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Traduction en anglais du titre
On the approximation of higher order convex functions (I)
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T. Popoviciu, Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre supérieur (I), Mathematica, 10 (1935), pp. 49-54 (in French).
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Mathematica
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Publié par les Éditions de l’Académie roumaine
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SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS CONVEXES D'ORDRE SUPÉRIEUR.
Reçue le 20 Mars 1934.
Soit f(x)f(x) une fonction définie dans l'intervalle (0,1)(0,1).
Définissons l'expression [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] par la relation de récurrence
Soit f(x)f(x) une fonction définie dans l'intervalle (0,1)(0,1).
Définissons l'expression [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] par la relation de récurrence
{:[[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=([x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f]-[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f])/(x_(n+1)-x_(1))],[[x_(1);f]=f(x_(1)).]:}\begin{gathered}
{\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{\left[x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]}{x_{n+1}-x_{1}}} \\
{\left[x_{1} ; f\right]=f\left(x_{1}\right) .}
\end{gathered}
Le quotient [x_(1),x_(2),dotsx_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1} ; f\right] est la différence divisée d'ordre nn de la fonction f(x)f(x) par rapport aux points distincts x_(1),x_(2),dotsx_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1}. Soit
{: bar(lim)_([dans(0,1)])∣x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]∣=Delta_(n)[f].\left.\varlimsup_{[\operatorname{dans}(0,1)]} \mid x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \mid=\Delta_{n}[f] .
Delta_(n)[f]\Delta_{n}[f] est la nème borne de f(x)f(x) dans (0,1)(0,1).
Considérons les points
(1)
Considérons les points
(1)
x_(1) < x_(2) < dots. < x_(m)x_{1}<x_{2}<\ldots .<x_{m}
alors
v_(m)=sum_(i=1)^(m-n-1)|[x_(i+1),x_(i+2),dots,x_(i+n+1);f]-[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+n);f]|v_{m}=\sum_{i=1}^{m-n-1}\left|\left[x_{i+1}, x_{i+2}, \ldots, x_{i+n+1} ; f\right]-\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+n} ; f\right]\right|
est la nème variation de f(x)f(x) sur les points (1).
Si nous posons
Si nous posons
bar(lim)_(["dans "(0,1)])v_(m)=grad_(n)[f]\varlimsup_{[\text {dans }(0,1)]} v_{m}=\nabla_{n}[f]
alors V_(n)[f]V_{n}[f] est la nème variation totale de f(x)f(x) dans (0,1)(0,1).
Nous dirons enfin que la fonction f(x)f(x) est convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe ou concave d'ordre nn dans (0,1)(0,1) si ses différences divisées d'ordre n+1n+1 sur tout groupe de n+2n+2 points (0,1)(0,1) sont > 0, >= 0,=0 <= 0>0, \geq 0,=0 \leq 0 ou < 0<0.
Cies fonctions forment la classe des fonction d'ordre nn.
Nous dirons que la fonction est de la classe ( a,b,c,dotsa, b, c, \ldots ) si elle possède des propriétés d'ordre a,b,c,dotsa, b, c, \ldots d'une nature de convexité déterminée. Pour l'uniformité on peut appeler fonction d'ordre - 1\mathbf{1} toute fonction ne changeant pas de signe ( 1 ).
Nous dirons que la fonction est de la classe ( a,b,c,dotsa, b, c, \ldots ) si elle possède des propriétés d'ordre a,b,c,dotsa, b, c, \ldots d'une nature de convexité déterminée. Pour l'uniformité on peut appeler fonction d'ordre - 1\mathbf{1} toute fonction ne changeant pas de signe ( 1 ).
- Le polynome
P_(n)=P_(n)(x;f)=sum_(i=0)^(n)f((i)/(n))*((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-t)\mathrm{P}_{n}=\mathrm{P}_{n}(x ; f)=\sum_{i=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-t}
est le polynome de M. S. Bernstein de degré nn de la fonction donnée.
Posons pour abréger les notations
Posons pour abréger les notations
Delta_(k)^(i)◻[(i+k)/(n),(i+k-1)/(n),dots,(i)/(n);f],quad i=0,1,dots,n-k,k=1,2,dots\Delta_{k}^{i} \square\left[\frac{i+k}{n}, \frac{i+k-1}{n}, \ldots, \frac{i}{n} ; f\right], \quad i=0,1, \ldots, n-k, k=1,2, \ldots
Un calcul simple nous donne
(dP_(n))/(dx)=sum_(i=0)^(n-1)Delta_(1)^(i)((n-1)/(i))x^(i)(1-x^(i))^(n-1-i)\frac{d \mathrm{P}_{n}}{d x}=\sum_{i=0}^{n-1} \Delta_{1}^{i}\binom{n-1}{i} x^{i}\left(1-x^{i}\right)^{n-1-i}
et en général
(2) (d^(k)P_(n))/(dx^(k))=k!(1-(1)/(n))(1-(2)/(n))dots\frac{d^{k} \mathrm{P}_{n}}{d x^{k}}=k!\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots
(2) (d^(k)P_(n))/(dx^(k))=k!(1-(1)/(n))(1-(2)/(n))dots\frac{d^{k} \mathrm{P}_{n}}{d x^{k}}=k!\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots
dots(1-(k-1)/(n))sum_(l=0)^(n-k)Delta_(k)^(i)((n-k)/(i))x^(l)(1-k)^(n-k-1)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \sum_{l=0}^{n-k} \Delta_{k}^{i}\binom{n-k}{i} x^{l}(1-k)^{n-k-1}
Nous avons
Delta_(0)[P_(n)] <= Delta_(0)[f]\Delta_{0}\left[\mathrm{P}_{n}\right] \leq \Delta_{0}[f]
Nous savons que ( ^(2){ }^{2} )
k!Delta_(k)[P_(n)]=Delta_(0)[P_(n)^((k))]k!\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]=\Delta_{0}\left[\mathrm{P}_{n}^{(k)}\right]
donc
Delta^(˙)_(k)[P_(n)] <= (1-(1)/(n))(1-(2)/(n))cdots(1-(k-1)/(n))*Delta_(k)[f]\dot{\Delta}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right] \leq\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \cdot \Delta_{k}[f]
( ^(1){ }^{1} ) Pour plus de détails voir notre Thèse Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles. Paris 1933.
( ^(2){ }^{2} ) Voir loc. cit. (1), p. 45.
( ^(2){ }^{2} ) Voir loc. cit. (1), p. 45.
On pcut encore écrire
Delta_(k)[P_(n)] <= Delta_(k)[f],quad k=0,1,quadDelta_(k)[P_(n)] < Delta_(k)[f],quad k > 1,\Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right] \leq \Delta_{k}[f], \quad k=0,1, \quad \Delta_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]<\Delta_{k}[f], \quad k>1,
donc:
La kème borne du polynome P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f) est au plus égale à celle de la fonction si k=0,1k=0,1 et est plus petite si k < 1k<1.
2. Nous pouvons écrire encore
La kème borne du polynome P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f) est au plus égale à celle de la fonction si k=0,1k=0,1 et est plus petite si k < 1k<1.
2. Nous pouvons écrire encore
{:[(d^(k)P_(n))/(dx^(k))=k!(1-{:(1)/(n))(1-(2)/(n))cdots(1-(k-1)/(n))*{Delta_(k)^(n-k)+:}],[+(n-k)sum_(i=0)^(n-k-1)[Delta_(k)^(i)-Delta_(k)^(i+1)]((n-k-1)/(i))int_(x)^(1)t^(l)(1-t)^(n-k-i-1)dt]:}\begin{aligned}
\frac{d^{k} \mathrm{P}_{n}}{d x^{k}}=k!(1- & \left.\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \cdot\left\{\Delta_{k}^{n-k}+\right. \\
& +(n-k) \sum_{i=0}^{n-k-1}\left[\Delta_{k}^{i}-\Delta_{k}^{i+1}\right]\binom{n-k-1}{i} \int_{x}^{1} t^{l}(1-t)^{n-k-i-1} d t
\end{aligned}
et on en déduit
V_(k)[P_(n)] <= V_(k)[f],quad k=0,1,quadV_(k)[P_(n)] < V_(k)[f],quad k > 1\mathrm{V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right] \leq \mathrm{V}_{k}[f], \quad k=0,1, \quad \mathrm{~V}_{k}\left[\mathrm{P}_{n}\right]<\mathrm{V}_{k}[f], \quad k>1
donc:
La kème variation totale du polynome P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f) est au plus égale d celle de la fonction si k=0,1k=0,1 et est plus petitie si k > 1k>1.
La kème variation totale du polynome P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f) est au plus égale d celle de la fonction si k=0,1k=0,1 et est plus petitie si k > 1k>1.
On peut exprimer les deux propriétés précédentes en disant que le polynome de M. S. Bernstein conserve les bornes et les variations.
3. La formule (2) nous montre encore que toutes les fois que f(x)f(x) jouit d'une propriété de convexité déterminée (d'ordre < n<n ) le polynome P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f) aura la même propriété. Nous supposons ici que la convexité et la polynomialité sont des cas particuliers de la non-concavité.
3. La formule (2) nous montre encore que toutes les fois que f(x)f(x) jouit d'une propriété de convexité déterminée (d'ordre < n<n ) le polynome P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f) aura la même propriété. Nous supposons ici que la convexité et la polynomialité sont des cas particuliers de la non-concavité.
Nous exprimons cette propriété en disant que le polynome ed M. Bernstein conserve la classe de la fonction.
Une propriété démontrée dans notre travail cité ( ^(3){ }^{3} ) permet d'établir que
Il existe des polynomes d'une classe donnée dans (0,1)(0,1) cette classe contenant un nombre fini de conditions de convexité ou concavité choisies arbitrairement.
On sait enfin que si la fonction f(x)f(x) est continue dans (0,1)(0,1) le polynome P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f) tend uniformément vers f(x)f(x) dans tout l'intervalle pour n rarr oon \rightarrow \infty ( ^(4){ }^{4} ). Nous avons donc la propriété suivante:
( ^(3){ }^{3} ) Voir loc. cit. (1) p. 20.
(4) S. Bernstein Communications de la Soc. Math. de Karkow ser. 2, t. 13 (1912) (Citation du livre de MM. Pólya et Szegö „Aufgaben und Lehrsätze" t. I. p. 230). Voir aussi S. Wigert Arkiv för Mat. Astr. och, Physik t. 20, (1927), p, 1.
( ^(3){ }^{3} ) Voir loc. cit. (1) p. 20.
(4) S. Bernstein Communications de la Soc. Math. de Karkow ser. 2, t. 13 (1912) (Citation du livre de MM. Pólya et Szegö „Aufgaben und Lehrsätze" t. I. p. 230). Voir aussi S. Wigert Arkiv för Mat. Astr. och, Physik t. 20, (1927), p, 1.
Toute fonction continue dans (0,1)(0,1) est la limite d'une suite edy polynomes conservant les bornes, les variations et la classe de la fonction, convergeant uniformément dans tout l'intervalle.
4. L'ordre de l'approximation par les polynomes P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f) s'obtient facilement. Désignons par omega(delta)\omega(\delta) le module d'oscillation de la fonction f(x)(5)f(x)(5). Nous avons
(3) |f(x)-P_(n)(x;f)| <= sum_(i=0)^(n)|f(x)-f((i)/(n))|((n)/(i))x^(t)(1-x)^(n-t) <=\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x ; f)\right| \leq \sum_{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\binom{n}{i} x^{t}(1-x)^{n-t} \leq
4. L'ordre de l'approximation par les polynomes P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f) s'obtient facilement. Désignons par omega(delta)\omega(\delta) le module d'oscillation de la fonction f(x)(5)f(x)(5). Nous avons
(3) |f(x)-P_(n)(x;f)| <= sum_(i=0)^(n)|f(x)-f((i)/(n))|((n)/(i))x^(t)(1-x)^(n-t) <=\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x ; f)\right| \leq \sum_{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\binom{n}{i} x^{t}(1-x)^{n-t} \leq
{:[ <= sum_(i=0)^(n)omega(|x-(i)/(n)|)((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i) < ],[ < ((1)/(delta)sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)+1)omega(delta)]:}\begin{aligned}
\leq \sum_{i=0}^{n} \omega & \left(\left|x-\frac{i}{n}\right|\right)\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}< \\
& <\left(\frac{1}{\delta} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}+1\right) \omega(\delta)
\end{aligned}
Or dans l'intervalle ((j)/(n),(j+1)/(n))\left(\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n}\right) nous avons
{:[sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)=2((n-1)/(j))x^(j+1)(1-x)^(n-1) <= ],[ <= 2((n-1)/(j))_(((j)/(n),(j+1)/(n)))x^(j+1)(1-x)^(n-1)=2((n-1)/(i))((1+1)^(j+1)(n-j)^(n-j))/((n+1)^(n+1))]:}\begin{aligned}
& \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\left(\frac{n}{i}\right) x^{i}(1-x)^{n-i}=2\binom{n-1}{j} x^{j+1}(1-x)^{n-1} \leq \\
& \leq 2\binom{n-1}{j}_{\left(\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n}\right)} x^{j+1}(1-x)^{n-1}=2\binom{n-1}{i} \frac{(1+1)^{j+1}(n-j)^{n-j}}{(n+1)^{n+1}}
\end{aligned}
et on en déduit
max._((0,1))sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))xi(1-x)^(n-i)=M_(n)={[2((n-1)/((n)/(2)))(((n)/(2)+1)^((n)/(2)+1)((n)/(2))^((n)/(2)))/(n+1)^(n+1))","x" pair "],[(1)/(2^(n))((n-1)/((n-1)/(2)))","n" impair. "]:}\operatorname{max.}_{(0,1)} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x i(1-x)^{n-i}=\mathrm{M}_{n}=\left\{\begin{array}{r}2\binom{n-1}{\frac{n}{2}} \frac{\left(\frac{n}{2}+1\right)^{\frac{n}{2}+1}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{n+1)^{n+1}}, x \text { pair } \\ \frac{1}{2^{n}}\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}, n \text { impair. }\end{array}\right.
On voit immédiatement que
max._((0,1))sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))xi(1-x)^(n-i)=M_(n)={[2((n-1)/((n)/(2)))(((n)/(2)+1)^((n)/(2)+1)((n)/(2))^((n)/(2)))/(n+1)^(n+1))","x" pair "],[(1)/(2^(n))((n-1)/((n-1)/(2)))","n" impair. "]:}\operatorname{max.}_{(0,1)} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x i(1-x)^{n-i}=\mathrm{M}_{n}=\left\{\begin{array}{r}2\binom{n-1}{\frac{n}{2}} \frac{\left(\frac{n}{2}+1\right)^{\frac{n}{2}+1}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{n+1)^{n+1}}, x \text { pair } \\ \frac{1}{2^{n}}\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}, n \text { impair. }\end{array}\right.
On voit immédiatement que
n^((1)/(2))M_(n)rarr(1)/(sqrt(2pi))n^{\frac{1}{2}} M_{n} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
et
(2n-1)^((1)/(2))M_(2n+1) > (2n+1)^((1)/(2))M_(2n+1)(2 n-1)^{\frac{1}{2}} M_{2 n+1}>(2 n+1)^{\frac{1}{2}} M_{2 n+1}
»Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle" p. 7.
độoù
M_(1)=(1)/(2),M_(2n+1) <= (sqrt3)/(4sqrt(2n+1))quad n=1,2,dots\mathrm{M}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{M}_{2 n+1} \leq \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2 n+1}} \quad n=1,2, \ldots
độoù
M_(1)=(1)/(2),M_(2n+1) <= (sqrt3)/(4sqrt(2n+1))quad n=1,2,dots\mathrm{M}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{M}_{2 n+1} \leq \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2 n+1}} \quad n=1,2, \ldots
Si nn est pair ( n >= 2n \geq 2 ) on établit facilement que
M_(n) < M_(n+1)sqrt((n+2)/(n)) <= (sqrt3)/(4sqrt(n+1))sqrt((n+2)/(n)) <= (1)/(2sqrtn).\mathrm{M}_{n}<\mathrm{M}_{n+1} \sqrt{\frac{n+2}{n}} \leq \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{n+1}} \sqrt{\frac{n+2}{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}} .
Donc quel que soit nn
M_(n) <= (1)/(2sqrtn)\mathrm{M}_{n} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}
Faisant delta=(1)/(sqrtn)\delta=\frac{1}{\sqrt{n}} dans la formule (3) nous avons
|f(x)-P_(n)(x;f)| < (3)/(2)omega((1)/(sqrtn))quad" dans "(0,1)(6)\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x ; f)\right|<\frac{3}{2} \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \quad \text { dans }(0,1)(6)
L'approximation et en général effectivement de l'ordre de omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right). Soit en effet la fonction f(x)=|(1)/(2)-x|f(x)=\left|\frac{1}{2}-x\right|. On a dans ce cas omega(delta)=delta\omega(\delta)=\delta pour delta <= (1)/(2)\delta \leq \frac{1}{2} et
P_(2n+1)((1)/(2);f)-f((1)/(2))=(1)/(2^(2n+1))((2n)/(n))quad n > 1\mathrm{P}_{2 n+1}\left(\frac{1}{2} ; f\right)-f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{2 n+1}}\binom{2 n}{n} \quad n>1
d'où
max.|f(x)-P_(2n+1)(x;f)| >= (1)/(sqrt(2pi))*(1)/(sqrt(2n+1))=(1)/(sqrt(2pi))^(omega)((1)/(sqrt(2n+1)))^((7))\operatorname{max.}\left|f(x)-\mathrm{P}_{2 n+1}(x ; f)\right| \geq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{ }^{\omega}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n+1}}\right){ }^{(7)}.
( ^(6){ }^{6} ) La démonstration donnée dans le livre cité de MM. Pólya et Szegö me donne que
max.|f(x)-P_(2n+1)(x;f)| >= (1)/(sqrt(2pi))*(1)/(sqrt(2n+1))=(1)/(sqrt(2pi))^(omega)((1)/(sqrt(2n+1)))^((7))\operatorname{max.}\left|f(x)-\mathrm{P}_{2 n+1}(x ; f)\right| \geq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{ }^{\omega}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n+1}}\right){ }^{(7)}.
( ^(6){ }^{6} ) La démonstration donnée dans le livre cité de MM. Pólya et Szegö me donne que
|f(x)-P_(n)(x;f)| < omega((1)/((4)/(sqrtn)))+(Delta_(0)[f])/(2sqrtn)\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x ; f)\right|<\omega\left(\frac{1}{\frac{4}{\sqrt{n}}}\right)+\frac{\Delta_{0}[f]}{2 \sqrt{n}}
Si la fonction vérifie une condition de Lipschitz ordinaire on a
|t(x)-P_(n)(x;f)| < (3)/(2)(Delta_(1)[f])/(sqrtn).\left|t(x)-P_{n}(x ; f)\right|<\frac{3}{2} \frac{\Delta_{1}[f]}{\sqrt{n}} .
M. Wigert ne donne que l'approximation
(3)/(2)root(3)(Delta_(0)[f]*Delta_(1)[f]^(2))*(1)/(root(3)(n)).\frac{3}{2} \sqrt[3]{\Delta_{0}[f] \cdot \Delta_{1}[f]^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{n}} .
(7) Nons avons supposé que la fonction est définie dans l'intervalle (0,1)(0,1) uniquement pour simplifier l'éxposé. On aurrait pu considérer des fonc-
- (5) Pour les propriétés de omega(delta)\omega(\delta) voir par ex. C_(H)\mathrm{C}_{\mathrm{H}}. de la Vallee Poussin