Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On certain inequalities which characterize convex functions

Auteur(s)

T. Popoviciu
Institutul de Calcul

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1965 b -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi – Sur certaines inegalites qui characterisent les fonctions convexes

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes, An. Şti. Univ. “Al. I. Cuza” Iaşi, Secţ. I a Mat. (N.S.), 11B, (1965), pp. 155-164 (in French).

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Analele Stiintifice a Universitatii Al. I. Cuza Iasi

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Al. Université I. Cuza Iasi, Roumanie

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1965 b -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi - Sur certaines inegalites qui characterisent les

SUR CERTAINES INÉGALITÉS QUI CARACTÉRISENT LES FONCTIONS CONVEXES

PARTIBERIU POPOVICIUà Cluj

Hommage à M. O. Mayer à l'occasion de son 70-e anniversaire
  1. Une fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x), définie sur un intervalle I I III, (de longueur non nulle) est dite non-concave, respectivement convexe si sa différence divisée d'ordre 2 , [ x 1 , x 2 , x 3 ; f ] x 1 , x 2 , x 3 ; f [x_(1),x_(2),x_(3);f]\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f\right][x1,x2,x3;f] est ≧ 0 ≧ 0 >= 0\geqq 0≧0, respectivement > 0 > 0 > 0>0>0 sur tout groupe de 3 points distincts x 1 , x 2 , x 3 ∈ I x 1 , x 2 , x 3 ∈ I x_(1),x_(2),x_(3)in Ix_{1}, x_{2}, x_{3} \in Ix1,x2,x3∈I. Une fonction convexe est d'ailleurs un cas particulier de fonction non-concave.
Dans la suite nous étudierons quelques inégalités qui caractérisent les fonctions continues et non-concaves.
2. Thé orème 1. Pour que la fonction continue f f fff soit non-concave sur l'intervalle I I III, il faut et il suffit que l'inégalité de fensen
(1) 2 f ( x + y 2 ) ≦ f ( x ) + f ( y ) (1) 2 f x + y 2 ≦ f ( x ) + f ( y ) {:(1)2f((x+y)/(2)) <= f(x)+f(y):}\begin{equation*} 2 f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqq f(x)+f(y) \tag{1} \end{equation*}(1)2f(x+y2)≦f(x)+f(y)
soit vérifiée pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I.
L'inégalité (1), pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I, caractérise donc les fonctions continues et non-concaves sur I I III.
On connaît plusieurs démonstrations du théorème 1.
La condition est suffisante. En effet si l'inégalité (1) est vérifiée pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I, la fonction f f fff, supposée continue, est non-concave sur I I III.
La condition est nécessaire. Ceci résulte immédiatement de la formule
[ x , y , x + y 2 ; f ] = 2 ( y − x ) 2 [ f ( x ) + f ( y ) − 2 f ( x + y 2 ) ] ( x ≠ y ) x , y , x + y 2 ; f = 2 ( y − x ) 2 f ( x ) + f ( y ) − 2 f x + y 2 ( x ≠ y ) [x,y,(x+y)/(2);f]=(2)/((y-x)^(2))[f(x)+f(y)-2f((x+y)/(2))](x!=y)\left[x, y, \frac{x+y}{2} ; f\right]=\frac{2}{(y-x)^{2}}\left[f(x)+f(y)-2 f\left(\frac{x+y}{2}\right)\right](x \neq y)[x,y,x+y2;f]=2(y−x)2[f(x)+f(y)−2f(x+y2)](x≠y)
Mais nous allons donner ici une autre démonstration, qui est basée sur l'approximation des fonctions continues par des lignes polygonales inscrites dans la courbe représentative.
La démonstration de la nécessité de la condition du théorème 1 résulte des propriétés suivantes:
A. Les fonctions λ x + μ , | x − ϱ | λ x + μ , | x − ϱ | lambda x+mu,|x-ϱ|\lambda x+\mu,|x-\varrho|λx+μ,|x−ϱ|, où λ , μ , ϱ λ , μ , ϱ lambda,mu,ϱ\lambda, \mu, \varrhoλ,μ,ϱ sont des constantes quelconques, vérifient l'inégalité (1) pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I.
B. Si un nombre fini de fonctions vérifient l'inégalité (1) pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I, toute combinaison linéaire de ces fonctions, avec des coefficients non-négatifs, jouit de la même propriété.
C. Si les termes d'une suite convergente sur I I III, de fonctions définies sur I I III, vérifient l'inégalité (1) pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I, la fonction limite jouit de la même propriété.
D. Toute fonction continue et non-concave est la limite d'une suite de fonctions de la forme
(2) λ x + μ + ∑ a = 1 n C a | x − c a | , (2) λ x + μ + ∑ a = 1 n   C a x − c a , {:(2)lambda x+mu+sum_(a=1)^(n)C_(a)|x-c_(a)|",":}\begin{equation*} \lambda x+\mu+\sum_{a=1}^{n} C_{a}\left|x-c_{a}\right|, \tag{2} \end{equation*}(2)λx+μ+∑a=1nCa|x−ca|,
les C a , α = 1 , 2 , … , n C a , α = 1 , 2 , … , n C_(a),alpha=1,2,dots,nC_{a}, \alpha=1,2, \ldots, nCa,α=1,2,…,n, étant des constantes non-négatives et c a , α = 1 , 2 , … , n c a , α = 1 , 2 , … , n c_(a),alpha=1,2,dots,nc_{a}, \alpha=1,2, \ldots, nca,α=1,2,…,n des points de l'intervalle I I III.
3. Pour compléter la démonstration précédente nous allons examiner de plus près les propriétés A, D de plus haut. Nous pouvons nous dispenser de donner les démonstrations des propriétés B , C B , C B,CB, CB,C, qui sont immédiates.
Occupons-nous d'abord de la propriété A.
Tout polynôme du premier degré λ x + μ λ x + μ lambda x+mu\lambda x+\muλx+μ vérifie l'inégalité (1), avec le signe = = ===, pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I.
La fonction | x | | x | |x||x||x| vérifie l'inégalité (1) par suite de l'inégalité bien connue
(3) | x + y | ≦ | x | + | y | (3) | x + y | ≦ | x | + | y | {:(3)|x+y| <= |x|+|y|:}\begin{equation*} |x+y| \leqq|x|+|y| \tag{3} \end{equation*}(3)|x+y|≦|x|+|y|
entre la valeur absolue de la somme et la somme des valeurs absolues des termes.
Il en résulte immédiatement que la fonction | x − ϱ | | x − ϱ | |x-ϱ||x-\varrho||x−ϱ| vérifie aussi l'inégalité (1) pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I et toute constante ϱ ϱ ϱ\varrhoϱ.
Remarquons que la non-concavité des fonctions λ x + μ , | x | λ x + μ , | x | lambda x+mu,|x|\lambda x+\mu,|x|λx+μ,|x| (donc aussi de | x − ϱ | | x − ϱ | |x-ϱ||x-\varrho||x−ϱ| ) résulte directement de l'inégalité (1), sans l'hypothèse de la continuité. En effet, la fonction f f fff est non-concave sur I I III si et seulement si nous avons
(4) f ( p x + q y p + q ) ≦ p f ( x ) + q f ( y ) p + q (4) f p x + q y p + q ≦ p f ( x ) + q f ( y ) p + q {:(4)f((px+qy)/(p+q)) <= (pf(x)+qf(y))/(p+q):}\begin{equation*} f\left(\frac{p x+q y}{p+q}\right) \leqq \frac{p f(x)+q f(y)}{p+q} \tag{4} \end{equation*}(4)f(px+qyp+q)≦pf(x)+qf(y)p+q
pour tout x , y ∈ I x , y ∈ I x,y in Ix, y \in Ix,y∈I et pour tout p , q > 0 p , q > 0 p,q > 0p, q>0p,q>0.
Dans le cas d'un polynôme du premier degré P ( x ) = λ x + μ P ( x ) = λ x + μ P(x)=lambda x+muP(x)=\lambda x+\muP(x)=λx+μ, en posant Q ( x ) = λ x + μ ( p + q ) ( p , q > 0 ) Q ( x ) = λ x + μ ( p + q ) ( p , q > 0 ) Q(x)=lambda x+mu(p+q)(p,q > 0)Q(x)=\lambda x+\mu(p+q)(p, q>0)Q(x)=λx+μ(p+q)(p,q>0) de l'inégalité 2 Q ( p x + q y 2 ) ≦≦ Q ( p x ) + Q ( q y ) 2 Q p x + q y 2 ≦≦ Q ( p x ) + Q ( q y ) 2Q((px+qy)/(2))≦≦Q(px)+Q(qy)2 Q\left(\frac{p x+q y}{2}\right) \leqq \leqq Q(p x)+Q(q y)2Q(px+qy2)≦≦Q(px)+Q(qy) on déduit, après quelques simplifications, P ( p x + q y p + q ) ≦≦ p P ( x ) + q P ( y ) p + q P p x + q y p + q ≦≦ p P ( x ) + q P ( y ) p + q P((px+qy)/(p+q))≦≦(pP(x)+qP(y))/(p+q)P\left(\frac{p x+q y}{p+q}\right) \leqq \leqq \frac{p P(x)+q P(y)}{p+q}P(px+qyp+q)≦≦pP(x)+qP(y)p+q (dans ces relations c'est le signe = = === qui a toujours lieu).
Dans le cas de la fonction | x | | x | |x||x||x|, de | p x + q y | ≦ | p x | + | q y | = p | x | + + q | y | ( p , q > 0 ) | p x + q y | ≦ | p x | + | q y | = p | x | + + q | y | ( p , q > 0 ) |px+qy| <= |px|+|qy|=p|x|++q|y|(p,q > 0)|p x+q y| \leqq|p x|+|q y|=p|x|+ +q|y|(p, q>0)|px+qy|≦|px|+|qy|=p|x|++q|y|(p,q>0) il résulte aussi | p x + q y p + q | ≦ p | x | + q | y | p + q p x + q y p + q ≦ p | x | + q | y | p + q |(px+qy)/(p+q)| <= (p|x|+q|y|)/(p+q)\left|\frac{p x+q y}{p+q}\right| \leqq \frac{p|x|+q|y|}{p+q}|px+qyp+q|≦p|x|+q|y|p+q. Nous avons une propriété analogue pour la fonction | x − ϱ | | x − ϱ | |x-ϱ||x-\varrho||x−ϱ|.
4. Pour démontrer la propriété D il suffit de supposer que la fonction f f fff soit continue et non-concave sur l'intervalle fini et fermé [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. Soient alors a = c 0 < c 1 < … < c m − 1 < c m = b a = c 0 < c 1 < … < c m − 1 < c m = b a=c_(0) < c_(1) < dots < c_(m-1) < c_(m)=ba=c_{0}<c_{1}<\ldots<c_{m-1}<c_{m}=ba=c0<c1<…<cm−1<cm=b les points qui divisent l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] en m m mmm parties égales et φ m ( x ) φ m ( x ) varphi_(m)(x)\varphi_{m}(x)φm(x) la fonction représentée par la ligne polygonale inscrite dans la courbe y = f ( x ) y = f ( x ) y=f(x)y=f(x)y=f(x) suivant les sommets ( c a , f ( c a ) ) , α = 0 , 1 , … , m c a , f c a , α = 0 , 1 , … , m (c_(a),f(c_(a))),alpha=0,1,dots,m\left(c_{a}, f\left(c_{a}\right)\right), \alpha=0,1, \ldots, m(ca,f(ca)),α=0,1,…,m. Alors nous avons
φ m ( x ) = ∑ a = 0 m C a | x − c a | φ m ( x ) = ∑ a = 0 m   C a x − c a varphi_(m)(x)=sum_(a=0)^(m)C_(a)|x-c_(a)|\varphi_{m}(x)=\sum_{a=0}^{m} C_{a}\left|x-c_{a}\right|φm(x)=∑a=0mCa|x−ca|
qui est bien de la forme (2) où les coefficients C a , α = 1 , 2 , … , m − 1 ( m > 1 ) C a , α = 1 , 2 , … , m − 1 ( m > 1 ) C_(a),alpha=1,2,dots,m-1(m > 1)C_{a}, \alpha=1,2, \ldots, m-1 (m>1)Ca,α=1,2,…,m−1(m>1) sont non-négatifs. En effet, la suite des pentes
( ∑ a = 0 v C a − ∑ a = v + 1 m C a ) v = 0 m − 1 ∑ a = 0 v   C a − ∑ a = v + 1 m   C a v = 0 m − 1 (sum_(a=0)^(v)C_(a)-sum_(a=v+1)^(m)C_(a))_(v=0)^(m-1)\left(\sum_{a=0}^{v} C_{a}-\sum_{a=v+1}^{m} C_{a}\right)_{v=0}^{m-1}(∑a=0vCa−∑a=v+1mCa)v=0m−1 des côtés de la ligne polygonale est non-décroissante.
Si ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) est le module d'oscillation de la fonction f f fff, nous avons
| f ( x ) − φ m ( x ) | = | [ f ( x ) − f ( c a − 1 ) ] x − c a c a − 1 − c a + + [ f ( x ) − f ( c a ) ] x − c a − 1 c a − c a − 1 | ≦ ω ( x − c a − 1 ) c a − x c a − c a − 1 + + ω ( c a − x ) x − c a − 1 c a − c a − 1 ≦ ω ( b − a m ) f ( x ) − φ m ( x ) = f ( x ) − f c a − 1 x − c a c a − 1 − c a + + f ( x ) − f c a x − c a − 1 c a − c a − 1 ≦ ω x − c a − 1 c a − x c a − c a − 1 + + ω c a − x x − c a − 1 c a − c a − 1 ≦ ω b − a m {:[|f(x)-varphi_(m)(x)|=|[f(x)-f(c_(a-1))](x-c_(a))/(c_(a-1)-c_(a))+:}],[+[f(x)-f(c_(a))](x-c_(a-1))/(c_(a)-c_(a-1))| <= omega(x-c_(a-1))(c_(a)-x)/(c_(a)-c_(a-1))+:}],[+omega(c_(a)-x)(x-c_(a-1))/(c_(a)-c_(a-1)) <= omega((b-a)/(m))]:}\begin{gathered} \left|f(x)-\varphi_{m}(x)\right|=\left\lvert\,\left[f(x)-f\left(c_{a-1}\right)\right] \frac{x-c_{a}}{c_{a-1}-c_{a}}+\right. \\ +\left[f(x)-f\left(c_{a}\right)\right] \frac{x-c_{a-1}}{c_{a}-c_{a-1}} \left\lvert\, \leqq \omega\left(x-c_{a-1}\right) \frac{c_{a}-x}{c_{a}-c_{a-1}}+\right. \\ +\omega\left(c_{a}-x\right) \frac{x-c_{a-1}}{c_{a}-c_{a-1}} \leqq \omega\left(\frac{b-a}{m}\right) \end{gathered}|f(x)−φm(x)|=|[f(x)−f(ca−1)]x−caca−1−ca++[f(x)−f(ca)]x−ca−1ca−ca−1|≦ω(x−ca−1)ca−xca−ca−1++ω(ca−x)x−ca−1ca−ca−1≦ω(b−am)
où x ∈ [ c a − 1 , c a ] , a = 1 , 2 , … , m x ∈ c a − 1 , c a , a = 1 , 2 , … , m x in[c_(a-1),c_(a)],a=1,2,dots,mx \in\left[c_{a-1}, c_{a}\right], a=1,2, \ldots, mx∈[ca−1,ca],a=1,2,…,m, donc
| f ( x ) − φ m ( x ) | ≦ ω ( b − a m ) , pour x ∈ [ a , b ] f ( x ) − φ m ( x ) ≦ ω b − a m ,  pour  x ∈ [ a , b ] |f(x)-varphi_(m)(x)| <= omega((b-a)/(m))," pour "x in[a,b]\left|f(x)-\varphi_{m}(x)\right| \leqq \omega\left(\frac{b-a}{m}\right), \text { pour } x \in[a, b]|f(x)−φm(x)|≦ω(b−am), pour x∈[a,b]
et la suite ( φ m ( x ) ) m = 1 ∞ φ m ( x ) m = 1 ∞ (varphi_(m)(x))_(m=1)^(oo)\left(\varphi_{m}(x)\right)_{m=1}^{\infty}(φm(x))m=1∞ converge (et même uniformément) vers la fonction f f fff.
5. Nous avons montré plus haut le rôle de l'inégalité (3) dans la caractérisation par l'inégalité (1) des fonctions continues et non-concaves. Nous allons montrer comment on peut utiliser certaines généralisations de l'inégalité (3) pour obtenir d'autres caractérisations de la même nature.
Considérons l'inégalité de H. Hornich [4],
(5) | x + y | + | y + z | + | z + x | ≦ | x | + | y | + | z | + | x + y + z | (5) | x + y | + | y + z | + | z + x | ≦ | x | + | y | + | z | + | x + y + z | {:(5)|x+y|+|y+z|+|z+x| <= |x|+|y|+|z|+|x+y+z|:}\begin{equation*} |x+y|+|y+z|+|z+x| \leqq|x|+|y|+|z|+|x+y+z| \tag{5} \end{equation*}(5)|x+y|+|y+z|+|z+x|≦|x|+|y|+|z|+|x+y+z|
qui est une généralisation de l'inégalité (3) et est vérifiée, en particulier, quels que soient les nombres réels x , y , z x , y , z x,y,zx, y, zx,y,z. Nous avons alors le
Théorème 2. Pour que la fonction continue f f fff soit non-concave sur l'intervalle I I III, il faut et il suffit que l'inégalité
(6) 2 [ f ( x + y 2 ) + f ( y + z 2 ) + f ( z + x 2 ) ] ≦ ≦ f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + 3 f ( x + y + z 3 ) (6) 2 f x + y 2 + f y + z 2 + f z + x 2 ≦ ≦ f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + 3 f x + y + z 3 {:[(6)2[f((x+y)/(2))+f((y+z)/(2))+f((z+x)/(2))] <= ],[quad <= f(x)+f(y)+f(z)+3f((x+y+z)/(3))]:}\begin{align*} & 2\left[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{y+z}{2}\right)+f\left(\frac{z+x}{2}\right)\right] \leqq \tag{6}\\ & \quad \leqq f(x)+f(y)+f(z)+3 f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \end{align*}(6)2[f(x+y2)+f(y+z2)+f(z+x2)]≦≦f(x)+f(y)+f(z)+3f(x+y+z3)
soit vérifiée pour tout x , y , z ∈ I x , y , z ∈ I x,y,z in Ix, y, z \in Ix,y,z∈I.
Ce théorème est un cas particulier ( n = 3 , k = 2 n = 3 , k = 2 n=3,k=2n=3, k=2n=3,k=2 ) d'un théorème plus général qui résulte d'une généralisation de l'inégalité (5). Dušan D . Adamovič [1] et Dragomir Z. Dokovič [2] ont généralisé l'inégalité (5), le premier pour k = 2 k = 2 k=2k=2k=2 et le second pour k k kkk quelconque, par l'inégalité
(7) ∑ ( k ) | x i 1 + x i 2 + ⋯ + x i k | ≦ ≦ ( n − 2 k − 2 ) [ n − k k − 1 ∑ i = 1 n | x i | + | ∑ i = 1 n x i | ] , k = 2 , 3 , … , n − 1 , n = 3 , 4 , … (7) ∑ ( k )   x i 1 + x i 2 + ⋯ + x i k ≦ ≦ ( n − 2 k − 2 ) n − k k − 1 ∑ i = 1 n   x i + ∑ i = 1 n   x i , k = 2 , 3 , … , n − 1 , n = 3 , 4 , … {:[(7)sum(k)|x_(i_(1))+x_(i_(2))+cdots+x_(i_(k))| <= ],[ <= ((n-2)/(k-2))[(n-k)/(k-1)sum_(i=1)^(n)|x_(i)|+|sum_(i=1)^(n)x_(i)|]","k=2","3","dots","n-1","n=3","4","dots]:}\begin{gather*} \sum^{(k)}\left|x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}\right| \leqq \tag{7}\\ \leqq\binom{ n-2}{k-2}\left[\frac{n-k}{k-1} \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|+\left|\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right|\right], k=2,3, \ldots, n-1, n=3,4, \ldots \end{gather*}(7)∑(k)|xi1+xi2+⋯+xik|≦≦(n−2k−2)[n−kk−1∑i=1n|xi|+|∑i=1nxi|],k=2,3,…,n−1,n=3,4,…
la sommation Σ ( k ) Σ ( k ) Sigma^((k))\Sigma^{(k)}Σ(k) étant étendue à toutes les combinaisons i 1 , i 2 , … , i k i 1 , i 2 , … , i k i_(1),i_(2),dots,i_(k)i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}i1,i2,…,ik, k k kkk à k k kkk des indices 1 , 2 , … , n 1 , 2 , … , n 1,2,dots,n1,2, \ldots, n1,2,…,n.
On peut alors généraliser le théorème 2 par le
Théorème 3. Si n n nnn est un nombre naturel ≧ 3 ≧ 3 >= 3\geqq 3≧3 et k k kkk un nombre naturel qui vérifie les inégalités 2 ≦ k ≦ n − 1 2 ≦ k ≦ n − 1 2 <= k <= n-12 \leqq k \leqq n-12≦k≦n−1, pour que la fonction continue f f fff soit non-concave sur l'intervalle I I III, il faut et il suffit que l'inégalité
k ∑ ( k ) f ( x i 1 + x i 2 + … + x i k k ) ≦ k ∑ ( k ) f x i 1 + x i 2 + … + x i k k ≦ k sum^((k))f((x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k)))/(k)) <=k \sum{ }^{(k)} f\left(\frac{x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}}{k}\right) \leqqk∑(k)f(xi1+xi2+…+xikk)≦
(8) ≦ ( n − 2 k − 2 ) [ n − k k − 1 ∑ i = 1 n f ( x i ) + n f ( x 1 + x 2 + … + x n n ) ] (8) ≦ ( n − 2 k − 2 ) n − k k − 1 ∑ i = 1 n   f x i + n f x 1 + x 2 + … + x n n {:(8) <= ((n-2)/(k-2))[(n-k)/(k-1)sum_(i=1)^(n)f(x_(i))+nf((x_(1)+x_(2)+dots+x_(n))/(n))]:}\begin{equation*} \leqq\binom{ n-2}{k-2}\left[\frac{n-k}{k-1} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)+n f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}\right)\right] \tag{8} \end{equation*}(8)≦(n−2k−2)[n−kk−1∑i=1nf(xi)+nf(x1+x2+…+xnn)]
soit vérifiée pour tout x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in Ix1,x2,…,xn∈I.
Pour n = 3 , k = 2 n = 3 , k = 2 n=3,k=2n=3, k=2n=3,k=2 nous retrouvons le théorème 2 .
L'ınégalité (8) et, en particulier, l'inégalité (6), caractérısent donc les fonctions continues et non-concaves.
6. La démonstration du théorème 3 peut se faire de la même manière que celle du théorème 1.
La condition est suffisante, donc, si l'inégalité (8) est vérifiée pour tout x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in Ix1,x2,…,xn∈I, la fonction continue f f fff est non-concave sur I I III. En effet, posons dans (8), d'abord x 1 = x , x 2 = x 3 = … = x n = n y − x n − 1 x 1 = x , x 2 = x 3 = … = x n = n y − x n − 1 x_(1)=x,x_(2)=x_(3)=dots=x_(n)=(ny-x)/(n-1)x_{1}=x, x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{n}=\frac{n y-x}{n-1}x1=x,x2=x3=…=xn=ny−xn−1, ensuite x 1 = y , x 2 = x 3 = … = x n = n x − y n − 1 x 1 = y , x 2 = x 3 = … = x n = n x − y n − 1 x_(1)=y,x_(2)=x_(3)=dots=x_(n)=(nx-y)/(n-1)x_{1}=y, x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{n}=\frac{n x-y}{n-1}x1=y,x2=x3=…=xn=nx−yn−1 et ajoutons membre à membre les inégalités ainsi obtenues. Nous en déduisons
(9) f ( x + y 2 + y − x 2 δ ) + f ( x + y 2 − y − x 2 δ ) ≦ f ( x ) + f ( y ) (9) f x + y 2 + y − x 2 δ + f x + y 2 − y − x 2 δ ≦ f ( x ) + f ( y ) {:(9)f((x+y)/(2)+(y-x)/(2delta))+f((x+y)/(2)-(y-x)/(2delta)) <= f(x)+f(y):}\begin{equation*} f\left(\frac{x+y}{2}+\frac{y-x}{2 \delta}\right)+f\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y-x}{2 \delta}\right) \leqq f(x)+f(y) \tag{9} \end{equation*}(9)f(x+y2+y−x2δ)+f(x+y2−y−x2δ)≦f(x)+f(y)
où δ = k ( n − 1 ) ( n + 1 ) k − 2 n ≧ ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) 2 − 2 > 1 δ = k ( n − 1 ) ( n + 1 ) k − 2 n ≧ ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) 2 − 2 > 1 delta=(k(n-1))/((n+1)k-2n) >= ((n-1)^(2))/((n-1)^(2)-2) > 1\delta=\frac{k(n-1)}{(n+1) k-2 n} \geqq \frac{(n-1)^{2}}{(n-1)^{2}-2}>1δ=k(n−1)(n+1)k−2n≧(n−1)2(n−1)2−2>1. Il en résulte que les points x + y 2 + + y − x 2 δ , x + y 2 − y − x 2 δ x + y 2 + + y − x 2 δ , x + y 2 − y − x 2 δ (x+y)/(2)++(y-x)/(2delta),(x+y)/(2)-(y-x)/(2delta)\frac{x+y}{2}+ +\frac{y-x}{2 \delta}, \frac{x+y}{2}-\frac{y-x}{2 \delta}x+y2++y−x2δ,x+y2−y−x2δ sont toujours compris entre x x xxx et y y yyy. On peut alors répéter l'inégalité (9) en prenant ces points pour x x xxx et y y yyy. En continuant ainsi on trouve
(10) f ( x + y 2 + y − x 2 δ m ) + f ( x + y 2 − y − x 2 δ m ) ≦ f ( x ) + f ( y ) , m = 1 , 2 , … (10) f x + y 2 + y − x 2 δ m + f x + y 2 − y − x 2 δ m ≦ f ( x ) + f ( y ) , m = 1 , 2 , … {:(10)f((x+y)/(2)+(y-x)/(2delta^(m)))+f((x+y)/(2)-(y-x)/(2delta^(m))) <= f(x)+f(y)","m=1","2","dots:}\begin{equation*} f\left(\frac{x+y}{2}+\frac{y-x}{2 \delta^{m}}\right)+f\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y-x}{2 \delta^{m}}\right) \leqq f(x)+f(y), m=1,2, \ldots \tag{10} \end{equation*}(10)f(x+y2+y−x2δm)+f(x+y2−y−x2δm)≦f(x)+f(y),m=1,2,…
Compte tenant de δ > 1 δ > 1 delta > 1\delta>1δ>1 et de la continuité de la fonction f f fff, en faisant m → ∞ m → ∞ m rarr oom \rightarrow \inftym→∞, on déduit de (10) l'inégalité (1) de Jensen.
La condition est nécessaire, donc toute fonction non-concave et continue sur I I III vérifie l'inégalité (8) pour tout x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in Ix1,x2,…,xn∈I. En effet, les propriétés A , B , C , D A , B , C , D A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D du no. 2 sont vérifiées pour l'inégalité (8).
7. Considérons l'inégalité
(11) ∑ a = 1 m p a f ( z a ) ≧ 0 (11) ∑ a = 1 m   p a f z a ≧ 0 {:(11)sum_(a=1)^(m)p_(a)f(z_(a)) >= 0:}\begin{equation*} \sum_{a=1}^{m} p_{a} f\left(z_{a}\right) \geqq 0 \tag{11} \end{equation*}(11)∑a=1mpaf(za)≧0
où p a ≠ 0 , α = 1 , 2 , … , m p a ≠ 0 , α = 1 , 2 , … , m p_(a)!=0,alpha=1,2,dots,mp_{a} \neq 0, \alpha=1,2, \ldots, mpa≠0,α=1,2,…,m et z 1 < z 2 < … < z m z 1 < z 2 < … < z m z_(1) < z_(2) < dots < z_(m)z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{m}z1<z2<…<zm sont m m mmm points distincts de I I III. Si l'inégalité (11) est vérifiée pour toute fonction f f fff non-concave sur I I III, nous avons m > 2 m > 2 m > 2m>2m>2 et
(12) ∑ a = 1 m p a f ( z a ) = ∑ a = 1 m − 2 q a [ z a , z a + 1 , z a + 2 ; f ] (12) ∑ a = 1 m   p a f z a = ∑ a = 1 m − 2   q a z a , z a + 1 , z a + 2 ; f {:(12)sum_(a=1)^(m)p_(a)f(z_(a))=sum_(a=1)^(m-2)q_(a)[z_(a),z_(a+1),z_(a+2);f]:}\begin{equation*} \sum_{a=1}^{m} p_{a} f\left(z_{a}\right)=\sum_{a=1}^{m-2} q_{a}\left[z_{a}, z_{a+1}, z_{a+2} ; f\right] \tag{12} \end{equation*}(12)∑a=1mpaf(za)=∑a=1m−2qa[za,za+1,za+2;f]
avec q a ⩾ 0 , a = 1 , 2 , … , m − 2 q a ⩾ 0 , a = 1 , 2 , … , m − 2 q_(a) >= 0,a=1,2,dots,m-2q_{a} \geqslant 0, a=1,2, \ldots, m-2qa⩾0,a=1,2,…,m−2 [6]. En particulier, q 1 = ( z 1 − z 2 ) ( z 1 − z 3 ) p 1 > 0 q 1 = z 1 − z 2 z 1 − z 3 p 1 > 0 q_(1)=(z_(1)-z_(2))(z_(1)-z_(3))p_(1) > 0q_{1}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(z_{1}-z_{3}\right) p_{1}>0q1=(z1−z2)(z1−z3)p1>0, q m − 2 = ( z m − z m − 1 ) ( z m − z m − 2 ) p m > 0 q m − 2 = z m − z m − 1 z m − z m − 2 p m > 0 q_(m-2)=(z_(m)-z_(m-1))(z_(m)-z_(m-2))p_(m) > 0q_{m-2}=\left(z_{m}-z_{m-1}\right)\left(z_{m}-z_{m-2}\right) p_{m}>0qm−2=(zm−zm−1)(zm−zm−2)pm>0 et de (12), en posant f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 f(x)=x^(2)f(x)=x^{2}f(x)=x2, il résulte que
∑ a = 1 m p a z a 2 = ∑ a = 1 m − 2 q a > 0 ∑ a = 1 m   p a z a 2 = ∑ a = 1 m − 2   q a > 0 sum_(a=1)^(m)p_(a)z_(a)^(2)=sum_(a=1)^(m-2)q_(a) > 0\sum_{a=1}^{m} p_{a} z_{a}^{2}=\sum_{a=1}^{m-2} q_{a}>0∑a=1mpaza2=∑a=1m−2qa>0
Nous en déduisons que pour toute fonction f f fff convexe sur I I III, l'inégalité stricte
(13) ∑ a = 1 m p a f ( z a ) > 0 (13) ∑ a = 1 m   p a f z a > 0 {:(13)sum_(a=1)^(m)p_(a)f(z_(a)) > 0:}\begin{equation*} \sum_{a=1}^{m} p_{a} f\left(z_{a}\right)>0 \tag{13} \end{equation*}(13)∑a=1mpaf(za)>0
est vérifiée.
De cette analyse résulte le
Lemme 1. Si l'inégalité (11), où p a , α = 1 , 2 , … , m p a , α = 1 , 2 , … , m p_(a),alpha=1,2,dots,mp_{a}, \alpha=1,2, \ldots, mpa,α=1,2,…,m, sont des constantes (quelconques, non pas nécessairement différentes de zéro) et z a z a z_(a)z_{a}za, α = 1 , 2 , … , m α = 1 , 2 , … , m alpha=1,2,dots,m\alpha=1,2, \ldots, mα=1,2,…,m, des points (distincts ou non) de l'intervalle I I III, est vérifiée pour toute fonction f f fff non-concave sur I et si ∑ α = 1 m p α z α 2 > 0 ∑ α = 1 m   p α z α 2 > 0 sum_(alpha=1)^(m)p_(alpha)z_(alpha)^(2) > 0\sum_{\alpha=1}^{m} p_{\alpha} z_{\alpha}^{2}>0∑α=1mpαzα2>0, l'inégalité stricte (13) est vérifiée pour toute fonction f f fff convexe sur I I III.
Revenons à l'inégalité (8). Pour f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 f(x)=x^(2)f(x)=x^{2}f(x)=x2 la différence entre le second et le premier membre est égale à
( n − 2 k − 2 ) n − k n k Σ ( 2 ) ( x l 1 − x l 2 ) 2 ( n − 2 k − 2 ) n − k n k Σ ( 2 ) x l 1 − x l 2 2 ((n-2)/(k-2))(n-k)/(nk)Sigma^((2))(x_(l_(1))-x_(l_(2)))^(2)\binom{n-2}{k-2} \frac{n-k}{n k} \Sigma^{(2)}\left(x_{l_{1}}-x_{l_{2}}\right)^{2}(n−2k−2)n−knkΣ(2)(xl1−xl2)2
En appliquant le lemme 1 on en déduit la
Conséquence 1 . Si n n nnn est un nombre naturel ≧ 3 , k ≧ 3 , k >= 3,k\geqq 3, k≧3,k un nombre naturel qui vérifie les inégalités 2 ≤ k ≤ n − 1 2 ≤ k ≤ n − 1 2 <= k <= n-12 \leq k \leq n-12≤k≤n−1 et si x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in Ix1,x2,…,xn∈I, toute fonction f f fff continue et convexe sur I ¯ ― I ¯ ¯ bar(bar(I))\overline{\bar{I}}I¯― vérifie l'inégalité (8), l'égalité ayant lieu si et seulement si x 1 = x 2 = … = x n x 1 = x 2 = … = x n x_(1)=x_(2)=dots=x_(n)x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}x1=x2=…=xn.
8. Il en résulte que l'équation fonctionnelle qu'on obtient en égalant les deux membres de la relation (8), a comme solution continue générale les polynômes de degré 1.
En effet, pour une telle solution il est nécessaire que les fonctions f f fff et − f − f -f-f−f soient toutes les deux non-concaves, ce qui a lieu si et seulement si f f fff est un polynôme de degré 1.
En ce qui concerne l'équation fonctionnelle
Σ ( k ) f ( x i 1 + x i 2 + … + x i k ) = (14) = ( n − 2 k − 2 ) [ n − k k − 1 ∑ i = 1 n f ( x i ) + f ( x 1 + x 2 + … + x n ) ] Σ ( k ) f x i 1 + x i 2 + … + x i k = (14) = ( n − 2 k − 2 ) n − k k − 1 ∑ i = 1 n   f x i + f x 1 + x 2 + … + x n {:[Sigma^((k))f(x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k)))=],[(14)=((n-2)/(k-2))[(n-k)/(k-1)sum_(i=1)^(n)f(x_(i))+f(x_(1)+x_(2)+dots+x_(n))]]:}\begin{gather*} \Sigma^{(k)} f\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right)= \\ =\binom{n-2}{k-2}\left[\frac{n-k}{k-1} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)\right] \tag{14} \end{gather*}Σ(k)f(xi1+xi2+…+xik)=(14)=(n−2k−2)[n−kk−1∑i=1nf(xi)+f(x1+x2+…+xn)]
analogue à l'équation de Cauchy f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y), nous allons dé-
montrer que sa solution continue générale est un polynôme de degré 2 qui s'annule pour x = 0 x = 0 x=0x=0x=0, donc une fonction de la forme λ x 2 + μ x λ x 2 + μ x lambdax^(2)+mu x\lambda x^{2}+\mu xλx2+μx.
Pour n = 3 , k = 2 n = 3 , k = 2 n=3,k=2n=3, k=2n=3,k=2 nous avons l'équation fonctionnelle
(15) f ( x + y ) + f ( y + z ) + f ( z + x ) = f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( x + y + z ) f ( x + y ) + f ( y + z ) + f ( z + x ) = f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( x + y + z ) f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)=f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)=f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)=f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z).
Considérons donc l'équation (14) qui est vérifiée quels que soient x 1 , x 2 , … , x n x 1 , x 2 , … , x n x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}x1,x2,…,xn réels. Remarquons d'abord que tout polynôme de la forme γ x 2 + μ x γ x 2 + μ x gammax^(2)+mu x\gamma x^{2}+\mu xγx2+μx vérifie cette équation.
Soit maintenanc f f fff une solution de l'équation (14). Si nous posons x 1 = x 2 = … = x r = 0 x 1 = x 2 = … = x r = 0 x_(1)=x_(2)=dots=x_(r)=0x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{r}=0x1=x2=…=xr=0, nous déduisons f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0f(0)=0f(0)=0. Si nous posons ensuite (pour n > 3 n > 3 n > 3n>3n>3 ), x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z , x 4 = x 5 = … = x 2 = 0 x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z , x 4 = x 5 = … = x 2 = 0 x_(1)=x,x_(2)=y,x_(3)=z,x_(4)=x_(5)=dots=x^(2)=0x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z, x_{4}=x_{5}=\ldots=x^{2}=0x1=x,x2=y,x3=z,x4=x5=…=x2=0, nous trouvons que la fonction f f fff vérifie l'équation (15). Il suffit donc de démontrer que toute solution continue de cette équation est de la forme γ x 2 + μ x γ x 2 + μ x gammax^(2)+mu x\gamma x^{2}+\mu xγx2+μx. Ceci résulte des recherches de M M MMM. Fréchet sur la caractérisation fonctionnelle des polynomes [3]. Nous allons donner la démonstration. Il suffit de démontrer que la solution f f fff de l'équation (15) est un polynôme de degré 2 . Si nous posons Δ h 2 f ( x ) = f ( x + 2 h ) − 2 f ( x + h ) + f ( x ) Δ h 2 f ( x ) = f ( x + 2 h ) − 2 f ( x + h ) + f ( x ) Delta_(h)^(2)f(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\Delta_{h}^{2} f(x)=f(x+2 h)-2 f(x+h)+f(x)Δh2f(x)=f(x+2h)−2f(x+h)+f(x) et si nous posons y = z = h y = z = h y=z=hy=z=hy=z=h dans (15) nous trouvons ( f ( 0 ) = 0 ) , Δ h 2 f ( x ) = Δ h 2 f ( 0 ) ( f ( 0 ) = 0 ) , Δ h 2 f ( x ) = Δ h 2 f ( 0 ) (f(0)=0),Delta_(h)^(2)f(x)=Delta_(h)^(2)f(0)(f(0)=0), \Delta_{h}^{2} f(x)=\Delta_{h}^{2} f(0)(f(0)=0),Δh2f(x)=Δh2f(0), donc aussi Δ h 2 f ( x + h ) = Δ h 2 f ( 0 ) Δ h 2 f ( x + h ) = Δ h 2 f ( 0 ) Delta_(h)^(2)f(x+h)=Delta_(h)^(2)f(0)\Delta_{h}^{2} f(x+h)=\Delta_{h}^{2} f(0)Δh2f(x+h)=Δh2f(0) pour tout x x xxx et h h hhh. Nous en déduisons Δ h 3 f ( x ) = Δ h 2 f ( x + h ) − Δ h 2 f ( x ) = 0 Δ h 3 f ( x ) = Δ h 2 f ( x + h ) − Δ h 2 f ( x ) = 0 Delta_(h)^(3)f(x)=Delta_(h)^(2)f(x+h)-Delta_(h)^(2)f(x)=0\Delta_{h}^{3} f(x)=\Delta_{h}^{2} f(x+h)-\Delta_{h}^{2} f(x)=0Δh3f(x)=Δh2f(x+h)−Δh2f(x)=0 pour tout x x xxx et h h hhh, d'où la propriété résulte immédiatement.
9. On peut se demander s'il est possible d'étendre les résultats précédents à l'inégalité
(16) 2 ∑ f ( x 1 + x 2 2 ) + 4 f ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 ) ≦ ∑ f ( x 1 ) + 3 ∑ f ( x 1 + x 2 + x 3 3 ) 2 ∑ f x 1 + x 2 2 + 4 f x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 ≦ ∑ f x 1 + 3 ∑ f x 1 + x 2 + x 3 3 2sum f((x_(1)+x_(2))/(2))+4f((x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))/(4)) <= sum f(x_(1))+3sum f((x_(1)+x_(2)+x_(3))/(3))2 \sum f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)+4 f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\right) \leqq \sum f\left(x_{1}\right)+3 \sum f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right)2∑f(x1+x22)+4f(x1+x2+x3+x44)≦∑f(x1)+3∑f(x1+x2+x33)
étendue à 4 valeurs x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_(1),x_(2),x_(3),x_(4)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}x1,x2,x3,x4 de l'argument (les sommations ayant des significations évidentes).
Toute fonction qui vérifie l'inégalité fonctionnelle (16) est bien non-concave, car en prenant pour x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_(1),x_(2),x_(3),x_(4)x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}x1,x2,x3,x4 les points 2 x − y , 2 x − y 2 x − y , 2 x − y 2x-y,2x-y2 x-y, 2 x-y2x−y,2x−y, 2 y − x , 2 y − x 2 y − x , 2 y − x 2y-x,2y-x2 y-x, 2 y-x2y−x,2y−x nous en déduisons l'inégalité (1) de Jensen. Mais la reciproque n'est pas vraie, car la fonction non-concave | x − ϱ | | x − ϱ | |x-ϱ||x-\varrho||x−ϱ|, si ϱ ϱ ϱ\varrhoϱ est à l'intérieur de l'intervalle I I III, ne vérifie pas l'inégalité (16), l'inégalité analogue à celle de H. Hornich
(17) Σ | x 1 + x 2 | + | x 1 + x 2 + x 3 + x 4 | ≦ Σ | x 1 | + Σ | x 1 + x 2 + x 3 | (17) Σ x 1 + x 2 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≦ Σ x 1 + Σ x 1 + x 2 + x 3 {:(17)Sigma|x_(1)+x_(2)|+|x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)| <= Sigma|x_(1)|+Sigma|x_(1)+x_(2)+x_(3)|:}\begin{equation*} \Sigma\left|x_{1}+x_{2}\right|+\left|x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right| \leqq \Sigma\left|x_{1}\right|+\Sigma\left|x_{1}+x_{2}+x_{3}\right| \tag{17} \end{equation*}(17)Σ|x1+x2|+|x1+x2+x3+x4|≦Σ|x1|+Σ|x1+x2+x3|
n'étant pas vraie en général. Nous allons donner la démonstration de ce fait plus loin.
En ce qui concerne l'équation fonctionnelle obtenue en égalant les deux membres de la relation (16), sa solution continue générale est encore un polynôme quelconque de degré 1.

10. Considérons l'inégalité

(18) ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ ( k ) | x i 1 + x i 2 + … + x i k | ≧ 0 (18) ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 ∑ ( k )   x i 1 + x i 2 + … + x i k ≧ 0 {:(18)sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)sum(k)|x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k))| >= 0:}\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum^{(k)}\left|x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right| \geqq 0 \tag{18} \end{equation*}(18)∑k=1n(−1)k−1∑(k)|xi1+xi2+…+xik|≧0
dont (5) et (17) sont des cas particuliers, pour n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 et n = 4 n = 4 n=4n=4n=4 respectivement. Dragomir Ž. Dokovič dans son travail cité [2] a montré que l'inégalité (17) n'est pas vraie, en général. De la même manière nous pouvons démontrer que pour n > 3 n > 3 n > 3n>3n>3 quelconque l'inégalité (18) n'est pas vraie, en général. Pour cela il suffit de prendre x 1 = x 2 = … = x n − 1 = 1 x 1 = x 2 = … = x n − 1 = 1 x_(1)=x_(2)=dots=x_(n-1)=1x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n-1}=1x1=x2=…=xn−1=1, x n = − 2 x n = − 2 x_(n)=-2x_{n}=-2xn=−2 (ou des valeurs quelconques non-nulles et proportionnelles à cette suite de nombres). Nous avons alors
Σ ( k ) | x i 1 + x i 2 + … + x i k | = ( n − 1 k ) k + ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | k = 1 , 2 , … , n [ ( n − 1 n ) = 0 ] Σ ( k ) x i 1 + x i 2 + … + x i k = ( n − 1 k ) k + ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | k = 1 , 2 , … , n ( n − 1 n ) = 0 {:[Sigma^((k))|x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k))|=((n-1)/(k))k+((n-1)/(k-1))|k-3|],[k=1","2","dots","n[((n-1)/(n))=0]]:}\begin{gathered} \Sigma^{(k)}\left|x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right|=\binom{n-1}{k} k+\binom{n-1}{k-1}|k-3| \\ k=1,2, \ldots, n\left[\binom{n-1}{n}=0\right] \end{gathered}Σ(k)|xi1+xi2+…+xik|=(n−1k)k+(n−1k−1)|k−3|k=1,2,…,n[(n−1n)=0]
et si n > 3 n > 3 n > 3n>3n>3, le premier membre de (18) devient
∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 [ ( n − 1 k ) k + ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | ] = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | = = 3 − n + ∑ k = 3 n ( − 1 ) k − 1 ( n − 1 k − 1 ) ( k − 3 ) = 2 ( 3 − n ) < 0 ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 ( n − 1 k ) k + ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 ( n − 1 k − 1 ) | k − 3 | = = 3 − n + ∑ k = 3 n   ( − 1 ) k − 1 ( n − 1 k − 1 ) ( k − 3 ) = 2 ( 3 − n ) < 0 {:[sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)[((n-1)/(k))k+((n-1)/(k-1))|k-3|]=sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)((n-1)/(k-1))|k-3|=],[=3-n+sum_(k=3)^(n)(-1)^(k-1)((n-1)/(k-1))(k-3)=2(3-n) < 0]:}\begin{gathered} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\left[\binom{n-1}{k} k+\binom{n-1}{k-1}|k-3|\right]=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n-1}{k-1}|k-3|= \\ =3-n+\sum_{k=3}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n-1}{k-1}(k-3)=2(3-n)<0 \end{gathered}∑k=1n(−1)k−1[(n−1k)k+(n−1k−1)|k−3|]=∑k=1n(−1)k−1(n−1k−1)|k−3|==3−n+∑k=3n(−1)k−1(n−1k−1)(k−3)=2(3−n)<0
De cette manière on a aussi répondu négativement à un problème que j'ai posé autrefois [7].
11. L'équation fonctionnelle
∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ ( k ) f ( x i 1 + x i 2 + … + x i k ) = 0 ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 ∑ ( k )   f x i 1 + x i 2 + … + x i k = 0 sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)sum(k)f(x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k)))=0\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum^{(k)} f\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right)=0∑k=1n(−1)k−1∑(k)f(xi1+xi2+…+xik)=0
a, d'après M. Fréchet [3], comme solution continue générale un polynôme quelconque de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 qui s'annule pour x = 0 x = 0 x=0x=0x=0. On peut démontrer cette propriété comme dans le cas particulier n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 de l'équation (15) en remarquant d'abord que tout polynôme de la forme a 0 x n − 1 + a 1 x n − 2 + … + a n − 2 x a 0 x n − 1 + a 1 x n − 2 + … + a n − 2 x a_(0)x^(n-1)+a_(1)x^(n-2)+dots+a_(n-2)xa_{0} x^{n-1} +a_{1} x^{n-2}+\ldots+a_{n-2} xa0xn−1+a1xn−2+…+an−2x vérifie l'équation et que toute solution vérifie aussi l'équation fonctionnelle Δ h n f ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i ( n i ) f ( x + i h ) = 0 Δ h n f ( x ) = ∑ i = 0 n   ( − 1 ) n − i ( n i ) f ( x + i h ) = 0 Delta_(h)^(n)f(x)=sum_(i=0)^(n)(-1)^(n-i)((n)/(i))f(x+ih)=0\Delta_{h}^{n} f(x)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i} f(x+i h)=0Δhnf(x)=∑i=0n(−1)n−i(ni)f(x+ih)=0 dont la solution continue est bien connue.
Dans l'équation considérée les variables x 1 , x 2 , … , x n x 1 , x 2 , … , x n x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}x1,x2,…,xn sont choisies de toutes les manières possibles avec la seule restriction que toutes les
sommes x i 1 + x i 2 + … + x i k x i 1 + x i 2 + … + x i k x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k))x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}xi1+xi2+…+xik (pour tout k k kkk ) restent dans un intervalle de l'axe réel qui contient l'origine. Cet intervalle peut, en particulier, se réduire à l'axe réel lui-même.
12. L'équation fonctionnelle
∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k ∑ ( k ) f ( x i 1 + x i 2 + ⋯ + x i k k ) = 0 ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 k ∑ ( k )   f x i 1 + x i 2 + ⋯ + x i k k = 0 sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)ksum(k)f((x_(i_(1))+x_(i_(2))+cdots+x_(i_(k)))/(k))=0\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} k \sum^{(k)} f\left(\frac{x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\cdots+x_{i_{k}}}{k}\right)=0∑k=1n(−1)k−1k∑(k)f(xi1+xi2+⋯+xikk)=0
vérifiée pour tout x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x 1 , x 2 , … , x n ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in Ix1,x2,…,xn∈I, a comme solution continue générale un polynome quelconque de degré 1.
Ce résultat peut être obtenu indépendamment de l'étude des fonctions pour lesquelles le premier membre ne change pas de signe.
En effet, tout polynôme de degré 1 vérifie l'équation, mais le polynôme x 2 x 2 x^(2)x^{2}x2 n'est pas une solution puisque
∑ k = 1 n ( − k ) k − 1 1 k ∑ ( k ) ( x i 1 + x i 2 + … + x i k ) 2 = 1 n ( n − 1 ) ∑ ( 2 ) ( x i 1 − x i 2 ) 2 ∑ k = 1 n   ( − k ) k − 1 1 k ∑ ( k )   x i 1 + x i 2 + … + x i k 2 = 1 n ( n − 1 ) ∑ ( 2 )   x i 1 − x i 2 2 sum_(k=1)^(n)(-k)^(k-1)(1)/(k)sum(k)(x_(i_(1))+x_(i_(2))+dots+x_(i_(k)))^(2)=(1)/(n(n-1))sum(2)(x_(i_(1))-x_(i_(2)))^(2)\sum_{k=1}^{n}(-k)^{k-1} \frac{1}{k} \sum^{(k)}\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right)^{2}=\frac{1}{n(n-1)} \sum^{(2)}\left(x_{i_{1}}-x_{i_{2}}\right)^{2}∑k=1n(−k)k−11k∑(k)(xi1+xi2+…+xik)2=1n(n−1)∑(2)(xi1−xi2)2
est, en général, différent de 0 . ( I I III est de longueur non nulle).
En posant x i = x + ( i − 1 ) n ! h , i = 1 , 2 , … , n x i = x + ( i − 1 ) n ! h , i = 1 , 2 , … , n x_(i)=x+(i-1)n!h,i=1,2,dots,nx_{i}=x+(i-1) n!h, i=1,2, \ldots, nxi=x+(i−1)n!h,i=1,2,…,n, nous trouvons que toute solution f f fff de l'équation considérée vérifie aussi une équation de la forme ∑ a = 0 ( n − 1 ) n ! a a f ( x + α h ) = 0 ∑ a = 0 ( n − 1 ) n !   a a f ( x + α h ) = 0 sum_(a=0)^((n-1)n!)a_(a)f(x+alpha h)=0\sum_{a=0}^{(n-1) n!} a_{a} f(x+\alpha h)=0∑a=0(n−1)n!aaf(x+αh)=0, où x , x + ( n − 1 ) n ! h ∈ I x , x + ( n − 1 ) n ! h ∈ I x,x+(n-1)n!h in Ix, x+(n-1) n!h \in Ix,x+(n−1)n!h∈I, les a a a a a_(a)a_{a}aa sont des constantes et a 0 ≠ 0 , a ( n − 1 ) n ! ≠ 0 a 0 ≠ 0 , a ( n − 1 ) n ! ≠ 0 a_(0)!=0,a_((n-1)n!)!=0a_{0} \neq 0, a_{(n-1) n!} \neq 0a0≠0,a(n−1)n!≠0. Nous savons [5] que toute solution continue d'une telle équation est un polynôme.

BIBLIOGRAPHIE

  1. Adamovič, Dušan, D. - Généralisation d'une identité de Hlawka et de l'inégalité correspondante. Matem. Vesnik 1 (16) (1964), 39-43.
  2. Dokovič, Dragomir, Ż. - Generalizations of Hlawka's inequality. Glasnik Mat. Fiz. i Astr., 18 (1963), 169-175.
  3. Fréchet, M. - Une définition fonctionnelle des polynômes. Nouv. Ann. des Math. (4) 9 (1909), 145-162.
    h, H. - Eine Ungleichung für Vektorlängen. Math. Zeitschrift, 48 (1942), 268-274.
  4. Popoviciu, T.-Sur certaines équations fonctionnelles définissant des polynômes. Mathematica, 10 (1934), 197-211.
  5. „ - Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur. III. Mathematica, 16,(1940), 7. "--P. 139, Colloquium Mathematicum III, 2 (1955), 172.

ASUPRA UNOR INEGALITĂTI CE CARACTERIZEAZĂ FUNCTIILE CONVEXE

Rezumat

Se demonstrează că inegalităţile (1), (6), (8) caracterizează funcţiile continue neconcave, iar (16) este o condiţie suficientă, dar nu necesară, de neconcavitate.

О НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ

ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

Краткое содержание

В этой работе доказывается что неравенства (1), (6), (8) характеризуют непрерывные не вогнутые функции и что (13) является достаточным но не необходимым условием выпуклости.

[MR0206178, Zbl 0166.06303]

1965

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