TIBERIU POPOVICIU

1. 1.

   Supposons que le reste $R[f]$ d’une formule d’approximation linéaire soit une fonctionnelle linéaire définie sur l’espace vectoriel $S$, formé par des fonctions $f=f(x)$, définies et continues sur un intervalle $I$. Les fonctions $f$ et la fonctionnelle linéaire $R[f]$ sont réelles et $S$ contient tous les polynomes.

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Nous disons que $R[f]$ est de la forme simple si’l existe un entier $n\geqq-1$. tel que l’on ait

où $K=R\left[x^{n+1}\right]$ est $\neq 0$, indépendant de la fonction $f$ et $\xi_{i},i=1,2,\ldots\ldots,n+2$ sont $n+2$ points distincts de l’intervalle $I$ (pouvant, en général, dépendre de la fonction $f$ et situés même à l’intérieur de $I$ si $n\geqq 0$ ). La notation $\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]$ désigne la différence divisée de la fonction $f$ sur les noeuds $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$. Pour ces notions et les quelques propriétés qui vont suivre nous prions le lecteur de se rapporter à nos travaux antérieurs, en particulier, à notre travail du volume précédent de cette revue [3].

Dans ce cas $n$ est le degré d’exactitude du reste et jouit de la propriété (caractéristique) que $R[f]$ est nul sur tout polynome de degré $n$, mais $R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$.

Rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour que $R[f]$, supposé du degré d’exactitude $n$, soit de la forme simple est que l’on ait $R\left[f^{\prime}\right]\neq 0$ pour tout $f\in S$, qui est convexe d’ordre $n^{\prime}$ (sur I). Dans ce cas il est, d’ailleurs, nécessaire que $R[f]$ garde son signe pour $f$ convexe d’ordre $n$. En remarquant que la fonction $x^{n+1}$ est bien convexe d’ordre $n$, la condition précédente peut aussi s’écrire
(2)

La condition (2), pour tout $f\in S$ convexe d’ordre $n$, est donc necéssaire et suffisante pour que $R[f]$ soit de la forme simple (1). Remarquons que pour cela est aussi nécessaire (mais non pas suffisante) que l’on ait $R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ et
(3)

pour toute fonction $/\in S$, non-concave d’ordre $n$.
mule.
2. Si $R[/]$ est de la forme simple (1), on peut le délimiter par la for-

D’ailleurs, si $f$ a une dérivée d’ordre $n\not-1$ (bornée) sur $I$, le nombre
(5) est donné par l’égalité

Mais, la délimitation (4) est valable dans un cas plus général. Notamment, nous allons démontrer que:

La délimitation (4) est valable si $R[t]$ est du degré d’exactitude $n$ et si l’inégalité (3) est vérifiée pour toute fonction $f\in S$, non-concave d’ordre $n$.

Nous avons $R\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ et pour la démonstration nous pouvons supposer que $R\left[x^{n+1}\right]>0$. Considérons alors la fonctionnelle linéaire (définie aussi sur $S$ )
(6)

où $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ sont $n+2$ points distincts fixes (indépendants de la fonction $f$ ) de lintervalle $I$ et $\varepsilon$ est un nombre positif quelconque. Nous allons montrer que $R_{1}[f]$ est de la forme simple (1). En effet, si nous tenons compte du fait que la différence divisée sur $n+2$ noeuds (non tous confondus) d’une fonction convexe d’ordre $n$ est, par définition positive, nous déduisons que $R_{1}[f]>0$, pour $f\in S$ convexe d’ordre $n$. La propriété est démontrée. Compte tenant de (5) et de (6), en écrivant aussi la délimitation (4) correspondante pour $R_{1}[t]$, nous obtenons

Cette inégalité étant vraie quelque soit le nombre positif $\varepsilon$, il résulte que nous avons (4) et la propriété cherchée est démontrée. Si nous avons $R\left[x^{n+1}\right]<0$, la démonstration est tout à fait analogue. On prend alors dans (6) pour $\varepsilon$ un nombre négatif quelconque.
3. Pour appliquer le propriété précédente il suffit de connaître des critères permettant d’affirmer que (sous l’hypothèse $R\left[x^{n+1}\right]\not z^{\prime}0$ ) l’inégalité
(3) est vérifiée pour toute fonction $f\in S$ non-concave d’ordre $n$. Nous allons faire connaître ici un tel critère qui résulte de la remarquable propriété des polynomes d’approximation de S. N. Bernstein de conserver les caractères de convexité des fonctions [2].

Supposons que $I=[0,1]$ et que les éléments de $S$ aient une dérivée d’ordre $j(\geq 0)$ continue sur $[0,1]$. Considérons la fonctionnelle linéaire $R[f]$, du degré d’exactitude $n$ et qui soit bornée par rapport à la norine

Posons

Sous les hypothèses précédentes, nous avons la propriété suivante:
Pour que l’inégalité (3) soit vérifiée pour toute fonction $f\in S$ non-concave d’ordre $n$, il (faut et il) suffit que l’on ait $R\left[x^{n+1}\right]R\left[\pi_{k,l}\right]\geqq 0$, quels que soient les entiers non-négatifs $k$ et $l$.

Remarquons que $\pi_{k,l}^{(n+1)}=x^{k}(1-x)^{l}$. Si

est le polynome de S.N. Bernstein de degré $m$, pour sa dérivée d’ordre $n+1$ nous avons ( $m\geqslant n+1$ ),
$B_{m}^{(n+1)}=\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!}\sum_{i=0}^{m-1}\binom{m-n-1}{i}\left[\frac{i}{m},\frac{i+1}{m},\ldots,\frac{i+n+1}{m};f\right]\pi_{i,m-n-1-i}^{(n+1)}$ d’où

où $\beta_{m}$ est un polynome de degré $n$.
D’après s. n. BERNSTEIN [1] et S. WIGERT [4] si la dérivée $f^{(l)}$ d’ordre $i(\geqq 0)$ de la fonction $f$ existe et est continue sur $[0,1]$, la suite $\left(B_{m}^{(i)}\right)$ tend, pour $m\rightarrow\infty$, uniformément sur $[0,1]$, vers $f^{(i)}$. Il en résulte que $R\left[B_{m}\right]\rightarrow\rightarrow R[f]$ pour $m\rightarrow\infty$, donc
(8)

Si nous remarquons que

et que les différences divisées sur $n+2$ nœuds d’une fonction non-concave d’ordre $n$ sont non-négatives, il en résulte que

pour une fonction $f$ non-concave d’ordre $n$. Compte tenant de (8), la propriété cherchée en résulte.

7. Pour donner une application soit $R[f]$ le reste dans la formule de quadrature numérique

où $f$ a une dérivée d’ordre 3 continue sur $[0,1]$.

Dans ce cas $R[f]$ est du degré d’exactitude $n=5$ et est borné par rapport à la norme (7) pour $j=3$. Dans notre cas

Nous déduisons

et un calcul simple nous donne

La délimitation (4) est donc bien applicable dans ce cas et nous avons

Si la dérivée d’ordre $6$, $f^{(6)}$, existe sur $[0,1]$, nous avons