Sur la conservation de l’allure de convexité des fonctions par interpolation

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the Preservation of the Shape of Convexity of Functions by Interpolation

Auteur(s)

Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul

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1968 d -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi – Sur la conservation de l’allure de convexite des fonctions par interpolation

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur la conservation de l’allure de convexité des fonctions par interpolation, An. Şti. Univ. “Al. I. Cuza” Iaşi Secţ. I a Mat. (N.S.) 14 (1968), pp. 7-14 (in French). Communication présentée au Congrès International des Mathématiciens, Moscou, 16-26 août 1966. [MR0234174, Zbl 0172.08102]

Sur ce travail

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An. Şti. Univ. “Al. I. Cuza” Iaşi Secţ. I a Mat. (N.S.)

Publié par

“Alexandru Ioan Cuza” University of Iaşi

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1968 d -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi - Sur la conservation de l_allure de convexite de

SUR LA CONSERVATION DE L'ALLURE DE CONVEXITÉ DES FONCTIONS PAR INTERPOLATION

PARTIBERIU POPOVICIUà ClujCommunicalion présentée au Congrès International des Mathémoticiens, Moscou, 16-26 août 1966

  1. Considérons un opérateur F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] qui transforme la fonction f f fff, réelle d'une variable réelle définie sur l'ensemble E E EEE de l'axe réel, en une fonction de x x xxx réelle définie sur un ensemble I I III de l'axe réel.
Il est inutile de préciser dès maintenant la nature de l'opérateur F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x], son ensemble de définition et les structures des ensembles E , I E , I E,IE, IE,I. Dans la suite E E EEE sera en général un intervalle et l'opérateur F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] un opérateur linéaire (additif et homogène) particulier. La fonction F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] de x x xxx sera toujours un polynôme, donc I I III peut être un ensemble quelconque de l'axe réel.
Définition. Nous disons que l'opérateur F [ t ∣ x ] F [ t ∣ x ] F[t∣x]F[t \mid x]F[t∣x] conserve (sur I) la nonconcavité d'ordre n n nnn (de la fonction f f fff ) si la fonction F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] de x x xxx est nonconcave d'ordre n n nnn (sur I) pour toute fonction f f fff non-concave d'ordre n n nnn (sur E E EEE ).
Une définition analogue peut être donnée pour la conservation de la convexité, de la non-convexité et de la concavité d'ordre n n nnn de la fonction f f fff par l'opérateur F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x]. Remarquons que si l'opérateur F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] conserve la non-concavité (convexité) d'ordre n n nnn, l'opérateur − F [ f ∣ x ] − F [ f ∣ x ] -F[f∣x]-F[f \mid x]−F[f∣x] conserve la non-convexité (concavité) d'ordre n n nnn de f f fff sur le même ensemble I I III et réciproquement. Il en résulte que si un opérateur linéaire F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] conserve la non-concavité (convexité) d'ordre n n nnn, il conserve aussi la nonconvexité (concavité) d'ordre n n nnn de f f fff et réciproquement sur le même ensemble I I III.
2. Nous supposons qu'on connaît les définitions et les propriétés des fonctions non-concaves, convexes, non-convexes et concaves d'ordre n n nnn. Ces définitions s'obtiennent par la conservation du signe des différences
divisées d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 de la fonction. Pour ces propriétés on peut voir, par exemple, mes travaux antérieurs sur les fonctions convexes d'ordre supérieur et dont la liste est inutile d'être reproduite ici.
Nous désignons par [ x 1 , x 2 , … , x m ; f ] x 1 , x 2 , … , x m ; f [x_(1),x_(2),dots,x_(m);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f\right][x1,x2,…,xm;f] la différence divisée d'ordre m − 1 m − 1 m-1m-1m−1 et par L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)L(x1,x2,…,xm;f∣x) le polynôme de Lagrange-Hermite de la fonction f f fff sur les noeuds x α , α = 1 , 2 , … , m x α , α = 1 , 2 , … , m x_(alpha),alpha=1,2,dots,mx_{\alpha}, \alpha=1,2, \ldots, mxα,α=1,2,…,m. Les noeuds x α x α x_(alpha)x_{\alpha}xα ne sont pas nécessairement distincts, mais la différence divisée et le polynôme de Lagrange-Hermite ont des définitions bien connues contra en dehors des valeurs de la fonction f f fff sur les noeuds, aussi les valeurs d'un certain nombre des dérivées successives de f f fff sur les noeuds qui ont un ordre de multiplicité plus grand que 1.
3. Soient k 1 , k 2 , … , k p k 1 , k 2 , … , k p k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}k1,k2,…,kp des nombres naturels ( p ≧ 1 p ≧ 1 p >= 1p \geqq 1p≧1 ), de somme égale à m m mmm et soit k = max ( k 1 , k 2 , … , k p ) k = max k 1 , k 2 , … , k p k=max(k_(1),k_(2),dots,k_(p))k=\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right)k=max(k1,k2,…,kp). Considérons le polynôme de LagrangeHermite L ( x ) = L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) L ( x ) = L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x L(x)=L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)L(x)=L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)L(x)=L(x1,x2,…,xm;f∣x) sur les m m mmm noeuds x 1 , x 2 , … , x m x 1 , x 2 , … , x m x_(1),x_(2),dots,x_(m)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}x1,x2,…,xm dont k ^ α k ^ α hat(k)_(alpha)\hat{k}_{\alpha}k^α coïncident avec y α , α = 1 , 2 , … , p y α , α = 1 , 2 , … , p y_(alpha),alpha=1,2,dots,py_{\alpha}, \alpha=1,2, \ldots, pyα,α=1,2,…,p, les y 1 , y 2 , … , y p y 1 , y 2 , … , y p y_(1),y_(2),dots,y_(p)y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}y1,y2,…,yp étant p p ppp points distincts de l'axe réel.
On sait que le polynôme L ( x ) L ( x ) L(x)L(x)L(x) est complètement caractérisé par le fait qu'il est de degré m − 1 m − 1 m-1m-1m−1 et qu'il vérifie les égalités
(1) L ( γ ) ( y α ) = f ( γ ) ( y α ) , γ = 0 , 1 , … , k α − 1 , α = 1 , 2 , … , p L ( γ ) y α = f ( γ ) y α , γ = 0 , 1 , … , k α − 1 , α = 1 , 2 , … , p quadL^((gamma))(y_(alpha))=f^((gamma))(y_(alpha)),quad gamma=0,1,dots,k_(alpha)-1,quad alpha=1,2,dots,p\quad L^{(\gamma)}\left(y_{\alpha}\right)=f^{(\gamma)}\left(y_{\alpha}\right), \quad \gamma=0,1, \ldots, k_{\alpha}-1, \quad \alpha=1,2, \ldots, pL(γ)(yα)=f(γ)(yα),γ=0,1,…,kα−1,α=1,2,…,p
où les accents signifient des dérivations successives ( f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) ) f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) (f^((0))(x)=f(x))\left(f^{(0)}(x)=f(x)\right)(f(0)(x)=f(x)).
Nous avons
(2) L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) = ∑ β = 0 k − 1 H β [ f ∣ x ] (2) L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x = ∑ β = 0 k − 1   H β [ f ∣ x ] {:(2)L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)=sum_(beta=0)^(k-1)H_(beta)[f∣x]:}\begin{equation*} L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)=\sum_{\beta=0}^{k-1} H_{\beta}[f \mid x] \tag{2} \end{equation*}(2)L(x1,x2,…,xm;f∣x)=∑β=0k−1Hβ[f∣x]
H β [ f ∣ x ] = ∑ ( β ) f ( β ) ( y α ) h β , α ( x ) , β = 0 , 1 , … , k − 1 H β [ f ∣ x ] = ∑ ( β )   f ( β ) y α h β , α ( x ) , β = 0 , 1 , … , k − 1 H_(beta)[f∣x]=sum(beta)f^((beta))(y_(alpha))h_(beta,alpha)(x),quad beta=0,1,dots,k-1H_{\beta}[f \mid x]=\sum^{(\beta)} f^{(\beta)}\left(y_{\alpha}\right) h_{\beta, \alpha}(x), \quad \beta=0,1, \ldots, k-1Hβ[f∣x]=∑(β)f(β)(yα)hβ,α(x),β=0,1,…,k−1, sommation ∑ ( β ) ∑ ( β )   sum(beta)\sum^{(\beta)}∑(β) étant étendue à toutes les valeurs de α α alpha\alphaα pour lesquelles k α ≥ β + 1 k α ≥ β + 1 k_(alpha) >= beta+1k_{\alpha} \geq \beta+1kα≥β+1. Le polynôme h β , α ( x ) h β , α ( x ) h_(beta,alpha)(x)h_{\beta, \alpha}(x)hβ,α(x) est de degré m − 1 m − 1 m-1m-1m−1, est égal à L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)L(x1,x2,…,xm;f∣x) pour une fonction f f fff convenablement choisie et vérifie les égalités
(4) { h β , α ( γ ) ( y δ ) = 0 h β , α ( β ) ( y α ) = 1 . { γ = 0 , 1 , … , k δ − 1 , δ = 1 , 2 , … , α − 1 , α + 1 , … , p γ = 0 , 1 , … , β − 1 , β + 1 , … , h α − 1 , δ = α (4) h β , α ( γ ) ( y δ ) = 0 h β , α ( β ) ( y α ) = 1 . γ = 0 , 1 , … , k δ − 1 , δ = 1 , 2 , … , α − 1 , α + 1 , … , p γ = 0 , 1 , … , β − 1 , β + 1 , … , h α − 1 , δ = α {:(4){[{:h_(beta,alpha)^((gamma))(y_(delta))=0:}],[{:h_(beta,alpha)^((beta))(y_(alpha))=1.:}]quad{[gamma=0","1","dots","k_(delta)-1","quad delta=1","2","dots","alpha-1","alpha+1","dots","p],[gamma=0","1","dots","beta-1","quad beta+1","dots","h_(alpha)-1","quad delta=alpha]:}:}\left\{\begin{array} { l } { h _ { \beta , \alpha } ^ { ( \gamma ) } ( y _ { \delta } ) = 0 } \tag{4}\\ { h _ { \beta , \alpha } ^ { ( \beta ) } ( y _ { \alpha } ) = 1 . } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \gamma=0,1, \ldots, k_{\delta}-1, \quad \delta=1,2, \ldots, \alpha-1, \alpha+1, \ldots, p \\ \gamma=0,1, \ldots, \beta-1, \quad \beta+1, \ldots, h_{\alpha}-1, \quad \delta=\alpha \end{array}\right.\right.(4){hβ,α(γ)(yδ)=0hβ,α(β)(yα)=1.{γ=0,1,…,kδ−1,δ=1,2,…,α−1,α+1,…,pγ=0,1,…,β−1,β+1,…,hα−1,δ=α
  1. Posons maintenant
(5) F γ [ f ∣ x ] = ∑ β = 0 γ H β [ f ∣ x ] , γ = 0 , 1 , … , k − 1 . (5) F γ [ f ∣ x ] = ∑ β = 0 γ   H β [ f ∣ x ] , γ = 0 , 1 , … , k − 1 . {:(5)F_(gamma)[f∣x]=sum_(beta=0)^(gamma)H_(beta)[f∣x]","quad gamma=0","1","dots","k-1.:}\begin{equation*} F_{\gamma}[f \mid x]=\sum_{\beta=0}^{\gamma} H_{\beta}[f \mid x], \quad \gamma=0,1, \ldots, k-1 . \tag{5} \end{equation*}(5)Fγ[f∣x]=∑β=0γHβ[f∣x],γ=0,1,…,k−1.
Alors F γ [ f ∣ x ] F γ [ f ∣ x ] F_(gamma)[f∣x]F_{\gamma}[f \mid x]Fγ[f∣x] est un opérateur linéaire qu'on peut supposer, et que nous supposons, être défini sur l'ensemble des fonctions ayant une dérivée d'ordre γ γ gamma\gammaγ sur un intervalle E E EEE contenant les points y α , α = 1 , 2 , … , p y α , α = 1 , 2 , … , p y_(alpha),alpha=1,2,dots,py_{\alpha}, \alpha=1,2, \ldots, pyα,α=1,2,…,p.
Nous avons, en particulter, F k − 1 [ f ∣ x ] = L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) F k − 1 [ f ∣ x ] = L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x F_(k-1)[f∣x]=L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)F_{k-1}[f \mid x]=L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)Fk−1[f∣x]=L(x1,x2,…,xm;f∣x).
Lorsque tous les noeuds sont doubles, donc si k 1 = k 2 = ⋯ = k p = 2 ( m = 2 p ) k 1 = k 2 = ⋯ = k p = 2 ( m = 2 p ) k_(1)=k_(2)=cdots=k_(p)=2(m=2p)k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{p}=2(m=2 p)k1=k2=⋯=kp=2(m=2p), F 0 [ f ∣ x ] F 0 [ f ∣ x ] F_(0)[f∣x]F_{0}[f \mid x]F0[f∣x] est l'opérateur bien connu de Fejér [1].
Le problème de la conservation de la non-concavité d'un ordre donné n ( ≧ − 1 ≧ − 1 >= -1\geqq-1≧−1 ) par l'opérateur ( 2 ) ou, en général par l'opérateur ( 5 ), présente un certain intérêt. Nous avons d'abord les importants résultats de L. Fejér [1] sur la conservation du signe ( n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1 ) par l'opérateur F 0 [ f ∣ x ] F 0 [ f ∣ x ] F_(0)[f∣x]F_{0}[f \mid x]F0[f∣x] dans le cas des noeuds tous doubles. Nous avons donné, entre autres, certains résultats sur la conservation du signe ( n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1 ) ou de la monotonie ( n = 0 n = 0 n=0n=0n=0 ) par le polynôme ( 2 ) dans le cas des noeuds tous simples et pour l'opérateur de Fejér [3, 4, 5].
5. D'après (4), le polynôme h β , α ( x ) h β , α ( x ) h_(beta,alpha)(x)h_{\beta, \alpha}(x)hβ,α(x) est toujours divisible par le polynôme ∏ α = 1 P ( x − y α ) min ( β , k α ) ∏ α = 1 P   x − y α min β , k α prod_(alpha=1)^(P)(x-y_(alpha))^(min(beta,k_(alpha)))\prod_{\alpha=1}^{P}\left(x-y_{\alpha}\right)^{\min \left(\beta, k_{\alpha}\right)}∏α=1P(x−yα)min(β,kα). Il en est ainsi aussi pour la somme ∑ ( β ) h β , α ( x ) ∑ ( β )   h β , α ( x ) sum(beta)h_(beta,alpha)(x)\sum^{(\beta)} h_{\beta, \alpha}(x)∑(β)hβ,α(x). Cette somme est de degré ef fectif au moins égal à ∑ α = 1 p min ( β , k α ) ∑ α = 1 p   min β , k α sum_(alpha=1)^(p)min(beta,k_(alpha))\sum_{\alpha=1}^{p} \min \left(\beta, k_{\alpha}\right)∑α=1pmin(β,kα) puisque sa dérivée d'ordre β β beta\betaβ, pour x = y δ x = y δ x=y_(delta)x=y_{\delta}x=yδ, où y δ ≧ β + 1 y δ ≧ β + 1 y_(delta) >= beta+1y_{\delta} \geqq \beta+1yδ≧β+1, est égale à ∑ ( β ) h β , α ( β ) ( y δ ) = h β , δ ( β ) ( y δ ) = 1 ∑ ( β ) h β , α ( β ) y δ = h β , δ ( β ) y δ = 1 sum^((beta))h_(beta,alpha)^((beta))(y_(delta))=h_(beta,delta)^((beta))(y_(delta))=1\sum{ }^{(\beta)} h_{\beta, \alpha}^{(\beta)}\left(y_{\delta}\right)=h_{\beta, \delta}^{(\beta)}\left(y_{\delta}\right)=1∑(β)hβ,α(β)(yδ)=hβ,δ(β)(yδ)=1, par suite des égalités (4).
Nous en déduisons le
Théorème 1. Si 1 ≦ β ≦ k − 1 , n ≧ β 1 ≦ β ≦ k − 1 , n ≧ β 1 <= beta <= k-1,n >= beta1 \leqq \beta \leqq k-1, n \geqq \beta1≦β≦k−1,n≧β et si
(6) n < ∑ α = 1 p min ( β , k α ) , (6) n < ∑ α = 1 p   min β , k α , {:(6)n < sum_(alpha=1)^(p)min(beta,k_(alpha))",":}\begin{equation*} n<\sum_{\alpha=1}^{p} \min \left(\beta, k_{\alpha}\right), \tag{6} \end{equation*}(6)n<∑α=1pmin(β,kα),
le polynôme F β − 1 [ f ∣ x ] F β − 1 [ f ∣ x ] F_(beta-1)[f∣x]F_{\beta-1}[f \mid x]Fβ−1[f∣x] ne conserve la non-concavité d'ordre n n nnn sur aucun intervalle de longueur non-nulle I I III.
Supposons, en effet, le contraire. La fonction x β x β x^(beta)x^{\beta}xβ est à la fois nonconcave et non-convexe d'ordre n n nnn (sur I I III ), donc F β − 1 [ x β ∣ x ] F β − 1 x β ∣ x F_(beta-1)[x^(beta)∣x]F_{\beta-1}\left[x^{\beta} \mid x\right]Fβ−1[xβ∣x] se réduit à un polynôme de degré n n nnn. Mais si dans (2) nous posons f ( x ) = x β f ( x ) = x β f(x)=x^(beta)f(x)=x^{\beta}f(x)=xβ, nous avons d'après (3), x β = F β − 1 [ x β ∣ x ] + β ! ∑ ( β ) h β , α ( x ) x β = F β − 1 x β ∣ x + β ! ∑ ( β )   h β , α ( x ) x^(beta)=F_(beta-1)[x^(beta)∣x]+beta!sum(beta)h_(beta,alpha)(x)x^{\beta}=F_{\beta-1}\left[x^{\beta} \mid x\right]+\beta!\sum^{(\beta)} h_{\beta, \alpha}(x)xβ=Fβ−1[xβ∣x]+β!∑(β)hβ,α(x), ce qui d'après (6) est impossible.
Lorsque les ordres de multiplicité k 1 , k 2 , … , k p k 1 , k 2 , … , k p k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}k1,k2,…,kp des noeuds sont tous pairs et lorsque β = k − 1 β = k − 1 beta=k-1\beta=k-1β=k−1, on peut obtenir un résultat plus précis par le
Théorème 2. Si les ordres de multiplicité k 1 , k 2 , … , k p k 1 , k 2 , … , k p k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}k1,k2,…,kp des noeuds sont tous pairs et si
k = max ( k 1 , k 2 , … , k p ) ≦ n + 1 < ∑ α = 1 p k α = m , k = max k 1 , k 2 , … , k p ≦ n + 1 < ∑ α = 1 p   k α = m , k=max(k_(1),k_(2),dots,k_(p)) <= n+1 < sum_(alpha=1)^(p)k_(alpha)=m,k=\max \left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}\right) \leqq n+1<\sum_{\alpha=1}^{p} k_{\alpha}=m,k=max(k1,k2,…,kp)≦n+1<∑α=1pkα=m,
le polynôme F k − 2 [ f ∣ x ] F k − 2 [ f ∣ x ] F_(k-2)[f∣x]F_{k-2}[f \mid x]Fk−2[f∣x] ne conserve la non-concavité d'ordre n n nnn sur aucun intervalle de longueur non-nulle I I III.
La démonstration se fait comme pour le théorème 1 , en remarquant que
h k − 1 , α ( x ) = ( x − y α ) k α − 1 ∏ γ = 1 p ( x − y γ ) k γ ( k α − 1 ) ! ∏ γ = 1 p ( y α − y γ ) k γ h k − 1 , α ( x ) = x − y α k α − 1 ∏ γ = 1 p   x − y γ k γ k α − 1 ! ∏ γ = 1 p   y α − y γ k γ h_(k-1,alpha)(x)=((x-y_(alpha))^(k_(alpha)-1)prod_(gamma=1)^(p)(x-y_(gamma))^(k_(gamma)))/((k_(alpha)-1)!prod_(gamma=1)^(p)(y_(alpha)-y_(gamma))^(k_(gamma)))h_{k-1, \alpha}(x)=\frac{\left(x-y_{\alpha}\right)^{k_{\alpha}-1} \prod_{\gamma=1}^{p}\left(x-y_{\gamma}\right)^{k_{\gamma}}}{\left(k_{\alpha}-1\right)!\prod_{\gamma=1}^{p}\left(y_{\alpha}-y_{\gamma}\right)^{k_{\gamma}}}hk−1,α(x)=(x−yα)kα−1∏γ=1p(x−yγ)kγ(kα−1)!∏γ=1p(yα−yγ)kγ
où dans le produit ∏ γ = 1 p ( α ) ∏ γ = 1 p   ( α ) prod_(gamma=1)^(p)(alpha)\prod_{\gamma=1}^{p}(\alpha)∏γ=1p(α) la valeur α α alpha\alphaα de γ γ gamma\gammaγ est exceptée. La somme Σ ( k − 1 ) h k − 1 , α ( x ) Σ ( k − 1 ) h k − 1 , α ( x ) Sigma^((k-1))h_(k-1,alpha)(x)\Sigma^{(k-1)} h_{k-1, \alpha}(x)Σ(k−1)hk−1,α(x) est un polynôme de degré effectif m − 1 m − 1 m-1m-1m−1 dont le premier coefficient (celui de x m − 1 x m − 1 x^(m-1)x^{m-1}xm−1 ) est
∑ ( k − 1 ) 1 ( k α − 1 ) ! ∏ γ = 1 p ( y α − y γ ) k γ > 0 ∑ ( k − 1 )   1 k α − 1 ! ∏ γ = 1 p   y α − y γ k γ > 0 sum(k-1)(1)/((k_(alpha)-1)!prod_(gamma=1)^(p)(y_(alpha)-y_(gamma))^(k_(gamma))) > 0\sum^{(k-1)} \frac{1}{\left(k_{\alpha}-1\right)!\prod_{\gamma=1}^{p}\left(y_{\alpha}-y_{\gamma}\right)^{k_{\gamma}}}>0∑(k−1)1(kα−1)!∏γ=1p(yα−yγ)kγ>0
  1. Pour les polynômes (5) il suffit toujours d'examiner la conservaion de la non-concavité d'ordre n n nnn, pour n n nnn suffisamment petit. En effet, si n ≥ m − 1 n ≥ m − 1 n >= m-1n \geq m-1n≥m−1, le polynôme d'interpolation généralisée (5) conserve trivialement la non-concavité d'ordre n n nnn de la fonction sur tout l'axe réel, puisque tout polynôme de degré n n nnn est non-concave d'ordre n n nnn partout.
  2. Si les noeuds sont tous confondus, donc si p = 1 , k = m , x 1 == x 2 = … = x m = y 1 = c p = 1 , k = m , x 1 == x 2 = … = x m = y 1 = c p=1,k=m,x_(1)==x_(2)=dots=x_(m)=y_(1)=cp=1, k=m, x_{1}= =x_{2}=\ldots=x_{m}=y_{1}=cp=1,k=m,x1==x2=…=xm=y1=c, on peut prendre pour E E EEE un intervalle quelconque de longueur non-nulle contenant le point c c ccc. Nous avons alors
    (7) F k − 1 [ f ∣ x ] = L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ( x ) = ∑ β = 0 m − 1 ( x − c ) β β ! f ( β ) ( c ) F k − 1 [ f ∣ x ] = L x 1 , x 2 , … , x m ; f ( x ) = ∑ β = 0 m − 1   ( x − c ) β β ! f ( β ) ( c ) quadF_(k-1)[f∣x]=L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f(x)=sum_(beta=0)^(m-1)((x-c)^(beta))/(beta!)f^((beta))(c):}\quad F_{k-1}[f \mid x]=L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f(x)=\sum_{\beta=0}^{m-1} \frac{(x-c)^{\beta}}{\beta!} f^{(\beta)}(c)\right.Fk−1[f∣x]=L(x1,x2,…,xm;f(x)=∑β=0m−1(x−c)ββ!f(β)(c)
    et c'est le polynôme de Taylor de degré m − 1 m − 1 m-1m-1m−1 de la fonction f f fff sur le point c c ccc.
Nous avons le
Théorème 3. Si m ≧ 2 , − 1 ≦ n ≦ m − 3 m ≧ 2 , − 1 ≦ n ≦ m − 3 m >= 2,-1 <= n <= m-3m \geqq 2,-1 \leqq n \leqq m-3m≧2,−1≦n≦m−3, le polynôme de Taylor (7) ne conserve la non-concavité d'ordre n n nnn sur aucun intervalle de longueur non-nulle I de l'axe réel.
Soit d'abord n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1. Il s'ajit alors de démontre r la non-conservation du signe par le polynôme (7).
Soit z z zzz un point intérieur de I I III et différent de c c ccc. La fonction (polynôme)
(8) φ ( x ) = 1 − x − c z − c + ( x − c z − c ) 2 m = 1 + | x − c z − c | ( | x − c z − c | 2 m − 1 − sgn x − c z − c ) φ ( x ) = 1 − x − c z − c + x − c z − c 2 m = 1 + x − c z − c x − c z − c 2 m − 1 − sgn x − c z − c varphi(x)=1-(x-c)/(z-c)+((x-c)/(z-c))^(2m)=1+|(x-c)/(z-c)|(|(x-c)/(z-c)|^(2m-1)-sgn(x-c)/(z-c))\varphi(x)=1-\frac{x-c}{z-c}+\left(\frac{x-c}{z-c}\right)^{2 m}=1+\left|\frac{x-c}{z-c}\right|\left(\left|\frac{x-c}{z-c}\right|^{2 m-1}-\operatorname{sgn} \frac{x-c}{z-c}\right)φ(x)=1−x−cz−c+(x−cz−c)2m=1+|x−cz−c|(|x−cz−c|2m−1−sgnx−cz−c) est positive sur l'axe réel, donc sur E E EEE. Si nous posons f ( x ) = φ ( x ) f ( x ) = φ ( x ) f(x)=varphi(x)f(x)=\varphi(x)f(x)=φ(x), le polynôme de Taylor (7) devient F k − 1 [ φ ∣ x ] = 1 − x − c z − c F k − 1 [ φ ∣ x ] = 1 − x − c z − c F_(k-1)[varphi∣x]=1-(x-c)/(z-c)F_{k-1}[\varphi \mid x]=1-\frac{x-c}{z-c}Fk−1[φ∣x]=1−x−cz−c. C'est un poly-
nôme de degré effectif 1 qui s'annule sur z z zzz et qui prend donc aussi des valeurs négatives sur tout voisinage de z z zzz, donc aussi sur I I III.
Le théorème est ainsi démontré pour n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1.
Pour n > − 1 n > − 1 n > -1n>-1n>−1 la démonstration est analogue. Il suffit de prendre pour f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) une fonction dont la dérivée d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 soit égale à la fonction (8) et de remarquer que la dérivée d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 d'une fonction non-concave d'ordre n n nnn doit être non-négative.
Si n > m − 3 n > m − 3 n > m-3n>m-3n>m−3 le polynôme (7) conserve la non-concavité d'ordre n n nnn sur tout l'axe réel.
8. Les théorèmes 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 1,2,31,2,31,2,3 sont plutôt des théorèmes de non conservation de la non-concavité d'un certain ordre n n nnn. Nous allons donner aussi, par quelques exemples, des propriécés de conservation de la non-concavité pour tout ordre ≧ − 1 ≧ − 1 >= -1\geqq-1≧−1.
Considérons d'abord le cas où nous avons seulement deux noeuds distincts, l'un étant simple. Soit donc p = 2 , k 1 = k = m − 1 , k 2 = 1 , x 1 == x 2 = … = x m − 1 = y 1 = a , x m = y 2 = b p = 2 , k 1 = k = m − 1 , k 2 = 1 , x 1 == x 2 = … = x m − 1 = y 1 = a , x m = y 2 = b p=2,k_(1)=k=m-1,k_(2)=1,x_(1)==x_(2)=dots=x_(m-1)=y_(1)=a,x_(m)=y_(2)=bp=2, k_{1}=k=m-1, k_{2}=1, x_{1}= =x_{2}=\ldots=x_{m-1}=y_{1}=a, x_{m}=y_{2}=bp=2,k1=k=m−1,k2=1,x1==x2=…=xm−1=y1=a,xm=y2=b et supposons a < b a < b a < ba<ba<b, pour fixer les idées.
Dans ce cas nous avons
(9) F γ [ f ∣ x ] = ( x − a ) m − 1 ( b − a ) m − 1 f ( b ) + ∑ α = 0 γ 1 α ! [ ( x − a ) α − ( x − a ) m − 1 ( b − a ) m − α − 1 ] f ( α ) ( a ) γ = 0 , 1 , … , m − 2 (9) F γ [ f ∣ x ] = ( x − a ) m − 1 ( b − a ) m − 1 f ( b ) + ∑ α = 0 γ   1 α ! ( x − a ) α − ( x − a ) m − 1 ( b − a ) m − α − 1 f ( α ) ( a ) γ = 0 , 1 , … , m − 2 {:[(9)F_(gamma)[f∣x]=((x-a)^(m-1))/((b-a)^(m-1))f(b)+sum_(alpha=0)^(gamma)(1)/(alpha!)[(x-a)^(alpha)-((x-a)^(m-1))/((b-a)^(m-alpha-1))]f^((alpha))(a)],[gamma=0","1","dots","m-2]:}\begin{gather*} F_{\gamma}[f \mid x]=\frac{(x-a)^{m-1}}{(b-a)^{m-1}} f(b)+\sum_{\alpha=0}^{\gamma} \frac{1}{\alpha!}\left[(x-a)^{\alpha}-\frac{(x-a)^{m-1}}{(b-a)^{m-\alpha-1}}\right] f^{(\alpha)}(a) \tag{9}\\ \gamma=0,1, \ldots, m-2 \end{gather*}(9)Fγ[f∣x]=(x−a)m−1(b−a)m−1f(b)+∑α=0γ1α![(x−a)α−(x−a)m−1(b−a)m−α−1]f(α)(a)γ=0,1,…,m−2
et nous pouvons énoncer le
Théorème 4. Si m ≧ 2 , 0 ≦ γ ≦ m − 2 m ≧ 2 , 0 ≦ γ ≦ m − 2 m >= 2,0 <= gamma <= m-2m \geqq 2,0 \leqq \gamma \leqq m-2m≧2,0≦γ≦m−2 et si μ γ = 1 ( m − 1 γ ) 1 m − γ − 1 μ γ = 1 ( m − 1 γ ) 1 m − γ − 1 mu_(gamma)=1((m-1)/(gamma))^((1)/(m-gamma-1))\mu_{\gamma}=1\binom{m-1}{\gamma}^{\frac{1}{m-\gamma-1}}μγ=1(m−1γ)1m−γ−1 le polynôme d'interpolation généralisée (9) conserve la non-concavité d'ordre γ − 1 γ − 1 gamma-1\gamma-1γ−1 sur l'intervalle [ a , a + μ γ ( b − a ) ] a , a + μ γ ( b − a ) [a,a+mu_(gamma)(b-a)]\left[a, a+\mu_{\gamma}(b-a)\right][a,a+μγ(b−a)] si m − γ m − γ m-gammam-\gammam−γ est pair et sur l'intervalle [ a − μ γ ( b − a ) , a + μ γ ( b − a ) ] a − μ γ ( b − a ) , a + μ γ ( b − a ) [a-mu_(gamma)(b-a),a+mu_(gamma)(b-a)]\left[a-\mu_{\gamma}(b-a), a+\mu_{\gamma}(b-a)\right][a−μγ(b−a),a+μγ(b−a)] si m − γ m − γ m-gammam-\gammam−γ est impair.
De même, le polynôme d'interpolation généralisée (9) conserve la nonconcavité d'ordre γ γ gamma\gammaγ sur l'intervalle [ a , + ∞ ) [ a , + ∞ ) [a,+oo)[a,+\infty)[a,+∞) si m − γ m − γ m-gammam-\gammam−γ est impair et sur tout l'axe réel si m − γ m − γ m-gammam-\gammam−γ est pair.
La démonstration résulte immédiatement des formules
d γ F γ [ f ∣ x ] d x γ = ( m − 1 ) ( m − 2 ) … ( m − γ ) ( x − a b − a ) m − γ − 1 [ b , a , a , … , a ⏟ γ ; f ] + + [ 1 − ( m − 1 γ ) ( x − a b − a ) m − γ − 1 ] f ( γ ) ( a ) d γ + 1 F γ [ f ∣ x ] d x γ + 1 = ( m − 1 ) ( m − 2 ) … ( m − γ − 1 ) ( x − a b − a ) m − γ − 2 = [ b , a , a , … , a ⏟ ⋯ γ ; f ] d γ F γ [ f ∣ x ] d x γ = ( m − 1 ) ( m − 2 ) … ( m − γ ) ( x − a b − a ) m − γ − 1 [ b , a , a , … , a ⏟ γ ; f ] + + 1 − ( m − 1 γ ) ( x − a b − a ) m − γ − 1 f ( γ ) ( a ) d γ + 1 F γ [ f ∣ x ] d x γ + 1 = ( m − 1 ) ( m − 2 ) … ( m − γ − 1 ) ( x − a b − a ) m − γ − 2 = [ b , a , a , … , a ⏟ ⋯ γ ; f ] {:[(d^(gamma)F_(gamma)[f∣x])/(dx^(gamma))=(m-1)(m-2)dots(m-gamma)((x-a)/(b-a))^(m-gamma-1)[b","ubrace(a,a,dots,aubrace)_(gamma);f]+],[+[1-((m-1)/(gamma))((x-a)/(b-a))^(m-gamma-1)]f^((gamma))(a)],[(d^(gamma+1)F_(gamma)[f∣x])/(dx^(gamma+1))=(m-1)(m-2)dots(m-gamma-1)((x-a)/(b-a))^(m-gamma-2)=[b","ubrace(a,a,dots,aubrace)_(cdots gamma);f]]:}\begin{aligned} \frac{d^{\gamma} F_{\gamma}[f \mid x]}{d x^{\gamma}}= & (m-1)(m-2) \ldots(m-\gamma)\binom{x-a}{b-a}^{m-\gamma-1}[b, \underbrace{a, a, \ldots, a}_{\gamma} ; f]+ \\ & +\left[1-\binom{m-1}{\gamma}\binom{x-a}{b-a}^{m-\gamma-1}\right] f^{(\gamma)}(a) \\ \frac{d^{\gamma+1} F_{\gamma}[f \mid x]}{d x^{\gamma+1}}= & (m-1)(m-2) \ldots(m-\gamma-1)\binom{x-a}{b-a}^{m-\gamma-2}=[b, \underbrace{a, a, \ldots, a}_{\cdots \gamma} ; f] \end{aligned}dγFγ[f∣x]dxγ=(m−1)(m−2)…(m−γ)(x−ab−a)m−γ−1[b,a,a,…,a⏟γ;f]++[1−(m−1γ)(x−ab−a)m−γ−1]f(γ)(a)dγ+1Fγ[f∣x]dxγ+1=(m−1)(m−2)…(m−γ−1)(x−ab−a)m−γ−2=[b,a,a,…,a⏟⋯γ;f]
Si b < a b < a b < ab<ab<a nous avons une propriété analogue qui s'obtient de la même manière. Dans ce cas il suffito de remplacer dans l'énoncé du théorème les intervalles [ a , a + μ γ ( b − a ) ] , [ a − μ γ ( b − a ) , a + μ γ ( b − a ) ] a , a + μ γ ( b − a ) , a − μ γ ( b − a ) , a + μ γ ( b − a ) [a,a+mu_(gamma)(b-a)],[a-mu_(gamma)(b-a),a+mu_(gamma)(b-a)]\left[a, a+\mu_{\gamma}(b-a)\right],\left[a-\mu_{\gamma}(b-a), a+\mu_{\gamma}(b-a)\right][a,a+μγ(b−a)],[a−μγ(b−a),a+μγ(b−a)] et [ a , + ∞ ) [ a , + ∞ ) [a,+oo)[a,+\infty)[a,+∞) respectivement par [ a − μ γ ( a − b ) , a ] , [ a − μ γ ( a − b ) , a + μ γ ( a − b ) ] a − μ γ ( a − b ) , a , a − μ γ ( a − b ) , a + μ γ ( a − b ) [a-mu_(gamma)(a-b),a],[a-mu_(gamma)(a-b),a+mu_(gamma)(a-b)]\left[a-\mu_{\gamma}(a-b), a\right],\left[a-\mu_{\gamma}(a-b), a+\mu_{\gamma}(a-b)\right][a−μγ(a−b),a],[a−μγ(a−b),a+μγ(a−b)] et ( − ∞ , a ] ( − ∞ , a ] (-oo,a](-\infty, a](−∞,a].
9. Supposons encore que nous ayons seulement deux noeuds distincte, dont k 1 k 1 k_(1)k_{1}k1 coïncident avec a a aaa et k 2 k 2 k_(2)k_{2}k2 avec b b bbb, où a < b a < b a < ba<ba<b. Nous avons k 1 + k 2 = m k 1 + k 2 = m k_(1)+k_(2)=mk_{1}+k_{2}=mk1+k2=m et nous pouvons supposer k 1 ≧ 2 , k 2 ≧ 2 k 1 ≧ 2 , k 2 ≧ 2 k_(1) >= 2,k_(2) >= 2k_{1} \geqq 2, k_{2} \geqq 2k1≧2,k2≧2. Nous pouvons alors obtenir les polynômes h β , α ( x ) h β , α ( x ) h_(beta,alpha)(x)h_{\beta, \alpha}(x)hβ,α(x) sous la forme suivant:
h β , 1 ( x ) = ( m − β − 1 ) ! ( x − a ) β β ! ( b − a ) m − β − 1 ( k 1 − β − 1 ) ! ( k 2 − 1 ) ! ⋅ ∫ x b ( t − a ) k 1 β − 1 ( b − t ) k 2 − 1 d t , β = 0 , 1 , … , k 1 − 1 h β , 2 ( x ) = ( − 1 ) β ( m − β − 1 ) ! ( b − x ) β β ! ( b − a ) m − β − 1 ( k 1 − 1 ) ! ( k 2 − β − 1 ) ! ⋅ ∫ a x ( t − a ) k 1 − 1 ( b − t ) k 2 − β − 1 d t , β = 0 , 1 , … , k 2 − 1 h β , 1 ( x ) = ( m − β − 1 ) ! ( x − a ) β β ! ( b − a ) m − β − 1 k 1 − β − 1 ! k 2 − 1 ! ⋅ ∫ x b   ( t − a ) k 1 β − 1 ( b − t ) k 2 − 1 d t , β = 0 , 1 , … , k 1 − 1 h β , 2 ( x ) = ( − 1 ) β ( m − β − 1 ) ! ( b − x ) β β ! ( b − a ) m − β − 1 k 1 − 1 ! k 2 − β − 1 ! ⋅ ∫ a x   ( t − a ) k 1 − 1 ( b − t ) k 2 − β − 1 d t , β = 0 , 1 , … , k 2 − 1 {:[h_(beta,1)(x)=((m-beta-1)!(x-a)^(beta))/(beta!(b-a)^(m-beta-1)(k_(1)-beta-1)!(k_(2)-1)!)],[*int_(x)^(b)(t-a)^(k_(1))beta-1(b-t)^(k_(2)-1)dt","quad beta=0","1","dots","k_(1)-1],[h_(beta,2)(x)=((-1)^(beta)(m-beta-1)!(b-x)^(beta))/(beta!(b-a)^(m-beta-1)(k_(1)-1)!(k_(2)-beta-1)!)],[*int_(a)^(x)(t-a)^(k_(1)-1)(b-t)^(k_(2)-beta-1)dt","quad beta=0","1","dots","k_(2)-1]:}\begin{aligned} & h_{\beta, 1}(x)=\frac{(m-\beta-1)!(x-a)^{\beta}}{\beta!(b-a)^{m-\beta-1}\left(k_{1}-\beta-1\right)!\left(k_{2}-1\right)!} \\ & \cdot \int_{x}^{b}(t-a)^{k_{1}} \beta-1(b-t)^{k_{2}-1} d t, \quad \beta=0,1, \ldots, k_{1}-1 \\ & h_{\beta, 2}(x)=\frac{(-1)^{\beta}(m-\beta-1)!(b-x)^{\beta}}{\beta!(b-a)^{m-\beta-1}\left(k_{1}-1\right)!\left(k_{2}-\beta-1\right)!} \\ & \cdot \int_{a}^{x}(t-a)^{k_{1}-1}(b-t)^{k_{2}-\beta-1} d t, \quad \beta=0,1, \ldots, k_{2}-1 \end{aligned}hβ,1(x)=(m−β−1)!(x−a)ββ!(b−a)m−β−1(k1−β−1)!(k2−1)!⋅∫xb(t−a)k1β−1(b−t)k2−1dt,β=0,1,…,k1−1hβ,2(x)=(−1)β(m−β−1)!(b−x)ββ!(b−a)m−β−1(k1−1)!(k2−β−1)!⋅∫ax(t−a)k1−1(b−t)k2−β−1dt,β=0,1,…,k2−1
Considérons encore les polynômes d'interpolation généralisées (5) où nous avons (3) et k = max ( k 1 , k 2 ) k = max k 1 , k 2 k=max(k_(1),k_(2))k=\max \left(k_{1}, k_{2}\right)k=max(k1,k2).
On voit tout de suite que l'opérateur F 0 [ f ∣ x ] F 0 [ f ∣ x ] F_(0)[f∣x]F_{0}[f \mid x]F0[f∣x] conserve le signe et la formule
d F 0 [ f ∣ x ] d x = ( m − 1 ) ! ( x − a ) k 1 − 1 ( b − x ) k 2 − 1 ( k 1 − 1 ) ! ( k 2 − 1 ) ! ( b − a ) m − 2 [ a , b ; f ] d F 0 [ f ∣ x ] d x = ( m − 1 ) ! ( x − a ) k 1 − 1 ( b − x ) k 2 − 1 k 1 − 1 ! k 2 − 1 ! ( b − a ) m − 2 [ a , b ; f ] (dF_(0)[f∣x])/(dx)=((m-1)!(x-a)^(k_(1)-1)(b-x)^(k_(2)-1))/((k_(1)-1)!(k_(2)-1)!(b-a)^(m-2))[a,b;f]\frac{d F_{0}[f \mid x]}{d x}=\frac{(m-1)!(x-a)^{k_{1}-1}(b-x)^{k_{2}-1}}{\left(k_{1}-1\right)!\left(k_{2}-1\right)!(b-a)^{m-2}}[a, b ; f]dF0[f∣x]dx=(m−1)!(x−a)k1−1(b−x)k2−1(k1−1)!(k2−1)!(b−a)m−2[a,b;f]
nous montre qu'il conserve aussi la monotonie de la fonction sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
Si nous faisons les calculs nous trouvons aussi
d 2 F 1 [ f ∣ x ] d x 2 = ( m − 2 ) ! ( x − a ) k 1 − 2 ( b − x ) k 2 − 2 ( k 1 − 1 ) ! ( k 2 − 1 ) ! ( b − a ) m − 2 . ⋅ { ( k 1 − 1 ) [ ( k 2 − 1 ) a + k 1 b − ( m − 1 ) x ] [ a , a , b ; f ] + + ( k 2 − 1 ) [ ( m − 1 ) x − k 2 a − ( k 1 − 1 ) b ] [ a , b , b ; f ] } d 2 F 1 [ f ∣ x ] d x 2 = ( m − 2 ) ! ( x − a ) k 1 − 2 ( b − x ) k 2 − 2 k 1 − 1 ! k 2 − 1 ! ( b − a ) m − 2 . ⋅ k 1 − 1 k 2 − 1 a + k 1 b − ( m − 1 ) x [ a , a , b ; f ] + + k 2 − 1 ( m − 1 ) x − k 2 a − k 1 − 1 b [ a , b , b ; f ] {:[(d^(2)F_(1)[f∣x])/(dx^(2))=((m-2)!(x-a)^(k_(1)-2)(b-x)^(k_(2)-2))/((k_(1)-1)!(k_(2)-1)!(b-a)^(m-2)).],[*{(k_(1)-1)[(k_(2)-1)a+k_(1)b-(m-1)x][a,a,b;f]+:}],[{:+(k_(2)-1)[(m-1)x-k_(2)a-(k_(1)-1)b][a,b,b;f]}]:}\begin{gathered} \frac{d^{2} F_{1}[f \mid x]}{d x^{2}}=\frac{(m-2)!(x-a)^{k_{1}-2}(b-x)^{k_{2}-2}}{\left(k_{1}-1\right)!\left(k_{2}-1\right)!(b-a)^{m-2}} . \\ \cdot\left\{\left(k_{1}-1\right)\left[\left(k_{2}-1\right) a+k_{1} b-(m-1) x\right][a, a, b ; f]+\right. \\ \left.+\left(k_{2}-1\right)\left[(m-1) x-k_{2} a-\left(k_{1}-1\right) b\right][a, b, b ; f]\right\} \end{gathered}d2F1[f∣x]dx2=(m−2)!(x−a)k1−2(b−x)k2−2(k1−1)!(k2−1)!(b−a)m−2.⋅{(k1−1)[(k2−1)a+k1b−(m−1)x][a,a,b;f]++(k2−1)[(m−1)x−k2a−(k1−1)b][a,b,b;f]}
et cette formule nous montre que l'opérateur F 1 [ f ∣ x ] F 1 [ f ∣ x ] F_(1)[f∣x]F_{1}[f \mid x]F1[f∣x] conserve la nonconcavité habituelle (d'ordre 1) sur l'intervalle
[ k 2 a + ( k 1 − 1 ) b m − 1 , ( k 2 − 1 ) a + k 1 b m − 1 ] . k 2 a + k 1 − 1 b m − 1 , k 2 − 1 a + k 1 b m − 1 . [(k_(2)a+(k_(1)-1)b)/(m-1),((k_(2)-1)a+k_(1)b)/(m-1)].\left[\frac{k_{2} a+\left(k_{1}-1\right) b}{m-1}, \frac{\left(k_{2}-1\right) a+k_{1} b}{m-1}\right] .[k2a+(k1−1)bm−1,(k2−1)a+k1bm−1].
Cette propriété est à rapprocher à celle qui exprime que l'opérateur F k − 1 [ f ∣ x ] = L ( a , a , … , a ⏟ , b , b , … , b ⏟ ; f ∣ x ) F k − 1 [ f ∣ x ] = L ( a , a , … , a ⏟ , b , b , … , b ⏟ ; f ∣ x ) F_(k-1)[f∣x]=L(ubrace(a,a,dots,aubrace),ubrace(b,b,dots,bubrace);f∣x)F_{k-1}[f \mid x]=L(\underbrace{a, a, \ldots, a}, \underbrace{b, b, \ldots, b} ; f \mid x)Fk−1[f∣x]=L(a,a,…,a⏟,b,b,…,b⏟;f∣x) conserve la non-concavité d'ordre m − 3 m − 3 m-3m-3m−3 sur l'interval'e
[ k 1 a + ( k 2 − 1 ) b m − 1 , ( k 1 − 1 ) a + k 2 b m − 1 ] k 1 a + k 2 − 1 b m − 1 , k 1 − 1 a + k 2 b m − 1 [(k_(1)a+(k_(2)-1)b)/(m-1),((k_(1)-1)a+k_(2)b)/(m-1)]\left[\frac{k_{1} a+\left(k_{2}-1\right) b}{m-1}, \frac{\left(k_{1}-1\right) a+k_{2} b}{m-1}\right][k1a+(k2−1)bm−1,(k1−1)a+k2bm−1]
et qui résulte comme cas limite d'une propriété déjà établie pour le polynôme de Lagrange (sur des noeuds distincts) [4].
10. Les propriétés de non conservation et de conservation de la nonconcavité d'ordre n n nnn des opérateurs (5) sont à rapprocher de la propriété très remarquable du polynôme de S. N. Bernstein ∑ α = 0 m ( m α ) f ( α m ) x α ( 1 − x ) m − α ∑ α = 0 m   m α f α m x α ( 1 − x ) m − α sum_(alpha=0)^(m)((m)/( alpha))f((alpha )/(m))x^(alpha)(1-x)^(m-alpha)\sum_{\alpha=0}^{m}\left(\frac{m}{\alpha}\right) f\left(\frac{\alpha}{m}\right) x^{\alpha}(1-x)^{m-\alpha}∑α=0m(mα)f(αm)xα(1−x)m−α de conserver sur l'intervalle [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1], toute propriété de convexité de la fonction f f fff définie sur cet intervalle [2].
Des considerations générales sur la conservation de l'allure de convexité par des polynômes d'interpolation généralisée de la forme ∑ α = 0 m f ( x α ) P α ( x ) ∑ α = 0 m   f x α P α ( x ) sum_(alpha=0)^(m)f(x_(alpha))P_(alpha)(x)\sum_{\alpha=0}^{m} f\left(x_{\alpha}\right) P_{\alpha}(x)∑α=0mf(xα)Pα(x) ont été faites dans un de mes travaux antérieurs [4].

BIBLIOGRAPHIE

  1. Fejér, Leopold - Über Weierstrassche Approximation besonders durch Hernitesche Interpolation. Math. Annalen, 102, (1930), 707-725.
    49-54. des fonctions convexes d'ordre supérieur. Mathematica, 10, (1934),
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  2. Popov nómes d'interpolation. Mathematica, 3 (ae convexité d'une fonction par ses poly5. Popoviciu T. - Sur la conservation, par le polwome ,
    signe ou de la monotonie de la fonction. An. st. Uni. Le Fejér, du
ASUPRA CONSERVĂRII ALURII DE CONVEXITATE A FUNCTIILOR PRIN INTERPOLARE

Rezumat

Continuînd cercetările asupra conservării alurii de convexitate [ 3 , 4 , 5 ] [ 3 , 4 , 5 ] [3,4,5][3,4,5][3,4,5], se consideră polinomul lui Lagrange-Hermite L ( x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x ) L x 1 , x 2 , … , x m ; f ∣ x L(x_(1),x_(2),dots,x_(m);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} ; f \mid x\right)L(x1,x2,…,xm;f∣x), unde nodurile x α , α = 1 , 2 , … , m x α , α = 1 , 2 , … , m x_(alpha),alpha=1,2,dots,mx_{\alpha}, \alpha=1,2, \ldots, mxα,α=1,2,…,m nu sînt neapărat distincte. Se notează cu
F γ [ f ∣ x ] F γ [ f ∣ x ] F_(gamma)[f∣x]F_{\gamma}[f \mid x]Fγ[f∣x] suma termenilor din acest polinom care conţin numai valorile derivatelor pe noduri pînă la ordinul γ γ gamma\gammaγ inclusiv. Teoremele 1,2 exprimă cazuri cînd operatorul F γ [ f ∣ x ] F γ [ f ∣ x ] F_(gamma)[f∣x]F_{\gamma}[f \mid x]Fγ[f∣x] nu conservă neconcavitatea de ordinul n n nnn pe nici un interval. Teorema 3 se referă la cazul nodurilor toate confundate. Atunci F γ [ f ∣ x ] F γ [ f ∣ x ] F_(gamma)[f∣x]F_{\gamma}[f \mid x]Fγ[f∣x] revin la polinoamele lui Taylor relative la funcţia f f fff. Teorema 4 enunţă cîteva proprietăţi de conservare a alurii de convexitate în cazul cînd avem numai două noduri distincte, unul fiind simplu. Lucrarea mai conţine cîteva rezultate referitoare la conservarea alurii de convexitate în cazul general a două noduri distincte.

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[MR0234174, Zbl 0172.08102]

1968

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