SUR CERTAINÉS INEGALITÉS ENTRE LES ZÊROS, SUPPOSÉS TOUS RÉELS, D’UN POLYNOME ET CEUX DE SA DÉRIVÉE

Prof. TIBERIU POPOVICIU

1.
- —
  
  Considérons un polynome $f(n)$ de degré $x$ ayant tous sés zéros réels et soient
  (1)

x_{1}\leqq x_{2}\leqq\cdots\leqq x_{n}

ces zéros.
On sait que la dérivée $f^{\prime}(x)$ a aussi tous ses zéros réels. Désignons par
(2)

y_{1}\leqq y_{2}<\cdots\leq y_{n-1}

les zéros de $f^{\prime}(x)$ .
Entre les zéros (1) et (2) nous avons d’abord l’égalité fondamentale

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}y_{j}

exprimant l’égalité de leurs moyennes arithmétiques respectives. Cette égalilé est d’ailleurs vraie sans la restriction de la réalité des zéros.

Il y a aussi entre les zéros (1) et (2) des relations d’inégalité importantes. Nous avons d’abord

x_{i}\leqq y_{i}\leqq x_{i+1},\quad i=1,2,\ldots,n-1,

qui sont des conséquences immédiates du théorème de Rolle. ll est à remarquer que, par suite des notations employées, le
signe $=$ est valable dans les deux formules (4) si et seulement si $x_{1}=x_{i+1}$ .

LAGUERRE a précisé les inégalités (4) en démontrant que

\frac{(n-1)x_{1}+x_{i}+1}{n}\leqq y_{i}\leqq\frac{x_{i}+\left(n-1x_{i+1}\right.}{n}

(5)

mais, comme l’a montré M. J v. Sz. NAGY ¹ ), nous avons aussi les inégalilés plus précises

\frac{(n-i)x_{i}+x_{i}+1}{n-i+1}\leqq\cdots\leqq\frac{x_{i}+ix_{i}+1}{i+1}

(6)

2.
- —
  
  Nous avons déduit la propriété (6) d’une propriété générale des zéros $y_{j}$ en fonction des zéros $x_{i}{}^{2}$ ). Nous allons rappeler cette propriété. Les zéros $x_{i}$ peuvent varier n’importe comment sur l’axe réel, mais en respectant toujours la convention (1) On peut se faire une idée de cette variation en imaginant que les zéros $x_{i}$ soient des points matériels impé. nétrables (ce qui n’exclut pas la possibilité, que deux uu plusieurs de ces points soient dans le même point géométrique de l’axe réel). Alors les zéros $y_{i}$ sont des fonctions contirues des $x_{i}$ . On peut encore raisonner de la manière suivante. Soit $X$ le point de coordonnées $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ dans un espace ordinaire à $n$ dimensions. Les $x_{i}$ étant soumis à la restriciion (1), le point $X$ décrit une certaine région de cet espace. Soit aussi $Y$ le point de coordonnées $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n-1}$ dans un espace ordinaire à $n-1$ dimensions. Alors le point $Y$ este une function continue du point $X$ .

Complétons encore les observations précédentes par une remarque bien simple. La suite (2) des $y_{j}$ peut s’appeler la suite dérivée de la suite (1) des $x_{i}$ . Alors si les $k$ premiers resp. les $k$ derniers points $x_{i}$ tendent vers $-\infty$ resp. vers $+\infty$ , les $k$ premiers resp. les $k$ derniers points $y_{j}$ tendent aussi vers $-\infty$ resp. vers $+\infty$ . De plus, les points $y_{k+1},y_{k+2},\ldots,y_{n-1}$

⁰⁰footnotetext: 1. Julius V. Sz. NAGY „Über algebraische Gleichangen mit lauter reillen Wurzeln" Jahresb. d. D. Math. Ver., 27, 37-43, (1918). Voir aussi, R, GODEAU „Sur les équations algébriques dont toutes les racines sont réelles* Mathesis, 45, 245=252, (1931). 2. Tiberru Popoviciu. „Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles". Mathematica 9, 129-145, (1945).

resp. $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n-k-1}$ tendent vers les points de la suite derivée de $x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{n}$ resp. $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-k}$ .

Revenons maintenant à la propriété signalée plus haut. C’est la suivante :

Lemme 1. - Les zéros $y_{j}^{\prime}$ sont des fonctions non-décroissantes des zéros $x_{i}$ .

Pour êlre complet et aussi pour préciser l’énoncé du lemme nous allons donner la démonstration. Il suffit évidemment d’examiner les variations des $y_{i}$ lorsque un des points $x_{i}$ varie très peu. Prenons le zéro $y_{i}$ et supposons que $x_{k}$ prenne un petit accroissement positif $h$ . Ceci exige $x_{k}<x_{k+1}\left(x_{n+1}=+\infty\right)$ . Si $x_{i}=x_{i+1}$ et $k\neq i+1,y_{i}$ ne varie évidemment pas. Si $x_{i}=x_{i-1}$ et $k=i+1,y_{i}$ devient plus grand d’après la remarque faite plus haut sur les inégalités (4). Soit maintenant $x_{i}<x_{i+1}$ et posons

		$\displaystyle f(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)==\left(x-x_{k}\right)\varphi(x)$
		$\displaystyle g(x)=\left(x-x_{k}-h\right)\varphi(x)$

$h$ étant toujours un nombre positif assez petit. Pour montrer que $y_{i}$ , est devenu plus grand il suffit de démontrer que $g^{\prime}(x)$ a un zéro dans l’intervalle ouvert ( $y_{i},x_{i+1}$ .). Dans le voisinage gauche de $x_{i+1}$ nous avons ³ )

\operatorname{sg}g^{\prime}(x)=(-)^{n-i-1}

(7)

Nous avons ensuite

g^{\prime}\left(y_{i}\right)=\varphi\left(v_{i}\right)+\left(y_{i}-x_{k}-h\right)\varphi^{\prime}\left(y_{i}\right)

Mais

\varphi\left(y_{i}\right)+\left(y_{i}-x_{k}\right)\varphi^{\prime}\left(y_{i}=0,\quad f\left(y_{i}\right)=\left(y_{i}-x_{k}\right)\varphi\left(y_{i}\right)\right.

donc

g^{\prime}\left(y_{i}\right)=\frac{hf\left(y_{i}\right)}{\left(y_{i}-x_{k}\right)^{2}}

d’où
3) Nous posons, comme d’habitude

\text{ sg }z=\left\{\begin{array}[]{r}1,\text{ si }z>0,\\ 0,\text{ si }z\geq 0,\\ -1,\text{ si }z<0.\end{array}\right.

(8)

\operatorname{sg}g^{\prime}\left(y_{i}\right)=\operatorname{sg}f\left(y_{i}\right)=(-1)^{n-1}

Les égalités (7) et (8) démontrent la propriété.
Finalement donc si un ou plusieurs zésos $x_{i}$ commencent à croître, tout zéro $y_{i}$ compris entre deux $x_{i}$ différents commence aussi à croître.
3. - Le lemme 1 permet immédiatement dè délinitér là somme

y_{i}+y_{i+1}+\cdots+y_{i+j-1},\quad 1\leqq i\leqq i+j-1\leqq n-1

(9)

Pour obtehir uné limitation inférieure il suffit de faire déeroitré indéfinimént les zéros $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1}$ èt de faíre décrultre jusqu’à $x_{i+j}$ les zétos $x_{i+j+1};x_{i+j+2},\ldots,x_{n}$ . De thêthè pour obtenir une limitation supérieure il suffit de faire éroltre indéfiniment les zéros $x_{i+i+1},x_{i+j+2},\ldots,x_{n}$ et de faire croître les zéros $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1}$ . jusqu’à $x_{i}$ . Les limitations cherchées sont donc données par les polynomes

\left(x-x_{i}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{i+j-1}\right)\left(x-x_{i+j}\right)^{n-i-j+1}

(10)

\left(x-x_{i}\right)^{y}\left(x-x_{i+1}\right)\left(x-x_{i+2}\right)\ldots\left(x-x_{i+j}\right)

(11)

et pour les obtenir il suffit d’écrire l’égalité (3) pour ces polynomes.

Nous obtenons ainsi la propriété suivante exprimée par le
THÉOREME 1. - Entre les zéros (1) et (2) nous avons les négalités suivantes
(12) $y_{i}+y_{i+1}+\cdots+y_{i+j-1}\geq\frac{(n-i)\left(x_{i}+x_{i+1}+\cdots+x_{i+j-1}\right)+jx_{i+j}}{n-i+1}$
(13) $y_{i}+y_{i+1}+\cdots+y_{i+j-1}\leqq\frac{ix_{i}+(i+j-1)\left(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i+j}\right)}{i+j}$

j=1,2,\ldots,n-i,\quad i=1,2,\ldots,n-1.

La démonstration du lemme 1 nous indique aussi les cas où dans (12) et (13) nous avons l’égalité. D’abord si $x_{i}=x_{i+j}$
nous avois evidemment 10 digne dans (12) et dans (13) puisqu’âlors

y_{i}=y_{i+j-1}=\cdots=y_{i+j-1}=x_{i}=x_{i+1}=\cdots=x_{i+j}

Si $x_{i}<x_{i+j},i>1$ l’égalité dans (12) et si $x_{i}<x_{i+j},i+j<n$ l’égalité dans (13) sont impossibles poū ūn polynome $f(x)$ de degré effectif $n$ . Si $i=1,x_{1}<x_{j+1}$ l’égalité dans (12) n’a lieu que pour le polynome (10) et si $i+j=n,x_{n-j}<x_{n}$ l’égalité dans (13) n’a lieu que pour le polynome (11).

Pour $i$ mous retrouvons les inégalités (6). Pour $i=1$ , $j=n-1$ les deux Inégalités se réduisent à l’égalité (3).

En particulier, potur $i=1$ et pour $i=n-i$ , nous obtenons a propriété suivante :

ThÉORÉME 2. - La moyenne arilsmétique des j premiers zéros (2) est au plus égale à la thoyenne arithmétique des $j+1$ or emiers zéros (1),

\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}}{i}\leqq\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j+1}}{j+1}.

La moyenne arithmétique des $j$ derniers (2) est au moins égale à la moyenè arithmétique de $j+1$ derniers zéros (1),

\frac{y_{n-j}+y_{n-j+1}+\cdots+y_{n-1}}{j}\geq\frac{x_{n-j}+x_{n-j+1}+\cdots+x_{n}}{j+1}.

Si nous remarquons que par une transformation linéaire $x=\alpha x^{\prime}+\beta$ la suite dérivée se transforme dans la suite dérivée de la transformée de la suite primitive, nous voyons que les limitations inférieures des sommes (9) peuvent se déduire de leurs limitations supérieures et vice versa.
4. - En combinant entre elles les inégalités (12) et (13) (parmi lesquelles se trouve aussi l’égalité (3)), on peut en déduire d’autres limitations intéressantes pour les sommes (9) Ecrivons

y_{i}+y_{i+1}+\cdots+y_{i+j-1}=\sum_{r=1}^{n-1}y_{r}-\sum_{r=1}^{i-1}y_{r}-\sum_{r=i+j}^{n-1}y_{r}

et tenons compte des inégalités (12), (13) et de l’égalité (3).

En faisant les calculs nous trouvons la propriété suivante THÉORÈME 3. - Entre les zéros (1) et (2) nous avons les. inégalités suivantes

\frac{(n-i)\sum_{r=1}^{i}x_{r}+i(n-1)\sum_{r=i+1}^{i+j-1}x_{r}+i(i+j-1)x_{i+1}}{ni}\leqq

(14)

\leqq y_{i}+y_{i+1}+\cdots+y_{i+j-1}\leqq

(n-i-j+1)(n-i)x_{i}+(n-i-j+1)(n-1)\sum_{r=i+1}^{i+j-1}x_{r}+(i+j-1)\sum_{r-i+j}^{n}x_{r}

$(15)\leqq\quad n(n-i-j+1)$

j=1,2,\ldots,n-i,\quad i=1,2,\ldots,n-1

L’égalité dans (14) n’est possible que pour le polynome

\left(x-\frac{1}{i}\sum_{r=1}^{i}x_{r}\right)^{i}\left(x-x_{i+1}\right)\left(x-x_{i+2}\right)\ldots\left(x-x_{i+j-1}\right)\left(x-x_{i+j}\right)^{n-i-j+1}

et dans (15) n’est possible que pour le polynome

\left(x-x_{i}\right)^{i}\left(x-x_{i+1}\right)\left(x-x_{i+2}\right)\ldots\left(x-x_{i+j-1}\right)\left(x-\frac{1}{n-i-j+1}\sum_{r=i+j}^{n}x_{r}\right)^{n-i-j+1}

On voit facilement que dans ces cas l’égalité a effectivement lieu. Les cas d’égalité résultent facilement de ce que nous avons dit au No. précédent.

Les deux limitations (12) et (14) de la somme (9) sont distinctes, sauf si $i=1$ lorsqu’elles sont identiques. Il suffit de faire successivement

		$\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}=x_{3}-\cdots=x_{i_{+j}}=0,$
		$\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{i_{+j-1}}=0,\quad x_{i_{+j}}=1,$

pour voir que ces deux limitations ne résultent pas l’une del’autre.

On voit de la même manière que les limitations supérieures (13) et (15) sont indépendantes dans le même sens. sauf si $i=n-j$ lorsqu’elles sont identiques.

Pour $j=1$ les inégalités (14) et (15) deviennent

\begin{gathered}\frac{(n-i)\sum_{r=1}^{i}x_{i}+i^{2}x_{i+1}}{ni}\leqq y_{i}\leqq\frac{(n-i)^{2}x_{i}+i\sum_{r=i+1}^{n}x_{i}}{n(n-i)}\\ i=1,2,\ldots,n-1\end{gathered}

qui sont aussi dues à M. J. v. Sz. NAGY ⁴ ).
Nous n’avons pas l’intention d’étudier plus complètement les conséquences des inégalités (12) et (13). Dans la suite nous indiquerons un autre procédé pour obtenir des inégalités entre les zéros (1) et (2).

$\S 2$ .

5.
- —
  
  Nous allons d’abord compléter le lemme 1 par une autre propriété générale des zéros (1) et (2). Supposons que l’on remplace les zéros $x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{n}$ par leur moyenne arthmétique

\xi=\frac{x_{k+1}+x_{k+2}+\cdots x_{n}}{n-k}.

On a alors $x_{k+1}\leqq\xi\leqq x_{n}$ et les égalités sont impossibles si $x_{k+1}<x_{n}$ .

Posons

		$\displaystyle f(x)=\left(x-x_{k+1}\right)\left(x-x_{k+2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)\varphi(x),$
		$\displaystyle g(x)=(x-\xi)^{n-k}\varphi(x).$

La dérivée $g^{\prime}(x)$ a un seul zéro dans chacun des intervalles $\left(x_{1},x_{2}\right),\left(x_{2},x_{3}\right),\ldots\left(x_{k-1},x_{k}\right),\left(x_{k},\xi\right)$ . Nous allons démontrer que le zéro de $g^{\prime}(x)$ dans l’intervalle $\left(x_{i},x_{i+1}\right)(i\leqq k)$ est plus grand que $y_{i}$ si $x_{i}<x_{i+1}$ .

En effet, dans le voisinage droit de $x_{i}$ nous avons

\operatorname{sg}^{\prime}(x)=(-1)^{n-i}

(16)

En remarquant que $\xi>y_{i}$ , ou trouve d’abord $\operatorname{sg}g^{\prime}\left(y_{i}\right)=(-1)^{n-k-1}\operatorname{sg}\left[(n-k)\varphi\left(y_{i}\right)+\left(y_{i}-\xi\right)\varphi^{\prime}\left(y_{i}\right)\right]$ .

Mais

4.

Loc. cit. 1).

\operatorname{sg}\varphi\left(y_{i}\right)=(-1)^{k-i},

donc

\operatorname{sg}g^{\prime}\left(y_{i}\right)=(-1)^{n-i}\operatorname{sg}\left[\frac{\varphi^{\prime}\left(y_{i}\right)}{\varphi\left(y_{i}\right)}-\frac{n-k}{\xi-y_{i}}\right].

Nous avons

\frac{\varphi^{\prime}\left(y_{i}\right)}{\varphi\left(y_{i}\right)}=\frac{1}{x_{k+1}=y_{i}}+\frac{1}{x_{k+2}=y_{i}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}=y_{i}}

donc, puisque $x_{k+1}-y_{i}>0$ ,

\frac{\varphi^{\prime}\left(y_{i}\right)}{\varphi}\frac{n-k}{\left(y_{i}\right)}-\frac{n-y_{i}}{\xi-y_{i}}>0

par suite de l’inégalité classique entre la moyenne arithmén tique et la moyenne harmonique.

Il en résulte que
(17)

\operatorname{sg}g^{\prime}\left(y_{i}\right)=(-1)^{n-i}

et les relations (16) et (17) démontrent la propriété.
Remarquons que la propriété reste vraie aussi pour $y_{k}$ même si $y_{k}=x_{k+1}$ , à condition, bien entendu, que l’on ait $x_{k+1}<x_{n}$ ,

Nous avons donc le
LEMME 2. - Si les zéros $x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{n}$ sont tous remplacés par leur moyenne arithmétique et si $x_{k+1}\left\langle x_{n}\right.$ , le zéro $y_{k}$ et tous les zéros $y_{1},y_{2},\ldots,y_{k-1}$ qui ne coïnçident pas avec un $x_{i}$ deviennent plus grands.

Par la transformation de $x$ en $-x11$ résulte aussi la propriété suivante

Lemme 3. - Si les zéros $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ sont remplacés par leur moyenne arithmétique et $x_{1}<x_{k}$ , le zéro $y_{k}$ et tous les zéros $y_{k+1},y_{k+2}\ldots,y_{n-1}$ qui ne coïncident pas avec un $x_{i}$ deviennent plus petits.

Comme application en peut retrouver le théorème 3 en appliquant simultanément les lemmes 1, 2 et 3.
6. - Avant d’aller plus loin nous allons établir quelques limitations relatives au polynome

f(x)=(x-a)^{\lambda_{1}}(x-b)^{\lambda_{2}}(x-c)^{\lambda_{3}},a\leqq b\leqq c.

Dans ce caş une inégalité linéaire et homogène entre les zéros (1) et (2) est de la forme

p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c+q_{1}\alpha+q_{2}\beta\geqq 0.

ou $\alpha,\beta$ sont respectivement les zéros compris entre $a$ et $b$ et entre $b$ et $c$ de $f^{\prime}(x)$ (les zéros $y_{\lambda_{1}}$ et $y_{\lambda_{1}+\lambda_{2}}$ ).

On doit nécessairement avoir $p_{1}+p_{2}+p_{3}+q_{1}+q_{2}=0$ , comme il est facile de le voir. Par suite de l’égalité (3) et de l’homogénéité de la formule on peut prendre égal à 0 l’un quelconque des coefficients et égal à 1 l’un quelconque des coefficients positifs ou à - 1 l’un quelconque des coefficients négatifs ⁵ ). Nous pouvons donc prendre $q_{1}=0$ et $q_{2}=+1$ ou -1 suivant qualors $g_{2}>0$ ou $<0$ ,

Ceci étant, nous avons d’abord le
THÉOREME 4.-Si les nombres $p_{1},p_{2},p_{3}$ vérifient les conditions

p_{1}+p_{2}+p_{3}=-1,p_{1}\leqq 0,p_{3}\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{2}\geqq 0,

on a l’inégalité

p_{1}a+p_{2}b+\dot{p}_{3}c+\beta\geqq 0,

(19)

pour tout polynome (18).
En effet, d’après l’inégalité ( 6 ) nous avons

\beta\geq\frac{\lambda_{3}b+\lambda_{2}c}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}

et nous pouvons écrire
$p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c+\beta=\left(\beta-\frac{\lambda_{3}b+\lambda_{1}c}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)+\left(p_{3}+\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)(c-b)-p_{1}(b-a)$
ef le théorème 4 en résulte.
On voit d’ailleurs que dans (19), l’égalité n’a lieu que dans l’un deş caş suivants

\begin{array}[]{r}a=b=c,\\ b=c_{1}p_{1}=0.\end{array}

⁰⁰footnotetext: 5. Le cas trivial

p_{1}=p_{2}=p_{3}=q_{1}=q_{2}=0

ne présente évidemment pas d’interêt.

Nous avons aussi le
Théoreme 5.-Si les nombres $p_{1},p_{2},p_{3}$ vérifient les conditions

\begin{gathered}p_{1}+p_{2}+p_{3}=-1,2p_{1}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\leqq 0\right.\\ p_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{1}+\lambda_{2}\leqq 0\end{gathered}

on a encore l’inégalité (19) pour tout polynome (18).
Ee effet, d’après le lemme 3, on a

\beta\geqq\frac{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)c+\lambda_{3}(a+b)}{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}

et nous pouvons écrire

\begin{gathered}p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c+\beta=\left[\beta-\frac{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)c+\lambda_{3}(a+b)}{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}\right]+\\ +\left(p_{3}+\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)(c-b)-\left(p_{1}+\frac{\lambda_{3}}{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}\right)(b-a)\end{gathered}

ce qui démontre le théorème 5.
Dans ce cas l’égalité dans (19) n’a lieu que dans l’un des cas suivants

\begin{gathered}a=b=c,\\ a=b,p_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0.\end{gathered}

Enfin démontrons aussi le
Théoreme 6. - Pour que l’inégalité
(20)

p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c-\beta\geqq 0

soit vérifiée quel que soit le polynome (18), il faut et il suffit que l’on ait

p_{1}+p_{2}+p_{3}=1,p_{1}\leqq 0,p_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\geqq 0

On voit d’abord que les conditions sont nécessaires en faisant $b=c($ alors $b=c=\beta)$ et $a=b\left(\right.$ et alors $\left.\beta=\frac{\lambda_{3}b+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)c}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)$ .

Pour voir que les conditions sont aussi suffisantes, remarquons que, d’après l’inégalité (6), nous avons

\beta\leqq\frac{\lambda_{3}b+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)c}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}.

Nous pouvons écrire

\begin{gathered}p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c-\beta=\left(\frac{\lambda_{3}b+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)c}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}-\beta\right)+\left(p_{3}-\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)(c-b)-\\ -p_{1}(b-a)\end{gathered}

d’où il résulte que les conditions sont aussi suffisantes.
7. - Le lecteur a certainement remarqué la différence essentielle entre les théorèmes $\mathbf{4},\mathbf{5}$ d’une part et le théorème $\mathbf{6}$ d’autre part. Tandis que les deux premiers expriment seulement des conditions suffisantes, le troisième donne des conditions à la foís nécessaires et suffisantes.

Revenons donc à l’inégalité (19). On trouve, comme pour l’inégalité (20), les conditions nécessaires

p_{1}\leqq 0,\quad p_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{1}+\lambda_{2}\geqq 0.

(21)

Pour résoudre complètement le problème remarquons que nous pouvons prendre

a=-1,\quad b=0,\quad c=h\geqq 0

Désignons par $E(h)$ le premier membre de (19) multiplié par le nombre positif $\frac{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{1}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}$ . Si nous remarquons que $\beta$ est la racine non-négative de l’équation

\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)x^{2}-\left[\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)h-\lambda_{2}-\lambda_{3}\right]x-\lambda_{2}h=0

et si nous faisons les calculs nous trouvons

E(h)=V\overline{(h+A)^{2}+B^{2}-Ch-D}

où
(22) $\left\{\begin{array}[]{l}A=\frac{\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)-2\lambda_{1}\lambda_{3}}{\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)^{2}},\quad B=\frac{2\sqrt{\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}}{\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)^{2}}\\ C=-\frac{2p_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}-1,\quad D=\frac{2p_{1}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}+\frac{\lambda_{2}+\lambda_{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}.\end{array}\right.$

Il faut trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’on ait

E(h)\geqq 0

(23)

quel que soit $h\geqq 0$ .

Avec les notations (22) les eopditions nécessaires (21) deviennent

\sqrt{A^{2}+B^{2}}-D\geqslant 0,\quad 1\geqq C

et expriment que l’inégalilé (23) est bien vérifiée pour $h=0$ et pour $h$ infiniment grand, Si

C\leqslant\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

nous sommes dans les conditions du thégrème 4.
Il reste à examiner le cas
(24) $1\geqq C\geqq\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\left(\right.$ ou $\left.-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}>p_{3}\geqq-\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}\right)$ .

Nous avons

\frac{d^{3}E(h)}{dh^{2}}=\frac{B^{3}}{\left(V(h+A)^{2}+B^{2}\right)^{8}}\geqslant 0

ce qui nous montre que la dérivée $\frac{dE(h)}{dh}$ est toujours croissante. De

\frac{dE(h)}{dh}=\frac{h+A}{\sqrt{(h+A)^{2}+B^{2}}}-C

il résulțe que cette dérivée ne devient nulle que pour

h=h_{1}=-A+\frac{CB}{\sqrt{1-C^{2}}},

Par suite des inégalités (24), $h_{1}$ est bien un nombre positif.

Pour que l’inégalité (23) soit satisfaite il faut et il suffit que $E\left(h_{1}\right)\geqq 0$ . Nous avons

E\left(h_{1}\right)=AC+B\sqrt{1-C^{2}-D}

donc la condition cherchée est

AC+B\sqrt{1-C^{2}-D}\geqq 0.

Il est facile de voir que le résultat subsiste aussi pour $C=1$ , - lorsque $h_{1}$ n’existe pas.

Finalement nous pouvons énoncer la propriété suivante.
THEORÈME. 7. - Pour que l’inégalité (19) ait lieg pour tout
polynome (18) il faut et il suffit que l’on ait $p_{1}+p_{2}+p_{3}=-1$ et, ou bien

p_{1}\leqq 0,p_{3}\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{2}\geqq 0.

qu bien

	$\displaystyle AC+BV\overline{1-C^{2}}-D\geqq 0,p_{3}\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{2}<0,$		(25)
	$\displaystyle p_{3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\lambda_{1}+\lambda_{2}\geqq C.$

$A,B,C,D$ étant définis par les formules (22).
Dans le szcond cas l’égalité n’a lieu que si
$AC+B\sqrt{1-C^{2}}-D=0,\sqrt{1-C^{2}}(c-b)=(b-a)\left(CB-A\sqrt{1-C^{2}}\right)$ .
8. - On voit que les théorèmes 4 et 5 ne nous donnent pas des propriétés plus complètes que celles exprimées par les théorèmes 1 et 3 . Le théorème 6 précise un peu la propriété correspondante exprimée par le théorème 1.

En ce qui concerne la valeur du théorème 7, elle est toute autre. Ce théorème nous donne effectivement des inégalités qui ne sont pas toujours comprises dans les théorèmes 1 et 3. Soit, en effet, l’inégalité (19) où $p_{1},p_{3}$ vérifient les conditions (25). Par suite de l’inégalité

p_{3}+\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}<0,

l’inégalité (19) considérée n’est pas une conséquence du théorème 1. Pour voir que notre inégalité peut ne pas être une conséquence du théorème 3, il suffit de montrer que les inégalités (25) sont compatibles avec l’inégalité

p_{1}+\frac{\lambda_{3}}{2\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)}>0.

Pour celail faul et il suffit de montrer que les inégalités

\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}<AC+B\sqrt{1-C^{2}},\quad 1\geqq C>\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

sont compatibles. Cette condition de compatibilité est

\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}>\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\frac{\lambda_{2}+\lambda_{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}

et elle est bien vérifiée
9. - Nous n’avons pas l’intention d’étudier toutes les conséquences des résultafs précédents dans le cas d’un polynome quelconque $f(x)$ . Nous allons seulement signaler quelques inégalités qui nous seront utiles dans le § suivant,

Soit donc $f(x)$ un polynome quelconque à zéros tous réels et considérons une inégalité de la forme
où

r_{1}\sum_{v=1}^{j}x_{v}+r_{2}\sum_{v-j+1}^{n}x_{v}-s\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j-1}\right)-s^{\prime}y_{j}\geqq 0

(26)

ir_{1}+(n-j)r_{2}=(j-1)s+s^{\prime},s>s^{\prime}>0

(27)

En vertu du lemme 2, si l’inégalité (26) est vérifiée lorsqu’on remplace $x_{j+1},x_{j+2},\ldots,x_{n}$ par leur moyenne arithmétique, elle sera vérifiée pour tout polynome $f(x)$ . Il en résulte qu’il suffit de démontrer l’inégalité (26) pour $x_{j+1}=x_{j+2}=\cdots=x_{n}$ .

Dans ce dernier cas elle s’écrit :

r_{1}\sum_{v_{-1}}^{j}x_{v}+\left(n-jr_{2}x_{j+1}-s\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j-1}\right)-s^{\prime}y_{j}\geqq 0.\right.

Mais, l’égalité (3) nous donne

y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j-1}=\frac{n-1}{n}\sum_{v=1}^{j}x_{v}+\frac{j}{n}x_{j+1}-y_{j}

et notre inégalité devient
(28) $\left[nr_{1}-s(n-1)\right]\sum_{v=1}^{j}x_{j}+\left[n(n-j)r_{2}-sj\right]x_{j+1}+n\left(s-s^{\prime}\right)y_{j}\geqq 0$ .

En vertu du lemme 3, si l’inégalité (28) est vérifiée lorsque, de plus, on remplace $x_{1},x_{2},\ldots,x_{j}$ par leur moyenne arithmétique, elle sera toujours vérifiée. Il suffit donc de démontrer l’inégalité (28) si de plus, $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{j}$ . L’inégalité devient alors
(29) $\left[nr_{1}-s(n-1)\right]jx_{j}+\left[n(n-j)r_{2}-sj\right]x_{j+1}+n\left(s-s^{\prime}\right)y_{j}\geqq 0$ .

Mais, nous avos maintenant,

y_{j}=\frac{(n-j)x_{j}+jx_{j+1}}{n}

et l’inégalité ( 29 ) devient

\left[n(n-j)r_{2}-js^{\prime}\right]\left(x_{i+1}-r_{j}\right)\geqq 0

Nous en déduisons donc le
Théorème 8. - Pour que l’inégalité (26), sous les conditions (27), ait lieu pour tout polynome $f(x)$ , à zéros tous réels, il faut et il suffit que l’on ait

n(n-j)r_{2}-js^{\prime}\geqq 0

Dans le cas $j=1$ , il faut prendre $s=0$ dans les formules (26) et (27) et $s^{\prime}>0$ . Sous les conditions données, l’égalité dans (26) n’a lieu que pour $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{i},x_{i+1}==x_{j+2}=\cdots=x_{n}$ lorsque $n(n-j)r_{2}-is^{\prime}=0$ et seulement si $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ lorsque $n(n-i)r_{2}-js^{\prime}>0$ .
10. - Nous allons étudier maintenant des inégalités un peu plus générales. Considérons l’inégalité
(30) $r_{1}\sum_{v=1}^{j-1}x_{v}+r_{2}x_{j}+r_{3}\sum_{v=j+1}^{n}x_{v}-s\left(1_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}\right)+s^{\prime}y_{j-1}+s^{\prime\prime}y_{j}\geqq 0$ , où

	$\displaystyle(j-1)r_{1}+r_{2}+(n-j)r_{3}=js-s^{\prime}-s^{\prime\prime},s\geqq s^{\prime\prime}>s^{\prime}\geqq 0$		(31)
	$\displaystyle 1<i\leqq n-1$

Comme plus haut, nous voyons que, en vertu du lemme 2, il suffit de dénontrer l’inégalité si $x_{j+1}=x_{j+2}=\cdots=x_{n}$ . L’inégalité devient alors

\left(r_{1}-s\frac{n-1}{n}\right)_{v=1}^{i-1}x_{v}+\left(r_{2}-s\frac{n-1}{n}\right)x_{j}+\left[(n-j)r_{3}-s\frac{j}{n}\right]x_{j+1}+s^{\prime}y_{j-1}+s^{\prime\prime}y_{j}\geq 0

De même, en vertu du lemme 3, il suffit de démontrer cette inégalité si, de plus, on a $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{j-1}$ . Dans ce dernier cas l’égalité (3) nous donne encore

y_{j-1}=\frac{n-j+1}{n}x_{j-1}+\frac{n-1}{n}x_{j}+\frac{j}{n}x_{j+1}-y_{j}

et notre inégalité devient
(32) où

p_{1}x_{j-1}+p_{2}x_{j}+p_{3}x_{j+1}+y_{j}\geqq 0,

\text{ (33) }\left\{\begin{array}[]{l}p_{1}=\frac{1}{n\left(s^{\prime\prime}-s^{\prime}\right)}\left[n(j-1)r_{1}-(n-1)(j-1)s+(n-j+1)s^{\prime}\right]\\ p_{2}=\frac{1}{n\left(s^{\prime\prime}-s^{\prime}\right)}\left[nr_{2}+(n-1)\left(s^{\prime}-s\right)\right]\\ p_{3}=\frac{1}{n\left(s^{\prime\prime}-s^{\prime}\right)}\left[n(n-j)r_{3}+j\left(s^{\prime}-s\right)\right]\end{array}\right.

L’inégalité (32) est de la forme (19) correspondant au polynome (18) où
$\lambda_{1}=j-1,\quad\lambda_{2}=1,\quad\lambda_{3}=n-j,\quad a=x_{j-1},\quad b=x_{j},\quad c=x_{j+1}$ .
Finalement nous déduisons donc le
THEORÈME 9. - Pour que l’inégalité (30), sous les conditions (31), ait lieu pour tout polynome $f(x)$ à zéros tous réels, il faut et il suffit que l’on ait, ou bien
(34)
ou bien

p_{1}=0,(n-j+1)p_{3}+1\geqq 0.

(35) $-AC+B\sqrt{1-C^{2}}-D=0,\quad(n-j+1)p_{3}-1<0,\quad np_{3}+j\geqq 0$ , où

\left\{\begin{array}[]{l}A=\frac{n-(j-1)(n-j)}{j^{2}},\quad B=\frac{2\sqrt{n(j-1)(n-j)}}{j^{2}}\\ C=-\frac{2np_{3}+1}{i},\quad D=\frac{2np_{1}+n-j+1}{j}\end{array}\right.

$p_{1},p_{3}$ étant donnés par les formules (33).
On peut facilement obtenir les conditions d’égalité dans (30), mais il est inutile d’insister ici sur ce point. Remarquons aussi que le théorème 5 nous montre que les conditions

2np_{1}+n-j\leqq 0,\quad np_{3}+j\geqq 0,

sont suffisantes pour l’inégálité (30).

§ 3.

11.
- —
  
  Considérons deux suites de nombres réels

		$\displaystyle\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m},$
		$\displaystyle\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha_{m}^{\prime}.$

Nous dirons que là suite (38) est ufie suite moyeñne (èn anglais "average") de la suite (37) si on peut trouver $m^{2}$ nombres non-négatifs $p_{i,j},i,j=1,2,\ldots,m$ tels que l’on ait

\sum_{j=1}^{m}\hat{p}_{i,j}=\sum_{j=1}^{m}p_{j,i}=1,\alpha_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{m}p_{i,j}\alpha_{j},i=1,2,\ldots,m.

Cette condition ne dépend pas de l’ordre des termes des suites (37), (38). Nous pouvons done supboser que

\alpha_{1}\leqq\alpha_{2}\leqq\cdots\leqq\alpha_{m},\alpha_{1}^{\prime}\leqq\alpha_{2}^{\prime}\leqq\cdots\leqq\alpha_{m}^{\prime}

(39)

MM. G. H, HARDY, J. E. LITfLEWOOD et G. POLYA ont démontré ⁶ ) la propriéłé suivante, exprimée par le

LEMME 4.-Pour que la suite (38) soit une suite moyenne de la suite (37), il faut et il suffit que l’on ait

	$\displaystyle\alpha_{1}^{\prime}+\alpha_{2}^{\prime}+\cdots+\alpha_{m}^{\prime}\equiv\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m}$		(40)
	$\displaystyle\alpha_{1}^{\prime}+\alpha_{2}^{\prime}+\cdots+\alpha_{j}^{\prime}\geqq\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{j};j=1,2,\ldots,m-1,$

en supposant que les deux suiles sont ordonnées de la manière (39). On voit facilement que si, au lieu de (39), on avait

\alpha_{1}\geqq\alpha_{2}\geqq\cdots\geqq\alpha_{m},\alpha_{1}^{\prime}\geqq\alpha_{2}^{\prime}\geqq\cdots\geqq\alpha_{m}^{\prime}

(

\prime

)

on aurait, au lieu de (41), les inégalités
(41’) $\alpha_{1}^{\prime}+\alpha_{2}^{\prime}+\cdots+\alpha_{j}^{\prime}\leq\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{j};j=1,2,\ldots,m-1$ .
12 - Reprenons la suite (1) et sa suite dérivée (2). Définissons les suites (37), (38), en prenant $m=n(n-1)$ , de la manière suivante

\begin{gathered}\alpha_{in-n-i+2}=\alpha_{in-n-i+3}=\cdots=\alpha_{in-i}=x_{i},i=1,2,\ldots,n;\\ \alpha_{jn-n+1}^{\prime}=\alpha_{jn-n+2}^{\prime}=\cdots=\alpha_{jn}^{\prime}=y_{y},j=1,2,\ldots,n-1.\end{gathered}

6.

G. H. HARDY, J. E. LittlafwOOD, G. POLYA „Inequalities" Cambridge Univ. Press, 1934, Chap. II.

L’égalité (40) est alors bien vérifiée et revient à (3). Nous avons (39) et les inégalités (41) s’écrivent ⁷ )

\text{ (42) }\left\{\begin{array}[]{c}n\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j-1}\right)+ry_{j}\geqq(n-1)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j-1}\right)+(r+j-1)x_{j},\\ r=1,2,\ldots,n-i,j=1,2,\ldots,n-1,\\ n\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j-1}\right)+ry_{j}\geqq(n-1)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j}\right)+(r+j-n)x_{j+1},\\ r=n-j+1,n-j+2,\ldots,n,j=1,2,\ldots,n-1,\end{array}\right.

\text{ (sauf }r=n,j=n-1\text{ ), }

Considérons, en particulier, les inégalités
(43)

\begin{gathered}n\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}\right)\geqq(n-1)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j}\right)+jx_{j+1},\\ j=1,2,\ldots,n-2.\end{gathered}

Toutes les autres inégalités (42) sont des conséquences de ces dernières et des inégalités (4).

Mais, les inégalités (43) ne sont autres que les inégalités (12) pour $i=1$ . Nous pouvons donc énoncer la proprété suivante :

THÉORÉME 10. - La suite dérivée (2), où chaque terme est répété $n$ fois, est une suite moyenne de la suite primitive (1) dans laquelle chaque terme est répélé $n-1$ fois.

De cette propriété il résulte qu’on peut trouver $n(n-1)$ nombres non-négatifs $q_{r,s},r=1,2,\ldots,n-1,s=1,2,\ldots,n$ de manière que l’on ait

\begin{gathered}y_{j}=\sum_{r=1}^{n}q_{r,j}x_{r},\sum_{r=1}^{n}q_{r,j}=1,\sum_{s=1}^{n-1}q_{i,s}=\frac{n-1}{n},\\ i=1,2,\ldots,n,j=1,2,\ldots,n-1.\end{gathered}

Dans un travail antérieur ⁸ ) nous avons établi cette propriété en remarquant que

⁰⁰footnotetext: 7. Lorsque

j=1

les sommes telles que

x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j-1},y_{1}+y_{2}++\cdots+y_{j-1}

sont remp.acées par zéro. 8i Tiberiu Popoviciu, „Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur" (III) ", Mathematica, 16, 74-86 (1940).

y_{j}=\frac{\sum_{r=1}^{n}\frac{x_{r}}{\left(y_{j}-x_{r}\right)^{2}}}{\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{\left(y_{j}-x_{r}\right)^{2}}},j=1,2,\ldots,n-1

et en démontrant que

\sum_{s=1}^{n-1}\frac{\frac{1}{\left.\sum_{t=1}^{n}-x_{i}\right)^{2}}}{\frac{1}{\left(y_{s}-x_{r}\right)^{2}}}=\frac{n-1}{n},\quad i=1,2,\ldots,n.

C’est de cette manière que nous avons d’abord obtenu les inégalités $\left.(43)^{9}\right)$ .
13. - Considérons encore la suite (i) et sa suite dérivée
(2). Posons maintenant
(44) $\left\{\begin{array}[]{l}x_{i}^{\prime}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i-1}+x_{i+1}+\cdots+x_{n}}{n-1},\quad i=1,2,\ldots,n.\\ y_{j}^{\prime}=\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i-1}+y_{j+1}+\cdots+y_{n-1}}{n-2},\quad j=1,2,\ldots,n-1,\end{array}\right.$
en supposant, bien entendu, $n>2$ .
De cette façon nous obtenons les suites

	$\displaystyle x_{1}^{\prime}\geqq x_{2}^{\prime}\geqq\cdots\geq x_{n}^{\prime}$		(45)
	$\displaystyle y_{1}^{\prime}\geqq y_{2}^{\prime}\geqq\cdots\geqq y_{n-1}^{\prime}$		(46)

et l’égalité

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}y_{j}^{\prime}

(47)

Le théorème 2 nous montre que
(48)

y_{1}^{\prime}\geqq x_{1}^{\prime},x_{n}^{\prime}\geqq y_{n-1}^{\prime}.

Définissons maintenant les suites (37), (38) de la manière suivante, en prenant encore $m=n(n-1)$ ,

⁰⁰footnotetext: 9. Voir loc. cít. 8).

		$\displaystyle\alpha_{in-n+1}=\alpha_{in-n+2}=\cdots=\alpha_{in}=y_{j}^{\prime},\quad j=2,\ldots,n-1$
		$\displaystyle\alpha_{in-n-i+2}^{\prime}=\alpha_{in-n-i+3}^{\prime}=\cdots=\alpha_{in-i}^{\prime}=x_{i}^{\prime},\quad i=2,\ldots,n$

et cherchons si les conditions de lemme 4 sont vérifiées.
L’égalité (40) est satisfaite par suite de (47).
Cette fois nous avons ( $39^{\prime}$ ) et nous devons donc examiner les inégalités ( $41^{\prime}$ ). Ces inégalités deviennent ¹⁰ ).
(49)

\left\{\begin{array}[]{c}n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j-1}^{\prime}\right)+ry_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j-1}^{\prime}\right)+(r+j-1)x_{j}^{\prime}\\ r=1,2,\ldots,n-j,\quad j=1,2,\ldots,n-1\\ n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j-1}^{\prime}\right)+ry_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j}^{\prime}\right)+(r+j-n)x_{j+}^{\prime}\\ r=n-j+1,\quad n-j+2,\ldots,n,\quad j=1,2,\ldots,n-1\\ (\text{ sauf }r=n,\quad j=n-1)\end{array}\right.

De ces inégalités choisissons les suivantes
(50) $n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j-1}^{\prime}\right)+y_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j-1}^{\prime}\right)+jx_{j}^{\prime}$

j=2,3,\ldots,n-2,

(51) $n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j-1}^{\prime}\right)+(n-j)y_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j}^{\prime}\right)$

j=2,3,\ldots,n-2,

(52) $n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j-1}^{\prime}\right)+(n-j+1)y_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j}^{\prime}\right)+x_{j+1}^{\prime}$

j=2,3,\ldots,n-2,

(53) $n\left(y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\cdots+y_{j}^{\prime}\geqq(n-1)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\cdots+x_{j}^{\prime}\right)+jx_{j+1}^{\prime}\right.$

j=2,3,\ldots,n-2.

Toutes les autres inégalités (49) sont des conséquences de ces inégalités, des inégalités (45), (46), (48) et de l’égalité (47). Remarquons, en passant, que pour $n=3$ les inégalités (49) sont démontrées. Il reste à démontrer les inégalités (50), (51), (52), et (53) pour $n>3$ . Tout d’abord nous allons exprimer ces inégalités à l’aide des zéros (1) et (2), en tenant compte de (44). Faisant les calculs nous trouvons
10) Pour $j=1$ les mêmes coaventions que plus haut. Voir 7).
(54)

[n(j-1)+1]\sum_{i=1}^{n}x_{i}+n(n-1)(n-2)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j-1}\right)+n(n-2)jx_{i}-

j=2,3,\ldots,n-2

(55) $j\sum_{i=1}^{n}x_{j}+n(n-2)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j}\right)-n^{2}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}\right)+jny_{j}\geqq 0$

j=2,3,\ldots,n-2

[(j-1)(n-1)+1]\sum_{i=1}^{n}x_{i}+n(n-1)(n-2)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j-1}\right)+

	$\displaystyle+n(n-2)x_{j}-n^{2}(n-1)\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}\right)+n(n-1)(j-2)y_{j-1}+$		(56)
	$\displaystyle+n^{2}(n-1)y_{j}\geqq 0$
	$\displaystyle j=3,4,\ldots,n-1$

(57)

\begin{gathered}(j-1)\sum_{i=1}^{n}x_{i}+(n-1)(n-2)\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{j-1}\right)+\\ +(j-1+1)(n-2)x_{j}-n(n-1)\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{j}\right)+n(n-1)y_{j}\geqq 0,\\ i=3,4,\ldots,n-1.\end{gathered}

Avant de faire les calculs dans (52) et (53) nous avons changé $j$ en $j-1$ .

Il nous reste à démontrer les inégalités (54), (55), (56), (57).
14. - Occupons-nous d’abord de l’inégalité (55), qui est la plus simple.

L’inégalité (55) est de la forme (26), où nous avons

r_{1}=j+n(n-2),r_{2}=j,s=n^{2},s^{\prime}=n(n-j)

et les conditions (27) sont bien vérifiées.
Nous avons

n(n-j)r_{2}-js^{\prime}=0

et on peut donc appliquer le théorème 8.
L’inégalité (55) est donc démontrée.
15. - Les inégalités (54), (56), (57) sont de la forme (30).
I. L’inégalité (54). Nous avons
$r_{1}=n(j-1)+1+n(n-1)(n-2),r_{2}=n(j-1)+1+n(n-2)j=(n-1)(nj-1)$ ,

r_{3}=n(j-1)+1,s=n^{2}(n-1),s^{\prime}=0,s^{\prime\prime}=n(n-1)^{2}

Les conditions (31) sont bien vérifiées.
Pour les nombres (33) nous avons

\begin{gathered}p_{1}=-\frac{(j-1)\left(n^{2}-nj-1\right)}{n(n-1)^{2}},p_{2}=-\frac{n(n-1)+1-nj}{n(n-1)}\\ p_{3}=-\frac{nj^{2}-(2n-1)}{n(n-1)^{2}}\end{gathered}

Nous avons

(n-j+1)p_{3}+1=\frac{(j-1)\left[nj^{2}-\left(n^{2}+2n-1\right)j+2n(n-1)\right]}{n(n-1)^{2}}

et il est facile de vérifier que pour $2\leqq j\leqq n-1$ ce nombre esl négatif. la seconde condition (34) n’est donc pas vérifiée.

Nous avons

np_{3}+j=\frac{n(j-1)}{(n-1)}(n-j-1)>0,2\leqq j\leqq n-2

et il nous reste à examiner la première inégalité (35).
Compte tenant de (36), nous trouvons

AC-D=-\frac{4n(j-1)(n-j)(n-j-1)}{(n-1)^{2}j^{\prime}}

$\sqrt{1-C^{2}}=\frac{2}{j}\sqrt{-np_{3}\left(np_{3}+j\right)}=\frac{2}{(n-1)^{2}}-\sqrt{n(j-1)(n-j-1)\left[nj^{2}-(2n-1)j+n(n-1)\right]}$
et la première inégalité (35) devient, après simplifications,
ou

\sqrt{nj^{2}-(2n-1)j+n(n-1)}\geqq\sqrt{(n-j)(n-i-1)}

(n-1)j^{2}\geqq 0

qui est évidemment vérifiée.
On peut donc appliquer le théorème 9 et l’inégalité (54) est démontrée.
II. L’inégalité (56). Nous procédons exactement comme pour (54). Nous avons

\begin{gathered}r_{1}=(j-1)(n-1)+1+n(n-1)(n-2),r_{2}=(j-1)(n-1)+1+n(n-2)=(n-1)(n+j-2)\\ r_{3}=(j-1)(n-1)+1,s=n^{2}(n-1),s^{\prime}=n(n-1)(j-2),s^{\prime\prime}=n^{2}(n-1)\end{gathered}

Nous déduisons

\begin{gathered}p_{1}=-\frac{n-j}{(n-1)(n-j+2)},p_{2}=-\frac{n-j}{n-j+2},p_{3}=-\frac{n+j-2}{(n-1)(n-j+2)}\\ (n-j+1)p_{3}+1=-\frac{(n-j)(j-2)}{(n-1)(n-j+2)}<0,3\leqq j\leqq n-1\end{gathered}

et la seconde inégalité (34) n’est pas vériliée.
Nous avons aussi

\begin{gathered}np_{3}+j=\frac{(n-j)[(n-1)j-(n-2)]}{(n-1)(n-j+2)}>0,3\leqq j\leqq n-1,\\ AC-D=-\frac{4n(n-2)(j-1)(n-j)}{(n-1)(n-j+2)j},\\ \sqrt{1-C^{2}}=\frac{2}{(n-1)(n-j+2)j}\sqrt{n(n-j)(n+j-2)[(n-1)j-(n-2)]}\end{gathered}

et la première inégalité (35) devient, après simplifications,

\sqrt{(n+j-2)[(n-1)j-(n-2)]}\geqq(n-2)\sqrt{j-1}

(n-1)j^{2}\geqq 0

En vertu du théorème 9, l’inégalité (56) est donc démontrée.
III. L’inégalité (57). Nous avons

\begin{gathered}r_{1}=(j-1)+(n-1)(n-2),r_{2}=(j-1)+(j-1)(n-2)=(n-1)(j-1)\\ r_{3}=j-1,s=n(n-1),s^{\prime}=0,s^{\prime\prime}=n(n-1)\end{gathered}

et nous déduisons

\begin{gathered}p_{1}=-\frac{(j-1)(n-j)}{n(n-1)},p_{2}=-\frac{n-j}{n},p_{3}=-\frac{j^{2}-2j+n}{n(n-1)}\\ (n-i+1)p_{3}+1=-\frac{(j-1)(j-2)(n-j)}{n(n-1)}<0,3\leqq j\leqq n-1\end{gathered}

La seconde inégalité (34) n’est donc pas vérifiée.
Nous avons aussi

\begin{gathered}np_{3}+j=\frac{(j-1)(n-j)}{n-1}>0,3\leqq j\leqq n-1\\ AC-D=-\frac{4(j-1)(n-j)^{2}}{(n-1)j^{3}}\\ \sqrt{1-C^{2}}=\frac{2}{(n-1)j}\sqrt{(j-1)(n-j)\left(j^{2}-2j+n\right)}\end{gathered}

et la première inégalité (35) devient
ou

\sqrt{n\left(j^{2}-2j+n\right)}\geqq n-j

(n-1)j^{2}\geqq 0

qui est évidemment vérifiée.
L’inégalité (57) est donc aussi démontrée.
16. - Finalement nous avons obtenu la propriété suivante, analogue à celle exprimée par le théorème 10.

Théorème 11. - La suite (45) où chaque terme est répété $n-1$ fois est une suite moyenne de la suite (46) dans laquelle chaque terme est répété $n$ fois ( $n>2$ ).

Il en résulte qu’on peut trouver $n(n-1)$ nombres nonnégatifs $q_{r,s}^{\prime},r=1,2,\ldots,n,s=1,2,\ldots,n-1$ , de manière que l’on ait

\begin{gathered}x_{i}^{\prime}=\sum_{r=1}^{n-1}q_{i,r}^{\prime}y_{r}^{\prime},\sum_{z=1}^{n-1}q_{i,r}^{\prime}=1,\sum_{s=1}^{n}q_{s,j}^{\prime}=-\frac{n}{n-1}\\ i=1,2,\ldots,n,j=1,2,\ldots,n-1\end{gathered}

$\S 4$ .

17.
- —
  
  MM. G. H. Hardy, J. L. Littlewood et G. Polya ont introduit la notion de suite moyenne en étudiant certaines in égalités vérifiées par les fonctions convexes ¹¹ ). Cette propriélé, sous une forme un peu plus générale ¹² ), s’énonce de la manière suivante.

11.

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya „Some simple inequalities satisfied by convex functions ^∗ Messenger of Math., 58, 145-152 (1928). 12) Voir loc. cit. 8).

Lemme 5.-Pour que l’inégalité

\sum_{i=1}^{r}A_{i}\varphi\left(x_{i}\right)\geqq\sum_{l=1}^{s}B_{i}\varphi\left(y_{i}\right),(r+s\geqq 3),

(58)

où

A_{i}>0,B_{i}>0,A_{1}-A_{2}+\cdots+A_{r}=B_{1}+B_{2}+\cdots+B_{s}=1,

$x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{r},y_{1}<y_{2}<\cdots<y_{s}$ , soit vérifiée pour toute fonction $\varphi(x)$ non-concave (d’ordre 1) dans un intervalle contenant les points $x_{i},y_{i}$ , il faut et il suffit que l’on puisse trouver rs nombres non-négatifs $p_{i,j}$ de manière que l’on ait

\begin{gathered}\sum_{v=1}^{r}p_{i,v}=1,\sum_{v=1}^{r}B_{v}p_{v,j}=A_{j},y_{i}=\sum_{v=1}^{r}p_{i,v}x_{v},\\ i=1,2,\ldots,s,j=1,2,\ldots,r.\end{gathered}

Si $\varphi(x)$ est convexe, dans (58) le signe $>$ est valable.
De cette propriété nous déduisons le
THÉOREME 12. - Si $\varphi(x)$ esi une fonction non-concave dans un intervatle contenant les (1) et si (2) est la suite dérivée de (1), on a l’inégalité

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\varphi\left(x_{i}\right)\geqslant\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n=1}\varphi\left(y_{j}\right).

Si la fonction $\varphi(x)$ est convexe, l’égalité n’a lieu que st $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ .

Cette propriété est due à M. K. TodA ¹³ ).
Nous avons signalé, il y a déjà quelque temps, cette inégalité, et elle a été effectivement démontrée par M. H. E BRAY ¹⁴ ), pour $\varphi(x)=xp,p$ entier positif. Pour $p$ quelconque l’inégalité a été étudiée par M. S. KaKeya ¹⁵ ).
18. - Le lemme 5 peut aussi être -appliqué aux suites (45) et (46). De cette façon nous obtenois une nouvelle propriété qui est donnée par le
13) Kiyoshi toda "On certains functional inequalities" Journal of the Hiroshima Univ., (A), 4, 27-40 (1934).
14) Hubert E. Bray "On the zeros of a polynomial and of its derivative" Amer. Journal of Math, 55, 864-872 (1931).
15) Soichi Kakeya. On an inequality between the roots of an equation and its derivative" Proc. Phys. - Math. Soc. Japan, (3), 15, 149-154 (1933).

THÉORÈME 13. - Si les suites (45) et (46) s’obtiennent de (1) et (2) par les formules (44) et si $\varphi(x)$ est une fonction nonconcave dans un intervalle contenant les points (45) et (46), on a l’inégalité

\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}\varphi\left(y_{j}^{\prime}\right)\geqq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\varphi\left(x_{i}^{\prime}\right),\quad(n>2)

(59)

Si la fonction est convexe l’égalité n’a lieu que si $x_{1}=x_{2}==\cdots=x_{n}$ .

En effet, de l’étude du lemme 5 il résulte que l’égalité ne peut avoir lieu, si $\varphi(x)$ est convexe, que si $y_{1}^{\prime}=y_{2}^{\prime}==\cdots=y_{n-1}^{\prime}$ , ce qui exige $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ .

En particulier, nous avons l’inégalité

\frac{y_{1}^{\prime p}+y_{2}^{\prime p}+\cdots+y_{n-1}^{\prime p}}{n-1}\geqq\frac{x_{1}^{\prime p}+x_{2}^{\prime p}+\cdots+x_{n}^{\prime p}}{n}

(60)

si $p>1$ , l’égalité ayant lieu seulement si $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$ ; en supposant, bien entendu, que tous les zéros (1), donc aussi les nombres (45), (46) soient non-négatifs. Ceci résulte du fait que la fonction $x^{p}$ est convexe si $p>1,x\geqq 0$ . La fonction $x^{p}$ étant concave si $0<p<1,x\geqq 0$ , l’inégalité contraire est valable dans ce cas. On voit aussi, de la même manière, que l’inégalité (60) subsiste aussi lorsque $p<0$ , à condition que les zéros (1), donc aussi les nombres (45), (46), soient tous positifs.
19. - Faisons encore une dernière application de l’inégalité (59). La fonction $\log x$ est concave pour $x>0$ . Il en résulte que si les zéros (1) sont positifs nous avons l’inégalité
(61) $\sqrt[n]{x_{1}^{\prime}x_{2}^{\prime}\ldots x_{n}^{\prime}}\geqq\sqrt[n-1]{y_{1}^{\prime}y_{2}^{\prime}\ldots y_{n-1}^{\prime}}\quad(n>2)$ .

Cette inégalité est valable aussi lorsque (1) sont seulement non-négatifs. L’hypothèse $x_{n}^{\prime}=0$ exige $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n-1}=0$ donc $y_{1}=y_{2}=\ldots y_{n=2}=0$ et par suite $y_{n-1}^{\prime}=0$ . Il en résulte que dans (61) l’égalité n’a lieu que si ou bien tous les zéros (1) sont égaux ou bien les $n-1$ premiers sont nuls.

Soit $f(x)$ un polynome de degré $n>2$ à zéros tous réels et $x_{s,1},x_{s,2},\ldots,x_{s,n-s}$ les zéros de la $s$ .ème dérivée $f^{(s)}(x)$ . Désignons par $x_{s,1}^{\prime},x_{s,2}^{\prime},\ldots,x_{s,n-s}^{\prime}$ les moyennes arithméti-
ques des zéros $x_{s,r}$ pris $n-s-1$ à $n-s-1$ . L’inégalité (61) nous donne la suite d’inégalités

\begin{gathered}\sqrt[n]{x_{0,1}^{\prime}x_{0,2}^{\prime}\ldots x_{0,n}^{\prime}}\geqq\sqrt[n-1]{x_{1,1}^{\prime}x_{1,2}^{\prime}\ldots x_{1,n-1}^{\prime}}\geqq\\ \geqq\sqrt{x_{2,1}^{\prime}x_{2,2}^{\prime}\ldots x_{2,n-2}^{\prime}}\geqq\cdots\geqq\sqrt{x_{n-2,1}^{\prime}x_{n-2,2}^{\prime}}\end{gathered}

en supposant, bien entendu, que les zéros de $f(x)$ soient tous non négatifs.

Il est facile de voir que pour toutes ces inégalités les conditions d’égalité sont les mêmes que pour (61).
20. - Enfin, changeons encore un peu les notations. Désignons par $a_{1},a_{n},\ldots,a_{n}$ les zéros de $f(x)$ . On voit facilement que $x_{n-2,1}^{\prime}x_{n-2,2}$ sont les zéros de $f^{(n-2)}(x)$ . Mais, le produit de ces zéros est égal à la moyenne arithmétique des produits deux à deux des nombres $a_{i}$ . Nous obtenons donc la propriété suivante.

THEOREME 14. - Si $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}(n>2)$ sont des nombres non-négatifs et si $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ sont les moyennes arithmé. tiques de ces nombres pris $n-1$ à $n-1$ , nous avons l’inégalité

\sqrt[n]{A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}\geqq\sqrt{\frac{\sum a_{i}a_{j}}{\binom{n}{2}}}

(62)

l’égalité ayant lieu sì et seulement si ou bien tous les nombres $a_{i}$ sont égaux, ou bien $n-1$ de ces nombres sont nuls.

Notre inégalité, pour $n=3$ et pour $n=4$ , peut s’écrire

\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{ab+bc+ca}

$\sqrt[4]{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}\geq\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{ab+ac+ad+bc+bd+cd}$
$a,b,c,d$ étant des nombres non-négatifs.
L’interêt de l’inégalité (62) consiste dans le fait que le premier membre est une superposition de movennes arithmétiques et d’une moyenne géométrique. Si $A,G$ sont les moyennes arithmétique et géométrique des nombres $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ , on a

A\geqq\sqrt[n]{A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}\geqq G

D’autre part on a aussi

A\geq\sqrt{\frac{\sum a_{i}a_{j}}{\binom{n}{2}}}\geq G

et on voit que (62) est une élégante précision de la première de ces inégalités.

Iaşi, le 6 Octobre 1943.

Sur certaines inegalités entre les zeros, supposés tous réels, d’un polynôme et ceux de sa deriveé

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SUR CERTAINÉS INEGALITÉS ENTRE LES ZÊROS, SUPPOSÉS TOUS RÉELS, D’UN POLYNOME ET CEUX DE SA DÉRIVÉE

$\S 2$ .

Mais

§ 3.

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Lemme 5.-Pour que l’inégalité

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