Sur quelques inegalités entre les fonctions convexes (III)

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

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On some inequalities between convex functions (III)

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T. Popoviciu

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1939 c -Popoviciu- Comptes Rendus Seances Inst. Sci. Roum. – Sur quelques inegalites entre les fonctions convexes (III)

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur quelques inegalités entre les fonctions convexes (III), Comptes Rendus de l’Instit. des Sci. de Roumanie, 3 (1939) no. 4, pp. 396-402 (in French).

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COMPTES RENDUS

DES SÉANCES

DE

L'INSTITUT DES SCIENCES DE ROUMANIE

ANCIENNE
ACADEMIE DES SCIENCES DE ROUMANIE
PUBLIÉS PAR LE COMITÉ DE RÉDACTION DE L'INSTITUT

Parus à Bucarest le 1 juillet 1939

COMPTES RENDUS DES SÉANCES

DE

L'INSTITUT DES SCIENCES DE ROUMANIE

ANCIENNE ACADÉMIE DES SCIENCES DE ROUMANIE

SOMMAIRE

371. SUR QUELQUES INÉGALITÉS ENTRE LES FONCTIONS CONVEXES

(TROISIÈME NOTE)

Par TIBERIU POPOVICIU, Mc. I. S. R.
(Séance du 6 mai 1939)
I. Posons, en conservant les notations des deux notes précédentes 1 1 ^(1){ }^{1}1 ),
B ( φ ) = A φ − φ ( A ) . B ( φ ) = A φ − φ ( A ) . B(varphi)=A_(varphi)-varphi(A).\mathrm{B}(\varphi)=\mathrm{A}_{\varphi}-\varphi(\mathrm{A}) .B(φ)=Aφ−φ(A).
Nous avons l'inégalité classique B ( φ ) ≧ 0 B ( φ ) ≧ 0 B(varphi) >= 0\mathrm{B}(\varphi) \geqq 0B(φ)≧0.
Nous allons chercher une inégalité contraire, donc le maximum de B ( φ ) B ( φ ) B(varphi)\mathrm{B}(\varphi)B(φ), lorsque φ φ varphi\varphiφ est donné et f f fff sont des fonctions de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n pour un n n nnn donné.
Dans cette Note nous examinerons le cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 et nous dirons quelques mots aussi sur le cas n = 0 n = 0 n=0n=0n=0. Le cas n > I n > I n > In>In>I sera étudié dans la cinquième Note.
Rappelons que φ φ varphi\varphiφ est continue et convexe dans l'intervalle fermé ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)(0,1). Nous pouvons supposer que φ ( 0 ) = 0 , φ ( 1 ) = I , 0 ≦ φ ≦ I φ ( 0 ) = 0 , φ ( 1 ) = I , 0 ≦ φ ≦ I varphi(0)=0,varphi(1)=I,0 <= varphi <= I\varphi(0)=0, \varphi(1)=I, 0 \leqq \varphi \leqq Iφ(0)=0,φ(1)=I,0≦φ≦I, sans restreindre la généralité, puisque B ( φ ) B ( φ ) B(varphi)B(\varphi)B(φ) ne varie pas lorsqu'on ajoute à φ φ varphi\varphiφ une fonction linéaire. La fonction φ φ varphi\varphiφ est alors positive et crois-
sante pour 0 < x ≦ I 0 < x ≦ I 0 < x <= I0<x \leqq \mathrm{I}0<x≦I. L'ensemble ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n est formé par les fonctions f f fff, continues et non-concaves d'ordre 0 , 1 , … , n 0 , 1 , … , n 0,1,dots,n0,1, \ldots, n0,1,…,n dans l'intervalle ( 0,1 ) telles que f ( O ) = a ≧ o f ( I ) = b ≦ I f ( O ) = a ≧ o f ( I ) = b ≦ I f(O)=a >= oquad f(I)=b <= If(\mathrm{O})=a \geqq \mathrm{o} \quad f(\mathrm{I})=b \leqq \mathrm{I}f(O)=a≧of(I)=b≦I. La fonction φ φ varphi\varphiφ est une fonction convexe de ( E 0 1 ) 1 E 0 1 1 (E_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{1}(E01)1.
Remarquons que dans toutes nos formules n'interviennent que les valeurs de φ φ varphi\varphiφ dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b). Il suffit donc de supposer que φ φ varphi\varphiφ est une fonction qui est continue et convexe dans l'intervalle fermé ( a , b a , b a,ba, ba,b ). Si la dérivée à droite φ d ′ ( a ) φ d ′ ( a ) varphi_(d)^(')(a)\varphi_{d}^{\prime}(a)φd′(a) en a a aaa et la dérivée à gauche φ g ′ ( b ) φ g ′ ( b ) varphi_(g)^(')(b)\varphi_{g}^{\prime}(b)φg′(b) sont finies, on peut modifier la fonction φ φ varphi\varphiφ dans les intervalles ( o , a ) ( o , a ) (o,a)(\mathrm{o}, a)(o,a), ( b , I b , I b,Ib, \mathrm{I}b,I ) de manière qu'elle devienne, à une fonction linéaire additive près, une fonction convexe de ( E 0 1 ) 1 E 0 1 1 (E_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{1}(E01)1.
Remarquons aussi que nous avons des inégalités analogues, mais de sens contraire, si φ φ varphi\varphiφ au lieu d'être convexe est concave. Les inégalités sont vraies, bien entendu, aussi lorsque φ φ varphi\varphiφ est seulement non-concave (ou non-convexe). Seule l'unicité des maxima (ou minima) peut éventuellement être en défaut.
2. Le problème de maximum posé plus haut a été résolu pour n = o n = o n=on=on=o par M. K. K no p p 1 1 ^(1){ }^{1}1 ). Dans ce cas nous avons
(I) B ( φ ) ≦ max ( a , b ) [ ( b − x ) φ ( a ) + ( x − a ) φ ( b ) b − a − φ ( x ) ] (I) B ( φ ) ≦ max ( a , b )   ( b − x ) φ ( a ) + ( x − a ) φ ( b ) b − a − φ ( x ) {:(I)B(varphi) <= max_((a,b))[((b-x)varphi(a)+(x-a)varphi(b))/(b-a)-varphi(x)]:}\begin{equation*} \mathrm{B}(\varphi) \leqq \max _{(a, b)}\left[\frac{(b-x) \varphi(a)+(x-a) \varphi(b)}{b-a}-\varphi(x)\right] \tag{I} \end{equation*}(I)B(φ)≦max(a,b)[(b−x)φ(a)+(x−a)φ(b)b−a−φ(x)]
ce qui résulte immédiatement de l'inégalité
( b − A ) φ ( a ) + ( A − a ) φ ( b ) b − a − A φ = I b − a ∫ o 1 [ ( f − a ) φ ( a ) − ( b − a ) φ ( f ) + + ( b − f ) φ ( b ) ] d x ≧ 0 ( b − A ) φ ( a ) + ( A − a ) φ ( b ) b − a − A φ = I b − a ∫ o 1   [ ( f − a ) φ ( a ) − ( b − a ) φ ( f ) + + ( b − f ) φ ( b ) ] d x ≧ 0 {:[((b-A)varphi(a)+(A-a)varphi(b))/(b-a)-A_(varphi)=(I)/(b-a)int_(o)^(1)[(f-a)varphi(a)-(b-a)varphi(f)+],[+(b-f)varphi(b)]dx >= 0]:}\begin{gathered} \frac{(b-\mathrm{A}) \varphi(a)+(\mathrm{A}-a) \varphi(b)}{b-a}-\mathrm{A}_{\varphi}=\frac{\mathrm{I}}{b-a} \int_{o}^{1}[(f-a) \varphi(a)-(b-a) \varphi(f)+ \\ +(b-f) \varphi(b)] d x \geqq 0 \end{gathered}(b−A)φ(a)+(A−a)φ(b)b−a−Aφ=Ib−a∫o1[(f−a)φ(a)−(b−a)φ(f)++(b−f)φ(b)]dx≧0
Le maximum est atteint pour une seule valeur x 1 x 1 x_(1)x_{1}x1 de x x xxx, puisque la fonction du second membre de (I) est concave. Le maximum de B (%) ne peut d'ailleurs être atteint par une fonction de ( E a b ) o E a b o (E_(a)^(b))_(o)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{o}(Eab)o, mais seulement par certaines fonctions limites de cette famille. Telle est la fonction
f = { a , 0 ≦ x ≦ x b − x 1 b − a 1 b , b − x 1 b − a < x ≦ 1 f = a ,      0 ≦ x ≦ x b − x 1 b − a 1 b ,      b − x 1 b − a < x ≦ 1 f={[a",",0 <= x <= x(b-x_(1))/(b-a_(1))],[b",",(b-x_(1))/(b-a) < x <= 1]:}f= \begin{cases}a, & 0 \leqq x \leqq x \frac{b-x_{1}}{b-a_{1}} \\ b, & \frac{b-x_{1}}{b-a}<x \leqq 1\end{cases}f={a,0≦x≦xb−x1b−a1b,b−x1b−a<x≦1
On peut remarquer que x 1 x 1 x_(1)x_{1}x1, ne coincide jamais avec a a aaa ou b b bbb. Ce nombre peut être ⟨ o u ⟩ a + b 2 ⟨ o u ⟩ a + b 2 (:ou:)(a+b)/(2)\langle o u\rangle \frac{a+b}{2}⟨ou⟩a+b2. Pour que l'on ait x 1 ≧ a + b 2 x 1 ≧ a + b 2 x_(1) >= (a+b)/(2)x_{1} \geqq \frac{a+b}{2}x1≧a+b2 il faut et il suffit que
φ ( b ) − φ ( a ) b − a ≧ φ g ′ ( a + b 2 ) φ ( b ) − φ ( a ) b − a ≧ φ g ′ a + b 2 (varphi(b)-varphi(a))/(b-a) >= varphi_(g)^(')((a+b)/(2))\frac{\varphi(b)-\varphi(a)}{b-a} \geqq \varphi_{g}^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)φ(b)−φ(a)b−a≧φg′(a+b2)
ou
(2) 1 b − a ∫ a 1 φ g ′ ( x ) d x ≧ φ g ′ ( a + b 2 ) 1 b − a ∫ a 1   φ g ′ ( x ) d x ≧ φ g ′ a + b 2 quad(1)/(b-a)int_(a)^(1)varphi_(g)^(')(x)dx >= varphi_(g)^(')((a+b)/(2))\quad \frac{1}{b-a} \int_{a}^{1} \varphi_{g}^{\prime}(x) d x \geqq \varphi_{g}^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)1b−a∫a1φg′(x)dx≧φg′(a+b2),
en désignant par φ g ′ φ g ′ varphi_(g)^(')\varphi_{g}^{\prime}φg′ la dérivée à gauche de φ φ varphi\varphiφ. Pour qu'il en soit ainsi pour toutes les valeurs de a , b a , b a,ba, ba,b il faut et il suffit que φ φ varphi\varphiφ soit une fonction de ( E o 1 ) 2 E o 1 2 (E_(o)^(1))_(2)\left(\mathrm{E}_{o}^{1}\right)_{2}(Eo1)2, donc non-concave d'ordre 2.
La démonstration de ce fait n'est pas difficile. La fonction φ g ′ φ g ′ varphi_(g)^(')\varphi_{g}^{\prime}φg′ est croissante et positive. Je dis qu'elle doit être continue dans l'intervalle ouvert ( O , I O , I O,I\mathrm{O}, \mathrm{I}O,I ). Soit, en effet, x 0 , O < x 0 < I x 0 , O < x 0 < I x_(0),O < x_(0) < Ix_{0}, \mathrm{O}<x_{0}<\mathrm{I}x0,O<x0<I, un point de discontinuité éventuelle. Soit aussi
0 < ε < φ g ′ ( x 0 + 0 ) − φ g ′ ( x 0 − 0 ) 2 0 < ε < φ g ′ x 0 + 0 − φ g ′ x 0 − 0 2 0 < epsi < (varphi_(g)^(')(x_(0)+0)-varphi_(g)^(')(x_(0)-0))/(2)0<\varepsilon<\frac{\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+0\right)-\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}-0\right)}{2}0<ε<φg′(x0+0)−φg′(x0−0)2
On peut trouver alors un η > 0 η > 0 eta > 0\eta>0η>0, tel que l'on ait 0 < x 0 − η < x 0 + + 2 η < 1 0 < x 0 − η < x 0 + + 2 η < 1 0 < x_(0)-eta < x_(0)++2eta < 10<x_{0}-\eta<x_{0}+ +2 \eta<10<x0−η<x0++2η<1 et φ g ′ ( x 0 + 2 η ) < ε + φ g ′ ( x 0 + 0 ) φ g ′ x 0 + 2 η < ε + φ g ′ x 0 + 0 varphi_(g)^(')(x_(0)+2eta) < epsi+varphi_(g)^(')(x_(0)+0)\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+2 \eta\right)<\varepsilon+\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+0\right)φg′(x0+2η)<ε+φg′(x0+0). Nous avons, en prenant a = x 0 − η , b = x 0 + 2 η a = x 0 − η , b = x 0 + 2 η a=x_(0)-eta,b=x_(0)+2etaa=x_{0}-\eta, b=x_{0}+2 \etaa=x0−η,b=x0+2η,
1 3 η ∫ x 0 − η x 0 + 2 ⋅ η φ g ′ ( x ) d x − φ g ′ ( x 0 + η 2 ) < φ g ( x 0 − 0 + 2 [ ε + φ g ′ ( x 0 + 0 ) ] 3 − − φ g ′ ( x 0 + 0 ) = − φ g ′ ( x 0 + 0 ) − φ g ′ ( x 0 − 0 ) 3 + 2 ε 3 < 0 1 3 η ∫ x 0 − η x 0 + 2 ⋅ η   φ g ′ ( x ) d x − φ g ′ x 0 + η 2 < φ g x 0 − 0 + 2 ε + φ g ′ x 0 + 0 3 − − φ g ′ x 0 + 0 = − φ g ′ x 0 + 0 − φ g ′ x 0 − 0 3 + 2 ε 3 < 0 {:[(1)/(3eta)int_(x_(0)-eta)^(x_(0)+2*eta)varphi_(g)^(')(x)dx-varphi_(g)^(')(x_(0)+(eta)/(2)) < (varphi_(g)(x_(0)-0+2[epsi+varphi_(g)^(')(x_(0)+0)])/(3)-],[quad-varphi_(g)^(')(x_(0)+0)=-(varphi_(g)^(')(x_(0)+0)-varphi_(g)^(')(x_(0)-0))/(3)+(2epsi)/(3) < 0]:}\begin{aligned} & \frac{1}{3 \eta} \int_{x_{0}-\eta}^{x_{0}+2 \cdot \eta} \varphi_{g}^{\prime}(x) d x-\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+\frac{\eta}{2}\right)<\frac{\varphi_{g}\left(x_{0}-0+2\left[\varepsilon+\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+0\right)\right]\right.}{3}- \\ & \quad-\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+0\right)=-\frac{\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}+0\right)-\varphi_{g}^{\prime}\left(x_{0}-0\right)}{3}+\frac{2 \varepsilon}{3}<0 \end{aligned}13η∫x0−ηx0+2⋅ηφg′(x)dx−φg′(x0+η2)<φg(x0−0+2[ε+φg′(x0+0)]3−−φg′(x0+0)=−φg′(x0+0)−φg′(x0−0)3+2ε3<0
qui est en contradiction avec (2). La fonction φ g ′ φ g ′ varphi_(g)^(')\varphi_{g}^{\prime}φg′ doit donc être continue 1 1 ^(1){ }^{1}1 ). On voit aussi que la fonction φ g ′ + α x φ g ′ + α x varphi_(g)^(')+alpha x\varphi_{g}^{\prime}+\alpha xφg′+αx vérifie encore la propriété (2), quel que soit α α alpha\alphaα. On démontre facilement sur (2) que φ g ′ + α x φ g ′ + α x varphi_(g)^(')+alpha x\varphi_{g}^{\prime}+\alpha xφg′+αx ne peut atteindre son maximum dans un intervalle ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) qu'aux extrémités a a aaa ou b b bbb, à moins qu'elle ne soit constante dans ( a , b a , b a,ba, ba,b ). D'après une remarque de M. S. S a k s 2 2 ^(2){ }^{2}2 ), la fonction φ g ′ φ g ′ varphi_(g)^(')\varphi_{g}^{\prime}φg′ est non-concave d'ordre I I III, donc φ φ varphi\varphiφ est non-concave d'ordre 2 .
  1. Il en résulte que φ φ varphi\varphiφ a une dérivée continue.
  2. S. Saks „O funckjach wypuklych i podharmoniczhych" Mathesis Polska, 6, 43-64 (1931).
On démontre de la même manière que pour avoir x 1 ≦ a + b 2 x 1 ≦ a + b 2 x_(1) <= (a+b)/(2)x_{1} \leqq \frac{a+b}{2}x1≦a+b2, pour toutes les valeurs de a a aaa et b b bbb, il faut et il suffit que φ φ varphi\varphiφ soit non-convexe d'ordre 2.
Pour φ = log ⁡ x , a > 0 φ = log ⁡ x , a > 0 varphi=log x,a > 0\varphi=\log x, a>0φ=log⁡x,a>0, l'inégalité (1) nous donne
A G ≦ c − I c c − 1 − log ⁡ c ( c − 1 ) log ⁡ c ⋅ log ⁡ c = I − J e ⋅ log ⁡ I c ( I c ) 1 1 − c , c = a b A G ≦ c − I c c − 1 − log ⁡ c ( c − 1 ) log ⁡ c ⋅ log ⁡ c = I − J e ⋅ log ⁡ I c I c 1 1 − c , c = a b (A)/(G) <= (c-I)/(c^((c-1-log c)/((c-1)log c))*log c)=(I-J)/(e*log((I)/(c)))((I)/(c))^((1)/(1-c)),quad c=(a)/(b)\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{G}} \leqq \frac{c-\mathrm{I}}{c^{\frac{c-1-\log c}{(c-1) \log c}} \cdot \log c}=\frac{\mathrm{I}-\mathrm{J}}{e \cdot \log \frac{\mathrm{I}}{c}}\left(\frac{\mathrm{I}}{c}\right)^{\frac{1}{1-c}}, \quad c=\frac{a}{b}AG≦c−Icc−1−log⁡c(c−1)log⁡c⋅log⁡c=I−Je⋅log⁡Ic(Ic)11−c,c=ab
où G = exp . ∫ 0 1 log ⁡ f d x G = exp . ∫ 0 1   log ⁡ f d x G=exp.int_(0)^(1)log fdx\mathrm{G}=\exp . \int_{0}^{1} \log f d xG=exp.∫01log⁡fdx est la moyenne géométrique de f f fff. Nous avons démontré cette inégalité dans un travail précédent 1 1 ^(1){ }^{1}1 ).
3. Passons maintenant à l'étude du cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1. La formule (6) et les résultats de la première note permettent d'énoncer la propriété suivante
Si φ φ varphi\varphiφ est une fonction de la forme indiquée et f f fff une fonction de ( E a b ) 1 E a b 1 (E_(a)^(b))_(1)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{1}(Eab)1, on a l'inégalité
(3) A ψ − φ ( A ) 幺 ( a , a + b 2 ) max a [ φ ( a ) + 2 ( x − a ) ( b − a ) 2 ∫ a b [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ ( x ) ] A ψ − φ ( A ) 幺 a , a + b 2 max a   φ ( a ) + 2 ( x − a ) ( b − a ) 2 ∫ a b   [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ ( x ) A_(psi)-varphi(A)幺_((a,(a+b)/(2)))max_(a)[varphi(a)+(2(x-a))/((b-a)^(2))int_(a)^(b)[varphi(t)-varphi(a)]dt-varphi(x)]\mathrm{A}_{\psi}-\varphi(\mathrm{A}) \underset{\left(a, \frac{a+b}{2}\right)}{幺} \max _{a}\left[\varphi(a)+\frac{2(x-a)}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}[\varphi(t)-\varphi(a)] d t-\varphi(x)\right]Aψ−φ(A)幺(a,a+b2)maxa[φ(a)+2(x−a)(b−a)2∫ab[φ(t)−φ(a)]dt−φ(x)]
l'égalité n'étant possible que pour une seule valeur x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 de x x xxx et pour la fonction
(4) f = a + ( b − a ) x − λ + | x − λ | 2 ( 1 − λ ) , λ = b + a − 2 x 2 b − a f = a + ( b − a ) x − λ + | x − λ | 2 ( 1 − λ ) , λ = b + a − 2 x 2 b − a f=a+(b-a)(x-lambda+|x-lambda|)/(2(1-lambda)),lambda=(b+a-2x_(2))/(b-a)f=a+(b-a) \frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(1-\lambda)}, \lambda=\frac{b+a-2 x_{2}}{b-a}f=a+(b−a)x−λ+|x−λ|2(1−λ),λ=b+a−2x2b−a seulement.
Le nombre x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 ne coïncide jamais avec a a aaa et peut être > o u < > o u < > ou <>o u<>ou< que 2 a + b 3 2 a + b 3 (2a+b)/(3)\frac{2 a+b}{3}2a+b3. Pour avoir x 2 ≧ 2 a + b 3 x 2 ≧ 2 a + b 3 x_(2) >= (2a+b)/(3)x_{2} \geqq \frac{2 a+b}{3}x2≧2a+b3 il faut et il suffit que l'on ait 2 ( b − a ) 2 ∫ a b [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ g ′ ( 2 a + b 3 ) = 2 ( b − a ) 2 ∫ a b ( b − t ) φ g ′ ( t ) d t − 2 ( b − a ) 2 ∫ a b   [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ g ′ 2 a + b 3 = 2 ( b − a ) 2 ∫ a b   ( b − t ) φ g ′ ( t ) d t − (2)/((b-a)^(2))int_(a)^(b)[varphi(t)-varphi(a)]dt-varphi_(g)^(')((2a+b)/(3))=(2)/((b-a)^(2))int_(a)^(b)(b-t)varphi_(g)^(')(t)dt-\frac{2}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}[\varphi(t)-\varphi(a)] d t-\varphi_{g}^{\prime}\left(\frac{2 a+b}{3}\right)=\frac{2}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}(b-t) \varphi_{g}^{\prime}(t) d t-2(b−a)2∫ab[φ(t)−φ(a)]dt−φg′(2a+b3)=2(b−a)2∫ab(b−t)φg′(t)dt−
− φ g ′ ( 2 a + b 3 ) ≧ 0 . − φ g ′ 2 a + b 3 ≧ 0 . -varphi_(g)^(')((2a+b)/(3)) >= 0.-\varphi_{g}^{\prime}\left(\frac{2 a+b}{3}\right) \geqq 0 .−φg′(2a+b3)≧0.
  1. Tiberiu Popovici „Asupra mediilor aritmetice şi geometrice" Gazeta Matematică, 40, 155-160 (1934). M. Knop p a également signalé cette inégalité, comme application, avec une légère erreur dans le second membre.
On démontre exactement comme plus haut pour l'inégalité (2) que :
Pour que x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 soit ≧ 2 a + b 3 ≧ 2 a + b 3 >= (2a+b)/(3)\geqq \frac{2 a+b}{3}≧2a+b3, quels que soient a et b b bbb, il faut et il suffit que la fonction φ φ varphi\varphiφ soit non-concave d'ordre 2, donc une fonction de ( E 0 1 ) 2 E 0 1 2 (E_(0)^(1))_(2)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{2}(E01)2.
Pour que x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 soit ≦ 2 a + b 3 ≦ 2 a + b 3 <= (2a+b)/(3)\leqq \frac{2 a+b}{3}≦2a+b3, quels que soient a a aaa et b b bbb, il faut et il suffit que la fonction φ φ varphi\varphiφ soit non-convexe d'ordre 2 .
Le nombre x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 peut aussi coïncider avec a + b 2 a + b 2 (a+b)/(2)\frac{a+b}{2}a+b2. Nous avons alors l'énoncé suivant.
Si φ φ varphi\varphiφ est une fonction de la forme indiquée, f f fff une fonction de ( E a b ) 1 E a b 1 (E_(a)^(b))_(1)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{1}(Eab)1 et si
(5) 2 ( b − a ) 2 ∫ a b [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ g ′ ( a + b 2 ) ≧ 0 (5) 2 ( b − a ) 2 ∫ a b   [ φ ( t ) − φ ( a ) ] d t − φ g ′ a + b 2 ≧ 0 {:(5)(2)/((b-a)^(2))int_(a)^(b)[varphi(t)-varphi(a)]dt-varphi_(g)^(')((a+b)/(2)) >= 0:}\begin{equation*} \frac{2}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}[\varphi(t)-\varphi(a)] d t-\varphi_{g}^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right) \geqq 0 \tag{5} \end{equation*}(5)2(b−a)2∫ab[φ(t)−φ(a)]dt−φg′(a+b2)≧0
nous avons l'inégalité
A φ − φ ( A ) ≦ I b − a ∫ a b φ ( t ) d t − φ ( a + b 2 ) A φ − φ ( A ) ≦ I b − a ∫ a b   φ ( t ) d t − φ a + b 2 A_(varphi)-varphi(A) <= (I)/(b-a)int_(a)^(b)varphi(t)dt-varphi((a+b)/(2))\mathrm{A}_{\varphi}-\varphi(\mathrm{A}) \leqq \frac{\mathrm{I}}{b-a} \int_{a}^{b} \varphi(t) d t-\varphi\left(\frac{a+b}{2}\right)Aφ−φ(A)≦Ib−a∫abφ(t)dt−φ(a+b2)
l'égalité n'étant possible que pour la fonction f = a + ( b − a ) x f = a + ( b − a ) x f=a+(b-a)xf=a+(b-a) xf=a+(b−a)x.
Mais, il est à remarquer que ceci ne peut arriver pour toutes les valeurs de a et b. La propriété résulte de ce qui précède si φ φ varphi\varphiφ n'est pas non-concave d'ordre 2. Si φ φ varphi\varphiφ est non-concave d'ordre 2 la dérivée φ ′ φ ′ varphi^(')\varphi^{\prime}φ′ existe, est continue, croissante et non-concave d'ordre I. Soit ξ , 0 < ξ < 1 ξ , 0 < ξ < 1 xi,0 < xi < 1\xi, 0<\xi<1ξ,0<ξ<1 un point où la dérivée seconde φ ′ ′ ( ξ ) φ ′ ′ ( ξ ) varphi^('')(xi)\varphi^{\prime \prime}(\xi)φ′′(ξ) existe et est > 0 > 0 > 0>0>0. Il existe évidemment un tel point 1 1 ^(1){ }^{1}1 ). Soit alors ε ε epsi\varepsilonε un nombre positif et < 2 φ ′ ′ ( ξ ) 3 < 2 φ ′ ′ ( ξ ) 3 < (2varphi^('')(xi))/(3)<\frac{2 \varphi^{\prime \prime}(\xi)}{3}<2φ′′(ξ)3 et η > 0 η > 0 eta > 0\eta>0η>0 tel que 0 < ξ − η < ξ + η < 1 0 < ξ − η < ξ + η < 1 0 < xi-eta < xi+eta < 10<\xi-\eta<\xi+\eta<10<ξ−η<ξ+η<1 et que
φ ′ ( ξ ) − φ ′ ( ξ − η ) η > φ ′ ′ ( ξ ) − ε , φ ′ ( ξ + η ) − φ ′ ( ξ ) η < φ ′ ′ ( ξ ) + ε . φ ′ ( ξ ) − φ ′ ( ξ − η ) η > φ ′ ′ ( ξ ) − ε , φ ′ ( ξ + η ) − φ ′ ( ξ ) η < φ ′ ′ ( ξ ) + ε . (varphi^(')(xi)-varphi^(')(xi-eta))/(eta) > varphi^('')(xi)-epsiquad,quad(varphi^(')(xi+eta)-varphi^(')(xi))/(eta) < varphi^('')(xi)+epsi.\frac{\varphi^{\prime}(\xi)-\varphi^{\prime}(\xi-\eta)}{\eta}>\varphi^{\prime \prime}(\xi)-\varepsilon \quad, \quad \frac{\varphi^{\prime}(\xi+\eta)-\varphi^{\prime}(\xi)}{\eta}<\varphi^{\prime \prime}(\xi)+\varepsilon .φ′(ξ)−φ′(ξ−η)η>φ′′(ξ)−ε,φ′(ξ+η)−φ′(ξ)η<φ′′(ξ)+ε.
Si nous prenons a = ξ − η , b = ξ + η a = ξ − η , b = ξ + η a=xi-eta,b=xi+etaa=\xi-\eta, b=\xi+\etaa=ξ−η,b=ξ+η et si nous tenons compte du fait que φ ′ φ ′ varphi^(')\varphi^{\prime}φ′ reste, dans l'intervalle ( ξ − η , ξ + η ξ − η , ξ + η xi-eta,xi+eta\xi-\eta, \xi+\etaξ−η,ξ+η ), non-audessus des seg-
ments de droites joignant les points de la courbe y = φ ′ ( x ) y = φ ′ ( x ) y=varphi^(')(x)y=\varphi^{\prime}(x)y=φ′(x) pour x = ξ − η x = ξ − η x=xi-etax=\xi-\etax=ξ−η, ξ , ξ + η ξ , ξ + η xi,xi+eta\xi, \xi+\etaξ,ξ+η, nous trouvons que
I 2 η 2 ∫ ξ − η ξ + η ( ξ + η − t ) φ ′ ( t ) d t − φ ′ ( ξ ) ≦ η I 2 [ φ ′ ( ξ + η ) − φ ′ ( ξ ) η − − 5 φ ′ ( ξ ) − φ ′ ( ξ − η ) η ] < η I 2 [ − 4 φ ′ ′ ( ξ ) + 6 ε ] < 0 I 2 η 2 ∫ ξ − η ξ + η   ( ξ + η − t ) φ ′ ( t ) d t − φ ′ ( ξ ) ≦ η I 2 φ ′ ( ξ + η ) − φ ′ ( ξ ) η − − 5 φ ′ ( ξ ) − φ ′ ( ξ − η ) η < η I 2 − 4 φ ′ ′ ( ξ ) + 6 ε < 0 {:[(I)/(2eta^(2))int_(xi-eta)^(xi+eta)(xi+eta-t)varphi^(')(t)dt-varphi^(')(xi) <= (eta)/(I2)[(varphi^(')(xi+eta)-varphi^(')(xi))/(eta)-:}],[{:-(5varphi^(')(xi)-varphi^(')(xi-eta))/(eta)] < (eta)/(I2)[-4varphi^('')(xi)+6epsi] < 0]:}\begin{aligned} \frac{\mathrm{I}}{2 \eta^{2}} \int_{\xi-\eta}^{\xi+\eta}(\xi+\eta-t) \varphi^{\prime}(t) d t-\varphi^{\prime}(\xi) \leqq \frac{\eta}{\mathrm{I} 2}\left[\frac{\varphi^{\prime}(\xi+\eta)-\varphi^{\prime}(\xi)}{\eta}-\right. \\ \left.-\frac{5 \varphi^{\prime}(\xi)-\varphi^{\prime}(\xi-\eta)}{\eta}\right]<\frac{\eta}{\mathrm{I} 2}\left[-4 \varphi^{\prime \prime}(\xi)+6 \varepsilon\right]<0 \end{aligned}I2η2∫ξ−ηξ+η(ξ+η−t)φ′(t)dt−φ′(ξ)≦ηI2[φ′(ξ+η)−φ′(ξ)η−−5φ′(ξ)−φ′(ξ−η)η]<ηI2[−4φ′′(ξ)+6ε]<0
ce qui démontre la propriété.
Nous n'insistons pas sur cette question. En général, on peut démontrer que si pour un a a aaa donné le nombre b b bbb est suffisamment près de a a aaa on a nécessairement x 2 < a + b 2 x 2 < a + b 2 x_(2) < (a+b)/(2)x_{2}<\frac{a+b}{2}x2<a+b2.
4. Faisons quelques applications des formules précédentes.
I 0 . φ = x p , p > I , a = 0 , b = I I 0 . φ = x p , p > I , a = 0 , b = I I^(0).varphi=x^(p),p > I,a=0,b=I\mathrm{I}^{0} . \varphi=x^{p}, p>\mathrm{I}, a=0, b=\mathrm{I}I0.φ=xp,p>I,a=0,b=I. L'inégalité (5) s'écrit 2 p ≧ p ( p + I ) 2 p ≧ p ( p + I ) 2^(p) >= p(p+I)2^{p} \geqq p(p+\mathrm{I})2p≧p(p+I) et nous pouvons énoncer la propriété suivante.
Si f f fff est une fonction de ( F 0 1 ) 1 F 0 1 1 (F_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{F}_{0}^{1}\right)_{1}(F01)1 on a l'inégalité
∫ 0 1 f p d x − ( ∫ 0 1 f d x ) p ≦ { ( p − I ) [ 2 p ( p + I ) ] p p − 1 si I < p ≦ p ′ I p + I − I 2 p si p ≧ p 1 ∫ 0 1   f p d x − ∫ 0 1   f d x p ≦ ( p − I ) 2 p ( p + I ) p p − 1       si       I < p ≦ p ′ I p + I − I 2 p       si       p ≧ p 1 int_(0)^(1)f^(p)dx-(int_(0)^(1)fdx)^(p) <= {[(p-I)[(2)/(p(p+I))]^((p)/(p-1))," si ",I < p <= p^(')],[(I)/(p+I)-(I)/(2^(p))," si ",p >= p_(1)]:}\int_{0}^{1} f^{p} d x-\left(\int_{0}^{1} f d x\right)^{p} \leqq\left\{\begin{array}{lll}(p-\mathrm{I})\left[\frac{2}{p(p+\mathrm{I})}\right]^{\frac{p}{p-1}} & \text { si } & \mathrm{I}<p \leqq p^{\prime} \\ \frac{\mathrm{I}}{p+\mathrm{I}}-\frac{\mathrm{I}}{2^{p}} & \text { si } & p \geqq p_{1}\end{array}\right.∫01fpdx−(∫01fdx)p≦{(p−I)[2p(p+I)]pp−1 si I<p≦p′Ip+I−I2p si p≧p1
où p 1 p 1 p_(1)p_{1}p1 est la racine, comprise entre 4,79 et 4,8 , de l'équation 2 p = p ( p + 1 ) 2 p = p ( p + 1 ) 2^(p)=p(p+1)2^{p}=p(p+1)2p=p(p+1).
Dans le premier cas l'égalité n'est possible que si
f = x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) , λ = I − 2 [ 2 p ( p + I ) ] 1 p − 1 f = x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) , λ = I − 2 2 p ( p + I ) 1 p − 1 f=(x-lambda+|x-lambda|)/(2(I-lambda))quad,quad lambda=I-2[(2)/(p(p+I))]^((1)/(p-1))f=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(\mathrm{I}-\lambda)} \quad, \quad \lambda=\mathrm{I}-2\left[\frac{2}{p(p+\mathrm{I})}\right]^{\frac{1}{p-1}}f=x−λ+|x−λ|2(I−λ),λ=I−2[2p(p+I)]1p−1
dans le second cas seulement si f = x f = x f=xf=xf=x.
2 0 . φ = x p , 0 < p < I , a = 0 , b = I 2 0 . φ = x p , 0 < p < I , a = 0 , b = I 2^(0).varphi=x^(p),0 < p < I,a=0,b=I2^{0} . \varphi=x^{p}, 0<p<\mathrm{I}, a=0, b=\mathrm{I}20.φ=xp,0<p<I,a=0,b=I. La fonction φ φ varphi\varphiφ est concave d'ordre I et convexe d'ordre 2. Nous en déduisons que
Si f f fff est une fonction de ( E 0 1 ) 1 E 0 1 1 (E_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{1}(E01)1, on a l'inégalité
( ∫ 0 1 f d x ) p − ∫ 0 1 f p d x ≦ ( I − p ) [ p ( p + I ) 2 ] p 1 − p ∫ 0 1   f d x p − ∫ 0 1   f p d x ≦ ( I − p ) p ( p + I ) 2 p 1 − p (int_(0)^(1)fdx)^(p)-int_(0)^(1)f^(p)dx <= (I-p)[(p(p+I))/(2)]^((p)/(1-p))\left(\int_{0}^{1} f d x\right)^{p}-\int_{0}^{1} f^{p} d x \leqq(\mathrm{I}-p)\left[\frac{p(p+\mathrm{I})}{2}\right]^{\frac{p}{1-p}}(∫01fdx)p−∫01fpdx≦(I−p)[p(p+I)2]p1−p si 0 < p < I 0 < p < I quad0 < p < I\quad 0<p<\mathrm{I}0<p<I
l'égalité n'étant possible que pour la fonction
f = x − λ + | x − λ | 2 ( 1 − λ ) , λ = 1 − 2 [ p ( p + 1 ) 2 ] 1 1 − p f = x − λ + | x − λ | 2 ( 1 − λ ) , λ = 1 − 2 p ( p + 1 ) 2 1 1 − p f=(x-lambda+|x-lambda|)/(2(1-lambda)),quad lambda=1-2[(p(p+1))/(2)]^((1)/(1-p))f=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(1-\lambda)}, \quad \lambda=1-2\left[\frac{p(p+1)}{2}\right]^{\frac{1}{1-p}}f=x−λ+|x−λ|2(1−λ),λ=1−2[p(p+1)2]11−p
Nous avons，en particulier，
∫ 0 1 f 2 d x − ( ∫ 0 1 f d x ) 2 ≦ 1 9 , ∫ 0 1 f d x − ∫ 0 1 f d x ≦ 3 16 ∫ 0 1   f 2 d x − ∫ 0 1   f d x 2 ≦ 1 9 , ∫ 0 1   f d x − ∫ 0 1   f d x ≦ 3 16 int_(0)^(1)f^(2)dx-(int_(0)^(1)fdx)^(2) <= (1)/(9),quadsqrt(int_(0)^(1)fdx)-int_(0)^(1)sqrtfdx <= (3)/(16)\int_{0}^{1} f^{2} d x-\left(\int_{0}^{1} f d x\right)^{2} \leqq \frac{1}{9}, \quad \sqrt{\int_{0}^{1} f d x}-\int_{0}^{1} \sqrt{f} d x \leqq \frac{3}{16}∫01f2dx−(∫01fdx)2≦19,∫01fdx−∫01fdx≦316
l＇égalité n＇étant possible que pour les fonctions
f = 3 x − 1 + | 3 x − 1 | 4 , f = 32 x − 23 + | 32 x − 23 | 18 f = 3 x − 1 + | 3 x − 1 | 4 , f = 32 x − 23 + | 32 x − 23 | 18 f=(3x-1+|3x-1|)/(4)quad,quad f=(32 x-23+|32 x-23|)/(18)f=\frac{3 x-1+|3 x-1|}{4} \quad, \quad f=\frac{32 x-23+|32 x-23|}{18}f=3x−1+|3x−1|4,f=32x−23+|32x−23|18
respectivement．La première inégalité est connue et nous la repren－ drons dans la cinquième note．
3 0 3 0 3^(0)3^{0}30 ．On peut également considérer φ = x p , p < 0 , a > 0 φ = x p , p < 0 , a > 0 varphi=x^(p),p < 0,a > 0\varphi=x^{p}, p<0, a>0φ=xp,p<0,a>0 ．Dans ce cas φ φ varphi\varphiφ est convexe d＇ordre I I III et concave d＇ordre 2．Soit，en particulier， le cas p = − 1 p = − 1 p=-1p=-1p=−1 ．Désignons par H = 1 / ∫ 0 1 d x t H = 1 / ∫ 0 1   d x t H=1//int_(0)^(1)(dx)/(t)H=1 / \int_{0}^{1} \frac{d x}{t}H=1/∫01dxt la moyenne harmonique de f f fff ．Nous en déduisons la propriété suivante：
Si f f fff est une fonction de ( E a b ) 1 , a > 0 , A E a b 1 , a > 0 , A (E_(a)^(b))_(1),a > 0,A\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{1}, a>0, \mathrm{~A}(Eab)1,a>0, A et H la moyenne arithmé－ tique et la moyenne harmonique de f f fff ，on a l＇inégalité
I H − I A ≦ I b | I c − 2 I − c I − c + c log ⁡ c | 2 , c = a b , I H − I A ≦ I b I c − 2 I − c I − c + c log ⁡ c 2 , c = a b , (I)/(H)-(I)/((A)) <= (I)/(b)|(I)/(sqrtc)-(sqrt2)/(I-c)sqrt(I-c+c log c)|^(2)quad,quad c=(a)/(b),\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{H}}-\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{~A}} \leqq \frac{\mathrm{I}}{b}\left|\frac{\mathrm{I}}{\sqrt{c}}-\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{I}-c} \sqrt{\mathrm{I}-c+c \log c}\right|^{2} \quad, \quad c=\frac{a}{b},IH−I A≦Ib|Ic−2I−cI−c+clog⁡c|2,c=ab,
l＇égalité n＇étant possible que pour une seule fonction de la forme（4）où
λ = I + c I − c − 2 c I − c + c log ⁡ c , c = a b λ = I + c I − c − 2 c I − c + c log ⁡ c , c = a b lambda=(I+c)/(I-c)-sqrt((2c)/(I-c+c log c)),quad c=(a)/(b)\lambda=\frac{\mathrm{I}+c}{\mathrm{I}-c}-\sqrt{\frac{2 c}{\mathrm{I}-c+c \log c}}, \quad c=\frac{a}{b}λ=I+cI−c−2cI−c+clog⁡c,c=ab
4 0 4 0 4^(0)4^{0}40 ．Considérons encore le cas φ = log ⁡ x , a > 0 φ = log ⁡ x , a > 0 varphi=log x,a > 0\varphi=\log x, a>0φ=log⁡x,a>0 ．Cette fonction est concave d＇ordre 1 et convexe d＇ordre 2 ．Nous en déduisons la pro－ priété suivante．
Si f f fff est une fonction de ( E a b ) 1 , a > 0 , A E a b 1 , a > 0 , A (E_(a)^(b))_(1),a > 0,A\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{1}, a>0, \mathrm{~A}(Eab)1,a>0, A et G la moyenne arith－ métique et la moyenne géométrique de la fonction f f fff ，on a l＇inégalité
A G ≦ 2 c ( c − I − log ⁡ c ) ( c − I ) 2 ⋅ e 1 + c 1 − c ( I c ) 2 c ( c − 1 ) 2 , c = a b A G ≦ 2 c ( c − I − log ⁡ c ) ( c − I ) 2 ⋅ e 1 + c 1 − c I c 2 c ( c − 1 ) 2 , c = a b (A)/(G) <= (2c(c-I-log c))/((c-I)^(2)*e^((1+c)/(1-c)))((I)/(c))^((2c)/((c-1)^(2)))quad,quad c=(a)/(b)\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{G}} \leqq \frac{2 c(c-\mathrm{I}-\log c)}{(c-\mathrm{I})^{2} \cdot e^{\frac{1+c}{1-c}}}\left(\frac{\mathrm{I}}{c}\right)^{\frac{2 c}{(c-1)^{2}}} \quad, \quad c=\frac{a}{b}AG≦2c(c−I−log⁡c)(c−I)2⋅e1+c1−c(Ic)2c(c−1)2,c=ab
l＇égalité n＇étant possible que pour une seule fonction de la forme（4）où
λ = I + c I − c − I − c c − I − log ⁡ c , c = a b λ = I + c I − c − I − c c − I − log ⁡ c , c = a b lambda=(I+c)/(I-c)-(I-c)/(c-I-log c)quad,quad c=(a)/(b)\lambda=\frac{\mathrm{I}+c}{\mathrm{I}-c}-\frac{\mathrm{I}-c}{c-\mathrm{I}-\log c} \quad, \quad c=\frac{a}{b}λ=I+cI−c−I−cc−I−log⁡c,c=ab
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  1. Mémorial des Sciences Mathématiques. Fasc. XLIV, p. 12. Les suites de fonctions en général. Domaine réel, par M. L. Léau,
    I. Je prie le lecteur de se rapporter aux deux notes précédentes pour les hypothèses et les notations. Voir ce C. R., 2, 449-454, 454-458 (1938).
  2. J. K. Knopp ,,Über die maximalen Abstände und Verhältnisse verschiedener Mittelwerte'' Math. Zeitschrift, 39, 768-776 (1935). Les hypothèses faites sur φ φ varphi\varphiφ par M. K. Knopp sont un peu plus restrictives (l'existence de la dérivée seconde φ ′ ′ φ ′ ′ varphi^('')\varphi^{\prime \prime}φ′′ ).
    1. φ ′ ′ φ ′ ′ varphi^('')\varphi^{\prime \prime}φ′′ existe, sauf peut-être sur un ensemble au plus dénombrable.
1939

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