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Traduction en anglais du titre
On an inequality
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T. Popoviciu, Sur une inegalité, Mathematica, 23 (1947-1948), pp. 127-128 (in French) [MR0027024]
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SUR UNE INÉGALITÉ
PAR
TIBERIU POPOVICIU
Requ le 27 avril 1948
Dans les „Nouvelles Annales de mathématiques" ^((1)){ }^{(1)} L. A. Le Cointe démontre que si a_(1)^('),a_(2)^('),dots,a_(2m)^(')a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{2 m}^{\prime} sont les 2m2 m nombres positifs a_(1),a_(2),dots,a_(2m)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m} rangés en ordre non-décroissant (ou non-croissant), on a
a_(1)^(')a_(2)^(')dotsa_(m)^(')+a_(m+1)^(')a_(m+2)^(')dotsa_(2m)^(') >= a_(1)a_(2)dotsa_(m)+a_(m+1)a_(m+2)dotsa_(2m)a_{1}^{\prime} a_{2}^{\prime} \ldots a_{m}^{\prime}+a_{m+1}^{\prime} a_{m+2}^{\prime} \ldots a_{2 m}^{\prime} \geqq a_{1} a_{2} \ldots a_{m}+a_{m+1} a_{m+2} \ldots a_{2 m}
Nous allons donner une généralisation de cette propriété en démontrant le
Théorème. - Soient varphi(x),psi(x)\varphi(x), \psi(x) deux fonctions continues et croissantes dans l'intervalle. (a,b)(a, b) et varphi^(-1),psi^(-1)\varphi^{-1}, \psi^{-1} leurs fonctions inverses. Posons
{:[M(x_(1),x_(2),dots,x_(n))=varphi^(-1)((sum_(i=1)^(n)varphi(x_(i)))/(n))],[N(x_(1),x_(2),dots,x_(m))=psi^(-1)((sum_(i=1)^(m)psi(x_(i)))/(m))]:}\begin{aligned}
& \mathrm{M}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\varphi^{-1}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} \varphi\left(x_{i}\right)}{n}\right) \\
& \mathrm{N}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)=\psi^{-1}\left(\frac{\sum_{i=1}^{m} \psi\left(x_{i}\right)}{m}\right)
\end{aligned}
Soient encore a_(1),a_(2),dots,a_(nm)nma_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n m} n m nombres appartenant a l'intervalle (a,b)(a, b) et a_(1)^('),a_(2)^('),dots,a_(nm)^(')a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{n m}^{\prime} ces mêmes nombres rangés dans l'ordre noncroissant (ou non-décroissant).
Alors nous avons l'inégalité
(1)
(1)
{:[M((N)(a_(1)^('),a_(2)^('),dots,a_(m)^(')),N(a_(m+1)^('),a_(m+2)^('),dots,a_(2m)^(')),dots:}],[{:N(a_((n-1)m+1)^('),a_((n-1)m+2)^('),dots,a_(nm)^('))) >= resp. <= ],[M((N)(a_(1),a_(2),dots,a_(m)),N(a_(m+1),a_(m+2),dots,a_(2m)),dots,:}],[{:N(a_((n-1)m+1),a_((n-1)m+2),dots,a_(nm)))]:}\begin{gathered}
\mathrm{M}\left(\mathrm{~N}\left(a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{m}^{\prime}\right), \mathrm{N}\left(a_{m+1}^{\prime}, a_{m+2}^{\prime}, \ldots, a_{2 m}^{\prime}\right), \ldots\right. \\
\left.\mathrm{N}\left(a_{(n-1) m+1}^{\prime}, a_{(n-1) m+2}^{\prime}, \ldots, a_{n m}^{\prime}\right)\right) \geqq \mathrm{resp} . \leqq \\
\mathrm{M}\left(\mathrm{~N}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right), \mathrm{N}\left(a_{m+1}, a_{m+2}, \ldots, a_{2 m}\right), \ldots,\right. \\
\left.\mathrm{N}\left(a_{(n-1) m+1}, a_{(n-1) m+2}, \ldots, a_{n m}\right)\right)
\end{gathered}
suivant que la fonction varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right) est non-concave resp. non-convexe.
( ^(1){ }^{1} ) Т. 2. 372-374 (1843).
( ^(1){ }^{1} ) Т. 2. 372-374 (1843).
Désignons par ff la fonction varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right) et supposons, pour fixer les idées, que cette fonction soit non-concave. Les fonctions varphi^(-1),psi^(-1)\varphi^{-1}, \psi^{-1} étant aussi croissantes, l'inégalité à démontrer revient à
sum_(i=1)^(n)f((sum_(j=1)^(m)(psi(a_((i-1)m+j)^(')))/(m))/(m)) >= sum_(i=1)^(n)f((sum_(j=1)^(m)(psi(a_((i-1)m+j)))/(m))/(m))\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{\sum_{j=1}^{m} \frac{\psi\left(a_{(i-1) m+j}^{\prime}\right)}{m}}{m}\right) \geqq \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{\sum_{j=1}^{m} \frac{\psi\left(a_{(i-1) m+j}\right)}{m}}{m}\right)
qui est une conséquence de la propriété suivante des MM. G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Polya (^(2))\left({ }^{2}\right).
Si f(x)f(x) est une fonction non-concave et si (x_(i) >= x_(i+1),y_(i) >= y_(i+1),i=:}1,2,dots,n-1)\left(x_{i} \geq x_{i+1}, y_{i} \geqq y_{i+1}, i=\right. 1,2, \ldots, n-1)
{:[x_(1)+x_(2)+cdots+x_(i) >= y_(1)+y_(2)+cdots+y_(i)","quad i=1","2","dots","n-1","],[x_(1)+x_(2)+cdots+x_(n)=y_(1)+y_(2)+cdots+y_(n)]:}\begin{aligned}
& x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i} \geqq y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n-1, \\
& x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}
\end{aligned}
on a l'inégalité
sum_(i=1)^(n)f(x_(i)) >= sum_(i=1)^(n)f(y_(i))\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \geqq \sum_{i=1}^{n} f\left(y_{i}\right)
Dans le cas où la fonction varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right) est convexe (resp. concave) il est facil de trouver les cas où l'égalité est valable dans (1).
La propriété de Le Cointe correspond au cas où n=2,varphi=x,psi=log xn=2, \varphi=x, \psi=\log x.
En particularisant les fonctions varphi,psi\varphi, \psi on trouve divers énoncés particuliers.
En particularisant les fonctions varphi,psi\varphi, \psi on trouve divers énoncés particuliers.
- ^((2)){ }^{(2)} „Some simple inéqualities satisfied by convex function", Messenger of Math., 58, 145-152 (1929). Voir aussi "Inequalities", p. 89.