha<\min\left(\left[x_{1},x_{2};f\right],\left[x_{3},x_{4};f\right]\right)\operatorname{si}\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]<0$.

En posant alors $f_{1}=f-\alpha x$, on a

dans le premier cas et

dans le deuxième cas. On vérifie immédiatement que $f_{1}$ et $-f_{1}$ ne vérifient pas l’inégalité (7).

On peut choisir les nombres $\alpha,\beta$ de manière que si $f_{1}=f+\alpha x+\beta$ on ait $f_{1}\left(x_{2}\right)=\mathrm{A},f_{1}\left(x_{3}\right)=\mathrm{B},\mathrm{A},\mathrm{B}$ étant deux nombres quelconques. En prenant A négatif, B positif suffisamment petits si $\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]>\mathrm{o}$ et A positif, B négatif suffisamment petits si $\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]<0$, on a

dans le premier cas et

dans le deuxième cas. On en déduit le
Théorème V. Pour que la fonction j soit d’ordre I sur E il faut et il suffit que, quels que soient les nombres $\alpha,\beta$, on puisse décomposer l’ensemble E en au plus trois sous-ensembles consécutifs sur chacun la fonction $f+\alpha x+\beta$ étant de signe invariable.

On peut maintenant entrevoir la réciproque du théorème I dans le cas général mais, comme nous l’avons dit, nous reviendrons sur cette question dans un autre mémoire.

Cernăuți, le 5 juillet 1939.