Remarques sur les équations algebriques dont les équations derivées ont toutes leurs racines réelles

ALGEBRE. - Remarques sur les équations algébriques dont les équations dérisées ont toutes leurs racines réelles. Note de M. Tibere Popoviciu, présentée par M. Hadamard.

Nous avons obtenu la propriété suivante :
Sil existe un polynome $\mathrm{Q}(x)$$\mathrm{Q}(x)$Q(x)\mathrm{Q}(x)$\mathrm{Q}(x)$ de degré $m$$m$mm$m$ tel que l'équation dérivée $[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=\mathrm{o}$$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=\mathrm{o}$[P(x)*Q(x)]^(')=o[\mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q}(x)]^{\prime}=\mathrm{o}$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=\mathrm{o}$ ait toutes ses racines réelles, il existe certainement un polynome $\mathrm{R}(x)$$\mathrm{R}(x)$R(x)\mathrm{R}(x)$\mathrm{R}(x)$ de degré $\leqq m$$\leqq m$<= m\leqq m$\leqq m$ tel que l'équation dérivée $[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$[P(x)*R(x)]^(')=0[\mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{R}(x)]^{\prime}=0$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$ ait toutes sēs racines réelles dont au plus $k+r-1$$k+r-1$k+r-1k+r-1$k+r-1$ sont distinctes.

La démonstration s'appuie sur la continuité des racines d'une équation algébrique par rapport aux coefficients et, en remarquant que, pour $m=0$$m=0$m=0m=0$m=0$, la propriété résulte du fait que si un polynome a un zéro multiple d'ordrev $(v>1)$$(v>1)$(v > 1)(v>1)$(v>1)$, sa dérivée a le même zéro multiple d'ordre $v-1$$v-1$v-1v-1$v-1$.

On peut dire aussi, sans préciser la nature des zéros du polynome $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$, que s'il existe un polynome $\mathrm{Q}(x)$$\mathrm{Q}(x)$Q(x)\mathrm{Q}(x)$\mathrm{Q}(x)$ tel que l'équation dérivée $[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=0$$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=0$[P(x)*Q(x)]^(')=0[\mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{Q}(x)]^{\prime}=0$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{Q}(x){]}^{\prime }=0$ ait toutes ses racines réelles, il existe un polynome $\mathrm{R}(x)$$\mathrm{R}(x)$R(x)\mathrm{R}(x)$\mathrm{R}(x)$ tel que l'équation dérivée $[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$[P(x)*R(x)]^(')=0[\mathrm{P}(x) \cdot \mathrm{R}(x)]^{\prime}=0$[\mathrm{P}(x)\cdot \mathrm{R}(x){]}^{\prime }=0$ ait toutes ses racines réelles dont au plus $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ sont distinctes.
2. Soit

$\mathrm{Q}(x)$$\mathrm{Q}(x)$Q(x)\mathrm{Q}(x)$\mathrm{Q}(x)$ étant un polynome, $c,d\ne 0$$c,d\ne 0$c,d!=0c, d \neq 0$c,d\ne 0$ des constantes réelles et $p$$p$pp$p$ un entier positif. Alors :

L'équation dérivée ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=0$${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=0$Gamma^(')(x)=0\Gamma^{\prime}(x)=0${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=0$ ne peut aroir toutes ses racines réelles.
C'est encore à l'aide de la continuité des racines que nous avons prouvé qu'il suffit de démontrer la propriété pour le cas où $F^{\prime }(x)$$F^{\prime }(x)$F^(')(x)F^{\prime}(x)$F^{\prime }(x)$ n'aurait que deux zéros distincts au plus, dont l'un toujours simple. Pour ce cas, on démontre la propriété directement.
3. Comme conséquence de la propriété précédente, nous avons le théorème suivant:
Si l'équation dérivée $f^{\prime }(x)=0$$f^{\prime }(x)=0$f^(')(x)=0f^{\prime}(x)=0$f^{\prime }(x)=0$ d'une équation algébrique de degré $n$$n$nn$n$ a toutes ses racines réelles et si l'équation $f(x)=0$$f(x)=0$f(x)=0f(x)=0$f(x)=0$ a un couple de racines imaginaires conjuguées a $\pm ib$$\pm ib$+-ib\pm i b$\pm ib$, cette équation ne peut avoir aucune racine réelle dans l'intervalle

Les limites ne sont atteintes que pour les équations

C étant une constante.
4. Nous avons aussi examiné les équations qui n'ont qu'un seul couple de racines imaginaires conjuguées et obtenu le théorème suivant :

Si l'équation dérivée $f^{\prime }(x)=0$$f^{\prime }(x)=0$f^(')(x)=0f^{\prime}(x)=0$f^{\prime }(x)=0$ d'une équation algébrique de degré $n$$n$nn$n$ a toutes ses racines réelles et si l'equation $f(x)=0$$f(x)=0$f(x)=0f(x)=0$f(x)=0$ a un setil couple de racines imaginaires conjuguées a $\pm$$\pm$+-\pm$\pm$ ib, cette equation ne peut apoir aucune racine dans l'intervalle

oừ ${\lambda }_n$${\lambda }_n$lambda_(n)\lambda_{n}${\lambda }_n$ est la racine réelle et positive de l'équation

Les limites sont atteintes pour les équations

où les signes se correspondent, et

Lorsque $n$$n$nn$n$ croit, ${\lambda }_n$${\lambda }_n$lambda_(n)\lambda_{n}${\lambda }_n$ décroit et tend vers une limite positive $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ pour $n\to \mathrm{\infty }$$n\to \mathrm{\infty }$n rarr oon \rightarrow \infty$n\to \mathrm{\infty }$. On peut donc énoncer une propriété analogue ne dépendant pas du degré n. Les racines sont extérieures à un intervalle ( $a-\lambda b,a+\lambda b$$a-\lambda b,a+\lambda b$a-lambda b,a+lambda ba-\lambda b, a+\lambda b$a-\lambda b,a+\lambda b$ ), où $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ est la racine réelle et positive de l'équation

Les limites ne sont pas atteintes, mais le nombre $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ ne peut être remplacé par aucun autre nombre plus grand.
$\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ est voisin de o,5. Plus exactement, il est compris entre o,4946 et o,4947.

M. Jullia.