1. 1.

   Considérons 1’opérateur linéaire

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défini sur l’espace des fonctions $f=f^{\prime}(x)$, réelles et d’une variable réelle $x$, définies sur un ensemble linéaire $E$ contenant les points $x_{0},x_{1},\ldots,x_{m}$. Nous pouvons supposer que les points $x_{i}$ sont distincts et sont numérotés par ordre de grandeur croissant, donc

Les fonctions
(3)

caractérisent l’opérateur (1) et sont réelles, de la variable réelle $x$, définies sur un intervalle non-nul $I$.*) Pour tout $f$ la valeur de l’opérateur (1) est une fonction définie sur l’intervalle $I^{**}$.

L’expression (1) représente et peut donc s’appeler une fonction d’interpolation de la fonction $f$. Les points (2) sont les noeuds d’interpolation correspondants.

Si les fonctions (3) sont des polynomes, l’opérateur (1) est un polynome d’interpolation (généralisée) de la fonction $f$. Dans ce cas le degré du polynome d’interpolation est égal au plus grand des degrés des polynomes (3).

La dénomination de fonction, respectivement de polynome d’interpolation est justifiée par le fait que sur tout point commun $x_{0}$ des ensembles $E$ et $I$, la valeur $F\left[f\mid x_{0}\right]$ de la fonction (1) peut être considérée comme une valeur approximative de $f\left(x_{0}\right)$. Cette approximation s’obtient par le procédé d’interpolation exprimé par l’opérateur (1).

Nous entendons ici l’interpolation dans un sens généralisé. La fonction (1) est une fonction d’interpolation (un polynome d’interpolation) proprement dite si l’intervalle $I$ contient les noeuds (2) et si les fonctions $F[f\mid x],f$ coincident sur les noeuds, quelle que soit la fonction $f$. Cette dernière condition s’exprime par les conditions

De cette forme est, par exemple, le polynome d’interpolation de Lagrange, divers types de polynomes d’interpolation dus à I. FEJÉR [1], etc. Mais, il existe aussi des polynomes d’interpolation ne vérifiant pas les conditions (4) et présentant pourtant une grande importance. Tel est le polynome, bien connu, de S. N. Bernstein

Dans ce cas nous avons

1. 2.

   Le polynome (5) jouit de la propriété importante qu’il conserve le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1]$, donc que, pour toute fonction $f$ non-négative (sur $E$ ), il est non-négatif sur $[0,1]$.

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J’ai démontré autrefois [2] que les polynomes (5) jouissent encore d’autres propriétés de conservation de 1’allure de la fonction $f$. Si la fonction $f$ est non-décroissante ou bien, en général, si elle est non-concave d’ordre $n$ (sur $E$ ) il en est de même pour le polynome (5) sur [ 0,1 ]. Les polynomes (5) de S. N. Bernstein conservent donc (sur [0,1]) 1a non-concavité de tout ordre ( $\geqq-1$ ) de la fonction $f$.

Nous pouvons introduire 1a

Définition 1. Nous dirons que la fonction d’interpolation (1) conserve (sur l’intervalle $I$ ) la non-concavité d’ordre $n$ (de la fonction $f$ ) si, la fonction (1) est non-concave d’ordre $n$ (sur I) pour toute fonction $f$ nonconcave d’ordre $n$ (sur $E$ ).
3. Rappelons qu’une fonction est dite non-concave d’ordre $n(\geqq-1)$ sur $E$ si toutes les différences divisées d’ordre $n+1$ de cette fonction, sur $n+2$ points (distincts) quelconques de $E$, sont non-négatives. Si toutes ces différences divisées sont positives, la fonction est dite, en particulier, convexe d’ordre $n$ sur $E$. La non-concavité respectivement la convexité d’ordre -1 est équivalente à la non-négativité respectivement à la positivité de la fonction. La non-concavité respectivement 1a convexité d’ordre 0 est équivalente à 1a non-décroissance respectivement à la croissance de la fonction. Enfin, la non-concavité respectivement la convexité d’ordre 1 est équivalente à la non-concavité respectivement à la convexité habituelle de la fonction.

Si les différences divisées d’ordre $n+1$ de la fonction sont toutes non-positives respectivement toutes négatives, nous disons que cette fonction est non-convexe respectivement concave d’ordre $n$ (sur $E$ ). Il y a des spécifications analogues à celles de plus haut dans les cas $n=-1$, 0 ou 1.

Si la fonction $f$ est non-concave respectivement convexe d’ordre $n$, la fonction - $f$ est non-convexe respectivement concave d’ordre $n$ et réciproquement.

Une fonction qui a toutes ses différences divisées d’ordre $n+1$ nulles est dite polynomiale d’ordre $n$ (sur $E$ ). Pour qu’une fonction soit polynomiale d’ordre $n$ il faut et il suffit qu’elle soit à la fois non-concave et nonconvexe d’ordre $n$.

La convexité (concavité) et la polynomialité sont des cas particuliers de la non-concavité (non-convexité) du même ordre. Si une fonction est non-concave d’ordre $n\geqq 0$ sur l’intervalle non nul $I$, mais si elle n’est pas convexe d’ordre $n$ (sur $I$ ), il existe un sous-intervalle non nul de $I$ sur lequel la fonction est polynomiale d’ordre $n$. Cette propriété n’est évidemment pas vraie pour $n=-1$.

Si l’ensemble $E$ est formé par au plus $n+1$ points ( $n\geqq 0$ ), toute fonction définie sur $E$ est polynomiale d’ordre $n$ (sur $E$ ).

Un polynome de degré $n$ est une fonction de la forme

les $a_{i}$ (les coefficients du polynome) étant des constantes quelconques. Si $a_{0}\neq 0$ 1e polynome (6) est de degré effectif $n$. Toute fonction polynomiale d’ordre $n(\geqq 0)$ est un polynome de degré $n^{*}$. La fonction (identiquement) nulle est une fonction polynomiale de tout ordre $n\geq-1$, donc un poly-
*) Pour simplifier nous pouvons, sans aucun inconvénient, confondre un polynome avec une fonction polynomiale, quoique les deux notions sont logiquement distinctes.
nome de tout degré $n\geqq-1$. On peut supposer que le degré effectif de ce polynome est égal à -1 .

Nous désignons par $\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\right]$ la différence divisée d’ordre $n$ et par $L\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+1};f\mid x\right)$ le polynome de Lagrange, donc le polynome prenant les valeurs de la fonction $f$ sur les noeuds $\xi_{i},i=1,2,\ldots$, $n+1$.

Dans la suite nous utiliserons un certain nombre de propriétés des fonctions convexes d’ordre supérieur, des différences divisées et des polynomes de Lagrange. Ces propriétés sont, en général, connues. Les plus importantes seront brièvement rappellées à mesure qu’elles interviendront.
4. Nous nous proposons de trouver des conditions que doivent remplir les fonctions (3) pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité d’ordre $n$ de la fonction $f$.

Avant d’aller plus loin remarquons qu’on peut donner une définition analogue à la définition 1 pour la conservation de la non-convexité et de 1a polynomialité. D’ailleurs, toute fonction d’interpolation (1) qui conserve la non-concavité conserve aussi la non-convexité du même ordre et réciproquement.

En particulier donc,
THÉORİME 1. Si la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité d’ordre n, elle se réduit à un polynome de degré n pour tout polynome $f$ de degré $n^{*)}$.

Nous avons aussi le
THÉORÈME 2. Si $n\geqq m$, pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité d’ordre $n$, il faut et il suffit que les fonctions (3) se réduisent à des polynomes de degré $n$.

En effet, le polynome

est une fonction non-concave d’ordre $n$, quel que soit la constante $\lambda$ (à cause de l’inégalité $m\leqq n$ ). Pour cette fonction nous avons $F[f\mid x]=\lambda P_{i}$ et il est nécessaire et suffisant que $P_{i}$ et $-P_{i}$ soient non-concaves d’ordre $n$, donc que $P$ soit un polynome de degré $n$.

Il en résulte que si la fonction d’interpolation (1) conserve la nonconcavité de tout ordre $n\geqq-1$, les fonctions (3) se réduisent à des polynomes de degré $m$ et, de plus, la fonction $F[f\mid x]$ se réduit à un polynome de degré $n(\geqq-1)$ si $f$ est un polynome de degré $n$. Une fonction d’interpolation (1) qui conserve la non-concavité de tout ordre est donc un polynome de degré $m$ qui n’élève jamais son degré si $f$ est un polynome.

5. Il est facile de voir qu’il existe des fonctions d’interpolation (1) conservant la non-concavité d’ordre quelconque $n\geqq-1$. Pour obtenir une telle fonction d’interpolation il suffit de prendre pour les fonctions (3) des constantes non-négatives quelconques. On peut même affirmer que tout polynome d’interpolation de degré $k$ conserve la non-concavité de tout ordre $n\geqq k$.
6. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité d’ordre - 1 (la non-négativité) il faut et il suffit que les fonctions (3) soient non-négatives.

Supposons maintenant que $0\leqq n\leqq m-1$. D’après une formule de transformation des différences divisées [5] nous avons
(7) $F[f\mid x]=\sum_{i=0}^{n}\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{i};f\right]Q_{i}+\sum_{i=0}^{n-n-1}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]R_{n,i}$ oì
(8) $\quad Q_{i}=\sum_{j=i}^{m}\left(x_{j}-x_{0}\right)\left(x_{j}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{j}-x_{i-1}\right)P_{j},\quad i=0,1,\ldots,m$
(9) $\quad R_{n,i}=\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\sum_{j=i+n+1}^{n}\left(x_{j}-x_{i+1}\right)\left(x_{j}-x_{i+2}\right)\cdots\left(x_{j}-x_{i+n}\right)P_{j}$,

Ici le produit $\left(x_{j}-x_{0}\right)\left(x_{j}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{j}-x_{i-1}\right)$ si $i=0$ et le produit $\left(x_{j}-x_{i+1}\right)\left(x_{j}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{j}-x_{i+n}\right)$ si $n=0$ sont remplacés par 1.

Nous avons alors le
THÉOREME 3. Si $0\leqq n\leqq m-1$, pour que la fonction d’interpolation (1) conserve sur I la non-concavité d’ordre $n$ de toute fonction $f$ non-concave d’ordre $n$ sur les points (2), il faut et il suffit que les fonctions $Q_{0},Q_{1},\ldots,Q_{n}$ soient des polynomes de degré $n$ et $R_{n,0},R_{n,1},\ldots,R_{n,m-n-1}$ des fonctions nonconcaves d’ordre $n$ (sur I).

La propriété résulte facilement en remarquant qu’on peut trouver une fonction non-concave d’ordre $n$ sur les points (2) telle que $\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{i};f\right],i=0,1,\ldots,n$ prennent des valeurs réelles quelconques et $\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right],i=0,1,\ldots,m-n-1$ des valeurs réelles non-négatives quelconques. Il faut aussi tenir compte du fait que toute combinaisons linéaire de fonctions non-concaves d’ordre $n$, avec des coefficients non-négatifs, est aussi une fonction non-concave d’ordre $n$.

Si les fonctions (3) sont ( $n+1$ )-fois dérivables, donc, en particulier, si elles sont des polynomes, les conditions du théorème 3 peuvent s’écrire

En effet, pour qu’une fonction ( $n+1$ )-fois dérivable soit non-concave d’ordre $n$, il faut et il suffit que sa dérivée d’ordre $n+1$ soit non-négative. Enfin, il est facile de voir que de ce qui précède résulte aussi le

THÉOREME 4. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve (sur I) toute non-concavité d’ordre $n\geqq-1$, des fonctions $f$ non-concaves d’ordre $n$ sur les points (2), il faut et il suffit que $Q_{i}$ soit un polynome de degré i pour $i=0,1,\ldots,m$ et que pour tout $n\geqq-1$ et $i=0,1,\ldots,m-n-1$, le polynome $R_{n,i}$ soit non-concave d’ordre $n$ (sur I).

Remarquons que du fait que $Q_{i}$ est un polynome de degré $i$ pour $i=0,1,\ldots,m$ il résulte que les fonctions (3) sont des polynomes de degré $m$. Pour compléter les formules (9) nous prenons $R_{-1,i}=P_{i},i=0,1,\ldots,m$ et on voit que $R_{n,i}$ sont tous des polynomes de degré $m$. Les conditions de l’énoncé peuvent aussi s’écrire

(13) $\quad R_{n,i}^{(n+1)}\geqq 0,i=0,1,\ldots,m-n-1,n=-1,0,1,\ldots,m-1$.
7. Dans 1es théorèmes 3,4 on suppose essentiellement que l’ensemble de définition $E$ de la fonction $f$ se réduit à l’ensemble des points (2). La non-prolongeabilité des fonctions non-concaves d’ordre $>1$ [3] nous montre que si $E$ est un ensemble quelconque contenant les points (2) on peut seulement affirmer que les conditions des théorèmes sont seulement suffisantes. Nous avons donc 1es

THÉORÈME 3’. Si $0\leqq n\leqq m-1$, pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité d’ordre $n$, il suffit que $Q_{0},Q_{1},\ldots,Q_{n}$ soient des polynomes de degré $n$ et que les fonctions $R_{n,0},R_{n,1},\ldots,R_{n,n-n-1}$ soient non-concaves d’ordre $n$.
théorème 4’. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve toutes les non-concavités d’ordres $n\geqq-1$, il suffit que $Q_{i}$ soit un polynome de degré $i$ pour $i=0,1,\ldots,m$ et que pour $i=0,1,\ldots,m-n-1,n==-1,0,1,\ldots,m-1$, le polynome $R_{n,i}$ soit non-concave d’ordre $n$.
8. Nous savons que les fonctions non-concaves d’ordre $-1,0$ ou 1 sont toujours et partout prolongeables. Nous en déduisons donc le

THÉORÈME 5. $1^{\circ}$. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-négativité il faut et il suffit que les fonctions (3) soient non-négatives.
$2^{\circ}$. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-décroissance il faut et il suffit que la somme $\bar{P}_{0}+P_{1}+\ldots+P_{m}$ se réduise à une constante et que les fonctions

soient non-décroissantes.
$3^{\circ}$. Pour que la fonction d’interpolation (1) conserve la non-concavité habituelle (d’ordre 1) il faut et il suffit que les sommes

se réduisent à des polynomes de degré 1 et que les fonctions

soient non-concaves d’ordre 1.
Nous avons tenu compte des formules (8) et (9) et de la numérotation (2) des noeuds.

Il est facile de trouver des énoncés analogues pour $m=0$ et $m=1$.
Lorsque $n>1$, les conditions nécessaires et suffisantes sont plus compliquées. Lorsque $n$ est quelconque mais $m=n+1$ les conditions du théorème $3^{\prime}$ sont encore nécessaires (même si $n>1$ ). En effet, dans ce cas toute fonction non-concave d’ordre $n$ sur les noeuds est toujours et partout prolongeable, notamment par le polynome de Lagrange $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)$.
9. En introduisant une légère restriction par la modification de la définition 1, on peut obtenir des résultats plus intéressants. Cette modification consiste en à exiger la conservation non seulement de la non-concavité, mais aussi de la convexité.

Nous introduisons 1a
Défillition 2. Nous dirons que la fonction d’interpolation (1) conserve (sur 1’intervalle $I$ ) la convexité d’ordre $n$ (de la fonction $f$ ) si la fonction (1) est convexe d’ordre $n$ (sur I) pour toute fonction $f$ convexe d’ordre $n$ (sur $E$ ).

Si on tient compte du fait que la limite d’une suite convergente de fonctions non-concaves d’ordre $n$ est également une fonction non-concave

Réciproquement, nous avons

où $\varphi_{i}=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\cdots\left(x-x_{i-1}\right),i=0,1,\ldots,m\left(\varphi_{0}=1\right)$,

Nous avons aussi $R_{-1,i}=\bar{R}_{-1,i}=P_{i},i=0,1,\ldots,n$

1. 12.

   Nous allons démontrer que si les noeuds (2) sont donnés quelconques, il existe des polynomes d’interpolation (1) de degré $m$ qui conservent toutes les convexités d’ordre $\leqq m-1$, donc qui conservent aussi toutes les non-concavités d’ordre $\geqq-1$, sur un intervalle fini non-nul $I$. Nous désignerons par $a,b,a<\bar{b}$ les extrémités de $I$.

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Nous allons construire un polynome d’interpolation de la forme cherchée en utilisant le

Lemme 1. Si I est un intervalle fini, d’extrémités $a,b,a<b$, si $0\leqq i\leqq m$ et si $S_{0},S_{1},\ldots,S_{i+1}$ sont $i+2$ polynomes de degré $m$, on peut trouver un polynome $P$ de degré $m$ tel que l’on ait

sur $I^{*}$ ).
*) On peut énoncer une propriété un peu plus générale sous la forme suivante :
Si $I$ est un intervalle fini et si $Z_{0},Z_{1},\ldots,Z_{i+1}$ sont $i+2$ ( $i\geqq 0$ ) polynomes, dont le dernier est de degré $k$, on peut trouver un polynome $P$ de degré $k+i+1$ tel que l’on ait

sur $I$.
Si le polynome $Z_{i+1}$ est de degré effectif $k$, on peut choisir, parmi l’infinité des solutions du problème, un polynome $P$ de degré effectif $k+i+1$.

En effet, le polynome

où les coefficients $\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{i}$ vérifient les inégalités

et où pour $j=0$ la somme de $v=0$ à $v=j-1$ du second membre est remplacée par 0 , vérifie le lemme 1 . Les sup du second membre sont toujours finis et on peut donc successivement déterminer les coefficients $\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{i}$.

Il est clair que de cette manière on obtient toutes les solutions du lemme 1. Parmi ces solutions on peut distinguer comme une sorte de solution minimale, 1e polynome

où les coefficients $\lambda_{0}^{*},\lambda_{1}^{*},\ldots,\lambda_{i}^{*}$ sont donnés successivement par les égalités

1. 13.

   En appliquant le lemme 1 on pent construire les polynomes (3) de degré $m$ tel que les conditions (12) et (13) soient vérifiées. Nous groupons d’abord ces conditions sous la forme

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et remarquons que dans le groupe ( $16_{i}$ ) ne figurent pas les polynomes $P_{0},P_{1},\ldots,P_{i-1}(i\geqq 1)$.

9 - Mathematica

Compte tenant de (8) et (9), les relations $\left(16_{i}\right)$ peuvent s’écrire

la première (pour $i\geqq 0$ ) et la seconde (pour $i\geqq 1$ ) relation étant

respectivement
Remarquons que si les (3) sont des polynomes de degré $m$, 1es relations $\left(17_{i}\right)$ sont bien de la forme (14). On peut donc déterminer, à 1’aide du lemme 1, successivement les polynomes $P_{m},P_{m-1},\ldots,P_{1},P_{0}$.

En particulier, le groupe ( $17_{m}$ ) nous montre que

où $\rho,c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ sont non-négatifs.
De cette manière, en prenant $\rho>0$, on obtient tous les polynomes d’interpolation (1) de degré $m$ qui conservent les convexités d’ordre - 1 , $0,1,\ldots,m-1$ et en supposant que l’ensemble $E$ coïncide avec l’ensemble de points (2). Si $m=0,1,2$ ou 3, même sans cette dernière restriction.

En imposant la condition moins restrictive $p\geqq 0$, on obtient tous les polynomes d’interpolation (1) qui conservent la non-concavité de tout ordre, toujours en prenant l’ensemble des points (2) comme ensemble $E$.
14. En prenant $c_{1}=c_{2}=\ldots=c_{m}=0$ et en déterminant successivement les solutions minimales des inégalités $\left(17_{m-1}\right),\left(17_{m-2}\right),\ldots,\left(17_{0}\right)$, on trouve une sorte de polynome d’interpolation minimal vérifiant les conditions cherchées. Dans ce cas les polynomes (3) ont tous en commun 1e facteur constant $\rho$. Si on détermine cette constante de manière que la somme des polynomes (3) soit égale à 1, nous dirons que nous avons obtenu le polynome d’interpolation minimal normalisé.
15. La structure du polynome minimal dépend des rapports des distances mutuelles des noeuds (2), mais cette structure est, en général, très compliquée. Cette complication résulte déjà des exemples simples que nous donnons ici.

Exemples. 1. $m=1$. Le polynome minimal norinalisé est

D’ailleurs la solution générale est donnée par les formules

où $\rho,\lambda,\mu$ sont des constantes non-négatives.
2. $m=2$. Le polynome minimal (pour $\rho=1$ ) s’obtient par les formules

1. 3.

   $m=3$ et les noeuds sont symétriquement distribués, donc $x_{0}++x_{3}=x_{1}+x_{2}$.

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Le polynome minimal (pour $p=1$ ) est donné par les formules

1. 16.

   La difficulté de la construction effective d’une solution du lemme 1 , telle que nous l’avons indiquée, consiste dans la nécessité de calculer les sup des seconds membres des inégalités (15). Nous pouvons aussi déterminer une solution en utilisant une autre méthode, que nous allons indiquer.

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Considérons une suite de nombres $c_{0},c_{1},\ldots,c_{m}$ et désignons par

les différences successives de ces nombres. Nous avons alors le

Lemme 2. Si $0\leqq i\leqq m$ et si $\lambda_{j,v},\quad v=0,1,\ldots,m-j,j==0,1,\ldots,i+1$ sont des nombres donnés, on peut déterminer la suite $c_{0},c_{1},\ldots,c_{m}$ telle que l’on ait

En effet, la suite $c_{0},c_{1},\ldots,c_{m}$ est complètement déterminée par la suite des différences $c_{0},\Delta c_{0},\Delta^{2}c_{0},\ldots,\Delta^{m}c_{0}$.

Remarquons maintenant que

et alors les inégalités ( $18\%$ ) peuvent s’écrire

la somme du second membre étant remplacée par 0 si $\nu=0$.
Les différences $\Delta^{i+1}c_{0},\Delta^{i+2}c_{0},\ldots,\Delta^{m}c_{0}$ sont complètement déterminées par les égalités ( $18_{i+1}$ ). Si donc nous choisissons successivement $\Delta^{i}c_{0}$, $\Delta^{i-1}c_{0},\ldots,\Delta c_{0},c_{0}$ de manière que 1’on ait

la suite $c_{0},c_{1},\ldots,c_{m}$ vérifie 1e lemme 2 .
Ici encore on peut mettre en évidence une sorte de solution minimale, en déterminant les $\Delta^{i}c_{0},\Delta^{i-1}c_{0},\ldots,\Delta c_{0},c_{0}$ par les égalités

1. 17.

   Une solution du lemme 1 s’obtient maintenant de la manière suivante.

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Remarquons que tout polynome $P$ de degré $m$ peut être mis sous 1a forme

Si les coefficients $p_{0},p_{1},\ldots,p_{m}$ sont non-négatifs le polynome (19) est non-négatif sur l’intervalle $[a,b]$. Ce polynome est nul identiquement si et seulement si $p_{0}=p_{1}=\ldots=p_{m}=0$. La dérivée du polynome (19) peut s’écrire sous la forme

done sa dérivée d’ordre $j$ sous 1a forme

Posons maintenant

Si nous cherchons le polynome $P$ sous la forme (19), pour réaliser les inégalités (14) il suffit d’avoir

et le lemme 1 résulte du lemme 2 .
Il est clair ce qu’il faut entendre par la solution minimale du lemme obtenue par cette méthode.
18. Pour construire un polynome d’interpolation (1) conservant la convexité pour tout ordre $\leqq m-1$, on peut chercher les polynomes (3) sous la forme

On cherche alors les solutions des systèmes $\left(17_{i}\right)$, en appliquant le lemme 2. On peut ici encore mettre en évidence 1 e polynome minimal en déterminant toujours les solutions minimales, dans le sens du nr. précédent, et en partant du polynome $P_{m}=\rho(x-a)^{m}$.

Dans le cas $m=2$ et dans le cas $m=3$ et des noeuds symétriquement distribués, les polynomes minimaux (pour $\rho=1$ ) dans les deux sens coincident.

1. 19.

   Il est à prévoir que le polynome de Lagrange $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{m};f\mid x\right)$ ne peut conserver, en général, la non-concavité d’ordre $n$ de la fonction $f$. En ce sens nous allons démontrer 1 e

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THÉORİME 8. Si $n\geqq-1$ et $m>n+2$, le polynome de Lagrange $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{m};f\mid x\right)$ ne conserve pas la non-concavité d’ordre $n$ de la fonction $f$ définie sur les points (2), sur aucun intervalle (non nul) de l’axe réel.

Il suffit de démontrer la propriété pour tout intervalle fermé et fini $[a,b]$ qui ne contient aucun des noeuds (2).

Considérons le polynome

où $\varepsilon$ est un nombre positif.
Soit $f$ la fonction qui prend les valeurs du polynome $P$ sur les points (2). Alors nous avons $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{m};f\mid x\right)=P$, puisque $P$ est un polynome de degré $m$.

Un calcul simple nous donne

Il en résulte que si $\varepsilon$ est assez petit les différences divisées [ $x_{i},x_{i+1},\cdots\left.\ldots,x_{i+n+1};f\right],i=0,1,\ldots,m-n-1$ sont positives et la fonction $f$ est alors convexe d’ordre $n$ sur les points (2). Mais la valeur sur le point $\frac{a+b}{2}$ de 1a $(n+1)$-ième dérivée du polynome $P$ est égale à $-(n+1)$  ! $\varepsilon$ qui est un nombre négatif. Ie polynome $P$ n’est donc pas non-concave d’ordre $n$ sur l’intervalle $[a,b]$ (dans le voisinage du milieu de cet intervalle).

Le théorème 8 est donc démontré.
20. Pour compléter le résultat précédent remarquons que :
$1^{\circ}$. Si $m=n+1$ 1e polynome de Lagrange $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)$ conserve la non-concavité d’ordre $n$ de la fonction $f$ sur tout intervalle $I$.
$2^{\circ}$. Si $m=n+2$, nous avons

Il en résulte que le polynome de Lagrange $L\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n+2};f\mid x\right)$ conserve la non-concavité d’ordre $n$ sur l’intervalle $I$ si et seulement si c’est un sous-intervalle de l’intervalle

1. 21.

   Dans le théorème 8 on suppose essentiellement que la fonction $f$ est définie seulement sur les points (2). Supposons maintenant que $f$ soit une fonction définie sur un intervalle $E$ contenant 1 es points (2).

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Avant d’énoncer certains résultats dans ce cas, nous allons établir quelques lemmes préliminaires.

Soit $[a,b],(a<b)$ un intervalle fini et fermé qui contient les noeuds (2), $n$ un nombre entier $\geqq-1$ et prenons les nombres naturels $k,l$ tels que :
a) Si $n=-1,k$ et $l$ sont impairs.
b) Si $n\geqq 0,k+l-n-1$ est un nombre pair $\geqq 2$.

Nous avons 1 e
Lemme 3. Le polynome
(20)

n’est pas non-concave d’ordre $n$ sur $[a,b]$.
Pour $n=-1$ la propriété est vraie puisqu’alors le polynome $P$ est négatif sur l’intervalle ouvert ( $a,b$ ). Pour $n\geqq 0$ la propriété est équivalente au fait que la ( $n+1$ )-ième dérivée $P^{(n+1)}$ n’est pas non-négative sur $[a,b]$. Mais $P^{(n+1)}$ a certainement au moins une racine simple dans $(a,b)$ et change donc de signe entre $a$ et $b$.

Considérons maintenant la fonction $f^{*}$ définie par les égalités

$P$ étant le polynome (20).
Nous avons 1e

Lemme 4. La fonction $f^{*}$ est non-concave d’ordre $n$ sur ( $-\infty,\infty$ ), donc aussi sur tout sous-intervalle de $(-\infty,\infty)$.

Pour $n=-1,0$ et 1 la démonstration est immédiate. Pour $n>1$ la démonstration résulte des faits que $f$ admet une dérivée continue d’ordre $n-1$, que si la dérivée d’ordre $n-1$ d’une fonction est non-concave d’ordre 1 , la fonction elle même est non-concave d’ordre $n$ et que nous avons 1 e

Lemme 5. Si $Q$ est un polynome de degré pair $\geqq 2$ et si $[a,b]$ est le plus petit intervalle fermé contenant toutes ses racines, supposées toutes réelles (en particulier $a,b$ sont des racines de $Q$ ), la fonction

est non-concave d’ordre 1 sur ( $-\infty,\infty$ ).
Ce lemme résulte du fait que la fonction $g$ est continue et est non-concave d’ordre 1 sur chacun des intervalles ( $-\infty,a$ ), $[a,b],(b,\infty)$, puisque sur $(-\infty,a)$ et $\operatorname{sur}(b,\infty)$ la dérivée seconde $Q^{\prime\prime}$ de $Q$ est positive.