THÉOREME 1. Pour que la partition (1) de $E$ soit le support de la fonction $f$, constante par segments et de degré effectif $n$ sur $E$, il faut et il suffit que $f$ se réduise ( $\mathrm{si}n>1$ ) à deux constantes différentes sur deux termes consécutifs quelconques $E_{\alpha},E_{\alpha+1}(\alpha=1,2,\ldots,n-1)$.

La partition (1) étant un support de $f$, il faut que cette fonction soit une constante sur chacun des termes $E_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n$.

Passons à la démonstration du théorème.
La condition est nécessaire, puisqu’autrement par une contraction convenable on pourrait obtenir un support ayant moins de $n$ termes.

Pour demontrer que la condition est aussi suffisante supposons qu’elle soit satisfaite. Soit alors (2) un support quelconque de la fonction $f$. Nous allons démontrer que la partition (2) s’obtient de (1) par dilatation Si $n=1$ la propriété est immédiate Si i $F$ is de 1a partition (2) I1 exic queconque ( $\mu$ ) $\mathrm{indice}\alpha$ tel que (A désigne l’ensemble vide)

Autrement, en effet, de la définition d’une partition il résulterait que $F_{\beta}\cap\left(\cup^{n}E_{\alpha}\right)=F_{\beta}\cap E=\Lambda$ ce qui est impossible puisque $F_{\beta}$ n’est pas vide. Nous avons $F_{\beta}\subseteq E_{\alpha}$. En effet, autrement on pourrait trouver un indice $\alpha^{\prime}$, différent de $\alpha$, tel que

Mais de (3) et (4) il résulte que l’une des relations

a certainement lieu. Ceci est impossible puisqu’alors la fonction $f$ ne serrait pas constante sur $F_{\beta}$, contrairement à la définition de cet ensemble. Il résulte donc que tout segment $F_{\beta}$ est sous-ensemble d’un et d’un seul (l’unicité de $\alpha$ dans (3)) segment $E_{\alpha}$.

Remarquons aussi qu’à tout $\alpha$ doit correspondre au moins un $\beta$ tel que $E_{\alpha}\cap F_{\beta}\neq\boldsymbol{\Lambda}$. Autrement, en effet, il résulterait, comme plus haut, que $E_{\alpha}\cap E=\Lambda$ ce qui est impossible puisque $E_{\alpha}$ n’est pas vide.

Ceci demontre que, dans les conditions de la démonstration, la partition (2) s’obtient de (1) par dilatation.

Le théorème 1 est démontré.
Remarquons que nous avons démontré un peu plus que ce qui a été énoncé par le théorème 1 et notamment que tout support d’une fonction constante par segments s’obtient par dilatation de son support ayant le nombre minimum de termes.
6. Considérons deux fonctions $f,g$ constantes par segments sur $E$ et soient
  

des supports respectifs de ces fonctions.
Nous allons montrer qu’on peut trouver un support commun des fonctions $f$ et $g$.

Les intersections $F_{\alpha}\cap G_{\beta},\alpha=1,2,\ldots,m,\beta=1,2,\ldots,n$ sont des segments deux à deux disjoints et leur réunion est égale à $E$. Parmi ces intersections il y en a qui sont certainement non vides. Telles sont les intersections $F_{1}\cap G_{1}$ et $F_{m}\cap G_{n}$. Mais aussi parmi ces intersections il y en a, en général qui sont toujours vides. En rangeant celles des intersections qui ne sont pas vides dans un ordre déterminé on obtient la partition

qui s’obtient de chacune des partitions (6) par dilatation et il en résulte donc qu’elle est un support commun des fonctions $f$ et $g$.

La propriété précédente résulte de l’analyse suivante. D’abord à tout $\alpha(1\leqslant\alpha\leqslant m)$ correspond, un $\beta(1\leqslant\beta\leqslant n)$ tel que $F_{\alpha}\cap G_{\beta}$ ne soit pas vide. Ensuite si $F_{\alpha}\cap G_{\beta}$ n’est pas vide tout $F_{\alpha^{\prime}}\cap G_{\beta^{\prime}}$ avec $\alpha^{\prime}>\alpha,\beta^{\prime}<\beta$ est vide, car autrement, tout point de $F_{\alpha^{\prime}}\cap G_{\beta^{\prime}}$ devrait être à la fois à gauche et à droite de tout point de $F_{\alpha}\cap G_{\beta}$. Il en résulte qu’on peut trouver les entiers non-négatifs $k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}$ tels que $k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m}=n$ et tels que toutes les intersections $F_{\alpha}\cap G_{\beta}$ différentes des segments ( $k_{0}=0$ )

soient vides.
Le nombre des segments (8) est égal à $m+n-1$ et nous avons donc $p\leqslant m+n-1$ pour le nombre $p$ des termes de la partition (7).

Ceux des ensembles (8) qui ne sont pas vides, rangés par ordre ,,lexicographique" de leurs indices, forment la suite $E_{1},E_{2},\ldots,E_{p}$. Ceci signifie que si $E_{\gamma}=F_{\alpha}\cap G_{\beta},E_{\gamma^{\prime}}=F_{\alpha^{\prime}}\cap G_{\beta^{\prime}}$, de $\gamma<\gamma^{\prime}$ il résulte que $\alpha\leqslant\alpha^{\prime}$, $\beta\leqslant\beta^{\prime},\alpha+\beta<\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}$. Ceci nous montre, en même temps, que les partitions (6) s’obtiennent de (7) par contraction.

Il en résulte aussi que $p\geqslant m,p\geqslant n$, donc que $p\geqslant\max(m,n)$.
7. Des résultats précédents on peut déduire quelques propriétés de l’ensemble des fonctions constantes par segments.

La somme et le produit de deux fonctions constantes par segments sont des fonctions constantes par segments. Cette propriété résulte immédiatement si on effectue les opérations d’addition et de multiplication sur les deux fonctions considérées rapportées à un support commun.

En particulier, les constantes sont des fonctions constantes par segments. Il en résulte que l’ensemble des fonctions constantes par segments est un ensemble linéaire (vectoriel) par rapport à l’addition habituelle (valeur par valeur) des fonctions et la multiplication habituelle par un nombre (réel ou complexe) des fonctions.

Des résultats précédents il résulte aussi que si deux fonctions constantes par segments sont respectivement de degré $m$ et $n$, leur somme et leur produit sont de degré $m+n-1$. Il est à remarquer que les fonctions considérées peuvent avoir les degrés effectifs $m$ et $n$ et, en même temps, leur somme et leur produit le degré 1 (peuvent être des constantes) sans que u u u be y que $n$ duelconque de $E$ et si les fonctions $f,g$ sont définies par les formules

alors la somme $f+g$ se réduit à la constante 1 et le produit $fg$ à la constante 0 .
8. Nous dirons qu’un segment $E^{\prime}$ de $E$ est un segment initial (de $E$ ) s’il n’existe aucun point de $E$ à gauche de tous les points de $E^{\prime}$ et de même nous dirons que le segment $E^{\prime}$ de $E$ est un segment final (de $E$ ) s’il n’existe aucun point de $E$ à droite de tous les points de $E^{\prime}$. L’ensemble (ou le segment) vide n’est pas considéré comme un segment initial ou un segment final. Si (1) est une partition de $E$ le segment $E_{\text{est }}$ en degment initial et $E_{n}$ un segment final de $E$.

Une fonction définie sur $E$ sera dite initialement constante respectivement finalement constante s’il existe un segment initial, respectivement un segment final de $E$, sur lequel cette fonction est une constante. Toute constante et, en général, toute fonction constante par segments, est initialement constante et aussi finalement constante, quel que soit $E$.

Mais, en général, une fonction n’est ni initialement constante et ni finalement constante. Par exemple 1a fonction $x$ (et aussi tout polynome non constante) n’est ni initialement constante et ni finalement constante sur un intervalle ouvert. Si $a=\inf E\in E$ (donc si $E$ a un minimum), toute fonction définie sur $E$ est initialement constante, puisque l’ensemble { $a$ } formé par le seul point $a$ est un segment initial de $E$ et toute fonction est constante sur un seul point. On voit de même que si sup $E\in E$ (donc si $E$ a un maximum) toute fonction définie sur $E$ est finalement constante.

THÉORÈME 2. Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction $f$, définie sur l’ensemble $E$ (ayant au moins $n+1$ points), soit constante
par segments et de degré $n$ est que quels que soient les $n+1$ points $x_{1}<<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ de $E$ l’on ait

La condition est nécessaire. En effet, si (1) est un support à $n$ termes de $f$, parmi les points $x_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n+1$ il y en a certainement au moins deux consécutifs $x_{\beta},x_{\beta+1}$ qui appartiennent au même terme $E_{\alpha}$ et l’égalité (9) est vérifiée.

Avant d’aller plus loin démontrons le
L e m m e 1. Si la condition exprimée par l’égalité (9), du théorème 2, est vérifiée, la fonction $f$ est finalement constante.

Supposons donc que la condition du théorème 2 soit satisfaite et supposons que la fonction $f$ ne soit pas finalement constante. Alors, en particulier, cette fonction n’est pas constante et il existe donc les points $x_{1},x_{2}\in E$, tels que $x_{1}<x_{2}$ et $f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$. Sur le segment final $E\cap\left[x_{2},\infty\right)$ la fonction n’est pas constante et il existe donc un point $x_{3}$ de ce segment, tel que $x_{2}<x_{3}$ et sur lequel $f\left(x_{2}\right)\neq f\left(x_{3}\right)$. On peut continuer de cette manière et former la suite (infinie) croissante $x_{1},x_{2},\ldots$, telle que l’on ait $f\left(x_{\alpha}\right)\neq\neq f\left(x_{\alpha+1}\right)$ pour tout $\alpha$. Ceci contredit l’égalité (9) et cette contradiction démontre le lemme 1 .

On démontre de la même manière que, sous les mêmes conditions, la fonction est initialement constante.

Nous allons maintenant procéder par induction complète pour démontrer la suffisance de la condition du théorème 2 .

Pour $n=1$ la propriété est vraie puisque si $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ pour tout $x_{1},x_{2}\in E$, la fonction est constante et est donc constante par segments de degré 1.

Supposons maintenant que $n>1$ et que le théorème soit démontré pour les fonctions constantes par segments de degré $n-1$. Supposons alors que 1a condition exprimée par l’égalité (9) soit vérifiée. Soit $E^{\prime}$ la réunion de tous les segments finaux sur lesquels la fonction $f$ est constante. D’après le lemme 1 l’ensemble $E^{\prime}$ n’est pas vide. Alors, ou bien $E^{\prime}=E$, la fonction est constante sur $E$ et le théorème est démontré. Ou bien alors $E^{\prime}\subset E$, donc $E-E^{\prime}$ n’est pas vide. Nous allons démontrer que dans ce cas la fonction $f$ est constante par segments de degré $n-1$ sur $E-E^{\prime}$. En effet, dans le cas contraire, on pourrait trouver $n$ points $x_{1}<x_{2}<<\ldots<x_{n}$ de $E-E^{\prime}$ tels que l’on ait

Mais sur le segment $E\cap\left[x_{n},\infty\right)$ la fonction ne peut être constante, en vertu de la définition de $E^{\prime}$. On peut donc trouver un point $x_{n+1}$ de ce
segment (donc de $E$ ), différent de $x_{n}$ tel que $f\left(x_{n}\right)\neq f\left(x_{n+1}\right)$. Il en résulterait $x_{n}<x_{n+1}$ et

ce qui contredit l’égalité (9).
Cette contradiction démontre le théorème 2 pour les fonctions constantes par segments de degré $n$.

Le théorème 2 est donc démontré.
On voit, par de très légères modifications de la démonstration, que le théorème 2 subsite aussi si $E$ contient l’un ou les deux points impropres $-\infty,\infty$.

La propriété exprimée par le théorème 2 peut aussi s’exprimer sous 1a forme du

THÉORÈME 3. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction définie sur l’ensemble $E$ (ayant au moins $n+1$ points) soit constante par segments de degré n est que cette propriété soit vérifiée, par la fonction considérée, sur tout sous-ensemble de $E$ formé par $n+1$ points.
10. Dans ce travail nous considérons seulement des fonctions constantes par segments de degré fini. On peut définir des partitions de $E$ dont les termes forment une suite infinie ou, plus généralement, un ensemble ordonné de type ordinal donné. À ces partitions correspondent des fonctions constantes par segments d’un type (sorte de degré) correspondant. Il est clair que de telles fonctions ne présentent d’intérêt que si le type ria l’ years ye ordal des supports est different de celui de 1 ensemble ordonne $E$. Ainsi, toute fonction définie sur un ensemble bien ordonné de nombre ordinal $\omega$ (d’une suite infinie) est évidemment constante par segments de degré $\omega$. Mais, toute fonction définie sur l’axe réel n’est pas constante par segments de degré $\omega$.

La notion d’ensemble ordonné est prise ici dans le sens de l’ordonation des nombres réels d’après leur grandeur numérique. Le type ordinal des partitions, donc aussi le type (le degré) des fonctions constantes par segments correspondantes, peut être précisé de la manière suivante. Soit $I$ un sous-ensemble ordonné de l’axe réel (ordonné). $E=\cup E_{\alpha}$ est une partition du type ordinal de $I$ si les $E_{\alpha}$ sont des segments $f$ de $E$, deux à deux disjoints. Si $I=(1,2,\ldots,n)$ nous avons les fonctions constantes par segments de degré (fini) $n$, étudiées dans ce travail et si $I==(1,2,\ldots,n,\ldots)=1$ a suite des nombres naturels, nous avons les fonctions constantes par segments de degré $\omega$.