1. 1.

   Soient

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$$x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$$

(1)

$n(\geqslant 2)$ points de l’axe réelle, $f=f(x)$ une fonction, réelle, de la variable réelle $x$, définie sur un ensemble linéaire $E$ contenant les points (1) et considérons le polynome d’interpolation

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$$F[f\mid x]=\sum_{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)h_{t}$$

(2)

correspondant à la fonction $f$ sur les noeuds (d’interpolation) (1).
Le polynome (2) (de L. Fejér) est le premier terme du polynome de Lagrange-Hermite

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$$H[f\mid x]=\sum_{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)h_{i}+\sum_{i=1}^{n}f^{\prime}\left(x_{i}\right)k_{t}$$

(3)

de degré $2n-1$ prenant, avec la fonction $f$ et avec sa dérivée $f^{\prime}$, les mêmes valeurs sur les noeuds.

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Dans (3) les $h_{i}$ sont les polynomes fondamentaux d’interpolation de la première et les $k_{i}$ les polynomes fondamentaux d’interpolation de la seconde espèce correspondants aux noeuds (1). Ces polynomes sont donnés par les formules

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Plusieurs auteurs, surtout d’abord L. Fejér [1], ont étudié des cas, très importants pour la convergence des suites de polynomes d’interpolation, où les polynomes (4) sont non-négatifs sur un certain intervalle $I$.

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Dans ce premier $\int$ nous reproduisons, en les complétant un peu, les résultats de L. Fejér [1]. Nous reprenons aussi les cas où les noeuds sont les racines des polynomes orthogonaux classiques de Jacobi, Laguerre et Hermite considérés par L. Fejér [1] et G. Szegö [4].

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Ces résultats sont utiles pour mettre mieux en évidence les propriétés que nous étudierons au $\S 2$.
2. Soit $I$ un intervalle quelconque. Nous disons que le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction (plus exactement: conserve le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ ) s’il est non-négatif sur $I$ pour toute fonction $f$, non-négative sur les points (1). Il en est toujours ainsi si $I$ se réduit à un noeud. Si l’intervalle $I$ est non nul ¹ ) ou s’il se réduit à un point différent d’un noeud, pour que $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction, il faut et il suffit que les fonctions linéaires

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$$v_{i}=1-\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}\left(x-x_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots,n$$

(7)

soient non-négatives sur $l$. Dans le cas contraire nous disons que le po lynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne conserve pas le signe de la fonction (plus exactement: ne conserve pas le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ ). Dans ce cas il existe au moins un point de $I$ sur lequel l’un au moins des polynomes (7) prend une valeur négative.

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La formule bien connue

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$$\sum_{i=1}^{n}h_{i}=1$$

(8)

nous montre que les polynomes (4) ne peuvent s’annuler tous à la fois sur un même point. Il en résulte que si $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction il est aussi positif sur $I$ pour toute fonction positive sur les points (1). On voit facilement que, sous la même hypothèse, le polynome $F[f\mid x]$ est non-positif respectivement négatif sur $I$ pour toute fonc-

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	$$\displaystyle h_{i}=\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)l^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right]^{2}\left[1-\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}\left(x-x_{i}\right)\right],i=1,2,\ldots,n$$		(4)
	$$\displaystyle k_{i}=\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)l^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right]^{2}\left(x-x_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots,n$$		(5)
	$$\displaystyle l(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right).$$		(où)

tton $f$, non-positive respectivement négative sur les points (1). Il s’agit bien entendu, d’un intervalle $I$ non nul. Plus simplement nous pourrions dire que si le polynome dinterpolation $F[f\mid x]$ conserve la non-négativité, alors il conserve aussi la non-positivité, la positivité et la négativité de la fonction.
3. L’importante notion de points conjugués des noeuds, introduite par L. Fejér, permet de discuter complètement le problème de la conservation, par le polynome $F[f\mid x]$, du signe de la fonction.

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Les points conjugués des noeuds (1) sont les points

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$$X_{i}=x_{i}+\frac{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{n}\left(x_{i}\right)},i=1,2,\ldots,n$$

(6)

$X_{l}$ étant le conjugué du point $x_{l}{}^{1}$ ).
Le point $X_{i}$ existe si $l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)\neq 0$. Si $l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)=0$ on peut prendre $X_{i}==+\infty$ et alors tous les résultats suivants restent valables en opérant avec le nombre impropre $+\infty$ comme d’habitude en analyse mathématique.

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Le point $X_{i}$ ne coïncide jamais avec $x_{i}$.
L’inégalité $v_{i}\geqq 0$ sur $I$ est équivalente à l’inégalité

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$$\left(X_{i}-x_{i}\right)\left(X_{i}--x\right)\geqq 0\text{ sur }I.$$

Nous avons

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=2\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x_{i}-x_{j}},i=1,2,\ldots,n$$

(10)

où l’accent’ au signe $\sum_{d}^{\prime}$ signifie que la valeur $i$ de l’indice $j$ est exclue.
Des inégalités (1) et de (10) il résulte que

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{1}\right)}{l^{\prime}\left(x_{1}\right)}<0,\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{n}\right)}{l^{\prime}\left(x_{n}\right)}>0$$

donc aussi $X_{1}<x_{1},X_{n}>x_{n}$. Les points $X_{1},X_{n}$ sont finis et nous avons $I\subseteq\left[X_{1},X_{n}\right]$ si le polynome $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction sur l’intervalle $I$.

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En particulier, le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne conserve le signe de la fonction sur aucun intervalle infini.

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Cette propriété résulte, d’ailleurs, aussi de la formule (8) et du fait qu’aucun des polynomes (4) ne se réduit à une constante ² ). En effet, l’un au moins de ces polynomes doit tendre vers $+\infty$ et l’un au moins vers $-\infty$ lorsque $x\rightarrow+\infty$ ou $x\rightarrow-\infty$.

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4. Si $l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)=0$, on a $v_{i}=1>0$ pour tout $x$. Désignons p $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$ les valeurs de l’indice $i$ pour lesquelles $\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}(x)}<0$ et par $j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}$ les valeurs de l’indice $i$ pour lesquelles $\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}>0$. Nous avons $k+m\leqq n$. D’après (11) il existe de tels indices (donc $k\geqq 1,m\geqq 1$ ). On le voit aussi en remarquant que $\sum_{i=1}^{n}\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=0$ et que $l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n$ ne peuvent être tous nuls ¹ ).

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Deux cas peuvent alors se présenter:
4.1. Nous avons

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$$X_{i_{r}}\leqq X_{j_{s}},r=1,2,\ldots,k,s=1,2,\ldots,m$$

Alors pour que $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction sur l’intervalle $I$ il faut et il suffit que l’on ait $I\subseteq\left[Z^{-},Z^{+}\right]$où

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$$Z^{-}=\max_{r=1,2\ldots,k}X_{i_{r}},\quad Z^{+}=\min_{s=1,2,\ldots,m}X_{j_{s}}$$

Le plus grand intervalle (supposé non nul) sur lequel le polynome $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction est l’intervalle $\left[Z^{-},Z^{+}\right]$.

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Dans le cas des noeuds $-1,-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1(n=4)$ nous avons $Z^{-}==Z^{+}=0$, qui ne coïncide pas avec un noeud et dans le cas des noeuds $-1,-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},1(n=5)$ nous avons encore $Z^{-}=Z^{+}=0$, qui coïncide avec un noeud.
4.2. Il existe un indice $r$ et un indice $s$ tels que

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$$X_{t_{r}}>X_{J_{s}}.$$

(12)

Dans ce cas il n’existe aucun intervalle $I$, ne se réduisant pas à un noeud, sur lequel le polynome $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction,
5. Si l’intervalle $I$ est fini, qui peut être toujours supposé fermé, mais quelconque, les résultats de L. Fejér nous montrent que la conservation du signe peut effectivement avoir lieu. Il en est ainsi si les noeuds (1) sont normalement distribués par rapport à l’intervalle $I$. Si $I=[a,b]$, $a<b$, on dit que les noeuds (1) sont normalement distribués par rapport à $I$, si tous les points $x_{i}$ appartiennent à l’intervalle $I$ et tous les points conjugués $X_{i}$ sont à l’extérieur de l’intervalle (ouvert) ( $a,b$ ). Il est facile de voir que, dans ce cas, le polynome $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction sur $I$.

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On peut aussi obtenir un résultat en quelque sorte contraire.
Nous avons la propriété
I. Si $n\geq 4$, on peut construire des systèmes de noeuds (1) tels que e polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne conserve le signe de la fonction sur aucun intervalle $I$, nul ou non et ne se réduisant pas à un noeud.

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Cette propriété est une conséquence du
Lemme 1. Si $n\geqq 4$ et si les noeuds (1) vérifient les inégalités
(13)

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$$x_{2}-x_{1}\leqq\frac{x_{3}-x_{2}}{n-1},x_{n}-x_{n-1}\leqq\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{n-1}$$

le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne conserve le signe de la fonction sur aucun intervalle $I$, nul ou non et ne se réduisant pas à un noeud.

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En vertu des inégalités (1) et (13), nous avons

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	$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}=$	$\displaystyle\frac{1}{x_{2}-x_{1}}-\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{x_{i}-x_{2}}>\frac{1}{x_{2}-x_{1}}-\frac{n-2}{x_{3}-x_{2}}\geqq$
		$\displaystyle\geqq\frac{n-1}{x_{3}-x_{2}}-\frac{n-2}{x_{3}-x_{2}}=\frac{1}{x_{3}-x_{2}}>0$		(14)

donc $\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}>\frac{2}{x_{3}-x_{2}}>0$. On voit, de la même manière, que

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$$\frac{l^{n}\left(x_{n-1}\right)}{l^{\prime}\left(x_{n-1}\right)}<\frac{-2}{x_{n-1}-x_{n-2}}<0$$

Il en résulte qu’il suffit de démontrer l’inégalité (12) correspondante, donc l’inégalité
(15)

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$$X_{n-1}>X_{2}.$$

De (14) on déduit que
donc

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$$\frac{2}{x_{3}-x_{2}}-\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}<\frac{2}{x_{3}-x_{2}}-\frac{2}{x_{3}-x_{2}}=0$$

$$\frac{x_{3}-x_{2}}{2}-\frac{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}>0$$

(16)

et on démontre de la même manière que

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$$\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{2}+\frac{l^{\prime}\left(x_{n-1}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{n-1}\right)}>0.$$

(17)

Compte tenant de (1), (16) et (17), nous avons

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$$\begin{gathered}X_{n-1}-X_{2}=x_{n-1}-x_{2}+\frac{l^{\prime}\left(x_{n-1}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{n-1}\right)}-\frac{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}-x_{3}-x_{2}}{2}+\\ +\left[\frac{x_{3}-x_{2}}{2}-\frac{l^{\prime}\left(x_{2}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{2}\right)}\right]+\left[\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{2}+\frac{l^{\prime}\left(x_{n-1}\right)}{l^{\prime\prime}\left(x_{n-1}\right)}\right]>0,\end{gathered}$$

ce qui démontre l’inégalité (15), donc le lemme 1.
6. La propriété étudiée plus haut n’est pas vraie pour $n=2$ et pour $n==3$. Dans ces cas il existe toujours des intervalles $I$, non nuls, sur lesquels le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction.
Q.1. Pour $n=2$, nous avons

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$$X_{1}=x_{1}-\frac{x_{2}-x_{1}}{2},\quad X_{2}=x_{2}+\frac{x_{2}-x_{1}}{2}$$

et le polynome diaterpolation $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction sur l’intervalle $I$ si et seulement si $I\subseteq\left[X_{1},X_{2}\right]$.
6.2. Pour $n=3$ la discussion est un peu plus compliquée et dépend du paramètre $\varrho=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}$, qui reste compris entre 0 et $1(0<\varrho<1)$. Nous avons

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		$\displaystyle X_{1}=x_{1}-\frac{x_{2}-x_{1}}{2(1+\varrho)},X_{3}=x_{3}+\frac{x_{3}-x_{2}}{2(2-\varrho)}$
		$\displaystyle X_{2}=x_{2}+\frac{1-\varrho}{2(1-2\varrho)}\left(x_{2}-x_{1}\right)=x_{2}-\frac{\varrho}{2(2\varrho-1)}\left(x_{3}-x_{2}\right);\left(\varrho\neq\frac{1}{2}\right),$
		$\displaystyle X_{2}=+\infty\left(\varrho=\frac{1}{2}\right),$

et nous déduisons que le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ conserve le signe de la fonction sur l’intervalle $I$ si et seulement si:
6.2.1. $I\subseteq\left[X_{1},X_{3}\right]$ lorsque $\varrho=\frac{1}{2}$.
6.2.2. $I\subseteq\left[X_{1},\min\left(X_{2},X_{3}\right)\right]$ lorsque $e<\frac{1}{2}$. Dans ce cas on a $X_{1}<X_{2},X_{1}<X_{3}$ et nous avons $X_{2}<$, =, respectivement $>X_{3}$ suivant que $\varrho<,=$, respectivement $>\frac{7-2\sqrt{6}}{5}(=0,420\ldots)$.
6.2.3. I $\subseteq\left[\max\left(X_{1},X_{2}\right),X_{3}\right]$ lorsque $\varrho>\frac{1}{2}$. Dans ce cas on a $X_{1}<<X_{3},X_{2}<X_{3}$ et nous avons $X_{1}<$, =, respectivement $>X_{2}$ suivant que $\varrho>,=$, respectivement $<\frac{2\sqrt{6}-2}{5}(=0,579\ldots)$.
6.3 Considérons aussi le cas $n=4$, les noeuds étant symétriquement distribués par rapport à un certain point de l’axe réelle, donc en supposant que $x_{2}+x_{3}=x_{1}+x_{4}$. Sur ce cas on peut déjà apercevoir les diverses circonstances qui peuvent se présenter. La discussion dépend du paramètre $\tau=\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{4}-x_{3}}$, qui reste positif. Si nous posons $x_{2}-x_{1}=u$, nous avons $x_{3}-x_{2}=\tau u,x_{4}-x_{3}=u$ et

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		$\displaystyle X_{1}=x_{1}-\frac{u(\tau+1)(\tau+2)}{2\left(\tau^{2}+5\tau+5\right)},X_{2}=x_{2}+\frac{u\tau(\tau+1)}{2\left(\tau^{2}-\tau-1\right)}$
		$\displaystyle X_{3}=x_{3}-\frac{u\tau(\tau+1)}{2\left(\tau^{2}-\tau-1\right)},\quad X_{4}=x_{4}+\frac{u(\tau+1)(\tau+2)}{2\left(\tau^{2}+5\tau+5\right)}$

Nous en déduisons

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$$\begin{gathered}X_{2}-X_{1}=u\frac{2\tau^{2}(\tau+2)^{2}-5\tau(\tau+2)-6}{\left(\tau^{2}-\tau-1\right)\left(\tau^{2}+5\tau+5\right)}\\ X_{4}-X_{2}=u(\tau+1)\frac{\tau^{2}(\tau+2)^{2}-7\tau(\tau+2)-6}{\left(\tau^{2}-\tau-1\right)\left(\tau^{2}+5\tau+5\right)}\end{gathered}$$

$$X_{3}-X_{2}=u\tau\frac{\tau^{2}-2\tau-2}{\tau^{2}-\tau-1}.$$

Si nous posons

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$$\begin{gathered}\tau_{1}=\frac{\sqrt{9+\sqrt{73}}}{2}-1=1,094\ldots\\ \tau_{2}=\frac{\sqrt{9+\sqrt{73}}}{\sqrt{2}}-1=1,961\ldots\\ \tau_{3}=1+\sqrt{3}=2,732\ldots\end{gathered}$$

les nombres $\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3}$ sont les valeurs (uniques) de $\tau$ pour lesquelles on a $X_{2}=X_{1},X_{2}=X_{4},X_{2}=X_{3}$ respectivement. Il résulte alors que l’intervalle $\left[Z^{-},Z^{+}\right]$se réduit à $\left[X_{2},X_{3}\right],\left[X_{1},X_{4}\right]$ respectivement $\left[X_{3},X_{2}\right]$ suivant que $0\leqq\tau\leqq\tau_{1},\tau_{1}\leqq\tau\leqq\tau_{2}$ respectivement $\tau_{2}\leqq\tau\leqq\tau_{3}$. Si $\tau>\tau_{3}$ l’intervalle $\left[Z^{-},Z^{+}\right]$n’existe pas.

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D’autres valeurs remarquables de $\tau$ sont

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$$\tau_{4}=1,\tau_{5}=\frac{3+\sqrt{33}}{4}=2,186\ldots,\tau_{6}=2,$$

pour lesquelles on a $X_{2}=x_{1}$ (et $X_{3}=x_{4}$ ), $X_{2}=x_{3}$ (et $X_{3}=x_{2}$ ), $X_{2}=x_{4}$ (et $X_{3}=x_{1}$ ) respectivement.
7. Il y a des cas particuliers importants dans lesquels on peut affirmer l’existence d’un intervalle [ $Z^{-},Z^{+}$], non nul, sur lequel le polynome d’interpolation (2) conserve le signe de la fonction.

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Désignons par $i^{\prime}$ le plus grand des indices $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$ et par $i^{\prime\prime}$ le plus petit des indices $j_{1},j_{2},\ldots,j_{m}$ définis au no. 4 . Nous avons $Z^{-}<<x_{i^{\prime}}$ et $x_{i^{\prime\prime}}<Z^{+}$, donc: si $i^{\prime}<i^{\prime\prime}$, l’intervalle $\left[Z^{-},Z^{+}\right]$existe et est non $nul$ (on a $\left[x_{i^{\prime}},x_{i^{\prime\prime}}\right]\subset\left[Z^{-},Z^{+}\right]$).

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L’inégalité $i^{\prime}<i^{\prime\prime}$ est vérifiée s’il existe une fonction $\Psi(x)$ définie et non-décroissante sur un intervalle contenant les noeuds et telle que l’on ait

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\Psi\left(x_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots,n.$$

Dans ce cas, d’ailleurs, $i_{r}=r,r=1,2\ldots,k,j_{s}=n-m+s,s==1,2,\ldots,m,i^{\prime}=k,i^{n}=n-m+1$ et lorsque $\Psi(x)$ est croissant on a même $i^{\prime\prime}-i^{\prime}\leqq 2(m+k\geqq n-1)$.

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La fonction $\overline{\bar{\Psi}}(x)$ existe et est même croissante dans les cas suivants :
7.1. Considérons $p(\geqq 2)$ points distincts $a_{1}<a_{2}<\ldots<a_{p}$ de l’axe réelle et soient $\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{p},p$ nombres positifs. Alors, pour chaque $q=1,2,\ldots,p-1$, il existe un polynome et un seul de degré $n$, de la forme (6), les noeuds (1) étant compris dans l’intervalle ( $a_{q},a_{q+1}$ ) et vérifiant l’équation différentielle

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$$l^{n}+\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\sigma_{j}}{x-a_{j}}\right)l^{\prime}+\frac{C(x)}{A(x)}l=0$$

(18)

où $A=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\ldots\left(x-a_{p}\right)$ et $C$ est un polynome de degré $p-2$.
Dans ce cas on peut prendre

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$$\Psi(x)=-\sum_{j=1}^{p}\frac{\sigma_{j}}{x-a_{j}}$$

qui est bien une fonction croissante sur l’intervalle ( $a_{q},a_{q+1}$ ).
7.2. Si, en particulier, $p=2,a_{1}=-1,a_{2}=1^{1}$ ) et si nous posons $\sigma_{1}=\beta+1,\sigma_{2}=\alpha+1$, l’équation différentielle (18) devient
(19) $\left(1-x^{2}\right)l^{\prime\prime}-[(\alpha+\beta\div 2)x-\beta+\alpha]l^{\prime}+n(n+\alpha+\beta+1)l=0$,

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les paramètres réels $\alpha,\beta$ vérifiant les inégalités $\alpha>-1,\beta>-1$. Dans ce cas (1) sont les racines des polynomes de Jacobi de degré $n$ et de paramètres $\alpha,\beta$. Nous avons

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$$x_{k}<\frac{\beta-\alpha}{\alpha+\beta+2}<x_{n-m+1},$$

donc aussi

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$$Z^{-}<\frac{\beta-\alpha}{\alpha+\beta+2}<Z^{+}.$$

7.3. Si (1) sont les racines du polynome de Laguerre de degré $n$ de paramètre $a>-1$, le polynome (6) vérifie l’équation différentielle

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$$xl^{n}-(x-a-1)l^{\prime}+nl=0.$$

(20)

Dans ce cas, les noeuds sont positifs et nous pouvons prendre $\Psi(x)=1-\frac{a+1}{x}$ qui est bien une fonction croissante pour $x>0$. Nous avons $Z^{-}<\alpha+1<Z^{+}$.
7.4. Si (1) sont les racines du polynome de Hermite de degré $n$, le polynome (6) vérifie l’équation différentielle

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$$l^{\prime\prime}-2xl^{\prime}+2nl=0.$$

On peut donc prendre $\Psi(x)=2x$ qui est aussi une fonction croissante. Dans ce cas $Z^{-}<0<Z^{+}$.
7.5. Nous sommes encore dans le cas précédent si les noeuds sont équidistants. Soient $x_{i}=x_{1}+(i-1)h(h>0),i=1,2,\ldots,n$ les noeuds.

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La formule

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i+1}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i+1}\right)}-\frac{l^{n}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\frac{2n}{i(n-i)h}>0,i=1,2,\ldots,n-1$$

nous montre que la suite $\left(\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right)_{i=1}^{n}$ est croissante. Nous avons, dans ce cas, $i^{\prime}=\left[\frac{n}{2}\right],i^{\prime\prime}=\left[\frac{n+1}{2}\right]+1$ et

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$$Z^{-}<x_{1}+\left(\left[\frac{n}{2}\right]-1\right)h<x_{1}+\left[\frac{n+1}{2}\right]h<Z^{+}.$$

1. 8.

   L. Fejér a étudié [1] très en détail le cas des polynomes de Jacobi, en précisant les extrémités $Z^{-},Z^{+}$de l’intervalle $\left[Z,Z^{+}\right]$. Ainsi, lorsque les inégalités

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$$-1<\alpha\leqq 0,\quad-1<\beta\leqq 0$$

(21)

sont vérifiées, on peut obtenir un résultat plus précis. En effet, si nous supposons que

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$$(\alpha+\beta+2)x_{i}-\beta+\alpha\neq 0,\quad(\alpha+\beta+2)x_{i+1}-\beta+\alpha\neq 0$$

nous avons

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$$\frac{X_{i+1}-X_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}=\frac{L\left(x_{i},x_{i+1}\right)}{\left[(\alpha+\beta+2)x_{i}-\beta+\alpha\right]\left[(\alpha+\beta+2)x_{i+1}-\beta+\alpha\right]}$$

(22)

où

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$$\begin{gathered}L(u,v)=(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+2)uv-(\beta-\alpha)(\alpha+\beta+1)(u+v)+\\ +(\beta-\alpha)^{2}-(\alpha+\beta+2)\end{gathered}$$

Remarquons que $L(u,v)$ est une fonction linéaire de $u$ et de $v$. Il en résulte que si $u,v\in(-1,1),L(u,v)$ reste compris entre le plus petit et le plus grand des nombres $L(1,1),L(-1,-1),L(1,-1)=L(-1,1)$. Mais, compte tenant de $(21),L(1,1)=4\alpha(\alpha+1)\leqq 0,L(-1,-1)=4\beta(\beta+1)\leqq\leqq 0,L(1,-1)=L(-1,1)=-4(\alpha+1)(\beta+1)<0$. On en déduit facilement que nous avons $L(u,v)<0$ pour $-1<u,v<1$.

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Nous avons donc $L\left(x_{t},x_{t+1}\right)<0,i=1,2,\ldots,n-1$ et la formule (22) et les résultats du no. 4 nous montrent que $Z^{-}=X_{1},Z^{+}=X_{n}$.

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Les résultats précédents peuvent avoir lieu aussi pour d’autres valeurs des paramètres $\alpha,\beta$, par exemple pour $\alpha=\beta=-1$. Si $-2<\alpha$, $-2<\beta$, l’équation différentielle (19) est encore vérifiée par un polynome de degré $n$ ayant toutes ses racines réelles et distinctes. Les (1) sont alors les racines d’un polynome de Jacobi généralisé de degré $n$ [5]. Mais, ces racines sont des fonctions continues de $\alpha,\beta$ et les résultats précédents restent valables si $\alpha,\beta$ diffèrent suffisamment peu de -1 . Si $n\geqq 4$ et si $\alpha\rightarrow-2,\beta\rightarrow-2$, on a $x_{1}\rightarrow-1,x_{2}\rightarrow-1,x_{n-1}\rightarrow 1,x_{n}\rightarrow 1$ et on en déduit que si $\alpha,\beta$ sont suffisamment près de -2 nous sommes dais les conditions du lemme 1 et l’intervalle $\left[Z^{-},Z^{+}\right]$n’existe pas.
9. Dans le cas des racines du polynome de Laguerre on peut aussi préciser les nombres $Z^{-},Z^{+}$. En étudiant la fonction $x+\frac{1}{\Psi(x)}=x++\frac{x-\alpha-1}{x}$, on trouve facilement que

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$$Z^{-}\leqq\alpha+1-\sqrt{\alpha+1}<\alpha+1+\sqrt{a+1}\leqq Z^{+}$$

Mais, ces délimitations sont assez peu précises. En effet, en faisant $\alpha\rightarrow-1$, nous en déduisons seulement $Z^{-}\leqq Z^{+}$, quoique, comme nous le verrons plus loin, ici c’est l’inégalité stricte qui est valable. L’équation différentielle (20) a comme solution un polynome de degré $n$ ayant toutes ses racines réelles et distinctes pour $-2<a$.

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Pour $-2<a\leqq-1$ nous sommes dans le cas des polynomes de Laguerre généralisés de paramètre $\alpha[5]$. Si $\alpha=-1$, on a $x_{1}=0$ et $x_{1}>$
$>0,i=2,3,\ldots,n$ sont les racines du polynome de Laguerre de degré $n-1$ et de paramètre 1. Si $-2<\alpha<-1$, on a $x_{1}<0$ et $x_{i}>0,i==2,3,\ldots,n$. Lorsque $\alpha\rightarrow-2,x_{1},x_{2}$ tendent vers 0 tous les deux et les $x_{i},i=3,4,\ldots,n$ vers les racines (positives) du polynome de Laguerre de degré $n-2$ et de paramètre 2 .

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Pour $\alpha=-1$, nous avons

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{1}\right)}{l^{\prime}\left(x_{1}\right)}=-(n-1),\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=1,\quad i=2,3,\ldots,n$$

Nous avons donc $-\frac{1}{n-1}=Z^{-}<1<Z^{+}=x_{2}+1$.
Pour $-2<a<-1$, nous avons

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$$\frac{l^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\frac{x_{i}-a-1}{x_{i}},\quad i=1,2,\ldots,n$$

qui est négatif pour $i=1$ et positif pour $i=2,3,\ldots,n$. Pour $i>1$, hous avons

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$$\frac{X_{i+1}-X_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}=1-\frac{a+1}{\left(x_{i}-a-1\right)\left(x_{i+1}-a-1\right)}>0$$

et nous déduisons que

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$$\frac{x_{1}\left(x_{1}-a\right)}{x_{1}-a-1}=X_{1}=Z^{-}<0<Z^{+}=X_{2}=\frac{x_{2}\left(x_{2}-a\right)}{x_{2}-a-1}.$$

L’intervalle $\left[Z,Z^{+}\right]$existe donc et est non nul pour $-2<\alpha$. On peut facilement voir que la longueur de cet intervalle tend vers 0 pour $\alpha\rightarrow-2$.

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Disons aussi un mot sur le cas où (1) sont les racines du polynome d’Hermite de degré $n$. Dans ce cas la fonction $x+\frac{1}{\psi(x)}=x+\frac{1}{2x}$ a un maximum égal à $-\sqrt{2}$ pour $x<0$ et un minimum égal à $\sqrt{2}$ pour $x>0$. On en déduit que $Z^{-}\leqq-\sqrt{2}<\sqrt{2}\leqq Z^{+}$.

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1. 10.

   Nous dirons que le polynome d’interpolation (2) conserve la monotonie de la fonction (plus exactement: conserve la monotonie de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ ) s’il est non-décroissant sur $I$ pour toute fonction $f$ non-décroissante sur les points (1). Pour qu’il en soit ainsi il faut et il suffit que l’on ait $F^{\prime}[f,x]\geqq 0$ sur $I$ pour toute fonction $f$ non-décroissante sur les points (1). L’intervalle $I$ peut être supposé non nul

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De la formule (8) il résulte que

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$$\sum_{i=1}^{n}h_{i}^{\prime}=0$$

(23)

identiquement en $x$. La transformation d’Abel nous donne alors
$F^{\prime}[f\mid x]=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\sum_{j=i+1}^{n}h_{j}^{\prime}\right)\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(-\sum_{j=1}^{i}h_{j}^{\prime}\right)\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)$.
Nous en déduisons que le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ conserve la monotonie de la fonction si et seulement si

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$$\sum_{j=1}^{i}h_{j}^{\prime}\leqq 0,\quad i=1,2,\ldots,n-1$$

(24)

sur $I$, ou bien si et seulement si

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$$\sum_{\begin{subarray}{c}m\\ i-i+1\end{subarray}}^{n}h_{j}^{\prime}\geqq 0,\quad i=1,2,\ldots,n-1$$

($\prime$)

sur $I$.
Si les conditions (24) ou (24’) ne sont pas vérifiées, on peut dire que le polynome d’interpolation (2) ne conserve pas la monotonie de la fonction. On peut alors trouver une fonction $f$ non-décroissante sur les points (1) telle que le polynome (2) soit décroissant sur un sous-intervalle (non nul) de $I$.

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Le polynome $h_{1}$ est de degré effectif $2n-1\geqq 3$, d’où il résulte que si $F[f\mid x]$ conserve la monotonie de la fonction, il est croissant sur $I$ pour toute fonction $f$ croissante sur les points (1). On démontre facilement que, sous la meme hypothese, $F[f\mid x]$ est non-croissant respectivement decroissant sur $I$ pour toute fonction $f$ non-croissante respectivement décroissante sur les points (1). On peut donc dire que si $F[f\mid x]$ conserve la non-décroissance de la fonction, il conserve aussi la noncroissance, la croissance et la décroissance de la fonction.
11. Nous avons la propriété suivante:
II. Le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne conserve la monotonie de la fonction sur aucun voisinage ¹ ) d’un noeud.

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En effet, le polynome $h_{1}$ a toutes ses racines réelles et plus exactement le point $X_{1}\left(<x_{1}\right)$ comme racine simple et les noeuds $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ comme racines doubles. Il en résulte que la dérivée $h_{1}^{\prime}$ du polynome $h_{1}$ s’annule, en changeant de signe, sur les points $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$. On voit de même manière que la dérivée du polynome $h_{n}$ s’annule, en changeant de signe, sur les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$. La propriété II résulte alors, en tenant compte de la première condition (24) et de la dernière condition ( $24^{\prime}$ ).

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Nous avons $h_{1}^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ et le polynome $h_{1}$ est croissant sur les intervalles $\left(-\infty,x_{1}\right),\left(x_{n},\infty\right)$ (et $h_{n}$ est décroissant sur les mêmes intervalles). Il en résulte que le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ ne peut conserver la monotonie de la fonction sur un intervalle $I$ que si $I\subseteq\left[x_{1},x_{n}\right]$, mais cette condition nécessaire n’est pas, en général, suffisante.
12. Nous avons aussi la propriété suivante:
III. Il existe un voisinage droit de $x_{1}$ et un voisinage gauche ¹ ) de $x_{n}$ sur lesquels le polynome d’interpolation $F[f\mid x]$ conserve la monotonie de la fonction.

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