T. Popoviciu, Sur les l’approximations des fonctions continues d’une variable réelle par des polynomes, Ann. Sci. Univ. Iassy, 28 (1942) p. 208 (in French).
donnent, pour la fonction f(x)f(x) continue dans l'intervalle fermé [0,1][0,1], une approximation de l'ordre de omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) si omega(delta)\omega(\delta) est le module d'oscillation de f(x)f(x). Voici une démonstration plus simple de ce résultat.
Si nous remarquons que sum_(i=0)^(n)((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)=1\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}=1, les propriétés connues de omega(delta)\omega(\delta) nous donnent
|f(x)-P_(n)(x;f)| <= ((1)/(delta)sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i)+1)omega{delta},quad x in[0,1].\left|f(x)-P_{n}(x ; f)\right| \leq\left(\frac{1}{\delta} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i}+1\right) \omega\{\delta\}, \quad x \in[0,1] .
Mais nous avons, en appliquant une inégalité bien connue,
{:[sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-i) <= sqrt(sum_(i=0)^(n)(x-(i)/(n))^(2)((n)/(i))^(x^(i)(1-x)^(n-i)))=],[=sqrt((x(1-x))/(n)) <= (1)/(2sqrtn)","quad x in[0","1]]:}\begin{gathered}
\sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x^{i}(1-x)^{n-i} \leq \sqrt{\sum_{i=0}^{n}\left(x-\frac{i}{n}\right)^{2}\binom{n}{i}^{x^{i}(1-x)^{n-i}}}= \\
=\sqrt{\frac{x(1-x)}{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}, \quad x \in[0,1]
\end{gathered}
En prenant donc delta=(1)/(sqrtn)\delta=\frac{1}{\sqrt{n}}, nous avons
