Sur la distribution des zeros de certains polynômes minimisants

PAR

Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure.

Note présentée à l'Académie Roumaine par Mr. G. Tiţeica, M. A. R.
I. Soit $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ une fonction réelle, uniforme et définie pour les valeurs $x_1<x_2<\dots <x_n$$x_1<x_2<\dots <x_n$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$x_1<x_2<\dots <x_n$ de la variable réelle $x$$x$xx$x$. Considérons l'expression

${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$lambda_(1),lambda_(2),dots,lambda_(n)\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ étant des coefficients positifs. Parmi tous les polynomes $P(x)$$P(x)$P(x)P(x)$P(x)$ de degré $m<n$$m<n$m < nm<n$m<n$ de la forme $x^m+\dots$$x^m+\dots$x^(m)+dotsx^{m}+\ldots$x^m+\dots$ il existe un pour lequel $E(P)$$E(P)$E(P)E(P)$E(P)$ est minimum. Soit $P_m$$P_m$P_(m)P_{m}$P_m$ ce polynome, que nous pouvons appeler polynome minimisant de degré $m$$m$mm$m$ de l'expression (1). Le polynome $P_m$$P_m$P_(m)P_{m}$P_m$ est tel que pour tout autre polynome $Q(x)$$Q(x)$Q(x)Q(x)$Q(x)$ de degré $<m$$<m$< m<m$<m$ on a

On en déduit facilement que

présente au moins $m$$m$mm$m$ variations de signes.
Dans la suite (3) nous supprimons les termes nuls. Nous dirons aussi, pour simplifier le langage, que les zéros du polynome $P_m(x)$$P_m(x)$P_(m)(x)P_{m}(x)$P_m(x)$ séparent les zéros du polynome $P_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$$P_n(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_n\right)$P_(n)(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n))P_{n}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)$P_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$. Les polynomes $P_m(x),P_n(x)$$P_m(x),P_n(x)$P_(m)(x),P_(n)(x)P_{m}(x), P_{n}(x)$P_m(x),P_n(x)$ ont au plus $n-m-1$$n-m-1$n-m-1n-m-1$n-m-1$ zéros communs.
2. Soit maintenant 1'expression

( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) étant un intervalle fini et $p(x)$$p(x)$p(x)p(x)$p(x)$ une fonction sommable non-négative dans $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$. Désignons maintenant par $P_n(x)$$P_n(x)$P_(n)(x)P_{n}(x)$P_n(x)$ le polynome qui rend minimum l'expression $I(P)$$I(P)$I(P)I(P)$I(P)$ dans le domaine des polynomes $P$$P$PP$P$ de degré $n$$n$nn$n$ de la forme $x^n+\dots$$x^n+\dots$x^(n)+dotsx^{n}+\ldots$x^n+\dots$ Soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ les zéros de ${\mathrm{P}}_n$${\mathrm{P}}_n$P_(n)\mathrm{P}_{n}${\mathrm{P}}_n$ qui, nous le savons, sont tous réels et distincts.

Un polynome arbitraire $Q(x)$$Q(x)$Q(x)Q(x)$Q(x)$ de degré $<n$$<n$< n<n$<n$ s'écrit sous la forme

Compte tenant de la condition d'orthogonalité on a
avec

Nous en déduisons la propriété suivante:
Les zéros d'un polynome de la suite des polynomes minimisants (polynomes orthogonaux)

sont séparés par les zéros de tout polynome qui le précède.
Remarque. La propriété reste vraie si on remplace dans 1'expression (4) $dx$$dx$dxd x$dx$ par $d\alpha (x),\alpha (x)$$d\alpha (x),\alpha (x)$d alpha(x),alpha(x)d \alpha(x), \alpha(x)$d\alpha (x),\alpha (x)$ étant une fonction non-décroissante et si on prend des intégrales de STIELTJES (l'expression (I) est de cette forme). On peut aussi considérer un intervalle infini. On choisit, bien entendu, les fonction $\alpha (x),p(x)$$\alpha (x),p(x)$alpha(x),p(x)\alpha(x), p(x)$\alpha (x),p(x)$ de manière que les intégrales qui interviennent dans la détermination des polynomes minimisants aient un sens (que les moments existent).
3. Soit $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ un polynome de degré $n$$n$nn$n$ ayant tous ses zéros réels et distincts et formons la suite de STURM de ce polynome

KRONECKER a démontré ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ) que si $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ sont les zéros de $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ on a

ce qui montre que la suite (5) est orthogonale, donc.

Si les zéros du polynome $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ sont tous réels et distincts, les zéros d'un polynome de la suite de STURM (5) sont séparés par les zéros de tout polynome qui le suit.

Remarque. La propriété reste vraie si $F_1(x)$$F_1(x)$F_(1)(x)F_{1}(x)$F_1(x)$ est un polynome de degré $n$$n$nn$n$-I dont les zéros séparent ceux de $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$.
4. Considérons plus généralement une suite de fonctions

uniformes et continues dans l'intervalle ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) et supposons que pour tout $n$$n$nn$n$ et pour toute suite de points ${\xi }_0<\xi ,<{\xi }_2\dots <{\xi }_n$${\xi }_0<\xi ,<{\xi }_2\dots <{\xi }_n$xi_(0) < xi, < xi_(2)dots < xi_(n)\xi_{0}<\xi,<\xi_{2} \ldots<\xi_{n}${\xi }_0<\xi ,<{\xi }_2\dots <{\xi }_n$, de ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) le déterminant

soit $>O$$>O$> O>O$>O$. Nous savons alors qu'une combinaison linéaire de la forme

jouit des propriétés suivantes
I. ${\phi }_n$${\phi }_n$varphi_(n)\varphi_{n}${\phi }_n$ est complètement déterminée par ses valeurs en $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ points de l'intervalle ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ).
2. ${\phi }_n$${\phi }_n$varphi_(n)\varphi_{n}${\phi }_n$ s'annule au plus $n$$n$nn$n$ fois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ).
3. si ${\phi }_n$${\phi }_n$varphi_(n)\varphi_{n}${\phi }_n$ s'annule $n$$n$nn$n$ fois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) elle change de signe en chacun de ses zéros.

Soit maintenant 1'expression

$p(x)$$p(x)$p(x)p(x)$p(x)$ étant la fonction définie plus haut.
Parmi toutes les combinaisons linéaires de la forme (6), avec $c_n=\mathrm{I}$$c_n=\mathrm{I}$c_(n)=Ic_{n}=\mathrm{I}$c_n=\mathrm{I}$, il existe une pour laquelle $J\left({\phi }_n\right)$$J\left({\phi }_n\right)$J(varphi_(n))J\left(\varphi_{n}\right)$J\left({\phi }_n\right)$ est minimum. Soit ${\phi }_n{}^{(q)}$${\phi }_n{}^{(q)}$varphi_(n)^((q))\varphi_{n}{ }^{(q)}${\phi }_n{}^{(q)}$ cette combinaisons linéaire.

Nous avons ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ )

où ${\phi }_{n-1}$${\phi }_{n-1}$varphi_(n-1)\varphi_{n-1}${\phi }_{n-1}$ est une combinaisons linéaire quelconque entre les $n$$n$nn$n$ premières fonctions $f_i$$f_i$f_(i)f_{i}$f_i$.

Il en résulte que ${\phi }_n{}^{(q)}$${\phi }_n{}^{(q)}$varphi_(n)^((q))\varphi_{n}{ }^{(q)}${\phi }_n{}^{(q)}$ change de signe au moins $n$$n$nn$n$ tois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ). On voit aussi que l'expression

change de signe au moins $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ fois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) quel que soient $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$ et $\beta$$\beta$beta\beta$\beta$.
De là resulte que $\alpha {\phi }_n^{(q)}+\beta {\phi }_{n-1}^{(q)}$$\alpha {\phi }_n^{(q)}+\beta {\phi }_{n-1}^{(q)}$alphavarphi_(n)^((q))+betavarphi_(n-1)^((q))\alpha \varphi_{n}^{(q)}+\beta \varphi_{n-1}^{(q)}$\alpha {\phi }_n^{(q)}+\beta {\phi }_{n-1}^{(q)}$ change de signe au moins $n$$n$nn$n$-I fois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) quel que soient a et $\beta$$\beta$beta\beta$\beta$. On peut en conclure donc, comme la fait O. D. KELLOGG pour le cas $q=2^1$$q=2^1$q=2^(1)q=2^{1}$q=2^1$ ), que

Les zéros de ${\phi }_n^{(q)}$${\phi }_n^{(q)}$varphi_(n)^((q))\varphi_{n}^{(q)}${\phi }_n^{(q)}$ sont séparés par ceux de ${\phi }_n{}^{(q)}{}^{-}$${\phi }_n{}^{(q)}{}^{-}$varphi_(n)^((q))^(-)\varphi_{n}{ }^{(q)}{ }^{-}${\phi }_n{}^{(q)}{}^{-}$.
5. Considérons encore l'expression $J(f-{\phi }_n)f(x)$$J\left(f-{\phi }_n\right)f(x)$J(f-varphi_(n))f(x)J\left(f-\varphi_{n}\right) f(x)$J(f-{\phi }_n)f(x)$ étant une fonction continue. Parmi toutes les combinaisons linéaires de la forme (6) il existe une - que nous allons désigner par ${\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$${\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$Phi_(n)^((q))\Phi_{n}^{(q)}${\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$ - pour laquelle $J$$J$JJ$J$ ( $f-{\phi }_n$$f-{\phi }_n$f-varphi_(n)f-\varphi_{n}$f-{\phi }_n$ ) atteint son minimum.

Comme plus haut on montre que la différence

et par conséquence aussi la différence

change de signe au moins $n$$n$nn$n$-I fois dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ).
Revenons au cas simple des polynomes, quand la suite des fonctions $f_i$$f_i$f_(i)f_{i}$f_i$ se réduit à

Nous voyons alors que l'équation

a toutes ses racines réelles.
Nous savons que si $q\to \mathrm{\infty },{\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$$q\to \mathrm{\infty },{\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$q rarr oo,Phi_(n)^((q))q \rightarrow \infty, \Phi_{n}^{(q)}$q\to \mathrm{\infty },{\mathrm{\Phi }}_n^{(q)}$ tend uniformément vers le polynome de TCHEBYCHEF de degré $n$$n$nn$n$ de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, donc

Si $T_0,T_1,\dots ,T_n,\dots$$T_0,T_1,\dots ,T_n,\dots$T_(0),T_(1),dots,T_(n),dotsT_{0}, T_{1}, \ldots, T_{n}, \ldots$T_0,T_1,\dots ,T_n,\dots$ sont les polynomes de TCHEBYCHEF de meilleure approximation de la fonction continue $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans l'intervalle $(a,b),l^{\prime }é-$$(a,b),l^{\prime }é-$(a,b),l^(')é-(a, b), l ' e ́-$(a,b),l^{\prime }é-$ quation de degré $n$$n$nn$n$

a toutes ses racines réelles.