ThÉORÈme 1. Pour que la fonctionnelle linéaire $R[f]$, de degré d’exactitude $m$, soit de la forme simple, il faut et il suffit que l’on ait $R[f]\neq 0$, pour toute fonction $f(x)\in S$ convexe d’ordre m.

Pour la notion et les propriétés des fonctions convexes (non-concaves, nonconvexes, concaves) d’ordre $m$ et pour la démonstration du théorème 1 , le lecteur peut consulter mes travaux antérieurs. La fonction $f(x)$ est dite convexe d’ordre $m$ sur $I$ si toutes ses différences divisées d’ordre $m+1$, sur des noeuds distincts, sont positives. En particulier dans mes mémoires de „Mathematica" [7, 8] on peut trouver diverses applications et diverses généralisations de la notion de simplicité d’une fonctionnelle linéaire.

Si $m\geqq 0$ on peut même affirmer que les points $\xi_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,m+2$ de la formule (3) sont à l’intérieur de l’intervalle $I$.

Si $m\geqq 0$ et si $f(x)$ a une dérivée d’ordre $m+1$ à l’intérieur de $I$, nous avons, grâce à une formule de la moyenne importante de A. Cauchy [1],

en supposant que $R[f]$ est de degré d’exactitude $m$ et qu’il est de la forme simple, $\xi$ étant un point à l’intérieur de l’intervalle $I$.

La formule (4) peut, en particulier, servir à donner une borne supérieure de $R[f]$ lorsqu’on connaît $f^{(m+1)}(x)$, la dérivée $(m+1)^{\text{ième }}$ de la fonction $f(x)$.
4. Revenons à la formule de quadrature (1). Nous allons démontrer d’abord que, sous l’hypothèse H. 1 et en supposant que $R_{n}[f]$ soit de degré d’exactitude $m$, les coefficients $d_{\alpha},\alpha=0,1,\ldots,m-1$ sont déterminés indépendamment de $n$.

Calculons $R_{n}\left[x^{k}\right]$. En utilisant la théorie bien connue des nombres $B_{\alpha}$ et des
polynomes $B_{\alpha}(x)$ de Bernoulli, telle qu’elle est exposée dans le traité classique de N. E. Nörlund [6], nous avons, pour $k$ entier $\geqq 0$,

Si nous posons

( $s_{0}=d_{0}+d_{1}+\ldots+d_{m-1}$ ), nous avons

En comparant les formules (5), (7) il découle que, si nous posons

nous avons $R_{n}\left[x^{k}\right]=0,k=0,1,\ldots,m$. L’exactitude de la dernière égalité ( $R_{n}\left[x^{m}\right]=0$ ) est assurée par l’hypothèse H. 1 (l’imparité de $m$ ).

Le système (8) détermine complètement et indépendamment de $n$ les coefficients $d_{\alpha},\alpha=0,1,\ldots,m-1$. Le fait que le reste $R_{n}[f]$ est effectivement de degré d’exactitude $m$ résultera de ce qui suit.

Théorème 2. Si $m+n>1$ et si les coefficients $d_{\alpha},\alpha=0,1,\ldots,m-1$ sont déterminés par les équations (8), sous les hypothèses H. 1, H. 2, le reste $R_{n}[f]$ est de degré d’exactitude m et il est de la forme simple, c’est-à-dire que

où $\xi_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,m+2$ sont $m+2$ points distincts à l’intérieur de l’intervalle $I$ (et dépendent en général de la fonction $f(x)$ ).

La condition $m+n>1$ est essentielle. En effet si $m+n=1$ on a nécessairement $m=1,n=0$ et alors $R_{0}[f]=0$, quelle que soit la fonction $f(x)$.

La démonstration se fait maintenant par étapes en démontrant successivement les lemmes suivants.

Lemme 1. Si $f(x)$ est une fonction convexe d’ordre $m$, on a $R_{n}[f]-R_{n-1}[f]<0$, $n==1,2,\ldots$.

C’est une conséquence du critère de simplicité de Steffensen [8]. On peut l’obtenir d’ailleurs facilement de la manière suivante. La différence $R[f]=R_{n}[f]$ – $R_{n-1}[f]$ est le reste de la formule de quadrature ( $n>0$ )

qui est de degré d’exactitude $\geqq m$. C’est alors nécessairement la formule de Cotes dans l’intervalle $[n-1,n]$ relativement aux noeuds $n-\alpha,\alpha=0,1,\ldots,m$. Nous avons donc

où nous désignons par $L\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{r};f\mid x\right)$ le polynome d’interpolation de Lagrange de la fonction $f(x)$ sur les noeuds $y_{1},y_{2},\ldots,y_{r}$. On sait que (pour $x$ différent d’un noeud),

et le lemme résulte du fait que le polynome $\prod_{\alpha=0}^{m}(x-n+\alpha)$ est négatif sur l’intervalle ouvert $]n-1,n[$ et que le second facteur du second membre, la différence divisée d’ordre $m+1$ est, par hypothèse, positive.

En particulier si $m=1$ et si $f(x)$ est une fonction convexe d’ordre 1 , on a $R_{1}[f]<0$.

Lemme 2. Si $m>1$ et si $f(x)$ est une fonction convexe d’ordre $m$, on a

Dans ce cas la formule (1) est la formule de Cotes relative aux $m$ noeuds $0,1,\ldots,m-1$. La propriété résulte alors de la simplicité du reste de cette formule [8].

Lemme 3. Si $m>1$ et si $f(x)$ est une fonction convexe d’ordre $m$, on a

La démonstration est encore basée sur le critère de Steffensen qui découle d’ailleurs des importants résultats de J. F. Steffensen [9] sur le reste des formules du type Cotes. En suivant l’exposé de J. F. Steffensen nous pouvons démontrer le lemme 3 en remarquant d’abord qu’on peut écrire

où $A[f]$ est le reste dans la formule de Cotes dans l’intervalle $[m-3,m-2]$ et $B[f]$ le reste dans la formule de Cotes dans l’intervalle [ $0,m-3$ ], tous les deux sur les noeuds $-1,0,1,\ldots,m-1$.

Alors $A[f]$ est l’intégrale de $m-3$ à $m-2$ de la différence (pour $x$ différent d’un noeud)

et le polynome $\prod_{\alpha=0}^{m}(x+1-\alpha)$ est positif sur l’intervalle $]m-3,m-2[$. Il en résulte que si $f(x)$ est convexe d’ordre $m$, on a

Lorsque $m=3$ on a $B[f]=0$, quel que soit $f(x)$.
Si $m>3,B[f]$ est l’intégrale de 0 à $m-3$ de la même différence (11). En suivant toujours un raisonnement de J. F. Steffensen [9] remarquons maintenant que la différence (11) peut s’écrire (pour $x$ différent d’un noeud)

et il s’ensuit que $B[f]$ est le reste de la formule de Cotes dans l’intervalle $[0,m-3]$ sur les noeuds $-1,0,1,\ldots,m-2$. On déduit des considérations faites par J. F. Steffensen [9] sur le polynome $P(x)=\prod_{\alpha=0}^{m-1}(x+1-\alpha)$ que le polynome $\int_{0}^{x}P(t)dt$ est négatif sur l’intervalle ouvert $]0,m-3[$ et est nul pour $x=m-3$. On en déduit que si $f(x)$ est une fonction convexe d’ordre $m$, on a

Les formules (10), (12) et (13) démontrent le lemme 3.
On obtient maintenant facilement le théorème 2 . On peut conclure de la formule

où $n\geqq m$ et des lemmes 1,2 que

pour toute fonction $f(x)$ convexe d’ordre $m$.
Si $m>1$, il vient de la formule

où $n\leqq m-3$ et des lemmes 1,3 que

pour toute fonction $f(x)$ convexe d’ordre $m$.
La fonction $x^{m+1}$ est convexe d’ordre $m$ et alors les formules (14), (15) montrent que $R_{n}[f]$ est effectivement de degré d’exactitude $m$. Le théorème 2 est donc une conséquence du théorème 1.
6. Les considérations précédentes permettent aussi de calculer, sous diverses formes, le facteur $R_{n}\left[x^{m+1}\right]$ qui figure dans la formule (9). Compte tenu del a formule (5), de la notation (6) et de l’hypothèse H. 1, nous avons ( $m>1$ )

Nous obtenons ainsi, en vertu de (8),

expression linéaire par rapport à $n,\lambda,\mu$ étant des coefficients numériques indépendants de $n$.

Il en résulte qu’on a aussi

et dans cette formule $R_{m-1}\left[x^{m+1}\right],R_{m-2}\left[x^{m+1}\right]$ peuvent être obtenus en suivant la démonstration des lemmes 2,3 .

L’interprétation de $R_{m-1}[f]$ donne

et celle de $R_{m-2}[f]$ que

Dans le cas $m=1$ nous avons $\lambda=-\frac{1}{6},\mu=0$ et

est le reste de la formule du trapèze

Si $m>1$, l’analyse précédente nous montre que $\lambda<0$ et $\mu>0,m-2<\frac{\mu}{-\lambda}<m-1$.
7. Lorsque la fonction $f(x)$ a une dérivée d’ordre $m+1$ à l’intérieur de l’intervalle $I$, on a

$\xi$ étant un point à l’intérieur de $I$.
Ce résultat, pour $m=3,5,7$ a été obtenu, d’une autre manière, par D. V. Ionescu [2] et D. V. Ionescu et A. Cotiu [3, 4].

Lorsque $\left|f^{(m+1)}(x)\right|\leqq M(m+1)$  ! pour $x\in I$, on obtient la délimitation

$M$ étant un nombre réel non-négatif. Une telle borne supérieure du reste existe encore si la fonction $f(x)$ est à ( $m+1$ ) ième différence divisée en valeur absolue par $M$. Un exemple d’une telle fonction est fourni par tout $f(x)$ qui à une $m^{\text{ième }}$ dérivée $f^{(m)}(x)$ vérifiant une condition de Lipschitz ordinaire.

[1] A. Cauchy, Sur les fonctions interpolaires, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 11 (1840), pp. 775789.
[2] D. V. Ionescu, Nouveiles formules pratiques de quadrature, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 259 (1964), p. 504-507.
[3] D. V. Ionescu-A. Cotiu, Une extension de la formule de quadrature de Lacroix, Mathematica, 9 (32) (1967), p. 49-52.
[4] D. V. Ionescu, Une nouvelle extension de la formule de quadrature de Lacroix, Colloque sur la théorie de l’approx. des fonctions, Cluj, 1967 (résumé des communications), p. 76.
[5] R. v. Mises, Über allgemeine Quadraturformeln, J. f. die reine u. angew. Math., 174 (1936), p. 56-67.
[6] N. E. Nörlund, Differenzenrechnung (1924).
[7] T. Popoviciu, Sur le reste dans certaines formules linéaires d’approximation de l’analyse, Mathematica, 1 (24) (1959), p. 95-142.
[8] T. Popoviciu, La simplicité du reste dans certaines formules de quadrature, Mathematica, 6 (29) (1964), p. 157-184.
[9] J. F. Steffensen, Interpolation (1950).